水力学 第二章
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流体中压强相等的点组成的面称为等压面。在等压面上有 : dp = ρ dW = 0 等压面有以下性质： 1、等压面必为等势面。 由前述可知，若 dp=0 ，必有dW=0 ，即 W= 常数, 可见,等压面就是等势面。 2、在静止流体中质量力与等压面相垂直。 Xdx + Ydy + Zdz = 0 从（2-7）可得等压面方程为： � � f ⋅ dl = Xdx + Ydy + Zdz = dW = 0 � � � � � � f ⋅ dl = f ⋅ dl cos f ⋅ dl = 0 � � � � 可知质量力与等压面垂直。 可得 cos f ⋅ dl = 0即f ⊥ dl 其物理意义在于：流体微团在等压面上运动时，质量力作功为零。 据此性质，可由质量力的方向确定等压面的形状，反之亦然。
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2.3p7
第二章 第三节
压强的单位及其换算表
帕 (Pa) 1 9.8×10 10.13×10 10.00×10 0.686×10
4 4
工程大气压 (kgf/cm ) 0.102×10 1 1.033 1.02 0.07
-4 2
标准大气压 (atm) 0.0987×10 0.968 1 0.987 0.068
， 例3：如图已知， p0=50kN/m2，h=1m h=1m， 求：该点的绝对压强及相对压强 解：p′ = p0 + ρ gh = 50 + 1× 9.8 ×1 = 59.8kN / m 2
p = p′ − pa = 59.8 − 98 = −38.2kN / m 2
h
p0
pa
相对压强为什么是负值？ 什么位置处相对压强为零？-44 Nhomakorabea4
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2.3p8
[例2] ：如图已知， p0=98kN/m2，h=1m ， 2]：如图已知， ：如图已知，p h=1m， 求：该点的绝对压强及相对压强
h
第二章 第三节
p0=pa
p′ = p0 + ρ gh = 98 + 1× 9.8 × 1 = 107.8kN / m 2 解：
p = p′ − pa = 107.8 − 98 = 9.8kN / m 2
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2.3p3
第二章 第三节
[例题 ]已知： p0=98kN/m2， 例题] 已知：p ， h=1m h=1m， 求：该点的静水压强 解：
p = p0 + ρ gh
h p
p0=pa
pa
= 98kN / m 2 + 1000kg / m3 × 9.8m / s 2 × 1m ÷ 1000 = 107.8kN / m 2
微元体所受质量力为：
dF mx = dF my dF mZ
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1 ρ dxdydz ⋅ X 6 1 = ρ dxdydz ⋅ Y 6 1 = ρ dxdydz ⋅ Z 6
2.1p3
第二章 第一节
取X方向受力平衡，并由
dA cos(n ⋅ x ) =
Px − Pn cos(n ⋅ x ) + Fmx = 0
式中三个方程分别乘 dx，dy，dz，相加可得平衡微分方程的另一种形式：
∂p ∂p ∂p dx + dy + dz = ρ ( Xdx + Ydy + Zdz ) 式中左边是平衡液体压强 p的全微分。 ∂x ∂y ∂z
有：
dp = ρ ( Xdx + Ydy + Zdz )
（2-7)
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2.2p3
2.1p1
第二章 第一节
第二章
水 静 力 学
水静力学是液体在静止或相对静止状态下的力学规律及其 应用的科学。本章讨论静平衡的力学规律，重点在于研究 压强分布规律和总作用力计算方法。 静止指流体质点之间或层之间无相对运动，它分为绝对静止 和相对静止。
§2.1静止流体中应力的特性
作用于静止流体的压强称为流体静压强。流体静压强有以下 两个特性：
1 dydz 2
同理，可得py=pn,pz=pn
1 1 p x ⋅ dydz − pn dA cos(n ⋅ x ) + ρdxdydz ⋅ X = 0 2 6 1 p x − pn + ρdx ⋅ X = 0 3 略去高阶无穷小量，可得： p x = pn
由此可得：px=py=pz=pn 由此得证，静止流体中任一点压强与作用的方位无关。 由此可知，流体静压强只是空间坐标的函数，即
p A = ρgh ⇒
pA h = ρg
式中h称为测压管高度或压强高度。
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2.3p11
第二章 第三节
当A点压强较小时： 1.增大测压管标尺读数， 提高测量精度。 2.在测压管中放入轻质 液体（如油）。 3.把测压管倾斜放置（见图）。 A点的相对压强为
p A = ρgL sin α
当被测点压强很大时：所需测压管很长，这时可以改用U形水 银测压计。
满足（2-5)式的质量力称为有势的质量力，称W(x,y,z)为 力势函数。
dp = ρdW
积分得 p = ρW + C 当已知流体内某一点的势函数W0和压强p0 时，上式为：
p = p0 + ρ (W − W0 )
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2.2p4
第二章 第二节
三、等压面（Equipressue Surface ）及其特性
得 dp = − ρ gdz
x
h 1
积分得
若取图示1、2两点，则得:
Z1 +
上式为重力作用下静止液体中的压强分布规律。 对于流体中的任意点和表面点运用此方程，可得 : 0 p = p0 + ρg (z0 − z ) 式中(z0-z)=h为从液面测得的垂直深度 h，称为淹没水深，则有 : p = p0 + ρgh （2-9) 此式为计算中常用的压强分布规律的另一种型式。
1、流体静压强总是指向作用面的内法线方向 (垂直指向性） ； 2、静止流体中任一点的静压强与作用的方位无关（各向等值性） 。
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2.1p2
第二章 第一节
证明： 在静止流体中任取微元四面体OABC及坐标OXYZ如图示。 各面作用的压强px、py、pz、pn。 各面作用的总压力为：
1 Px = p x ⋅ dydz 2 1 Py = p y ⋅ dzdx 2 1 Pz = p z ⋅ dxdy 2 Pn = pn ⋅ dA(dA为ABC倾斜面的面积)
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2.3p12
第二章 第三节
(a)
(b)
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2.3p13
2、U形水银测压计
第二章 第三节
在U形管内，水银面N-N为等压面，因而1点和2点压强相等。
对测压计右支 对测压计左支 A点的绝对压强 A点的相对压强 式中， ρ 与
′ = p a + ρ m gh p2
-4
巴 (bar) 0.100×10 0.981 1.013 1 0.0686
-4
米水柱 (mH2O) 1.02×10 10 10.33 10.2 0.703
-4
毫米水柱 (mmHg) 75.03×10 735.6 760 750.2 51.71
-4
磅/英寸
2
2
(lbf/in ) 1.45×10 14.22 14.69 14.50 1
x方向微团质量力为：
b’ dy c’
z
Xρdxdydz
o y
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c
x
dx
2.2p2
第二章 第二节
由静平衡关系
∑F
x
=0
有：
1 ∂p ⎞ 1 ∂p ⎞ ⎛ ⎛ dx ⎟dydz − ⎜ p + dx ⎟ dydz + Xρdxdydz = 0 ⎜p− 2 ∂x ⎠ 2 ∂x ⎠ ⎝ ⎝ ∂p =0 可得：ρX − ∂x ∂p =0 同理，对y,z方向可得： ρY − （2-2) ∂y ∂p 这就是流体静平衡微分方程式， ρZ − =0 也称欧拉平衡微分方程。 ∂z
第二章 第二节
二、力势函数 由（2-7）式可以看出，等式右端为某函数的全微分， 设其为W(x,y,z)，即：
dW = Xdx + Ydy + Zdz
又有 dW = 因此
∂W ∂W ∂W dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z
（2-5)
∂W ∂W ∂W = X, = Y, =Z ∂x ∂y ∂z
（2-6)
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2.3p5
第二章 第三节
压强图示
p A
A 点相对压强 pa A 点绝对压强 B 当地大气 压强 当地大气压强 pa B 点真空度
B 点绝对压强
0
0
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2.3p6
（二、）压强的三种量度单位
压强的测示单位常采用以下三种：
第二章 第三节
1、应力单位（压强基本定义），即力 /面积。 SI制中为： N/m2, 常采用帕（Pa），千帕 (kPa)，兆帕(MPa)。 工程单位为： kgf/m2或kgf/cm2。 2、液柱高度单位 以h=p/γ表示，常用水柱高度或汞柱高度，其单位为 mH2O， mmH2O,或mmHg. 3、大气压单位（以大气压的倍数来表示） 理论上常采用标准大气压， SI制中用符号atm表示, （温度为０oC时海平面上的压强，即７６０ mmHg）为101325pa。 工程中常采用工程大气压，工程单位制中用符号 at表示， （相当于海拔 200m处正常大气压）为 1kgf/cm2,即1at=1kgf/cm2,称为工 程大气压。 三、三种量度单位的基本换算关系 1mmH2O=1kgf/m2=9.807N/m2(pa)=0.0736mmHg
(
)
(
)
3、不同密度流体的分界面必为等压面。
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2.3p1
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2.3p7
第二章 第三节
压强的单位及其换算表
帕 (Pa) 1 9.8×10 10.13×10 10.00×10 0.686×10
4 4
工程大气压 (kgf/cm ) 0.102×10 1 1.033 1.02 0.07
-4 2
标准大气压 (atm) 0.0987×10 0.968 1 0.987 0.068
， 例3：如图已知， p0=50kN/m2，h=1m h=1m， 求：该点的绝对压强及相对压强 解：p′ = p0 + ρ gh = 50 + 1× 9.8 ×1 = 59.8kN / m 2
p = p′ − pa = 59.8 − 98 = −38.2kN / m 2
h
p0
pa
相对压强为什么是负值？ 什么位置处相对压强为零？-44 Nhomakorabea4
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2.3p8
[例2] ：如图已知， p0=98kN/m2，h=1m ， 2]：如图已知， ：如图已知，p h=1m， 求：该点的绝对压强及相对压强
h
第二章 第三节
p0=pa
p′ = p0 + ρ gh = 98 + 1× 9.8 × 1 = 107.8kN / m 2 解：
p = p′ − pa = 107.8 − 98 = 9.8kN / m 2
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2.3p3
第二章 第三节
[例题 ]已知： p0=98kN/m2， 例题] 已知：p ， h=1m h=1m， 求：该点的静水压强 解：
p = p0 + ρ gh
h p
p0=pa
pa
= 98kN / m 2 + 1000kg / m3 × 9.8m / s 2 × 1m ÷ 1000 = 107.8kN / m 2
微元体所受质量力为：
dF mx = dF my dF mZ
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1 ρ dxdydz ⋅ X 6 1 = ρ dxdydz ⋅ Y 6 1 = ρ dxdydz ⋅ Z 6
2.1p3
第二章 第一节
取X方向受力平衡，并由
dA cos(n ⋅ x ) =
Px − Pn cos(n ⋅ x ) + Fmx = 0
式中三个方程分别乘 dx，dy，dz，相加可得平衡微分方程的另一种形式：
∂p ∂p ∂p dx + dy + dz = ρ ( Xdx + Ydy + Zdz ) 式中左边是平衡液体压强 p的全微分。 ∂x ∂y ∂z
有：
dp = ρ ( Xdx + Ydy + Zdz )
（2-7)
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2.2p3
2.1p1
第二章 第一节
第二章
水 静 力 学
水静力学是液体在静止或相对静止状态下的力学规律及其 应用的科学。本章讨论静平衡的力学规律，重点在于研究 压强分布规律和总作用力计算方法。 静止指流体质点之间或层之间无相对运动，它分为绝对静止 和相对静止。
§2.1静止流体中应力的特性
作用于静止流体的压强称为流体静压强。流体静压强有以下 两个特性：
1 dydz 2
同理，可得py=pn,pz=pn
1 1 p x ⋅ dydz − pn dA cos(n ⋅ x ) + ρdxdydz ⋅ X = 0 2 6 1 p x − pn + ρdx ⋅ X = 0 3 略去高阶无穷小量，可得： p x = pn
由此可得：px=py=pz=pn 由此得证，静止流体中任一点压强与作用的方位无关。 由此可知，流体静压强只是空间坐标的函数，即
p A = ρgh ⇒
pA h = ρg
式中h称为测压管高度或压强高度。
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2.3p11
第二章 第三节
当A点压强较小时： 1.增大测压管标尺读数， 提高测量精度。 2.在测压管中放入轻质 液体（如油）。 3.把测压管倾斜放置（见图）。 A点的相对压强为
p A = ρgL sin α
当被测点压强很大时：所需测压管很长，这时可以改用U形水 银测压计。
满足（2-5)式的质量力称为有势的质量力，称W(x,y,z)为 力势函数。
dp = ρdW
积分得 p = ρW + C 当已知流体内某一点的势函数W0和压强p0 时，上式为：
p = p0 + ρ (W − W0 )
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2.2p4
第二章 第二节
三、等压面（Equipressue Surface ）及其特性
得 dp = − ρ gdz
x
h 1
积分得
若取图示1、2两点，则得:
Z1 +
上式为重力作用下静止液体中的压强分布规律。 对于流体中的任意点和表面点运用此方程，可得 : 0 p = p0 + ρg (z0 − z ) 式中(z0-z)=h为从液面测得的垂直深度 h，称为淹没水深，则有 : p = p0 + ρgh （2-9) 此式为计算中常用的压强分布规律的另一种型式。
1、流体静压强总是指向作用面的内法线方向 (垂直指向性） ； 2、静止流体中任一点的静压强与作用的方位无关（各向等值性） 。
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2.1p2
第二章 第一节
证明： 在静止流体中任取微元四面体OABC及坐标OXYZ如图示。 各面作用的压强px、py、pz、pn。 各面作用的总压力为：
1 Px = p x ⋅ dydz 2 1 Py = p y ⋅ dzdx 2 1 Pz = p z ⋅ dxdy 2 Pn = pn ⋅ dA(dA为ABC倾斜面的面积)
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第二章 第三节
(a)
(b)
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2.3p13
2、U形水银测压计
第二章 第三节
在U形管内，水银面N-N为等压面，因而1点和2点压强相等。
对测压计右支 对测压计左支 A点的绝对压强 A点的相对压强 式中， ρ 与
′ = p a + ρ m gh p2
-4
巴 (bar) 0.100×10 0.981 1.013 1 0.0686
-4
米水柱 (mH2O) 1.02×10 10 10.33 10.2 0.703
-4
毫米水柱 (mmHg) 75.03×10 735.6 760 750.2 51.71
-4
磅/英寸
2
2
(lbf/in ) 1.45×10 14.22 14.69 14.50 1
x方向微团质量力为：
b’ dy c’
z
Xρdxdydz
o y
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c
x
dx
2.2p2
第二章 第二节
由静平衡关系
∑F
x
=0
有：
1 ∂p ⎞ 1 ∂p ⎞ ⎛ ⎛ dx ⎟dydz − ⎜ p + dx ⎟ dydz + Xρdxdydz = 0 ⎜p− 2 ∂x ⎠ 2 ∂x ⎠ ⎝ ⎝ ∂p =0 可得：ρX − ∂x ∂p =0 同理，对y,z方向可得： ρY − （2-2) ∂y ∂p 这就是流体静平衡微分方程式， ρZ − =0 也称欧拉平衡微分方程。 ∂z
第二章 第二节
二、力势函数 由（2-7）式可以看出，等式右端为某函数的全微分， 设其为W(x,y,z)，即：
dW = Xdx + Ydy + Zdz
又有 dW = 因此
∂W ∂W ∂W dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z
（2-5)
∂W ∂W ∂W = X, = Y, =Z ∂x ∂y ∂z
（2-6)
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第二章 第三节
压强图示
p A
A 点相对压强 pa A 点绝对压强 B 当地大气 压强 当地大气压强 pa B 点真空度
B 点绝对压强
0
0
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2.3p6
（二、）压强的三种量度单位
压强的测示单位常采用以下三种：
第二章 第三节
1、应力单位（压强基本定义），即力 /面积。 SI制中为： N/m2, 常采用帕（Pa），千帕 (kPa)，兆帕(MPa)。 工程单位为： kgf/m2或kgf/cm2。 2、液柱高度单位 以h=p/γ表示，常用水柱高度或汞柱高度，其单位为 mH2O， mmH2O,或mmHg. 3、大气压单位（以大气压的倍数来表示） 理论上常采用标准大气压， SI制中用符号atm表示, （温度为０oC时海平面上的压强，即７６０ mmHg）为101325pa。 工程中常采用工程大气压，工程单位制中用符号 at表示， （相当于海拔 200m处正常大气压）为 1kgf/cm2,即1at=1kgf/cm2,称为工 程大气压。 三、三种量度单位的基本换算关系 1mmH2O=1kgf/m2=9.807N/m2(pa)=0.0736mmHg
(
)
(
)
3、不同密度流体的分界面必为等压面。
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2.3p1
