第1章数值计算引论

(an1an2 a0 a1a2 am ) 这里：0 ak 为正整数.湘潭大学数学与计算科学学院
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（1）十进制数( 10)
例如：(364)10 (3102 6101 4100). (5188.51)10 5103 1102 8101
去近似一个复杂的函数； 数值积分与数值微分；
非线性方程的数值解法； 数值代数（线性代数方程组的解法与矩阵的特征
值问题的计算）； 常微分方程数值解法；
最优化方法、随机统计方法等。
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举例： （1）求 9x2 sin x 的正实根； （2）求一阶微分方程初值问题： dy f ( x, y), y(0) 1 dx 的解，其中： f ( x, y) sin x 9x2
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进制下，规格化的浮点数可以表示成
x 0.a1a2 as c
其中： 1 a1 0 ai
i 2, 3, s, s 1
0.a1a2 as――称为浮点数的尾数部分，s 1大小不限制.
例如
c――称为阶码，它为 进制整数.
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（3）十六进制数( 16)，十六个数字为 0，1，2，…，
9，A，B，C，D，E，F. 例如：
(5C4)16 5162 C 161 4160
5162 12161 4
(1476)10.
八进制也是一种常用的进制
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8100 5101 1102.
（2）二进制数( 2)
例如：(10101)2 1 24 0 23 1 22 0 21 1 20 (21)10.

说明：
• 学时： 授课24, 上机24 • 成绩评定：
– 期末考试（60%） – 平时成绩（40%）
• 教师： 王骄健 • 联系方式:
– E-mail: jiaojianwang@
教学大纲
《数字计算》
非线性 方程
线性 方程组
方程组 系数
微分积分 及方程
积分 微分
常微分 方程
1 2
S4 取
1
1 1 1 1 x2 e dx S , R ... 称为截断误差 4 则 4 0 4! 9 5! 11 1 1 这里 R4 0 .005 4! 9 1 1 1 S4 1 1 0 .333 0 .1 0 .024 0 .743 3 10 42
• 但误差e(x)并不足以刻划x的精度。如： x*=15±2, x=15, ε (x) =2; y*=1000±5, y=1000, ε (y)=5
因此考虑精度时除看误差大小外，还应考 虑精确值本身的大小，故引入相对误差概 念。
1.2 数值计算的误差与有效数字
• 定义1.2 设x*为某一数据的准确值，x为x*的一 个近似值，称
– 截断误差：用数值方法求解数学模型时，用简单代 替复杂,或者用有限过程代替无限过程所引起的误差； – 舍入误差：计算机表示的数的位数有限，通常用四 舍五入的办法取近似值，由此引起的误差。
1.2 数值计算的误差与有效数字
例如：
2 n x x e x 1 x ... ... 2! n!
数值计算与MATLAB
王骄健 电子科技大学生命学院
2015年9月
教材和参考书
• 教材：
– 数值分析，电子科技大学应用数学学院，钟尔杰， 黄廷祝主编，高等教育出版社

a1 0, k 为整数。如果
| x xA | 0.510kn ，
则称 为 x 的具有 n 位有效数字的近似值。
可见，若近似值 xA 的误差界是某一位的半个单位，该位到 xA 得第一位非零 数字共有 n 位，则 xA 有 n 位有效数字。
通常在已知 的较多位准确数字的情况下，若要取得有限位数的数字作为近 似值，就采用四舍五入的原则。不难验证，采用四舍五入得到的近似值，其绝对 误差界可以取为被保留的最后数位上的半个单位。例如
1.2 数值计算的误差 1.2.1 误差的来源
应用数学工具解决实际问题，首先，要对被描述的实际问题进行抽象、简化， 得到实际问题的数学模型。数学模型与实际问题之间出现的误差，我们称之为模 型误差。在数学模型中，通常要包含一些由观测数据确定的参数。数学模型中一 些参数观测结果一般不是绝对准确的。我们把观测模型参数值产生的误差称为观 测误差。
例 1.2 对函数
sin x x x3 x5 x7 (1)n x2n1 ,
3! 5! 7!
(2n 1)!
该式右边有无限多项，计算机上无法计算。然而，根据微积分学中的 Tayl若用前 3 项作为sin x 的近似值，则截断误差的绝对值不
超过 | x |7 / 7!.
满足精度要求，这就是误差估计问题。在数值计算方法中，主要讨论的是截断误 差和舍入误差。数值计算中的截断误差要结合具体数值算法进行讨论，将在以后 的章节中介绍。至于舍入误差，在实际计算中往往会相互抵消，但用什么方法定 量估计仍有很大难度，为此我们着重于误差的定性分析，也就是讨论数值算法的 数值稳定性及控制舍入误差的传播。 1.2.2 误差与有效数字
定义 1.1 设 是某实数的精确解， xA 是它的一个近似值，则称 x xA 为近似

y
n
1

yn


k1 k
2

hf hf
(
t (
n
t
,
n

1 6 yn

(k1
) h, 2
yn
2k
2 k1 ) 2
2k3

k4
)

k3

hf
(tn

h 2
,
yn

k2 2
)
k 4 hf ( t n h , y n k 3 ))
这里 , f ( x , y ) y 2 x ； h 为步长。 y
行数值求解有 I2 0.746855379 。
例1.1.3 求解初值问题
dy y 2 x
dx
y
y(0) 1
解 该方程是 Bernoulli 方程，令 u y 2解得
解析解 y 2 x 1。本题数值方法很多， 如 我们选择经典的四阶 R K方法 :

20 截断误差： sin
由Taglor 展式：sin [ 3 5 ...]
3! 5! 30 观察误差： g 9.8米 / 秒2 , l长度
40 舍入误差 .：,,*, /,开方
误差的分类
模型误差 从实际问题建立的数学模型往 往都忽略了许多次要的因素,因此产生的 误差称为模型误差.
有的方法在理论上虽不够严格，但通过 实际计算，对比分析等手段，被证明是 行之有效的方法，也可以采用。因此， 数值分析既有纯数学高度抽象性与严密 科学性的特点，又有应用的广泛性与实 验的高度技术性特点，是一门与使用计 算机密切结合的实用性很强的数学课程。