ab 6一．基本不等式1.（1）若a , b ∈ R ，则a 2+ b 2≥ 2ab “=”）基本不等式应用(2)若a , b ∈ R ，则ab ≤a 2 +b 2（当且仅当a = b 时取22. (1)若 a , b ∈ R *，则 a + b ≥ 2(2)若 a , b ∈ R *，则 a + b ≥2 （当且仅当 a = b时取“=”） * ⎛ a + b ⎫2(3)若 a , b ∈ R ，则ab ≤⎪ ⎝ 2 ⎭1 (当且仅当 a = b 时取“=”）1 3.若 x > 0，则 x + ≥2 x(当且仅当 x = 1时取“=”）;若 x < 0，则 x +≤ -2 x(当且仅当 x = -1时取“=”）若 x ≠ 0，则 x + 1 ≥ 2即x或+ 1 ≥ 2x + 1 ≤ -2(当且仅当 a = b 时取“=”） x x x3.若 ab > 0，则 a + b ≥ 2 (当且仅当 a = b 时取“=”）b a若 ab ≠ 0，则 a +b≥ 2 a + b ≥ 2 a + b≤ -2(当且仅当a =b 时取“=”） 即或b ab ab a4.若 a , b ∈ R ，则( a + b )2 ≤a 2 +b 2（当且仅当 a = b 时取“=”） 2 2注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例 1：求下列函数的值域1 1（1）y ＝3x 2＋ （2）y ＝x ＋2x 2 1解：（1）y ＝3x 2＋ ≥2 2x 2x 3x 2·＝ ∴值域为[ 16，+∞） （2）当 x ＞0 时，y ＝x ＋ ≥x 1 2；1 当 x ＜0 时， y ＝x ＋ = －（－ x － ）≤－ 2x x∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解 题 技 巧 ： 技巧一：凑项例 1：已知 x < 5，求函数 y = 4x - 2 +41 4x - 5的最大值。
课 题高三数学一轮复习专题讲座（一）不等式的解法主讲人：蔡园园教学目标 1、掌握二次不等式，分式不等式、绝对值不等式、指对不等式的基本解法， 2、能初步运用分类讨论的思想解含参不等式。
高考考点 集合、导数重 点 各类不等式的基本解法 难 点各类不等式的基本解法考点突破一、一元二次不等式的解法 方法： 解一元二次不等式的步骤：① 将二次项系数化为“+”：A=c bx ax ++2>0(或0<)(a 0>)② 计算判别式∆，分析不等式的解的情况：ⅰ.∆>0时，求根1x <2x ，⎩⎨⎧<<<><>.002121x x x A x x x A ，则若；或，则若ⅱ.∆=0时，求根1x ＝2x ＝0x ，⎪⎩⎪⎨⎧=≤∈<≠>.00000x x A x A x x A ，则若；，则若的一切实数；，则若φⅲ.∆<0时，方程无解，⎩⎨⎧∈≤∈>.00φx A R x A ，则若；，则若③ 写出解集.例1：解下列不等式：（1）0322>-+-x x （2）(1)()0x x a +-<（3）22560x ax a -+>(0)a ≠【方法总结】体验高考．（2014•山东）设集合A={x|x 2﹣2x ＜0}，B={x|1≤x≤4}，则A∩B=（ ） A ． （0，2] B ． （1，2） C ． [1，2） D ． （1，4） 二、分式不等式的解法： 方法：1）标准化：移项通分化为()0()f x g x >(或()0()f x g x <)；()0()f x g x ≥(或()0()f xg x ≤)的形式， 2）转化为整式不等式（组）()()0()()0()()00()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩； 例题2不等式31--x x >0的解集为（ ）A.{x |x <1}B.{x |x >3}C.{x |x <1或x >3}D.{x |1<x <3}变式2不等式312+-x x ＞1的解是 . 三、绝对值不等式的解法 方法：不等式 a >0 a ＝0 a <0|x |<a ØØ |x |>a{x ∈R|x ≠0}R例题3（1） 213≤-x （2）732≥-x（3）235x -< （4）1132x +>变式3. 不等式（1＋x ）（1－｜x ｜）＞0的解集是（ ）A ．｛x ｜0≤x ＜1}B.｛x ｜x ＜0且x ≠－1} C ．｛x ｜－1＜x ＜1}D.｛x ｜x ＜1且x ≠－1}体验高考．（2010山东理）已知全集U=R ，集合M={x||x-1|≤2},则U C M=（A ）{x|-1<x<3} (B){x|-1≤x ≤3} (C){x|x<-1或x>3} (D){x|x ≤-1或x ≥3} 四、指对不等式的解法： 方法：学法指导学法①当1a >时()()()()f x g x a a f x g x >⇔> log ()log ()()()0a a f x g x f x g x >⇔>> ②当01a <<时()()()()f x g x a a f x g x >⇔< log ()log ()0()()a a f x g x f x g x >⇔<<例题4、已知函数()()1,011log ≠>-+=a a xxx f a （1）求函数的定义域。
证明不等式的基本方法现实世界中的量，相等是相对的、局部的，而不等的绝对的、普遍的。
不等式的本质是研究“数量关系”中的“不等关系”。
对于两个量，我们常要比较它们之间的大小，或者证明一个量大于另一个，这就是不等式的证明。
不等式的证明因题而异，灵活多变，常常要用到一些基本的不等式，如柯西不等式、平均值不等式等等，其中还需要用一些技巧性高的代数变形。
在这一部分我们主要来学习一些证明不等式的基本方法。
不等式是数学竞赛的热点之一。
由于不等式的证明难度大，灵活性强，要求很高的技巧，常常使它成为各类数学竞赛中的“高档”试题。
而且，不论是几何、数论、函数或组合数学中的许多问题，都可能与不等式有关，这就使得不等式的问题（特别是有关不等式的证明）在数学竞赛中显得尤为重要。
证明不等式同大多数高难度的数学竞赛问题一样，没有固定的模式，证法因题而异，灵活多变，技巧性强。
但它也有一些基本的常用方法，要熟练掌握不等式的证明技巧，必须从学习这些基本的常用方法开始。
【知识概要】证明不等式的常用方法有：⒈比较法：依据实数的运算性质及大小顺序之间的关系，通过两个实数的差或商的符号（范围）确定两个数的大小关系的方法。
基本解题步骤是：作差（商）—变形—判号（范围）—定论。
证题时常用到配方、因式分解、换元、乘方、恒等式、重要不等式、优化假设、放缩等变形技巧。
⒉分析综合法：所谓“综合”指由“因”导“果”，从已知条件出发，依据不等式的性质、函数的性质、重要不等式等逐步推进，证得所要证的不等式。
所谓“分析”指的是执“果”索“因”，从欲证不等式出发，层层推求使之成立的充分条件，直至已知事实为止。
一般先用分析法分析证题思路，再用综合法书写证明过程。
⒊重要不等式法：主要有均值不等式、柯西不等式、排序不等式等。
⒋换元法：适当引入新变量，通过代换简化原有结构，实现某种变通，给证明的成功带来新的转机。
具体地讲，就是化超越式为代数式，化无理式为有理式，化分式为整式，化高次式为低次式等等。
比赛讲座 16－不等式不等式是数学的点之一。
因为不等式的明度大，灵巧性，要求很高的技巧，经常使它成各数学中的“高档” 。
并且，不是几何、数、函数或合数学中的多，都可能与不等式相关，就使得不等式的（特是相关不等式的明）在数学中得尤重要。
明不等式同大部分高度的数学一，没有固定的模式，法因而异，灵巧多，技巧性。
但它也有一些基本的常用方法，要熟掌握不等式的明技巧，必从学些基本的常用方法开始。
一、不等式明的基本方法1．比法比法可分差比法和商比法。
（ 1）差比法原理A－ B＞0A＞B．【例 1】（ l ） m、n 是奇偶性同样的自然数，求：（a m＋b m）（ a n＋b n）＜ 2（ a m+n+b m+n）。
（ 2）明：··≤。
【例 2】 a≤a≤⋯≤a， b ≤b≤⋯≤b，j ,j, ⋯,jn 是 1,2, ⋯,n 的随意一个排12n12n12列，令S=a + a2+⋯+ an， S=a b +a b+⋯+a b ，S =a b +a b +⋯+a b 。
101 n2 n-1n 111 12 2n n 求： S0≤S≤S1。
（ 2）商比法原理若>1，且 B>0， A>B。
2a 2b 2c b+c c+a a+b【例 3】已知 a,b,c>0 ，求证： a b c ≥a b c。
2．剖析法【例 4】若 x,y>0 ，求证：>。
【例 5】若 a,b,c是△ ABC的三边长，求证：a4+b4+c4<2(a2b2+b2c2+c2a2)。
3．综合法【例 6】若 a,b,c>0 ，求证： abc≥(a+b -c)(b+c-a)(c+a-b)。
【例 7】已知△ ABC的外接圆半径R=1，S△ABC=，a,b,c是△ ABC的三边长，令S=， t=。
求证： t>S 。
4．反证法【例 8】已知 a3+b3=2，求证： a+b≤2。
5．数学概括法【例 9】证明对随意自然数n，。
