河南省洛阳市2017_2018学年高二数学上学期期末考试试题文(含解析)

洛阳市2017—2018学年高二质量检测数学试卷（文） 第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上。

2.考试结束，将答题卡交回。

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合 A={ | ＞1} ， B ? { | 2 - 3 - 4}，则 A ∩B = A ．(1, 4) B ．(-1, 4) C ．(-1,1) ） D ．(-1, +∞)2.复数 满足 (2 + i) =2- i （i 是虚数单位） ，则 在复平面对应的点所在象限为A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3.已知等比数列 {a n } 中， a 2 =3， a 5 =81， b n =log3 a n ，数列 {b n }的前 n 项和为 Tn ，则 T 8= A ．36 B.28 C.45 D.324.以双曲线1322=-y x 的焦点为顶点，离心率为3的双曲线标准方程为 A ．116422=-y x B. 141622=-y x C. 14822=-y x D. 18422=-y x 5.已知函数b ax x a x f +-=2ln )(，函数 )(x f 在 (1, )1(f ) 处切线方程为 12+=x y ，则 ab 的值为 A ．-2 B ．2 C ．-4 ） D ．46.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出 S 值为 A ．3013 B ． 3512 C ．4019 D ．42177.已知实数 y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+42122y x y x y x ，若 y ax z +=的最大值为 16，则实数 a =A ．2B ．21 C ．-2 ） D ．21- 8.在极坐标系中与圆θρsin 4=相切的一条直线的方程为 A ．2cos =θρ B. 2sin =θρC. )3sin(4πθρ+= D. )3sin(4πθρ-=9.在△ABC 中，AC AC B A sin sin 2cos cos sin -+=是角 A ， B ， C 成等差数列的 A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件10.对于大于或等于 2 的正整数幂运算有如下分解方式：,...191715134,11973,532,...75314,5313,312333222+++=++=+=+++=++=+=根据以上规律，若,11 (5312)++++=m 3p 的分解式中的最小正整数为 21，则 m+ p = A ．9 B ．10 C ．11 D ．1211.已知点 A(0, 2) ，抛物线 C ：px y 22= ( p ＞ 0) 的焦点为 F ，射线 FA 与抛物线 C 交于点 M ，与抛物线准线相交于 N ，若||5||FM MN =，则 p 的值为 A ．21B ．1C ．2D ．3 12.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧-≥=ox xe x xe x f xx ＜,0,)(（ e 是自然对数底数） ，方程)(,01)()(2R t x tf x f ∈=++有四个实数根，则 t 的取值范围为A ． ),1(+∞+e e B ．)1,(e e ---∞ C ．)2,1(---e e D ．)1,2(ee +第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.复数 =(1 + i)(2 +i)(3 +i) ，则 = ．14.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品事先拟订的价格进行试销，得到如下数据。

**==(本文系转载自网络，如有侵犯，请联系我们立即删除)==**河南省洛阳市2018-2019学年第一学期期末考试高二数学试卷（文）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知p：x2-x-2＜0，q：log2x＜1，则p是q的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】通过求解不等式求解p，解对数不等式求解q，然后利用充要条件的判断方法判断即可．【详解】解：由题意可知p：x2-x-2＜0，即（x+1）（x-2）＜0，可得p：-1＜x＜2；q：log2x＜1，可得0＜x＜2，则p是q的必要不充分条件．故选：B．【点睛】本题考查二次不等式的解法，对数不等式的求解，充要条件的判断，基本知识的应用．2.已知变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值是（）A. B. C. 3 D. 5【答案】C【解析】【分析】画出约束条件对应的平面区域，然后通过平移得到结果。

【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由得，由图象知，当直线经过点C时，直线的截距最大，此时z最大，由，得，即，此时，故选C．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，准确作出不等式对应的区域是前提，准确解析出目标函数的几何意义是解题的关键．3.已知△ABC三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若=1，则B的大小为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将条件化简整理得，再通过余弦定理便可求得角B的大小。

【详解】解：两边同时除以得，故选B【点睛】本题考查了余弦定理的知识，解题的关键是要将题中的条件进行转化变形，变成余弦定理的形式，进而解决问题。

4.已知椭圆的两个焦点分别为,,是椭圆上一点,且,则的面积等于A. B. C. D.【答案】B【解析】由与是椭圆上一点，∴，两边平方可得，即，由于，，∴根据余弦定理可得，综上可解得，∴的面积等于，故选B.5.等差数列{a n}中，a3+a10=5，a7=1，S n是数列{a n}的前n项和，则S n的最大值为（）A. 1B. 19C. 60D. 70【答案】D【解析】【分析】利用基本量表示条件，求解出，进而求解出，得出的最大值。

3. 已知等比数列 {a n } 中， a 2 =3 ， a 5 =81 ， b n=log3 a n ，数列 {b n} 的前 n 项和为 Tn ，
则 T 8=
A． 36 B.28 C.45 D.32
4. 以双曲线 x2 y 2 1 的焦点为顶点，离心率为 3
3 的双曲线标准方程为
A． x 2 y 2 1 B. 4 16
x2 y 2 1 C. 16 4
x 2 y 2 1 D. 84
x2 y2 1 48

5. 已知函数 f (x) aln x 2ax b ，函数 f ( x) 在 (1, f (1) ) 处切
线方程为 y 2x 1，则 ab 的值为
A． -2 B ． 2 C ．-4 ） D ．4
6. 某程序框图如图所示，则该程序运行后输出
2 - 3x - 4}
，则 A∩B =
A． (1, 4) B ．(-1, 4) C ． (-1,1) ） D ． (-1, + ∞)
2. 复数 z 满足 (2 + i) z =2- i （ i 是虚数单位） ，则 z 在复平面对应的点所在象限为 A．第
一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D．第四象限
洛阳市 2017 — 2018 学年高二质量检测
数学试卷（文）
第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上。
2. 考试结束，将答题卡交回。
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。 1. 已知集合 A={x | x ＞ 1} ， B ? {x | x
如下数据。

2017-2018学年河南省洛阳市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．若函数f（x）=的定义域为R，则实数m的取值范围是（）A．（0，）B．（0，]C．[0，]D．[0，）2．下列结论正确的是（）A．当x＞0且x≠1时，lgx+≥2 B．6﹣x﹣的最大值是2C．的最小值是2 D．当x∈（0，π）时，sinx+≥43．设p：函数y=sin2x的最小正周期为，q：函数y=cosx的图象关于点（π，0）中心对称，则下列判断正确的是（）A．p为真B．q为真C．p∧q为假D．p∨q为真4．“2＜m＜6”是“方程（6﹣m）x2+（m﹣2）y2=﹣m2+8m﹣12表示椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．已知定义在R上的函数f（x）=e x+x2﹣x+sinx，则曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程是（）A．y=x+1 B．y=x+2 C．y=﹣x+1 D．y=﹣x+26．各项都是正数的等比数列{a n}中，a2，a3，a1成等差数列，则的值为（）A．B．C．﹣D．或7．已知F是双曲线﹣=1的右焦点，点P的坐标为（3，1），点A在双曲线上，则|AP|+|AF|的最小值为（）A．+4 B．﹣4 C．﹣2D．+28．设双曲线的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率等于（）A．B．2 C．D．9．若x，y满足不等式组，且z=2x+y的最大值是最小值的3倍，则a=（）A．B．0 C．D．110．已知直线y=kx+1，当k变化时，此直线被椭圆+y2=1截得的最大弦长是（）A．4 B．C．D．11．设F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线C在第一象限的交点为P，若双曲线的离心率为5，则cos∠PF1F2=（）A．B．C．D．12．若函数f（x）=x2+ax+在[，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，0]B．[0，]C．[，+∞）D．[9，+∞）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.13．若函数f（x）=x3﹣6bx+3b在（0，1）内有极小值，则实数b的取值范围是．14．在△ABC中，若a=2，b+c=7，cosB=﹣，则b=．15．已知数列{a n}满足a1=33，a n+1﹣a n=2n，则的最小值为．16．设F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点P（﹣1，0）的直线l交抛物线C 于两点A，B，点Q为线段AB的中点，若|FQ|=2，则直线l的斜率等于．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知p：2a≤x≤a2+1，q：x2﹣3（a+1）x+6a+2≤0，若p是q的充分条件，求实数a取值范围．18．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC﹣ccosA．（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．19．已知等差数列{a n}的首项a1=1，公差d＞0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b n}的第2项、第3项、第4项．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）设数列{c n}对任意n∈N*均有++…+=a n+1成立，求c1+c2+c3+…+c2015的值．20．已知抛物线E：x2=2py（p＞0），直线y=kx+2与E交于A、B两点，且•=2，其中O为原点．（1）求抛物线E的方程；（2）点C坐标为（0，﹣2），记直线CA、CB的斜率分别为k1，k2，证明：k12+k22﹣2k2为定值．21．已知函数f（x）=x2﹣ln．（1）求函数f（x）在[，e2]上的最大值和最小值；（2）证明：当x∈（1，+∞）时，函数g（x）=x3+x2的图象在y=f（x）的图象上方．22．设F1，F2分别是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F1且斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（1）求E的离心率；（2）设A，B两点都在以P（﹣2，0）为圆心的同一圆上，求E的方程．2015-2016学年河南省洛阳市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．若函数f（x）=的定义域为R，则实数m的取值范围是（）A．（0，）B．（0，]C．[0，]D．[0，）【考点】函数的定义域及其求法．【分析】问题转化为mx2+4mx+3≠0恒成立，通过讨论m的范围，结合二次函数的性质判断即可．【解答】解：若函数f（x）=的定义域为R，则mx2+4mx+3≠0恒成立，m=0时，成立，m≠0时，△=16m2﹣12m＜0，解得：0＜m＜，综上，0≤m＜，故选：D．2．下列结论正确的是（）A．当x＞0且x≠1时，lgx+≥2 B．6﹣x﹣的最大值是2C．的最小值是2 D．当x∈（0，π）时，sinx+≥4【考点】基本不等式．【分析】由基本不等式的规律，逐个选项验证可得．【解答】解：选项A，lgx可能为负值，故lgx+≥2错误；选项B，6﹣x﹣=6﹣（x+），而x+=4，或x+≤﹣2=﹣4，故6﹣（x+）≤2或6﹣（x+）≥10，故B错误；选项C，==+≥2，当且仅当=即=1时取等号，此时x2=﹣3，故等号取不到，故＞2，取不到2，故错误；选项D，当x∈（0，π）时，sinx＞0，由基本不等式可得sinx+≥2=4，故正确．故选：D3．设p：函数y=sin2x的最小正周期为，q：函数y=cosx的图象关于点（π，0）中心对称，则下列判断正确的是（）A．p为真B．q为真C．p∧q为假D．p∨q为真【考点】复合的真假．【分析】由题设条件可先判断出两个的真假，再根据复合真假的判断规则判断出选项中复合的真假即可得出正确选项．【解答】解：由于函数y=sin2x的最小正周期为π，故p是假；函数y=cosx的图象关于直线x=kπ对称，k∈Z，故q是假；结合复合的判断规则知：p∧q为假，p∨q为是假；故选：C．4．“2＜m＜6”是“方程（6﹣m）x2+（m﹣2）y2=﹣m2+8m﹣12表示椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】求出方程表示椭圆的充要条件：分母都大于0且不等；求出m的范围；利用充要条件的定义判断前者是后者的什么条件．【解答】解：（6﹣m）x2+（m﹣2）y2=﹣m2+8m﹣12=（m﹣2）（6﹣m）表示椭圆的充要条件是：，解得2＜m＜6但m≠4；当2＜m＜6推不出2＜m＜6但m≠4；2＜m＜6但m≠4成立时能推出2＜m＜6；故2＜m＜6是方程表示椭圆的必要不充分条件．故选：B．5．已知定义在R上的函数f（x）=e x+x2﹣x+sinx，则曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程是（）A．y=x+1 B．y=x+2 C．y=﹣x+1 D．y=﹣x+2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x=0时的导数，然后由直线方程的斜截式得答案．【解答】解：由f（x）=e x+x2﹣x+sinx，得f′（x）=e x+2x﹣1+cosx，∴f（0）=1，f′（0）=1，则曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程是y=x+1，故选：A．6．各项都是正数的等比数列{a n}中，a2，a3，a1成等差数列，则的值为（）A．B．C．﹣D．或【考点】等差数列的性质；等比数列的性质．【分析】由a2，a3，a1成等差数列可得a1、a2、a3的关系，结合等比数列的通项公式即可求出q，而由等比数列的性质可得=q，故本题得解．【解答】解：设{a n}的公比为q（q＞0），由a3=a2+a1，得q2﹣q﹣1=0，解得q=．∴=q=．故选B．7．已知F是双曲线﹣=1的右焦点，点P的坐标为（3，1），点A在双曲线上，则|AP|+|AF|的最小值为（）A．+4 B．﹣4 C．﹣2D．+2【考点】双曲线的简单性质．【分析】设双曲线的左焦点为F'，求出双曲线的a，b，c，运用双曲线的定义可得|AP|+|AF|=|AP|+|AF'|﹣2，考虑A在左支上运动到与P，F'共线时，取得最小值，即可得到所求值．【解答】解：由题意可得A在双曲线的左支上，双曲线﹣=1的a=，b=2，c=3，设双曲线的左焦点为F'，即有F（3，0），F'（﹣3，0），由双曲线的定义可得|AF'|﹣|AF|=2a=2，即有|AP|+|AF|=|AP|+|AF'|﹣2，当A在左支上运动到P，A，F'共线时，|AP|+|AF'|取得最小值|PF'|==，则有|AP|+|AF|的最小值为﹣2．故选：C．8．设双曲线的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率等于（）A．B．2 C．D．【考点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】先求出渐近线方程，代入抛物线方程，根据判别式等于0，找到a和b的关系，从而推断出a和c的关系，答案可得．【解答】解：由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得ax2﹣bx+a=0，因渐近线与抛物线相切，所以b2﹣4a2=0，即，故选择C．9．若x，y满足不等式组，且z=2x+y的最大值是最小值的3倍，则a=（）A．B．0 C．D．1【考点】简单线性规划的应用．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大最小值，再列方程求出a即可．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，其中A（a，2﹣a），B（a，a），当直线z=2x+y过点（1，1）时，z最大是3，当直线z=2x+y过点B时，z最小是3a，∴3=3×3a，∴a=．故选A．10．已知直线y=kx+1，当k变化时，此直线被椭圆+y2=1截得的最大弦长是（）A．4 B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】直线y=kx+1恒过定点P（0，1），且是椭圆的短轴上顶点，因而此直线被椭圆截得的弦长，即为点P与椭圆上任意一点Q的距离，设椭圆上任意一点Q（2cosθ，sinθ），利用三角函数即可得到结论．【解答】解：直线y=kx+1恒过定点P（0，1），且是椭圆的短轴上顶点，因而此直线被椭圆截得的弦长，即为点P与椭圆上任意一点Q的距离，设椭圆上任意一点Q（2cosθ，sinθ）∴|PQ|2=（2cosθ）2+（sinθ﹣1）2=﹣3sin2θ﹣2sinθ+5，∴当sinθ=﹣时，|PQ|2ma x=，∴直线被椭圆+y2=1截得的最大弦长|PQ|ma x=．故选：B．11．设F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线C在第一象限的交点为P，若双曲线的离心率为5，则cos∠PF1F2=（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设|PF1|=m，|PF2|=n，由双曲线的定义知m﹣n=2a，由△PF1F2为直角三角形，知m2+n2=4c2，由双曲线的离心率为5，c=5a，由此能求出结果．【解答】解：设|PF1|=m，|PF2|=n，则由双曲线的定义知m﹣n=2a，①∵△PF1F2为直角三角形，∴m2+n2=4c2，②∵双曲线的离心率为5，∴，即c=5a，把①和②联立方程组，解得mn=2b2=2（c2﹣a2）=48a2，解方程组，得m=8a，n=6a，∴cos∠PF1F2====．故选C．12．若函数f（x）=x2+ax+在[，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，0]B．[0，]C．[，+∞）D．[9，+∞）【考点】二次函数的性质．【分析】函数f（x）=x2+ax+在[，+∞）上是增函数，则其导函数在[，+∞）上是非负值，又因导函数为递增函数，只需最小值非负即可．【解答】解：f（x）=x2+ax+在[，+∞）上是增函数，∴f'（x）=2x+a﹣在[，+∞）上是非负值，∵f'（x）=2x+a﹣在[，+∞）上递增，∴f'（）=﹣9+a≥0，∴a≥．故选：C．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.13．若函数f（x）=x3﹣6bx+3b在（0，1）内有极小值，则实数b的取值范围是．【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】由题意知，f′（0）＜0，f′（1）＞0，解不等式组求得实数b的取值范围．【解答】解：由题意得，函数f（x）=x3﹣6bx+3b 的导数为f′（x）=3x2﹣6b 在（0，1）内有零点，且f′（0）＜0，f′（1）＞0．即﹣6b＜0，且（3﹣6b）＞0．∴0＜b＜，故答案为：．14．在△ABC中，若a=2，b+c=7，cosB=﹣，则b=4．【考点】解三角形．【分析】根据a=2，b+c=7，cosB=﹣，利用余弦定理可得，即可求得b的值．【解答】解：由题意，∵a=2，b+c=7，cosB=﹣，∴∴b=4故答案为：415．已知数列{a n}满足a1=33，a n+1﹣a n=2n，则的最小值为．【考点】数列递推式；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】由累加法求出a n=33+n2﹣n，所以，设f（n）=，由此能导出n=5或6时f（n）有最小值．借此能得到的最小值．【解答】解：a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2[1+2+…+（n﹣1）]+33=33+n2﹣n所以设f（n）=，令f′（n）=，则f（n）在上是单调递增，在上是递减的，因为n∈N+，所以当n=5或6时f（n）有最小值．又因为，，所以的最小值为16．设F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点P（﹣1，0）的直线l交抛物线C 于两点A，B，点Q为线段AB的中点，若|FQ|=2，则直线l的斜率等于不存在．【考点】直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率．【分析】由题意设直线l的方程为my=x+1，联立得到y2﹣4my+4=0，△=16m2﹣16=16（m2﹣1）＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0）．利用根与系数的关系可得y1+y2=4m，利用中点坐标公式可得=2m，x0=my0﹣1=2m2﹣1．Q（2m2﹣1，2m），由抛物线C：y2=4x得焦点F（1，0）．再利用两点间的距离公式即可得出m及k，再代入△判断是否成立即可．【解答】解：由题意设直线l的方程为my=x+1，联立得到y2﹣4my+4=0，△=16m2﹣16=16（m2﹣1）＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0）．∴y1+y2=4m，∴=2m，∴x0=my0﹣1=2m2﹣1．∴Q（2m2﹣1，2m），由抛物线C：y2=4x得焦点F（1，0）．∵|QF|=2，∴，化为m2=1，解得m=±1，不满足△＞0．故满足条件的直线l不存在．故答案为不存在．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知p：2a≤x≤a2+1，q：x2﹣3（a+1）x+6a+2≤0，若p是q的充分条件，求实数a取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】设A={x|2a≤x≤a2+1}，B={x|（x﹣2）[x﹣（3a+1）]≤0}，由于p是q 的充分条件，可得A⊆B．（1）当a≥时，此时B={x|2≤x≤3a+1}，可得．（2）当a＜时，B={x|3a+1≤x≤2}，可得．【解答】解：x2﹣3（a+1）x+6a+2≤0，化为（x﹣2）[x﹣（3a+1）]≤0，设A={x|2a≤x≤a2+1}，B={x|（x﹣2）[x﹣（3a+1）]≤0}，∵p是q的充分条件，∴A⊆B．（1）当a≥时，B={x|2≤x≤3a+1}，∴，解得1≤a≤3．（2）当a＜时，B={x|3a+1≤x≤2}，∴，解得a=﹣1．∴实数a取值范围是{a|1≤a≤3，或a=﹣1}．18．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC﹣ccosA．（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．【考点】解三角形．【分析】（1）由正弦定理有：sinAsinC﹣sinCcosA﹣sinC=0，可以求出A；（2）有三角形面积以及余弦定理，可以求出b、c．【解答】解：（1）c=asinC﹣ccosA，有正弦定理有：sinAsinC﹣sinCcosA﹣sinC=0，即sinC•（sinA﹣cosA﹣1）=0，又，sinC≠0，所以sinA﹣cosA﹣1=0，即2sin（A﹣）=1，所以A=；（2）S△AB C=bcsinA=，所以bc=4，a=2，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即4=b2+c2﹣bc，即有，解得b=c=2．19．已知等差数列{a n}的首项a1=1，公差d＞0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b n}的第2项、第3项、第4项．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）设数列{c n}对任意n∈N*均有++…+=a n+1成立，求c1+c2+c3+…+c2015的值．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）通过a1=1，进而表示出b2=a2=1+d、b3=a5=1+4d、b4=a14=1+13d，利用=b2b4计算可知d=2，从而a n=2n﹣1，进而可知等比数列{b n}的公比q=3，计算即得结论；（2）通过++…+=a n+1与++…+=a n作差，整理可知c n=2•3n﹣1，进而可知数列{c n}的通项公式，利用等比数列的求和公式计算即得结论．【解答】解：（1）依题意，b2=a2=1+d，b3=a5=1+4d，b4=a14=1+13d，∵=b2b4，∴（1+4d）2=（1+d）（1+13d），解得：d=2或d=0（舍），∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，∵等比数列{b n}的公比q====3，∴b n=3•3n﹣2=3n﹣1；（2）∵++…+=a n+1，∴当n≥2时，++…+=a n，两式相减得：=a n+1﹣a n=2，∴c n=2b n=2•3n﹣1，又∵c1=a2b1=3不满足上式，∴c n=，∴c1+c2+c3+…+c2015=3+=3﹣3+32015=32015．20．已知抛物线E：x2=2py（p＞0），直线y=kx+2与E交于A、B两点，且•=2，其中O为原点．（1）求抛物线E的方程；（2）点C坐标为（0，﹣2），记直线CA、CB的斜率分别为k1，k2，证明：k12+k22﹣2k2为定值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）将直线与抛物线联立，消去y，得到关于x的方程，得到两根之和、两根之积，设出A、B的坐标，代入到•=2中，化简表达式，再将上述两根之和两根之积代入得到p，从而求出抛物线标准方程．（2）先利用点A，B，C的坐标求出直线CA、CB的斜率，再根据抛物线方程轮化参数y1，y2，得到k和x的关系式，将上一问中的两根之和两根之积代入，化简表达式得到常数即可．【解答】（1）解：将y=kx+2代入x2=2py，得x2﹣2pkx﹣4p=0，其中△=4p2k2+16p＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2pk，x1x2=﹣4p，∴===﹣4p+4，由已知，﹣4p+4=2，解得p=，∴抛物线E的方程为x2=y．（2）证明：由（1）知x1+x2=k，x1x2=﹣2，===x1﹣x2，同理k2=x2﹣x1，∴=2（x1﹣x2）2﹣2（x1+x2）2=﹣8x1x2=16．21．已知函数f（x）=x2﹣ln．（1）求函数f（x）在[，e2]上的最大值和最小值；（2）证明：当x∈（1，+∞）时，函数g（x）=x3+x2的图象在y=f（x）的图象上方．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的最小值和最大值即可；（2）令F（x）=g（x）﹣f（x），求出函数的导数，得到函数的单调性，从而证出结论．【解答】解：（1）f′（x）=2x+，∵x≥，∴f′（x）＞0，f（x）在[，e2]上递增，∴f （x ）最小值=f （）=﹣1，f （x ）最大值=f （e 2）=e 4+2；（2）证明：令F （x ）=g （x ）﹣f （x ）=x 3﹣x 2﹣lnx ，则F ′（x ）=，令h （x ）=2x 3﹣x 2﹣1，∵x ＞1， ∴h ′（x ）=2x （3x ﹣1）＞0，h （x ）在（1，+∞）递增，h （x ）＞h （1）=0， ∴x ∈（1，+∞）时，F ′（x ）＞0， ∴F （x ）在（1，+∞）递增，F （x ）＞F （1）=＞0，即g （x ）＞f （x ），∴x ∈（1，+∞）时，函数g （x ）的图象在y=f （x ）图象的上方．22．设F 1，F 2分别是椭圆E ：+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，过F 1且斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB|，|BF 2|成等差数列．（1）求E 的离心率；（2）设A ，B 两点都在以P （﹣2，0）为圆心的同一圆上，求E 的方程．【考点】椭圆的简单性质． 【分析】（1）根据|AF 2|，|AB|，|BF 2|成等差数列，可得2|AB|=|AF 2|+|BF 2|，利用椭圆定义可得|AB|=a ．设l ：x=y ﹣c ，代入椭圆C 的方程，整理得（a 2+b 2）y 2﹣2b 2cy ﹣b 4=0（*），利用韦达定理化简可得a=b ，从而可证b=c ； （2）设AB 的中点为N （x 0，y 0），运用中点坐标公式，可得N 的坐标，根据|PA|=|PB|知PM 为AB 的中垂线，可得k PN =﹣1，从而可求b=6，进而可求椭圆E 的方程． 【解答】解：（1）∵|AF 2|，|AB|，|BF 2|成等差数列， ∴2|AB|=|AF 2|+|BF 2|，由椭圆定义可得，|AB|+|AF 2|+|BF 2|=4a ， ∴|AB|=a ，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），F 1（﹣c ，0），l ：x=y ﹣c ， 代入椭圆C 的方程，整理得（a 2+b 2）y 2﹣2b 2cy ﹣b 4=0，（*）则|AB|2=（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2=2（y1﹣y2）2=2[（y1+y2）2﹣4y1y2]=2[（）2+]=•2a2，化简得a=b，故b=c．所以椭圆的离心率e==；（2）设AB的中点为N（x0，y0），由（1）可得，x0==﹣c=c﹣c=﹣c，y0=x0+c=c，由|PA|=|PB|，可得k PN=﹣1，即=﹣1，化简为c=c﹣2，解得c=6，a=6，b=6．即有椭圆的方程为+=1．2016年7月6日。