精品解析：2020年北京市交大附中九年级零模数学试题(解析版)

北京市交大附中2020-2021学年九年级下学期开学考试数学试题数学考试时间：120分钟；命题人：一、单选题1．下列各数中比2-小的数是（）A．3-B．1-C．0D．22．自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识．下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．下列几何体中，其主视图为三角形的是（）A．B．C．D．4．港珠澳大桥是世界上总体跨度最长的跨海大桥，全长55000米．其中海底隧道部分全长6700米，是世界最长的公路沉管隧道和唯一的深埋沉管隧道，也是我国第一条外海沉管隧道．将数字55000用科学记数法表示为（）A．4⨯B．35.510⨯C．35510⨯0.5510⨯D．55.510∠的大小为（）5．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，20BDC∠=︒，则AOCA．40︒B．140︒C．160︒D．170︒6．已知一次函数3y kx =+的图象经过点A ，且y 随x 的增大而减小，则点A 的坐标可以是（ ）A ．()1,2-B ．()1,2-C ．()2,3D ．()3,47．比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示．设塔顶中心点为点B ，塔身中心线AB 与垂直中心线AC 的夹角为A ∠，过点B 向垂直中心线AC 引垂线，垂足为点D ．通过测量可得AB 、BD 、AD 的长度，利用测量所得的数据计算A ∠的三角函数值，进而可求A ∠的大小．下列关系式正确的是（ ）A ．sin BD A AB =B ．cos ABA AD= C ．tan ADA BD=D ．sin ADA AB=8．如图ABC 和DEF 都是边长为2的等边三角形，它们的边,BC EF 在同一条直线l 上，点C ，E 重合，现将ABC ∆沿着直线l 向右移动，直至点B 与F 重合时停止移动．在此过程中，设点移动的距离为x ，两个三角形重叠部分的面积为y ，则y 随x 变化的函数图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题9． 函数y =x 的取值范围是_____．10．如图，正方形网格中，点A ，B ，C ，D 均在格点上，则AOB COD ∠+∠=______︒．11．分解因式：a 3－a =___________12．如图，在矩形ABCD 中，E 是边AB 的中点，连结DE 交对角线AC 于点F ．若AB ＝8，AD ＝6，则CF 的长为_____．13．如图，1∠，2∠，3∠是多边形的三个外角，边CD ，AE 的延长线交于点F ，如果123225∠+∠+∠=︒，那么DFE ∠的度数是______.14．不透明袋子中装有7个球，其中有2个红球、3个绿球和2个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是___________．15．我国古代数学著作《算学启蒙》中有这样一个学问题，其大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？ 设快马x 天可以追上慢马，根据题意，可列方程为______．16．如图，分别过第二象限内的点P 作,x y 轴的平行线，与,y x 轴分别交于点,A B 与双曲线6y x=分别交于点,C D下面四个结论：①存在无数个点P 使AOC BOD S S =△△； ②存在无数个点P 使POA POB S S =△△； ③至少存在一个点P 使10PCD S =△； ④至少存在一个点P 使ACD OAPB S S =△四边形． 所有正确结论的序号是________． 三、解答题17(02cos 4525︒-18．解不等式组：3(1)1922x x x x +>-⎧⎪⎨+>⎪⎩．19．先化简，再求值：21123369a a a a a ⎛⎫+÷⎪-+-+⎝⎭，其中2a =-． 20．下面是小东设计的“作圆的一个内接矩形，并使其对角线的夹角为60︒”的尺规作图过程.已知：O .求作：矩形ABCD ，使得矩形ABCD 内接于O ，且其对角线,AC BD 的夹角为60︒.作法：如图， ①作O 的直径AC ；②以点A 为圆心，AO 长为半径画弧，交直线AC 上方的圆弧于点B ； ③连接BO 并延长交O 于点D ；④连接,,,AB BC CD DA.所以四边形ABCD 就是所求作的矩形,根据小东设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）. （2）完成下面的证明. 证明：∵点,A C 都在O 上，∴OA OC =. 同理OB OD =.∴四边形ABCD 是平行四边形. ∵AC 是O 的直径，∴90ABC ∠=︒（ ）（填推理的依据）. ∴四边形ABCD 是矩形. ∵AB = BO =， ∴60AOB ∠=︒.∴四边形ABCD 是所求作的矩形.21．如图，在▱ABCD 中，BC ＝2AB ，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，AE ，BF 交于点O ，连接EF ，OC ．（1）求证：四边形ABEF 是菱形；（2）若BC ＝8，∠ABC ＝60°，求OC 的长．22．如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=的图象相交于(1,2)A ，(2,)B n -两点．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）直线AB 交x 轴于点C ，点P 是x 轴上的点，若ACP △的面积是4，求点P 的坐标． 23．如图，ABC 是直角三角形，90ABC ∠=︒，以AB 为直径的O 与边AC 交于点D ，过D 作O 的切线DE 交BC 于E ，连接OE ，交O 于F ．（1）求证：//OE AC ； （2）若6AB =，185AD =，求线段EF 的长． 24．已知关于x 的一元二次方程2240x x m ++=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若m 为正整数，求该方程的根．25．为了推动全社会自觉尊法学法守法用法，促进全面依法治国，某区每年都举办普法知识竞赛，该区某单位甲、乙两个部门各有员工200人，要在这两个部门中挑选一个部门代表单位参加今年的竞赛，为了解这两个部门员工对法律知识的掌握情况，进行了抽样调查，从甲、乙两个部门各随机抽取20名员工，进行了法律知识测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理，描述和分析，下面给出了部分信息．a ．甲部门成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：40≤x ＜50，50≤x ＜60，60≤x ＜70，70≤x ＜80，80≤x ＜90，90≤x ≤100）b ．乙部门成绩如下：40 52 70 70 71 73 77 78 80 81 82 82 82 82 83 83 83 86 91 94c ．甲、乙两部门成绩的平均数、方差、中位数如下：（1）写出表中m 的值；（2）可以推断出选择 部门参赛更好，理由为 ； （3）预估（2）中部门今年参赛进入复赛的人数为 ．26．已知抛物线212y x x =-+． （1）直接写出该抛物线的对称轴，以及抛物线与y 轴的交点坐标； （2）已知该抛物线经过()134,+A n y ，()221,-B n y 两点． ①若5<-n ，判断1y 与2y 的大小关系并说明理由；②若A ，B 两点在抛物线的对称轴两侧，且12y y >，直接写出n 的取值范围．27．已知C 为线段AB 中点，∠ACM ＝α．Q 为线段BC 上一动点（不与点B 重合），点P 在射线CM 上，连接PA ，PQ ，记BQ ＝kCP ． （1）若α＝60°，k ＝1，①如图1，当Q 为BC 中点时，求∠PAC 的度数； ②直接写出PA 、PQ 的数量关系；（2）如图2，当α＝45°时．探究是否存在常数k ，使得②中的结论仍成立？若存在，写出k 的值并证明；若不存在，请说明理由．28．对于平面直角坐标系xOy 上的点P 和C ，定义如下：若C 上存在两个点,A B ，使得点P 在射线BC 上，且()101804APB ACB ACB ︒∠=∠<∠<︒，则称P 为C 的依附点． （1）当O 的半径为1时①已知点( 2.5,0)D -，(0,2)E -，(1,0)F ，在点,,D E F 中，O 的依附点是______；②点T 在直线y x =上，若T 为O 的依附点，求点T 的横坐标t 的取值范围；（2）C 的圆心在x 轴上，半径为1，直线22y x =+与x 轴、y 轴分别交于点M N 、，若线段MN 上的所有点都是C 的依附点，请求出圆心C 的横坐标c x 的取值范围．北京市交大附中2020-2021学年九年级下学期开学考试数学试题参考答案一、单选题1．【答案】A【分析】先根据正数都大于0，负数都小于0，可排除C、D，再根据两个负数，绝对值大的反而小，可得比-2小的数是-3．【详解】∵|-3|=3，|-1|=1，又0＜1＜2＜3，∴-3＜-2，所以，所给出的四个数中比-2小的数是-3，故选：A【点睛】本题考查了有理数的大小比较，其方法如下：（1）负数＜0＜正数；（2）两个负数，绝对值大的反而小．2．【答案】D【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．【详解】解：A、不是轴对称图形；B、不是轴对称图形；C、不是轴对称图形；D、是轴对称图形；故选：D．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．3．【答案】D【解析】试题分析：A ．圆柱的主视图为矩形，∴A 不符合题意； B ．正方体的主视图为正方形，∴B 不符合题意； C ．球体的主视图为圆形，∴C 不符合题意； D ．圆锥的主视图为三角形，∴D 符合题意． 故选D ．考点：简单几何体的三视图． 4．【答案】A【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数． 【详解】解：数字55000用科学记数法表示为5.5×104． 故选：A ． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值． 5．【答案】B【分析】根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得到∠BOC=2∠BDC=40°，即可求出答案. 【详解】 ∵20BDC ∠=︒,∴∠BOC=2∠BDC=40°， ∴∠AOC=180°-∠BOC=140°， 故选：B. 【点睛】此题考查了圆周角定理：同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，邻补角的定义. 6．【答案】B【分析】先根据一次函数的增减性判断出k 的符号，再将各项坐标代入解析式进行逐一判断即可．【详解】∵一次函数3y kx =+的函数值y 随x 的增大而减小，∴k ﹤0，A ．当x=-1，y=2时，-k+3=2，解得k=1﹥0，此选项不符合题意；B ．当x=1，y=-2时，k+3=-2,解得k=-5﹤0，此选项符合题意；C ．当x=2，y=3时，2k+3=3，解得k=0，此选项不符合题意；D ．当x=3，y=4时，3k+3=4，解得k=13﹥0，此选项不符合题意， 故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数的性质、待定系数法，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解答的关键．7．【答案】A【分析】确定A ∠所在的直角三角形，找出直角，然后根据三角函数的定义求解；【详解】由题可知，△ABD 是直角三角形，90BDA ∠=︒， sin BD A AB ∴=，cos AD A AB=,tan BD A AD =． ∴选项B 、C 、D 都是错误的，故答案选A ．【点睛】本题主要考查了解直角三角形中三角函数的定义理解，准确理解是解题的关键．8．【答案】A【分析】根据图象可得出重叠部分三角形的边长为x,x ,由此得出面积y 是x 的二次函数,直到重合面积固定,再往右移动重叠部分的边长变为(4－x),同时可得【详解】C 点移动到F 点,重叠部分三角形的边长为x,由于是等边三角形,则高为2x ,面积为y=x·2x ·122,B 点移动到F 点,重叠部分三角形的边长为(4－x),高为42x ,面积为y=(4－x )4x ·12)24x -,由二次函数图象的性质可判断答案为A,故选A.【点睛】本题考查三角形运动面积和二次函数图像性质,关键在于通过三角形面积公式结合二次函数图形得出结论.第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题9．【答案】2x ≥【分析】根据被开方式是非负数列式求解即可.【详解】依题意，得20x -≥，解得：2x ≥，故答案为2x ≥．【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．10．【答案】45；【分析】如图，连接BE ，证出△OBE 为等腰直角三角形，得出∠EOB=45°，即可求得AOB COD ∠+∠的度数．【详解】解：如图，连接BE ，设每个小方格的边长为1，则可得222OE BE OB +=，即△OBE 为等腰直角三角形，∴∠EOB=45°，∴904545AOB COD DOA EOB ∠+∠=∠-∠=︒-︒=︒，故答案为：45．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在方格纸上求出三角形各边的长度是解题的关键．11．【答案】(1)(1)a a a -+【解析】a 3－a =a(a 2-1)= (1)(1)a a a -+12．【答案】203 【分析】根据矩形的性质可得出AB ∥CD ，进而可得出∠FAE =∠FCD ，结合∠AFE =∠CFD （对顶角相等）可得出△AFE ∽△CFD ，利用相似三角形的性质可得出CF AF =CD AE=2，利用勾股定理可求出AC 的长度，再结合CF =CF CF AF+•AC ，即可求出CF 的长． 【详解】∵四边形ABCD 为矩形，∴AB =CD ，AD =BC ，AB ∥CD ，∴∠FAE =∠FCD ．又∵∠AFE =∠CFD ，∴△AFE ∽△CFD ，∴CF AF =CD AE=2．∵AC ，∴CF =CF CF AF +•AC =221+×10=203．故答案为203．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及勾股定理，利用相似三角形的性质找出CF：AF=2是解题的关键．13．【答案】45°【分析】利用多边形的外角和为360°以及三角形内角和为180°，然后通过计算即可求解.【详解】解：∵多边形的外角和为360°，∴∠1+∠2+∠3+∠DEF+∠EDF=360°，又∵∠1+∠2+∠3=225°，∴∠DEF+∠EDF=135°，∵∠DEF+∠EDF+∠DFE=180°，∴∠DFE=180°-135°=45°．故答案是为45°.【点睛】本题考查了多边形的外角和和三角形的内角和定理．14．【答案】3 7【解析】【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目，②全部情况的总数，二者的比值就是其发生的概率的大小．【详解】解：∵不透明袋子中装有7个球，其中有2个红球、3个绿球和2个蓝球，∴从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是37．故答案为：37．【点睛】本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=mn，难度适中．15．【答案】（240-150）x=150×12 【分析】根据两马的速度之差×快马出发的时间=慢马的速度×慢马提前出发的时间，即可得出关于x 的一元一次方程．【详解】解：题中已设快马x 天可以追上慢马，则根据题意得：（240-150）x=150×12． 故答案为：（240-150）x=150×12． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用问题，找到等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．16．【答案】①②④【分析】如图，设C （m ，6m ），D （n ，6n ），则P （n ，6m），利用反比例函数k 的几何意义得到S △AOC ＝3，S △BOD ＝3，则可对①进行判断；根据三角形面积公式可对②进行判断；通过计算S 四边形OAPB 和S △ACD 得到m 与n 的关系可对对③进行判断．【详解】解：如图，设C （m ，6m ），D （n ，6n ），则P （n ，6m）， ∵S △AOC ＝1632m m ⨯⨯=，S △BOD ＝16()()32nn ⨯-⨯-=， ∴S △AOC ＝S △BOD ；所以①正确；∵S △POA ＝163()2n n m m ⨯-⨯=-，S △POB ＝163()2n n m m⨯-⨯=-， ∴S △POA ＝S △POB ；所以②正确；∵S △PCD ＝21663()()()2m n m n n m mn-⨯-⨯-=-， ∴当23()10m n mn--=时，即3m 2+4mn +3n 2＝0， ∵△=42-4×3×3=-20＜0， ∴不存在点P 使10PCD S =△；所以③错误；∵S 四边形OAPB ＝﹣n ×66n m m=-，S △ACD ＝1663()32m m m n n ⨯⨯-=-， ∴当633n m m n-=-时，即m 2﹣mn ﹣2n 2＝0， ∴m ＝2n （舍去）或m ＝﹣n ，此时P 点为无数个，所以④正确．故答案为：①②④．【点睛】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义：在反比例函数y ＝k x图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k |．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征．三、解答题171【分析】直接利用二次根式、特殊角的三角函数值、绝对值的性质以及零指数幂的性质进行化简，进而求出答案．【详解】解：原式2212=⨯+1=【点睛】本题考查了二次根式、特殊角的三角函数值、绝对值的性质以及零指数幂的性质，熟练掌握各自计算法则和性质是解题的关键．18．【答案】23x -<<．【解析】分析：分别解不等式，找出解集的公共部分即可.详解：()311922x x x x ⎧+>-⎪⎨+>⎪⎩①② 由①得，2x >-，由②得，3x <，∴不等式的解集为23x -<<．点睛：考查解一元一次不等式组，比较容易，分别解不等式，找出解集的公共部分即可.19．【答案】33a a -+，-5 【分析】把括号内通分，并把除法转化为乘法，约分化简后，再把2a =-代入计算即可．【详解】 解：原式=()()()()2336933332a a a a a a a a a ⎡⎤+--++⨯⎢⎥+-+-⎣⎦ =()()()232332a a a a a -⨯+- =33a a -+， 当2a =-时，原式=23523--=--+． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键．分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先算乘除，再算加减，有括号的先算括号里面的；最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．20．【答案】（1）见解析；（2）直径所对圆周角为直角，AO .【分析】（1）根据作法画出对应的几何图形即可；（2）先根据圆的基本性质得OA=OA ，OB=OD ，从而可以判断四边形ABCD 是平行四边形．再根据直径所对的圆周角是直角得90ABC ∠=︒，从而可得四边形ABCD 是矩形.【详解】（1）如图，四边形ABCD 为所作；（2）完成下面的证明.证明：∵点,A C 都在O 上， ∴OA OC =.同理OB OD =.∴四边形ABCD 是平行四边形.∵AC 是O 的直径，∴90ABC ∠=︒（直径所对圆周角为直角）.∴四边形ABCD 是矩形.∵AB =AO BO =，∴60AOB ∠=︒.∴四边形ABCD 是所求作的矩形.【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理和矩形的判定方法．21．【答案】（1）见解析；（2）OC =.【解析】【分析】（1）根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；（2）过点O 作OG ⊥BC 于点G ．分别在Rt △OEG ，Rt △OCG 中解直角三角形即可；【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC ∥AD ，BC ＝AD ．∵E ，F 分别是BC ，AD 的中点，∴11,22BE BC AF AD ==． ∴BE ＝AF ．∴四边形ABEF 是平行四边形．∵BC ＝2AB ，∴AB ＝BE ．∴平行四边形ABEF 是菱形．（2）过点O 作OG ⊥BC 于点G ．∵E 是BC 的中点，BC ＝8，∴BE ＝CE ＝4．∵四边形ABEF 是菱形，∠ABC ＝60°，∴∠OBE ＝30°，∠BOE ＝90°．∴OE ＝2，∠OEB ＝60°．∴GE ＝1，OG∴GC ＝5．∴OC ＝．【点睛】考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、解直角三角形、直角三角形中30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．22．【答案】（1）1y x =+，2y x=；（2）点P 的坐标为(5,0)-或(3,0)． 【分析】（1）将点A 坐标代入反比例函数解析式求出m 的值，得到反比例函数解析式，再求出点B 坐标，用待定系数法求出一次函数解析式；（2）先求出点C 坐标，ACP △的面积可以用点A 到x 轴的距离为高，CP 的长为底求解，由面积是4，高是2，即可求出底CP 的长，就得到了点P 的坐标．【详解】（1）∵反比例函数m y x=经过点(1,2)A ， ∴21m =， ∴2m =， ∴反比例函数的表达式为2y x=， 把点B 的坐标(2,)n -代入2y x =得，22n =-，解得1n =-， ∴点B 的坐标为(2,1)--，分别把点A ，点B 的坐标代入y kx b =+得221k b k b +=⎧⎨-+=-⎩， 解得11k b =⎧⎨=⎩， ∴一次函数的表达式为1y x =+；（2）把0y =代入1y x =+，解得1x =-，∴点C 的坐标为(1,0)-，∵ACP △的面积是4，点A 的纵坐标等于2， ∴1242PC ⨯=， 解得4CP =，∴点P 的坐标为(5,0)-或(3,0)．【点睛】本题考查反比例函数和一次函数综合，解题的关键是掌握函数表达式的求法和三角形面积的表示方法． 23．【答案】（1）证明见解析；（2）2EF =．【分析】（1）方法一：连接BD 交EO 于G ，利用切线长定理可得BE DE =，DEO BEO ∠=∠，可得EO BD ⊥，利用圆周角定理证明90ADB ∠=︒，从而可得结论；方法二：证明,DE CE BE == 结合,OA OB =利用三角形的中位线的性质可得结论；（2）连接DO ，证明5BEO DEO ∠=∠=∠，由3sin 55∠=，利用等角的三角函数值相等，求解,OE 从而可得答案．【详解】证明（1）方法一：连接BD 交EO 于G ，∵90ABC ∠=︒且AB 为O 直径∴BC 是O 的切线又∵DE 是O 的切线∴BE DE =，DEO BEO ∠=∠，∴EO BD ⊥∴90OGB ∠=︒∵AB 为O 直径∴90ADB ∠=︒∴//OE AC方法二：连接BD ，∵90ABC ∠=︒且AB 为O 直径∴BC 是O 的切线又∵DE 是O 的切线∴BE DE =∴12∠=∠∵AB 为O 直径∴90ADB ∠=︒∴1809090CDB ∠=︒-︒=︒∴132490∠+∠=∠+∠=︒∴34∠=∠∴CE DE =∴BE CE =又∵AO BO =∴//OE AC（2）连接DO ，∵90OGB ∠=︒∴5690∠+∠=︒∵90ABC ∠=︒∴690BEO ∠+∠=︒∴5BEO DEO ∠=∠=∠∵90ADB ∠=︒又∵6AB =，185AD = ∴3sin 55AD AB ∠== ∴3sin 5DEO DO EO ==∠ ∵132DO AB == ∴5EO =∴532EF EO OF =-=-=∴2EF =．【点睛】本题考查的是圆周角定理，圆的切线的判定与性质，平行线的判定，直角三角形的两锐角互余，三角形的中位线的性质，等腰三角形的判定，解直角三角形，掌握以上知识是解题的关键．24．【答案】（1）2m <；（2）121x ，221x 【分析】（1）由题意两个不相等的实数根根据判别式大于0进行分析计算即可求出答案；（2）由题意根据m 的范围可知m=1，代入原方程后根据一元二次方程的解法即可求出答案．【详解】解：（1）由题意，2442168m m ⨯⋅∆=-=-∵方程有两个不相等的实数根∴1680m ->∴2m <；（2）∵2m <且为正整数∴1m =∴22410x x ++=∴x = ∴1212x ，2212x ． 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及一元二次方程根的判别式． 25．【答案】（1）81.5；（2）甲，甲的平均成绩高，且方差小，成绩稳定．（3）80人【分析】（1）根据中位数的定义求解可得；（2）依据平均数和方差的意义求解可得；（3）利用样本估计总体思想求解可得．【详解】 解：（1）将乙组成绩的中位数m ＝81822+＝81.5； （2）可以推断出选择甲部门参赛更好，理由为甲的平均成绩高，且方差小，成绩稳定；故答案为甲，甲的平均成绩高，且方差小，成绩稳定．（3）预估（2）中部门今年参赛进入复赛的人数为200×7120+＝80（人）， 故答案为80人．【点睛】本题主要考查频数分布直方图，解题的关键是掌握中位数、平均数、方差的定义及样本估计总体思想的运用． 26．【答案】（1）1x =，()0,0；（2）①12y y <，理由见解析；②115-<<-n【分析】（1）直接根据对称轴方程和令x=0求解即可；（2）①根据二次函数的图象与性质求解即可；②分点A 在对称轴左侧和右侧两种情况列不等式组求解即可．【详解】解：（1）∵212y x x =-+ ∴对称轴直线x=111222b a -=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭ 当x=0时，y=0， ∴抛物线212y x x =-+与y 轴的交点坐标为()0,0． （2）()()34215-=+--=+A B x x n n n ，()()13413331-=+-=+=+A x n n n ，()()12112221-=--=-=-B x n n n ．①当5<-n 时，10-<A x ，10B x -<，0A B x x -<．A ∴，B 两点都在抛物线的对称轴1x =的左侧，且A B x x <． 抛物线212y x x =+开口向下， ∴在抛物线的对称轴1x =的左侧，y 随x 增大而增大．12y y ∴<．②若点A 在对称轴直线x=1的左侧，点B 在右侧时，3412111(34)(21)1n n n n +<⎧⎪->⎨⎪-+>--⎩， 此不等式组无解；若点A 在对称轴直线x=1的右侧，点B 在左侧时，341211(34)11(21)n n n n +>⎧⎪-<⎨⎪+->--⎩解得：115-<<-n ．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，考查了求抛物线的对称轴，考查了求抛物线与坐标轴的交点坐标，考查了探究抛物线与三角形三边的交点情况，难点是第（2）小题，关键是正确建立n 的不等式组．27．【答案】（1）①详见解析；②PA=PQ ．（2）存在k =【分析】（1）①如图1，作辅助线，构建等边三角形，证明△ADC 为等边三角形．根据等边三角形三线合一可得∠PAC ＝∠PAD ＝30°；②根据①中得结论：∠PAC ＝∠PQC ＝30°，则PA ＝PQ ；（2）存在，如图2，作辅助线，构建全等三角形，证明△PAD ≌△PQC （SAS ）．可得结论．【详解】解：（1）①如图1，在CM 上取点D ，使得CD ＝CA ，连接AD ，∵∠ACM ＝60°，∴△ADC 为等边三角形．∴∠DAC ＝60°．∵C 为AB 的中点，Q 为BC 的中点，∴AC ＝BC ＝2BQ ．∵BQ ＝CP ，∴AC ＝BC ＝CD ＝2CP ．∴AP 平分∠DAC ．∴∠PAC ＝∠PAD ＝30°．②∵△ADC 是等边三角形，∴∠ACP ＝60°，∵PC ＝CQ ，∴∠PQC ＝∠CPQ ＝30°，∴∠PAC ＝∠PQC ＝30°，∴PA ＝PQ ；（2）存在k =证明：过点P 作PC 的垂线交AC 于点D ．∵∠ACM ＝45°，∴∠PDC ＝∠PCD ＝45°．∴PC ＝PD ，∠PDA ＝∠PCQ ＝135°．∵CD =，，BQ =∴CD ＝BQ ．∵AC ＝BC ，∴AD ＝CQ ．∴△PAD ≌△PQC （SAS ）．∴PA ＝PQ ．【点睛】本题是三角形的综合题，考查三角形全等的性质和判定、等边三角形、等腰直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是作辅助线，构建等边三角形和三角形全等，难度适中，属于中考常考题型．28．【答案】（1）①D 、E ＜t ＜2或﹣2＜t ；（2）c x ＜﹣2﹣1＜c x ＜2 【分析】（1）①如图1中，根据P为⊙C的依附点，判断出当r＜OP＜3r（r为⊙C的半径）时，点P为⊙C的依附点，由此即可判断．②分两种情形：点T在第一象限或点T在第三象限分别求解即可．（2）分两种情形：点C在点M的右侧，点C在点M的左侧分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）①如图，∵∠ADB＝12∠AOB，∠APB＝14∠AOB，∴∠ADB＝2∠APB，∴∠DAP＝∠APB，∴AD＝DP，当点A和点B重合时，OP＝3r当点A与点D重合时，OP＝r，∵0°＜∠ACB＜180°，∴r＜OP＜3r根据P为⊙C的依附点，可知：当r＜OP＜3r（r为⊙C的半径）时，点P为⊙C的依附点．如图1中，∵D（﹣2.5，0），E（0，﹣2），F（1，0），∴OD＝2.5，OE＝2，OF＝1，∴1＜OD＜3，1＜OE＜3，∴点D ，E 是⊙C 的依附点，故答案为：D 、E ；②如图2，∵点T 在直线y ＝x 上，∴点T 在第一象限或第三象限，直线y ＝x 与x 轴所夹的锐角为45°，当点T 在第一象限，当OT ＝1时，作CT ⊥x 轴，易求点C ，0），当OT '＝3时，作DT '⊥x 轴，易求D（2，0），∴满足条件的点T 的横坐标t 的取值范围2＜t ＜2，当点T 在第三象限，同理可得满足条件的点T 的横坐标t 的取值范围﹣2＜t ＜﹣2，综上所述：满足条件的点T 的横坐标t 的取值范围：2＜t ＜2或﹣2＜t ＜﹣2， （3）如图3﹣1中，当点C 在点M 的左侧时，由题意M （﹣1，0），N （0，2）当CN ＝3时，OC C （，0），当CM ＝1时，此时C （﹣2，0），∴满足条件的c x 的值的范围为c x ＜﹣2．如图3﹣2中，当点C 在点M 的右侧时，当⊙C 与直线MN 相切时，由题意M （﹣1，0），N （0，2）∴MN∴sin ∠OMN ＝1'ON N M M C ==，∴C 'M∴C 'O ﹣1，∴C ′﹣1，0）， 当CM ＝3时，C （2，0），∴满足条件的c x ﹣1＜c x ＜2，综上所述，满足条件的c x 的取值范围为：c x ＜﹣2﹣1＜c x ＜2． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，解直角三角形，P 为⊙C 的依附点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，学会利用特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题．。

2020北京交大附中初三（下）零模英语单项选择从下⾯各题所给的A、B、C、D四个选项中，选择可以填⼊空⽩处的最佳选项。

1.Zhang Yining is ________ favorite table tennis player.A. IB. meC. myD. mine2.I met Lily a bookstore yesterday.A. onB. toC. inD. of3.The music was too loud, I turned it down.A. soB. becauseC. butD. or .4.—________ did you go to the park yesterday?— I went there by bus.A. WhatB. HowC. WhyD. Who5. — __________ we leave the l ibrary before 5 o’clock?—No, you needn’t. You can stay here until 5:30.A. MustB. MayC. CanD. Could6.— Who sings ______, Lily or Jane?— Jane, of course.A. wellB. betterC. bestD. the best7.Look! The kids about the parkA. runB. ranC. were runningD. are running8.Jack ______ a good rest as soon as he finishes the exam.A. hasB. hadC. is havingD. will have9. They __________ each other for more than 5 years.A. knowB. knewC will know D. have known.10.—What were you doing when your mother came back yesterday?—I________ an interesting novel.A. was readingB. was lookingC. am readingD. am looking11.The Great Wall ________ all over the world.A. knowsB. knewC. is knownD. was known12 Mr. King didn't know ________ yesterday evening.A. when does his son come homeB. when his son comes homeC. when did his son come homeD. when his son came home完形填空阅读下面的短文，掌握其题意，然后从短文后各题所给的 A、B、C、D 四个选项中，选择最佳选项。

【文库独家】一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．如图所示，用量角器度量∠AOB，可以读出∠AOB的度数为（）A．45°B．55°C．125°D．135°【答案】B．【解析】试题分析：由生活知识可知这个角小于90度，排除C、D，又OB边在50与60之间，所以，度数应为55°．故选B．考点：用量角器度量角．2．神舟十号飞船是我国“神州”系列飞船之一，每小时飞行约28000公里，将28000用科学记数法表示应为（）A．2.8×103B．28×103C．2.8×104D．0.28×105 【答案】C．【解析】试题分析：28000=1.1×104．故选C．考点：科学记数法—表示较大的数．3．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．a＞﹣2B．a＜﹣3C．a＞﹣b D．a＜﹣b【答案】D．【解析】试题分析：A．如图所示：﹣3＜a＜﹣2，故此选项错误；考点：实数与数轴．4．内角和为540°的多边形是（）【答案】C．【解析】试题分析：设它是n边形，根据题意得，（n﹣2）•180°=540°，解得n=5．故选C．考点：多边形内角与外角．5．如图是某个几何体的三视图，该几何体是（）A．圆锥B．三棱锥C．圆柱D．三棱柱【答案】D．【解析】试题分析：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱．故选D．考点：由三视图判断几何体．6．如果a+b=2，那么代数2()b aaa a b-⋅-的值是（）A．2B．﹣2C．12D．12-【答案】A．【解析】试题分析：∵a+b=2，∴原式=22a b aa a b-⋅-=()()a b a b aa a b+-⋅-=a+b=2．故选A．考点：分式的化简求值．7．甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D．考点：轴对称图形．8．在1-7月份，某种水果的每斤进价与出售价的信息如图所示，则出售该种水果每斤利润最大的月份是（）A．3月份B．4月份C．5月份D．6月份【答案】B．【解析】试题分析：各月每斤利润：3月：7.5-4.5＝3元，4月：6-2.5＝3.5元，5月：4.5-2＝2.5元，6月：3-1.5＝1.5元，所以，4月利润最大，故选B．考点：统计图，考查分析数据的能力．9．如图，直线m⊥n，在某平面直角坐标系中，x轴∥m，y轴∥n，点A的坐标为（－4，2），点B的坐标为（2，－4），则坐标原点为（）A．B．C．D．【答案】A．【解析】考点：平面直角坐标系．10．为了节约水资源，某市准备按照居民家庭年用水量实行阶梯水价，水价分档递增．计划使第一档、第二档和第三档的水价分别覆盖全市居民家庭的80%，15%和5%．为合理确定各档之间的界限，随机抽查了该市5万户居民家庭上一年的年用水量（单位：㎡），绘制了统计图，如图所示，下面有四个推断：①年用水量不超过180㎡的该市居民家庭按第一档水价交费②年用水量超过240㎡的该市居民家庭按第三档水价交费③该市居民家庭年用水量的中位数在150-180之间④该市居民家庭年用水量的平均数不超过180正确的是（）A．①③B．①④C．②③D．②④【答案】B．考点：统计图，会用统计图中的数据分析问题．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．如果分式21x 有意义，那么x的取值范围是．【答案】x≠1．【解析】试题分析：由题意，得：x﹣1≠0，解得x≠1，故答案为：x≠1．考点：分式有意义的条件．12．下图中的四边形均为矩形，根据图形，写出一个正确的等式：．【答案】m（a+b+c）=ma+mb+mc（答案不唯一）．考点：矩形的面积计算，用图形说明因式分解．13．林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下表是这种幼树在移植过程中的一组数据：估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为 ． 【答案】0.880． 【解析】试题分析：x =（0.865+0.904+0.888+0.875+0.882+0.878+0.879+0.881）÷8=0.880，∴这种幼树移植成活率的概率约为0.880．故答案为：0.880． 考点：利用频率估计概率．14．如图，小军、小珠之间的距离为2.7m ，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.3m ，1.5m ，已知小军、小珠的身高分别为1.8m ，1.5m ，则路灯的高为 m ．【答案】3． 【解析】试题分析：如图，∵CD ∥AB ∥MN ，∴△ABE ∽△CDE ，△ABF ∽△MNF ，∴CD DEAB BE =，FN MN FB AB =，即1.8 1.31.3AB BD =+，1.5 1.51.52.7AB BD =+-，解得：AB=3．故答案为：3．考点：中心投影．15．百子回归图是由1，2，3…，100无重复排列而成的正方形数表，它是一部数化的澳门简史，如：中央四位“19 99 12 20”标示澳门回归日期，最后一行中间两位“23 50”标示澳门面积，……，同时它也是十阶幻方，其每行10个数之和、每列10个数之和、每条对角线10个数之和均相等，则这个和为．【答案】505．考点：考查学生的阅读能力，应用知识解决问题的能力．16．下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．请回答：该作图的依据是．【答案】（1）到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上（A、B都在PQ的垂直平分线上）；（2）两点确定一条直线（AB垂直PQ）（其他正确依据也可以）．【解析】试题分析：由作图可知，AP＝AQ，所以，点A在线段PQ的垂直平分线上，同理，点B也在线段PQ的垂直平分线上，所以，有AB⊥PQ．考点：线段的垂直平分线定理，尺规作图．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．计算：0(3)4sin 4581π-+-+．考点：实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．18．解不等式组：253(1)742x x x x +>-⎧⎪⎨+>⎪⎩．【答案】1＜x ＜8．【解析】试题分析：根据不等式性质分别求出每一个不等式的解集，再根据口诀：大小小大中间找可得不等式组的解集．试题解析：解不等式2x+5＞3（x ﹣1），得：x ＜8，解不等式742x x +>，得：x ＞1，∴不等式组的解集为：1＜x ＜8． 考点：解一元一次不等式组．19．如图，四边形ABCD 是平行四边形，AE平分∠BAD ，交DC的延长线于点E ．求证：DA=DE ．【答案】证明见解析．考点：平行四边形的性质．20．关于x 的一元二次方程22(21)10x m x m +++-=有两个不相等的实数根． （1）求m 的取值范围；（2）写出一个满足条件的m 的值，并求此时方程的根．【答案】（1）m ＞54-；（2）m=1，10x =，23x =-．【解析】 试题分析：（1）由方程有两个不相等的实数根即可得出△＞0，代入数据即可得出关于m 的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；（2）结合（1）结论，令m=1，将m=1代入原方程，利用因式分解法解方程即可得出结论．试题解析：（1）∵关于x 的一元二次方程22(21)10x m x m +++-=有两个不相等的实数根，∴△=22(21)41(1)m m +-⨯⨯-=4m+5＞0，解得：m ＞54-．（2）m=1，此时原方程为230x x +=，即x （x+3）=0，解得：10x =，23x =-．考点：根的判别式；解一元二次方程-因式分解法；解一元一次不等式．21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，过点A （－6，0）的直线1l 与直线2l；y=2x 相交于点B （m ，4）．（1）求直线1l的表达式；（2）过动点P （n ，0）且垂于x 轴的直线与1l ，2l的交点分别为C ，D ，当点C 位于点D 上方时，写出n 的取值范围．【答案】（1）132y x =+；（2）n ＜2．【解析】考点：函数图象，一次函数，不等式．22．调查作业：了解你所住小区家庭5月份用气量情况．小天、小东和小芸三位同学住在同一小区，该小区共有300户家庭，每户家庭人数在2-5之间，这300户家庭的平均人数均为3.4．小天、小东、小芸各自对该小区家庭5月份用气量情况进行了抽样调查，将收集的数据进行了整理，绘制的统计表分别为表1、表2和表3．m）表1 抽样调查小区4户家庭5月份用气量统计表（单位：3m）表2 抽样调查小区15户家庭5月份用气量统计表（单位：3m）表3 抽样调查小区15户家庭5月份用气量统计表（单位：3根据以上材料回答问题：小天、小东和小芸三人中，哪一位同学抽样调查的数据能较好地反映出该小区家庭5月份用气量情况，并简要说明其他两位同学抽样调查地不足之处．【答案】小芸．据能较好的反映出该小区家庭5月份用气量情况．考点：抽样调查，分析数据，解决问题的能力．23．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，AD的中点，连接BM，MN，BN．（1）求证：BM=MN；（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．【答案】（1）证明见解析；（2．【解析】试题分析：（1）在△CAD中，由中位线定理得到MN∥AD，且MN=12AD，在Rt△ABC中，因为M是AC的中点，故BM=12AC，即可得到结论；（2）由∠BAD=60°且AC平分∠BAD，得到∠BAC=∠DAC=30°，由（1）知，BM=12AC=AM=MC，得到考点：三角形的中位线定理，勾股定理．24．阅读下列材料：北京市正围绕“政治中心、文化中心、国际交往中心、科技创新中心“的定位，深入实施”人文北京、科技北京、绿色北京”的发展战略．“十二五”期间，北京市文化创意产业展现了良好的发展基础和巨大的发展潜力，已经成为首都经济增长的支柱产业．2011年，北京市文化创意产业实现增加值1938.6亿元，占地区生产总值的12.1%．2012年，北京市文化创意产业继续呈现平稳发展态势，实现产业增加值2189.2亿元，占地区生产总值的12.3%，是第三产业中仅次于金融业、批发和零售业的第三大支柱产业．2013年，北京市文化产业实现增加值2406.7亿元，比上年增长9.1%．文化创意产业作为北京市支柱产业已经排到了第二位．2014年，北京市文化创意产业实现增加值2749.3亿元，占地区生产总值的13.1%，创历史新高．2015年，北京市文化创意产业发展总体平稳，实现产业增加值3072.3亿元，占地区生产总值的13.4%．（以上数据来源于北京市统计局）根据以上材料解答下列问题：（1）用折线图将2011-2015年北京市文化创意产业实现增加值表示出来，并在图中标明相应数据；（2）根据绘制的折线图中提供的信息，预估2016年北京市文化创意产业实现增加值约亿元，你的预估理由．【答案】（1）作图见解析；（2）3440（预估值在3376~3563之间都可以），近三年平均增长率作为预测2016年数据的依据．【解析】试题分析：（1）找出题中数据，画出折线图即可；（2）只要给出符合预测数据的合理的预测方法即可，如：近三年平均增长率作为预估依据．试题解析：（1）如下图：（2）3440（预估值在3376~3563之间都可以），近三年平均增长率作为预测2016年数据的依据（只要给出符合预测数据的合理的预测方法即可）考点：考查学生的阅读能力，处理数据的能力．25．如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交AC于点D，过点D 作⊙O的切线，交BA的延长线于点E．（1）求证：AC∥DE；（2）连接CD，若OA=AE=a，写出求四边形ACDE面积的思路．【答案】（1）证明见解析；（2）22a．【解析】边形ACDE是平行四边形，易知DM=，∴平行四边形ACDE面积=2．考点：切线的性质．26．已知y是x的函数，自变量x的取值范围x＞0，下表是y与x的几组对应值小腾根据学校函数的经验，利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；（2）根据画出的函数图象，写出：①x＝4对应的函数值y约为；②该函数的一条性质：．【答案】（1）作图见解析；（2）①2（2.1到1.8之间都正确）；②该函数有最大值（其他正确性质都可以）．【解析】试题分析：（1）描点即可作出函数的图象；（2）①观察图象可得出结论；②观察图象可得出结论．试题解析：（1）如下图：（2）①2（2.1到1.8之间都正确）②该函数有最大值（其他正确性质都可以）．考点：函数图象，开放式数学问题．27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线221y mx mx m=-+-（m＞0）与x轴的交点为A，B．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．①当m＝1时，求线段AB上整点的个数；②若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m的取值范围．【答案】（1）（1，-1）；（2）①3；②11 94m<≤．试题解析：（1）将抛物线表达式变为顶点式2(1)1y m x =--，则抛物线顶点坐标为（1，-1）； （2）①m=1时，抛物线表达式为22y x x =-，因此A 、B 的坐标分别为（0，0）和（2，0），则线段AB 上的整点有（0，0），（1，0），（2，0）共3个；②抛物线顶点为（1，-1），则由线段AB 之间的部分及线段AB 所围成的区域的整点的纵坐标只能为-1或者0，所以即要求AB 线段上（含AB 两点）必须有5个整点；又有抛物线表达式，令y=0，则2210mx m x m -+-=，得到A 、B 两点坐标分别为（1，0），（1，0），即5个整点是以（1，0）为中心向两侧分散，进而得到23≤<，∴1194m <≤．考点：二次函数的图象及其性质．28．在等边△ABC 中：（1）如图1，P ，Q 是BC 边上的两点，AP=AQ ，∠BAP=20°，求∠AQB 的度数； （2）点P ，Q 是BC 边上的两个动点（不与点B ，C 重合），点P 在点Q 的左侧，且AP=AQ ，点Q 关于直线AC 的对称点为M ，连接AM ，PM ． ①依题意将图2补全；②小茹通过观察、实验提出猜想：在点P，Q运动的过程中，始终有PA=PM，小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：要证明PA=PM，只需证△APM是等边三角形；想法2：在BA上取一点N，使得BN=BP，要证明PA=PM，只需证△ANP≌△PCM；想法3：将线段BP绕点B顺时针旋转60°，得到线段BK，要证PA=PM，只需证PA=CK，PM=CK…请你参考上面的想法，帮助小茹证明PA=PM（一种方法即可）．【答案】（1）40°；（2）①作图见解析；②证明见解析．【解析】试题分析：（1）根据等腰三角形的性质得到∠APQ=∠AQP，由邻补角的定义得到∠APB=∠AQC，根据三角形外角的性质即可得到结论；（2）①根据要求作出图形，如图2；∴∠BAP=∠CAQ，∵点Q关于直线AC的对称点为M，∴AQ=AM，∠QAC=∠MAC，∴∠MAC=∠BAP，∴∠BAP+∠PAC=∠MAC+∠CAP=60°，∴∠PAM=60°，∵AP=AQ，∴AP=AM，∴△APM是等边三角形，∴AP=PM．考点：三角形综合题．29．在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为（1x ，1y ），点Q 的坐标为（2x ，2y ），且12x x ≠，12y y ≠，若P ，Q 为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P ，Q 的“相关矩形”．下图为点P ，Q 的“相关矩形”的示意图． （1）已知点A 的坐标为（1，0）．①若点B 的坐标为（3，1）求点A ，B 的“相关矩形”的面积；②点C 在直线x=3上，若点A ，C 的“相关矩形”为正方形，求直线AC 的表达式；（2）⊙O ，点M 的坐标为（m ，3）．若在⊙O 上存在一点N ，使得点M ，N 的“相关矩形”为正方形，求m 的取值范围．【答案】（1）①2；②1y x =- 或 1y x =-+；（2）1≤m ≤5 或者51m -≤≤-． 【解析】 试题分析：（1）①易得S=2；②得到C 的坐标可以为（3，2）或者（3，-2），设AC 的表达式为y=kx+b ，将A 、C 分别代入AC 的表达式即可得出结论；（2）若⊙O 上存在点N ，使MN 的相关矩形为正方形，则直线MN 的斜率k=±1，即过M 点作k=±1的直线，与⊙O 相切，求出M 的坐标，即可得出结论． 试题解析：（1）①S=2×1=2；当k=1时，极限位置是直线3l 与4l（与⊙O 相切），可得3M （1，3），4M （5，3）．因此m 的取值范围为1≤m ≤5 或者51m -≤≤-．考点：一次函数，函数图象，应用数学知识解决问题的能力．。