数学建模与数学实验
实验报告
班级: 数学师范153 姓名：付爽
学号：1502012060 实验名称: 数列极限与函数极限
基础实验
基础实验一数列极限与函数极限
第一部分实验指导书解读
一、实验目的
从刘徽的割圆术、裴波那奇数列研究数列的收敛性并抽
象出极限的定义；理解数列收敛的准则；理解函数极限与数
列极限的关系。
二、实验使用软件
Mathematic 5.0
三、实验的基本理论即方法
1割圆术
中国古代数学家刘徽在《九章算术注》方田章圆田术中
创造了割圆术计算圆周率二。刘徽先注意到圆内接正多边形的面积小于圆面积；其次，当将边数屡次加倍时，正多边形的面积增大，边数愈大则正多边形面积愈近于圆的面积。
割之弥细，所失弥少。割之又割以至不可割，则与圆合体而无所失矣。”这几句话明确地表明了刘徽的极限思想。
以S n表示单位圆的圆内接正 3 2n1多边形面积，则其极限
为圆周率二。用下列Mathematica程序可以从量和形两个角
度考察数列｛S n ｝的收敛情况:
m=2;n=15;k=10;
For[i=2,iv=n,i++, l[i 」:=N[2*Sin[Pi/(3*29)],k];
内接正3 2n1多边形边长)
s[i_]：=N[3*2A (i-1)*l[i]*Sqrt[1 -(l[i])A 2/4],k];
内接正3 2n1多边形面积)
r[i_]:=Pi-s[i]; d[i_]:=s[i]-s[i-1];
Print[i,"",r[i],"",l[i],"",s[i],"",d[i]]
]
t=Table[{i,s[i]},{i,m,n}] (数组)
ListPlot[t] (散点图)
2裴波那奇数列和黄金分割
由F 。=0; R =1; F n 二F n 「F n2有著名的裴波那奇数列｛F n ｝。
如果令也=严，由F n 递推公式可得出
厂n
F n -■ 5 1
。
n1 2
用下列Mathematica 程序可以从量和形两个角度考察数
列{R n }的收敛情况：
n=14,k=10; For[i=3,i<=n,i++,t1=(Sqrt[5]+1)/2;t2=(1 -Sqrt[5])/2; 1 1 "in F n j =1 - F n ±/F n 二厂R]， Fn
F n （佇；
l n m R n 引叫匚
f[i」:=N[(t1A(i+1)-t2A(i+1))/Sqrt[5],k];( 定义裴波那奇数列通项) rn=(5A(1/2)-1)/2-f[i- 1]/f[i];Rn=f[i-1]/f[i];dn=f[i-1]/f[i]-f[i-2]/f[i-1]
J
Print[i,"",rn,"",Rn,"",dn];
] t=Table[{i,f[i-1]/f[i]},{i,3,n}]
ListPlot[t]
3收敛与发散的数列
数列{\1弋当P 1时收敛，P叨时发散；数列{sin n}发散。4函数极限与数列极限的关系
用Mathematica 程序
m=0;r=10Am;x0=0;
f[x」=x*Sin[1/x] Plot[f[x],{x,-r,r}]
Limit[f[x],x->x0]
观察的fg-xsinx1图象可以发现，函数在x=0点处不连续，且
函数值不存在，但在x=0点处有极限。
令XF =1/n,n=1,2,…,100，作函数的取值表，画散点图看其子列的趋向情况
k=10;p=25;
a[n」=1/n;
tf=Table[{n,N[f[a[n]],k]},{n,1,p}]
ListPlot[tf]
Limit[f[a[n]],n — lnfinity,Direction — 1] 分别取不同的数列a n（要求a n >0），重做上述过程，并将各次所得图形的分析结果比较，可知各子列的极限值均为上述函数的极限值。
对于g（x）二sinx丄，类似地考察在x=0点处的极限。
三、实验准备
认真阅读实验目的与实验材料后要正确地解读实验，在此基础上制定实验计划（修改、补充或编写程序，提出实验思路，明确实验步骤），为上机实验做好准备。
四、实验思路提示
3.1考察数列敛散性
改变或增大n，观察更多的项（量、形），例如，n分别取50 , 100 , 200,…；扩展有效数字k，观察随n增大数列的变化趋势，例如，k分别取20, 30, 50;或固定50;或随n增大而适当增加。对实验要思考，例如，定义中的指标与柯西准则中的指标间的差异；数列收敛方式；又例如，如何估计极限近似值的误差。
3.2考察函数极限与数列极限的关系
改变函数及极限类型，例如，考虑六种函数极限，既选取极限存在也选取极限不存在的例子；改变数列，改变参数观察更多的量，考察形的变化趋势；扩展有效数字k，提高
计算精度。要对实验思考，归纳数列敛散与函数敛散的关系
第二部分实验计划实验主要是从观察数列的敛散性，观察函数值的变化趋势来理解极限的概念，进一步体会实验的准则
1.割圆术
中国古代数学家刘徽在《九章算术注》方田章圆田术中创造了割刘徽先注意到圆内接正多边形的面积小于圆面积；其次，当将边数屡次加倍时，正多边形的面积增大，边数愈大则正多边形面积愈近于圆的面积。
“割之弥细，所失弥少。割之又割以至不可割，则与圆合体而无所失矣。”这几句话明确地表明了刘徽的极限思想。
以nS表示单位圆的圆内接正1 2 3 n多边形面积，则其极限Mathematica程序可以从量和形两个角度考察数列{nS}的收敛情
况：
m=2;n=15;k=10;
For[i=2,i<=n,i++, l[i」:=N[2*Sin[Pi/（3*2八i）],k];（圆内接正