讲义：截长补短法

第四讲截长补短知识目标知识导航如图：要证AB＝CD＋EF，有以下辅助线的说法B一、【截长】①在AB上截取AH＝CD，只需证明BH＝EF②在AB上截取AH＝EF，只需证明BH＝CD③在BA一截取BH＝CD，只需证明AH＝EF④在BA上截取BH＝EF，只需证明AH＝CD二、【补短】①延长CD到H使得DH＝EF，只需证明CH＝AB②延长CD到H使得CH＝AB，只需证明DH＝EF③延长DC到H使得CH＝EF，只需证明DH＝AB④延长DC到H使得DH＝AB，只需证明CH＝EF⑤延长EF到H使得FH＝CD，只需证明EH＝AB⑥延长EF到H使得EH＝AB，只需证明FH＝CD⑦延长FE到H使得EH＝CD，只需证明FH＝AB⑧延长FE到H使得FH＝AB，只需证明EH＝CD模块一截长补短基本题型题型一“垂直关系”与截长补短例1如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC于D，求证：CD＝BD＋ABA练习如图，△ABC 中，∠BAC ＝120°，AD ⊥BC 于D ，且AB ＋BD ＝DC ，求∠C 的度数.DCBA例2已知等腰△ABC ，AB ＝AC ，E 是AC 上一点，D 是AB 延长线上一点，且CE ＝BD ，ED 交BC 于F ，EG ⊥BC 于G ，求证：FG ＝BF ＋CG .GFEDCB A练习如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，AB ＝BC ＝CD ＝AD ，若E 是BC 上一点，AF 平分∠EAD ，求证：BE ＋DF ＝AE .FEDCBA题型二 角平分线与“截长补短” 例3如图，BD 是△ABC 的角平分线，AB ＝AC （1）若∠BAC ＝90°，求证：BC ＝AB ＋ADDCBA（2）若∠BAC ＝108°，求证：BC ＝AB ＋CDDCBA（3）若∠BAC ＝100°，求证：BC ＝BD ＋ADDCBA练习如图，BD 是△ABC 的角平分线，AB ＝AC （1）若BC ＝AB ＋AD ，求∠BAC 的度数ABCD（2）若BC ＝AB ＋CD ，求∠BAC 的度数ABCD题型三 “等边三角形”与截长补短 例4已知△ABC 为等边三角形，D 是形外一点，若∠ADB ＝60°，求证：AD ＋CD ＝BD .DCBA练习如图，△ABC 是等边三角形，∠ADC ＝120°，求证：BD ＝AD ＋CD .DCBA例5如图，F 是等边△ABC 的边AC 的中点，D 在边BC 上，△DFE 是等边三角形，ED 的延长线交AB 于H ，求证：CF ＋CE ＝CD .H FEDCBA练习已知如图，△ABC为等边三角形，AE＝AC，BE交AC于D，AF平分∠CAE交BE于F，求证：AF＋EF ＝BF.F EDCBA题型四“线段和相等”与截长补短在△ABC和△A′B′C′中，若AB＋AC＝A′B′＋A′C′，BC＝B′C′，∠B＝∠B′，求证：△ABC≌△A′B′C′.练习已知△ABC，∠BAC＝60°，∠ABC＝80°，∠A，∠B的平分线交BC，CA于P，Q，求证：AB＋BP＝AQ＋BQ.Q PCB A模块二 截长补短综合应用例7如图，在△ABC 中，∠CAB ＝∠CBA ＝45°，CA ＝CB ，点E 为BC 的中点，CN ⊥AE 交AB 于N ，连EN ，求证：AE ＝CN ＋EN .ENCBA例8如图，等腰Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，△ABC 的内部有一条过B 点的射线，过A 点和C 点分别作这条射线的垂线，垂足分别为M ，N ，写出BN --CN 与AM 之间的数量关系，并证明你的结论.第4讲 本讲课后作业A 基础巩固1.如图，已知∠P AB ＋∠ABC ＝180°，∠P AB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于点E ，连接CE 并延长交AP 于D ，求证：AD ＋BC ＝AB .PED CBA2.已知△ABC 中，AC ＝BC ，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，点E 为AB 上一点，且∠EDB ＝∠B ， （1）如图，若∠C ＝90°，求证：AB ＝AC ＋CDEDCBA（2）如图，若∠C ＝100°，求证：AB ＝AD ＋CDDCBA3.如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点p ，过点P 作直线交AD 于点E ，交BC 于点F ，若PE ＝PF ，且AP ＋AE ＝CP ＋CF ，求证：P A ＋PC .PFE D CBA4.如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AO 平分∠BAC ，交CD 于O ，E 为AB 上一点，OE ∥BC ，求证：OD ＋OE ＝CD .OED CBA5.如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，AB ＝BC ＝CD ＝AD ，若F 是CD 的中点，E 是BC 边上一点，且AF 平分∠DAE ，求证：AE ＝EC ＋CD .FEDCBAB 综合训练6.已知△ABC 与△ADE 均为等边三角形，点A ，E 在BC 的同侧（1）如图1，点D 在BC 边上，写出线段AC ，CD ，CE 之间的数量关系，并证明图1EDCBA（2）如图2，点D 在BC 边上的延长线上，其它条件不变，写出线段AC ，CD ，CE 之间的数量关系，并证明图2EDCBA数学故事抛硬币的概率硬币除了可以买东西，也可以用来解决各种争端，据说，遇到不可调解的分岐的时候，为了作出决定，人们的首选是猜拳，其次是抛硬币。

八年级上册数学截长补短法一、截长补短法的概念。

1. 定义。

- 截长补短法是几何证明题中一种常用的辅助线添加方法。

“截长”就是将一条较长的线段截成两段或几段，使得其中的一段或几段与已知线段相等；“补短”就是将一条较短的线段延长，使得延长后的线段与已知的较长线段相等。

- 例如，在三角形ABC中，要证明AB = AC+CD（假设AB>AC），“截长”的做法可以是在AB上截取AE = AC，然后去证明BE=CD；“补短”的做法可以是延长AC到F，使CF = CD，然后去证明AB = AF。

2. 适用情况。

- 当题目中出现证明两条线段之和等于第三条线段或者两条线段之差等于第三条线段等类型的问题时，常常考虑使用截长补短法。

- 比如在四边形或者三角形的边的关系证明中经常用到。

如在等腰三角形的相关证明中，如果要证明等腰三角形腰长与底边一部分线段的关系时，可能就需要用到这种方法。

二、截长补短法的解题步骤。

1. 截长法解题步骤。

- 第一步：观察图形和已知条件，确定要截的线段。

一般选择较长的那条线段进行截取。

- 第二步：根据已知条件截取合适的长度，使得截取后的线段与其他已知线段有一定的联系。

例如，在三角形中，如果有角平分线的条件，可能会截取与角平分线到角两边距离相等的线段。

- 第三步：连接截取点与其他点，构造全等三角形或者其他特殊的几何关系。

- 第四步：利用全等三角形的性质或者其他几何定理进行推理，得出要证明的结论。

- 例如：在三角形ABC中，AD是∠BAC的角平分线，∠C = 2∠B，求证：AB = AC+CD。

- 证明（截长法）：在AB上截取AE = AC，连接DE。

- 因为AD是角平分线，所以∠EAD = ∠CAD。

- 在△AED和△ACD中，AE = AC，∠EAD = ∠CAD，AD = AD，根据SAS（边角边）定理，△AED≌△ACD。

- 所以∠AED = ∠C，CD = ED。

- 又因为∠C = 2∠B，∠AED = ∠B + ∠EDB，所以∠B = ∠EDB。

几何专题02 辅助线之截长补短一、 知识导航截长：在长边截取一条与某一短边相等的线段，再证明剩下的线段长度与另一短边相等。

例：如图，在AB 上截取AD AC=补短：通过延长或是旋转等方式使两短边拼接在一起，然后证明与长边相等。

例：延长AC 至点D ，使得AD AB=D CB A二、 典型例题题型一 截长补短证明线段（角）和差关系例1 已知：如图，在△ABC 中，∠1=∠2，∠B =2∠C ．求证：AB BD AC +=．变式训练1 已知：在ABC △中，AB CD BD =-，AD BC ⊥，求证：2B C∠=∠例2 在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠ABC+∠ADC ＝180°，E 、F 分别是边BC ，CD 上的两点，且∠EAF＝G F E C B D A A DBCE FG FE C B D A A D B C EF 12∠BAD ，求证：BE+DF ＝EF ．变式训练2 正方形ABCD 中，点E 在CD 延长线上，点F 在BC 延长线上，45EAF ∠=︒，求证：EF BF DE=-题型二 截长补短探究线段长度关系例3 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ．点D 是边BC 下方一点，∠BDC =90°，探索三条线段DA 、DB 、DC 之间的等量关系，并证明你的结论．变式训练3 在四边形ABDC 中，180B C ∠+∠=︒，DB DC =，120BDC ∠=︒，以D 为顶点作EDF ∠为60︒角，角的两边分别交AB ，AC 于E ，F 两点，连接EF ，请直接写出线段BE ，CF ，EF 之间的数量关系．GAB DC E F FEC D BA三、 巩固练习1. 正方形ABCD 中，已知AB=3，点E ，F 分别在BC 、CD 上，且∠BAE=30°，∠DAF=15°，求△AEF 的面积.2. 如图，在ΔABC 中，AB ＞AC ，∠1=∠2，P 为AD 上任意一点．求证：AB AC PB PC ->-．截长补短方法归纳总结：线段间的和差倍分，就把几条线段间的数量关系转为两条线段的等量关系．但凡出现了线段的和差关系时，一定要尝试一下用截长补短的方法来进行处理，但不是每一个和差关系的题目都可以同时使用截长法和补短法，有时截长法能更加便捷的解决问题，而有时补短法又优于截长法，这都是需要根据具体的题目取选择具体的方法的。

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截长补短法的实例
实例一：几何图形
总结词
通过图形直观展示
详细描述
在PPT中，我们可以使用几何图形来展示截长补短法的应用。例如，在平面几何中，我们可以通过将一个不规则 图形切割成几个规则图形，然后进行补充，从而得到一个新的规则图形。这种方法可以帮助学生更好地理解几何 图形的性质和特点。
实例二：数据可视化
原理的数学解释
截长补短法是一种基于几何和代数知识 的解题方法，其原理可以通过数学公式
和定理进行解释。
在几何学中，截长补短法可以用于证明 一些线段或角度的性质和关系，例如通 过截取线段来证明两个三角形相似或通 过补全角度来证明一个四边形是平行四
边形。
在代数中，截长补短法可以用于解决一 些方程和不等式问题，例如通过将一个 复杂的多项式方程进行截取和补全，来
索其在其他领域的应用。
拓展应用范围
尝试将截长补短法与其他几何 作图方法结合，拓展其应用范 围，解决更多复杂的几何问题 。
提高教学水平
在数学教学中，加强对截长补 短法的介绍和讲解，帮助学生 更好地理解和掌握该方法。
激发学习兴趣
通过引导学生运用截长补短法 解决实际问题，激发他们对数
学学习的兴趣和热情。
THANKS
简单、更易于解决的小问题。
补全短线段
补全短线段是指在解题过程中，将一些较短的线段或步骤进行补充和整合，使其形 成一个完整的解决方案。
通过补全短线段，可以将零散的信息和步骤整合起来，形成一个完整的知识体系或 解决方案。
在数学问题中，补全短线段通常用于将一些分散的条件和信息整合起来，形成一个 完整的证明或解题过程。
找到满足条件的解。
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截长补短法的步骤