高二数学（理科）上学期期末模拟试卷（3）一、单选题1．“9k >”是“方程22194x y k k +=--表示双曲线”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件 2．如图所示的程序框图，满足2x y +≤的输出有序实数对(),x y 的概率为( )A ．13B ．12C ．23D ．343．下列说法中正确的是（ ）A ．若一组数据1，a ，3的平均数是2，则该组数据的方差是23B ．线性回归直线不一定过样本中心点(,)x yC ．若两个随机变量的线性相关越强，则相关系数r 的值越接近于1D ．先把高三年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为m ，然后抽取编号为m +50，m +100，m +150，……的学生，这样的抽样方法是分层抽样 4．用秦九韶算法计算函数42()21f x x x x =-+-，当1x =时的值，则3v =（ ） A ．2B ．-1C ．0D ．15．下图是一个边长为2的正方形区域，为了测算图中阴影区域的面积，向正方形区域内随机投入质点600次，其中恰有225次落在该区域内，据此估计阴影区域的面积为（ ）A ．1.2 B ．1.5 C ．1.6D ．1.86．2020年的“金九银十”变成“铜九铁十”，全国各地房价“跳水”严重，但某地二手房交易却“逆市”而行.下图是该地某小区2019年11月至2020年11月间，当月在售二手房均价（单位：万元/平方米）的散点图.（图中月份代码113分别对应2019年11月2020年11月）根据散点图选择y a b x =+和ln y c d x =+两个模型进行拟合，经过数据处理得到的两个回归方程分别为0.93690.0285y x =+和0.95540.0306ln y x =+，并得到以下一些统计量的值：注：x 是样本数据中x 的平均数，y 是样本数据中y 的平均数，则下列说法不一定成立的是（ ） A ．当月在售二手房均价y 与月份代码x 呈正相关关系B ．根据0.93690.0285y x =+可以预测2021年2月在售二手房均价约为1.0509万元/平方米C ．曲线0.93690.0285y x =+与0.95540.0306ln y x =+的图形经过点(),x yD ．0.95540.0306ln y x =+回归曲线的拟合效果好于0.93690.0285y x =+的拟合效果7．已知实数1,,9m 成等比数列，则椭圆221x y m+=的离心率为A ．63B ．2C ．63或2 D ．22或3 8．如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若AB a =，AD b =，1AA c =，则下列向量中与BM 相等的向量是（ ）A ．1122-++a b c B ．1122a b c ++ C ．1122a b c --+D ．1122a b c -+ 9．空间A B C D 、、、四点共面，但任意三点不共线，若P 为该平面外一点且5133PA PB xPC PD =--，则实数x 的值为（ ）A ．13 B ．13- C ．23 D ．23- 10．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为e ，过点1F 的直线l 与双曲线C的左、右两支分别交于A ，B 两点，若20AB BF ⋅=，且12135F AF ∠=︒，则2e =（ ） A ．522-B ．525+C ．522+D ．525-11．在以下命题中：①三个非零向量a ，b ，c 不能构成空间的一个基底，则a ，b ，c 共面； ②若两个非零向量a ，b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a ，b 共线；③对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若222OP OA OB OC =--，则P ，A ，B ，C 四点共面 ④若a ，b 是两个不共线的向量，且(,,,0)c a b R λμλμλμ=+∈≠，则{},,a b c 构成空间的一个基底 ⑤若{},,a b c 为空间的一个基底，则{},,a b b c c a +++构成空间的另一个基底；其中真命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．312．已知F 为抛物线y 2＝43x 的焦点，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，若3AF FB =，则|AB |＝（ ） A ．163B ．83C ．43D ．3二、填空题13．已知命题3:0,0∀>≤p x x ，那么命题p 的否定是________________．14．已知正方体1111ABCD A B C D -，P 是平面11A BCD 上的动点，M 是线段11B C 的中点，满足PM 与1CC 所成的角为6π，则动点P 的轨迹方程为：________________．15．在西非“埃博拉病毒"的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁，为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小鼠进行试验，得到如下列联表：根据列联表，有________的把握认为“小动物是否感染与服用疫苗有关”.16．已知P 为椭圆221164x y +=上的一个动点，过点P 作圆()2211x y -+=的两条切线，切点分别是A ，B ，则AB的最小值为_______.三、解答题17．如图，在ABC 中，2,23AB AC BC ===，点D 在BC 边上，45ADC ∠=︒ （1）求BAC ∠的度数；（2）求AD 的长度.18．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，3518a a +=，3550S S +=.数列{}n b 为等比数列，且11b a =，2143b a a =.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列211n n b S -⎧⎫⎨⎩+⎬⎭的前n 项和n T .19．黄河故道是商丘市著名景点，景区内有多个水库，风景优美．为了解水库内鱼类的有关情况，从多个不同位置共捕捞出100条鱼，称得每条鱼的重量（单位：千克），并将所得数据分组，画出频率分布方图（如图所示）． （1）求直方图中x 的值；（2）请根据上图估计黄河故道水库内鱼的平均重量（精确到0.01）； （3）为充分挖掘旅游资源，故道管理部门推出游船垂钓项目，若游船从8：00-17：00（早上八点整发第一班船）整点时发船，某游客在上午七点之后随机到达码头乘船，问该游客等待不超过10分钟的概率为多大？20．如图1，在Rt ABC △中，30ACB ∠=，90ABC ∠=，D 为AC 中点，AE BD ⊥于E ，延长AE 交BC 于F ，将ABD △沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，如图2所示． （I ）求证：AE ⊥平面BCD ；（Ⅱ）求二面角A DC B --的余弦值；21．已知抛物线22y px =的焦点为F ，若在x 轴上方该抛物线上有一点A ，满足直线FA 的倾斜角为120︒，且||4FA =.（1）求抛物线的方程；（2）若抛物线上另有两点,B C 满足0FA FB FC ++=，求直线BC 方程.22．已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OA OB +与()3,1a =-共线．（1）求椭圆的离心率；（2）设M 为椭圆上任意一点，且(),OM OA OB R λμλμ=+∈，证明：22λμ+为定值感染 未感染 合计 服用 10 40 50 未服用 20 30 50 合计3070100高二数学（理科）上学期期末模拟试卷（3）答案学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．“9k >”是“方程22194x yk k +=--表示双曲线”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件 【答案】A 【分析】根据双曲线的标准方程可得()()940k k --<，解出k 的取值范围，进而可得结果. 【详解】方程22194x y k k +=--表示双曲线，则()()940k k --<，解得9k >或4k <，所以“9k >”是“方程22194x y k k +=--表示双曲线”的充分不必要条件，故选：A2．如图所示的程序框图，满足2x y +≤的输出有序实数对(),x y 的概率为( )A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】B 【解析】 【分析】分析框图的意义结合几何概型求解即可【详解】由题知框图的意义是在x y 2+≤内取点（x,y ）,满足3y x ≤的概率 因为x y 2+=与3y x =均关于原点中心对称，故概率为12故选B 【点睛】本题考查程序框图，考查面积型几何概型，准确理解框图含义是关键，是基础题 3．下列说法中正确的是（ ）A ．若一组数据1，a ，3的平均数是2，则该组数据的方差是23B ．线性回归直线不一定过样本中心点(,)x yC ．若两个随机变量的线性相关越强，则相关系数r 的值越接近于1D ．先把高三年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为m ，然后抽取编号为m +50，m +100，m +150，……的学生，这样的抽样方法是分层抽样 【答案】A 【分析】A. 利用平均数和方差公式判断；B. 根据线性回归直线一定过样本中心点(,)x y 判断；C.根据相关系数r 的绝对值与相关程度的关系判断；D.由系统抽样的特点判断. 【详解】A. 若一组数据1，a ，3的平均数是2，则2a =，该组数据的方差是()()()2221212223233s ⎡⎤=-+-+-=⎣⎦，故正确；B. 线性回归直线一定过样本中心点(,)x y ，故错误；C.若两个随机变量的线性相关越强，则相关系数r 的绝对值越接近于1，故错误；D.先把高三年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为m ，然后抽取编号为m +50，m +100，m +150，……的学生，这样的抽样方法是系统抽样，故错误； 故选:A4．用秦九韶算法计算函数42()21f x x x x =-+-，当1x =时的值，则3v =（ ）A ．2B ．-1C ．0D ．1【答案】C 【分析】将函数转化为()()()()211f x x x x x =-+-求解.【详解】函数42()21f x x x x =-+-，()()()211x x x x =-+-，当1x =时，01231,1,1121,1110v v v v ===⨯-=-=-⨯+=，故选：C5．下图是一个边长为2的正方形区域，为了测算图中阴影区域的面积，向正方形区域内随机投入质点600次，其中恰有225次落在该区域内，据此估计阴影区域的面积为（ ）A ．1.2B ．1.5C ．1.6D ．1.8【答案】B 【分析】根据几何概型概率的估计可知落在阴影部分的概率即为面积之比，列出式子即可计算. 【详解】设阴影部分的面积为S ， 由几何概型的概率公式可知22522600S =⨯， 1.5S ∴=.故选：B. 【点睛】本题考查几何概型的计算，属于基础题.6．2020年的“金九银十”变成“铜九铁十”，全国各地房价“跳水”严重，但某地二手房交易却“逆市”而行.下图是该地某小区2019年11月至2020年11月间，当月在售二手房均价（单位：万元/平方米）的散点图.（图中月份代码113分别对应2019年11月2020年11月）根据散点图选择y a =+ln y c d x =+两个模型进行拟合，经过数据处理得到的两个回归方程分别为0.9369y =+0.95540.0306ln y x =+，并得到以下一些统计量的值：注：x 是样本数据中x 的平均数，y 是样本数据中的平均数，则下列说法不一定成立的是（ ）A ．当月在售二手房均价y 与月份代码x 呈正相关关系B ．根据0.9369y =+2021年2月在售二手房均价约为1.0509万元/平方米 C ．曲线0.9369y =+0.95540.0306ln y x =+的图形经过点(),x yD ．0.95540.0306ln y x =+回归曲线的拟合效果好于0.9369y =+ 【答案】C【分析】根据散点图的分布可判断A 选项的正误；将16x =代入回归方程0.9369y =+B 选项的正误；根据非线性回归曲线不一定经过(),x y 可判断C 选项的正误；根据回归模型的拟合效果与2R 的大小关系可判断D 选项的正误. 【详解】对于A ，散点从左下到右上分布，所以当月在售二手房均价y 与月份代码x 呈正相关关系，故A 正确； 对于B ，令16x =，由0.9369 1.0509y =+=，所以可以预测2021年2月在售二手房均价约为1.0509万元/平方米，故B 正确； 对于C ，非线性回归曲线不一定经过(),x y ，故C 错误； 对于D ，2R 越大，拟合效果越好，故D 正确. 故选：C.7．已知实数1,,9m 成等比数列，则椭圆221x y m+=的离心率为A．3B ．2C．3或2D．2【答案】A 【分析】由1，m ，9构成一个等比数列，得到m=±3．当m=3时，圆锥曲线是椭圆；当m=﹣3时，圆锥曲线是双曲线，(舍）由此即可求出离心率． 【详解】∵1，m ，9构成一个等比数列， ∴m 2=1×9， 则m=±3． 当m=3时，圆锥曲线2x m +y 2=1=3； 当m=﹣3时，圆锥曲线2x m+y 2=1是双曲线，故舍去，． 故选A ． 【点睛】本题考查圆锥曲线的离心率的求法，解题时要注意等比数列的性质的合理运用，注意分类讨论思想的灵活运用． 8．如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若AB a =，AD b =，1AA c =，则下列向量中与BM 相等的向量是（ ）A ．1122-++a b cB ．1122a b c ++C ．1122a b c --+ D ．1122a b c -+ 【答案】A 【分析】在平行六面体1111ABCD A B C D -中，结合空间向量的运算法则，准确运算，即可求解.【详解】在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，()111111222BM BB B M AD BA AA a b c =+=++=-++. 故选：A.9．空间A B C D 、、、四点共面，但任意三点不共线，若P 为该平面外一点且5133PA PB xPC PD =--，则实数x 的值为（ ） A ．13B ．13-C ．23D ．23-【答案】A 【分析】根据空间中四点共面的充要条件，即可求出结果. 【详解】因为空间A B C D 、、、四点共面，但任意三点不共线，对于该平面外一点P 都有5133PA PB xPC PD =--，所以51133x --=，解得13x =. 故选A 【点睛】本题主要考查空间向量，熟记四点共面的充要条件，即可求出结果，属于常考题型.10．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为e ，过点1F 的直线l 与双曲线C的左、右两支分别交于A ，B 两点，若20AB BF ⋅=，且12135F AF∠=︒，则2e =（） A ．5- B ．5+C ．5+D ．5-【答案】C【分析】根据题中条件，先得到1290F BF ∠=，245BAF ∠=︒，设2BF x =，根据双曲线的定义，结合勾股定理，得到()()222282aa c ++=，即可求出结果.【详解】20AB BF ⋅=，2AB BF ∴⊥，1290F BF ∠=， 12135F AF ∠=︒，245BAF ∴∠=︒，设2BF x =，则2AF =，AB x =，由双曲线定义可得：122F A AB BF a +-=12F A a ∴=，又212AF AF a -=，则12F A a =-，则22a a =-，所以x =，因此12B F a =+，在12Rt F BF △中，由勾股定理可得：2221212F B BF F F +=，即()()222282a a c ++=，所以2225c e a ===+故选：C. 【点睛】求解本题的关键是先依据题意得到直角三角形，结合双曲线的定义求出三角形三边的长度与a 的数量关系，借助勾股定理求出离心率的取值即可. 11．在以下命题中：①三个非零向量a ，b ，c 不能构成空间的一个基底，则a ，b ，c 共面；②若两个非零向量a ，b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a ，b 共线；③对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若222OP OA OB OC =--，则P ，A ，B ，C 四点共面 ④若a ，b 是两个不共线的向量，且(,,,0)c a b R λμλμλμ=+∈≠，则{},,a b c 构成空间的一个基底 ⑤若{},,a b c 为空间的一个基底，则{},,a b b c c a +++构成空间的另一个基底； 其中真命题的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】D【分析】根据空间向量的运算法则，逐一判断即可得到结论.【详解】①由空间基底的定义知，三个非零向量a ，b ，c 不能构成空间的一个基底，则a ，b ，c 共面，故①正确； ②由空间基底的定义知，若两个非零向量a ，b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a ，b 共线，故②正确；③由22221--=-≠，根据共面向量定理知,,,P A B C 四点不共面，故③错误；④由c a b λμ=+，当1λμ+=时，向量c 与向量a ，b 构成的平面共面，则{},,a b c 不能构成空间的一个基底，故④错误；⑤利用反证法：若{},,a b b c c a +++不构成空间的一个基底， 设()()()1a b x b c x c a +=++-+，整理得()1c xa x b =+-，即,,a b c 共面，又因{},,a b c 为空间的一个基底，所以{},,a b b c c a +++能构成空间的一个基底，故⑤正确.综上：①②⑤正确. 故选：D. 【点睛】本题考查空间向量基本运算，向量共面，向量共线等基础知识，以及空间基底的定义，共面向量的定义，属于基础题． 12．已知F 为抛物线y 2＝的焦点，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，若3AF FB =，则|AB |＝（ ） A．3BCD【答案】A 【分析】作出抛物线的准线，设A 、B 在l 上的射影分别是C 、D ，连接AC 、BD ，过B 作BE AC ⊥于E ，由抛物线的定义结合题中的数据，可算出Rt ABE △中，1cos 2BAE ∠=，得60=︒∠BAE ，即直线AB 的倾斜角为60︒，然后联立直线与抛物线的方程，然后可算出答案. 【详解】抛物线的准线:l x =，设A 、B 在l 上的射影分别是C 、D ， 连接AC 、BD ，过B 作BE AC ⊥于E ．3AF FB =，∴设3AF m =，BF m =，由点A 、B 分别在抛物线上，结合抛物线的定义，得3AC m =，BD m =． 因此，Rt ABE △中，1cos 2BAE ∠=，得60=︒∠BAE ，所以直线AB 的倾斜角60AFx ∠=︒， 得直线AB的斜率tan 60k =︒=∴直线AB的方程：y x =，代入抛物线方程得2390x -+=．∴122x x +=12AB x x =++=， 故选：A 【点睛】关键点睛：解得本题的关键是画出图形，利用图形的特点求出直线AB 的倾斜角.13．已知正方体1111ABCD A B C D -，P 是平面11A BCD 上的动点，M 是线段11B C 的中点，满足PM 与1CC 所成的角为6π，则动点P 的轨迹为（ ） A ．圆 B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【答案】B 【分析】采用数形结合的方法，并建立空间直角坐标系，计算1,PM CC ，根据空间向量夹角公式，可得结果. 【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，连接11,C D CD 相交于点O所以11C D CD ⊥，又BC ⊥平面11CDD C ，所以1C D BC ⊥ 又1⋂=BC CD C ，所以1C D ⊥平面11A BCD 以O 为原点，1,OC OC 分别为z 轴和y 轴，然后过点O 作BC 的平行线为x 轴 建立如图所示空间直角坐标系O xyz -设2AB =，(),,0P x y所以(()(1,,M C C ()(11,,2,0,=--=PM x y CC由PM 与1CC 所成的角为6π所以11cos62⋅π===PM CC PM CC 化简可得()(22316-+-=x y ，即()(221126--+=y x所以点P 的轨迹为椭圆 故选：B 【点睛】本题考查立体几何中点的轨迹，采用数形结合的方法以及向量的使用，将几何问题代数化，使问题更加简洁明了，属中档题.二、填空题14．已知命题3:0,0∀>≤p x x ，那么命题p 的否定是________________．【答案】3000,0x x ∃>>【分析】由全称命题的否定是特称命题即可求得. 【详解】解：命题3:0,0∀>≤p x x ，∴ 命题p 的否定是：3000,0x x ∃>>.故答案为：3000,0x x ∃>>.15．在西非“埃博拉病毒"的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁，为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小鼠进行试验，得到如下列联表：附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++根据上表，有________的把握认为“小动物是否感染与服用疫苗有关”. 【答案】95% 【分析】先由题中数据求出2K ，再由临界值表，即可得出结果.【详解】由题中数据可得：222()100(10304020)1004.762 3.841()()()()5050307021-⨯-⨯===≈>++++⨯⨯⨯n ad bc K a b c d a c b d ，根据临界值表可得：犯错误的概率不超过0.05.即有95%的把握认为“小动物是否感染与服用疫苗有关”. 故答案为95% 【点睛】本题主要考查独立性检验的问题，会由公式计算2K ，能分析临界值表即可，属于常考题型.16．已知P 为椭圆221164x y +=上的一个动点，过点P 作圆()2211x y -+=的两条切线，切点分别是A ，B ，则AB的最小值为_______. 【答案】11. 【分析】连接PC ，交AB 于H，可得H 为AB 中点，求得圆心和半径，连接AC ，BC ，可得,AC PA BC PB ⊥⊥，运用勾股定理和三角形面积公式可得AB ，设()4cos ,2sin P θθ，[]0,2θπ∈，运用两点的距离公式和同角的平方关系，结合配方和二次函数的最值求法，可得所求最小值. 【详解】如图，连接PC ，交AB 于H ，可得H 为AB 中点， 圆()2211x y -+=的圆心为()1,0C ，半径1r =，连接AC ，BC ，可得,AC PA BC PB ⊥⊥， 则PA PB ==又22PA AC AB AH PC ⋅==== 设()4cos ,2sin P θθ，[]0,2θπ∈， 可得()()222221114cos 12sin 12cos 8cos 512cos 33PC θθθθθ⎛⎫=-+=-+=-+ ⎪⎝⎭，当1cos 3θ=时，2PC 取得最小值为113， 此时AB取得最小值为11=.故答案为：11. 【点睛】本题考查椭圆中的最值问题，涉及圆的相切问题，属于中档题.三、解答题17．如图，在ABC中，2,AB AC BC ===，点D 在BC 边上，45ADC ∠=︒（1）求BAC ∠的度数； （2）求AD 的长度.【答案】（1）120BAC ︒∠=（2）AD =【分析】（1）ABC ∆中直接由余弦定理可得cos BAC ∠，然后得到BAC ∠的度数； （2）由（1）知30ACB ∠=︒，在ADC ∆中，由正弦定理可直接得到AD 的值． 【详解】 解：（1）在ABC ∆中，2AB AC ==，BC =，∴由余弦定理，有2221cos 2?2AB AC BC BAC AB AC +-∠==-，∴在ABC ∆中，120BAC ∠=︒；（2）由（1）知30ACB ∠=︒， 在ADC ∆中，由正弦定理，有sin30sin 45AD AC=︒︒，∴sin30sin 45AC AD ︒=︒【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，考查了计算能力，属于基础题．18．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，3518a a +=，3550S S +=.数列{}n b 为等比数列，且11b a =，2143b a a =.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列211n n b S -⎧⎫⎨⎩+⎬⎭的前n 项和n T .【答案】（1）21n a n =+，3nn b =；（2）1311242n n T n +=--+.【分析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，将已知条件转化为1,a d 的方程组，求解，可得到21n a n =+；由已知可得13b =，29b =，从而求出数列{}n b 的通项公式； （2）由（1）得22141n S n -=-，211111322121nn n b S n n -⎛⎫+=-+ ⎪-+⎝⎭，数列211n n b S -⎧⎫⎨⎩+⎬⎭的前n 项和n T 分成两部分，其中211n S -⎧⎫⎨⎬⎩⎭用裂项相消求和，{}n b 用等比数列的前n 项和公式求和，二者相加，即可求出结论. 【详解】(1)设公差为d ，则由3518a a +=，3550S S +=， 得112618,81350,a d a d +=⎧⎨+=⎩解得13,2,a d =⎧⎨=⎩所以21n a n =+.设{}n b 的公比q ，又因为13a =，49a =，所以13b =，29b =，故3n n b =.(2)由(1)可知22141n S n -=-，则()()211111133212122121n nn n b S n n n n -⎛⎫+=+=-+ ⎪-+-+⎝⎭.数列211n S -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为111111111123352121221n n n ⎛⎫⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭， 数列{}n b 的前n 项和为()131333132n n +--=-， 故1311242n n T n +=--+.【点睛】本题考查等差数列通项、前n 项和基本量的运算，以及求等比数列的通项与前n 项和，考查裂项相消求数列的前n 和，属于中档题.19．黄河故道是商丘市著名景点，景区内有多个水库，风景优美．为了解水库内鱼类的有关情况，从多个不同位置共捕捞出100条鱼，称得每条鱼的重量（单位：千克），并将所得数据分组，画出频率分布方图（如图所示）．（1）求直方图中x 的值；（2）请根据上图估计黄河故道水库内鱼的平均重量（精确到0.01）；（3）为充分挖掘旅游资源，故道管理部门推出游船垂钓项目，若游船从8：00-17：00（早上八点整发第一班船）整点时发船，某游客在上午七点之后随机到达码头乘船，问该游客等待不超过10分钟的概率为多大？ 【答案】（1）0.56x =；（2）1.43千克；（3）16. 【分析】（1）利用频率之和为1计算；（2）由频率分布直方图估计平均值即组中值乘以对应频率之和； （3）该概率模型为几何概型，利用长度关系即可计算. 【详解】（1）由频率之和为1，可得()0.10.40.60.30.040.51x +++++⨯=，所以0.56x =；（2）由频率分布直方图，估计平均值即组中值乘以对应频率之和，0.10.50.250.40.50.750.560.5 1.250.60.5 1.75⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯0.30.5 2.250.040.5 2.75 1.43+⨯⨯+⨯⨯=，所以鱼的重量为1.43千克；（3）设游客在上午七点后随机到达码头乘船等待不超过10分钟的概率为P所以101606P ==. 【点睛】本题考查根据频率分布直方图计算图中参数以及估计平均值，考查几何概型的概率计算，属于基础题.20．如图1，在Rt ABC △中，30ACB ∠=，90ABC ∠=，D 为AC 中点，AE BD ⊥于E ，延长AE 交BC 于F ，将ABD △沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，如图2所示．（I ）求证：AE ⊥平面BCD ；（Ⅱ）求二面角A DC B --的余弦值； 【答案】（I ）证明见解析；. 【分析】（I ）由面面垂直的性质定理得证线面垂直；（Ⅱ）以E 为坐标原点，分别以EF 、ED 、EA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系E xyz -，用空间向量法求二面角的余弦值． 【详解】（I ）证明：∵平面ABD ⊥平面BCD ，交线为BD ， 又在ABD △中，AE BD ⊥于E ，AE ⊂平面ABD ， ∴AE ⊥平面BCD ．（II ）由（I ）知AE ⊥平面BCD ，∴AE EF ⊥， 由题意知EF BD ⊥，又AE BD ⊥，如图，以E 为坐标原点，分别以EF 、ED 、EA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系E xyz -， 设2AB BD DC AD ====，则1BE ED ==，∴AE =BC =EF =， 则()0,0,0E ，()0,1,0D ，()0,1,0B -，(00A ,，F ⎫⎪⎝⎭，)C ， (3,1,0)DC =，(0,1,AD =，由AE ⊥平面BCD 知平面BCD的一个法向量为EA =， 设平面ADC 的一个法向量(,,)n x y z =，则30,30,n DC x y n AD y z⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，取1x =，得(1,3,1)n =--， ∴cos ,5n EA n EA n EA⋅<>==-⋅，∴二面角A DC B --．【点睛】方法点睛：本题考查用面面垂直的性质定理证明线面垂直，用空间向量法求二面角．在图形中有相互垂直的三条直线时，常常建立空间直角坐标系，用空间向量法求空间角：异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角．这种方法用计算代替证明，考查了学生运算求解能力．21．已知抛物线22y px =的焦点为F ，若在x 轴上方该抛物线上有一点A ，满足直线FA 的倾斜角为120︒，且||4FA =.（1）求抛物线的方程；（2）若抛物线上另有两点,B C 满足0FA FB FC ++=，求直线BC 方程. 【答案】（1）212y x =；（2）0y +-=. 【分析】（1）设抛物线的准线为l ，l 与x 轴的交点为N ，利用抛物线的定义可以得到||||||cos606NF AM AF =+︒=，求出p 的值后可得抛物线的方程.（2）设点()()1122,,,B x y C x y ，由向量0FA FB FC ++=可以得到12128,x x y y +=+=-BC k =-BC 的方程.【详解】（1）设抛物线的准线为l ，l 与x 轴的交点为N ，过A 作AM l ⊥，垂足为M . 由4AF =可得4AM =，由120AFx ∠=︒，可知||||||cos606NF AM AF =+︒=，则|6|p NF ==， 故抛物线的方程为212y x =.（2）由（1）可知点A的坐标为(，()3,0F ，可设点()()1122,,,B x y C x y . 由0FA FB FC ++=，可得(()()()11223,3,0,0x y x y -+-+-=，即12128,x x y y +=+=-BC中点的坐标为(4,，∵22112212,12y x y x ==，∴()22121212y y x x -=-，故直线BC的斜率为12121212y y x x y y -==--+，∴直线BC的方程为4)y x +=--，整理为0y +-=. 【点睛】本题考查抛物线标准方程的求法以及直线和抛物线的位置关系，注意涉及到弦的中点问题可用点差法来考虑，本题属于中档题.22．已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OA OB +与()3,1a =-共线． （1）求椭圆的离心率；（2）设M 为椭圆上任意一点，且(),OM OA OB R λμλμ=+∈，证明：22λμ+为定值． 【答案】（1）离心率为e ；（2）证明见解析. 【分析】（1）设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线AB 的方程代入椭圆的方程，列出韦达定理求出OA OB +的坐标，利用OA OB +与()3,1a =-共线，可得出关于a 、b 、c 的齐次等式，进而可解得椭圆的离心率；（2）设(),OM x y =，由OM OA OB λμ=+可得出1212x x x y y y λμλμ=+⎧⎨=+⎩，由点M 在椭圆上可得出()()()22222221122121233233x y x y x x y y b λμλμ+++++=，利用韦达定理可计算得出121230x x y y +=，再由222221122333x y x y b +=+=可计算得出221λμ+=，即可证得结论成立.【详解】（1）设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，(),0F c ，则直线AB 的方程为y x c =-，联立22221y x c x y ab =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得()()222222220a b x a cx a c b +-+-=，设点()11,A x y 、()22,B x y ，由韦达定理可得212222a cx x a b +=+，()2221222a cb x x a b -=+，由()1212,OA OB x x y y +=++，()3,1a =-， 由OA OB +与a 共线，得()()121230y y x x +++=， 又11y x c =-，22y x c =-，()()1212320x x c x x +-++=，1232x x c ∴+=，即222232a c c a b =+，可得()222233a b a c ==-，所以，2223c a =，所以，椭圆的离心率为3c e a ===； （2）证明：由（1）知223ab ，所以椭圆方程22221x y a b+=可化为22233x y b +=．设(),OM x y =，由OM OA OB λμ=+得()()()1122,,,x y x y x y λμ=+，1212x x x y y y λμλμ=+⎧∴⎨=+⎩. (),M x y 在椭圆上，()()222121233x x y y b λμλμ∴+++=，()()()22222221122121233233x y x y x x y y b λμλμ∴+++++=．（※） 由（1），知1232c x x +=，2232a c =，2212b c =，22222122238a c ab x xc a b -==+． ()()()222212121212121239334333022x x y y x x x c x c x x c x x c c c c +=+--=-++=-+=．又2221133x y b +=，2222233x y b +=，代入（※）式，得221λμ+=．故22λμ+为定值，定值为1． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式； （5）代入韦达定理求解.。
