【创新设计】2013届高考数学 1-4柱坐标系与球坐标系简介(选学)课件 新人教版A选修4-4

表示，这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之
间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱 (ρ，θ，z) 坐标系，有序数组____________叫做点P的柱坐标，记作
P(ρ，θ，z) _____________，其中ρ≥0，0≤θ <2π，－∞<z<＋∞
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(2)空间点 P 的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的变换 x＝ ρcos θ 公式为y＝ ρsin θ z＝z.
想一想 提示
， ，
柱坐标满足方程ρ＝2的点所构成的图形是什么？ 在平面极坐标系中，ρ＝2表示以极点为圆心，2为半径
的圆．因此，在柱坐标系中，设Oz轴所在的直线为l，则方程 ρ＝2表示以l为轴，且垂直于轴的截面是半径为2的圆的柱 面．
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π 3π π 3π 3 2 3 2 Q：x＝3sin cos ＝－ ，y＝3sin sin ＝ ，z 6 4 4 6 4 4 π 3 3 ＝3cos ＝ ， 6 2 3 2 3 2 3 3 . ∴Q 点的直角坐标为－ ， ， 4 4 2
3 2 即 P、Q 两点间的距离为 . 2 【反思感悟】 球坐标系又称空间极坐标系，可用空间任
第四节
柱坐标系与球坐标系简介（选学）
【课标要求】 1．了解柱坐标系、球坐标系的意义． 2．掌握柱坐标、球坐标与空间直角坐标的互化关系与公式． 3．能够根据空间坐标的转化解决某些问题． 【核心扫描】
柱坐标、球坐标和空间直角坐标的互化．(重点)
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自学导引
1．柱坐标系 (1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz，设P 是空间任意一点，它在Oxy平面上的射影 为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0，0≤θ<2π)来表 示点Q在平面Oxy上的极坐标．这时点P的 位置可用有序数组(ρ，θ，z) (z∈R)

7．将下列各点的球坐标化为直角坐标． π 5π 3π π π A4，2， 3 ，B8， 4 ，π，C0，6，5 .
π 5π 1 解析： 点 A： x＝rsin φcos θ＝4sin ×cos ＝4×1× ＝ 2 3 2 2，
， θ) 转过的最小正角为θ，点P的位置可以用有序数组(r，
表示，我们把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或 空间极坐标系)． 有序数组(r， ，θ)叫做点P的球坐标，其中r≥0，0≤
≤π，0≤θ<2π.
空间点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r， ，θ)之间 的变换关系为：
x＝rsin φcos θ， y＝rsin φsin θ， z＝rcos φ.
2．柱坐标系
x2＋y2＋z2＝r2，
建立空间直角坐标系O－xyz，设P是空间任意一点，
在Oxy平面的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点Q 在平面Oxy上的极坐标，这时点P的位置可用有序数组(ρ，
θ，z)(z∈R)表示．把建立上述对应关系的坐标系叫做柱
坐标系．有序数组(ρ，θ，z)叫做点P的柱坐标，记作P(ρ， θ，z)其中ρ≥0,0≤θ<2π，z∈R.
四
柱坐标系与球坐标系简介
1．了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置 的方法． 2．了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公 式．体会它们的区别.
1．球坐标系 建立空间直角坐标系O－xyz，设P是空间任意一点， 连接OP，记|OP|＝r，OP与Oz轴正向所夹的角为 ，P在 Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解析：点 C1 的空间直角坐标为(6 ,6,12)，点 C1 的柱坐 π π 标为(12， ，12)，点 C1 的球坐标为(12 ， ， )． 6 6

2019/7/8
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如图所示，点C1的(x，y，z)分别对应着CD，BC，CC1；点C1的(ρ，θ，z) 应着CA，∠BAC，CC1；点C1的(r，φ，θ)分别对应着AC1，∠A1AC1，∠BAC.
标为解 (12析，π6：， 点1C21)， 的点 空间 C1直的角球坐坐标标为为((612
,，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。 • 二、补笔记 • 上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一
遍自己写的笔记，既可以起到复习的作用，又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全，错别字要纠正，过于潦草的字要写清楚。同时，将自己 对讲课内容的理解、自己的收获和感想，用自己的话写在笔记本的空白处。这样，可以使笔记变的更加完整、充实。 • 三、课后“静思2分钟”大有学问 • 我们还要注意课后的及时思考。利用课间休息时间，在心中快速把刚才上课时刚讲过的一些关键思路理一遍，把老师讲解的题目从题意到解答整个过 程详细审视一遍，这样，不仅可以加深知识的理解和记忆，还可以轻而易举地掌握一些关键的解题技巧。所以，2分钟的课后静思等于同一学科知识的 课后复习30分钟。
解析：将 P，Q 两点球的坐标转化为直角坐标，得
点 P：x＝3sin
π 6cos
4π＝3 4 2，
y＝3sin
π 6sin
π4＝3 4 2，
z＝3cos π6＝3 2 3，
∴点 P 的直角坐标为3 4 2，3 4 2，3 2 3.
点 Q：x＝3sin
π 6cos
34π＝－3 4 2，

【解析】选D.由于点P的柱坐标为（ρ,θ,z）= (2, , 3) ，故 点P在平面xOy内的射影Q到直线Oy的距离为 cos = 3 ,结合
6
图形，得P到直线Oy的距离为 ( 3)2 +( 3)2 = 6.
5.已知点M的球坐标为 (2 2, , ) ，则点M的柱坐为(
6 4
)
≨PN⊥直线Oy.
答案：3
6
三、解答题（共40分） 10.（12分）在球坐标系中，方程r=1表示空间中的什么曲 面？方程φ = 表示空间中的什么曲面?
4
【解析】方程r=1表示球心在原点且半径为1的球面;
方程φ= 表示顶点在原点，半顶角为 的上半个圆锥面，中
4 4
心轴为z轴.
11.（14分）已知球坐标系Oxyz中, M(6, , ),N(6, 2 , ),
3 3 3 3
求|MN|. 【解析】方法一:由题意知, |OM|=|ON|=6，∠MON= ,
3
≨△MON为等边三角形，≨|MN|=6.
=1 12.（14分）在柱坐标系中，求满足 0 2 的动点M 0 z 2
（ρ ,θ ,z）围成的几何体的体积. 【解析】根据柱坐标系与点的柱坐 标的意义可知，满足ρ=1，0≤θ
【解析】
6.球坐标系中，满足θ =
P(r,φ ,θ )的轨迹为( （A）点 （C）半平面
，r∈[0,+∞), φ ∈[0,π ]的动点 4
)
（B）直线 （D）半球面
【解析】选C.由于球坐标系中,θ=
φ∈[0,π]，故射线OM平分∠xOy,由球坐标系的意义，动点 P(r,φ,θ)的轨迹为二面角x-OP-y的平分面，这是半平面， 如图.