八年级数学下册 1.2 三角形三边的垂直平分线及尺规作图课件 (新版)北师大版

∴ DA＝DB，∴∠DAB＝∠B＝22.5°. ∴∠ADE＝∠DAB＋∠B＝45°.
∵ AE⊥BC，∴∠DAE＝∠ADE＝45°.
∴ AE＝DE.
又∵ DF⊥AC，∴∠DFC＝∠AEC＝90°.
A
∴∠C＋∠CAE＝∠C＋∠CDF＝90°. ∴∠CAE＝∠CDF.
GF
∴△DEG≌△AEC (ASA). B ∴EG＝EC.
别作三条线段的垂直平
分线，即点 P 为所求.
P
A
B
当堂小结 1. 定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且
这一点到三个顶点的距离相等.
2. 已知等腰三角形的底边和底边上的高作等腰三角形.
l2 A
l3
l1
P
B
C
课堂练习
1. 如图，等腰△ABC 中，AB = AC，∠A = 20°．线段
AB 的垂直平分线交 AB 于 D，交 AC 于 E，连接 BE，
求证：边 AC 的垂直平分线经过
点 P，且 PA = PB = PC.
B
A
P C
分析：
l 是 AB 的垂 直平分线
m 是 BC 的 垂直平分线
PA=PB PB=PC
PA=PC
点 P 在 AC 的 垂直平分线上
A
l
n
试试看，你会写出证明过程吗？ B
P
m
C
证明：连接 PA，PB，PC.
A
∵点 P 在 AB，AC 的垂直平分线上， l
能作出三角形吗? 如果能，能作几个? 所作出的三角形
都全等吗? 已知：三角形的一条边 a 和这边上的高 h.
A 求作：△ABC，使 BC = a，BC 边上的高为 h.

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拓展点一 拓展点二
解:能找到.理由如下:
如图,设边AB,BC的垂直平分线交于点O,连接OA,OB,OC. ∵点O在线段AB的垂直平分线上, ∴OA=OB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等). 同理OB=OC.∴OA=OB=OC. 故点O到△ABC三个顶点的距离相等.
线段的垂直平分线
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知识点一 知识点二
知识点一 线段的垂直平分线的性质 定理:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 拓展归纳 理解线段的垂直平分线性质的要点:(1)这里的线段垂直平分线上的点是指该 直线上任意一点.(2)这里的距离是指线段垂直平分线上的点与线段两个端点间线段的长 度.
2.解所有顶点都在AB的垂直平分线上(垂足除外). 3.解∵DE垂直平分AB,∴AE=BE. ∵△BEC的周长为BC+BE+EC=50, ∴BC+EC+AE=50,即BC+AC=50. ∵AC=27,∴BC=50-27=23.
分析:连接三点构成一个三角形,然后作出这个三角形的两边的垂直平分线,相交于一点, 该点所在的位置就是所要建活动中心的位置.
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拓展点一 拓展点二
作法:如图所示.
(1)连接AB,BC; (2)分别作AB,BC的垂直平分线交于点P. 点P范大学出版社 八年级 | 下册
拓展点一 拓展点二
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拓展点一 拓展点二
拓展点二 线段的垂直平分线的有关作图 例2 如图所示,A,B,C三个村庄的干部商议合建一处村民文化活动中心.为了使三个村 的村民到该活动中心的距离相等,活动中心应建在什么地方?请用尺规作图的方法在图上 找出建活动中心的位置.(不写作法,保留作图痕迹.)

A
B
(3)过两交点作直线 l ',此直线为
l 过P的垂线.
D

当堂练习
1.如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°．线段 AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则 ∠CBE等于（ C ）
A．80° C．60°
B．70° D．50°
A
DE
B
C
2.下列说法错误的是 ( D )
A.三角形三条边的垂直平分线必交于一点 B.如果等腰三角形内一点到底边两端点的距离相等，那么过这点 与顶点的直线必垂直于底边 C.平面上只存在一点到已知三角形三个顶点距离相等 D.三角形关于任一边上的垂直平分线成轴对称
课堂小结
1.定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,
并且这一点到三个顶点的距离相等.
2.已知等腰三角形的底边和底边上的高作等腰三
角形. aA
c
b P
B
C
2．作线段AB的垂直平分线PC．
C
直线PC就是所求 l 的垂线．
P A
l B
2.已知直线 l 和线外一点P，利用尺规作 l 的垂线，使它 经过点P.
作法：
(1)先以P为圆心，大于点P到直线 l 的垂 直距离R为半径作圆，交直线 l 于A，B. C
(2)分别以A、B为圆心，大于R的长 P ●
为半径作圆，相交于C、D两点.
做一做：（1）已知三角形的一条边及这条边上的高，
你能作出三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角
形都全等吗? 已知：三角形的一条边a和这边上的高h.
求作：△ABC，使BC=a，BC边上的高为h.
A
A
A
h
Ba
C
D

探究新知
归纳总结
定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点， 并且这一点到三个顶点的距离相等.
点P称为三角形的外心 几何语言：
在△ABC中，
c
∵a，b，c分别是BC，AC，AB的垂直平分线，
B
∴a，b，c相交于点P，且PA=PB=PC.
A
b P
a
C
探究新知
例.在联欢晚会上，三名同学站在一个非等边三角形的三个顶点A， B，C位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个凳子， 谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子(用点P表示)应放在哪 个位置？请用尺规作图找出点P.
随堂练习
2. 如图，D是线段AC，AB的垂直平分线的交点，若∠ACD＝ 30°，∠BAD＝50°，则∠BCD的大小是( A ) A．10° B．20° C．30° D．40°
随堂练习
3.如图,已知线段a,h,作等腰三角形ABC,使AB=AC,且BC=a,BC边
上的高AD=h.张红的作法是:(1)作线段BC=a;(2)作线段BC的垂直
△ABC为所求作的等腰三角形.
注意：点A关于BC的对称点A′也符合题意.
A BD C
探究新知
已知直线l和l上一点P，利用尺 规作l的垂线，使它经过点P .
m
如果点P在直线l外呢？ m
P
A
P
l B
l
A
B
随堂练习
1.三角形三边的垂直平分线的交点( B ) A.到三角形三边的距离相等 B.到三角形三个顶点的距离相等 C.到三角形三个顶点与三条边的距离相等 D.不能确定
新课标 北师大版 八年级下册
第一章 三角形的证明 1.3.2线段的垂直平分线（2）
学习目标