第3讲 一元二次函数、一元三次函数
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第三讲: 一元二次函数、一元三次函数
一、知识概要(高中数学竞赛代数分册186，启东中学教材368)
(1) 一元二次函数解析式的三种形式：一般形式 顶点式 零点式
(2) 一元三次函数解析式的两种形式：零点式 一般式
123()()()()()f x a x x x x x x =---零点式
32123122313123()()ax a x x x x a x x x x x x x ax x x =-+++++- 32()f x ax bx cx d =+++(一般形式)
(3) 一元二次函数，一元三次函数零点的判定方法
函数
2()f x ax bx c =++零点的个数可用判别式24b ac ∆=-与0的大小来判断. 函数32()f x ax bx cx d =+++零点的个数也有判别式，但其判别式结构复杂，一般利用导函数
结合单调性分析其图象，来判定零点个数.
(4)重要定理：韦达定理 余数定理 因式定理 有理根定理 拉格朗日插值公式
二、解题指导
1．与一元二次函数系数相关的问题
例1．已知二次函数
22()44(22)f x x ax a a =-+-+在01x ≤≤上的最小值为2，求 a 的值.
例2．设函数
2()83(0)f x ax x a =++<，对于给定的负数a,有一个最大正数()l a ，使得在整 个区间[]0,()l a 上，不等式()5f x ≤都成立，问：a 为何值时，()l a 最大，求出这个最大的 ()l a ，并证明你的结论,
2．与一元二次函数有关的参变量问题
例3．若函数
2113()22
f x x =-+在区间[],a b 上的最小值为2a ，最大值2b ，求区间[],a b ．
例4．设二次函数2()(,,,0)f x ax bx c a b c R a =++∈≠满足条件：
（1）当x R ∈时，(4)(2)f x f x -=-，且()f x x ≥ （2）当()0,2x ∈时，2
1()2x f x +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭
； （3）()f x 在实数集上的最小值0,求最大的实数(1)m m >使得存在t R ∈,只要[]1,x m ∈,就
有()f x t x +≤ ．
3．以一元二次函数为背景的问题 例5．已知二次函数2()f x x px q =++.
(1)若222430x px q x x ++≤+-对一切x R ∈都成立，求2()f x x px q =++.
(2)求{}max (1),(2),(3)u f f f =的最小值.
例6．设函数2()f x ax bx c =++，()g x ax b =+,若1x ≤时，()1f x ≤，
(1)求证：1c ≤
(2)求证：1x ≤时，()2g x ≤；
(3)设0a >，当1x ≤时，()g x 的最大值为2，求()f x .
4．构造一元二次函数处理问题
例10．已知关于123,,,n x x x x 的方程组2211222222332
2
11
n n ax bx c dx ex ax bx c dx ex ax bx c dx ex ⎧++=+⎪++=+⎪⎨⎪⎪++=+
⎩，其中,,,,a b c d e R ∈,a d ≠，
()2()4b e a d c ∆=---，试证：在此方程组在实数范围内：
(1)当0∆<时，无解；
(2)当0∆=时，有唯一解；
(3)当0∆>时，有多于一组解.
例11．求出所有四元数组()1234,,,x x x x 满足方程组：123423
41412331242
2
22
x x x x x x x x x x x x x x x x +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩.
例13．已知12,,n a a a 都是正数，对实数12,,n b b b 和12,,n c c c
总满足：2
(1,2,)i i i a c b i n >=，
求证：()()()2121212n n n a a a c c c b b b ++++≥++.
5．一元三次函数相关问题
例14．32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，
(1)(1),(0),(1),(2)f f f f -都是整数，求证：当x 是整数时，()f x 也是整数.
(2) 当01x ≤≤时，2321ax bx c ++≤，求a 的最大值.
(3)当(1)1,(2)2,(3)3f f f ===，求(0)(4)f f +的值.
(4)若存在M ，使的对于任意的[]1,1x ∈-，都有()1f x ≤ ，则a b c d M
+++≤，求M
的最小值.
例15
2+
.
例16．在复数范围内解方程组222555333x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩
．
例17．已知实数123,,a a a ，123,,b b b 满足：
①{}{}123123min
,,min ,,a a a b b b ≤，
② 123123a a a b b b ++=++ ③ 12
3231123213a a a a a a b b b b b b ⋅+⋅+=⋅+⋅+⋅ 证明：{}{}123123max
,,max ,,a a a b b b ≤.
三、习题演练 1．已知对任意的[]1,1t ∈-都有2(21)1at b t +-≥-恒成立，求max ()a b +.
2．设二次函数2()1()f x x mx m Z =++∈且关于x 的二次方程()2f x =在区间13,2⎛
⎫-- ⎪⎝⎭
内有两个不相等的实数根.
（1）求()f x 的解析式；
（2）若[]1,(1)x t t ∈>时，总有(4)4f x x -≤成立，求t 的最大值.
3．已知二次函数2()f x ax bx c =++且()f x x =没有实数根，那么(())f f x x =是否有实数根？证明你的结论.
4．已知函数213(0)24ax x a -->，若任何长度为2的区间上总存在两点12,x x ，使得121()()4
f x f x -≥，求a 的最小值
5．2+
.
6．设实系数一元二次方程2220x ax b ++-=有两个相异的实根，且其中一根在(0,1)内，另外一根在(1,2)
内，求41
b a --的取值范围
7．函数432()f x x ax bx cx d =++++，若(1)1,(2)2,(3)3f f f ===，那么(0)(4)
f f +的值是多少？
8．函数
21y x mx =+-的零点都是函数3y x px q =++的零点，则,,p q m 满足什么条件？
9．当310a a --=时，a +为1的多项式.
10．以有理数a,b,c 为根的三次多项式
32()f x x ax bx c =+++有多少个？
11．整系数三次多项式
32()f x x ax bx c =+++满足()()()(,,)f p f q f r p q r Z ==∈， 求证：
p q r ==.。
