二次函数专题讲解

《二次函数》全章复习与巩固—知识讲解（基础）【知识网络】【要点梳理】要点一、二次函数的定义一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.要点诠释：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.要点二、二次函数的图象与性质1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；②；③；④，其中；⑤.（以上式子a≠0）当(轴) (轴)(，)2. 抛物线的三要素： 开口方向、对称轴、顶点.(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同. (2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.3.抛物线20()y ax bx c a =++≠中，,,a b c 的作用： (1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线， 故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即、异号)时，对称轴在轴右侧.(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：①，抛物线经过原点； ②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.4.用待定系数法求二次函数的解析式： (1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(可以看成的图象平移后所对应的函数.)(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：（a≠0）.(由此得根与系数的关系：).要点诠释：求抛物线2y ax bx c =++（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．要点三、二次函数与一元二次方程的关系 函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根.要点诠释：二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定.(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.要点四、利用二次函数解决实际问题利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：(1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.要点诠释：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.【典型例题】类型一、求二次函数的解析式1．已知二次函数的图象经过原点及点11,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭，且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为____ ____． 【答案】 21133y x x =-+或2y x x =+． 【解析】 正确找出图象与x 轴的另一交点坐标是解题关键．由题意知另一交点为(1，0)或(-1，0)． 因此所求抛物线的解析式有两种． 设二次函数解析式为2y ax bx c =++．则有0,1114420c a b c a b c =⎧⎪⎪-=-+⎨⎪++=⎪⎩，或0,111,4420,c a b c a b c =⎧⎪⎪-=-+⎨⎪-+=⎪⎩ 解之13130a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，或1,1,0.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩因此所求二次函数解析式为21133y x x =-+或2y x x =+．举一反三：【变式】已知：抛物线y=x 2+bx+c 的对称轴为x=1，交x 轴于点A 、B(A 在B 的左侧)，且AB=4，交y 轴于点C.求此抛物线的函数解析式及其顶点M 的坐标. 【答案】∵对称轴x=1，且AB=4∴抛物线与x 轴的交点为：A(-1，0)，B(3，0)bb=-212c=-31b c 0⎧-=⎧⎪∴∴⎨⎨⎩⎪-+=⎩∴y=x 2-2x-3为所求,∵x=1时y=-4 ∴M(1，-4) ∵对称轴x=1，且AB=4∴抛物线与x 轴的交点为：A(-1，0)，B(3，0)bb=-212c=-31b c 0⎧-=⎧⎪∴∴⎨⎨⎩⎪-+=⎩∴y=x 2-2x-3为所求,∵x=1时y=-4 ， ∴M(1，-4).类型二、根据二次函数图象及性质判断代数式的符号2．如图是二次函数y=ax 2+bx+c=0（a ≠0）图象的一部分，对称轴是直线x=﹣2．关于下列结论：①ab ＜0；②b 2﹣4ac ＞0；③9a ﹣3b+c ＜0；④b ﹣4a=0；⑤方程ax 2+bx=0的两个根为x 1=0，x 2=﹣4，其中正确的结论有（ ）A ．①③④B ． ②④⑤C ． ①②⑤D ．②③⑤【答案】B ；【解析】解：∵抛物线开口向下， ∴a ＜0， ∵﹣=﹣2，∴b=4a ，ab ＞0，∴①错误，④正确，∵抛物线与x 轴交于﹣4，0处两点，∴b 2﹣4ac ＞0，方程ax 2+bx=0的两个根为x 1=0，x 2=﹣4， ∴②⑤正确，∵当a=﹣3时y ＞0，即9a ﹣3b+c ＞0， ∴③错误，故正确的有②④⑤． 故选：B ．【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式以及特殊值的熟练运用.类型三、数形结合3．如图所示是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，其对称轴为直线x ＝1，若其与x 轴一交点为(3，0)，则由图象可知，不等式20ax bx c ++>的解集是________．【思路点拨】根据抛物线的对称性和抛物线与x 轴的交点A 的坐标可知，抛物线与x 轴的另一个交点的坐标，观察图象可得不等式20ax bx c ++>的解集.【答案】x ＞3或x ＜-1；【解析】根据抛物线的对称性和抛物线与x 轴的交点A(3，0)知，抛物线与x 轴的另一个交点为(-1，0)，观察图象可知，不等式20ax bx c ++>的解集就是2y ax bx c =++函数值，y ＞0时，x 的取值范围．当x ＞3或x ＜-1时，y ＞0，因此不等式20ax bx c ++>的解集为x ＞3或x ＜-1．【点评】弄清20ax bx c ++>与2y ax bx c =++的关系，利用数形结合在图象上找出不等式20ax bx c ++>的解集．类型四、函数与方程4．如图，坐标平面上，二次函数y=﹣x 2+4x ﹣k 的图形与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其顶点为D ，且k ＞0．若△ABC 与△ABD 的面积比为1：4，则k 值为何？（ ）A ．1B ．C ．D ．【思路点拨】求出顶点和C 的坐标，由三角形的面积关系得出关于k 的方程，解方程即可． 【答案】D ． 【解析】解：∵y=﹣x 2+4x ﹣k=﹣（x ﹣2）2+4﹣k ， ∴顶点D （2，4﹣k ），C （0，﹣k ）， ∴OC=k ，∵△ABC 的面积=AB •OC=AB •k ，△ABD 的面积=AB （4﹣k ），△ABC 与△ABD 的面积比为1：4，∴k=（4﹣k ），解得：k=．【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点、抛物线的顶点式；根据三角形的面积关系得出方程是解决问题的关键．举一反三：【变式1】无论x 为何实数，二次函数的图象永远在x 轴的下方的条件是( )A ．B ．C ．D ．【答案】二次函数的图象与x 轴无交点，则说明y=0时，方程无解，即．又图象永远在x 轴下方，则． 答案：B【变式2】对于二次函数，我们把使函数值等于0的实数x 叫做这个函数的零点，则二次函数(m 为实数)的零点的个数是( )A ．1B ．2C ．0D ．不能确定 【答案】当y=0时，，，即二次函数的零点个数是2． 故选B.类型五、分类讨论5．已知点A(1，1)在二次函数22y x ax b =-+的图象上．(1)用含a 的代数式表示b ；(2)如果该二次函数的图象与x 轴只有一个交点，求这个二次函数的图象的顶点坐标． 【思路点拨】(1)将A(1，1)代入函数解析式．(2)由△＝b 2-4ac ＝0求出a ． 【答案与解析】(1)因为点A(1，1)在二次函数22y x ax b =-+的图象上，所以1＝1-2a+b ，所以b ＝2a ． (2)根据题意，方程220x ax b -+=有两个相等的实数根，所以2244480a b a a -=-=， 解得a ＝0或a ＝2．当a ＝0时，y ＝x 2，这个二次函数的图象的顶点坐标是(0，0)． 当a ＝2时，2244(2)y x x x =-+=-，这个二次函数的图象的顶点坐标为(2，0)．所以，这个二次函数的图象的顶点坐标为(0，0)或(2，0)．【点评】二次函数2y ax b c =++(0)a ≠的图象与x 轴只有一个交点时，方程20ax bx c ++=有两个相等的实数根，所以240b ac =-=△．类型六、二次函数与实际问题6．进价为每件40元的某商品，售价为每件50元时，每星期可卖出500件，市场调查反映：如果每件的售价每降价1元，每星期可多卖出100件，但售价不能低于每件42元，且每星期至少要销售800件．设每件降价x 元 （x 为正整数），每星期的利润为y 元． （1）求y 与x 的函数关系式并写出自变量x 的取值范围；（2）若某星期的利润为5600元，此利润是否是该星期的最大利润？说明理由． （3）直接写出售价为多少时，每星期的利润不低于5000元？ 【思路点拨】（1）根据利润y=每件利润×销售量，每件利润=50﹣40﹣x ，销售量=500+100x ，而售价50﹣x≥42，销售量=500+100x≥800，列不等式组求x 的取值范围；（2）根据（1）的关系式配方后确定最大利润，与5600比较后即可发现是否为最大利润； （3）设当y=5000时x 有两个解，可推出0≤x≤5时，y≥5000． 【答案与解析】解：（1）依题意，得y=（50﹣40﹣x ）•（500+100x ）=﹣100x 2+500x+5000，∵，∴3≤x≤8；（2）y=﹣100x 2+500x+5000=﹣100（x ﹣）2+5625，∵x 取正整数，当x=2或3时，y=5600.∴5600元是最大利润．（3）当y=5000时，y=﹣100x 2+500x+5000=5000，解得x 1=0，x 2=5，故当0≤x≤5时，y≥5000，即当售价在不小于45元且不大于50元时，月利润不低于5000元．【点评】本题考查二次函数的实际应用．一般求最值问题，大多是建立二次函数关系，从而借助二次函数解决实际问题．。

二次函数中考复习专题教案一、教学目标1. 理解二次函数的定义、性质及图像；2. 掌握二次函数的求解方法，包括顶点式、标准式和一般式；3. 能够运用二次函数解决实际问题，提高数学应用能力；4. 培养学生的逻辑思维能力和团队合作精神。

二、教学内容1. 二次函数的定义与性质二次函数的定义：函数f(x) = ax^2 + bx + c（a≠0）；二次函数的图像：开口方向、顶点、对称轴、单调区间。

2. 二次函数的图像与性质图像特点：开口方向、顶点、对称轴；性质：单调性、最值。

3. 二次函数的求解方法顶点式：f(x) = a(x h)^2 + k；标准式：f(x) = ax^2 + bx + c；一般式：ax^2 + bx + c = 0。

4. 实际问题求解应用二次函数解决几何问题；应用二次函数解决物理问题；应用二次函数解决生活中的问题。

5. 二次函数的综合应用二次函数与其他函数的结合；二次函数与方程组的结合；二次函数与不等式的结合。

三、教学过程1. 复习导入：回顾一次函数和指数函数的相关知识，为二次函数的学习打下基础；2. 知识讲解：分别讲解二次函数的定义、性质、图像与求解方法；3. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用二次函数解决实际问题；4. 课堂练习：布置练习题，巩固所学知识；四、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况；2. 练习完成情况：检查学生完成练习题的情况，巩固所学知识；3. 课后作业：布置课后作业，检查学生对知识的掌握程度；4. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，培养团队合作精神。

五、教学资源1. PPT课件：展示二次函数的相关概念、性质、图像等；2. 练习题：提供不同难度的练习题，巩固所学知识；3. 实际问题案例：提供与生活相关的实际问题，引导学生运用二次函数解决；4. 教学视频：讲解二次函数的求解方法和解题技巧。

六、教学策略1. 案例分析：通过分析具体案例，让学生了解二次函数在实际问题中的应用；2. 数形结合：利用图形展示二次函数的性质，加深学生对二次函数的理解；3. 小组讨论：鼓励学生进行小组讨论，培养团队合作精神和沟通能力；4. 分层教学：针对不同学生的学习水平，给予相应的指导和辅导；5. 激励评价：及时给予学生鼓励和评价，提高学生的学习积极性。

初中二次函数综合题专项讲解引言：二次函数综合题题目难度较大，也称压轴题。

解压轴题有三个步骤：认真审题；理解题意、探究解题思路；正确解答。

审题要全面审视题目的所有条件和答题要求，在整体上把握试题的特点、结构，以利于解题方法的选择和解题步骤的设计。

二次函数一般会出现在选择题（或填空题）、解答题的倒数几个题目中。

选择题和填空题时易时难。

解答题较难，一般有2—3小题。

第 1 小题通常是求解析式：这一小题简单，直接找出坐标或者用线段长度而确定坐标，进而用待定系数法求出解析式即可。

第2—3 小题通常是以动点为切入口，结合三角形、四边形、圆、平移、对称、解方程（组）与不等式（组）等知识呈现，知识面广，难度大；解这类题要善于运用转化、数形结合、分类讨论等数学思想，认真分析条件和结论、图形的几何特征与代数式的数量结构特征的关系，确定解题的思路和方法；同时需要心态平和，切记急躁：当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条件和在联系；既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃。

一、一中13—14 学年度上期半期考试二次函数习题212．如图，直线y kx c 与抛物线y ax2bx c 的图象都经过y 轴上的 D点，抛物线与x轴交于A、B 两点，其对称轴为直线x 1 ，且OA OD.直线y kx c与x轴交于点C（点C在点B的右侧）.则下列命题中正确命题的个数是（）.①abc 0; ② 3a b 0; ③ 1 k 0;④k a b; ⑤ ac k 0A ．1 B．2 C．3 D．416．如右图是二次函数y ax2bx c 的部分图象，由图象可知ax2bx c 0时x的取值围是_______________________________________________ ．1218．已知抛物线y x22x 的图象如左图所示，点N 为抛物线2的顶点，直线ON 上有两个动点P和Q,且满足PQ 2 2 ,在直线ON 下方的抛物线上存在点M ,使PQM 为等腰直角三角形，则点M 的坐标为_______________________________________________125．如图，在平面直角坐标系中，直线y x 2 与坐标轴分别交于 A 、B 两点，过 A 、B22两点的抛物线为y x2bx c ，点 E 为第二象限抛物线上一动点，连接AE,BE.1）求抛物线的解析式；2）当ABE 面积最大时，求点E的坐标，并求出此时ABE 的面积；3）当EAB OAB 时，求点E的坐标.二、二次函数基础2（一）概念：一般地，形如y ax2bx c（a，b，c是常数， a 0 ）的函数，叫做二次函数。

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【例 3】当 x ≥ 0时，求函数 y = −x(2 − x)的取值范围．
解：作出函数 y = −x(2 − x) = x2 − 2x 在 x ≥ 0 内的图象．
可以看出：当 x = 1时， ymin = −1，无最大值． 所以，当 x ≥ 0时，函数的取值范围是 y ≥ −1．
【例 4】当t ≤ x ≤ t +1时，求函数 y = 1 x2 − x − 5 的最小值(其中t 为常数)． 分析：由于 x 所给的范围随着t 的变化而2变化，所以2需要比较对称轴与其范围的相对位置．
ymax = 37
当 时， ；当 时， ． (2) a ≥ 0 ymax = 27 + 10a a < 0 ymax = 27 −10a
． ． 2 −2 ≤ m ≤ −1 ． ． 3 a = 2,b = −2
4． a = − 1 或 a = −1． 4
5．当t ≤ 0 时， ymax = 2 − 2t ，此时 x = 1；当t > 0 时， ymax = 2 + 2t ，此时 x = −1．
解：函数 y = 1 x2 − x − 5 的对称轴为 x = 1．画出其草图．
2
2
(1) (2)
当对称轴在所给范围左侧．即t 当对称轴在所给范围之间．即t
> 1时：
当 时， x = t
ymin
时： ≤ 1 ≤ t + 1 ⇒ 0 ≤ t ≤ 1
=
1 t2 2
−t
−
5 2
；
(3)
当当对x称=轴1时在，所给ym范in 围= 右12 ×侧1．2 −即1t−+521
； (1) y = 2x2 − 4x + 5

题，中档难度.
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基础知识 自主学习
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新高考 大一轮复习 · 数学 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如 y＝xα 的函数称为幂函数，其中 x 是自变量，α 是常数． (2)常见的五种幂函数的图象和性质比较
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B．a＜b＜c
D．c＜a＜b
在(0，＋∞)上为增函数，
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3．已知幂函数 f(x)＝(n2＋2n－2)
(n∈Z)的图象关于 y 轴对称，且在(0，＋
∞)上是减函数，则 n 的值为( )
A．－3
B．1
C．2
D．1 或 2
解析：由于 f(x)为幂函数，所以 n2＋2n－2＝1，解得 n＝1 或 n＝－3，经检验只有 n＝1 符合题意，故选 B.
a<0， 由 f(x)在[－1，＋∞)上单调递减，知3－2aa≤－1， 解得－3≤a<0.综上，a 的取值范围为[－3,0]． 答案：D
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引申探究 若函数 f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1 的单调减区间是[－1，＋∞)，则 a＝ ________. 解析：由题意知 f(x)必为二次函数且 a<0， 又3－ 2aa＝－1，∴a＝－3. 答案：－3
题型分类 深度剖析
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题型一 幂函数的图象和性质 1．若四个幂函数 y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd 在同一坐标系中的图象如图所示，
则 a，b，c，d 的大小关系是( A．d>c>b>a

一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a >向上()00，y 轴0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0． 0a < 向下()00，y 轴0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0．2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。

3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。

4. ()2y a x h k =-+的性质：a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a >向上()0c ，y 轴0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ．0a < 向下()0c ，y 轴0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ．a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a >向上()0h ，X=hx h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a < 向下()0h ，X=hx h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0．a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位y=a (x-h )2+ky=a (x-h )2y=ax 2+ky=ax 22. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较0a > 向上()h k ，X=hx h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值k ． 0a < 向下()h k ，X=hx h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值k ．从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结： 3. 常数项c⑴当0c>时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；⑵当0c=时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；⑶当0c<时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．总之，只要a b c，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于x轴对称2=---；y ax bx cy ax bx c=++关于x轴对称后，得到的解析式是2()2y a x h ky a x h k=---；=-+关于x轴对称后，得到的解析式是()22. 关于y轴对称2=-+；y ax bx cy ax bx c=++关于y轴对称后，得到的解析式是2()2y a x h k=++；=-+关于y轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k3. 关于原点对称2=-+-；y ax bx cy ax bx c=++关于原点对称后，得到的解析式是2()2=-+-；y a x h ky a x h k=-+关于原点对称后，得到的解析式是()24. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+． 5. 关于点()m n ，对称()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式． 十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离2214b acAB x x a-=-=. ② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；例1.已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是例2.如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D 例3.已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。

易错专题：求二次函数的最值或函数值的范围——类比各形式，突破给定范围求最值◆类型一 没有限定自变量的取值范围求最值1．函数y ＝－(x ＋1)2＋5的最大值为________．2．二次函数y ＝3x 2－12x ＋13，那么函数值y 的最小值是【方法12】( )A ．3B ．2C ．1D ．－13．函数y ＝x(2－3x)，当x 为何值时，函数有最大值还是最小值？并求出最值．◆类型二 限定自变量的取值范围求最值4．在二次函数y ＝x 2－2x －3中，当0≤x ≤3时，y 的最大值和最小值分别是【方法12】( )A ．0，－4B ．0，－3C ．－3，－4D ．0，05．0≤x ≤32，那么函数y ＝x 2＋x ＋1( ) A ．有最小值34，但无最大值 B ．有最小值34，有最大值1 C ．有最小值1，有最大值194D ．无最小值，也无最大值 6．二次函数y ＝－2x 2－4x ＋1，当－5≤x ≤0时，它的最大值与最小值分别是( )A ．1，－29B ．3，－29C ．3，1D ．1，－37．0≤x ≤12，那么函数y ＝－2x 2＋8x －6的最大值是________． ◆类型三 限定自变量的取值范围求函数值的范围8．从y ＝2x 2－3的图像上可以看出，当－1≤x ≤2时，y 的取值范围是( )A ．－1≤y ≤5B ．－5≤y ≤5C ．－3≤y ≤5D ．－2≤y ≤19．(贵阳中考)二次函数y ＝－x 2＋2x ＋3，当x ≥2时，y 的取值范围是( )A ．y ≥3B ．y ≤3C ．y ＞3D ．y ＜310．二次函数y ＝x 2－x ＋m(m 为常数)的图像如以以下图，当x ＝a 时，y ＜0；那么当x ＝a －1时，函数值CA ．y ＜0B ．0＜y ＜mC ．y ＞mD ．y ＝m11．二次函数y ＝2x 2－6x ＋1，当0≤x ≤5时，y 的取值范围是______________． ◆类型四 函数的最值，求自变量的取值范围或待定系数的值12．当二次函数y ＝x 2＋4x ＋9取最小值时，x 的值为( )A ．－2B ．1C ．2D ．913．二次函数y＝ax2＋4x＋a－1的最小值为2，那么a的值为()A．3 B．－1 C．4 D．4或－114．y＝－x2＋(a－3)x＋1是关于x的二次函数，当x的取值范围在1≤x≤5时，y在x ＝1时取得最大值，那么实数a的取值范围是()A．a＝9 B．a＝5 C．a≤9 D．a≤515．a≥4，当1≤x≤3时，函数y＝2x2－3ax＋4的最小值是－23，那么a＝________.16．假设二次函数y＝x2＋ax＋5的图像关于直线x＝－2对称，当m≤x≤0时，y有最大值5，最小值1，那么m的取值范围是_____________.参考答案与解析3．解：∵y ＝x (2－3x )＝－3⎝⎛⎭⎫x 2－23x ＝－3⎝⎛⎭⎫x －132＋13，∴该抛物线的顶点坐标是⎝⎛⎭⎫13，13.∵－3＜0，∴该抛物线的开口方向向下，∴当x ＝13时，该函数有最大值，最大值是13.6．B 解析：首先看自变量的取值范围－5≤x ≤0是否包含了顶点的横坐标．由于y ＝－2x 2－4x ＋1＝－2(x ＋1)2＋3，其图像的顶点坐标为(－1，3)，所以在－5≤x ≤0范围内，当x ＝－1时，y 取最大值，最大值为3；当x ＝－5时，y 取最小值，最小值为y ＝－2×(－5)2－4×(－5)＋1＝－29.应选B.7．－2.5 解析：∵y ＝－2x 2＋8x －6＝－2(x －2)2＋2，∴该抛物线的对称轴是直线x ＝2，当x ＜2，y 随x 的增大而增大．又∵0≤x ≤12，∴当x ＝12时，y 取最大值，y 最大＝－2×⎝⎛⎭⎫12－22＋2＝－2.5.8．C9．B 解析：当x ＝2时，y ＝－4＋4＋3＝3.∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∴当x ＞1时，y 随x 的增大而减小，∴当x ≥2时，y 的取值范围是y ≤3.应选B.10．C 解析：当x ＝a 时，y ＜0，那么a 的范围是x 1＜a ＜x 2，又对称轴是直线x ＝12，所以ax ＜12时，y 随x 的增大而减小，当x ＝0时函数值是m .因此当x ＝a －1＜0时，函数值y 一定大于m .11．－72≤y ≤21 解析：二次函数y ＝2x 2－6x ＋1的图像的对称轴为直线x ＝32.在0≤x ≤5范围内，当x ＝32时，y 取最小值，y 最小＝－72；当x ＝5时，y 取最大值，y 最大＝≤x ≤5时，y 的取值范围是－72≤y ≤21. 12．A13．C 解析：∵二次函数y ＝ax 2＋4x ＋a －1有最小值2，∴a ＞0，y 最小值＝4ac －b 24a＝4a 〔a －1〕－424a＝2，整理得a 2－3a －4＝0，解得a ＝－1或4.∵a ＞0，∴a ＝4.应选C. 14．D 解析：第一种情况：当二次函数的对称轴不在1≤x ≤5内时，∵在1≤x ≤5时，y 在x ＝1时取得最大值，∴对称轴一定在1≤x ≤5的左边，∴对称轴直线x ＝a －32＜1，即a ＜5；第二种情况：当对称轴在1≤x ≤5内时，∵－1<0，∴对称轴一定是在顶点处取得最大值，即对称轴为直线x ＝1，∴a －32＝1，即a ＝5.综上所述，a ≤5.应选D. 15．5 解析：抛物线的对称轴为直线x ＝3a 4.∵a ≥4，∴x ＝3a 4≥3.∵抛物线开口向上，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小，∴当1≤x ≤3时，函数取最小值－23时，xx ＝3代入y＝2x2－3ax＋4中，得18－9a＋4＝－23，解得a＝5.16．－4≤m≤－2解析：∵二次函数图像关于直线x＝－2对称，∴－a2×1＝－2，∴a ＝4，∴y＝x2＋4x＋5＝(x＋2)2y＝1时，x＝－2；当y＝5时，x＝0或－4.∵当m≤x≤0时，y有最大值5，最小值1，∴－4≤m≤－2.。

B（5,2）代入解析式得 a 1 2
6.写出范围并单独检查是否取等号.
a 1 2
当a 0时
初中数学
练习.在平面直角坐标系xOy中，已知A(2,0),B(5,2), 抛物线 y ax2 4ax 3a 2 与线段AB有公共点，结合函数图象， 求a的取值范围．
4.找到符合题意的边界状态及区域并标注；
(3) y ax2 4ax 1(a 0)
经过定点（0,1） 对称轴：直线x=2 过定点（4,1）
初中数学
热身练习
练习.解读以下含参数的二次函数解析式
4 y ax2 4ax 3a 2(a 0)
a x2 4x 3 2 对称轴方程为：直线x=2
a x 1 x 3 2 经过定点（1，-2）和（3，-2）
抛物线 y ax2 4ax 3a 2 与线段AB有公共点，结合函数图象， 求a的取值范围．
1.分析解析式，确定不变量；
对称轴为：直线x=2
经过定点（1，-2）和（3，-2）
2.画出确定的函数图象、标清点；
初中数学
练习.在平面直角坐标系xOy中，已知A(2,0),B(5,2), 抛物线 y ax2 4ax 3a 2 与线段AB有公共点，结合函数图象， 求a的取值范围．
2. 看对称轴 当a与b成倍数关系时，对称轴确定
(1) y x2 2mx m2 2
2 y mx2 6mx 9m 1(m 0)
(3) y ax2 4ax 1(a 0)
4 y ax2 4ax 3a 2(a 0)
3. 看是否过定点 如顶点（配方法），与y轴的交点 普通点：将含参数的项合并后进行因式分解，使参数的
5.算出边界状态的字母取值；
A（2,0）代入解析式得a 2

二次函数基础知识详细讲解（附例题与答案）一、什么是二次函数？【引例】一个正方体的棱长为a，它的表面积为S，于是我们可以得到函数关系式：S=6a²，这里a是自变量，S是a的函数，因为这里自变量的最高次数是2，所以我们把它称为二次函数我们可以以图表的形式把对应关系表示出来(不考虑实际意义)：我们根据列表绘制出它的图像：我们发现：二次函数的图像是一条抛物线二、二次函数的图象研究刚才我们已经知道二次函数的图像是一条抛物线，那么这条抛物线有什么特点那？二次函数的一般形式：y=ax²+bx+c（a≠0）（1）我们先来研究a与抛物线y=ax²+bx+c图像的联系我们发现：当a>0时，抛物线开口向上；当a<>观察上面的抛物线我们发现：当a>0，a越大，开口越小当a<>即|a|越大，开口越小（2）抛物线与y轴的交点对于y=ax²+bx+c，令x=0，得y=c，即抛物线与y轴的交点为(0,c)（3）抛物线与x轴的交点对于y=ax²+bx+c，令y=0，就转化成了一元二次方程ax²+bx+c=0我们知道这个方程根的个数可以用判别式△=b²-4ac来判断，①当△>0时，方程有两个不相等的实根②当△=0时，方程有两个相等的实根③当△<>而一元二次方程ax²+bx+c=0的实根个数和抛物线y=ax²+bx+c 与x轴的交点个数是相对应的①当△>0时，抛物线与x轴有两个交点所以，当给出两个交点时，我们也可以把函数关系式写成：我们也把这个关系式叫做交点式②当△=0时，抛物线与x轴有一个交点③当△<>（4）抛物线的顶点及对称性不难发现，抛物线是个轴对称图形，那么它的对称轴是什么那？我们随便找一个二次函数y=2x²-4x+1，我们对它进行配方，得到y=2(x-1)²-1我们利用列表法描点：根据图像我们发现：此函数图像的对称轴为x=1当x<>当x>1，即在对称轴右侧时，抛物线呈增强趋势；当x=1，即在对称轴上时，y=-1，而(1,-1)即为抛物线y=2(x-1)²-1的顶点下面我们对一般情况进行分析：对二次函数一般形式y=ax²+bx+c进行配方得：因此抛物线y=ax²+bx+c的对称轴：顶点坐标：所以我们也把称为顶点式（5）抛物线的增减性与最值观察图像，我们发现：①若a>0②若a<>三、二次函数图象分析常用图四、二次函数题型归纳及做题技巧类型一二次函数的概念【知识点】判断二次函数解析式的三个特征：①整式；②a≠0；③化简后x的最高次数是2 例题1 下列函数中属于二次函数的是（）A. y = 2x + 1 B. y = (x - 1)² - x²C. y = 2x²D.【提示】根据二次函数解析式三个特征例题2 已知是y关于x的二次函数，那么m的值为（）A. -2 B. 2 C. ±2 D. 0【提示】根据二次函数解析式三个特征类型二二次函数的图像和性质【知识点】二次函数y=ax²+bx+c图像性质1、根据a判断开口方向，|a|判断开口大小①a>0，开口向上；a<>②|a|越大开口越小，|a|相等，抛物线的开口大小，形状相同2、根据c判断与y轴的交点位置①c>0，交于y轴正半轴②c<>③c=0，抛物线经过原点3、根据△判断交点个数①△>0，与x轴有2个交点②△=0，与x轴有1个交点③△<>4、对称轴对称轴是直线x = -b/2a①b=0时，对称轴为y轴②b/a>0（即a、b同号），对称轴在y轴左侧③b/a<>5、根据开口方向和对称轴判断增减性①a>0，对称轴左侧递减，右侧递增②a<>6、看图象判定代数式的值或范围①判断a，b，c的符号和取值根据开口方向及大小，对称轴在y轴哪侧，与y轴交点判断②如何得到a±b+c的值或范围x取±1时可得出③如何得到2a±b的值或范围比较对称轴-b/2a与±1的大小关系得出④如何得到b²-4ac的大小根据图象与x轴的交点个数⑤如何得到a，b，c的关系式试试经过的点代入⑥碰到特殊的技巧和规律就积累下来例题3 函数y= - x² + 1的图象大致为（）【提示】根据二次函数的开口方向、对称轴和y轴的交点可得相关图象例题4 关于抛物线y = x² - 2x +1，下列说法错误的是（）A. 开口向上B. 与x轴有两个重合的交点C. 对称轴是直线x = 1D. 当x>1时，y随x的增大而减小【提示】根据二次函数的开口方向、对称轴和y轴的交点可得相关图像，或直接画出图象例题5 下列图像中，有一个可能是函数y = ax² + bx + a + b （a≠0）的图象，它是（）【提示】根据y = ax² + bx + a + b（a≠0），对a，b的正负进行分类讨论，把一定错误的排除掉即可得到正确选项例题6 已知函数y = ax² + bx +a + c，当y > 0时，-1/3 < x="">< 1/2，则函数y="cx²" -="" bx="" +="">【提示】根据a，b，c分别对图象的影响或利用根与系数的关系例题7 如图，已知二次函数y = ax² + bx + c（a≠0）的图像与x 轴交于点A（-1，0），与y轴的交点B在（0，-2）和（0，-1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x = 1.下列结论：①abc＞0 ②4a+2b+c＞0 ③4ac-b²＜8a ④1/3 < a="">< 2/3="" ="">其中含所有正确结论的选项是（）A. ①③B. ①③④C. ②④⑤D. ①③④⑤【提示】根据对称轴及图象开口方向向上可判断出a，b，c的符号，从而判断①；根据对称轴得到函数图象经过（3，0），从而判断②；根据图像经过（-1，0）可得到a，b，c之间的关系，从而判断③⑤；从图像与y轴的交点B在（0，-2）和（0，-1）之间，从而判断c的大小，进而判断④类型三利用二次函数的对称性解题【知识点】1、若抛物线上的点，纵坐标相同，它们一定关于对称轴对称如上图，经过抛物线的A、B两点的纵坐标都是2，那么它们一定关于对称轴对称2、若抛物线上A、B两点关于对称轴对称，且它们的横坐标分别为m、n，则对称轴为x=(m+n)/2例题8 二次函数y = ax² + bx +c，自变量x与函数y的对应值如表：下列说法正确的是（）A. 抛物线开口向下B. 当x＞-3时，y随x的增大而增大C. 二次函数的最小值是-2D. 抛物线的对称轴是x=-5/2【提示】注意表格中给出的y值，有三对相同的数字，而它们都是图象上点的纵坐标，抛物线上的点，纵坐标相同，它们一定关于对称轴对称，再根据二次函数的性质逐项判断例题9【提示】根据函数解析式的特点，其对称轴为x=1，图象开口向下，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，根据二次函数图象的对称性可知，关于对称轴对称，即可判断例题10 如图，抛物线y = x² - bx + c交x轴于点A（1，0），交y轴于点B，对称轴是x = 2（1）求抛物线的解析式（2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB 的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【提示】（1）根据抛物线经过点A（1，0），对称轴是x=2列出方程组，求出b，c即可；（2）因为点A与点C关于x=2对称，根据轴对称的性质连接BC 与x=2交于点P，点P即为所求，求出直线BC与x=2的交点即可类型四根据条件确定二次函数的解析式【知识点】注：有顶点信息用顶点式，有交点信息用交点式，没特殊信息用一般式例题11 已知某二次函数的图象如图，则这个二次函数的解析式为（）A. y = - 3（x - 1）² + 3B. y = 3（x - 1）² + 3C. y = - 3（x + 1）² + 3D. y = 3（x + 1）² + 3【提示】有顶点信息，用顶点式例题12 已知二次函数的图象经过（-1，-5），（0，-4），（1，1），则这个二次函数的表达式为（）A. y = - 6x² + 3x + 4B. y = - 2x² + 3x - 4C. y = x² + 2x - 4D. y = 2x² + 3x - 4【提示】无特殊信息，用一般式例题13 已知二次函数图象经过（1，0），（2，0），（0，2）三点，则该函数图象的关系式是_____________________.【提示】有交点信息，用交点式类型五利用二次函数解决实际问题例题14 在一幅长60cm，宽40cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图，如果要使整个挂图的面积是y cm²，设金色纸边的宽度为x cm，那么y关于x的函数是（）A. y = (60+2x)(40+2x)B. y = (60+x)(40+x)C. y = (60+2x)(40+x)D. y = (60+x)(40+2x)【提示】挂图面积 = 长×宽 =(60+2x)(40+2x)例题15 某商店进了一批服装，每件成本50元，如果按每件60元出售，可销售800件，如果每件提价5元出售，其销量将减少100件.（1）求售价为70元时的销售量及销售利润（2）求销售利润y（元）与售价x（元）之间的函数关系，并求售价为多少元时获得最大利润；（3）如果商店销售这批服装想获利12000元，那么这批服装的定价是多少元？【提示】可参考（九年级第5讲）一元二次方程的实际应用【参考答案】例题1：C例题2：A例题3：B例题4：D例题5：C例题6：D例题7：D例题8：D例题9：D例题10：（1）解析式为：y=x²- 4x + 3（2）点P的坐标为（2，1）例题11：A例题12：D例题13：y= x² - 3x + 2例题14：A例题15：（1）销售量：600（件），销售利润：12000（元）（2）关系式：y= -20(x-75)² + 12500最大利润：12500元（3）定价为70元或80元时这批服装可获利12000元。

中考数学复习考点知识归类讲解 专题20 二次函数的图象与系数的关系问题知识对接考点一、二次函数图象与系数的关系问题 1.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.（2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 考点二、用待定系数法求二次函数解析式的步骤 （1）设:巧设二次函数的解析式;（2）代:根据已知条件,得到关于待定系数的方程(组);（3）解:解方程(组),求出待定系数的值,从而得到函数的解析式.专项训练 一、单选题1．已知抛物线2y ax bx =+，当0a <，0b >时，它的图象经过（） A ．第一，二，三象限 B ．第一，二，四象限 C ．第一，三，四象限D ．第一，二，三，四象限2．函数y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，且a ≠0）经过点（﹣1，0）、（m ，0），且1＜m＜2，当x ＜﹣1时，y 随x 增大而减小，下列结论：①abc ＞0；②a +b ＜0；③若点A （﹣3，y 1），B （3，y 2）在抛物线上，则y 1＜y 2；④方程ax 2+bx +c -2=0必有两个不相等实数根；⑤c ≤﹣1时，则b 2﹣4ac ≤4a ．其中结论正确的有（ ）个 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如图，二次函数()2y ax bx ca 0=++≠的图象与x 轴正半轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，对称轴为直线2x =，且OA OC =，则下列结论：①0abc >； ②930a b c ++<； ③1c >-；④关于x 的方程20ax bx c ++=有一个根为1a-． 其中正确的结论个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．抛物线2y ax bx c =++的对称轴为直线1x =-，图象过(1,0)点，部分图象如图所示，下列判断中：其中正确的个数是（）①0abc >；②240b ac ->；③930a b c -+=；④若点()()122.5,,0.5,y y --均在抛物线上，则12y y >；⑤520a b c -+<． A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个5．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）的图象的顶点为点D ，其图象与轴的交点A 、B 的横坐标分别为﹣1、3，与y 轴负半轴交于点C ，在下面四个结论中，其中正确的结论是（）A ．2a ﹣b ＝0B ．a ＋b ＋c ＞0C ．c ＜﹣3aD ．当ax 2＋bx ＋c ＋2＝0有实数解时，则a ≥0.56．已知点()13,P y -，()25,Q y ，()3,M m y 均在抛物线2y ax bx c =++上，其中20am b +=．若321y y y >，则m 的取值范围是（）A ．3m <-B ．1mC ．31m -<<D ．15m <<7．已知二次函数2y ax bx c =++，若0a <，0a b c -+>，则一定有（） A ．240b ac -≥B ．240b ac ->C ．240b ac -≤D ．240b ac -<8．如图，已知二次函数()20y axbx c a =++≠的图象与x 轴交于点()1,0A -，对称轴为直线1x =，下列结论：①0abc >；②930a b c ++=；③20a b -=；④2am bm a b +<+（m 是任意实数）；⑤c-a <-1，其中正确的是（ ）A ．①②⑤B ．②③C ．①②③⑤D ．②③④9．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点A （1，0）和B ，与y 轴的正半轴交于点C ．下列结论：①abc ＞0；②4a ﹣2b +c ＞0；③2a ﹣b ＞0；④3a +c ＜0，其中正确结论的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为(1，﹣4a )，点A (4，y 1)是该抛物线上一点，若点D (x 2，y 2)是抛物线上任意一点，有下列结论：①4a ﹣2b +c ＞0；②若y 2＞y 1，则x 2＞4；③若0≤x 2≤4，则0≤y 2≤5a ；④若方程a (x +1)(x ﹣3)＝﹣1有两个实数根x 1和x 2，且x 1＜x 2，则﹣1＜x 1＜x 2＜3．其中正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题11．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于点(2,0)-，()1,0x ，且112x <<，与y 轴的正半轴的交点在()0,2的下方，下列结论：①0abc >；②420a b c -+=；③0a b c -+<；④20a c +>．其中正确的有_______．（填序号）12．如图，二次函数2() 0y ax bx c a =++≠的图像过点(-1，0)，对称轴为直线x =2，下列结论：①4a +b =0；②9a +c <3b ；③8a +7b +2c >0；④若点A (-3，1y )、点B (21,2y -)、点C (37,2y )在该函数图像上，则132y y y <<：⑤若方程()()153a x x +-=-的两根为12,x x ，且12x x <，则12-15. x x <<<其中正确的结论有__________． (只填序号)13．抛物线2y ax bx c =++的图象如图所示，则a ＋b ＋c ______0．（填“＜”“＝”“＞”）14．如图是二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）图象的一部分，对称轴为12x =且经过点（2，0）．下列说法：①若（﹣3，y 1），（π，y 2）是抛物线上的两点，则y 1＜y 2；②c ＝2b ；③关于x 的一元二次方程ax 2+bx +1＝0（a ≠0）一定有两个不同的解；④()4bm am b ≥+（其中m 为实数）．其中说法正确的是_______．15．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a 、b 、c 为常数，a ≠0）的图象如图所示，下面四个结论，①abc ＜0；②a +c ＜b ；③2a +b ＝1；④a +b ≥m （am +b ），其中全部正确的是______三、解答题16．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＜0）过点C （0，2）、点A （2，0）． （1）求证：b ＝﹣2a ﹣1；（2）若平行于x 轴的直线y ＝2﹣a 与抛物线有交点，求a 的取值范围．（3）若a 为整数，n 为正整数，当n ＜x ＜n ＋2时，对应函数值有且只有9个整数，求a 、n 的值．17．在平面直角坐标系中，二次函数221y x mx =-+图像与y 轴的交点为A ，将点A 向右平移4个单位长度得到点B ． （1）直接写出点A 与点B 的坐标；（2）若函数221y x mx =-+的图像与线段AB 恰有一个公共点，求m 的取值范围． 18．在平面直角坐标系中，抛物线解析式为222422y x mx m =-+-+，直线l ：y =－x ＋1与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．（1）如图1，当抛物线经过点A 且与x 轴的两个交点都在y 轴右侧时，求抛物线的解析式．（2）在（1）的条件下，若点P 为直线l 上方的抛物线上一点，过点P 作PQ ⊥l 于Q ，求PQ 的最大值．（3）如图2，点C （－2，0），若抛物线与线段AC 只有一个公共点，求m 的取值范围．19．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22y ax ax c =-+与直线3y =-有且只有一个公共点．（1）直接写出抛物线的顶点D 的坐标，并求出c 与a 的关系式；（2）若点(),P x y 为抛物线上一点，当1t x t ≤≤+时，y 均满足233y at -≤≤-，求t 的取值范围；（3）过抛物线上动点(),M x y （其中3x ≥）作x 轴的垂线l ，设l 与直线23y ax a =-+-交于点N ，若M 、N 两点间的距离恒大于等于1，求a 的取值范围．20．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y=x 2﹣4x+2m ﹣1与x 轴交于点A ，B ．（点A 在点B 的左侧） （1）求m 的取值范围；（2）当m 取最大整数时，求点A 、点B 的坐标．21．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，且P ＝|2a ＋b |＋|3b －2c |，Q ＝|2a －b |－|3b ＋2c |，试判断P ，Q 的大小关系．22．设二次函数y ＝ax 2+bx+c （a ＞0，c ＞1），当x ＝c 时，y ＝0；当0＜x ＜c 时，y ＞0． （1）请比较ac 和1的大小，并说明理由； （2）当x ＞0时，求证：021a b cx x x++>++． 23．己知抛物线()()22113y m x m x =-+++（m 为常数）．（1）若该抛物线经过点（1，m +7），求m 的值；（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求满足条件的最大整数m ； （3）将该抛物线向下平移若干个单位长度，所得的新抛物线经过P （5-，1y ），Q （7，2y ）（其中12y y <）两点，当53x -≤≤时，点P 是该部分函数图象的最低点，求m 的取值范围．。

1 2 中考数学 专题 15 二次函数及其应用（知识点总结+例题讲解）一、二次函数的概念：1.二次函数的概念：（1）一般地，如果 y=ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a≠0)，那么 y 叫做 x 的二次函数； （2）抛物线 y=ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a≠0)叫做二次函数的一般式。

2.二次函数的解析式（ 二次函数的解析式有三种形式）： （1）一般式：y=ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a≠0) （2）顶点式：y=a(x-h)2+k(a ，h ，k 是常数，a≠0) （3）两根式(交点式)：y=a(x-x 1)(x-x 2)；①已知图像与 x 轴的交点坐标 x 1、x 2，通常选用交点式； 即对应二次方程 ax 2+bx+c=0 有实根 x 和 x 存在； ②如果没有交点，则不能这样表示。

3.用待定系数法求二次函数的解析式：（1）若已知抛物线上三点坐标，可设二次函数表达式为 y ＝ax 2＋bx ＋c ； （2）若已知抛物线上顶点坐标或对称轴方程，则可设顶点式：y ＝a(x －h)2＋k ，其中对称轴为 x ＝h ，顶点坐标为(h ，k)；（3）若已知抛物线与 x 轴的交点坐标或交点的横坐标，则可采用两根式(交点式)：y ＝a(x －x 1)(x －x 2)，其中与 x 轴的交点坐标为(x 1，0)，(x 2，0)。

【例题 1】已知二次函数的图象经过(2，10)、(0，12)和(1，9)三点，求二次函数的解析式.【答案】y=2x 2-5x+12【解析】设抛物线的解析式为 y=ax 2+bx+c ，把(2，10)、(0，12)、(1，9)分别代入求出 a ，b ，c 即可．解：设抛物线的解析式为 y=ax 2+bx+c ；⎨ ⎩ ⎧4a + 2b + c = 10 把(2，10)、(0，12)、(1，9)分别代入得⎪c = 12⎪a + b + c = 9 所以，二次函数的解析式为：y=2x 2-5x+12。

在函数y＝x2的图象上，则y1，y2，y3之间的大小
y3>y2>y1
关系为___________．
导引：因为a>1，所以0<a－1<a<a＋1, 所以这三个点
都在函数y＝x2的图象的对称轴的右侧．根据
“当x>0时，y随x的增大而增大”的性质，可得
y3>y2>y1.
（来自《点拨》）
知2－讲
总 结
当所比较的点都在抛物线的对称轴的同一侧时，
y值都随x值的增大而增大
D．当x<0时，函数y＝x2，y的值随x值的增大的变化情况与当x>0
时，函数y＝－x2，y的值随x值的增大的变化情况相同
（来自《典中点》）
知2－练
4 如图，一次函数y1＝kx＋b的图象与二次函数y2＝
x2的图象交于A(－1，1)和B(2，4)两点，则当y1<y2时，x的取
值范围是( D )
1
(1，2
), 可知, 其中有两点在第一象限, 一
点在第四象限, 排除B,
1
C；在第一象限内,
y1的对应
2
点(1, 2)在上, y3的对应点(1， )在下, 排除A.
知1－练
1 关于二次函数y＝3x2的图象，下列说法错误的是( C )
A．它是一条抛物线
B．它的开口向上，且关于y轴对称
C．它的顶点是抛物线的最高点
可直接利用函数的增减性进行大小比较．
（来自《点拨》）
知2－练
1 已知点(x1，y1)，(x2，y2)是二次函数y＝－x2的图象
上的两点，当x1<x2<0时，y1与y2的大小关系为
y1＜y2
________．

二次函数的概念—知识讲解（基础）【学习目标】1.理解函数的定义、函数值、自变量、因变量等基本概念；2.了解表示函数的三种方法——解析法、列表法和图像法；3.会根据实际问题列出函数的关系式，并写出自变量的取值范围；4.理解二次函数的概念，能够表示简单变量之间的二次函数关系.【要点梳理】要点一、函数的概念一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x，y，对于自变量x在某一范围内的每一个确定值，y 都有惟一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数.对于自变量x在可以取值范围内的一个确定的值a，函数y有惟一确定的对应值，这个对应值叫做当x=a时函数的值，简称函数值.要点诠释：对于函数的概念，应从以下几个方面去理解：（1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系；（2）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于x允许取的每一个值，y是否都有惟一确定的值与它相对应；（3）函数自变量的取值范围，应要使函数表达式有意义，在解决实际问题时，还必须考虑使实际问题有意义.要点二、函数的三种表示方法表示函数的方法，常见的有以下三种：（1）解析法：用来表示函数关系的数学式子叫做函数的表达式，（或解析式），用数学式子表示函数的方法称为解析法.（2）列表法：用一个表格表达函数关系的方法.（3）图象法：用图象表达两个变量之间的关系的方法.要点诠释：函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色.对照表如下：要点三、二次函数的概念一般地，形如y=ax2+bx+c（a, b, c是常数，a≠0）的函数叫做x的二次函数.若b=0，则y=ax2+c；若c=0，则y=ax2+bx；若b=c=0，则y=ax2.以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数的一般式.要点诠释：如果y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数，a≠0)，那么y 叫做x 的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b 、c 可分别为零，也可以同时都为零． 【典型例题】类型一、函数的相关概念1、如图所示，下列各曲线中表示y 是x 的函数的有( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【思路点拨】抓住函数定义中的关键词语“y 都有惟一确定的值”，x 与y 之间的对应，可以是“一对一”，也可以是“多对一”，不能是“一对多”. 【答案】C ；【解析】这是一道函数识别题，从函数概念出发，领悟其内涵，此题不难得到答案，④不构成函数关系． 【总结升华】在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有惟一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量，y 是x 的函数. 举一反三：【变式】下列等式中，y 是x 的函数有（ ）个.22320,1,||,||x y x y y y x x y -=-====A.1B.2C.3D.4【答案】C ；要判断是否为函数，需判断两个变量是否满足函数的定义.对于221,x y -= 当x 取2时，y与它对应，对于||x y =，当x 取2时，y 有两个值±2和它对应，所以这两个式子不满足函数定义的要求：y 都有惟一确定的值与x 对应，所以不是函数，其余三个式子满足函数的定义.2、求出下列函数中自变量x 的取值范围.（1）．52+-=x x y（2）．423xy x =- （3）．y =（4）．y =（5）．y =（6）．y =【思路点拨】自变量的范围，是使函数有意义的x 的值，大致是开平方时，被开方数是非负数，分式的分母不为零等等. 【答案与解析】解：（1）．52+-=x x y ，x 为任何实数，函数都有意义；（2）．423x y x =-，要使函数有意义，需2x －3≠0，即x ≠32；（3）．y =2x ＋3≥0，即32x ≥-；（4）．y =2x －1＞0，即12x >；（5）．y =，x 为任何实数，函数都有意义；（6）．2y x =+，要使函数有意义，需3020x x +≥⎧⎨+≠⎩，即x ≥－3且x ≠－2. 【总结升华】关于自变量的取值范围，在实际问题中，还要考虑实际情况.3、若y 与x 的关系式为2-+4+5y x x =，当x ＝2时，y 的值为（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11【思路点拨】把2x =代入关系式即可求得函数值. 【答案】B ；【解析】224259y =-+⨯+=.【总结升华】y 是x 的函数，如果当x ＝a 时y ＝b ，那么b 叫做当自变量为a 时的函数值. 类型二、函数的三种表示方法4(1)由记录表推出这5小时中水位高度y （米）随时间t•（时）变化的函数解析式，并画出函数图象．(2)据估计这种上涨的情况还会持续2小时，预测再过2小时水位高度将达到多少米？【思路点拨】观察表格发现随着时间的均匀增加，水位高度的增加量相同，可知该函数为一次函数. 【答案与解析】解：(1)由表中观察到开始水位高10米，以后每隔1小时，水位升高0.05米，•这样的规律可以表示为：y=0.05t+10（0≤t ≤5）这个函数的图象如下图所示：(2)再过2小时的水位高度，就是t=5+2=7时，y=0.05t+10的函数值，从解析式容易算出：y=0.05×7+10=10.35,从函数图象也能得出这个值数． 答：2小时后，预计水位高10.35米．【总结升华】本题综合考察了列表法、解析法和图像法，是一道不错的试题. 类型三、二次函数的概念5、当常数m≠ 时，函数y=（m 2﹣2m ﹣8）x 2+（m+2）x+2是二次函数；当常数m= 时，这个函数是一次函数．【思路点拨】根据一次函数与二次函数的定义求解.【答案与解析】解：由函数y=（m 2﹣2m ﹣8）x 2+（m+2）x+2是二次函数，得 m 2﹣2m ﹣8m≠0． 解得m≠4，m≠﹣2，由y=（m 2﹣2m ﹣8）x 2+（m+2）x+2是一次函数，得，解得m=4，故答案为：4，﹣2；4．【总结升华】本题考查了二次函数的定义，利用了二次函数的二次项的系数不能为零，一次函数一次项的系数不能为零． 举一反三：【变式1】下列函数中，是二次函数的是（ )A.22x y -= B.xx y 12-= C.22)2(x x y --= D.123+-=x x y 【答案】A 【变式2】若函数是二次函数，则m 的值是 ．【答案与解析】解：若函数是二次函数，则m 2﹣9m+20=2，再利用m ﹣6≠0， 故（m ﹣3）（m ﹣6）=0，m≠6， 解得：m=3． 故答案为：3．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．已知，则以下对m 的估算正确的（ ） A.2＜m ＜3B.3＜m ＜4C.4＜m ＜5D.5＜m ＜62．如图，AB ∥CD ，∠1=45°，∠3=80°，则∠2的度数为（ ）A.30°B.35°C.40°D.45°3．如图，AB ∥ED ，CD=BF ，若△ABC ≌△EDF ，则还需要补充的条件可以是（ ）A.AC=EFB.BC=DFC.AB=DED.∠B=∠E4．如图，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，CD 切⊙O 于点E ，分别交PA 、PB 于点C 、D ，若PA ＝6，则△PCD 的周长为（ ）A.8B.6C.12D.105．如图，□DEFG 内接于ABC ∆，已知ADE ∆、EFC ∆、DBG ∆的面积为1、3、1，那么□DEFG 的面积为（ ）A ．4B ．C ．3D ．26．如图，点G 、D 、C 在直线a 上，点E 、F 、A 、B 在直线b 上，若a b ∥，Rt GEF ∆从如图所示的位置出发，沿直线b 向右匀速运动，直到EG 与BC 重合．运动过程中GEF ∆与矩形ABCD 重合部分．．．．的面积()S 随时间()t 变化的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．7．中国科学技术馆有“圆与非圆”展品，涉及了“等宽曲线”的知识。

二次函数实际应用-重难点讲解考点1：拱桥问题利用二次函数的图象和性质解决实际问题，首先要分析问题中的自变量和因变量，以及它们之间的关系，建立一个反映题意的二次函数的表达式；其次结合二次函数的图象或性质进行求解，需特别注意自变量的取值范围要使实际问题有意义.拱形问题最重要的是建立适当的坐标系，把已知线段长度转化为点坐标，根据图形与二次函数联系起来解决问题。

考点2：最大利润问题二次函数的一般式c bx ax y ++=2(0≠a )化成顶点式a b ac a b x a y 44)2(22-++=，如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）．即当0>a 时，函数有最小值，并且当ab x 2-=，a b ac y 442-=最小值； 当0<a 时，函数有最大值，并且当ab x 2-=，a b ac y 442-=最大值． 如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，如果顶点在自变量的取值范围21x x x ≤≤内，则当a b x 2-=，ab ac y 442-=最值，如果顶点不在此范围内，则需考虑函数在自变量的取值范围内的增减性；如果在此范围内y 随x 的增大而增大，则当2x x =时，c bx ax y ++=222最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=222最小．商品定价一类利润计算公式：经常出现的数据：商品进价；商品售价；商品销售量；涨价或降价；销售量变化；其他成本。

◆ 总利润=总售价-总进价-其他成本=单位商品利润×总销售量－其他成本◆ 单位商品利润=商品定价－商品进价◆ 总售价=商品定价×总销售量；总进价=商品进价×总销售量考点3：面积最值问题实际问题中图形面积的最值问题分析思路为：（1）分析图形的成因（2）识别图形的形状（3）找出图形面积的计算方法（4）把计算中要用到的所有线段用未知数表示（5）把线段长度代入计算方法形成图形面积的函数解析式，注意自变量的取值范围（6）根据函数的性质以及自变量的取值范围求出面积的最值。