22.2.4因式分解法解一元二次方程]

ax2 bx c 0(a 0)
如果 b2 4ac 0 ，那么方程的两个根为
x b b2 4ac 2a
讲授新课
一元二次方程根的判别式
问题引导
如何把一元二次方程 ax2bxc0(a0) 写成
ห้องสมุดไป่ตู้（x+h)2=k 的形式？
ax2 bx c 0
配方法
x2 b x c 0 aa
x2 b x c
骤： 3.判别根的情况，得出结论.
不解方程，判别关于x的方程 x222kxk20
的根的情况.
分析： a 1 b 2 2k c k 2
2
解： 2 2k 41 k2
系数含有字 母的方程
8k 2 4k 2 4k 2
∵ k 2 0, 4k 2 0，即 0,
方程有两个实数根.
不解方程，判别关于x的方程 a2x2ax10a0
学练优九年级数学上（HS） 教学课件
22.2 一元二次方程的解法
第4课时 一元二次方程根的判别式
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.了解一元二次方程根的判别式；（重点） 2.会判断一元二次方程根的情况； (难点) 3.掌握一元二次方程根的判别式的应用.（难点）
导入新课
观察与思考
用公式法求下列方程的根:
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
的根的情况.
解： ( a)2 4a2 ( 1) 5a2 ,且a 0 5a2 0,即 0.
故该方程有两个不相等的实数根.
课堂小结
对于一元二次方程 ax2 bx c 0(a ： 0)
当 ＞0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 =0 时，方程有两个相等的实数根； 当 ＜0 时，方程没有实数根.

华师大版初中数学重点知识精选掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！华师大初中数学和你一起共同进步学业有成！4.一元二次方程根的判别式1．理解并掌握一元二次方程根的判别式，能运用判别式，在不解方程的前提下判断一元二次方程根的情况；(重点、难点) 2．通过一元二次方程根的情况的探究过程，体会从特殊到一般、猜想及分类讨论的数学思想，提高观察、分析、归纳的能力． 一、情境导入老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解第一个方程呢，小强突然站起来说出每个方程解的情况，你想知道他是如何判断的吗？二、合作探究探究点一：一元二次方程的根的情况【类型一】判断一元二次方程根的情况不解方程，判断下列方程的根的情况．(1)2x 2＋3x －4＝0； (2)x 2－x ＋＝0； 14(3)x 2－x ＋1＝0.解析：根据根的判别式我们可以知道当b 2－4ac ≥0时，方程才有实数根，而b 2－4ac <0时，方程没有实数根．由此我们不解方程就能判断一元二次方程根的情况． 解：(1)2x 2＋3x －4＝0，a ＝2，b ＝3，c ＝－4，∴b 2－4ac ＝32－4×2×(－4)＝41＞0.∴方程有两个不相等的实数根． (2)x 2－x ＋＝0，a ＝1，b ＝－1，c ＝14.∴b 2－4ac ＝(－1)2－4×1×＝0.∴方程1414有两个相等的实数根．(3)x 2－x ＋1＝0，a ＝1，b ＝－1，c ＝1.∴b 2－4ac ＝(－1)2－4×1×1＝－3＜0.∴方程没有实数根． 方法总结：给出一个一元二次方程，不解方程，可由b 2－4ac 的值的符号来判断方程根的情况．当b 2－4ac ＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当b 2－4ac ＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当b 2－4ac ＜0时，一元二次方程无实数根．【类型二】由一元二次方程根的情况确定字母系数的取值已知关于x 的一元二次方程(a －1)x 2－2x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是( )A ．a >2B ．a <2C ．a <2且a ≠1D ．a <－2解析：由于一元二次方程有两个不相等的实数根，判别式大于0，得到一个不等式，再由二次项系数不为0知a －1不为0.即4－4(a －1)＞0且a －1≠0，解得a ＜2且a ≠1.选C. 方法总结：若方程有实数根，则b 2－4ac ≥0.由于本题强调说明方程是一元二次方程，所以，二次项系数不为0.因此本题还是一道易错题． 【类型三】 一元二次方程根的判别式与三角形的综合已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三边长，求证：关于x 的方程b 2x 2＋(b 2＋c 2－a 2)x ＋c 2＝0没有实数根． 解析：欲证一元二次方程没有实数根，只需证明它的判别式Δ<0即可．由a ，b ，c 是三角形三条边的长可知a ，b ，c都是正数．由三角形的三边关系可知a ＋b >c ，a ＋c >b ，b ＋c >a . 证明：∵b 为三角形一边的长，∴b ≠0，∴b 2≠0，∴b 2x 2＋(b 2＋c 2－a 2)x ＋c 2＝0是关于x 的一元二次方程．∴Δ＝(b 2＋c 2－a2)2－4b 2c 2＝(b 2＋c 2－a 2＋2bc )(b 2＋c 2－a 2－2bc )＝[(b ＋c )2－a 2][(b －c )2－a 2]＝(b ＋c＋a)(b＋c－a)(b－c＋a)(b－c－a)＝(a＋b＋c)[(b＋c)－a][(a＋b)－c][b－(a＋c)]．∵a，b，c是三角形三条边的长，∴a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c>0，a＋b>c，b＋c>a，a ＋c>b.∴(b＋c)－a>0，(a＋b)－c>0，b－(a ＋c)<0，∴(a＋b＋c)[(b＋c)－a][(a＋b)－c][b－(a＋c)]<0，即Δ<0.∴原方程没有实数根．方法总结：利用根的判别式与三角形的三边关系：常根据判别式得到关于三角形三边的式子，再结合三边关系确定Δ符号．【类型四】利用根的判别式解决存在性问题是否存在这样的非负整数m，使关于x的一元二次方程m2x2－(2m－1)x＋1＝0有两个不相等的实数根？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．解：不存在，理由如下：假设m2x2－(2m－1)x＋1＝0有两个不相等的实数根，则[－(2m－1)]2－4m2>0，解得m<.∵m为非负整数，∴m＝0.14而当m＝0时，原方程m2x2－(2m－1)x＋1＝0是一元一次方程，只有一个实数根，与假设矛盾．∴不存在这样的非负整数，使原方程有两个不相等的实数根．易错提醒：在求出m＝0后，常常会草率地认为m＝0就是满足条件的非负整数，而忽略了二次项系数不为0的这一隐含条件，因此解题过程中务必考虑全面．三、板书设计本节课是在一元二次方程的解法的基础上，学习根的判别式的应用．学生容易在计算取值范围的时候忘记二次项系数不能为零，这是本节课需要注意的地方，应予以特别强调.相信自己，就能走向成功的第一步教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。

11 － 4
思考：从因式分解法可知，方程（x－x1） （x－x2）=0 的两根 为 x1 和 x2，将方程化为 x2+px+q=0 的形式，你能看 出 x1、x2 与 p、q 之间的的关系？
发现：把方程（x－x1） （x－x2）=0 的左边展开，化为一般 形式为：x2－（x1+x2）x+x1x2=0，这个方程的二次项 系数为 1，一次项系数 p=－（x1+x2） ，常数项 q= x1x2， 所以，上述方程的两根的和、积分别与系数关系有如 下关系： x1+x2=－p， x1x2=q。
22.2.4一元二次方程根与系数 的关系
解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，并按照要求完成其它表格 :
序号
方程
x1
x2
x1+ x2
x1· x2
① ② ③ ④
x2－ 2x＝ 0 x2＋ 3x－ 4＝ 0 3y － 5y－ 50=0 4y2+7y－ 11=0
2
2
0 –4
50 － 3Leabharlann –35 37 － 4
例 4．根据一元二次方程的根与系数的关系， 求下列方程两根 x1、 x2 的和与积： ① x2－ 6x－15=0； ② 3 x +7x－9=0； ③ 5x－1 =4x2。
2
1．已知一元二次方程 x2－7x＋3＝ 0 的两根分别为 x1、x2， 则 x1＋ x2 与 x1·x2 的值分别为（ ） （ A） 7，3 （ B） 7，－3 （ C）－ 7，3 （ D）－ 7，－3 2．一元二次方程 x － 7x＝－2 的两根分别为 x1、 x2， 则 x1· x2 的值为（ ） （ A）－ 2 （ B）2 （ C）－7 （ D）7

4.一元二次方程根的判别式￿※教学目标※【知识与技能】￿理解并掌握一元二次方程根的判别式，并能运用根的判别式判断方程是否有实数根和两个根是否相等.￿￿【过程与方法】￿1.经历一元二次方程根的判别式的探究过程，使学生能归纳出一元二次方程根的判别式.￿2.能运用一元二次方程根的判别式的知识在不解方程的情况下判断出一元二次方程根的情况，并能根据方程根的情况，探究所需的条件.￿【情感态度】￿学生通过观察、分析、讨论与交流等活动，进一步增强自主探究以及与他人交流的能力.￿【教学重点】￿理解并掌握一元二次方程根的判别式，并能运用根的判别式判断方程是否有实数根和两个根是否相等.￿￿【教学难点】￿一元二次方程根的判别式的探究与归纳.￿※教学过程※￿一、复习引入￿1.用公式法解下列方程：￿答案：(3)无解.￿￿2.探究一元二次方程的根.￿￿（1）当时，方程有两个不相等的实数根：￿￿(2)当时，方程有两个相等的实数根:;￿(3)当时，方程没有实数根.￿￿二、探索新知￿这里的叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号￿“Δ”来表示，用它可以直接判断一元二次方程的实数根的情况：￿￿当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；￿当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；￿当Δ<0时，方程没有实数根.￿【例1】不解方程，判断下列方程的根的情况：￿解：（1）原方程可变形为￿因为所以方程有两个不相等的实数根.￿（2）因为所以方程有两个相等的实数根.￿（3）原方程可变形为￿因为所以方程没有实数根.￿三、巩固练习￿不解方程，判断下列方程的根的情况：￿答案：（1）方程有两个不相等的实数根（2）方程没有实数根（3）方程有两个相等的实数根（4）方程没有实数根￿￿四、应用拓展￿【例2】已知关于x的方程￿(1)当k取何值时，方程有两个不相等的实数根？￿￿(2)当k取何值时，方程有两个相等的实数根？￿(3)当k取何值时，方程没有实数根？￿分析：已知一元二次方程的根的情况，反过来可以确定根的判别式的值的符号：￿￿当一元二次方程有两个不相等的实数根时，当一元二次方程有两个相等的实数根时，当一元二次方程没有实数根时，解：因为所以(1)若方程有两个不相等的实数根，则Δ>0,￿即￿￿(2)若方程有两个相等的实数根，则Δ=0,￿即(3)若方程没有实数根，则Δ<0,￿即￿综上所述：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根.￿￿五、归纳小结￿利用一元二次方程的根的判别式来解题的一般步骤:￿1.将方程化成的形式；￿2.判断a的值是否为零；￿3.若a≠0,则再考虑的取值.￿￿※课后作业※￿教材第36页习题22.2的第7、8、9题.。