圆锥曲线专题复习：抛物线部分

2 x2 x2 y＝ (x－x2)＋ ， 2 4
⑥
x1＋x2 x1x2 由⑤⑥得 MA， MB 的交点 M(x0， y0)的坐标为 x0＝ ， y0＝ ， 2 4 因为点 M(x0，y0)在 C2 上，即 x2 0＝－4y0，
2 x1 ＋x2 2 所以 x1x2＝－ . ⑦ 6
4 由③④⑦得 x ＝ y，x≠0. 3
p [听课记录] 依题意， 设抛物线方程是 y ＝2px(p>0)，则有 2＋ ＝ 2
2
3，得 p＝2， 故抛物线方程是 y2＝4x，点 M 的坐标是(2，± 2 2)， |OM|＝ 22＋8＝2 3. 答案 B


[规律方法] 1 ． 求抛物线的方程一般是利用待定系数法， 即求p但要注意判断标准方程的形式． 2 ．研究抛物线的几何性质时，一是注意定义 转化应用；二是要结合图形分析，同时注意平 面几何性质的应用．



[典题导入] (1)(2013·新课标全国Ⅱ高考)设抛物线C： y2 ＝ 2px(p ＞ 0) 的焦点为 F ，点 M 在 C 上， |MF| ＝ 5 ，若以 MF 为直径的圆过点 (0 ， 2) ，则 C 的 方程为 ( ) A．y2＝4x或y2＝8x B ． y2 ＝ 2x 或 y2 ＝8x C．y2＝4x或y2＝16x D ． y2 ＝ 2x 或 y2 ＝16x
2
当 x1＝x2 时，A，B 重合于原点 O，AB 中点 N 为 O，坐标满足 x2 4 ＝ y. 3 4 因此线段 AB 中点 N 的轨迹方程为 x ＝ y. 3
2



[规律方法] 1．设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，直线Ax＋ By ＋ C ＝ 0 ，将直线方程与抛物线方程联立， 消去x得到关于y的方程my2＋ny＋q＝0. (1)若m≠0，当Δ＞0时，直线与抛物线有两个 公共点； 当Δ＝0时，直线与抛物线只有一个公共点； 当Δ＜0时，直线与抛物线没有公共点． (2) 若 m ＝ 0 ，直线与抛物线只有一个公共点， 此时直线与抛物线的对称轴平行．

A. B. C. D.
√
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解析：由题意可知，抛物线 的标准方程为 , ,设直线 的方程为 , , ,联立得 消去 ,得 , ,则 , . ,所以当 时， 的面积取得最小值，最小值为2，故选D.
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（2）（2022·新高考卷Ⅱ）已知直线 <m></m> 与椭圆 <m></m> 在第一象限交于 <m></m> ， <m></m> 两点， <m></m> 与 <m></m> 轴、 <m></m> 轴分别交于 <m></m> ， <m></m> 两点，且 <m></m> , <m></m> ，则 <m></m> 的方程为__________________．
，所以 ①,又 ②, 得 ,所以四边形 的面积为18.
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考点二 圆锥曲线的几何性质
例2.（1）（2022·陕西西安五校高三联考）已知双曲线 <m></m> 的离心率为2，则双曲线 <m></m> 的渐近线方程是( )
A. B. C. D.
解析：由题意可知，双曲线的实半轴长的平方 ,虚半轴长的平方 ,所以双曲线的离心率 满足 ,从而 ,所以双曲线的渐近线方程为 ,故选A.
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2. <m></m> ， <m></m> 是椭圆 <m></m> 的两个焦点， <m></m> 是椭圆 <m></m> 上异于顶点的一点， <m></m> 是 <m></m> 的内切圆圆心，若 <m></m> 的面积等于 <m></m> 的面积的3倍，则椭圆 <m></m> 的离心率为_ _.

【最新】高二数学圆锥曲线：抛物线知识点整理和总结高二数学圆锥曲线:抛物线知识点整理和总结专题九抛物线一.根本概念1.抛物线的定义:平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹.其中:定点为抛物线的焦点,定直线叫做准线.2.抛物线的标准方程.图象及几何性质:p0标准方程l焦点在_轴上,开口向右y2焦点在_轴上,开口向左y2p_2焦点在y 轴上,开口向上_2焦点在y轴上,开口向下_22p_2py2pyyP_OFPyl_FOlyPFOy轴lyOF_图形_PO(0,0)顶点对称轴焦点离心率准线二．例题分析【例1】〔河西区__高考一模〕双曲_a22_轴F(p2,0)F(p2,0)F(0,p2)F(0,p2)e1_p2_p2yp2yp2yb221a0,b0的一个顶点与抛物线y20_的焦点重合,该双曲线的离心率为252,那么该双曲线的渐近线斜率为〔〕A2B43C12D34【例2】〔南开区__年高三一模〕假设抛物线y2p_的焦点与双曲线焦重合,那么p的值为〔〕A3B-3C6D-62_26y231的左【变式1】〔河北区__年高三三模〕抛物线y245_的焦点和双曲线_a22yb221(a0,b0)的一个焦点重合,且双曲线的离心率e52,那么双曲线的方程为〔〕A【变式2】〔__年第三次六校联考〕.双曲线_a22_216y291B_29y2161C_2y241D_24y291yb221的离心率为2,它的一个焦点与抛物线y28_的焦点相同,那么双曲线的渐近线方程为--------------------------------【例3】.〔__年天津一中高三第五次月考〕抛物线y22p_p0的焦点F为双 _a22曲线yb221a0,b0的一个焦点,经过两曲线交点的直线恰好过点F,那么该双曲线的离心率为〔〕A2B【例4】〔__年天津文〕双曲线_a2221C3D31yb221(a0,b0)的左顶点与抛物线y2p_(p0)的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的准线的交点2坐标为〔-2,-1〕,那么双曲线的焦距为〔〕A．23B．25C．43D．45【例5】〔__年天津文〕双曲线_a22yb221(a0,b0)的一条渐近线方程是y3_,它的一个焦点与抛物线y216_的焦点相同.那么双曲线的方程为.【变式1】〔__年天津理〕双曲线_a22yb221(a0,b0)的一条渐近线方程是y=3_,它的一个焦点在抛物线y224_的准线上,那么双曲线的方程为〔〕〔A_236y21081〔B_29y2271〔C〕_2108y2361〔D〕_227y291【变式2】〔__陕西理〕设抛物线的顶点在原点,准线方程为_2,那么抛物线的方程是.【例6】〔__年福建〕双曲线_24yb221的右焦点与抛物线y212_的焦点重合,那么该双曲线的焦点到渐近线的距离为_________.【变式1】〔__年安徽〕过抛物线y4_的焦点F的直线交抛物线于A.B两点,O 为坐标原点,假设AF3,那么三角形AOB的面积为________.【例7】〔__辽宁理〕F是抛物线y2=_的焦点,A,B是该抛物线上的两点,AFBF=3,那么线段AB的中点到y轴的距离为〔〕A．34B．1C．54D．74【变式1】〔__年天津理〕抛物线的参数方程为_2pty2pt2〔t为参数,p>0〕,焦点为F,准线为l,过抛物线上一点M作l的垂线,垂足为E.假设|EF|=|MF|,点M 的横坐标是3,那么p=_________.【变式2】〔__山东文〕设M(_0,y0)为抛物线C:_28y上一点,F为抛物线C的焦点,以F为圆心.FM为半径的圆和抛物线C的准线相交,那么y0的取值范围是〔〕A．(0,2)【变式3】〔__年四川〕抛物线关于_轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点 M2,y0,假设点M到抛物线焦点距离为3,那么OM长度________.B．[0,2]C．(2,+∞)D．[2,+∞)扩展阅读:抛物线题及知识点总结一.抛物线的定义及其应用[例1]设P是抛物线y2＝4_上的一个动点．(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线_＝－1的距离之和的最小值;(2)假设B(3,2),求|PB|＋|PF|的最小值．例2.．(__山东高考)设M(_0,y0)为抛物线C:_2＝8y上一点,F为抛物线C的焦点,以F为圆心.|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,那么y0的取值范围是()A．(0,2)B．[0,2]C．(2,＋∞)D．[2,＋∞)．二.抛物线的标准方程和几何性质例3.抛物线y＝2p_(p>0)的焦点为F,准线为l,经过F的直线与抛物线交于A. 2B两点,交准线于C点,点A在_轴上方,AK⊥l,垂足为K,假设|BC|＝2|BF|,且|AF|＝4,那么△AKF的面积是()A．4B．33C．43D．8[悟一法]1.求抛物线的标准方程常采用待定系数法,未知数只有p,可利用题中条件确定p的值．注意到抛物线方程有四种标准形式,因此求抛物线方程时,需先定位,再定量．2.涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考,通过图形可以直观地看出抛物线的顶点.对称轴.开口方向等几何特征．例4．过抛物线y2＝2p_(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A.B,交其准线l 于点C,假设|BC|＝2|BF|,且|AF|＝3那么此抛物线的方程为()39A．y2＝_B．y2＝9_C．y2＝_D．y2＝3_22三.抛物线的综合问题[例5](__江西高考)过抛物线y2＝2p_(p>0)的焦点,斜率为22的直线交抛物线于A(_1,y1),B(_2,y2)(_10)上,M点到抛物线C的焦点F的1 距离为2,直线l:y＝－_＋b与抛物线C交于A,B两点．2(1)求抛物线C的方程;(2)假设以AB为直径的圆与_轴相切,求该圆的方程．练习题1．抛物线_2＝ay的焦点恰好为双曲线y2－_2＝2的上焦点,那么a等于() A．1B．4C．8D．162．抛物线y＝－4_2上的一点M到焦点的距离为1,那么点M的纵坐标是() A．－1716157B．－C.16162D.15163．(__辽宁高考)F是物线y＝_的焦点,A,B是该物线上的两点,|AF|＋|BF|＝3,那么线段AB的中点到y轴的距离为()3A.425B．1C.47D.44．抛物线y＝2p_,以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是()A．相离B．相交C．相切D．不确定5．(__宜宾检测)F为抛物线y2＝8_的焦点,过F且斜率为1的直线交抛物线于()A．42A.B两点,那么||FA|－|FB||的值等于D．16B．8C．826．在y＝2_2上有一点P,它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小,那么点P的坐标是()A．(－2,1)C．(2,1)B．(1,2)D．(－1,2)7．设抛物线y2＝8_的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足．如果直线AF的斜率为－3,那么|PF|＝()A．43B．8C．83D．168．(__陕西高考)设抛物线的顶点在原点,准线方程为_＝－2,那么抛物线的方程是()A．y2＝－8_B．y2＝8_C．y2＝－4_D．y2＝4_9．(__永州模拟)以抛物线_2＝16y的焦点为圆心,且与抛物线的准线相切的圆的方程为________．10．抛物线的顶点在原点,对称轴为y轴,抛物线上一点Q(－3,m)到焦点的距离是5,那么抛物线的方程为________．11．抛物线y＝4_与直线2_＋y－4＝0相交于A.B两点,抛物线的焦点为F,那么|FA|＋|FB|＝________.212．过抛物线y2＝4_的焦点作直线交抛物线于A(_1,y1),B(_2,y2)两点,假设_1＋_2＝6,那么|AB|等于________13．根据以下条件求抛物线的标准方程: (1)抛物线的焦点是双曲线16_2－9y2＝144的左顶点;(2)过点P(2,－4)． 14．点A(－1,0),B(1,－1),抛物线C:y2＝4_,O为坐标原点,过点A的动直线l交抛物线C于M,P两点,直线MB交抛物线C于另一点Q.假设向与OP的夹角为,求△POM的面积．4一.抛物线的定义及其应用[例1]设P是抛物线y2＝4_上的一个动点．(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线_＝－1的距离之和的最小值;(2)假设B(3,2),求|PB|＋|PF|的最小值．[自主解答](1)如图,易知抛物线的焦点为F(1,0),准线是_＝－1.由抛物线的定义知:点P到直线_＝－1的距离等于点P到焦点F的距离．于是,问题转化为:在曲线上求一点P,使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小．显然,连结AF交曲线于P点,那么所求的最小值为|AF|,即为5.(2)如图,自点B作BQ垂直准线于Q,交抛物线于点P1,那么|P1Q|＝|P1F|.那么有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.即|PB|＋|PF|的最小值为 4.例2.．(__山东高考)设M(_0,y0)为抛物线C:_2＝8y上一点,F为抛物线C的焦点,以F为圆心.|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,那么y0的取值范围是() A．(0,2)B．[0,2]C．(2,＋∞)D．[2,＋∞)解析:圆心到抛物线准线的距离为p,即p＝4,根据只要|FM|>4即可．根据抛物线定|FM|＝y0＋2由y0＋2>4,解得y0>2,故y0的取值范围是(2,＋∞)．二.抛物线的标准方程和几何性质例3.抛物线y2＝2p_(p>0)的焦点为F,准线为l,经过F的直线与抛物线交于A.B两点,交准线于C点,点A在_轴上方,AK⊥l,垂足为K,假设|BC|＝2|BF|,且|AF|＝4,那么△AKF的面积是()A．4B．33C．43D．8设点A(_1,y1),其中y1>0.由点B作抛物线的准线的垂线,垂足为B1.那么有|BF|＝|BB1|;又|CB|＝2|FB|,因此有|CB|＝2|BB1|,cos∠CBB1＝ππCBB1＝.即直线AB与_轴的夹角为.335|BB1|1＝,∠|BC|pπ又|AF|＝|AK|＝_1＋＝4,因此y1＝4sin＝23,因此△AKF的面积等于|AK|y1＝423＝43.22[悟一法]1.求抛物线的标准方程常采用待定系数法,未知数只有p,可利用题中条件确定p的值．注意到抛物线方程有四种标准形式,因此求抛物线方程时,需先定位,再定量．2.涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考,通过图形可以直观地看出抛物线的顶点.对称轴.开口方向等几何特征．例4．过抛物线y2＝2p_(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A.B,交其准线l 于点C,假设|BC|＝2|BF|,且|AF|＝3那么此抛物线的方程为()3A．y2＝_B．y2＝9_29C．y2＝_D．y2＝3_2解析:分别过点A.B作AA1.BB1垂直于l,且垂足分别为A1.B1,由条件|BC|＝2|BF|得|BC|＝2|BB1|,∴∠BCB1＝30°,又|AA1|＝|AF|＝3,∴|AC|＝2|AA1|＝6,∴|CF|＝|AC|－|AF|＝6－3＝3,∴F为线段AC的中点．故13点F到准线的距离为p＝|AA1|＝,故抛物线的方程为y2＝3_.22三.抛物线的综合问题[例5](__江西高考)过抛物线y2＝2p_(p>0)的焦点,斜率为22的直线交抛物线于A(_1,y1),B(_2,y2)(_1所以p＝4,从而抛物线方程是y2＝8_.(2)由p＝4,4_2－5p_＋p2＝0可简化为_2－5_＋4＝0,从而_1＝1,_2＝4,y1＝－22,y2＝42,从而A(1,－22),B(4,42);设OC＝(_,y)＝(1,－2332)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)．又y22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)．3＝8_3,即[2即(2λ－1)2＝4λ＋1.解得λ＝0,或λ＝2.例6.(__湖南高考)(13分)平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.(1)求动点P的轨迹C的方程;(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1,l2,设l1与轨迹C相交于点A,B,l与轨迹C相交于点D,E,求ADEB的最小值2妙解](1)设动点P的坐标为(_,y),由题意有_－12＋y2－|_|＝1.化简得y2＝2_＋2|_|.当_≥0时,y2＝4_;当_例7．点M(1,y)在抛物线C:y2＝2p_(p>0)上,M点到抛物线C的焦点F的1距离为2,直线l:y＝－_＋b与抛物线C交于A,B两点．2(1)求抛物线C的方程;(2)假设以AB为直径的圆与_轴相切,求该圆的方程．解:(1)抛物线y2＝2p_(p>0)的准线为_＝－,由抛物线定义和条件可知2|MF|＝1－(－)＝1＋＝2,解得p＝2,故所求抛物线C的方程为y＝4_.22ppp2y＝－1_＋b,2(2)联立y＝4_2消去_并化简整理得y＋8y－8b＝0.2依题意应有Δ＝64＋32b>0,解得b>－2.设A(_1,y1),B(_2,y2),那么y1＋y2 ＝－8,y1y2＝－8b,设圆心Q(_0,y0),那么应用_0＝_1＋_22,y0＝y1＋y22＝－4.因为以AB为直径的圆与_轴相切,所以圆的半径为r＝|y0|＝4.又|AB|＝5[_1－_222＋y1－y22＝1＋4y1－y22＝y1＋y2－4y1y2]＝564＋32b64＋32b所以|AB|＝2r＝58＝8,解得b＝－.548,5所以_1＋_2＝2b－2y1＋2b－2y2＝4b＋16＝那么圆心Q的坐标为(2424,－4)．故所求圆的方程为(_－)2＋(y＋4)2＝16.551．抛物线_2＝ay的焦点恰好为双曲线y2－_2＝2的上焦点,那么a等于() A．1B．4C．8D．16解析:根据抛物线方程可得其焦点坐标为(0,),双曲线的上焦点为(0,2),4依题意那么有＝2解得a＝8.4aa2．抛物线y＝－4_2上的一点M到焦点的距离为1,那么点M的纵坐标是() A．－1716157B．－C.1616D.1516y12解析:抛物线方程可化为_＝－,其准线方程为y＝.设M(_0,y0),那么由416115抛物线的定义,可知－y0＝1y0＝－.16163．(__辽宁高考)F是物线y2＝_的焦点,A,B是该物线上的两点,|AF|＋|BF|＝3,那么线段AB的中点到y轴的距离为()3A.45B．1C.47D.4解析:根据物线定义与梯形中位线定理,得线段AB中点到y轴的距离为:11315(|AF|＋|BF|)－＝－＝.242444．抛物线y2＝2p_,以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是() A．相离B．相交C．相切D．不确定解析:设抛物线焦点弦为AB,中点为M,准线l,A1.B1分别为A.B在直线l上的射影,那么|AA1|＝|AF|,|BB1|＝|BF|,于是M到l的距离d＝(|AA1|＋|BB1|)11＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|＝半径,故相切．225．(__宜宾检测)F为抛物线y＝8_的焦点,过F且斜率为1的直线交抛物线于()A．42B．8C．82D．16212A.B两点,那么||FA|－|FB||的值等于y＝_－2,解析:依题意F(2,0),所以直线方程为y＝_－2由2y＝8_,消去y得_2－12_＋4＝0.设A(_1,y1),B(_2,y2),那么||FA|－|FB||＝|(_1＋2)－(_2＋2)|＝|_1－_2|＝(_1＋_2)－4_1_2＝144－16＝82.6．在y＝2_2上有一点P,它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小,那么点2P的坐标是()A．(－2,1)C．(2,1)B．(1,2)D．(－1,2)2解析:如下图,直线l为抛物线y＝2_的准线,F为其焦点,PN⊥l,AN1⊥l,由抛物线的定义知,|PF|＝|PN|,∴|AP|＋|PF|＝|AP|＋|PN|≥|AN1|,当且仅当A.P.N三点共线时取等号．∴P点的横坐标与A点的横坐标相同即为1,那么可排除 A.C.D.答案:B7．设抛物线y2＝8_的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足．如果直线AF的斜率为－3,那么|PF|＝()A．43B．8C．83D．168．(__陕西高考)设抛物线的顶点在原点,准线方程为_＝－2,那么抛物线的方程是()A．y2＝－8_B．y2＝8_C．y2＝－4_D．y2＝4_解析:由准线方程_＝－2,可知抛物线为焦点在_轴正半轴上的标准方程,同时得p＝4,所以标准方程为y2＝2p_＝8_9．(__永州模拟)以抛物线_2＝16y的焦点为圆心,且与抛物线的准线相切的圆的方程为________．解析:抛物线的焦点为F(0,4),准线为y＝－4,那么圆心为(0,4),半径r＝8.所以,圆的方程为_2＋(y－4)2＝64.10．抛物线的顶点在原点,对称轴为y轴,抛物线上一点Q(－3,m)到焦点的距离是5,那么抛物线的方程为________．解析:设抛物线方程为_2＝ay(a≠0),那么准线为y＝－.∵Q(－3,m)在抛4物线上,∴9＝am.而点Q到焦点的距离等于点Q到准线的距离,aa99a∴|m－(－)|＝5.将m＝代入,得|＋|＝5,解得,a＝±2,或a＝±18,4aa4∴所求抛物线的方程为_＝±2y,或_＝±18y.11．抛物线y2＝4_与直线2_＋y－4＝0相交于A.B两点,抛物线的焦点为F,那么|FA|＋|FB|＝________.22y2＝4_解析:由2_＋y－4＝0,消去y,得_2－5_＋4＝0(_),方程(_)的两根为A.B两点的横坐标,故_1＋_2＝5,因为抛物线y2＝4_的焦点为F(1,0),所以|FA|＋|FB|＝(_1＋1)＋(_2＋1)＝712．过抛物线y2＝4_的焦点作直线交抛物线于A(_1,y1),B(_2,y2)两点,假设_1＋_2＝6,那么|AB|等于________解析:因线段AB过焦点F,那么|AB|＝|AF|＋|BF|.又由抛物线的定义知|AF|＝_1＋1,|BF|＝_2＋1,故|AB|＝_1＋_2＋2＝8.13．根据以下条件求抛物线的标准方程:(1)抛物线的焦点是双曲线16_2 －9y＝144的左顶点;(2)过点P(2,－4)．解:双曲线方程化为－＝1,左顶点为(－3,0),由题意设抛物线方程为9162_2y2py2＝－2p_(p>0),那么－＝－3,∴p＝6,∴抛物线方程为y2＝－12_.2(2)由于P(2,－4)在第四象限且抛物线对称轴为坐标轴,可设抛物线方程为y2＝m_或_2＝ny,代入P点坐标求得m＝8,n＝－1,∴所求抛物线方程为y2＝8_或_2＝－y.14．点A(－1,0),B(1,－1),抛物线C:y2＝4_,O为坐标原点,过点A的动直线l交抛物线C于M,P两点,直线MB交抛物线C于另一点Q.假设向量OMπ与OP的夹角为,求△POM的面积．4解:设点M(,y1),P(,y2),44∵P,M,A三点共线,∴kAM＝kPM,即y21y22y1y21＝4＋1y1－y2y11＝,∴y1y2＝4.22,即2y1y2y1＋4y1＋y24－4444y2y2π12∴OMOP＝＋y1y2＝5.∵向量OM与OP的夹角为,π1π5∴|OM||OP|cos＝5.∴S△POM＝|OM||OP|sin＝.4242。

抛物线 典例剖析知识点一 抛物线概念的应用已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3,2)，求|P A |＋|PF |的最小值，并求出取最小值时P 点的坐标．解将x=3代入抛物线方程 y 2=2x ，得y=〒6.6>2，∴点A 在抛物线内部．设抛物线上点P 到准线l ： x=21的距离为d ，由定义知|PA|+|PF|=|PA|+d ， 当PA ⊥l 时，|PA|+d 最小， 最小值为27，即|PA|+|PF|的最小值为27， 此时P 点纵坐标为2，代入y 2=2x ，得x=2， ∴点P 坐标为(2,2)．知识点二 求抛物线的标准方程求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)过点(－3,2)；(2)焦点在直线x －2y －4＝0上．分析 设出抛物线的标准形式，依据条件求出p 的值．解 (1)设抛物线标准方程为y 2＝－2px 或x 2＝2py (p >0)，则将点(－3,2)代入方程得2p ＝43，或2p ＝92，故抛物线的标准方程为y 2＝－43x ，或x 2＝92y .(2)①令x ＝0，由方程x －2y －4＝0，得y ＝－2. ∴抛物线的焦点为F (0，－2)．设抛物线方程为x 2＝－2py ，则由p2＝2，得2p ＝8.∴所求的抛物线方程为x 2＝－8y .②令y ＝0，由x －2y －4＝0，得x ＝4. ∴抛物线的焦点为F (4,0)．设抛物线方程为y 2＝2px ，由p2＝4，得2p ＝16.∴所求抛物线方程为y 2＝16x .知识点三 抛物线在实际中的应用汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线焦点处，已知灯口的直径是24 cm ，灯深10 cm ，那么灯泡与反射镜的顶点(即截得抛物线顶点)距离是多少？分析 确定抛物线方程，求出抛物线的焦点到其顶点的距离解 取反射镜的轴即抛物线的对称轴为x 轴，抛物线的顶点为坐标原点，建立直角坐标系xOy ，如图所示．因灯口直径|AB|=24.灯深|OP|=10， 所以点A 的坐标是(10,12)．设抛物线的方程为y 2=2px(p>0)．由点A(10,12)在抛物线上，得122=2p ×10， ∴p=7.2.抛物线的焦点F 的坐标为(3.6,0)．因此灯泡与反射镜顶点的距离是3.6 cm.知识点四 抛物线几何性质的简单应用抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x 2＋4y 2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程．分析 先确定抛物线方程的形式，再依条件求待定参数．解 椭圆9x 2＋4y 2＝36可化为x 24＋y 29＝1，得抛物线的对称轴为x 轴．设抛物线的方程为y 2＝ax (a ≠0)， 又抛物线的焦点到顶点的距离为3，则有|a4|＝3，∴|a |＝12，即a ＝±12.故所求抛物线方程为y 2＝12x ，或y 2＝－12x .知识点五 直线与抛物线已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，且|AB |＝52p ，求AB 所在的直线方程．解 焦点F (p2，0)，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，若AB ⊥Ox ，则|AB |＝2p <52p ，不合题意．所以直线AB 的斜率存在，设为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x －p2)，k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －p 2)，y 2＝2px ，消去x ，整理得ky 2－2py －kp 2＝0.韦达定理得，y 1＋y 2＝2pk，y 1y 2＝－p 2.∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋1k 2)·(y 1－y 2)2＝1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝2p (1＋1k 2)＝52p .解得k ＝±2.∴AB 所在直线方程为y ＝2(x －p 2)，或y ＝－2(x －p 2)．知识点六 抛物线的焦点弦问题AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，M 是AB 的中点，l 是抛物线的准线，MN ⊥l ，N 为垂足．求证：(1)AN ⊥BN ； (2)FN ⊥AB ；(3)若MN 交抛物线于Q ，则Q 平分MN .证明 (1)作AC ⊥l ，垂足为C ，作BD ⊥l ，垂足为D ，在直角梯形ABDC 中， ∵|AF|=|AC|，|BF|=|BD|， ∴|MN|=21(|AC|+|BD|) =21(|AF|+|BF|) =21|AB|， 由平面几何知识可知△ANB 是直角三角形，即AN ⊥BN. (2)∵|AM|=|NM|， ∴∠MAN=∠MNA ， ∵AC ∥MN ，∴∠CAN=∠MNA ，∴∠MAN=∠CAN.在△ACN 和△AFN 中，|AN|=|AN|，|AC|=|AF|， 且∠CAN=∠FAN ，∴△ACN ≌△AFN ， ∴∠NFA=∠NCA=90°， 即FN ⊥AB.(3)在Rt △MNF 中，连结QF ， 由抛物线的定义及(2)的结论得 |QN|=|QF|⇒∠QNF=∠QFN ，且∠QFN=90°-∠QFM ，∠QMF=90°-∠QNF ， ∴∠QFM=∠QMF ，∴|QF|=|QM|， ∴|QN|=|QM|，即Q 平分MN.知识点七 抛物线的综合问题过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为θ的直线交抛物线于A 、B 两点，设△AOB 的面积为S (O 为原点)．(1)用θ、p 表示S ；(2)求S 的最小值；当最小值为4时，求抛物线的方程．解 (1)设直线y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p2，代入y 2＝2px ， 得y 2＝2p ⎝⎛⎭⎫y k ＋p 2，即y 2－2pk y －p 2＝0，∴y 1＋y 2＝2pk，y 1y 2＝－p 2.∴|AB |＝ 1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝ k 2＋1k 2·4p 2k2＋4p 2＝(1＋1k 2)2p ＝(1＋1tan 2θ)2p＝2p sin 2θ.① 当直线AB ⊥x 轴时，①也成立．∴S ＝12|OF ||AF |sin θ＋12|OF ||BF |sin(π－θ)＝12|OF ||AB |sin θ ＝12·p 22p sin 2θsin θ＝p 22sin θ. (2)当θ＝90°时，S min ＝12p 2.若S min ＝4，则12p 2＝4.∴p ＝2 2.∴此时抛物线的方程为y 2＝42x .考题赏析1．(辽宁高考)已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A.172 B ．3 C. 5 D.92解析 如图所示，由抛物线的定义知，点P 到准线x ＝－12的距离d 等于点P 到焦点的距离|PF |.因此点P 到点(0,2)的距离与点P 到准线的距离之和可转化为点P 到点(0,2)的距离与点P到点F 的距离之和，其最小值为点M (0,2)到点F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离，则距离之和的最小值为4＋14＝172.答案 A2．(全国Ⅰ高考)已知抛物线y ＝ax 2－1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为________．解析 ∵y ＝ax 2－1，∴y ＋1＝ax 2.令y ＋1＝y ′，x ＝x ′，则y ′＝ax ′2，∴x ′2＝2×12ay ′，∴x ′2＝1a y ′的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，14a ，即y ＋1＝14a ， ∴y ＝ax 2－1的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，14a －1. 又y ＝ax 2－1的焦点是原点，∴14a ＝1，∴a ＝14.∴y ＝14x 2－1.令x ＝0，得y ＝－1，令y ＝0，得x ＝±2.故y ＝14x 2－1与两坐标轴的三个交点为(0，－1)，(2,0)，(－2,0)，∴围成三角形面积为S ＝12×4×1＝2.答案 23．(全国Ⅱ高考)已知F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，A 、B 是抛物线C 上的两个点，线段AB 的中点为M (2,2)，则△ABF 的面积等于________．解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 21＝4x 1，y 22＝4x 2. ∴(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)．∵x 1≠x 2，∴y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝1.∴直线AB 的方程为y －2＝x －2，即y ＝x . 将其代入y 2＝4x ，得A (0,0)、B (4,4)．∴|AB |＝4 2.又F (1,0)到y ＝x 的距离为22，∴S △ABF ＝12×22×42＝2.答案 21．抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点到其准线的距离是( ) A.|a |4 B.|a |2C ．|a |D ．－a2答案 B解析 因为y 2＝ax ，所以p ＝|a |2，即该抛物线的焦点到其准线的距离为|a |2，故选B.2．抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M 到焦点的距离是a (a >p2)，则点M 的横坐标是( )A ．a ＋p 2B ．a －p2C ．a ＋pD ．a －p 答案 B解析 由抛物线的定义知：点M 到焦点的距离a 等于点M 到抛物线的准线x ＝－p2的距离，所以点M 的横坐标即点M 到y 轴的距离为a －p2.3．已知抛物线的方程为标准方程，焦点在x 轴上，其上点P (－3，m )到焦点F 的距离为5，则抛物线方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x 答案 B解析 点P (－3，m )在抛物线上，焦点在x 轴上，所以抛物线的标准方程可设为y 2＝－2px (p >0)．由抛物线定义知|PF |＝3＋p2＝5.所以p ＝4，所以抛物线的标准方程是y 2＝－8x .应选B.4．抛物线y 2＝ax 的焦点与双曲线x 23－y 2＝1的左焦点重合，则这条抛物线的方程是( )A ．y 2＝4xB ．y 2＝－4xC ．y 2＝－42xD ．y 2＝－8x 答案 D解析 因为x 23－y 2＝1的左焦点为(－2,0)，所以抛物线开口向左，所以a <0，且p ＝|a |2＝4，所以a ＝－8，所以抛物线方程为y 2＝－8x ，故选D.5．已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 且斜率为1的直线交抛物线C 于A 、B 两点．设|F A |>|FB |，则|F A |与|FB |的比值等于________．答案 3＋2 2解析 ∵y 2＝4x 的焦点坐标为 F (1,0)，准线方程为x ＝－1，∴过F 且斜率为1的直线方程为y = x - 1.将其代入y 2= 4x 得 x 2 - 6x + 1=0.∴x 1, 2 =62± = 3〒22.∵|FA|>|FB|，∴x A =3+22，x B =3-22.又|FA|= x +1，|FB|= x B +1，∴|FA||FB|== 3+22. 答案 －36. 过抛物线y 2 = 4x 的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，O 为坐标原点，则· 的值是________．. 解析 当直线过焦点且垂直于x 轴时，直线方程为x ＝1，代入y 2＝4x ，y 1,2＝±2.A 、B 点的坐标分别为(1,2)，(1，－2)．∴·OB →＝1－4＝－3.当直线过焦点不垂直x 轴时，则直线的方程可设为y ＝k (x －1)，设A ，B 坐标分别为(x 1，y 1)(x 2，y 2)．则y 21·y 22＝16x 1x 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k (x －1)，得k 2x 2－(2k ＋4)x ＋k 2＝0， ·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝1－4＝－3. 7．已知圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1与定直线l ：x ＝1，若动圆C 与圆A 相外切，且与直线l 相切，求动圆圆心C 的轨迹方程．解 设圆心C 到直线l 的距离为d ，则由题意知|CA |＝d ＋1从而可知圆心C 到点(－2,0)的距离和到定直线x ＝2的距离相等．所以动圆圆心C 的轨迹是抛物线，其焦点为(－2,0)，准线为x ＝2，故设动圆圆心C 的轨迹方程为y 2＝－2px (p >0)，由p2＝2，得p ＝4.因此动圆圆心C 的轨迹方程为y 2＝－8x .8．已知点M (－2,4)及焦点为F 的抛物线y ＝18x 2，在此抛物线上求一点P 使|PM |＋|PF |的值最小．分析 先根据已知条件画出图形，由定义知，抛物线上的点P 到焦点F 的距离等于P 到准线l 的距离d ，所以求|PM |＋|PF |的最小值问题可转化为求|PM |＋d 的最小值问题，让点P 在抛物线上运动，容易发现当点P 运动到过点M 且与x 轴垂直的直线与抛物线的交点处时，|PM |＋d 最小．解 如图，设MN ⊥x 轴，与准线交于N ，与抛物线交于点P ，在抛物线上任取一点P ′，连P ′M ，P ′F ，作P ′N 垂直于准线，垂足为N ′.由抛物线的定义，|PN|=|PF|，|P ′N ′|=|P ′F||P ′M|+|P ′N ′|=|P ′M|+|P ′F| |PN|+|PM|=|PM|+|PF|∵|P ′M|+|P ′N ′|≥|PN|+|PM| ∴|P ′M|+|P ′F|≥|PM|+|PF|这就是说，当P ′与P 重合时，|PM|+|PF|的值最小解方程组22,1,8x y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩得P(-2，12)． 9．已知抛物线y 2＝2x ，过点Q (2,1)作一条直线交抛物线于A 、B 两点，试求弦AB 中点的轨迹方程．解 设弦AB 的中点M (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有y 21＝2x 1，y 22＝2x 2， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝2y 1＋y 2，又y 1＋y 2＝2y ，∴y 1－y 2x 1－x 2＝1y，即k AB ＝1y .又k MQ ＝y －1x －2，由题意知k MQ ＝k AB .∴y －1x －2＝1y，整理， 得y 2－x －y ＋2＝0.所以，弦AB 中点的轨迹方程为y 2－x －y ＋2＝0.10．抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．解 如右图所示，依题意设抛物线方程为y 2=2px(p>0)，则直线方程为y=-x+12p. 设直线交抛物线于A(x 1，y 1)， B(x 2，y 2)，则由抛物线定义得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD| =x 1+2P + x 2 + 2P ， 即x 1+x 2 +p=8.①又A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)是抛物线和直线的交点．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋12p ，y 2＝2px ，消去y 得x 2－3px ＋p 24＝0，∴x 1＋x 2＝3p ，将其代入①得p ＝2. ∴所求抛物线方程为y 2＝4x .当抛物线方程设为y 2＝－2px (p >0)时，同理可求得抛物线方程为y 2＝－4x . 故抛物线的方程为y 2＝4x 或y 2＝－4x .讲练学案部分2．4.1 抛物线及其标准方程.对点讲练知识点一 求抛物线的标准方程分别求出满足下列条件的抛物线的标准方程．(1)过点(3，－4)．(2)焦点在直线x ＋3y ＋15＝0上． 解 (1)∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线的标准方程为y 2＝2px (p ＞0)或x 2＝－2p 1y (p 1＞0)，把点(3，－4)的坐标分别代入得(－4)2＝2p ×3,32＝－2p 1×(－4)即2p ＝163，2p 1＝94∴所求抛物线的方程为y 2＝163x 或x 2＝－94y .(2)令x ＝0得y ＝－5；令y ＝0得x ＝－15 ∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)∴所求抛物线的标准方程为y 2＝－60x 或x 2＝－20y .【反思感悟】 求抛物线方程应首先确定焦点的位置，进而确定方程的形式，然后利用已知条件求p 的值．求满足下列条件的抛物线的方程．(1)以坐标轴为对称轴，且过点A (2,3)；(2)以坐标轴为对称轴，焦点到准线的距离为52.解 (1)由题意，方程可设为y 2＝mx 或x 2＝ny ， 将点A (2,3)的坐标代入，得32＝m ·2或22＝n ·3，∴m ＝92或n ＝43.∴所求的抛物线方程为y 2＝92x 或x 2＝43y .(2)由焦点到准线的距离为52，可知p ＝52.∴所求抛物线方程为y 2＝5x 或y 2＝－5x 或x 2＝5y 或x 2＝－5y .知识点二 抛物线定义的应用已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点M (－3，m )到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m 的值．解 设抛物线的方程为y 2＝－2px (p ＞0)，则准线方程为x ＝p2.∵点M (－3，m )是抛物线上的点，根据抛物线定义，M 点到焦点的距离等于M 点到准线的距离∴|－3|＋p2＝5 ∴p ＝4.∴抛物线方程为y 2＝－8x .又点M (－3，m )在抛物线上故m 2＝－8×(－3) ∴m ＝±2 6.【反思感悟】 涉及抛物线上一点与焦点的距离问题要注意用定义转化为该点到准线的距离，可简化计算．若动圆与圆(x －2)2＋y 2＝1相外切，又与直线x ＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．双曲线的一支D ．抛物线答案 D解析 设动圆的圆心为M ，半径为r ，动圆与圆(x －2)2＋y 2＝1相外切，则M 到定点(2,0)的距离为r ＋1，动圆与直线x ＝－1相切，则点M 到定直线x ＝－1的距离为r ，所以M 到定点(2,0)和到定直线x ＝－2的距离相等，由抛物线定义知，答案选D.知识点三 抛物线知识在实际中的应用喷灌的喷头装在直立管柱OA 的顶点A 处，喷出水流的最高点B 高5 m ，且与OA 所在的直线相距4 m ，水流落在以O 为圆心，半径为9 m 的圆上，则管柱OA 的长是多少？解 如图所示，建立直角坐标系，设水流所形成的抛物线的方程为x 2= -2py(p>0)，点C(5， -5)在抛物线上，所以25= -2p ·(-5),2p=5，所以抛物线的方程为x 2= -5y ，点A(-4，y 0)在抛物线上，所以16= -5y 0，y 0 = -165，所以OA 的长为5 - 165=1.8 (m)．∴管柱OA 的长是1.8 m.【反思感悟】 根据题意，建立直角坐标系，用待定系数法求出抛物线方程，再利用抛物线方程解决实际问题．抛物线型拱桥顶距离水面2米，水面宽4米，当水下降1米后，水面宽________米．答案 2 6解析 可设抛物线方程为x 2＝－2py ，则点(－2，－2)在抛物线上，则有：4＝4p . ∴p ＝1，抛物线方程为x 2＝－2y ，当y ＝－3时，x ＝±6. ∴水面宽为2 6. 课堂小结：1.四个标准方程的区分：焦点在一次项字母对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定.当系数为正时，开口方向为坐标轴的正方向；系数为负时，开口方向为坐标轴的负方向.2.焦点在y 轴上的抛物线的标准方程x 2=2py 通常又可以写成y=ax 2,这与以前学习的二次函数的解析式是完全一致的，但需要注意的是，由方程y=ax 2来求其焦点和准线时，必须先化成标准形式.3.经过抛物线的焦点的弦称为抛物线的焦点弦，它有以下特性：设焦点弦AB 的端点坐标分别为A （x 1 , y 1）,B(x 2,y 2)，则y 1y 2= - p 2, x 1x 2 = 24p ，|AB|= x 1 + x 2 + p.课时作业一、选择题1．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在曲线x 24－y 22＝1上，则抛物线方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝4xC ．y 2＝2xD ．y 2＝±8x 答案 D解析 由题意知抛物线的焦点为双曲线x 24－y 22＝1的顶点，即(－2,0)、(2,0)，所以抛物线的方程为y 2＝8x 或y 2＝－8x .2．抛物线y ＝mx 2(m <0)的焦点坐标是( )A ．(0，m 4)B ．(0，14m )C ．(0，－m 4)D ．(0，－14m)答案 B解析 由于抛物线方程可化为x 2＝1my (m <0)，所以抛物线的焦点在y 轴的负半轴上，且2p ＝－1m ，所以p 2＝－14m ，所以抛物线的焦点坐标是(0，14m)，答案选B.3．过点M (2,4)作与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点的直线l 有( ) A ．0条 B ．1条 C ．2条 D ．3条 答案 C解析 容易发现点M (2,4)在抛物线y 2＝8x 上，这样l 过M 点且与x 轴平行时，l 与抛物线有一个公共点，或者l 在M 点上与抛物线相切，故选C.4．已知P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是抛物线y 2＝2px (p >0)上不同的两点，则y 1·y 2＝－p 2是直线P 1P 2通过抛物线焦点的( )A ．充分不必要条件B ．充分必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 设直线P 1P 2的斜率为k ，在x 轴上的截距为x 0，则P 1P 2的方程为y ＝k (x －x 0)， x ＝1ky ＋x 0(k ＝0时只有一个交点不合题意)， 所以y 2＝2p ⎝⎛⎭⎫1k y ＋x 0，即y 2－2pky －2px 0＝0. 当直线P 1P 2过焦点时，x 0＝p2，则y 1y 2＝－p 2.当y 1y 2＝－p 2时，即－2px 0＝－p 2，则x 0＝p2，直线过焦点．当斜率不存在时也可验证是充要条件．5．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，那么|AB |等于( )A ．10B ．8C ．6D ．4 答案 B解析 方法一 由已知得抛物线焦点为(1,0)，过焦点的直线设为y ＝k (x －1)(由x 1＋x 2＝6知，此直线不平行于y 轴，因而k 存在)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，消去y 得k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2(k 2＋2)k 2＝6，x 1·x 2＝1得k ＝±1.所以|AB |2＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝2(x 1－x 2)2＝64，故|AB |＝8.方法二 由焦半径公式|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝8.二、填空题6．抛物线2y 2＋5x ＝0的焦点坐标为____________，准线方程为______________．答案 ⎝⎛⎭⎫－58，0 x ＝58解析 化抛物线2y 2＋5x ＝0为标准方程y 2＝－52x,2p ＝52，p 2＝58，所以焦点坐标为(－58，0)，准线方程为x ＝58.7．设点M ⎝⎛⎭⎫3，103与抛物线y 2＝2x 上的点P 之间的距离为d 1，P 到抛物线准线l 的距离为d 2，则当d 1＋d 2取最小值时，P 点坐标为____________．答案 (2,2)解析 当P 点是M 与焦点F ⎝⎛⎭⎫12，0连线与抛物线交点时，d 1＋d 2最小，MF 的方程为y ＝43x －23，与抛物线y 2＝2x 联立得P (2,2)． 三、解答题8．过点Q (4,1)作抛物线y 2＝8x 的弦AB ，若弦恰被Q 平分，求AB 所在直线方程． 解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因点Q (4,1)为A ，B 的中点则有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8y 1＋y 2＝2将A 、B 两点坐标代入y 2＝8x .则有⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝8x 1 ①y 22＝8x 2 ②①－②得：(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝8(x 1－x 2)，由y 1＋y 2＝2，则有y 1－y 2x 1－x 2＝4，∴k AB ＝4.∴所求直线方程为y －1＝4(x －4)，即4x －y －15＝0.9．一抛物线拱桥跨度为52米，拱顶离水面6.5米，一竹排上有一宽4米、高6米的矩形大木箱，问能否安全通过？解建立坐标系如图，设抛物线方程为 x 2= -2py ，则点(26， -6.5)在抛物线上， ∴262= -2p ·(-6.5)，∴p=52，抛物线的方程为x 2= -104y ，当y=-0.5时，x=〒213，则有413>4， 所以木箱能安全通过．10．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点． 求证：(1)x 1x 2为定值；(2)1|F A |＋1|FB |为定值． 证明 (1)抛物线y 2＝2px 的焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，当AB 不垂直于x 轴时，设直线AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p2 (k ≠0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2y 2＝2px消去y ， 得k 2x 2－p (k 2＋2)x ＋k 2p 24＝0.由根与系数的关系得x 1x 2＝p 24(定值)．当AB ⊥x 轴时，x 1＝x 2＝p2，x 1x 2＝p24也成立．(2)由抛物线的定义知，|F A |＝x 1＋p 2，|FB |＝x 2＋p2.又由(1)得x 1x 2＝p24，所以1|F A |＋1|FB |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p2＝x 1＋x 2＋pp 2(x 1＋x 2)＋x 1x 2＋p 24 ＝x 1＋x 2＋p p 2(x 1＋x 2)＋p 22＝x 1＋x 2＋p p 2(x 1＋x 2＋p )＝2p(定值)． 2．4.2 抛物线的简单几何性质.对点讲练知识点一 由性质求方程已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x 轴，且与圆x 2＋y 2＝4相交的公共弦长等于23，求这条抛物线的方程．解 设所求抛物线方程为y 2＝2px (p >0)或y 2＝－2px (p >0)，设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，(y 1>0，y 2<0)，则|y 1|＋|y 2|＝23，即y 1－y 2＝23，由对称性知，y 2＝－y 1，代入上式得y 1＝3，把y 1＝3代入x 2＋y 2＝4得x ＝±1.所以点(1，3)在抛物线y 2＝2px 上，点(－1，3)在抛物线y 2＝－2px 上，所以3＝2p 或3＝－2p ×(－1)．所以p ＝32，所以所求抛物线方程为y 2＝3x 或y 2＝－3x .【反思感悟】 (1)由已知的几何条件求抛物线方程，常用待定系数法．(2)由于抛物线是轴对称图形，所以与对称轴垂直的弦一定被对称轴平分．已知抛物线的焦点在x 轴上，直线y ＝2x ＋1被抛物线截得的线段长为15，求此抛物线的标准方程．解 ∵抛物线的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为y 2＝2px由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2pxy ＝2x ＋1得4x 2＋(4－2p )x ＋1＝0.∴|x 1－x 2|＝(4－2p )2－164＝p 2－4p2.∴1＋22|x 1－x 2|＝52p 2－4p .∴52p 2－4p ＝15.∴p ＝6或p ＝－2. ∴抛物线的方程为y 2＝12x 或y 2＝－4x .知识点二 与抛物线有关的证明问题过抛物线焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，通过点A 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D ，求证：直线DB 平行于抛物线的对称轴．证明如图所示，以抛物线的对称轴为x 轴，它的顶点为原点，建立直角坐标系． 设抛物线的方程为y 2=2px ，①点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫y 202p ，y 0，则直线OA 的方程为 y ＝2py 0x (y 0≠0)，②抛物线的准线方程是x ＝－p2.③联立②③，可得点D 的纵坐标为y ＝－p 2y 0④因为点F 的坐标是⎝⎛⎭⎫p 2，0，当AB ⊥x 轴时，|y 0|＝p 此时，|OA |＝|OD |，∴DB ∥x 轴当AB 与x 轴不垂直时，即y 20≠p 2时，直线AF 的方程为y ＝2py 0y 20－p 2⎝⎛⎭⎫x －p 2，⑤ 联立①⑤，可得点B 的纵坐标为y ＝－p 2y 0.⑥由④⑥可知，DB ∥x 轴．【反思感悟】 因抛物线方程的独特形式，较之椭圆与双曲线，它上面的点便于用一个变量表示出来，如y 2＝2px 上任一点，可表示为⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22p ，y ，注意恰当运用．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，Q 是抛物线上除顶点外的任意一点，直线QO 交准线于P 点，过Q 且平行于抛物线对称轴的直线交准线于R 点，求证：PF ⊥RF .证明如图所示，设点Q ⎝⎛⎭⎫y 202p ，y 0，则R.（-2p，y 0 ） 直线OQ 的方程为y=02y p x ， 当x=-2p 时，解得y=-02y p，∴P ＝2,20p p y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，又F （2p ，0），∴RF →＝⎝⎛⎭⎫p ，p 2y 0，RF →＝(p ，－y 0) ∴RF →·RF →＝0，∴PF ⊥RF .知识点三 直线与抛物线的交点问题已知抛物线的方程为y 2＝4x ，直线l 过定点P (－2,1)，斜率为k .k 为何值时，直线l 与抛物线y 2＝4x ：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？解 由题意，设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x ＋2)y 2＝4x ，可得：ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0.① (1)当k ＝0时，由方程①得y ＝1.把y ＝1代入y 2＝4x ，得x ＝14.这时，直线l 与抛物线只有一个公共点⎝⎛⎭⎫14，1. (2)当k ≠0时，方程①的判别式为 Δ＝－16(2k 2＋k －1)． 1°由Δ＝0，即2k 2＋k －1＝0，解得k ＝－1，或k ＝12.于是，当k ＝－1，或k ＝12时，方程①只有一个解，从而方程组(*)只有一个解．这时，直线l 与抛物线只有一个公共点．2°由Δ>0，即2k 2＋k －1<0，解得－1<k <12.于是，当－1<k <12，且k ≠0时，方程①有两个解，从而方程组有两个解．这时，直线l与抛物线有两个公共点．3°由Δ<0，即2k 2＋k －1>0，解得k <－1，或k >12.于是，当k <－1，或k >12时，方程①没有实数解，从而方程组(*)没有解．这时，直线l与抛物线没有公共点．综上，我们可得当k ＝－1，或k ＝12，或k ＝0时，直线l 与抛物线只有一个公共点；当－1<k <12，且k ≠0时，直线l 与抛物线有两个公共点；当k <－1，或k >12时，直线l 与抛物线没有公共点．【反思感悟】 当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，抛物线和直线相交，只有一个交点．解决直线与抛物线位置关系问题时，不要忽视这一点，否则容易漏解．直线l ：y ＝kx ＋1，抛物线C ：y 2＝4x ，当k 为何值时，l 与C 分别相切、相交、相离？解 将l 和C 的方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1， ①y 2＝4x ， ②①式代入②式，并整理，得 k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.当k ≠0时，是一元二次方程， ∴Δ＝(2k －4)2－4k 2＝16(1－k )．(1)当Δ＝0时，即k ＝1时，l 与C 相切． (2)当Δ>0时，即k <1时，l 与C 相交． (3)当Δ<0时，即k >1时，l 与C 相离．当k ＝0时，直线l ：y ＝1与曲线C ：y 2＝4x 相交．综上所述，当k ＝0或k <1时，l 与C 相交，当k ＝1时，l 与C 相切，当k >1时，l 与C 相离．课堂小结：1.在已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为x 轴,求抛物线的标准方程时,为避免讨论张口的方向可设抛物线的方程为y 2=2ax (a ≠0).此时,不论a>0或a<0,焦点坐标都是（2a,0）,准线方程都为x=-2a . 2.抛物线y 2= 2px (p>0)上任一点的坐标可用一个量y 1表示为21(1),2y y p;x 2 = 2py (p>0)上任一点坐标可设为（x 1 , 212x p）.3.直线与抛物线的位置关系设直线l ：y=kx+m ，抛物线：y 2=2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x 的方程：ax 2+bx+c=0,(1)若a ≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ=0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当Δ<0时，直线与抛物线相离，无公共点.（2）若a=0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合，因此直线与抛物线有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.一、选择题1．P (x 0，y 0)是抛物线y 2＝2px (p ≠0)上任一点，则P 到焦点的距离是( )A ．|x 0－p 2|B ．|x 0＋p2|C ．|x 0－p |D ．|x 0＋p | 答案 B解析 当p >0时，由抛物线定义得点P (x 0，y 0)到焦点的距离为x 0＋p2，当p <0时由抛物线定义知P (x 0，y 0)到焦点的距离为－p 2－x 0，综上得所求距离为|x 0＋p2|，故选B.2．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为4，则|AB |等于( )A ．10B ．8C ．6D ．4 答案 A解析 设A 、B 两点的横坐标分别为x A 、x B ，则有x A ＋x B ＝8，|AB |＝|AF |＋|BF |＝x A ＋p 2＋x B ＋p2＝8＋p ＝8＋2＝10.3．抛物线y 2＝2px 与直线ax ＋y －4＝0的一个交点是(1,2)，则抛物线的焦点到该直线的距离为( )A.32 3B.25 5C.710 5D.172 答案 B解析 由已知得抛物线方程为y 2＝4x ，直线方程为2x ＋y －4＝0，抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是F (1,0)，到直线2x ＋y －4＝0的距离d ＝|2＋0－4|22＋1＝255.4．若抛物线y 2＝2px (p >0)上三个点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三个点到抛物线焦点的距离的关系是( )A ．成等差数列B ．既成等差数列又成等比数列C ．成等比数列D ．既不成等比数列也不成等差数列 答案 A解析 设三点为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)，则y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，y 23＝2px 3，因为2y 22＝y 21＋y 23， 所以x 1＋x 3＝2x 2，即|P 1F |－p 2＋|P 3F |－p2＝2⎝⎛⎭⎫|P 2F |－p 2， 所以|P 1F |＋|P 3F |＝2|P 2F |. 二、填空题5．抛物线的顶点在原点，准线垂直于x 轴，且焦点到顶点的距离为4，则其方程为______________________．答案 y 2＝16x 或y 2＝－16x解析 焦点到顶点的距离即p2＝4，p ＝8.6．抛物线y ＝x 2上的点到直线2x －y －4＝0的距离最短的点的坐标是____________． 答案 (1,1)解析 设点A (x ，y )是符合题设条件的点，则由点到直线的距离公式，得d ＝55|2x －y －4|＝55|2x －x 2－4| ＝55|－(x －1)2－3|≥355. 当且仅当x ＝1时，d 取得最小值，故所求点为(1,1)．7．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是____________．答案 [－1,1]解析 Q 点坐标为(－2,0)，直线l 的斜率不存在时，不满足题意，所以可设直线l 的斜率为k ，方程为y ＝k (x ＋2)．当k ＝0时满足．当k ≠0时，x ＝1ky －2，代入y 2＝8x ，得y 2－8k y ＋16＝0.Δ＝64k2－64≥0，k 2≤1，即－1≤k ≤1(k ≠0)．综上，－1≤k ≤1.三、解答题8．过点(－3,2)的直线与抛物线y 2＝4x 只有一个公共点，求此直线方程． 解 显然，直线存在斜率k ， 设其方程为y －2＝k (x ＋3)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝k (x ＋3)y 2＝4x 消去x ，整理得ky 2－4y ＋8＋12k ＝0①(1)当k ＝0时，方程①化为－4y ＋8＝0，即y ＝2， 此时过(－3,2)的直线方程为y ＝2，满足条件． (2)当k ≠0时，方程①应有两个相等实根． 由⎩⎪⎨⎪⎧ k ≠0Δ＝0即⎩⎪⎨⎪⎧k ≠016－4k (8＋12k )＝0，得k ＝13或k ＝－1.∴直线方程为y －2＝13(x ＋3)或y －2＝－(x ＋3)，即x －3y ＋9＝0或x ＋y ＋1＝0.故所求直线有三条，其方程分别为： y ＝2，x －3y ＋9＝0或x ＋y ＋1＝0.9．A ，B 是抛物线y 2＝2px (p >0)上两点，满足OA ⊥OB ，其中O 为抛物线顶点．求证： (1)A ，B 两点的纵坐标乘积为定值； (2)直线AB 恒过一定点． 证明(1)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，x 1≠0，x 2≠0，则y 12=2px 1， y 22=2px 2. ∵OA ⊥OB ，∴x 1x 2 + y 1y 2=0.∴y 12y 22、= 4p 2 x 1x 2 = 24p -y 1y 2.∴y 1y 2 =24p -为定值， x 1x 2=-y 1y 2=4p 2也为定值．∴A 、B 两点的纵坐标乘积为定值．(2)若AB ⊥x 轴，则易知直线AB 方程为x = 2p ， 过点(2p,0)；若AB 与x 轴不垂直，则x 1≠x 2，y 1+y 2≠0.由y 12-y 22=2p(x 1-x 2)，得1212122y y px x y y -++=. ∴直线AB 的方程是y= 122py y + (x -x 1)+y 1，即y = 211121222px px y y y y y ++-+。