最新高一数学下学期3月月考试题2(1)

卜人入州八九几市潮王学校新世界中英文二零二零—二零二壹高一数学下学期3月月考试题〔含解析〕一、选择题：在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内〔每一小题5分，一共60分〕.α是第二象限角，角α的终边经过点(),4Px ,且cos 5xα=,那么tan α=〔〕 A.43-B.34-C.34D.43【答案】A 【解析】【详解】因为r =，所以由题设及余弦函数的定义可得35xx =⇒=-，故44tan 33α==--，应填答案A ． 2.假设α是第一象限角，那么sin α+cos α的值与1的大小关系是〔〕 A.sinα+cosα＞1 B.sinα+cosα=1C.sinα+cosα＜1D.不能确定【答案】A 【解析】试题分析：设角α的终边为OP ，P 是角α的终边与单位圆的交点，PM 垂直于x 轴，M 为垂足，那么由任意角的三角函数的定义，可得sin α=MP=|MP|，cos α=OM=|OM|，再由三角形任意两边之和大于第三边，得出结论．解：如下列图：设角α的终边为OP ，P 是角α的终边与单位圆的交点，PM 垂直于x 轴，M 为垂足，那么由任意角的三角函数的定义，可得sinα=MP=|MP|，cosα=OM=|OM|．△OPM 中，∵|MP|+|OM|＞|OP|=1，∴sinα+cosα＞1，应选A ．考点：三角函数线． 3.方程2sin 2sin 0x x a --=在x ∈R 上有解，那么a 的取值范围是〔〕A.[1,)-+∞B.(1,)-+∞C.[1,3]-D.[1,3)-【答案】C 【解析】 【分析】 转化2sin 2sin 0x x a --=，为22sin 2sin (sin 1)1a x x x =-=--，令sin t x =，计算2(1)1y t =--的值域即得解.【详解】由于2sin 2sin 0x x a --=，即22sin 2sin (sin 1)1a x x x =-=--令sin ,[1,1]tx t =∈-故[1,3]a ∈- 应选：C【点睛】此题考察了转化方程有解为三角函数与二次函数复合函数的值域问题，考察了学生转化划归，数学运算的才能，属于中档题.α与β都是第一象限角，并且αβ>，那么一定有如下关系〔〕A.sin sin αβ>B.sin sin αβ<C.sin sin αβ≠D.不能确定【答案】D 【解析】 【分析】对α与β取特殊值，即可得答案； 【详解】对A ，当390,60αβ==时，sin sin αβ<，故A 错误；对B ，当60,30αβ==时，sin sin αβ>，故B 错误； 对C ，当390,30αβ==时，sin sin αβ=，故C 错误；应选：D.【点睛】此题考察象限角的概念及任意角三角函数的定义，属于根底题.5sin7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，那么〔〕 A.a b c << B.a c b <<C.b c a <<D.b a c <<【答案】D 【解析】【详解】因为，，所以，，且，所以，，所以,应选D .6.α是三角形的一个内角且2sin cos 3αα+=，那么此三角形是〔〕 A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形【答案】C 【解析】 由题设可知α是三角形的一个内角，那么sin 0α>，将2sin cos 3αα+=两边平方可得412sin cos 9αα+=，即5sin cos 0cos 018ααα=-<⇒<，所以2παπ<<，即该三角形是钝角三角形，应选答案C ．sin tan 0αα<且cos tan 0αα>，那么角2α为〔〕A.第一象限角B.第二象限角C.第一或者第二象限角D.第一或者第三象限角【答案】D 【解析】 【分析】先判断角α所在的象限，再判断角2α所在的象限.【详解】sin tan 0αα<且cos tan 0αα>，∴α为第二象限角，∴22,2k k k Z ππαππ+<<+∈，∴,422k k k Z παπππ+<<+∈，∴2α为第一或者第三象限角.应选：D.【点睛】此题考察三角函数在各个象限的符号、象限角的表示方法，考察运算求解才能，属于根底题.sin 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是〔〕A.周期为π的奇函数B.周期为π的偶函数C.周期为2π的奇函数D.周期为2π的偶函数【答案】B 【解析】 【分析】根据诱导公式可得sin 2cos 22y x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，直接可得函数为偶函数，利用周期公式可求得函数的周期.【详解】sin 2cos 22y x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，∴22T ππ==，又cos 2y x =为偶函数， 应选：B.【点睛】此题考察诱导公式和余弦函数的性质，考察运算求解才能，属于根底题.(sin )cos f x x =，那么(cos 60)f =()A.12C.12-D.【答案】B 【解析】解：因为(sin )cos f x x =，那么3(cos 60)(sin 30)cos302f f ===，选B10.同时具有性质：①最小正周期是π；②图象关于直线3xπ=对称；③在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数的一个函数是〔〕A.sin 26x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C.cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】运用三角函数的性质对四个选项逐一进展分析即可得到结论【详解】对于A ，26x y sin π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2412T πππ==≠，故排除A对于B ，sin 26yx π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，T π=，满足图象关于直线3x π=对称，且在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，符合题意对于C ，23y cos x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，[]20,3x ππ+∈，所以23y cos x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数，故排除C 对于D ，sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令262x k πππ+=+，62k x ππ=+，其图象不关于直线3x π=对称，故排除D 应选B【点睛】此题考察了三角函数的图像性质，考察了其周期性、对称性、单调性等知识点，纯熟运用图像性质来解题是关键．AD 的是〔〕A.MB AD BM+-B.()()AD MB BC CM +++C.()AB CD BC ++D.OCOA CD -+【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的加法和减法运算，结合排除法，即可得答案； 【详解】对B ，()()AD MB BC CM AD MB BC CM AD +++=+++=，故B 正确；对C ，()AB CD BC AB BC CD AD ++=++=，故C 正确；对D ，OC OA CD AC CD AD -+=+=，故D 正确；应选：A.【点睛】此题考察向量加法和减法的运算，求解时注意向量减法起点要一样.ABC 所在平面内的一点，且满足53AM AB AC =+，那么ABM 与ABC 的面积比为〔〕.A.15B.25C.35D.45【答案】C【解析】 【分析】 将条件53AMAB AC =+中的AB 转化为2AD ，然后然后化简得23DM MC =，由此求得两个三角形高的比值，从而求得面积的比值. 【详解】如图，由5AM =AB +3AC 得2AM =2AD +3AC -3AM ，即2(AM -AD )=3(AC -AM )，即2DM =3MC ，故DM =3DC 5，故△ABM 与△ABC 同底且高的比为3∶5，故S △ABM ∶S △ABC =3∶5.所以选C.【点睛】本小题考察平面向量的线性运算，考察三角形面积的比值的求法，属于根底题. 二、填空题：请把答案填在题中横线上〔每一小题5分，一共20分〕α的终边落在射线(0)y x x =-≥上，那么sin cos αα+=________.【答案】0 【解析】 【分析】根据三角函数的定义，分别求得sin ,cos αα的值，即可得到答案. 【详解】角α的终边落在射线(0)y x x =-≥上，∴sin αα==，∴sin cos 0αα+=.故答案为：0.【点睛】此题考察角α的终边求三角函数值，考察对概念的理解，属于根底题.sin ,0,()612,0,x x f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪->⎩那么[(1)]f f =________.2【解析】 【分析】根据分段函数的解析式，先求(1)f 的值，再求[(1)]f f 的值.【详解】sin ,0,()612,0,x x f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪->⎩∴(1)121f =-=-， ∴1[(1)](1)sin()62f f f π=-=-=-.故答案为：12-.【点睛】此题考察分段函数的求值、特殊角三角函数的求值，考察函数与方程思想，考察运算求解才能，属于根底题.|sin |lg x x =的解的个数为_______.【答案】5 【解析】 【分析】 画出函数|sin |y x =与lg y x =的图像，根据图像的交点个数，即可得到答案.【详解】作出函数|sin |y x =与lg y x =的图像，如下列图，当7102xπ=>时，∴lg 1x ， ∴两个图像交点个数为5个.故答案为：5.【点睛】此题考察利用数形结合求函数图像交点的个数，考察函数与方程思想、数形结合思想.(sin cos )sin cos f αααα+=⋅，那么sin 6f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是______.8【解析】 【分析】令sin cos t αα+=，利用角三角函数关系中的平方和为1这个公式，可以求出sin cos αα⋅的值，这样可以求出函数的解析式，最后代入求值即可. .【详解】令222sin cos (sin cos )12sin cos t t t αααααα+=⇒+=⇒+⋅=，21sin cos 2t αα-⇒⋅=，因为(sin cos )sin cos f αααα+=⋅，所以21()2t f t -=， 所以21()1132sin ()6228f f π-⎛⎫===- ⎪⎝⎭【点睛】此题考察了求函数解析式，并求函数值问题，考察了换元法，掌握同角三角函数关系中的平方和为1这个公式是解题的关键.三、解答题：解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤〔一共70分〕. ，所在圆的半径为R ，假设扇形的周长为40cm,当它的圆心角为多少弧度时，该扇形的面积最大？最大面积为多少？ 【答案】圆心角为2弧度时，该扇形的面积最大，最大面积为【解析】【详解】(1)设扇形的弧长为cm,由题意知，,然后再利用,得到S 关于R 的函数求解即可.解：设扇形的弧长为cm,由题意知，∴∴∴当时，扇形的面积最大；这个最大值为.此时，故当扇形的圆心角为2弧度时，该扇形的面积最大，最大面积为.18.〔1〕在ABC ∆中，1sin22A =，求cos 2B C +的值. 〔2〕求函数5sin 2,,366y x x πππ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的单调递减区间.【答案】〔1〕12〔2〕单调减区间为7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】〔1〕利用三角形的内角和为π，结合诱导公式，即可得答案；〔2〕解不等式3222,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，再与区间5,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦取交集，即可得答案；【详解】〔1〕222B C AA B C ππ+++=⇒=-， 1coscos sin22222B C A A π+⎛⎫=-== ⎪⎝⎭. 〔2〕由3222,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈， ∴函数的单调减区间为7,()1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦， 由于5,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以单调减区间为7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】此题考察诱导公式、正弦函数的单调性，考察函数与方程思想、转化与化归思想，考察逻辑推理才能、运算求解才能.19.〔1〕求函数()lg(2cos 1)f x x =-+〔2〕假设cos θ=，求sin(5)cos cos(8)23sin sin(4)2πθπθπθπθθπ⎛⎫-⋅-⋅- ⎪⎝⎭⎛⎫-⋅-- ⎪⎝⎭的值. 【答案】〔1〕55773333x x x x ππππ⎧⎫-≤<--<<<≤⎨⎬⎩⎭或或.〔2〕4± 【解析】【分析】〔1〕根据对数的真数大于0，被开方数大于等于0，解不等式即可得答案；〔2〕利用诱导公式将原式化简成sin θ，再利用同角三角函数的平方关系，即可得答案.【详解】〔1〕由题意可知21cos 2490x x ⎧>⎪⎨⎪-≥⎩，解得22,3377k x k k Z x ππππ⎧-<<+∈⎪⎨⎪-≤≤⎩ ∴573x π-≤<-或者33x ππ-<<或者573x π<≤ 故函数的定义域为55773333x x x x ππππ⎧⎫-≤<--<<<≤⎨⎬⎩⎭或或. 〔2〕因为sin(5)cos cos(8)23sin sin(4)2πθπθπθπθθπ⎛⎫-⋅-⋅- ⎪⎝⎭⎛⎫-⋅-- ⎪⎝⎭(sin )sin cos sin cos (sin )4θθθθθθ-⋅⋅====±⋅-. 【点睛】此题考察函数定义域的求解、诱导公式的综合运用，考察函数与方程思想、转化与化归思想，考察逻辑推理才能、运算求解才能，求解时注意三角函数值的符号.20.0a >，函数()2sin 226f x a x a b π⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，5()1f x -≤≤，求常数,a b 的值.【答案】2,5ab ==-【解析】【分析】 求出72666x πππ≤+≤，利用正弦线可得函数()2sin 226f x a x a b π⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭的最大值与最小值，解方程组得常数,a b 的值.【详解】0,0,2a x π⎡⎤>∈⎢⎥⎣⎦，∴72666x πππ≤+≤，根据单位圆中的正弦线可得： 当7266x ππ+=，即2x π=时，sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭获得最小值12-， ∴max 1()2()21312f x a a b a b =-⨯-++=⇒+=； 当262x ππ+=，即6x π=时，sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭获得最小值1， ∴min ()21255f x a a b b =-⨯++=-⇒=-；解得：2,5a b ==-.【点睛】此题考察根据函数的值域求参数的值，考察逻辑推理才能、运算求解才能.x 的方程221)0x x t -++=的两个根为,cos ,(0,2),sin αααπ∈求：〔1〕sin tan cos tan 11tan ααααα+--的值；〔2〕实数t 的值；〔3〕方程的两个根及此时α的值【答案】〔1；〔2〕.〔3〕6πα=或者3πα=.【解析】【详解】第一问中利用一元二次方程中根与系数的关系得到,cos ,(0,2),sin αααπ∈的关系式，然后将所求解的化简，代值得到．第二问利用正弦值和余弦值的关系，利用和值平方后得到积值第三问中，利用第一问中两个和，以及第二问中的结论，得到,cos ,(0,2),sin αααπ∈，进而求解得到角．解：〔1〕因为〔2〕因为 故32t = 〔3〕由〔2〕得：1sin 23cos 2αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或者3sin 21cos 2αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴6πα=或者3πα=。

高一下学期3月月考数学试题一、单选题1．命题“”的否定是（ ） 2010x x ∀>->，A ． B ． 2010x x ∀≤->，2010x x ∃>->，C ． D ．2010x x ∃≤-≤，2010x x ∃>-≤，【答案】D【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可求解. 【详解】命题“”的否定是, 2010x x ∀>->，2010x x ∃>-≤，故选：D2．求值：（ ） sin105=A B C D 【答案】B【分析】根据两角和的正弦公式求得结果.【详解】()16045sin 60cos 45cos 60sin 4sin1505sin 2⎫+=+==⎪⎪=⎭故选：B.3．一个扇形的圆心角为，面积为，则该扇形弧长为（ ） 120 3πA ． B ． C ． D ．π2π3π4π【答案】B【分析】由扇形的面积公式求得扇形的半径，进而由弧长公式计算可得.【详解】设扇形的弧长为，半径为，根据已知的扇形的圆心角，面积， l r 2π1203α==3πS =由扇形的面积公式，得，解得（负值舍去），212S r α=212π3π23r =⨯⨯3r =由弧长公式， 2π32π3l r α==⨯=故选：B4．已知角的终边经过点，则的值等于（ ） α()2,4P -sin cos αα-A ．BC ．D ．15【答案】A【分析】根据三角函数的定义求出、，再代入计算可得. sin αcos α【详解】因为角的终边经过点，所以，α()2,4P -sin α=-，cos α=所以sin cos αα-==故选：A5．已知函数的图象如图所示，则可以为（ ）()f x ()f xA ．B ．C ．D ． ||()e x f x x =()e e x xxf x -=-()e xx f x =||3()e x x f x =【答案】D【分析】观察函数的图像，根据函数的性质，利用排除法可得选项.【详解】对于A ，由函数图像可知，时，，而，当时，x →+∞()0f x →||()e x f x x =x →+∞，故A 错误；()f x →+∞对于B ，由函数的图像可以看出，当时，函数有意义，而函数在无定0x =()f x ()e e x xxf x -=-0x =义，故B 错误；对于C ，函数图像关于原点对称，即函数为奇函数，由为非奇非偶函数，故C 错误； ()e xxf x =对于D ，是一个奇函数，时，，符合图象，故D 正确. ||3()ex xf x =x →+∞()0f x →故选：D. 6．已知，，，则（ ） 21log 3a =0.5e b =ln 2c =A ． B ． C ． D ．a b c >>b a c >>b c a >>c b a >>【答案】C【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可. 【详解】因为，，，33323110log 2log 31log 3log 3log 2a <===<=0ln 2ln e 1c <=<=0.50e e 1b =>=又，所以，即. 3ln 2ln 2ln 3ln 2ln 3ln e 1ln 2log 2ln 2ln 3==⨯=>=3ln 2log 2>b c a >>故选：C7．已知函数的图象在区间上与轴有2024个交点，则的最小值π()2sin(2)13f x x =+-[]a b ，x b a -是（ ） A ． B ．C ．D ．3035π31011π1012π【答案】A【分析】求出方程的根，再找到取最小值时的零点,求得结果即可.()0f x =b a -【详解】由得，π()2sin(2)103=+-=f x x π1sin(2)32x +=解得或， ππ22π36+=+x k π5π22π,36x k k +=+∈Z 所以或，ππ12x k =-+ππ,4x k k =+∈Z 令,,,,,1π12=-x 2π4x =3π11ππ1212=-+=x 4π5ππ=44=+x ⋅⋅⋅,,当,时，2023π1011π12=-+x 2024π1011π4=+x 2023π1011π12==-+b x 1π12==-a x 取最小值，最小值为. b a -20241ππ103034π311π412⎛⎫-=+--= ⎪⎝⎭x x 故选：A.8．函数的零点为，函数的零点为，则下列结论正确的是()e 1x f x x =-a ()(ln 1)e g x x x =--b （ ） A ． B ． C ． D ．2eba +=2eb a +>2e ab =2e ab >【答案】B【分析】变换得到，，构造，确定函数单调递增得到ln 0a a +=e eln 0b b+=()ln g x x x =+，确定，根据均值不等式计算得到答案.()e g a g b ⎛⎫= ⎪⎝⎭e ab =【详解】，则，，即，即；()e 1a f a a =-1e aa =0a >1ln ln a a a==-ln 0a a +=，，则，即.()()ln 1e 0g b b b =--=0b >e e lnln e b b b==-e eln 0b b +=设，则函数在上单调递增，，()ln g x x x =+()0,∞+()e g a g b ⎛⎫= ⎪⎝⎭故，即，ea b=e ab =，当时，不成立，故， 12e b a a a +=+≥=1a =ln 0a a +=1a ≠等号不成立，故，ACD 错误B 正确.12e b a a a +=+>故选：B【点睛】关键点睛：本题考查了函数的零点问题，对数运算，均值不等式，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中构造函数确定单调性，变换得到是解题的关键.()e g a g b ⎛⎫= ⎪⎝⎭二、多选题9．已知∈R ，则下列结论正确的是（ ） a b c ，，A ．若，则 B ．若，则 22ac bc >a b >0a b <<2a ab >C ．若，则 D ．若，则 0c a b >>>a b c a c b<--1a b >>11a b b a->-【答案】ABD【分析】对于ABC 项：根据不等式的性质逐项判断.对于D 项，使用作差法比大小. 【详解】对于A ：因为，所以，所以，故A 正确；22ac bc >20c >a b >对于B ：因为，所以，两边同乘以得，故B 正确； 0a b <<0a b ->->a -2a ab >对于C ：因为，所以，所以，又，两式相乘0c a b >>>0c a c b <-<-110c a c b>>--0a b >>得，故C 错误； a bc a c b>--对于D ：,()()()11111a b ab a b a b a b a b b a b a ab ab --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=---=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为，所以,所以，所以，故D 正确. 1a b >>1ab >()10ab a b ab -⎛⎫-> ⎪⎝⎭11a b b a ->-故选：ABD10．将函数的图像上所有点横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数π()2sin(2)3f x x =-的图像，则下列结论正确的是（ ）()g x A ．π()2sin()6g x x =-B ．函数在上单调递增()g x (0π2，C ．点是函数图像的一个对称中心 4π(0)3()g x D ．当时，函数的最大值为2π[π]2x ∈-，()g x 【答案】BC【分析】先根据伸缩得出新函数判断A 选项，再根据单调性判断B 选项，代入法验证对称中心判断C 选项，根据值域判断D 选项.【详解】函数的图像上所有点横坐标变为原来的2倍，,A 选π()2sin(23f x x =-π()2si 3n()g x x =-项错误;,函数在上单调递增,B 选项正确;(0),ππππ,2336x x ⎛⎫∈-- ⎪⎝∈⎭，()g x (0π2，当,点是函数图像的一个对称中心,C 选项正确; 4π,3x =4π4ππ(2sin()2sin π0333g =-==4π(0)3，()g x 当,,选项错误.π[π]2x ∈-，π4ππ,336x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦-max 4π()(π)2sin(3g x g =-=-=故选:BC.11．关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（ ）A ．若，，则1,3)a = （(24)b =-，()a b a +⊥ B ．点，与向量同方向的单位向量为()()1132M N --，，，MN 4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，C ．若，则与的夹角为20a b a b a +=-=≠ a b + a b -60 D ．若向量，，则向量在向量上的投影向量为 (12)a = ，(26)b =- ，a b 14b -【答案】ABD【分析】对于A ，利用向量垂直的坐标表示进行判断；对于B ，与向量同方向的单位向量为MN；对于C ，利用两向量夹角的余弦坐标公式求解即可；对于D ，利用投影向量公式求解即可. MN MN【详解】对于A ，，，，1,3)a = （(24)b =-，()3,1+=- a b 因为，则，故A 正确； ()()=31+13=0a b a +⋅⨯-⨯ ()a b a +⊥对于B ，已知点，，()()1132M N --，，，()4,3MN =- 5=与向量同方向的单位向量为，故B 正确； MN4355MN MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对于C ，若，由得. 20a b a b a +=-=≠ 22a b a b +=- 0a b ⋅=由，得，224a b a += 223b a = ，，2a a +== 2a a +==则， ()()222222241cos ,2a b a b a b a b a b a b a b a a a a+⋅-+-===-+---=⋅则与的夹角为，故C 错误；a b + a b -120 对于D ，若向量，，， (12)a = ，(26)b =-，()122610a b ⋅=⨯+⨯-=- ，则向量在向量上的投影向量为，故D 正确.=a b 14a b b b b bb ⋅⋅==-故选：ABD.12．已知函数，则（ ） 2()441x x xf x x =+--A ．是奇函数 B ．的图象关于点对称()f x ()f x ()1,1C ．有唯一一个零点 D ．不等式的解集为()f x ()()223f x f x +<()(),11,3-∞- 【答案】BCD【分析】求解的定义域，可知定义域不关于原点对称，知A 错误；根据解析式验证可知()f x ，则知B 正确；当时，由单调性的性质可确定在上单调递()()112f x f x ++-=1x >()f x ()1,+∞减，结合值域的求法可求得；结合对称性可知在上单调递减；利用零点存在()1f x >()f x (),1-∞定理可说明在有且仅有一个零点，知C 正确；结合C 的结论可说明时，()f x (),1-∞1x >()1f x >时，；利用单调性，分别讨论和在同一单调区间内、两个不同单调区间内的1x <()1f x <23x +2x 情况，解不等式组可求得结果.【详解】对于A ，由得：，即定义域为，不关于原点对称，44010x x ⎧-≠⎨-≠⎩1x ≠()f x {}1x x ≠为非奇非偶函数，A 错误；()f x \对于B ，，()112121144242x x x xx xf x x x+++++=+=+-⨯- ， ()()1122112412121444224244444xx x x x x x x xx x x x f x x x x x ----⋅---=-=-=-=---⨯-⨯-，图象关于点对称，B 正确；()()112f x f x ∴++-=()f x \()1,1对于C ，当时，； 1x >()1141212x xf x x=+--在上单调递增，在上单调递增， 2x t = ()1,+∞4y t t=-()2,+∞在上单调递增，在上单调递减；422xx y ∴=-()1,+∞1422x x y ∴=-()1,+∞在上单调递增，在上单调递减；11y x=- ()1,+∞111y x ∴=-()1,+∞在上单调递减；()f x \()1,+∞由B 知：图象关于对称，在上单调递减；()f x ()1,1()f x \(),1-∞当时，，，，在上无零点； 1x >2044xx >-11111x x x =+>--()1f x ∴>()f x \()1,+∞当时，，， 1x <()11000143f =+=-<-()1111210123044f -=+=>-，使得，则在上有唯一零点；()01,0x ∴∃∈-()00f x =()f x (),1-∞0x x =综上所述：有唯一一个零点，C 正确；()f x 对于D ，由C 知：在和上单调递减， ()f x (),1-∞()1,+∞又时，；1x >()1f x >时，；1x ∴<()1f x <①当，即时，由得，解得，即；22311x x +>⎧⎨>⎩1x >()()223f x f x +<223x x +>13x -<<13x <<②当时，不等式组无解，不合题意；22311x x +<⎧⎨<⎩③当，即时，，，不合题意；22311x x +>⎧⎨<⎩11x -<<()231f x +>()21f x <④当，即时，，，符合题意；22311x x +<⎧⎨>⎩1x <-()231f x +<()21f x >综上所述：的解集为：，D 正确.()()223f x f x +<()(),11,3-∞- 故选：BCD.三、填空题13．请写出一个满足条件①和②的幂函数，条件：①是偶函数；②为上的减()f x ()f x ()f x ()0,∞+函数．则________． ()f x =【答案】(答案不唯一)2x -【分析】根据幂函数的性质即可求解.【详解】设，根据幂函数为偶函数，则为偶数，又为上单调递减，故()f x x α=α()f x ()0,∞+0α< ，故可取， 2()f x x -=故答案为：（答案不唯一）2x -14．已知函数则________．()()e ,11,1xx f x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩(ln3)f =【答案】3e【分析】由及可得：，即可求得：，ln31>()()e ,11,1xx f x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩()()ln3ln31f f =-()3ln31e f -=问题得解.【详解】因为，所以， ln31>()()ln3ln31f f =-因为，所以，所以.ln311-<()ln3ln31e 3l 31ee n ef -=-==()3ln3e f =故答案为：3e15．点P 是正方形外接圆圆O 上的动点，正方形的边长为2，则的取值ABCD 2OP OB OP OC ⋅+⋅范围是________．【答案】 [-【分析】根据题意求出圆的半径，建立如图平面直角坐标系，设，xOy )P θθ，利用平面向量线性运算和数量积的坐标表示可得，[]0,2πθ∈2OP OB OP OC ⋅+⋅=)ϕθ-结合三角函数的有界性即可求解.【详解】由题意知，圆O =建立如图平面直角坐标系，，xOy (1,1),(1,1)C B -得，(1,1),(1,1)OC OB ==-设，，则， )P θθ[]0,2πθ∈)OP θθ=所以2)OP OB OP OC θθθθ⋅+⋅=，其中， )θθϕθ==-tan 3ϕ=又，所以，02πϕθ≤-≤1sin()1ϕθ-≤-≤则，2OP OB OP OC ⋅+⋅=)[ϕθ-∈-即的取值范围为.2OP OB OP OC ⋅+⋅[-故答案为：.[-四、双空题16．已知函数的图象如图所示，图象与轴的交点为()()πsin 02||0f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭,,x ，与轴的交点为，最高点，且满足．则________；将的图5,02M ⎛⎫⎪⎝⎭y N ()1,P A NM NP ⊥ω=()f x 象向右平移1个单位得到的图象对应的函数为，则________．()g x ()1g =【答案】/ 3π13π【分析】根据图象可求得最小正周期，由此可得，结合五点作图法可求得，将代入解析式ωϕ0x =可求得点坐标，根据垂直关系可构造方程求得的值，进而得到的解析式，再根据三角函N A ()f x 数的变换规则得到的解析式，从而求出.()g x ()1g 【详解】由图象可知的最小正周期，， ()f x 54162T ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭2ππ3T ω∴==由五点作图法可知：，解得，()π52ππ32k k ϕ⨯+=+∈Z ()π2π6k k ϕ=+∈Z 又，，，，π2ϕ<π6ϕ∴=()ππsin 36f x A x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭()π0sin 62A f A ∴==即，，，0,2A N ⎛⎫⎪⎝⎭5,22A MN ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭ 1,2A NP ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，，，又，MN NP ⊥ 25024A MN NP ∴⋅=-+= 210A ∴=0A >，A∴=()ππ36f x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭将的图象向右平移1个单位得到，()f x ()()ππππ13636g x x x ⎡⎤⎛⎫=-+=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭所以()πππ3166g ⎛⎫=-=⎪⎝⎭故答案为：π3五、解答题17．设，已知集合，集合． a ∈R 32{1}1x A x x +=<-22{210}B x x ax a =-+-<(1)若，求；1a =A B ⋃(2)求实数的取值范围，使_______成立．a 从① ② ③中选择一个填入横线处并解答． A B ⋂=∅A B ⊆R ðB A ⊆R ð注：若选择多个条件分别作答，按第一个解答计分． 【答案】(1)3(,2)2A B ⋃=-(2)或52a ≤-2a ≥【分析】（1）先解分式不等式求出集合A ，根据一元二次不等式的解法求出集合B ，结合并集的概念和运算即可得出结果；（2）①根据集合没有公共元素，列出不等式求得结果；②根据补集的概念和运算求出，,A B B R ð利用集合间的包含关系可求出对应条件的参数；③根据补集的概念和运算求出，利用集合间的A R ð包含关系可求出对应条件的参数.【详解】（1）因为 3232231100111x x x A xx x x x x ⎧⎫⎧⎫⎧⎫+++=<=-<=<⎨⎬⎨⎬⎨⎬---⎩⎭⎩⎭⎩⎭所以.3(,1)2A =-因为，{}{}22|21011B x x ax a x a x a =-+-<=-<<+所以.(1,1)B a a =-+所以 3(,2)2A B ⋃=-（2）①，又， A B =∅ 3(,1)2A =-(1,1)B a a =-+或， 312a ∴+≤-11a -≥或. 52a ∴≤-2a ≥②，，又 A B ⊆R ð(][),11,=-∞-++∞ B a a R ð3(,1)2A =-或， 312a ∴+≤-11a -≥或. 52a ∴≤-2a ≥③，，又 B A ⊆R ð[)3,1,2⎛⎤=-∞-+∞ ⎥⎝⎦ A R ð(1,1)B a a =-+或 312a ∴+≤-11a -≥或 52a ∴≤-2a ≥18．已知． 3ππsin 2cos 022αα⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)若为第一象限角，求；αsin α(2)求的值． 221sin cos sin cos αααα+-【答案】(1)sin α(2) 73-【分析】（1）由诱导公式以及同角平方和关系即可求解，（2）由弦切互化以及齐次式即可求解.【详解】（1）得即 3ππsin 2cos 022αα⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos 2sin 0αα-+=2sin cos αα=又联立解得22sin cos 1αα+=sin cosαα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩因为为第一象限角，所以． αsin α（2）由（1）知得． ． 2sin cos αα=1tan 2α=． 221sin cos sin cos αααα+-2222sin cos sin cos sin cos αααααα++=-． ． 22tan 1tan tan 1ααα++=-73=-19．已知，． π(,π)2α∈π3sin()45α+=(1)求；cos α(2)若，且，求． π(0)2β∈，4cos 5β=αβ+【答案】(1)(2)3π4 【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系及两角差的余弦公式即可求解；（2）根据（1）的结论及同角三角函数的平方关系，结合两角和的正弦公式及三角函数的特殊值对应特殊角注意角的范围即可求解.【详解】（1）由，得． π(,π)2α∈3ππ5π444α<+<， π3sin()45α+=π4cos(45α∴+==- ππππππcos cos[(]cos()cos sin()sin 444444αααα∴=+-=+++． 4355=-=（2）由， π(,π)2α∈cos α=sin α==由，得， π(0,2β∈4cos 5β=3sin 5β==． 43sin()sin cos cos sin (55αβαβαβ∴+=+=+⨯=又 ππ(,π),(0,)22αβ∈∈ π3π(,22αβ∴+∈ 3π4αβ∴+=20．如图，在平行四边形中，，，． ABCD 60BAD ∠=︒12BE BC = 2CF FD =(1)若，求的值；EF xAB y AD =+ 32x y +(2)若，，求边的长．6AB = 18AC EF ⋅=- AD 【答案】(1)321x y +=-(2)4【分析】（1）根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理求出，，即可得解； x y （2）设长为，根据数量积的运算律得到方程，解得即可.AD x 【详解】（1）在平行四边形中，，, ABCD 12BE BC = 2CF FD = 所以， 1121()3232EF AF AE AD AB AB AD AB AD =-=+-+=-+ 又，，，. EF xAB y AD =+ 23x ∴=-12y =321x y ∴+=-（2）设长为， AD x ()2132AC EF AB AD AB AD ⎛⎫⋅=+⋅-+ ⎪⎝⎭ 22211326AB AD AB AD =-+-⋅ 222c 1os 2136BAD AB AD AB AD =⋅∠-+- ， 211241822x x =--=-，或（舍去），即.2120x x ∴--=4x ∴=3-4=AD 21．水培植物需要一种植物专用营养液，已知每投放且个单位的营养液，它在水(04a a <≤R)a ∈中释放的浓度克/升随着时间天变化的函数关系式近似为，其中(y )(x )()y af x =，若多次投放，则某一时刻水中的营养液浓度为每次投放的营养液在相()[](]2046154102x x x f x x x +⎧∈⎪⎪-=⎨⎪-∈⎪⎩，，，，应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中营养液的浓度不低于克/升时，它才能有效．4()(1)若只投放一次4个单位的营养液，则有效时间最多可能持续几天？(2)若先投放2个单位的营养液，6天后再投放个单位的营养液，要使接下来的4天中，营养液能m 够持续有效，试求的最小值．m【答案】(1)6天(2)2【分析】（1）根据给定函数，列出不等式求解作答.（2）求出两次投放营养液在水中释放的浓度，由已知列出恒成立的不等式，分离参数借助均值不等式求出最值作答.【详解】（1）因为一次投放4个单位的营养液，所以水中释放的营养液浓度为， ．()84,0446202,410x x f x y x x x +⎧≤≤⎪==-⎨⎪-<≤⎩当时，，解得； ． 04x ≤≤8446x x+≥-24x ≤≤当时，，解得； ．410x <≤2024x -≥48x <≤综上求得，28x ≤≤所以一次投放4个单位的营养液，则有效时间可持续6天． ． （2）设从第一次投放起，经过x （）天后，浓度为610x ≤≤1()2526(626)g x x m x x ⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭． 41012x x m x-=-+-因为，所以，610x ≤≤120x ->40x ->所以即 410412x x m x--+≥-(6)(12)4x x m x --≥-1610[(4)]4x x =--+-所以 ()161041024x x ⎡⎤--+≤-=⎢⎥-⎣⎦当且仅当，即时，等号成立，所以 1644x x -=-8x =2m ≥答：为使接下来的4天中能够持续有效m 的最小值为222．已知函数的图象过点，函数，函数()()()ln R f x x c c =-∈(1)0，()(1)(1)h x f x f x =+--．1()421x x g x m m +=+-+(1)判断并证明函数的奇偶性；()h x (2)若存在两不相等的实数，使，且，求实数的取值范围．a b ，()()0h a h b +=()()0g a g b +≥m 【答案】(1)奇函数；证明见解析(2) 2512∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，【分析】（1）根据奇偶性的定义判断的奇偶性；()h x （2）根据条件知且，原问题等价于不等式在0a b +=()()1001a ∈-⋃，，()()0g x g x +-≥有解，令转化为在有解即可. ()()1001-⋃，，22x xt -=+221t m t ≥--522t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，【详解】（1）函数的图象过点，，解得，函数()()()ln R f x x c c =-∈()10，()ln 10c ∴-=0c =∴的解析式为；， ()f x ()ln f x x =()()()ln 1ln 1h x x x ∴=+--，解得， 1010x x ->⎧∴⎨+>⎩11x -<<的定义域为，其定义域关于原点对称，()h x ∴()11-，又，，()()()ln 1ln 1h x x x -=--+()()0h x h x ∴-+=故为定义域内的奇函数.()h x （2）函数都是上的增函数， ()()ln 1ln 1y x y x =+=--，()11-，是定义域内的增函数，()h x ∴，且为定义在的奇函数，()()()0h a h b a b +=≠ ()h x ()11-，且， 0a b ∴+=()()1001a ∈-⋃，，原问题等价于不等式在有解， ∴()()0g x g x +-≥()()1001-⋃，，， ()()()044222220x x x x g x g x m m --+-≥⇔++++⋅-≥令，，则， 22x x t -=+()()1001x ∈- ，，2442x x t -=++令，可知，则， 2x k =()11122k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，，1t k k =+构造函数，， ()1F k k k =+()11122k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，设，则 211k k >>()()()122121212112111k k F k F k k k k k k k k k ⎛⎫--=+--=- ⎪⎝⎭由得，所以，所以在为增函数， 211k k >>121k k >()()210F k F k ->()F k [1)+∞，同理可证在为减函数.()F k (0,1)由，可得，所以， ()()1512222F F F ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()522F k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，522t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以在上有解， 2220t mt m +-≥522t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当时，，因此在有解． 522t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()10t ->221t m t ≥--522t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，取，则，从而． 1s t =-312s ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2121t s t s=++-因此在上有解．函数在上单调递增， 122s m s ++≥-312s ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12y x x =++312⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以，所以，即. 1322522236s s ++<++=2526m >-2512m >-故实数的取值范围为． m 2512∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭【点睛】关键点点睛：对的处理方法是，从而将用表44x x -+()244222x x x x --+=+-44x x -+22x x -+示，换元后将问题转化为二次函数处理.。

重庆市四川外国语大学附属外国语学校（重庆外国语学校）2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题一、单选题1．若2πcos 24sin 22αα⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭，则tan2α=（ ）A ．2-B ．12-C ．2D ．122．已知,a b r r 是夹角为120︒的两个单位向量，若向量a b λ+r r 在向量a r 上的投影向量为2a r，则λ=（ ）A ．2-B ．2C ．D 3．已知(),0,παβ∈，()5sin 6αβ-=，tan 1tan 4αβ=-，则αβ+=（ ） A ．5π6B ．πC ．7π6D ．11π64．已知非零向量,a b r r 满足：向量a b -r r 与向量b r 垂直，且向量4a b -r r 与向量a r 垂直，则a r 与br 的夹角为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．5π65．设向量a r 与b r 的夹角为θ，定义sin cos a b a b θθ⊕=+r r r r .已知向量a r为单位向量，b =r 1a b -=r r ，则a b ⊕=r r（ ）A B C D ．6．如图，这是一半径为4.8m 的水轮示意图，水轮圆心O 距离水面2.4m ，已知水轮每60s 逆时针转动一圈，若当水轮上点P 从水中浮出时（图中点0P ）开始计时，则（ ）A ．点P 距离水面的高度()m h 与()s t 之间的函数关系式为 4.8sin 306h t ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．点P 第一次到达最高点需要10sC ．在水轮转动的一圈内，有10s 的时间，点P 距离水面的高度不低于4.8mD ．当水轮转动50s 时，点P 在水面下方，距离水面2.4m7．在锐角ABC V 中，若sin 2sin sin A B C =，则tan tan tan A B C 的最小值为( ) A ．4B ．6C ．8D ．108．正方形ABCD 的边长为6点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且DE EA =，2=CF FB .如果对于常数λ，在正方形ABCD 的四条边上（不含顶点）有且只有6个不同的点P ，使得PE PF λ⋅=u u u r u u u r成立，那么λ的取值范围为（ ）A ．13,4⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．()3,3-C ．()3,12D ．1,34⎛⎫- ⎪⎝⎭二、多选题9．下列说法不正确的是（ ）A ．若0,0,//a b a b ≠≠r r r r r r ，则a r 与b r的方向相同或者相反B ．若a r ，b r 为非零向量，且a b a b=r r r r ，则a r 与b r 共线 C ．若//a b r r ，则存在唯一的实数λ使得a b λ=r rD ．若21,e e u r u u r是两个单位向量，且121e e =-u r u u r ，则12e e +=u r u u r 10．如图，顺次连接正五边形ABCDE 的不相邻的顶点，得到五角星形状，则以下说法正确的是（ ）A ．0AG DE +=u u u r u u u r rB ．AF AJ DH DI ⋅=⋅u u u r u u u r u u u u r u u u rC ．3AJ AE AG =+u u u r u u u r u u u rD ．AH AF AJ =+u u u r u u u r u u u r11．（多选题）设函数()2π3πcos (0)52f x x ωω⎛⎫⎛⎫=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若()f x 的图象与直线1y =-在[]0,2π上有且仅有1个交点，则下列说法正确的是（ ）A ．ω的取值范围是1939,2020⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．()f x 在[]0,2π上有且仅有2个零点C ．若()f x 的图象向右平移π12个单位长度后关于y 轴对称，则65ω= D ．若将()f x 图象上各点的横坐标变为原来的12，得到函数()g x 的图象，则()g x 在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增三、填空题12．如图，动点P 、Q 从点0(4)A ，出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转3π弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转6π弧度，则P 、Q 第一次相遇时Q 点走过的弧长为.13．设向量a r 、b r 满足||1a =r ，||2b =r ，且a r 、b r 的夹角为60︒，若向量72a tb +r r 与向量+r r ta b的夹角为钝角，则实数t 的取值范围是.14．已知向量,a b r r 满足||2,b a =r r与b r 的夹角为60︒，则当实数λ变化时，||b a λ-r r 的最小值为．四、解答题 15．计算求值：(1)已知α、β均为锐角，1sin 7α=，()cos αβ+=sin β的值 (2)2cos10100--o o16．已知a r ，b r 的夹角为60︒，且||1a =r ，||2b =r ，设3m a b =-rr r ，2n ta b =+r r r .(1)若m n ⊥r r，求实数t 的取值；(2)2t =时，求m r与n r 的夹角；(3)是否存在实数t ，使得//m n r r，若存在，求出实数t .17．已知m >0，n >0，如图，在ABC V 中，点M ，N 满足AM mAB =u u u u r u u u r ，AN nAC =u u u r u u u r，D 是线段BC 上一点，13BD BC =u u u r u u u r，点E 为AD 的中点，且M ，N ，E 三点共线．(1)若点O 满足2AO OB OC =+u u u r u u u r u u u r，证明：//OE BC ．(2)求2m n +的最小值．18．设函数()()2sin 22cos 16f x x x x π⎛⎫=-+-∈ ⎪⎝⎭R(1)求函数()f x 的最小正周期；(2)若不等式2()2cos 22206f x a x a π⎛⎫++--< ⎪⎝⎭对任意,126x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时恒成立，求实数a 应满足的条件；(3)将函数()f x 的图象向右平移12π个单位，然后保持图象上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的1m，得到函数()g x 的图象，若存在非零常数λ，对任意x R ∈，有()()g x g x λλ+=成立．求实数m 的取值范围19．如图，设,Ox Oy 是平面内相交成θ角的两条数轴，12,e e u r u u r分别是与x 轴、y 轴同方向的单位向量．若向量12OP xe ye =+u r u u u r u u r ，则把有序数对(,)x y 叫做OP u u u r在斜坐标系Oxy 中的坐标．(1)若(1,2),(2,),//a b a b λ==r r r r，求λ．(2)若60,(1,2),(1,1)a b θ==︒=-r r ，求a v 在b v上的投影向量斜坐标．(3)若(1,1)a =r ，(3,1)b =r ，(2,1),||c c =-≤r r 2cos ,a b r r 的最小值．。

重庆市育才中学校高2025届2022-2023学年（下）3月月考数学试题本试卷为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I 卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知平面向量()()()1,0,1,,2,1a b k c ==-=，若()2a b c+ ∥，则k =（）A.1B.1- C.14-D.14【答案】C 【解析】【分析】求出2a b + 的坐标，根据()2a b c + ∥，列出方程，计算可得.【详解】因为()()1,0,1,a b k ==-，所以()()()1,021,12,2a k k b =+-=-+，因为()2//a b c +，()2,1c = ，所以()11220k -⨯-⨯=，解得14k =-故选：C.2.已知α是第二象限角，则点tan ,sin22P αα⎛⎫⎪⎝⎭位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】已知α是第二象限角，求2α和2α终边所在位置，判断tan 2α和sin 2α的符号，确定点tan,sin22P αα⎛⎫⎪⎝⎭所在象限.【详解】α是第二象限角，则()π2ππ2πZ 2k k k α+<<+∈，()ππππZ 422k k k α+<<+∈，2α的终边在一三象限，tan 02α>，()π4π22π4πZ k k k α+<<+∈，2α的终边在三四象限和y 轴非负半轴，sin 20α<，则点tan ,sin22P αα⎛⎫⎪⎝⎭位于第四象限.故选：D3.如图，60C 是一种碳原子簇，它是由60个碳原子构成的，其结构是以正五边形和正六边形面组成的凸32面体，这60个C 原子在空间进行排列时，形成一个化学键最稳定的空间排列位置，恰好与足球表面格的排列一致，因此也叫足球烯.根据杂化轨道的正交归一条件，两个等性杂化轨道的最大值之间的夹角()0180θθ<≤满足：233153cos cos cos cos 02222αβθγθδθθ⎛⎫⎛⎫++-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，式中,,,αβγδ分别为杂化轨道中,,,s p d f 轨道所占的百分数.60C 中的杂化轨道为等性杂化轨道，且无,d f 轨道参与杂化，碳原子杂化轨道理论计算值为 2.28sp ，它表示参与杂化的,s p 轨道数之比为1:2.28，由此可计算得一个60C 中的凸32面体结构中的五边形个数和两个等性杂化轨道的最大值之间的夹角的余弦值分别为（）A.2520,57-B.2520,57C.2512,57-D.2512,57【答案】C 【解析】【分析】设60C 中的凸32面体结构中共有x 个五边形，y 个六边形，列方程即可求解,x y ，再根据所给公式求出cos θ.【详解】设一个60C 中的凸32面体结构中共有x 个五边形，y 个六边形，因为每个顶点都是三个面的公共顶点，所以56603x y+=，又因为32x y +=，解得12,20x y ==，所以共有12个正五边形；又因为1 2.28,,03.28 3.28αβγδ====，所以1 2.28cos 03.28 3.28θ+=，解得25cos 57θ=-，故选：C.4.已知175sin cos ,π,π134ααα⎛⎫+=-∈ ⎪⎝⎭，则sin cos αα-=（）A.213 B.213-C.713D.713-【答案】C 【解析】【分析】根据5π,π4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin cos αα＞，运用同角关系计算.【详解】()2222222171717sin cos ,sin ,sin cos 2sin cos 131313αααααααα+=-∴+=++=，21202sin cos 13αα=，()222224949sin cos 2sin cos ,sin cos 1313αααααα+-=-=，5π7π,,sin cos ,sin cos 0,sin cos 413ααααααα⎛⎫∈--= ⎪⎝⎭＞＞；故选：C.5.已知非零向量,a b满足()()()()7,2211a b a b a b a b -⊥-+⊥- ，则sin ,a b =（）A.35B.45C.513D.1213【答案】A 【解析】【分析】由已知向量的垂直，根据数量积为0，列方程组求解.【详解】()()7a b a b -⊥- ，则()()227870a b a b a a b b -⋅-=-⋅+=，①()()2211a b a b +⊥- ，则有()()22221127220a b a b aa b b +⋅-=-⋅-=，②78⨯⨯①-②，得2292250a b -= ，则有5a b = ，代入①式，2222540cos ,70b b a b b -+=，解得4cos ,5a b = ，由[],0,π∈ a b ，得3sin ,5a b =.故选：A6.已知 1.5241,log 3,sin 12a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A.a b c <<B.b c a <<C.c a b <<D.a c b<<【答案】D 【解析】【分析】通过和中间数13,24比大小即可.【详解】 1.51212a ⎛⎫⎪⎝<=⎭；443log 3log 4b =>=；2221ππ3=sin sin 1sin 2434c <=<=；所以a c b <<故选：D7.如图，在梯形ABCD 中，112AD DC AB ===且,AB AD P ⊥为以A 为圆心AD 为半径的14圆弧上的一动点，则()PD PB PC ⋅+ 的最小值为（）A.3-B.3-C.3-D.3-【答案】B 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算及三角函数的性质求解.【详解】以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则有()0,0A ，()2,0B ，()1,1C ，()0,1D ，设()πcos ,sin 02P ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭ααα，得()cos ,1sin PD =-- αα，()2cos ,sin PB =-- αα，()1cos ,1sin PC =--αα，则()()()cos ,1sin 32cos ,12sin PD PB PC ⋅+=--⋅--αααα222cos 3cos 2sin 3sin 1=-+-+ααααπ34⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭α由π02α≤≤，当π4α=时，()PD PB PC ⋅+ 有最小值3-.故选：B8.设函数()()2sin 1(0)f x x ωϕω=+->，若对任意实数(),f x ϕ在区间[]0,π上至少有3个零点，至多有4个零点，则ω的取值范围是（）A.810,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.10,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.144,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.1416,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】【分析】由题可转化为研究函数2sin 1y x ω=-在任意一个长度为π的区间上的零点问题，求出函数2sin 1y x ω=-在y 轴右侧靠近坐标原点处的零点，得到相邻四个零点之间的最大距离，相邻五个零点之间的距离，结合条件列式即得.【详解】因为ϕ为任意实数，故函数()f x 的图象可以任意平移，从而研究函数()f x 在区间[]0,π上的零点问题，即研究函数2sin 1y x ω=-在任意一个长度为π0π-=的区间上的零点问题，令2sin 1y x ω=-0=，得1sin 2x ω=，则它在y 轴右侧靠近坐标原点处的零点分别为π6ω，5π6ω，13π6ω，17π6ω，25π6ω，L ，则它们相邻两个零点之间的距离分别为2π3ω，4π3ω，2π3ω，4π3ω，L，故相邻四个零点之间的最大距离为10π3ω，相邻五个零点之间的距离为4πω，所以要使函数()f x 在区间[]0,π上至少有3个零点，至多有4个零点，则需相邻四个零点之间的最大距离不大于π，相邻五个零点之间的距离大于π，即10ππ34ππωω⎧≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，解得1043ω≤<.故选：B.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知在同一平面内的向量,,a b均为非零向量，则下列说法中正确的有（）A.若,a b b c∥∥，则a c∥B.若a c a b ⋅=⋅ ，则b c= C.()()a b c a b c⋅⋅=⋅⋅ D .若a b 且a c ⊥，则()c a b ⋅+= 【答案】AD 【解析】【分析】平面向量共线的传递性判断A ，由向量数量积的定义可判断B ，根据数量积及共线向量的概念可判断C ，根据向量垂直及向量数量积的概念可判断D.【详解】对A ，在同一平面内的向量,,a b c 均为非零向量，若//a b 且//b c ，则//a c ，即A 正确；对B ，若a c a b ⋅=⋅ ，则cos ,cos ,a c a c a b a b ⋅=⋅ ，又0a ≠ ，所以cos ,cos ,b a b c c =，因为,b c 与a 的夹角不一定相等，所以b c =不一定成立，即B 错误；对C ，因为()a b c ⋅⋅ 与c 共线，()a b c ⋅⋅与a 共线，所以()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ 不一定成立，即C 错误；对D ，若//a b 且a c ⊥ ，则c b ⊥ ，()0c a b c a c b ⋅+=⋅+⋅= ，即D 正确.故选：AD ．10.函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法中正确的有（）A.2ω=B.7π,012⎛⎫-⎪⎝⎭为函数()f x 的一个对称中心点C.117π,π63⎡⎤⎢⎥⎣⎦为函数()f x 的一个递增区间D.可将函数cos2x 向右平移1π6个单位得到()f x 【答案】ABD 【解析】【分析】根据函数图像可求出A 、ω、ϕ的值，可得()f x 的解析式，利用三角函数的性质对各选项进行判断可得答案.【详解】由题可得得，1A =，2ππ2π36T ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，则2π2πω==，故A 正确；又π16f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以ππ22π(Z)62k k ϕ⨯+=+∈，又π2ϕ<，所以π6ϕ=，所以()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于B ，当7π12=-x 时，7π7ππsin 2012126f ⎛⎫⎛⎫-=-⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数图象关于点7π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故B 正确；对于C ，由πππ2π22π,Z 262k x k k -+≤+≤+∈，可得ππππ,Z 36k x k k -+≤≤+∈，令2k =，可得5π13π36x ≤≤，所以117π,π63⎡⎤⎢⎥⎣⎦不是函数()f x 一个递增区间，故C 错误；对于D ，将函数cos2x 向右平移1π6个单位得到()πππππcos2cos 2sin 2sin 263326y x x f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故D 正确.故选：ABD.11.已知()(),f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()e x f x g x +=，则下列说法中正确的有（）A.()01g = B.22()()1f xg x -=C.()()()22f x f x g x =⋅ D.若()()20f m f m ++>，则1m >-【答案】ACD 【解析】【分析】()(),f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，由()()e x f x g x +=可得()()e xf xg x --+=，可解出e e ()2x x g x -+=，e e ()2x xf x --=，再逐个验证选项即可.【详解】函数()(),f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且满足()()e xf xg x +=可得()()e x f x g x --+-=，即()()e x f x g x --+=，与()()e x f x g x +=联立，可得e e ()2x xg x -+=，e e ()2x x f x --=，()00e e 20122g +===，A 选项正确；2222e e e e 22()()1224x x x xf xg x --⎛⎫⎛⎫-+---=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 选项错误；()22e e 22x xf x --=，()()22e e e e e e 22222x x x x x xf xg x ----+-⋅=⨯⋅=，()()()22f x f x g x =⋅，C 选项正确；函数e e ()2x xf x --=是定义在R 上的奇函数，且在R 上单调递增，若()()20f m f m ++>，则()()()2f m f m f m +>-=-，有2m m +>-，所以1m >-，D 选项正确.故选∶ACD ．12.已知两个不相等的非零向量,a b，两组向量12345,,,,x x x x x 和12345,,,,y y y y y 均由3个a和2个b 排列而成，记1122334455min ,S x y x y x y x y x y S =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅ 表示S 所有可能取值中的最小值，则下列命题正确的是（）A.S 有3个不同的值B.22min 22S a a b b=+⋅+ C.若//a b ，则min S 与b 无关D.若2min ||2||,4||a b S b == ，则a b⊥ 【答案】AD 【解析】【分析】求出S 的三种结果，得出min S ，对选项进行分析得出答案.【详解】2(,134.5i i x y i =，，，）均由3个a和2个b排列而成，所以1122334455S x y x y x y x y x y =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅ 可能情况有三种︰22132S a b =+ ；2222S a a b b =+⋅+ ；234S a b a =⋅+ ，故A 选项正确；()222221223220S S S S a b a b a b a b a b-=-=+-⋅≥+-=-≥.则S 中最小为234S a b a =⋅+ ，即2min 4S a b a =⋅+ ，B 选项错误；若//a b 则2min 4S a b a =⋅+ 与b 有关，故C 选项错误；若2a b = ，222min 4444S a b a a b b b =⋅+=⋅+= ，有0a b ⋅= ，则a b ⊥ ，D 选项正确.故选：AD ．第II 卷三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知点(1,2)A ，点(4,5)B ，若2AP PB =，则点P 的坐标是________．【答案】P （3,4）【解析】【详解】试题分析：设(),P x y ，代入2AP PB= 得()()1,224,53,3x y x y x y --=--∴==()3,3P ∴考点：向量的坐标运算14.已知()2023πsin 2023π2sin 2αα⎛⎫-=+⎪⎝⎭，则2sin2cos αα+=__________.【答案】35-##-0.6【解析】【分析】利用诱导公式化简可得tan 2α=，然后根据二倍角公式及同角关系式转化为齐次式即得.【详解】由()2023πsin 2023π2sin 2αα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，得sin 2cos αα=-，则cos 0α≠，所以tan 2α=-，所以22222cos 2sin cos 12tan 143sin2cos sin cos tan 1415ααααααααα++-+====-+++.故答案为：35-.15.写出一个同时满足下列三个条件的函数()f x =__________.①()f x 不是常数函数②()1f x +为奇函数③()()22f x f x +=-【答案】cos 2x π（答案不唯一）．【解析】【分析】写出符合要求的三角函数即可【详解】分析函数的性质，可考虑三角函数，函数的对称轴为2x =，对称中心()1,0，周期可以为4，()10f =，函数解析式可以为()πcos2f x x =（答案不唯一）．故答案为：πcos2x （答案不唯一）．16.已知函数()11ππcos2cos ,,2222f x x x x ⎡⎤=--∈-⎢⎥⎣⎦（1）()f x 的值域为__________.（2）设()()3sin 4cos g x a x x =+，若对任意的1ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，总存在[]20,πx ∈，使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围为__________.【答案】①.5,14⎡⎤--⎢⎥⎣⎦②.15,,416∞∞⎛⎤⎡⎫--⋃+ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【解析】【分析】利用倍角公式化简函数解析式，由定义域求函数值域；由题意，()g x 的值域包含()f x 的值域，分类讨论解不等式即可.【详解】()221115cos2cos cos cos 1cos 2224f x x x x x x ⎛⎫=--=--=-- ⎪⎝⎭，由,22ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，有[]cos 0,1x ∈，则当1cos 2x =时，()f x 有最小值54-，当cos 0x =或cos 1x =时，()f x 有最大值1-，所以()f x 的值域为5,14⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.()15,14f x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，()()()3sin 4cos 5sin g x a x x a x ϕ=+=+，其中3cos 5ϕ=，4sin 5ϕ=，π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，[]20,πx ∈，[]2,π+x ϕϕϕ+∈，因为对任意的1ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，总存在[]20,πx ∈，使得()()12f x g x =，所以()1f x 的值域是()2g x 的值域的子集，0a =时()0g x =不合题意，0a >时，当π+x ϕϕ+=，()g x 有最小值，则有()455sin 545+4πa a a ϕ⎛⎫=⨯-=-≤- ⎪⎝⎭，解得516a ≥，此时π2x ϕ+=时，()g x 有最大值50a >，0a <时，当π2x ϕ+=，()g x 有最小值，则有π55sin 524a a =≤-，解得14a -≤，此时π+x ϕϕ+=时，()g x 有最大值40a ->，则实数a 的取值范围为15,,416∞∞⎛⎤⎡⎫--⋃+ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.故答案为：5,14⎡⎤--⎢⎥⎣⎦；15,,416∞∞⎛⎤⎡⎫--⋃+ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.四､解答题：本大题6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明､演算步骤或推理过程，并答在答题卡相应的位置上.17.已知平面向量,,a b c满足()()π2,0,1,,R ,,3a b c a tb t a b ===-∈= .（1）求b 在a上的投影向量的坐标；（2）当c最小时，求b 与c 的夹角.【答案】（1）1,02⎛⎫⎪⎝⎭（2）π2【解析】【分析】（1）利用投影向量的公式计算即可；（2）c a tb =- ，两边同时平方，c 最小时，求得1t =，b与c的夹角即b 与a b -的夹角，利用向量数量积计算即可.【小问1详解】由题意，||2,||1a b == ，设a e a =，b 在a 上的投影向量为11cos ,122b e a b e e ⋅⋅=⨯= ，所以b 在a 上的投影向量的坐标为1,02⎛⎫⎪⎝⎭.【小问2详解】c ====≥（1t =时等号成立），则c 最小时，c a b =- ，所以()22cos ,cos ,0b a b b a b b a a b b b c b a b b a b b a b⋅-⋅-⋅-====⋅-⋅-⋅-，因为0,π,b c ≤≤ 所以当c 最小时，b 与c 的夹角的大小为π2.法二：()ππ13332,0,cos ,sin ,,,332222a b c a b ⎛⎫⎛⎛⎫==±=±=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，13332222cos ,0b c b c b c⎛⎛⨯+±⨯ ⋅==⋅ ，得所求夹角为π2.18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆的交点为()11,A x y ，角π6α+终边与单位圆的交点为()22,B x y .（1）若π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求12x y +的取值范围；（2）若点B 的坐标为1,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，求点A 的坐标.【答案】（1）32⎛⎝（2）1,66A ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）由三角函数定义求点,A B 的坐标，根据三角恒等变换用α表示12x y +，结合正弦函数性质求其取值范围；（2）由三角函数定义可得π1π22cos ,sin 6363αα⎛⎫⎛⎫+=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据两角差正弦和余弦公式求cos ,sin αα可得点A 的坐标.【小问1详解】由题意()ππcos ,sin ,cos ,sin 66A B αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以12π1cos sin cos 622x y ααααα⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭1213πsin cos 223x y ααα⎫⎛⎫+=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，由π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得ππ5336π,α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π1sin ,132α⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，所以12x y +的取值范围是2⎛ ⎝.【小问2详解】由1,33B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，得π1π22cos ,sin 6363αα⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππππππcos cos cos cos sin sin 666666αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，11cos 32α⎛⎫=-=⎪⎝⎭ππππππsin sin sin cos cos sin 666666αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，11sin 332α⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭所以点A 的坐标为1,66⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.19.已知平面向量,OM ON 不共线，由平面向量基本定理知，对于该平面内的任意向量OP，都存在唯一的有序实数对(),x y ，使得OP xOM yON =+.（1）证明：,,P M N 三点共线的充要条件是1x y +=；（2）如图，ABC 的重心G 是三条中线,,AD BE CF 的交点，证明：重心为中线的三等分点.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据共线向量基本定理结合充要条件的概念即得；（2）根据向量共线定理及推论可得()1AG y AB y AE =-+ ，AG AD λ=，进而23AG AD =，即证；或利用平面几何知识即得.【小问1详解】证明：必要性，,,P M N 三点共线，不妨设MP yMN =，可得()OP OM y ON OM -=- ，()1OP y OM yON =-+，又OP xOM yON =+ ，所以1x y =-，得1x y +=，得证；充分性：,1OP xOM yON x y =++=，()1OP y OM yON ∴=-+，即()OP OM y ON OM -=- ，MP yMN ∴= ，又MP 与MN有公共点M ，所以,,P M N 三点共线；所以,,P M N 三点共线的充要条件是1x y +=；【小问2详解】法一（向量法）ABC 的重心G 是三条中线,,AD BE CF 的交点，可设()1AG y AB y AE =-+ ，111222AD AB AC AB AE =+=+，因为,,A G D 三点共线，可设AG AD λ=，则()1y AB y AE -+ 2AB AE λλ=+，所以12y y λλ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，解得23y λ==，所以23AG AD =，G ∴为AD 的三等分点，同理可证G 为,BE CF 的三等分点，∴重心为中线的三等分点.法二（几何法）：连接EF ，,E F 为,AC AB的中点，1//,2EF BC EF BC ∴=，12EF FG EG BC GC GB ∴===，所以13FG EG FC EB ==，同理可得13EG DG EB DA ==，所以重心为中线的三等分点.20.已知向量cos ,sin ,cos ,sin 22222x x x x x a b ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，函数()f x a b =⋅ .（1）求函数()f x 的单调增区间和对称轴；（2）若关于x 的方程()0f x m -=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的解，记为,αβ.①求实数m 的取值范围；②证明：()2cos 12m αβ-=-.【答案】（1）ππ22,2,Z 33ππk k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，对称轴为3ππ，Zx k k =+∈（2）①)2；②证明见解析【解析】【分析】（1）根据向量点乘和三角函数恒等变换公式化简()f x ，利用整体代入法计算出单调增区间和对称轴；（2）根据()f x 范围求实数m 的取值范围；根据,αβ是()0f x m -=两个不同解可知()()f f αβ=，根据图象可得2π23αβα-=-，利用倍角公式计算即可.【小问1详解】()πcos cos sin sin cos 2sin222226x x x x x f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令πππ2ππ2π2π,,2π2π,Z 26233k x k k Z k x k k -≤+≤+∈-≤≤+∈此时函数()f x 单调递增，∴函数()f x 单调递增区间为ππ22,2,Z 33ππk k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.令πππ62x k +=+得()ππ,Z 3x k k =+∈，所以函数()f x 的对称轴为()ππ,Z 3x k k =+∈；【小问2详解】①π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ，ππ2π,663x ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，由图象分析得()f x m =，有两个不同的解，则3ππsin 1,2sin 2266x x ⎛⎫⎛⎫≤+<≤+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，)2m ∴∈.②因为,αβ是方程π2sin 6x m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭的两个根，所以ππ2sin ,2sin 66m m αβ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由图象分析得，2π2π2π,,2333αββααβα+==--=-，()2222πππcos cos 2cos 22sin 121133622m m αβααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-+=+-=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.21.已知R a ∈，函数()()22log 3f x x x a =-+.（1）若函数()f x 的图象经过点()3,1，求不等式()1f x <的解集；（2）设2a >，若对任意[]3,4t ∈，函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.【答案】（1）{01xx <<∣或23}x <<；（2）[)4,+∞.【解析】【分析】（1）将点()3,1代入()()22log 3f x x x a =-+可求出a ，然后根据函数的单调性即得；（2）由复合函数的单调性知()()22log 3f x x x a =-+在区间[],1t t +上单调递增，进而得到最大值与最小值，再由题可得252a t t ≥-+-对任意[]3,4t ∈恒成立，构造新函数，求最值可得出答案.【小问1详解】由题可得()()223log 3331f a =-⨯+=，解得2a =，即()()22log 32f x x x =-+由()()222log 321log 2f x x x =-+<=，可得22320322x x x x ⎧-+>⎨-+<⎩，解得01x <<或23x <<，所以不等式()1f x <的解集为{01x x <<∣或23}x <<；【小问2详解】因为()()22log 3f x x x a =-+是复合函数，设()23p x x x a =-+，()2log ()f x p x =，因为[]3,4t ∈，()23p x x x a =-+在区间[],1t t +单调递增，()2log ()f x p x =单调递增，故函数()f x 在区间[],1t t +上单调递增，又2a >，所以()223390p x x x a a a =-+>-+=>，所以()()max min ()1,()f x f t f x f t =+=，由题意，()()11f t f t +-≤，即()()2222log (1)31log 23t t a t t a ⎡⎤+-++≤-+⎣⎦，对任意[]3,4t ∈恒成立，故()()22(1)3123t t a t t a +-++≤-+，对任意[]3,4t ∈恒成立，整理得：252a t t ≥-+-，令()252g t t t =-+-，[]3,4t ∈，只需max ()g t a ≤即可，因为()252g t t t =-+-的对称轴为52t =，图象是开口向下的抛物线，故()252g t t t =-+-在[]3,4t ∈上单调递减，故()max ()34g t g ==，所以4a ≥，即a 的取值范围是[)4,+∞.22.设n 次多项式()()1211210,0nn n n n n T x a x a xa x a x a a --=+++++≠ ，若其满足()cos cos n T n θθ=，则称这些多项式()n T x 为切比雪夫多项式.例如：由2cos22cos 1θθ=-可得切比雪夫多项式()2221T x x =-.（1）求切比雪夫多项式()3T x ；（2）求sin18 的值；（3）已知方程38610x x --=在()1,1-上有三个不同的根，记为123,,x x x ，求证：1230x x x ++=.【答案】（1）()3343T x x x=-（2）51sin184-=（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据两角和余弦公式和二倍角余弦公式利用cos θ表示cos3θ，由此可得()3T x ；（2）由诱导公式可得cos54sin36= ，根据（1）和二倍角正弦公式和平方关系可求sin18 ；（3）方法一：由已知314302x x --=，设cos x θ=，由（1）可求θ，再根据两角和差余弦公式证明1230x x x ++=；方法二：由已知()()()3123143402x x x x x x x x --=---=，根据整式性质可得1230x x x ++=.【小问1详解】因为()cos3cos 2cos2cos sin2sin θθθθθθθ=+=-所以()()2232cos32cos 1cos 2sin cos 2cos cos 21cos cos θθθθθθθθθ=--=---所以3cos34cos 3cos θθθ=-，所以()3343T x x x =-；【小问2详解】因为cos54sin36= ，所以34cos 183cos182sin18cos18-= ，又cos180> ，所以24cos 1832sin18-= ，所以()241sin 1832sin18--=即24sin 182sin1810+-= ，因为sin180> ，解得1sin18,4-=（14-舍去）；【小问3详解】由题意，314302x x --=，法一：设cos x θ=，代入方程得到3114cos 3cos 0cos322θθθ--=⇒=，解三角方程得ππ32π,32π,Z 33k k k θθ=+=-+∈，不妨取123π5π7π,,999θθθ===，123π5π7ππ4π2πcoscos cos cos cos cos 999999x x x ⎛⎫++=++=-+ ⎪⎝⎭，而4π2π3ππ3πππcoscos cos cos cos 9999999⎛⎫⎛⎫+=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，综上1230x x x ++=.法二：令()()()3123143402x x x x x x x x --=---=即()()323123122313123144302x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤-+++++-=--=⎣⎦依据多项式系数对应相等得到1230x x x ++=.综上1230x x x ++=.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.第21页/共21页。