河南省平顶山市中考数学一模试卷(含解析)

2017年河南省平顶山市中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列四个实数中，无理数是（）A．3.14 B．﹣π C．0 D．2．经统计，2016年除夕夜观看春晚直播的观众约达10.3亿人，用科学记数法表示10.3亿正确的是（）A．1.03×109B．1.03×1010C．10.3×109D．103×1083．下列几何体的主视图既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．4．下列调查中，适合普查的事件是（）A．调查华为手机的使用寿命B．调查市九年级学生的心理健康情况C．调查你班学生打网络游戏的情况D．调查中央电视台《中国舆论场》的节目收视率5．下列计算正确的是（）A．=2 B．3+=3C． +=D． +=36．下列不等式变形正确的是（）A．由a＞b，得ac＞bc B．由a＞b，得a﹣2＜b﹣2C．由﹣＞﹣1，得﹣＞﹣a D．由a＞b，得c﹣a＜c﹣b7．如图，已知直线a∥b，∠1=46°．∠2=66°，则∠3等于（）A．112°B．100°C．130°D．120°8．不改变分式的值，如果把其分子和分母中的各项的系数都化为整数，那么所得的正确结果为（）A．B．C．D．9．如图，一张长方形纸片的长AD=4，宽AB=1．点E在边AD上，点F在BC边上，将四边形 ABFE 沿直线EF翻折后，点B落在边AD的中点G处，则EG等于（）A．B．2 C．D．10．如图所示，在平面直角坐标系中A（0，0），B（2，0），△AP1B是等腰直角三角形，且∠P1=90°，把△AP1B绕点B顺时针旋转180°，得到△BP2C；把△BP2C绕点C顺时针旋转180°，得到△CP3D，依此类推，则旋转第2016次后，得到的等腰直角三角形的直角顶点P2017的坐标为（）A．（4030，1）B．（4029，﹣1）C．（4033，1）D．（4031，﹣1）二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．（﹣2）﹣2= ．12．关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为．13．袋子里放着小颖刚买的花、白两种色彩的手套各1双（除颜色外其余都相同），小颖在看不见的情况下随机摸出两只手套，它们恰好同色的概率是．14．如图，将半径为6的圆形纸片，分别沿AB、BC折叠，若弧AB和弧BC折后都经过圆心O，则阴影部分的面积是（结果保留π）15．在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的四边形，AB∥CD，CD⊥BC于C，且AB、BC、CD边长分别为2，4，3，则原直角三角形纸片的斜边长是．三、解答题（本大题共8小题，共75分）16．先化简，再求值：（x+y）2﹣2y（x+y），其中x=﹣1，y=．17．某商场对一种新售的手机进行市场问卷调查，其中一个项目是让每个人按A（不喜欢）、B（一般）、C（不比较喜欢）、D（非常喜欢）四个等级对该手机进行评价，图①和图②是该商场采集数据后，绘制的两幅不完整的统计图，请你根据以上统计图提供的信息，回答下列问题：（1）本次调查的人数为多少人？A等级的人数是多少？请在图中补全条形统计图．（2）图①中，a等于多少？D等级所占的圆心角为多少度？18．如图，在▱ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，∠AND=90°，连接CM交DN于点O．（1）求证：△ABN≌△CDM；（2）连接MN，求证四边形MNCD是菱形．19．某商场将M品牌服装每套按进价的2倍进行销售，恰逢“春节”来临，为了促销，他将售价提高了50元再标价，打出了“大酬宾，八折优惠”的牌子，结果每套服装的利润是进价的，该老板到底给顾客优惠了吗？说出你的理由．20．如图，一艘海警船在A处发现北偏东30°方向相距12海里的B处有一艘可疑货船，该艘货船以每小时10海里的速度向正东航行，海警船立即以每小时14海里的速度追赶，到C处相遇，求海警船用多长时间追上了货船？21．某单位举行“健康人生”徒步走活动，某人从起点体育村沿建设路到市生态园，再沿原路返回，设此人离开起点的路程s（千米）与走步时间t（小时）之间的函数关系如图所示，其中从起点到市生态园的平均速度是4千米/小时，用2小时，根据图象提供信息，解答下列问题．（1）求图中的a值．（2）若在距离起点5千米处有一个地点C，此人从第一次经过点C到第二次经过点C，所用时间为1.75小时．①求AB所在直线的函数解析式；②请你直接回答，此人走完全程所用的时间．22．如图，在△ABC中，以AC为直径作⊙O交BC于点D，交AB于点G，且D是BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，交AC的延长线于点F．（1）求证：直线EF是⊙O的切线；（2）CF=5，cos∠A=，求AE的长．23．如图，抛物线y=ax2+bx+1与直线y=﹣ax+c相交于坐标轴上点A（﹣3，0），C（0，1）两点．（1）直线的表达式为；抛物线的表达式为．（2）D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交直线AC于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；（3）P为抛物线上一动点，且P在第四象限内，过点P作PN垂直x轴于点N，使得以P、A、N为顶点的三角形与△ACO相似，请直接写出点P的坐标．2017年河南省平顶山市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列四个实数中，无理数是（）A．3.14 B．﹣π C．0 D．【考点】无理数．【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：A、3.14是有限小数，是有理数，故选项不符合题意；B、﹣π是无理数，选项符合题意；C、0是整数，是有理数，选项不符合题意；D、=3，是整数，是有理数，选项不符合题意．故选B．【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（2017•平顶山一模）经统计，2016年除夕夜观看春晚直播的观众约达10.3亿人，用科学记数法表示10.3亿正确的是（）A．1.03×109B．1.03×1010C．10.3×109D．103×108【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：10.3亿=1.03×109，故选A．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．下列几何体的主视图既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形；简单几何体的三视图．【分析】先判断主视图，再根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、主视图是等腰三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；B、主视图是等腰三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；C、主视图是等腰梯形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；D、主视图是矩形，是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确．故选：D．【点评】掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．4．下列调查中，适合普查的事件是（）A．调查华为手机的使用寿命B．调查市九年级学生的心理健康情况C．调查你班学生打网络游戏的情况D．调查中央电视台《中国舆论场》的节目收视率【考点】全面调查与抽样调查．【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断．【解答】解：A、调查华为手机的使用寿命适合抽样调查；B、调查市九年级学生的心理健康情况适合抽样调查；C、调查你班学生打网络游戏的情况适合普查；D、调查中央电视台《中国舆论场》的节目收视率适合抽样调查，故选：C．【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．5．下列计算正确的是（）A．=2 B．3+=3C． +=D． +=3【考点】二次根式的加减法．【分析】根据二次根式的加减法进行计算即可．【解答】解：A、=2，故A错误；B、3+不能合并，故B错误；C、+不能合并，故C错误；D、+=3+，故D正确，故选D．【点评】本题考查了二次根式的加减，掌握二次根式加减法的法则是解题的关键．6．下列不等式变形正确的是（）A．由a＞b，得ac＞bc B．由a＞b，得a﹣2＜b﹣2C．由﹣＞﹣1，得﹣＞﹣a D．由a＞b，得c﹣a＜c﹣b【考点】不等式的性质．【分析】分别利用不等式的基本性质判断得出即可．【解答】解：A、由a＞b，得ac＞bc（c＞0），故此选项错误；B、由a＞b，得a﹣2＞b﹣2，故此选项错误；C、由﹣＞﹣1，得﹣＞﹣a（a＞0），故此选项错误；D、由a＞b，得c﹣a＜c﹣b，此选项正确．故选：D．【点评】此题主要考查了不等式的基本性质，正确掌握不等式基本性质是解题关键．7．如图，已知直线a∥b，∠1=46°．∠2=66°，则∠3等于（）A．112°B．100°C．130°D．120°【考点】平行线的性质．【分析】首先过点C作CD∥a，由a∥b，即可得CD∥a∥b，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠3的度数．【解答】解：过点C作CD∥a，∵a∥b，∴CD∥a∥b，∴∠ACD=∠1=46°，∠BCD=∠2=66°，∴∠3=∠ACD+∠BCD=112°．故选A．【点评】此题考查了平行线的性质．解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．8．不改变分式的值，如果把其分子和分母中的各项的系数都化为整数，那么所得的正确结果为（）A．B．C．D．【考点】分式的基本性质．【专题】压轴题．【分析】只要将分子分母要同时扩大10倍，分式各项的系数就可都化为整数．【解答】解：不改变分式的值，如果把其分子和分母中的各项的系数都化为整数，则分子分母要同时扩大10倍，即分式=，故选B．【点评】解答此类题一定要熟练掌握分式的基本性质，无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，分式的值不变．9．如图，一张长方形纸片的长AD=4，宽AB=1．点E在边AD上，点F在BC边上，将四边形 ABFE 沿直线EF翻折后，点B落在边AD的中点G处，则EG等于（）A．B．2 C．D．【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．【分析】作GM⊥BC于M，则GM=AB=1，DG=CM，由矩形的性质得出BC=AD=4，AD∥BC，由平行线的性质得出∠GEF=∠BFE，由折叠的性质得：GF=BF，∠GFE=∠BFE，得出∠GEF=∠GFE，证出EG=FG=BF，设EG=FG=BF=x，求出CM=DG=AD=2，得出FM=BC﹣BF﹣CM=2﹣x，在Rt△GFM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：作GM⊥BC于M，如图所示：则GM=AB=1，DG=CM，∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD=4，AD∥BC，∴∠GEF=∠BFE，由折叠的性质得：GF=BF，∠GFE=∠BFE，∴∠GEF=∠GFE，∴EG=FG=BF，设EG=FG=BF=x，∵G是AD的中点，∴CM=DG=AD=2，∴FM=BC﹣BF﹣CM=2﹣x，在Rt△GFM中，由勾股定理得：FG2=FM2+GM2，即x2=（2﹣x）2+12，解得：x=，即EG=；故选：C．【点评】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、平行线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定；熟练掌握折叠的性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．10．如图所示，在平面直角坐标系中A（0，0），B（2，0），△AP1B是等腰直角三角形，且∠P1=90°，把△AP1B绕点B顺时针旋转180°，得到△BP2C；把△BP2C绕点C顺时针旋转180°，得到△CP3D，依此类推，则旋转第2016次后，得到的等腰直角三角形的直角顶点P2017的坐标为（）A．（4030，1）B．（4029，﹣1）C．（4033，1）D．（4031，﹣1）【考点】坐标与图形变化﹣旋转；规律型：点的坐标．【专题】规律型．【分析】作P1⊥x轴于H，利用等腰直角三角形的性质得P1H=AB=1，AH=BH=1，则P1的纵坐标为1，再利用旋转的性质易得P2的纵坐标为﹣1，P3的纵坐标为1，P4的纵坐标为﹣1，P5的纵坐标为1，…，于是可判断P1017的纵坐标为1，而横坐标为2017×2﹣1=4033，所以P1017（4033，1）．【解答】解：作P1⊥x轴于H，∵A（0，0），B（2，0），∴AB=2，∵△AP1B是等腰直角三角形，∴P1H=AB=1，AH=BH=1，∴P1的纵坐标为1，∵△AP1B绕点B顺时针旋转180°，得到△BP2C；把△BP2C绕点C顺时针旋转180°，得到△CP3D，∴P2的纵坐标为﹣1，P3的纵坐标为1，P4的纵坐标为﹣1，P5的纵坐标为1，…，∴P1017的纵坐标为1，横坐标为2017×2﹣1=4033，即P1017（4033，1）．故选C．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．也考查了等腰直角三角形的性质．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．（﹣2）﹣2= ．【考点】负整数指数幂．【分析】运用负整数指数幂的法则求解即可．【解答】解：（﹣2）﹣2=．故答案为：．【点评】本题主要考查了负整数指数幂，解题关键是熟记法则．12．关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为m．【考点】根的判别式．【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b2﹣4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m 的取值范围．【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，a=1，b=﹣3，c=m∴△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×m＞0，解得m＜，故答案为：m．【点评】本题考查了根的判别式，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．13．袋子里放着小颖刚买的花、白两种色彩的手套各1双（除颜色外其余都相同），小颖在看不见的情况下随机摸出两只手套，它们恰好同色的概率是．【考点】列表法与树状图法．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与它们恰好同色的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图如下：∵共有12种等可能的结果，它们恰好同色的有4种情况，∴它们恰好同色的概率是： =，故答案为：．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14．如图，将半径为6的圆形纸片，分别沿AB、BC折叠，若弧AB和弧BC折后都经过圆心O，则阴影部分的面积是12π（结果保留π）【考点】扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）．【分析】作OD⊥AB于点D，连接AO，BO，CO，求出∠OAD=30°，得到∠AOB=2∠AOD=120°，进而求得∠AOC=120°，再利用阴影部分的面积=S扇形AOC得出阴影部分的面积是⊙O面积的，即可得出结果．【解答】解：作OD⊥AB于点D，连接AO，BO，CO，如图所示：∵OD=AO∴∠OAD=30°，∴∠AOB=2∠AOD=120°，同理∠BOC=120°，∴∠AOC=120°，∴阴影部分的面积=S扇形BOC=×⊙O面积=×π×62=12π；故答案为：12π．【点评】本题主要考查了翻折变换的性质、扇形面积以及圆的面积公式等知识；解题的关键是确定∠AOC=120°．15．在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的四边形，AB∥CD，CD⊥BC于C，且AB、BC、CD边长分别为2，4，3，则原直角三角形纸片的斜边长是2或10 ．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】先根据题意画出图形，再根据勾股定理求出斜边上的中线，最后即可求出斜边的长．【解答】解：①如图：因为CD==，点D是斜边AB的中点，所以AB=2CD=2，②如图：因为CE==5，点E是斜边AB的中点，所以AB=2CE=10，综上所述，原直角三角形纸片的斜边长是2或10，故答案是：2或10．【点评】此题考查了图形的剪拼，解题的关键是能够根据题意画出图形，在解题时要注意分两种情况画图，不要漏解．三、解答题（本大题共8小题，共75分）16．先化简，再求值：（x+y）2﹣2y（x+y），其中x=﹣1，y=．【考点】整式的混合运算—化简求值．【分析】先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可；【解答】解：（x+y）2﹣2y（x+y）=x2+2xy+y2﹣2xy﹣2y2=x2﹣y2，当x=﹣1，y=时，原式=（﹣1）2﹣（）2=2+1﹣2﹣3=﹣2．【点评】本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．17．某商场对一种新售的手机进行市场问卷调查，其中一个项目是让每个人按A（不喜欢）、B（一般）、C（不比较喜欢）、D（非常喜欢）四个等级对该手机进行评价，图①和图②是该商场采集数据后，绘制的两幅不完整的统计图，请你根据以上统计图提供的信息，回答下列问题：（1）本次调查的人数为多少人？A等级的人数是多少？请在图中补全条形统计图．（2）图①中，a等于多少？D等级所占的圆心角为多少度？【考点】条形统计图；扇形统计图．【专题】计算题；数据的收集与整理．【分析】（1）由B等级的人数除以占的百分比得出调查总人数，进而求出A等级人数，补全条形统计图即可；（2）求出A等级占的百分比确定出a，由D的百分比乘以360即可得到D等级占的圆心角度数．【解答】解：（1）根据题意得：46÷23%=200（人），A等级的人数为200﹣（46+70+64）=20（人），补全条形统计图，如图所示：（2）由题意得：a%=，即a=10；D等级占的圆心角度数为32%×360°=115.2°．【点评】此题考查了条形统计图，以及扇形统计图，弄清题中的数据是解本题的关键．18．如图，在▱ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，∠AND=90°，连接CM交DN于点O．（1）求证：△ABN≌△CDM；（2）连接MN，求证四边形MNCD是菱形．【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得AB=CD，AD=BC，∠B=∠CDM，又由M、N分别是AD，BC的中点，即可利用SAS证得△ABN≌△CDM；（2）利用直角三角形形的性质结合菱形的判定方法证明即可．【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠CDM，∵M、N分别是AD，BC的中点，∴BN=DM，∵在△ABN和△CDM中，，∴△ABN≌△CDM（SAS）；（2）证明：∵M是AD的中点，∠AND=90°，∴NM=AM=MD，∵BN=NC=AM=DM，∴NC=MN=DM，∵NC DM，∴四边形CDMN是平行四边形，又∵MN=DM，∴四边形CDMN是菱形．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质、菱形的判定等知识，正确应用直角三角形的性质是解题关键．19．某商场将M品牌服装每套按进价的2倍进行销售，恰逢“春节”来临，为了促销，他将售价提高了50元再标价，打出了“大酬宾，八折优惠”的牌子，结果每套服装的利润是进价的，该老板到底给顾客优惠了吗？说出你的理由．【考点】一元一次方程的应用．【分析】设A品牌服装每套进价x元，根据利润=标价﹣进价列出一元一次方程，求出进价进而作出判断．【解答】解：该老板给顾客优惠了．设A品牌服装每套进价x元，由题意得：（2x+50）×0.8﹣x=x，解得 x=600，原来售价2×600=1200（元），提价后八折价格（2×600+50）×0.8=1000（元），该老板给顾客优惠了．【点评】本题考查了一元一次方程解实际问题的运用，解答时根据利润=标价﹣进价建立方程求出进价是关键．20．如图，一艘海警船在A处发现北偏东30°方向相距12海里的B处有一艘可疑货船，该艘货船以每小时10海里的速度向正东航行，海警船立即以每小时14海里的速度追赶，到C处相遇，求海警船用多长时间追上了货船？【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．【分析】如图，设t小时追上了货船，则BC=10t，AC=14t，在Rt△ACF中，根据勾股定理可得（6）2+（6+10t）2=（14t）2，解方程即可解决问题．【解答】解：如图，设t小时追上了货船，则BC=10t，AC=14t，由题意，∠BAF=30°，∠CAF=60°，AB=12∴∠FBA=60°，FB=6，AF=6，在Rt△ACF中，（6）2+（6+10t）2=（14t）2，解得t=2或﹣（舍弃），答：货轮从出发到客轮相逢所用的时间2小时．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角、等腰三角形的判定、路程、时间、速度之间的关系等知识，解题的关键是掌握方向角的定义，属于中考常考题型．21．某单位举行“健康人生”徒步走活动，某人从起点体育村沿建设路到市生态园，再沿原路返回，设此人离开起点的路程s（千米）与走步时间t（小时）之间的函数关系如图所示，其中从起点到市生态园的平均速度是4千米/小时，用2小时，根据图象提供信息，解答下列问题．（1）求图中的a值．（2）若在距离起点5千米处有一个地点C，此人从第一次经过点C到第二次经过点C，所用时间为1.75小时．①求AB所在直线的函数解析式；②请你直接回答，此人走完全程所用的时间．【考点】一次函数的应用．【分析】（1）根据路程=速度×时间即可求出a值；（2）①根据速度=路程÷时间求出此人返回时的速度，再根据路程=8﹣返回时的速度×时间即可得出AB所在直线的函数解析式；②令①中的函数关系式中s=0，求出t值即可．【解答】解：（1）a=4×2=8．（2）①此人返回的速度为（8﹣5）÷（1.75﹣）=3（千米/小时），AB所在直线的函数解析式为s=8﹣3（t﹣2）=﹣3t+14．②当s=﹣3t+14=0时，t=．答：此人走完全程所用的时间为小时．【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据路程=速度×时间求出a值；（2）①根据路程=8﹣返回时的速度×时间列出s与t之间的函数解析式；②令s=0求出t值．22．如图，在△ABC中，以AC为直径作⊙O交BC于点D，交AB于点G，且D是BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，交AC的延长线于点F．（1）求证：直线EF是⊙O的切线；（2）CF=5，cos∠A=，求AE的长．【考点】切线的判定；解直角三角形．【分析】（1）连结OD．先证明OD是△ABC的中位线，根据中位线的性质得到OD∥AB，再由DE⊥AB，得出OD⊥EF，根据切线的判定即可得出直线EF是⊙O的切线；（2）根据平行线的性质得到∠COD=∠A．由cos∠A=cos∠FOD==，设⊙O的半径为R，于是得到=，解得R=，根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】（1）证明：如图，连结OD．∵CD=DB，CO=OA，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AB，AB=2OD，∵DE⊥AB，∴DE⊥OD，即OD⊥EF，∴直线EF是⊙O的切线；（2）解：∵OD∥AB，∴∠COD=∠A．在Rt△DOF中，∵∠ODF=90°，∴cos∠A=cos∠FOD==，设⊙O的半径为R，则=，解得R=，∴AB=2OD=．在Rt△AEF中，∵∠AEF=90°，∴cos∠A===，∴AE=．【点评】本题考查了切线的判定，解直角三角形，三角形中位线的性质知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连结圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．23．如图，抛物线y=ax2+bx+1与直线y=﹣ax+c相交于坐标轴上点A（﹣3，0），C（0，1）两点．（1）直线的表达式为y=x+1 ；抛物线的表达式为y=﹣x2﹣x+1 ．（2）D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交直线AC于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；（3）P为抛物线上一动点，且P在第四象限内，过点P作PN垂直x轴于点N，使得以P、A、N为顶点的三角形与△ACO相似，请直接写出点P的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）把A、C坐标代入抛物线和直线解析式，可求得答案；（2）可设出D点坐标，则可表示出F点坐标，从而可表示出DF的长，利用二次函数的性质可求得DF的最大值及D点的坐标；（3）可设出P点坐标，则可表示出PN和ON的长，分△AOC∽△PNA和△AOC∽△ANP两种情况，根据相似三角形的性质可求得P点坐标．【解答】解：（1）把A、C两点坐标代入直线y=﹣ax+c可得，解得，∴直线的表达式为y=x+1，把A点坐标和a=﹣代入抛物线解析式可得9×（﹣）﹣3b+1=0，解得b=﹣，∴抛物线的表达式为y=﹣x2﹣x+1，故答案为：y=x+1；y=﹣x2﹣x+1；（2）∵点D在抛物线在第二象限部分上的一点，∴可设D（t，﹣ t2﹣t+1），则F（t， t+1），∴DF=﹣t2﹣t+1﹣（t+1）=﹣t2﹣t=﹣（t+）2+，∵﹣＜0，∴当t=﹣时，DF有最大值，最大值为，此时D点坐标为（﹣，）；（3）设P（m，﹣ m2﹣m+1），如图2，∵P在第四象限，∴m＞0，﹣ m2﹣m+1＜0，∴AN=m+3，PN=m2+m﹣1，∵∠AOC=∠ANP=90°，∴当以P、A、N为顶点的三角形与△ACO相似时有△AOC∽△PNA和△AOC∽△ANP，①当△AOC∽△PNA时，则有=，即=，解得m=﹣3或m=10，经检验当m=﹣3时，m+3=0，∴m=10，此时P点坐标为（10，﹣39）；②当△AOC∽△ANP时，则有=，即=，解得m=2或m=﹣3，经检验当m=﹣3时，m+3=0，∴m=2，此时P点坐标为（3，﹣）；综上可知P点坐标为（10，﹣39）或（3，﹣）．【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、相似三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中用D点坐标表示出DF 的长是解题的关键，在（3）中用P点坐标表示出PN和AN的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．。