高一下学期第一次月考数学试题2(必修3)(含答案)

上海市2021-2022学年高一下学期第一次月考数学试题一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分48分）1．终边在一三象限角平分线的角的集合为．2．若α∈（0，π），且角α的终边与角5α的终边相同，则α＝．3．已知θ＝arcsin，则tan（π﹣θ）＝．4．钟表分针的长为10，经过10分钟后，分针扫过的图形面积是．5．若cot x＝2，则＝．6．已知tan（2x+）＝﹣且x∈[0，]，则x＝．7．若sin（θ+）＝，θ∈（，π），则cosθ＝．8．将3sinα﹣3cosα化成A sin（α+φ）（其中A＞0，0≤φ＜2π）的形式为．9．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a2+ab+b2﹣c2＝0，则角C的大小是．10．若θ∈（，），sin2θ＝，则cosθ﹣sinθ的值是．11．已知α∈R，sinα+2cosα＝，则tan2α＝．12．设α1，α2∈R，且，则tan（α1+α2）＝．二、选择题（本大题共4题，满分12分）13．若cosθ＞0，且sin2θ＜0，则角θ的终边所在象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限14．已知α∈（，2π），则等于（）A．B．C．D．15．若△ABC的三个内角满足sin A：sin B：sin C＝5：11：13，则△ABC（）A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形16．设点A的坐标为（a，b），O是坐标原点，点A绕着O点顺时针旋转θ后得到A'，则A'的坐标为（）A．（a cosθ﹣b sinθ，a sinθ+b cosθ）B．（a cosθ+b sinθ，b cosθ﹣a sinθ）C．（a sinθ+b cosθ，a cosθ﹣b sinθ）D．（b cosθ﹣a sinθ，b sinθ+a cosθ）三、解答题（本大题共有5题，满分0分）17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a＝6，b＝14，，求sin A 的值和△ABC的面积．18．如图，以Ox为始边作角α与β（0＜β＜α＜π），它们的终边分别与单位圆相交于点P、Q，已知点P的坐标为．（1）求的值；（2）已知OP⊥OQ，求sin（α+β）．19．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求bc的最大值．20．如图：某快递小哥从A地出发，沿小路AB→BC以平均时速20公里/小时，送快件到C 处，已知BD＝10（公里），∠DCB＝45°，∠CDB＝30°，△ABD是等腰三角形，∠ABD＝120°．（1）试问，快递小哥能否在50分钟内将快件送到C处？（2）快递小哥出发15分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路AD→DC追赶，若汽车平均时速60公里/小时，问，汽车能否先到达C处？21．（1）上课不认真听讲的某同学将两角和的余弦定理错误地记忆为：cos（α+β）＝cosαcosβ+sinαsinβ，老师给定了α和β值，该同学用错误的公式计算cos（α+β）的值，结果居然与正确答案相同，请问：老师给出的α和β值分别是什么？（请写出至少三组答案）（2）有了上次侥幸的喜悦后，该同学继续我行我素，又想当然的认为cot（α+β）＝，请问：是否存在某些α和β，可以让该同学继续“混对”答案？若存在α和β，请求出，若不存在，请说明理由．【参考答案】一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分48分）1．{α|α＝kπ+，k∈Z }【解析】设角的终边在第一象限和第三象限的平分线上的角为α，当角的终边在第一象限的平分线上时，则α＝2kπ+，k∈Z，当角的终边在第三象限的平分线上时，则α＝2kπ+，k∈Z，综上，α＝2kπ+，k∈Z或α＝2kπ+，k∈Z，即α＝kπ+，k∈Z，故终边在一、三象限角平分线的角的集合是：{α|α＝kπ+，k∈Z }．故答案为：{α|α＝kπ+，k∈Z }．2．【解析】∵与α终边相同的角的集合为{β|β＝α+2kπ，k∈Z}．角α的终边与角5α的终边相同，∴5α＝α+2kπ，α∈（0，π），∴α＝，可得k＝1，α＝．故答案为：．3．﹣【解析】∵，∴θ为锐角，且sinθ＝，∴cosθ＝＝，则tan（π﹣θ）＝﹣tanθ＝﹣＝﹣，故答案为：﹣．4．【解析】分钟10分钟时间转过的圆心角，由扇形面积公式可得．故答案为：．5．【解析】∵cot x＝2，∴tan x＝，∴＝＝＝，故答案为：．6．【解析】已知x∈[0，]，所以，由于tan（2x+）＝﹣，所以，解得x＝．故答案为：．7．【解析】由于θ∈（，π），所以；且满足sin（θ+）＝，故，所以cos（θ+）＝﹣，故＝．故答案为：．8．【解析】3sinα﹣3cosα＝＝＝．故答案为：．9．【解析】∵a2+ab+b2﹣c2＝0，即a2+b2﹣c2＝﹣ab，∴cos C＝＝＝﹣，∵C为三角形的内角，∴C＝．故答案为：.10．【解析】（cosθ﹣sinθ）2＝1﹣sin2θ＝，又，cosθ＜sinθ，所以cosθ﹣sinθ＝，故答案为：．11．﹣【解析】已知等式两边平方得：（sinα+2cosα）2＝sin2α+4sinαcosα+4cos2α＝，变形得：＝＝，整理得：3tan2α﹣8tanα﹣3＝0，即（3tanα+1）（tanα﹣3）＝0，解得：tanα＝﹣或tanα＝3，当tanα＝﹣时，tan2α＝＝＝﹣；当tanα＝3时，tan2α＝＝＝﹣．故答案为：﹣.12．1【解析】因为1≤2+sinα1≤2，故≤≤1，同理1010≤≤2020，故+≤2021，当且仅当＝1及＝2020时等号成立，此时α1＝2kπ﹣，2a2＝2lπ﹣，k，l∈Z，故α2＝lπ﹣，l∈Z，故tan（α1+α2）＝tan（2kπ﹣+lπ﹣）＝﹣tan＝1．故答案为：1．二、选择题（本大题共4题，满分12分）13．D【解析】由sin2θ＝2sinθcosθ，因为cosθ＞0，所以sinθ＜0，可以判定角θ的终边所在象限第四象限．故选：D．14．A【解析】∵α∈（，2π），∴，∴sin＞0，∴＝＝|sin|＝sin．故选：A．15．C【解析】∵根据正弦定理，，又sin A：sin B：sin C＝5：11：13，∴a：b：c＝5：11：13，设a＝5t，b＝11t，c＝13t（t≠0），∵c2＝a2+b2﹣2ab cos C，∴cos C＝＝＝﹣＜0，∴角C为钝角．故选：C．16．B【解析】根据题意，设||＝r，向量与x轴正方向的夹角为α，又曲点A的坐标为（a，b），则a＝r cosα，b＝r sinα，向量绕差O点顺时针旋转θ后得到，则A′（r cos（α﹣θ），r sin（α﹣θ）），而r cos（α﹣θ）＝r sinαcosθ﹣r cosαsinθ＝b cosθ﹣a sinθ，r sin（α﹣θ）＝r sinαcosθ﹣r cosαsinθ＝b cosθ﹣a sinθ，∴A′（αcosθ+b sinθ，b cosθ﹣a sinθ）．故选：B．三、解答题（本大题共有5题，满分0分）17．解：在△ABC中，，∴，∴sin A＝且角A为锐角，∴cos A＝＝，∴sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B＝＝，∴ab sin C＝＝15．18．解：（1）由三角函数的定义可得，，则＝＝＝；（2）因为OP⊥OQ，则，所以，则，，所以sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ＝＝．19．解：（Ⅰ）＝＝＝＝；（Ⅱ）根据余弦定理可知：，∴，又∵，即bc≥2bc﹣3，∴．当且仅当b＝c＝时，bc＝，故bc的最大值是．20．解：（1）已知：AB＝10 （公里），在△BCD中，由，得BC＝5（公里）．于是，由于：＞50，快递小哥不能在50分钟内将快件送到C处．（2）在△ABD中，）＝300，得AD＝10（公里），在△BCD中，∠CBD＝105°，由：，得CD＝5（1+）（公里），由：≈45.98＜51.21（分钟）知，汽车能先到达C处．21．解：（1）由cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，错误公式得cos（α+β）＝cosαcosβ+sinαsinβ，当cos（α﹣β）＝cos（α+β）时，cosαcosβ﹣sinαsinβ＝cosαcosβ+sinαsinβ，∴2sinαsinβ＝0，∴或，∴老师给出的可能是cos（），cos（），cos（2）等．（2）∵＝＝＝﹣tan（α+β），若该同学能继续“混对”，则＝﹣tan（α+β），∴tan2（α+β）＝﹣1，无解，∴不存在α和β，可以让该同学继续“混对”答案．。

高一下学期第一次月考数学（理）试题一、单选题1．设向量 a =（3，k )， b =（－1，3），已知a ⊥b ，则k =（ ） A ．2 B ．1C ．－2D ．－1【答案】B【分析】根据向量数量积坐标运算与垂直定义即可求解． 【详解】因为a ⊥b ，则a ⋅330b k =-+=，解得1k = 故选：B2．sin50cos70sin 40sin70︒︒︒︒+的值为（ ） A ．32B ．32-C ．12-D ．12【答案】A【分析】由三角函数的诱导公式和两角和的正弦公式，化简原式0sin12=︒，即可求解. 【详解】由三角函数的诱导公式和两角和的正弦公式，可得：sin50cos70sin 40sin70sin50cos70cos50sin70︒︒︒=︒+︒︒+︒︒3sin()sin 50207120=︒+︒=︒=. 故选：A.3．在△ABC 中，点D 在边BC 上，且2CD BD =，E 是AD 的中点，则BE =（ ） A ．2136AB AC -B ．2136AB AC +C ．2136AB AC -- D ．2136AB AC -+ 【答案】D【分析】利用向量的线性运算即得. 【详解】因为2CD BD =，所以()1133BD BC AC AB ==-．因为E 是AD 的中点，所以12AE AD =()()1111122636AB BD AB AC AB AB AC =+=+-=+， 则2136BE AE AB AB AC =-=-+．故选：D ．4．我国古代数学家赵爽的弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为13，直角三角形中较小的锐角为θ，那么πtan 4θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．5B ．21313C ．21313-D ．5-【答案】A【分析】先求得直角三角形的直角边，由此求得tan θ，进而求得πtan 4θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【详解】由题意可知，大正方形的边长为13，小正方形的边长为1，设图中直角三角形较短的直角边长为x ，可得出直角三角形较长的直角边长为1x +， 由勾股定理可得()22113x x ++=，解得2x =，13x +=，所以2tan 3θ=，因此，1tan 1tan 541tan 2331π2θθθ++⎛⎫+=== ⎪-⎝⎭-. 故选：A5．如图所示，在平面直角坐标系中，角α和角β均以Ox 为始边，终边分别为射线OA和OB ，射线OA ，OC 与单位圆的交点分别为34,55A ⎛⎫⎪⎝⎭，(1,0)C -．若6BOC π∠=，则cos()βα-的值是（ ）A B C D 【答案】C【解析】由三角函数定义得cos ,sin αα，由诱导公式得cos ,sin ββ，再由两角差的余弦公式可求值．【详解】由题知，3cos 5α=，4sin 5α，cos β=，1sin 2β=，则4cos()cos cos sin sin 10βαβαβα-=+==故选：C ．【点睛】本题考查三角函数的定义，考查诱导公式和两角差的余弦公式，解题关键是掌握两角差的余弦公式．6．已知,,22ππαβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，若tan ,tan αβ是方程250x -+=的两根，则αβ+=（ ）A ．3π-或23πB ．3π-C ．23π D ．56π 【答案】C【解析】根据韦达定理可得tan ,tan αβ的和与积关系, 再根据,,22ππαβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭判断,αβ的范围.再代入两角和的正切公式求解,判断αβ+的大小即可.【详解】因为tan ,tan αβ是方程250x -+=的两根可得tan tan αβ+= tan tan 5αβ⋅=.所以tan ,tan αβ均为正数,又,,22ππαβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,故,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++===-⋅又()0,αβπ+∈.故23παβ+=.故选：C【点睛】本题主要考查了两角和的正切公式的运用,包括根据正切值范围求解角度范围的方法等.属于中等题型.7．点P 是ABC ∆所在平面上一点，满足20PB PC PB PC PA --+-=，则ABC ∆的形状是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形【答案】B【分析】根据平面向量的线性运算与模长公式，可以得出0AB AC ⋅=，由此可判断出ABC ∆的形状.【详解】点P 是ABC ∆所在平面上一点，满足20PB PC PB PC PA --+-=，则2PB PC PB PC PA -=+-，可得CB AB AC =+，即AB AC AC AB -=+， 等式AB AC AC AB -=+两边平方并化简得0AB AC ⋅=，AB AC ∴⊥， 因此，ABC ∆是直角三角形. 故选：B.【点睛】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算，也考查了模长公式应用，是中等题．8．已知ABC 是边长为2的正三角形，P 为线段AB 上一点（包含端点），则PB PC ⋅的取值范围为（ ）A ．1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]0,2D ．[]0,4【答案】A【分析】以线段AB 的中点O 为坐标原点，OB 、OC 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系，设点(),0P a ，则11a -≤≤，利用平面向量数量积的坐标运算，并结合二次函数的基本性质可求得PB PC ⋅的取值范围.【详解】取线段AB 的中点O ，连接CO ，则OC AB ⊥，以点O 为坐标原点，OB 、OC 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，设(),0P a ，则11a -≤≤，()10B ,、(3C ，()1,0PB a =-，(3PC a =-， 故()21111,2244P P a a a B C ⎛⎫⎡⎤⋅=-=--∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.故选：A. 9．已知3(0,),(0,)42ππαβ∈∈，3sin()4πα+=53cos()2βα+=cos()42πβ-＝（ ） A 42B ．29-C ．223D ．22【答案】C【分析】由已知，结合同角平方关系可求cos(4απ+)、sin(2βα+)，然后根据()()4242πβπβαα-=+-+，由两角差的余弦展开可求值．【详解】∵3(0,),(0,)42ππαβ∈∈， ∴(,)44ππαπ+∈，(0,)2βαπ+∈．∵sin()4πα+=<，∴3(,)44ππαπ+∈，则cos(4απ+)＝∵cos()2βα+=∴sin(2βα+) cos()cos[()()]4242πβπβαα-=+-+＝cos(4απ+)cos(2βα+)+sin(4απ+)sin(2βα+)＝⎛ ⎝⎭= 故选：C ．10．已知向量()cos ,sin OA ββ=，将向量OA 绕坐标原点O 逆时针旋转θ角得到向量OB （090θ︒<<︒），则下列说法不正确．．．的是（ ） A ．OA OB OA OB +>- B ．2AB <C ．OA OB OA OB +=- D ．()()OA OB OA OB +⊥-【答案】C【分析】由题意得到四边形OACB 为菱形，且π0,2AOB ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，由两边之和大于第三边判断A 选项，利用余弦定理求出B 选项，利用模的平方求出模的范围，判断C 选项，利用数量积为0判断D 选项.【详解】由题意得：1OA OB ==，四边形OACB 为菱形，且π0,2AOB ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，由两边之和大于第三边，可得：OA OB OA OB BA +>-=，A 正确； 因为090θ︒<<︒，所以cos 0θ>，故2222cos 112cos 2AB OA OB OA OB θθ=+-=+-<，所以2AB <B 正确； 2222cos 22cos 2OA OB OA OA OB OB θθ+=+⋅+=+>，则2OA OB +>()2222cos 22cos 0,2OA OB OA OA OB OB θθ-=-⋅+=-∈，则(OA OB +∈，故OA OB OA OB +>-，C 错误；()()220OA OB OA OB OA OB +⋅-=-=，故()()OA OB OA OB +⊥-，D 正确.故选：C11．在平面直角坐标系xOy 中，P （x ，y ）（xy ≠0）是角α终边上一点，P 与原点O 之间距离为r ，比值rx叫做角α的正割，记作sec α；比值r y 叫做角α的余割，记作csc α；比值xy 叫做角α的余切，记作cot α．四名同学计算同一个角β的不同三角函数值如下：甲：5sec 4β=-；乙：5csc 3β=；丙：3tan 4β=-；丁：4cot 3β=．如果只有一名同学的结果是错误的，则错误的同学是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】D【分析】当甲错误时，乙一定正确，从而推导出丙、丁均错误，与题意不符，故甲一定正确；再由丙丁必有一个错误，得到乙一定正确，由此利用三角函数的定义能求出结果．【详解】解：当甲：5sec 4β=-错误时，乙：5csc 3β=正确，此时53r y =，r ＝5k ，y ＝3k ，则|x |＝4k ，（k ＞0），4tan 3y x β∴==或4tan 3β=-，∴丙：3tan 4β=-不正确，丁：4cot 3β=不正确，故错误的同学不是甲；甲：5sec 4β=-，从而r ＝5k ，x ＝﹣4k ，|y |＝3k ，（k ＞0），此时，乙：5csc 3β=；丙：3tan 4β=-；丁：4cot 3β=必有两个正确，一个错误，∵丙和丁应该同号，∴乙正确，丙和丁中必有一个正确，一个错误，∴y ＝3k ＞0，x ＝﹣4k ＜0，34tan ,cot 43ββ∴=-=-，故丙正确，丁错误，综上错误的同学是丁． 故选：D ．12．已知向量a ，b 满足3a b +=，0a b ⋅=，若(1)()c a b λλλ=+-∈R ，且c a c b ⋅=⋅，则c 的最大值为（ ） A ．3 B ．2 C ．12D ．32【答案】D【分析】令a AM =，b MB AN ==，根据题意作出图形，结合图形将已知条件转化，得到AC MN ⊥，然后数形结合求c 的最大值.【详解】如图:令a AM =，b MB AN ==，则a b AM MB AB +=+=，故3AB =.因为0a b ⋅=，所以AM MB ⊥，记AB 的中点为O ，所以点M 在以AB 为直径的圆O 上. 设c AC =，连接MN ，因为(1)c a b λλ=+-，所以点C 在直线MN 上. 因为c a c b ⋅=⋅，所以)0(c a b ⋅-=，即0AC NM ⋅=，所以AC MN ⊥. 结合图形可知，当NM AB ⊥时，||AC 即c 取得最大值，且max 3||2c AO ==.故选：D【点睛】思路点睛：向量中有关最值的求解思路：一是形化，利用向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题；二是数化，利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值、不等式的解集、方程有解等问题. 二、填空题13．设1e ，2e 是两个不共线的向量，若向量()12m e ke k R =-+∈与向量212=-n e e 共线，则k =________． 【答案】120.5.【分析】根据向量m 与n 共线，设λ=m n ，得到2211(2)λ-+=-e ke e e ，列出方程组，即可求解.【详解】由题意，向量()12m e ke k R =-+∈与向量212=-n e e 因为向量m 与n 共线，可设λ=m n ，即2211(2)λ-+=-e ke e e ，则12k λλ-=-⎧⎨=⎩，解得12k =.故答案为：12.14．已知1sin cos 3αβ+=，sin co 12s βα-=，则()sin αβ-= ________.【答案】5972-【分析】根据题中条件，同角三角函数基本关系，得到1322sin cos 2sin cos 36αββα+-=，再由两角差的正弦公式，即可得出结果. 【详解】∵1sin cos 3αβ+=，sin co 12s βα-=，∴()21sin cos 9αβ+=，()2sin co 1s 4βα-=，即221sin 2sin cos cos 9ααββ++=，221sin 2sin cos cos 4ββαα-+=，两式相加可得：1322sin cos 2sin cos 36αββα+-=， 即()592sin 36αβ-=-，所以()59sin 72αβ-=-.故答案为：5972-. 【点睛】本题主要考查根据三角恒等变换求三角函数值，熟记同角三角函数基本关系，以及两角差的正弦公式即可，属于常考题型.15．如图，在等腰ABC 中，已知1AB AC ==，120A ∠=︒，E 、F 分别是边AB 、AC 的点，且AE AB λ=，AF AC μ=，其中(),0,1λμ∈且21λμ+=，若线段EF 、BC 的中点分别为M 、N ，则MN 的最小值是________．2112114【分析】直接利用向量的数量积和向量的线性运算的应用和模的运算的应用整理成关于以μ为变量的二次函数的形式，进一步利用二次函数的性质的应用求出结果． 【详解】在等腰ABC 中，∵||||1AB AC ==，120o A ∠=， ∴1||||cos 2AB AC AB AC A ⋅==-； ∵E 、F 分别是边AB 、AC 的点，∴11()()22AM AE AF AC AB μλ=+=+，1()2AN AB AC =+，∴1[(1)(1)]2MN AN AM AB AC λμ=-=-+-，∴222222211[(1)2(1)(1)(1)]44MN AB AB AC AC λμλμλμλλμμ+---+=-+--⋅+-=，∵21λμ+=，∴12λμ=-， ∴()()()22222237()121212174177444MN μμμμμμμμμ-+-+-----+-+===， 其中λ，(0,1)μ∈，即1(0,)2μ∈， ∴当27μ=时，2MN 取得最小值328，∴||MN ．． 16．已知函数()sin 2sin (0)3⎛⎫=+++> ⎪⎝⎭f x a x x b πωωω的图象的相邻两个对称轴之间的距离为2π，且x ∀∈R 恒有 ()6f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，若存在()()()123123,,0,,2x x x f x f x f x π⎡⎤∈+≤⎢⎥⎣⎦成立，则b 的取值范围为__________．【答案】(,-∞【分析】根据两角和的正弦公式，辅助角公式，化简可得()f x 解析式，根据题意，求得周期，可得ω值，根据 ()6f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，结合正弦型函数的性质，可求得a 值，根据x 的范围，求得26x π+的范围，可得()f x 的最值，结合题意，分析即可得b 的范围.【详解】由题设，()(1)sin )f x a x x b x b ωωωϕ=++=++，tan ϕ=由()f x 相邻两个对称轴之间的距离为2π，故2,2T T ππω===， 又()6f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即2,32k k ππϕπ+=+∈Z ，故tan ϕ==2a =．()26f x x b π⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，此时()f x 的最大值为b ，最小值为b ，若存在1x ，23,0,2x x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使()()()123f x f x f x +≤成立，则只需2b b -≤，b ∴≤b 的取值范围为(,-∞三、解答题17．已知向量1232a e e =-，124b e e =+，其中()11,0e =，()20,1e =． (1)求a b ⋅；(2)求a 在b 方向上的投影． 【答案】(1)10【分析】（1）根据题意，求得(3,2),(4,1)a b =-=，结合数量积的坐标运算，即可求解； （2）根据a 在b 方向上的投影的计算公式，即可求得a 在b 方向上的投影．【详解】(1)解：由题意，向量1232a e e =-，124b e e =+，其中()11,0e =，()20,1e =， 可得(3,2),(4,1)a b =-=，所以34(2)110a b ⋅=⨯+-⨯=. (2)解：因为a 在b 方向上的投影为10a b a a bb⋅⨯=，又因为241b =+，所以a 在b 18．（1）已知非零向量,a b 满足4b a =，且(2)a a b ⊥+，求a 与b 的夹角θ． （2）四边形ABCD 为平行四边形，6AB =，4AD =，若点M ，N 满足3BM MC =，2DN NC =，求AM NM ⋅的值．【答案】（1）23π（2）9 【解析】（1）由cos ||||a ba b θ⋅=，再结合向量的数量积运算即可得解； （2）由向量的线性运算可得11(43)(43)412AM NM AB AD AB AD ⋅=+⋅-，再结合向量的数量积运算即可得解；【详解】解：（1）因为(2)a a b ⊥+，所以(2)0a a b ⋅+=， 又||4||b a =，则22||a b a ⋅=-，则222||1cos 2||||4||a b a a b a θ⋅-===-．又0θπ≤≤， 所以23πθ=． （2）∵3BM MC =，∴3344AM AB BM AB BC AB AD =+=+=+，1143NM CM CN AD AB =-=-+，∴11(43)(43)412AM NM AB AD AB AD ⋅=+⋅-222211(169)(16694)94848AB AD =-=⨯-⨯=． 【点睛】本题考查了向量的数量积运算，重点考查了向量的夹角及向量的线性运算，属基础题.19．已知向量()()cos ,sin ,3,3,0,2a x x b x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦.(1)若//a b ，求x 的值；(2)记()f x a b =求()f x 的取值范围. 【答案】(1)6π(2)【分析】（1）直接利用向量平行得到tan x =x ； （2）整理出()f x a b ==23sin 3x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，直接求值域.【详解】(1)∵向量()()cos ,sin ,3,3,0,2a x x b x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦，由//a b 3sin x x =，即tan x =. ∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴6x π=(2)由()f x a b ==3cos .3x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴5,336x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦∴f （x）的取值范围为20．化简下列各式： (1)sin 67cos75sin8cos67sin 75sin8︒+︒︒︒-︒︒；(2)()2sin50sin101⎡⎤︒+︒︒⎣⎦(3)()()1sin cos sin 2sin 2αβααββ+-+-⎡⎤⎣⎦． 【答案】(1)2+(3)sin β【分析】（1）将67°写成o o o 67758=-，结合两角和的正弦、正切公式，即可求解； （2）切化弦，结合辅助角公式，两角和的正弦公式运算即可求解；．（3）将2αβ+改成αβα++，β改成αβα+-的形式，结合两角和的正弦公式即可求解．【详解】(1)解：原式=()()sin 758cos75sin8cos 758sin75sin8︒-︒+︒︒︒-︒-︒︒sin 75cos8cos75sin8cos75sin8cos75cos8sin 75sin8sin 75sin8︒︒-︒︒+︒︒=︒︒+︒︒-︒︒tan 75=︒()1tan 45tan 30tan 45301tan 45tan 30+︒+︒=︒+︒==-︒︒2== (2)解：原式2sin 50sin10⎛=︒+︒ ⎝⎭2sin 50cos102sin10cos50cos10︒︒+︒︒⎡⎤=︒⎢⎥︒⎣⎦)sin 50cos10sin10cos50=︒︒+︒︒()5010=︒+︒== (3)解：原式()()()1sin cos sin sin 2αβαααβαβα=+-++-+-⎡⎤⎣⎦()()1sin cos 2sin cos 2αβαααβ=+-+⎡⎤⎣⎦()()sin cos cos sin αβααβα=+-+()sin sin αβαβ=+-=．21．如图所示，ABCD 是一块边长为7米的正方形铁皮，其中ATN 是一半径为6米的扇形，已经被腐蚀不能使用，其余部分完好可利用．工人师傅想在未被腐蚀部分截下一个有边落在BC 与CD 上的长方形铁皮PQCR ，其中P 是弧TN 上一点．设TAP θ∠=，长方形PQCR 的面积为S 平方米．（1）求S 关于θ的函数解析式； （2）求S 的最大值．【答案】（1）()4942sin cos 36sin cos 02S πθθθθθ⎛⎫=-++≤≤ ⎪⎝⎭；（2）672- 【分析】（1）PQCRSPR PQ =⋅，将,PR PQ 用θ表示，易得到S 关于θ的函数解析式．（2）由（1）可知S 是关于θ的三角函数，通过换元转化为一元二次函数求解最值，注意换元后定义域也一同变换．【详解】（1）延长RP 交AB 于E ，延长QP 交AD 于F ， 由ABCD 是正方形，PRCQ 是矩形，可知PE AB ⊥，PF AD ⊥， 由TAP θ∠=，可得6sin EP θ=，6cos FP θ=，76sin PR θ∴=-，76cos PQ θ=-，()()76sin 76cos S PR PQ θθ∴=⋅=-- ()4942sin cos 36sin cos θθθθ=-++ 故S 关于θ的函数解析式为()4942sin cos 36sin cos 02S πθθθθθ⎛⎫=-++≤≤ ⎪⎝⎭．（2）令sin cos t θθ+=，可得 ()22sin cos 12sin cos t θθθθ=+=+，即21sin cos 2t θθ-=，()224942181184231S t t t t ∴=-+-=-+．又由02πθ≤≤，可得3444πππθ≤+≤， 故sin cos 224t πθθθ⎛⎫⎡⎤=+=+∈ ⎪⎣⎦⎝⎭， S ∴关于t 的表达式为()21842312S t t t ⎡=-+∈⎣,又由27131862S t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，t ⎡∈⎣可知当t =时，S 取最大值，最大值为67-【点睛】此题考查三角函数最值问题，关键点在对式子灵活换元处理，换元后新函数的定义域一同改变，属于一般题目．22．已知13,22a ⎛= ⎝⎭，()sin 2,cos21b x x ωω=+，其中0>ω，()f x a b =⋅，且函数()f x 在12x π=处取得最大值．(1)求ω的最小值，并求出此时函数()f x 的解析式和最小正周期； (2)在（1）的条件下，先将()y f x =的图像上的所有点向右平移4π个单位，再把所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），然后将所得图像上所有的点向()y g x =的图像．若在区间5,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，方程()210g x a +-=有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围；(3)在（1）的条件下，已知点P 是函数()y h x =图像上的任意一点，点Q 为函数()y f x =图像上的一点，点,6A π⎛ ⎝⎭，且满足12OP OQ OA =+，求()104h x +≥的解集．【答案】(1)ω的最小值为1，此时()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，T π=(2)104a <≤(3)3,22428k k x x k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭｜【分析】（1）根据向量的数量积的运算，化简函数()sin 23f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭结合()f x 在12x π=处取得最大值，求得ω的值，得到函数的解析式和最小整数周期；（2）根据三角函数的图象变换，求得()sin 6g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，把方程()210g x a +-=有两个不相等的实数根转化为()g x 的图象与直线12y a =-有两个交点，结合图象列出不等式，即可求解；（3）设(),P x y ，()00,Q x y ，根据12OP OQ OA =+，求得1()sin 423h x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合()104h x +≥，即可求解.【详解】(1)解：因为()3,sin a x ω=，1,2cos 3b x πω⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()32sin cos 3f x a b x x πωω⎛⎫=⋅=++ ⎪⎝⎭12sin cos 2x x x ωωω⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭2sin cos x x x ωωω=11cos 2sin 222xx ωω-=1sin 222x x ωω=+sin 23x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为()f x 在12x π=处取得最大值，所以22,1232k k Z πππωπ⨯+=+∈，即121,k k Z ω=+∈，当0k =时ω的最小值为1，此时()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭T π=(2)解：将()y f x =的图像上的所有的点向右平移4π个单位，可得函数sin 2sin 2436y x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再把所得图像上所有的点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到的函数sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭得到函数()sin 6y g x x π⎛⎫-= ⎝=⎪⎭，又由5,33x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则3,662x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，当66x ππ-=时，即3x π=时，可得1()32g π=； 当62x ππ-=时，即23x π=时，可得2()13g π=；当362x ππ-=时，即53x π=时，可得5()13g π=-， 方程()210g x a +-=有两个不相等的实数根 等价于()g x 的图象与直线12y a =-有两个交点，如图所示，则满足11212a ≤-<，解得104a <≤，即实数a 的取值范围是1(0,]4.(3)解：设(),P x y ，()00,Q x y 因为点3,6A π⎛ ⎝⎭，且满足12OP OQ OA =+， 所以00126132x x y y π⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩002332x x y y π⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩因为点()00,Q x y 为函数()y f x =图像上的一点 所以332sin 2233y x ππ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即1()sin 423y h x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭因为()104h x +≥，所以1sin 432x π⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭所以7242,636k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，所以3,22428k k x k Z ππππ+≤≤+∈ 所以原不等式的解集为3,22428k k x x k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭｜.。

高中数学必修三答案【篇一：高一数学必修3测试题及答案】ass=txt>数学第一章测试题一．选择题1.下面的结论正确的是（）a．一个程序的算法步骤是可逆的b、一个算法可以无止境地运算下去的 c、完成一件事情的算法有且只有一种 d、设计算法要本着简单方便的原则 2、早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5 min)、刷水壶(2 min)、烧水(8 min)、泡面(3 min)、吃饭(10 min)、听广播(8 min)几个步骤、从下列选项中选最好的一种算法 ( )a、 s1 洗脸刷牙、s2刷水壶、s3 烧水、s4 泡面、s5 吃饭、s6 听广播 b、 s1刷水壶、s2烧水同时洗脸刷牙、s3泡面、s4吃饭、s5听广播 c、 s1刷水壶、s2烧水同时洗脸刷牙、s3泡面、s4吃饭同时听广播 d、 s1吃饭同时听广播、s2泡面、s3烧水同时洗脸刷牙、s4刷水壶 3．算法 s1 m=as2 若bm，则m=b s3 若cm，则m=c s4 若dm，则 m=ds5 输出m，则输出m表示 ( ) a．a，b，c，d中最大值b．a，b，c，d中最小值c．将a，b，c，d由小到大排序d．将a，b，c，d由大到小排序 4.右图输出的是a．2005 b．65 c．64d．635、下列给出的赋值语句中正确的是( )a. 5 = mb. x =－x （第4题）c. b=a=3d. x +y = 06、下列选项那个是正确的（）a、input a;bb. input b=3 c. print y=2*x+1d. print 7、以下给出的各数中不可能是八进制数的是（） a.123 b.10 110 c.4724 d.7 8578、如果右边程序执行后输出的结果是990，那么在程序until后面的“条件”应为（） a.i 10 b. i 8 c. i =9 d.i9 9．读程序甲： i=1 乙：i=1000s=0 s=0 while i=1000 do s=s+i s=s+i i=i+l i=i一1 wend loop until i1 print s prints4*xend end对甲乙两程序和输出结果判断正确的是( )a．程序不同结果不同b．程序不同，结果相同c．程序相同结果不同d．程序相同，结果相同10．在上题条件下，假定能将甲、乙两程序“定格”在i=500，即能输出i=500 时一个值，则输出结果（）a．甲大乙小 b．甲乙相同 c．甲小乙大 d．不能判断二.填空题.11、有如下程序框图（如右图所示），则该程序框图表示的算法的功能是第（第11题）( 第12题)12、上面是求解一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)的流程图，根据题意填写：（1）；（2）；（3）。

江苏省 2022 版高一下学期数学第一次月考试卷 A 卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） 已知三角形 中，， 则三角形 ABC 的形状为（ ）．A . 钝角三角形 B . 直角三角形 C . 锐角三角形 D . 等腰直角三角形 2. （2 分） (2018 高二上·湖南月考) 如图，从地面上 C，D 两点望山顶 A，测得它们的仰角分别为 45°和 30°， 已知 CD＝100 米，点 C 位于 BD 上，则山高 AB 等于（ ）A.米B.米C.米D . 100 米3. （2 分） (2019 高二下·宝安期末) 已知数列 为等差数列， 为其前 项和，，则（）A.B.第 1 页 共 20 页C.D.4. （2 分） (2020 高二上·莆田期中) 如图，在四面体上的一点，且，若，则中， 是 为（ ）的重心， 是A.B.C.D. 5.（2 分）已知等差数列 A. B. C. D.， 为其前 项和，若，且，则（）6. （2 分） 在△ABC 中，如果 lga﹣lgc=lgsinB=lg A . 钝角三角形，且 B 为锐角，此三角形的形状（ ）B . 直角三角形C . 等腰直角三角形第 2 页 共 20 页D . 等边三角形7. （2 分） 在山脚 处测得该山峰仰角为 ，对着山峰在平行地面上前进 600 m 后测得仰角为原来的 2倍，继续在平行地面上前进后，测得山峰的仰角为原来的 4 倍，则该山峰的高度为（ ）A . 200m B . 300m C . 400mD. 8. （2 分） 等差数列 中， A . 220 B . 200 C . 180 D . 160，， 则此数列 前 20 项和等于（ ）9. （2 分） 在△ABC 中，角 A，B 满足： A . a=b>c B . a=b=c C . a+b=2c， 则三边 a，b，c 必满足（ ）D.10. （2 分） (2017·衡阳模拟) 《数学统综》有如下记载：“有凹线，取三数，小小大，存三角”．意思是 说“在凹（或凸）函数（函数值为正）图象上取三个点，如果在这三点的纵坐标中两个较小数之和大于最大的数，第 3 页 共 20 页则存在将这三点的纵坐标值作为三边长的三角形”．现已知凹函数 f（x）=x2﹣2x+2，在上任取三个不同的点（a，f（a）），（b，f（b）），（c，f（c）），均存在以 f（a），f（b），f（c）为三边长的三角形，则实数m 的取值范围为（ ）A . [0，1]B.C.D.11. （2 分） (2020 高一下·上海期中) 在中，是以-4 为第三项，-1 为第七项的等差数列的公差，是以 为第三项，4 为第六项的等比数列的公比，则该三角形的形状是（ ）A . 钝角三角形B . 锐角三角形C . 等腰直角三角形D . 以上均错12. （2 分） (2019 高二上·贺州月考) 已知等差数列 和为（ ）中，若A.8B.9C . 13D . 12二、 填空题 (共 4 题；共 5 分)，则此数列的前 13 项的第 4 页 共 20 页13. （1 分） (2020 高一下·山东开学考) 设若，且，则的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 的面积为________.14. （1 分） (2017·太原模拟) 已知，若，则实数 t=________．15. （1 分） (2019 高一下·安庆期中) 已知是定义在 上的不恒为零的函数，且对于任意实数 、满足：，，，，考察下列结论：①；②为偶函数；③数列 为等差数列；；④数列 为等比数列， 其中正确的是________.（填序号）16.（2 分）(2020·成都模拟) 在四面体中，分别是的中点．则下述结论：①四面体的体积为 ；②异面直线所成角的正弦值为 ；③四面体外接球的表面积为；④若用一个与直线 垂直，且与四面体的每个面都相交的平面 去截该四面体，由此得到一个多边形截面， 则该多边形截面面积最大值为 ．其中正确的有________．（填写所有正确结论的编号）三、 解答题 (共 6 题；共 62 分)17. （10 分） (2019·昌平模拟) 在等差数列 中，a2=8，且 a3+a5=4a2 ．第 5 页 共 20 页（Ⅰ）求等差数列 的通项公式；（Ⅱ）设各项均为正数的等比数列 满足 18. （10 分） (2019 高三上·吉林月考) 在． （1） 求角 B 的值；，求数列{bn-an}的前 n 项和 ． 中角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，已知（2） 若，，求的面积.19. （10 分） 已知向量 ， 的坐标分别是（﹣1，2），（3，﹣5），求 + ， ﹣ ，3 ，2 +3 的坐标．20. （2 分） (2016 高一下·枣阳期中) 如图，气象部门预报，在海面上生成了一股较强台风，在据台风中心 60 千米的圆形区域内将受到严重破坏，台风中心这个从海岸 M 点登陆，并以 72 千米/小时的速度沿北偏西 60°的方向移动，已知 M 点位于 A 城的南偏东 15°方向，距 A 城千米；M 点位于 B 城的正东方向，距 B 城千米，假设台风在移动的过程中，其风力和方向保持不变，请回答下列问题：（1） A 城和 B 城是否会受到此次台风的侵袭？并说明理由； （2） 若受到此次台风的侵袭，改城受到台风侵袭的持续时间有多少小时？ 21. （15 分） (2016·四川文) 已知数列{an}的首项为 1，Sn 为数列{an}的前 n 项和，Sn+1=qSn+1，其中 q＞ 0，n∈N+ （1） 若 a2 ， a3 ， a2+a3 成等差数列，求数列{an}的通项公式；（2） 设双曲线 x2﹣ =1 的离心率为 en ， 且 e2=2，求 e12+e22+…+en2 ．22. （15 分） (2018 高二上·辽宁期中) 在数列 中，已知第 6 页 共 20 页，对于任意的，有. （1） 求数列 的通项公式.（2） 若数列 式.满足（3） 设，是否存在实数 ，当取值范围；若不存在，请说明理由.时，，求数列 的通项公 恒成立？若存在，求实数 的第 7 页 共 20 页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)答案：1-1、 考点： 解析： 答案：2-1、 考点：参考答案解析： 答案：3-1、 考点： 解析：第 8 页 共 20 页答案：4-1、 考点： 解析：答案：5-1、 考点：解析： 答案：6-1、 考点：第 9 页 共 20 页解析： 答案：7-1、 考点：解析： 答案：8-1、第 10 页 共 20 页考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共5分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共62分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、答案：22-3、考点：解析：。