2019-2020年高一数学解读充分条件和必要条件 人教版

2019-2020年高一数学解读充分条件和必要条件 人教版
充分、必要条件是重要的数学概念，它主要讨论命题的条件和结论之间的关系，是理解、掌握一个命题的题设和结论关系以及一个命题与其它命题之间关系的重要工具。

一、 准确理解充分、必要条件
1． 原定义：如果命题p ⇒q ，那么说p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。

定义表明了在了p 就一定有q ，即“p 能充分保证q 成立，故称p 是q 的充分条件”； 又“p ⇒q ”⇔q p ⌝⌝⇒，即没有q 没有p ，或者说“要有p 就必须有q ”，所以q 是p 的必要条件。

2． 对充分、必要条件定义反思，可得如下引申定义：若p q ⇒，则p 是q 的不充分条件，q 是p 的不必要条件。

引申定义弥补了原定义在逻辑关系上的不完整性，引出充分而不必要条件、必要而不充分条件、充要条件和既不充分也不必要条件等四种条件概念。

因此，回答“p 是q 的什么条件”应有六种答案选择。

例1 设p 是q 的充分不必要条件，r 是q 的充要条件，S 是r 的必要不充分条件，则S 是p 的什么条件？ 解：依题意，得如下逻辑关系图：
p ⇒⇐
q r ⇒⇔⇐s ∴S 是p 有必要不充分条件。

二、 正确应用充分、必要条件的传递性
充分、必要条件具有传递性，即由12n p p p ⇒⇒⇒得1n p p ⇒。

应用时需注意“传递链”不能间断，“传递链”间断的地方，往往是充分性不能确定或者是必要性不能确定。

例2 设A 是C 的充分而不必要条件，B 是C 的充要条件，D 是C 的必要而不充分条件，D 是B 的充分条件，则A 是B 的什么条件？
解：本题的逻辑关系图如下：
从A ⇒C ⇒D ⇒B 或者从A ⇒C ⇒B 都说明A 是B 的充分条件
又由B ⇒C ⇒A 确定A 是B 的不必要条件。

∴A 是B 的充分不必要条件
三、 利用集合判断充分、必要条件
充分、必要条件也可以从集合的包含关系的角度来理解它们之间的对应关系，设满足条件p 、q 的对象组成的集合依次是P 、Q ，则：
(1)p 是q 的充分条件⇔P ⊆Q ，p 是q 的充分而不必要条件⇔P ≠⊂Q
(2)p 是q 的必要条件⇔Q ⊆P ，p 是q 的必要而不充分条件⇔Q ≠⊂P
(3)p 是q 的充要条件⇔P=Q
(4)若上述三种关系均不成立，则p 与q 互为既不充分也不必要条件
例3 已知p ：(x －4)(x +1)≥0，q ：
41
x x -+≥0，则p 是q 的什么条件？ 解：由已知得P={x |x ≤－1或x ≥4}，Q={x |x <－1或x ≥4}
则Q ≠⊂P ∴p 是q 的必要不充分条件。

四、 等价命题在解充分、必要条件问题中的作用
用来判断充分、必要条件的等价命题有：(逆否命题) (1)p q q p ⌝⌝⇒⇔⇒
(2) p q q p ⌝⌝⇒⇔⇒
运用时的思路是：“正难则反”，关键是怎样由p 得到p ⌝(或由q 得到q ⌝
)，注意条件(或命题)p 中隐含什么条件？不能盲目地认为：等于的否定就是不等式，大于的否定就是不大于。

A ⇒⇐C
⇓ ⇑
D
例4 已知p ：|2x +5|≥11，q ：221524x x x x +++->0，则q ⌝是p ⌝的什么条件？ 解：由p 易得p ⌝：－8<x <3，再由q 中2x +x +1>0恒成立
∴q ：22154x x x x +++->0⇔2x +5x －24>0，解得x <－8或x >3 ∴q ⌝：－8≤x ≤3 故q ⌝是p ⌝的必要不充分条件。

其它解释：
(1) 用四种命题解释：
若p 为条件，q 为结论，由此构造一个命题：若p 则q ，则
① 如果原命题成立，逆命题不成立，则原命题的条件是充分非必要的。

② 如果原命题不成立，逆命题成立，则原命题的条件是必要非充分的。

③ 如果原命题和逆命题都成立，则原命题的条件是充要的。

④ 如果原命题和逆命题都不成立，则原命题的条件是非充分非必要的。

(2) 用“⇒”、“⇐”、“⇔”解释
主要体现在四个字上：“头必尾充”上，此种解释显得直观、简洁，在实际的解题中是采用最为广泛的一种。

若p ⇒q ，且q p ⇒，则p 是q 的充分而非必要条件，q 是p 的必要非充分条件。

若q ⇒p ，且p q ⇒，则q 是p 的充分而非必要条件，p 是q 的必要非充分条件。

若p ⇒q ，且q ⇒p ，则p 是q 的充要条件，q 也是p 的充要条件。

若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 的既不充分也不必要条件。

(3) 用汉语解释
充分条件：有之必然，无之未必然、。

(有它一定行， 无它未必不行)
必要条件：无之必不然，有之未必然。

(无它一定不行，有它也未必行)
充要条件：有之必然，无之必不然。

(有它一定行，无它一定不行)
五、 重视充要条件的学习
学习充要条件的内容有：(1)会判断；(2)会证明；(3)会求。

教材中，没有给出“会求”的练习题，求使命题成立的充要条件的主要方法是：先探求使命题成立所必备的必要条件，然后说明这一条件也是充分的。

在探求过程中，注意对参数进行分类讨论。

例5 设A={x |－2≤x ≤a }，B={y |y =2x +3，x ∈A}，M ＝｛z |z ＝2
x ，x ∈A ｝，则M ⊆B 的充要条件是什么？ 解：∵A ＝{x |－2≤x ≤a }，M ＝｛z |z ＝2x ，x ∈A ｝
∴B ＝{y |y ＝2x ＋3，x ∈A ｝＝｛y |－1≤y ≤2a ＋3｝
当－2≤a ≤0时，M ＝{z |2a ≤z ≤4}
当0<a ≤2时，M={z |0≤z ≤4}
当a >2时，M={z |0≤z ≤2a }
∴当－2≤a ≤2时，要使M ⊆B ⇔4≤2a +3即
12≤a ≤2 当a >2时，要使M ⊆B ⇔2a ≤2a +3即2<a ≤3 综上得，所求充要条件是
12
≤a ≤3。

例6 已知抛物线C ：y ＝－2x ＋mx －1和点A(3，0)，B(0,3)，求抛物线C 与线段AB 有两个不同交点的充要条件。

解：必要性 由已知得，线段AB 的直线方程是y =－x +3(0≤x ≤3)
由于抛物线C 与线段AB 有两个不同交点
∴方程组213(03)
y x mx y x x ⎧=-+-⎨=-+≤≤⎩……①有两个不同的实数解
消去y 得2x －(m +1)x +4=0(0≤x ≤3)
设()f x =2x －(m +1)x +4，则有
2(1)440(0)40(3)93(1)401032
m f f m m ⎧∆=+-⨯>⎪=≥⎪⎪⎨=-++≥⎪+⎪<<⎪⎩，得3<m ≤103 充分性 当3<m ≤103
时，有
10
x =>= 23x =<= ∴方程2x －(m +1)x +4=0有两个不等的实根1x 、2x ，且0<1x <2x ≤3，方程组①有两组不同的实数解。

因此，抛物线C ：y ＝－2x ＋mx －1与线段AB 有两个不同交点的充要条件是3<m ≤103。

练习：
1． 已知p ：|3x －4|>2，q ：212
x x -->0，问p ⌝是q ⌝的什么条件？ 2． 已知p 、q 都是r 的必要条件，S 是r 的充分条件，q 是S 的充分条件，问：
(1) s 是q 的什么条件？
(2) r 是q 的什么条件？
(3) p 是q 的什么条件？
3． 已知条件p ：x +y =－2，q ：x 、y 不都是－1，问p 是q 的什么条件？
4． 求方程2210ax x ++=的根都是负数的充要条件。

5． 已知命题p ：|1－13
x -|≤2；q ：2221x x m -+-≤0(m >0)，若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，试求m 的取值范围。