陈盛高等代数在中学数学解题中的应用

本科生毕业论文高等代数知识在初等数学中的应用摘要 (I)Abstract (I)第一章绪论 (1)第二章高等代数与初等数学的联系 (1)2.1知识方面的区别与联系 (2)2.2思想方法方面的区别与联系 (2)2.3观念方面的区别与联系 (4)第三章多项式理论在初等数学中的应用 (5)3.1去重因式分解多项式 (5)3.2 利用因数定理分解多项式 (5)3.3利用对称多项式与轮换多项式的性质分解多项式 (6)3.4多项式的一些应用 (6)第四章行列式在初等数学中的应用 (8)4.1应用行列式判定二元二次多项式的可分解性 (8)4.2应用行列式分解因式 (9)4.3应用行列式解决数列问题 (9)第五章线性方程组在初等数学中的应用 (12)5.1 在平面解析几何上的应用 (12)5.2在空间解析几何中的应用 (13)5.3在求解二元方程组上的应用 (14)第六章柯西不等式在初等数学中的应用 (15)6.1柯西不等式在解析几何中的应用 (15)6.2柯西不等式在解其它题方面的应用 (15)第七章结论 (18)参考文献 (19)致谢 (20)高等代数是现代数学中一个重要的分支，是在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充．高等代数是初等数学的进化．高等代数不仅是初等数学的延拓，也是现代数学的基础，只有很好的掌握高等代数的基础知识才能适应数学发展和教材改革．高等代数知识在开阔视野，指导中学解题等方面的作用尤为突出．在许多问题中，如果我们能用高等代数知识解决一些初等数学中的问题，将命题转化为一般性的问题进行解决，往往能收到事半功倍的效果，使人耳目一新．文章一方面介绍了高等代数与初等数学的联系，从数学知识、数学思想方法、数学观念3个方面发掘一下高等数学类课程与中学数学的联系．另一方面介绍高等代数的一些知识在初等数学的应用．如多项式、行列式、线性方程组、柯西不等式在初等数学中的应用，高等代数应用于中学数学并不是简单的一题多解,而是一种知识的融会贯通和发展学生的发散和联想思维．用高等代数的观点去研究初等数学史新世纪对中学数学教师的高水平要求，教师是否具有较高的教学观点，是衡量教师数学素质的重要标准．教师具有高的观点，就能从高处看清中学教材的内在结构和本质联系，把握教材的重、难点；教师具有高观点，就能从认知的角度，在知识的各部分参透高等数学的观点，培养学生的创造性、判断性思维．关键词：高等代数多项式行列式柯西不等式初等代数应用AbstractHigher algebra is an important branch of modern mathematics, which is on the basis of the elementary algebra research object for further expansion. Advanced algebra is the evolution of elementary mathematics. Advanced algebra is not only the continuation of elementary mathematics, also is the foundation of modern mathematics, only good to master the basic knowledge of advanced algebra can adapt the mathematical development and teaching materials reform. Advanced algebra in the open field of vision of knowledge, especially the role of guiding middle school problem solving, etc. In many problems, if we can use the advanced algebra knowledge to solve some problems in the elementary mathematics, converting the proposition to general problems are solved, can often get twice the result with find everything new and fresh.Higher algebra and elementary mathematics were introduced on the one the other the application of elementary mathematics. Such as polynomial, determinant, system of linear equations, cauchy inequality in elementary mathematics, the application of advanced algebra to establish mathematics is not a simple problemsolution, but a mastery of knowledge and the development of students' divergent and associative thinking. In view of the new century of see the inner structure and the essence of the middle school teaching material from a from the perspective of cognition, in the knowledge of each part searches view of第一章绪论人类的文明进步和社会发展，无时无刻不受到数学的恩惠和影响，数学科学的应用和发展牢固地奠定了它作为整个科学技术乃至许多人文科学的基础的地位，当今时代，数学正突破传统的应用范围向几乎所有的人类知识领域渗透，它和其他学科的交互作用空前活跃，越来越直接地为人类物质生产与日常生活作出贡献，也成为其掌握者打开众多机会大门的钥匙．在长期开设高等代数等数学类课程的实践中一直存在两方面的问题，一方面由于中学知识难以与高等代数直接衔接，使不少大学生一接触到“数学分析”、“高等代数”等课程，就对数学专业课程产生了畏惧情绪：另一方面，由于高等代数理论与中学教学需要严重脱节，许多高师毕业生对如何用高等代数知识指导初等代数教学感到茫然．通过本文的介绍，使读者都能清楚地看到：高等代数知识在初等数学的继续喝提高，在思想方法上是初等数学的延续和扩张，在观念上是初等数学的深化和发展．这样学生学习高等代数的难度就会大大降低．高等代数与中学数学在思想方法方面的联系主要体现在抽象化思想、分类思想、结构思想、类比推理思想、公理化方法等方面．高等代数与中学数学的联系对比不但可以降低高等代数课的学习难度，而且增强了高等代数课对培养中学数学教师的指导作用．马克思曾说过：“一门学科只有成功地应用了数学时，才真正达到了完善的地步”．高等代数作为一门抽象的大学学科，虽然表面上是独立的知识体系，但并没有与初等代数内容严重脱节，而是相互参透，彼此相通。

浅谈高等代数在中学的应用数学与计算机科学学院专业：数学与应用数学学号：2011031532 朱伟达指导老师:卢明先【摘要】线性代数是数学的一个分支，是一门数学基础课程．近几年随着高等数学已渐渐走入初等数学,线性代数在初等数学中也有广泛应用．本文共分为五个部分：例说行列式在中学数学中的应用，线性方程组在中学数学中的应用，二次型理论在中学数学中的应用，矩阵与变换引入中学数学的意义及应用，用向量法解决初等几何问题．本文主要是从上述几个方面分析了线性代数在中学数学中的若干应用以及有关例题的讲解过程．【关键词】行列式；齐次线性方程组;二次型; 矩阵;向量Discussion on Application of Higher Algebra in middle schoolZHU wei-da 2011031532 Advisor:LU ming-xianPure and Applied Mathematics College of Mathematics and Computer Science【Abstract】:Linear algebra is a branch of mathematics. It is a mathematical foundation co urse。

In recent years, some content of higher mathematics are begun to learn by middle school st udents. And Linear algebra has also wide application in elementary mathematics。

This paper is d ivided into five parts. In these parts， we will give a lot of examples to show some applications of determinant， Linear equations, quadratic theory， matrix and transform, vector in elementary m athematics。

高等数学方法在中学数学中的运用【摘要】本文探讨了高等数学方法在中学数学中的应用。

首先介绍了微积分在中学数学中的重要性，包括其在解决极限、导数和积分等问题中的作用。

其次讨论了线性代数在中学数学中的运用，例如矩阵的表示和运算。

接着分析了概率论与数理统计在中学数学中的应用，如概率问题和统计数据的分析。

然后探讨了数学分析在中学数学中的应用，包括函数的连续性和导数的性质。

最后介绍了矩阵论在中学数学中的运用，如线性方程组和矩阵的求逆运算。

总结指出高等数学方法对中学数学教学的促进作用，并展望了高等数学方法在中学数学中的未来应用前景。

高等数学方法不仅可以提高学生的数学水平，还可以培养他们的逻辑思维和问题解决能力。

【关键词】高等数学、中学数学、微积分、线性代数、概率论、数理统计、数学分析、矩阵论、教学促进、未来应用。

1. 引言1.1 高等数学方法在中学数学中的重要性高等数学方法在中学数学中的重要性体现在其深刻的理论内涵和广泛的应用价值。

高等数学方法是数学领域的重要分支，包括微积分、线性代数、概率论与数理统计、数学分析和矩阵论等内容。

这些方法不仅在理论研究上有重要地位，而且在实际问题的求解中也有广泛应用。

在中学数学教学中，引入高等数学方法可以帮助学生更好地理解数学知识，拓展思维方式，提高解决问题的能力。

特别是在数学建模和实际问题的求解中，高等数学方法可以提供更为精确和有效的求解途径，能够有效提升学生的数学素养和解题能力。

高等数学方法还有助于培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力，进一步加深学生对数学的理解和认识。

通过引入高等数学方法，可以激发学生对数学的兴趣和学习的动力，为他们未来的学习和职业发展奠定坚实的基础。

1.2 本文研究的目的和意义本文的研究目的在于探讨高等数学方法在中学数学中的运用情况，分析这些方法在中学数学教学中的重要性和实际应用价值。

通过深入研究微积分、线性代数、概率论与数理统计、数学分析以及矩阵论在中学数学中的运用，我们可以更好地了解这些高等数学方法对中学数学教学的促进作用，进一步探讨如何提高中学数学教学质量和效果。

数学专业毕业论文选题一、计算机1.数据库图书查询管理设计2.最优轧板成品率的VFP6编程3.基于VFP6的通讯录设计4.基于Mathematicn的课件设计5.用Mathematica帮助理解中数问题6.基于VFP6的成绩统计7.实用的网上共享数据库录入程序8.通用答卷统计系统的总体设计方案9.通用答卷统计系统的录入编程10.通4用答卷统计系统的统计编程11.通用答卷统计系统的报表设计12.通用答卷统计系统的帮助系统设计二、常微分方程1.一阶常微分方程的奇解的求法(或判定)1.微分方程中的补助函数3.关于奇解的运用4.曲线的包络与微分方程的奇解5.用微分方程定义初等函数6.常微分方程唯一性定理及其应用7.求一阶显微分方程积分因子的方法8.二阶线性微分方程另几种可积类型9.满足某些条件黎卡提方程的解法10.一阶常微分方程方向场与积分曲线11.变换法在求解常微分方程中用应用12.通解中任意常数C的确定及意义13.三阶常系数线笥齐次方程的求解14.三维线性系统15.二阶常系数线性非齐次方程新解法探讨16.非线性方程的特殊解法17.可积组合法与低阶方程(方程组)三、数学分析1.多元函数连续、偏导数存在及可微之间的关系2.费尔马最后定理初探3.求极值的若干方法4.关于极值与最大值问题5.求函数极值应注意的几个问题6.n元一次不定方程整数解的矩阵解法7.导数的运用8.泰勒公式的几种证明法及其应用9.利用一元函数微分性质证明超越不等式10.利用柯西——施瓦兹不等式求极值11.函数列的各种收敛性及其相互关系12.复合函数的连续性初探13.关于集合的映射、等价关系与分类14.谈某些递推数列通项公式的求法15.用特征方程求线性分式递推数列的通项16．谈用生成函数法求递归序列通项17.高级等差数列18.组合恒等式证明的几种方法19.斯特林数列的通项公式20.一个递归数列的极限21.关于隶属函数的一些思考22.多元复合函数微分之难点及其注意的问题23.由数列递推公式求通项的若干方法24.定积分在物理学中的应用25.一个极限不等式的证明有及其应用26.可展曲面的几何特征27.再谈微分中值公式的应用28.求极限的若干方法点滴29.试用达布和理论探讨函数可积与连续的关系30.不定积分中的辅助积分法点滴四、复变函数1.谈残数的求法2.利用复数模的性质证解某些问题3.利用复函数理论解决中学复数中的有关问题3.谈复数理论在中学教学中的运用4.5.谈解析函数五、实变函数1.可测函数的等价定义2.康托分集的几个性质3.可测函数的收敛性4.用聚点原理推证其它实数基本定理5.可测函数的性质及其结构6.6.凸函数性质点滴7.凸(凹)函数在证明不等式中的应用8.谈反函数的可测性9.Lebesgue积分与黎曼广义积分关系点滴10.试用Lebesgue积分理论叙达黎曼积分的条件11.再谈CANTOR集六、高等几何1.二阶曲线渐近线的几种求法2.笛沙格定理在初等数学中的运用3.巴斯加定理在初等数学中的运用4.布里安香定理在初等数学中的运用5.二次曲线的几何求法6.二维射影对应的几何定义、性质定义、代数定义的等价性7.用巴斯加定理证明锡瓦一美耐劳斯定理8.仿射变换初等几何中的运用9.配极理论在初等几何中的运用10.二次曲线的主轴、点、淮线的几种求法11.关于巴斯加线和布利安香点的作图12.巳斯加和布利安香定理的代数证明及其应用13.关于作第四调和点的问题14.锡瓦一美耐劳斯定理的代数证明及应用15.关于一维几何形式的对合作图及应用七、概率论1.态分布浅谈3.用概率思想计算定视分的近似值3.欧拉函数的概率思想证明4.利用概率思想证明定积分中值定理5.关于均匀分布的几个问题6件概率的几种类型解题浅析7．概率思想证明恒等式8.古典概率计算中的模球模型9.独立性问题浅谈八、近世代数①集合及其子集的概念在不等式中的作用②论高阶等差数列②谈近世代数中与素数有关的重点结论④商集、商群与商环⑤关于有限映射的若干计算方法⑥关于环(Z2×2,+,、)⑦关于环(ZP2×2,+,、)(这里Zp是模p的剩余环,p为素数)⑧关于环(Z23×3,+,、)⑨关于环(zPQ2×2,+,、)(这里p、q是两个素数)⑩关于环(Znxn, +、)九、高等代数1.关于循环矩阵2.行列式的若干应用3.行列式的解法技巧4.欧氏空间与柯两不等式5.《高等代数》在中学数学中的指导作用6.关于多项式的整除问题7.虚根成对定理的又一证法及其应用8.范德蒙行列式的若干应用9.几阶行列式的一个等价定义10.反循环矩阵及其性质11.矩阵相似及其应用12.矩阵的迹及其应用13.关于整数环上的矩阵14.关于对称矩阵的若干问题15.关于反对称短阵的性质16.关于n阶矩阵的次对有线的若干问题17.关于线性映射的若干问题18.线性空间与整数环上的矩阵十、教学法1.关于学生能力与评价量化的探索2.浅谈类比在教学中的若干应用3.浅谈选择题的解法4.谈谈中学数学课自学能力的培养5.怎样培养学生列方程解题的能力6.谈通过平面几何教学提高学生思维能力7.谈数列教学与培养学生能力的体会8.创造思维能力的培养与数学教学9.数学教学中的心理障碍及其克服10.关于启发式教学11.浅谈判断题的解法12.对中学数学教学中非智力因素的认识13.数学教学中创新能力培养的探讨14.计算机辅助数学教学初探15.在数学课堂教学中运用情感教育16.在数学教学中恰当进行数学实验17.数学语言、思维及其教学18.在平面几何教学中渗透为类比、猜想、归纳推理的思想方法19.试论数学学习中的迁移20.数学例题教学应遵循的原则十一、初等数学1.数学证题中的等价变换与充要条件2.关于充要条件的理解和运用3.参数方程的运用4.极坐标方程的运用5.怎样证明条件恒等式6.不等式证明方法7.极值与不等式8.证明不等式的一种重要方法9.谈中学二次函数解析式的求法10.二元二次方程组的解11.谈数列求和的若干12.谈立体几何问题转化为平面几何问题的方法13.求异面直线距离的若干方法14.利用对称性求平面几何中的极值15.浅谈平面几何证明中的辅助线16.浅谈对称性在中学数学解题中的运用17.浅谈韦达定理的运用18.论分式方程的增根19.数列通项公式的几种推导方法20.函数的周期及其应用21.数学归纳法的解题技巧22.等价关系的几种判定方法23.数学归纳法及其推广和变形24.浅谈用几何方法证明不等式25.浅谈初等数学中的不等式与极值26.几个不等式的推广27.函数的概念及发展28.组合恒等式的初等证明法29.谈用生成函数计算组合与排列30.试论一次函数的应用。

浅谈高等数学在初等数学中的应用初等数学是学习高等数学基础，高等数学是初等数学的继续和提高，它不但解释了许多初等数学未能说清楚的问题，并使许多初等数学束手无策的问题，至此迎刃而解了。

本文从三个方面探讨高等数学在初等数学中的作用。

高等数学是在初等数学的基础上发展起来的，与初等数学有着紧密的联系。

站在高等数学的角度来看中学数学的某些问题又会更深刻、更全面。

运用高等数学的知识可以解决一些用初等方法难以解决的初等数学问题，以便使学生了解到高等数学对于初等数学的指导作用。

标签：初等数学;高等数学;联系;应用数学是一门科学性、概括性、逻辑性很强的学科。

它源自于古希腊，是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念。

透过抽象化和逻辑推理的使用，由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察中产生。

数学的基本要素是：逻辑和直观、分析和推理、共性和个性。

问题的提出许多学生经常提出这样的问题：我们为什么要学这么多高等数学？这些问题长期以来困扰着我们。

本文通过讨论初等与高等数学的联系，使他们真正觉得高等数学对初等数学教学有向导性意义，帮助他们用高等数学知识去分析和理解初等数学教材，从而站得更高，对中学数学的来龙去脉看得更清楚。

一、初等数学初等数学时期从公元前五世纪到公元十七世纪，延续了两千多年、由于高等数学的建立而结束。

这个时期最明显的结果就是系统地创立了初等数学，也就是现在中小学课程中的算术、初等代数、初等几何（平面几何和立体几何）和平面三角等内容。

二、高等数学内容包括函数与极限、一元函数微积分、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分、级数、常微分方程等。

其中极限论是基础：微分、积分是是核心，是从连续的侧面揭示和研究函数变化的规律性，微分是从微观上揭示函数的局部性质，积分是从宏观上揭示函数的整体性质：级数理论是研究解析函数的主要手段：解析几何为微积分的研究提供了解析工具，為揭示函数的性质提供了直观模型：微分方程又从方程的角度把函数、微分、积分犹记得联系起来，揭示了它们之间内在的依赖转化关系。

第02节以数辅形三大法宝（代数法、解析法、向量法）代数法是高中数学中解决几何问题的重要工具之一.它通过建立数学模型，将几何图形的性质转化为代数表达式，从而利用代数运算来解决问题.这种方法不仅能够简化计算过程，还能帮助学生更好地理解几何图形的内在联系和性质.在高中数学中，代数法的应用非常广泛，例如利用坐标系将几何问题转化为代数问题，使用代数方程来表示几何图形的性质，利用函数的概念来研究几何图形的变化规律等.解析法是高中数学中一种重要的方法，它通过建立数学模型，利用代数方程或不等式来研究几何图形的性质.这种方法将几何问题转化为代数问题，使得问题的解决变得更加直观和易于操作.解析法的核心在于运用坐标系，将几何图形上的点用坐标表示，从而将几何问题转化为坐标点的运算问题.在解析几何中，我们通常会用到直角坐标系，通过点的坐标来描述直线、圆和圆锥曲线等基本图形的方程.通过将这些方程联立，结合韦达定理，我们可以研究图形的位置、大小、形状以及它们之间的相互关系.向量法，作为高中数学的一大法宝，巧妙地将数与形相结合，为解决复杂问题提供了全新的视角.通过引入向量的概念，我们能够将几何问题转化为代数问题，从而利用代数的运算规律和技巧来求解.在向量法中，向量被赋予了长度和方向两个属性，这使得我们能够更加直观地理解几何图形之间的关系.例如，在解决三角形问题时，我们可以利用向量的加法、减法以及数量积等运算，来求解三角形的边长、角度以及面积等问题.此外，向量法在处理空间几何问题时也显得尤为强大.通过将三维空间中的点、线、面等元素转化为向量，我们能够利用向量的线性运算和共面、共线等性质，来求解空间几何中的各种问题.类型一 代数法【典例1】椭圆22195x y +=上的动点P 到其左焦点1F 的距离的最大值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．8【解题策略】利用椭圆的相关性质，代入椭圆的相关方程，即可利用代数法求解相关问题.【详细解析】由题意可知该椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为3,2a b c ===，设()[]()()1,3,3,2,0P x y x F Î--，35==+£，3x =时取得等号.故选：B .【典例2】若双曲线的焦点在x 轴上，渐近线方程为2y x =±，虚轴长为4，则双曲线的标准方程为 ．【解题策略】由若双曲线的焦点在x 轴上，所以双曲线标准方程可设为()222210,0x y a b a b -=>>，由虚轴长为4，可知2b =，再由渐近线方程为2y x =±，可知2,1ba a==，代入即可求解.【详细解析】由若双曲线的焦点在x 轴上，所以双曲线标准方程可设为：()222210,0x y a b a b -=>>，由虚轴长为4，可知2b =，再由渐近线方程为2y x =±，可知2,1ba a==，所以双曲线标准方程为：2214y x -=.故答案为：2214y x -=.【典例3】当正数a 为何值时，抛物线244x y =-+与椭圆222213x y a +=有4个不同的交点．【解题策略】本例是一道解析几何的常规题．一般情况下，判断曲线交点的个数问题可以通过几何直观得到，但几何直观得到的结论是否一定正确需要通过代数推理加以严格证明．由题意，作出椭圆与抛物线的图形如图所示，由图可知只需4a >即可保证有四个交点，反之，有四个交点是否一定要4a >？而本例要求的是充要条件，一般情况下，仅从图形直观出发得出的结论，常常是片面的，不严密的，只有通过代数运算，推理得到的结论才是正确无误的，我们讲“数形结合”应当从数与形两个维度思考问题，深刻领会华罗庚先生所讲的“数无形时少直觉，形少数时难入微”的内涵．【详细解析】将抛物线与椭圆方程联立，得22224,411,3x y x y a ì=-+ïïíï+=ïî消去x 得关于y 的二次方程()2223614490a y y a -+-=，两曲线有四个交点，等价于关于y 的二次方程()2223614490a y y a -+-=在()3,3-内有两个不同的解．记()()222361449=-+-f y a y y a ，使方程()0f y =在()3,3-内有两个不同解的充要条件是()()2230,30,1833,180,f f a f a ì>ï->ïï-<<íïïæö<ïç÷èøî解得1a >．【方法归纳】高中代数法的归纳主要涉及函数、方程与不等式、圆锥曲线等.主要通过函数或者代数式的计算，将复杂的几何问题或者抽象的逻辑问题，转化为代数式进行计算，进而求解问题.学生能够更好地掌握高中代数的核心内容，并在解决具体问题时灵活运用.把代数和几何相结合，它能促进代数问题与图形之间的相互转化，通过改变思维的角度，使我们较快地从所给问题的情境中探究出符合命题目标的某个熟悉的模型，从而迅速、准确、科学地解决问题.【举一反三】1．设线段AB 两端点在抛物线2y x =上移动，M 为线段AB 的中点，AB a =(a 为大于零的常数)，求M 到y 轴的最短距离.（2024-2025广东茂名高三上期10月联考）2．已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>与双曲线()2222210,0:x y C m n m n-=>>有公共焦点1F ，21,F C 与2C 在第一象限的交点为P ，且12121,1,PF PF PF PF ==-^.(1)求1C 与2C 的方程；(2)记1C 的上顶点为2,A C 的左顶点为B ，直线AB 与1C 的另一个交点为D ，求AD .类型二 解析法【典例1】（2024届陕西省安康中学、高新中学大联考高三模拟）已知双曲线22:1,3y C x O-=为坐标原点，若直线2y x =+与双曲线C 的两条渐近线分别交于点,A B ，则OAB △内切圆的半径等于（）A 1B ．2C ．2D 1【解题策略】求出渐近线方程，与直线2y x =+联立，求出点,A B 的坐标，求出OAB △的三边长，及点O 到直线2y x =+的距离d ，利用等面积法即可求解OAB △内切圆的半径.【详细解析】双曲线22:13y C x -=的渐近线方程为b y x a =±=，联立方程2y y x ì=ïí=+ïî，解得x y ì=ïí=ïî同理联立2y y x ì=ïí=+ïî，解得13x y ì=ïí=ïî，不妨设(1,3,1A B，则))21,21,OA OB AB==-=，点O到直线2y x=+的距离d==，设OAB△内切圆的半径为r，则有()1122OABS AB d OA OB AB r=×=++△，即))2121ré=++-+ë，解得2r=.故选：C【典例2】（2024-2025河南豫西北教研联盟（许洛平）高三第一次质量检测）设抛物线2:4C y x=的焦点为F，直线:4540l x y-+=与C的一个交点为M，直线MF与C的另一个交点为N，则MN=.【解题策略】根据给定条件，联立直线l与抛物线C的方程求出交点坐标，进而求出点N的坐标，再借助抛物线定义求出MN长.【详细解析】抛物线2:4C y x=的焦点为(1,0)F，由245404x yy x-+=ìí=î，解得141xyì=ïíï=î或44xy=ìí=î，即点(4,4)M或(1,14)，当点(4,4)M时，直线40:(1)41MF y x-=--，即4340x y--=，由243404x yy x--=ìí=î，得1(,1)4N-，因此125||||||41144MN MF NF=+=+++=，显然点(1,14)与1(,1)4N-关于x轴对称，则当点1(,1)4M时，点N与点(4,4)关于x轴对称，25||4MN=，所以25||4MN=.故答案为：254【典例3】已知定义在+R 上的函数()log 1,09,409,x f x ì-<£ï=í>ïî设a 、b 、c 是三个互不相同的实数，且满足()()()f a f b f c ==，求abc 的取值范围．【解题策略】函数()f x 是+R 上的分段函数，根据函数图象的变化规律可以作出函数()f x 在其定义域上的图象，然后由图象求参数的取值范围．求解时对()()f a f b =这一等式的运用是关键．【详细解析】由题意不妨设a b c <<，函数()f x 在()0,3和()9,+¥上分别单调递减，在()3,9上单调递增，且()30f =，()19f =，()160f =，作出函数()f x 的简图，如图所示．由图知()()()()0,1f a f b f c ==Î．根据题意()()f a f b =，即33log 1log 1-=-a b ，则33log 1log 1-+=-a b ，即3log 2ab =，∴9ab =．又916c <<，故81144abc <<．【方法归纳】高中数学解析法主要涉及函数、方程和不等式的解析解法以及圆锥曲线与直线的位置关系求解.解析法通常指的是利用代数运算来求解数学问题的方法.以下是一些常见的解析法应用：如函数图象的绘制：根据函数的解析式，分析函数的性质（如单调性、极值、对称性等），并绘制其图象，进而求解参数；在平面直角坐标系中，表达出点坐标，利用直曲联立求出线段长，进而求解问题.解析法是高中数学中非常重要的解题工具，它要求学生具备扎实的代数基础和逻辑推理能力.掌握解析法可以帮助学生更好地理解和解决各种数学问题.【举一反三】（2024~2025辽宁大连市部分学校高三上期10月联考）3．已知函数()2ln ,f x ax x x a =+-ÎR ．(1)若1a =，求函数()y f x =的最小值；(2)若函数()y f x =在区间[]1,3上是减函数，求实数a 的取值范围．（2024-2025河南豫西北教研联盟（许洛平）4．设12,F F 为椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左､右焦点，点G 在椭圆C 上，点G关于原点的对称点为H ，四边形12GF HF (1)求椭圆C 的方程；(2)过点2F 作直线l 与C 交于,A B 两点，1F AB V ，求l 的方程.类型三 向量法【典例1】（2025届福建省高中毕业班适应性练习卷（二））在ABC V 中，点D 是边BC 上一点，若AD xAB y AC =+uuu r uuu r uuu r ，则25x y xy+的最小值为（ ）A ．7-B ．7+C ．-D ．7【解题策略】根据给定条件，利用共线向量定理的推论求得1x y +=，x >0，0y >.，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【详细解析】在ABC V 中，点D 是边BC 上一点，AD xAB y AC =+uuu r uuu r uuu r，则1x y +=，x >0，0y >.255252()777x y y x x y xy x y x y +=++=++³+=+，当且仅当52y x x y =，即x y ==所以25x y xy +的最小值为7+故选：B【典例2】（2024湖南怀化高三下期第二次模拟考试）已知双曲线22:13y C x -=，过点()0,2P 的直线交双曲线C 于,M N 两点，交x 轴于点Q （Q 点与双曲线C 的顶点不重合），若(),0PQ QM QN m l m l ==¹uuu r uuuu uu r u r，则当4m l +=时，点Q 坐标为 ．【解题策略】在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交问题，时常把两个曲线的方程联立，消去x （或y ）建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．设出直线MN 的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理及向量坐标运算结合已知列式求解即得.【详细解析】显然直线MN 的斜率存在且不为0，设直线MN 的方程为2y kx =+，则2(,0)Q k-，由22233y kx x y =+ìí-=î消去y 并整理得22(3)470k x kx ---=，221628(3)0k k D =+->，则207k <<且23k ¹，设1122(,),(,)M x y N x y ，于是12122247,33k x x x x k k+==---，1122222(,2),(,),(,)PQ QM x y QN x y k k k =--=+=+uuu r uuuu r uuu r ，由PQ QM QN m l ==uuu uuu r uuu r u r ，得12222()()x x k k km l -=+=+，则1222,22kx kx m l =-=-++，21222121212224282()822374222()42433kk k x x k k k kx kx k x x k x x k k k m l ×+++-+=--=-=-+++++-+×+--284k =-，而4m l +=，因此2844k =-，解得k =所以点Q坐标为(.故答案为：(【典例3】如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PA ^平面ABCD ，AC AD ^，AB BC ^，45BAC Ð=°，2PA AD ==，1AC =．图2-32（1）证明PC AD ^；（2）求二面角A PC D --的正弦值；（3）设E 为棱PA 上的点，满足异面直线BE 与CD 所成的角为30°，求AE 的长．【解题策略】本例主要考查空间两条直线的位置关系、二面角、异面直线所成的角、空间两点间的距离，可以用“几何法”求解也可以用“向量法”求解．“几何法”在于由“形”出发，观察“数”的特征，发现平行、垂直等几何关系中的数量关系，经历“作—证—求”的思维转化过程，体会“几何法”中所蕴含的数形结合思想．“向量法”也由“形”出发，把相关的点、线“坐标化”“向量化”，空间图形“向量化”归根结底就是点、线段“向量化”，体会“向量法”中所蕴含的数形结合思想，实践证明，通过建立坐标系，将几何对象坐标化进一步利用向量运算的几何意义，是解决空间几何体中求距离、夹角的好方法．【详细解析】（1）如图所示．以AD uuu r、AC uuu r 、AP uuu r 为x 、y 、z 正半轴方向，建立空间直角坐标系A xyz -，则()2,0,0D 、()0,1,0C 、11,,022B æö-ç÷èø、()002P ,,．()0,1,2PC =-uuu r ，()2,0,0=uuu r AD ，∵0PC AD ×=uuu r uuu r，∴PC AD ^．（2）解法一（几何法）：如图所示，作AH PC ^，垂足为H ，联结DH ．由（1）知PC ^平面ADH ，AHD Ð即为二面角A PC D --的平面角，记为q ．在Rt PAC △中，求得PC =，AH =，在Rt DAH V 中，求得DH =sin q =A PC D --解法二：()0,1,2PC =-uuu r ，()2,1,0CD =-uuu r，设平面PCD 的法向量(),,n x y z =r ．则0,0,n PC n CD ì×=ïí×=ïîuuu r r uuu r r 即得20,,y z x z -=ìí=î取1z =，∴()1,2,1n =r ．()2,0,0=uuu r AD 是平面PAC的一个法向量．cos ,uuu r r AD nsin ,=uuu r r AD n ．∴二面角A PC D --（3）设()0,0,E h ，则11,,22BE h æö=-ç÷èøuuu r ，()2,1,0CD =-uuu r，cos30cos ,°==uuu r BE，解得h ，故AE【方法归纳】向量法在高中数学中是一个重要的工具，它用于解决向量、平面解析几何和立体几何相关问题.向量是既有大小又有方向的量，通常用有向线段表示.在二维空间中，一个向量可以用两个分量表示；在三维空间中，向量则有三个分量.向量法除了在解决平面向量问题中可以简化计算，利用平面向量基本定理或坐标系计算外，在其他领域也应用广泛.例如在立体几何中，借助向量可以轻松得出线线、线面和面面的位置关系及角度关系，在解析几何中，可以借助向量知识得出圆锥曲线和直线的位置关系，进而求解角度，面积，定点，定值等问题.【举一反三】5．在直角坐标系xOy 中，已知点()()()1,1,2,3,3,2A B C ，点(),P x y 在ABC V 三边围成的区域（含边界）上，(1)若0PA PB PC ++=uuu r uuu r uuu r r，求OP uuu r ；(2)设(),R OP mAB nAC m n =+Îuuu r uuu r uuu r，用,x y 表示m n -，并求m n -的最大值.（2024届陕西咸阳永寿中学全国高考分科调研模拟测试（二））6．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率是双曲线2213x y -=的离心率的倒数，椭圆C的左､右焦点分别为12,F F ，上顶点为P ，且122PF PF ×=-uuu r uuu u r.(1)求椭圆C 的方程；(2)当过点()0,2Q 的动直线l 与椭圆C 相交于两个不同点,A B 时，设AQ QB l =uuu r uuu r，求l 的取值范围.（2024-2025中学生标准学术能力诊断性测试高三上期10月测试）7．已知函数2,01()1(1),12x x f x f x x ì<£ï=í->ïî，则函数2()()g x f x x=-的零点个数为（ ）A ．2B ．0C ．3D ．无穷（2024-2025湖南湘西高三上期州自检）8．已知,,a b c r r r 均为单位向量，且2ππ,,3,3a b a b c áá+ñ=ñ=r r r r r ，则||()a b c t t ++ÎR r r r 的最小值为（ ）A ．34BC ．94D ．32（2024山东省春季高考济南市第三次模拟考试）9．如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点,,E F G 分别为11,,BC CC BB 的中点，则下列说法正确的是（ ）A ．直线1D D 与直线AF 垂直B ．直线1A G 与平面AEF 平行C ．三棱锥F ABE -的体积为18D ．直线BC 与平面AEF 所成的角为45°10．椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>1．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，与y 轴相交于(0,)M m 点，若存在实数m ，使得34OA OB OM uuu r uuu r uuuu r+=，求m 的取值范围．（2025届安徽皖江名校联盟高三上期第一次联考）11．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的离心率为2.且经过点()2,3.(1)求C 的方程；(2)若直线l 与C 交于A ，B 两点，且0OA OB ×=uuu r uuu r（点O 为坐标原点），求AB 的取值范围.参考答案：1．当01a <<时，点M 到y 轴的最短距离为24a ；当1a …时，点M 到y 轴的最短距离为124a -.【分析】由抛物线性质可知，其通径为1，从而需要对01a <<，1a …分类求解：当01a <<时，设出直线并与抛物线方程联立，结合两点间距离公式，求出M 到y 轴的距离为d 的函数，根据其单调性求解即可；当1a …时，利用抛物线定义和三角不等式并结合图像求解即可.【详解】由抛物线方程2y x =易知，其通径为1，从而需要对01a <<和1a …时分类求解：当01a <<时，设AB l ：x my n =+，11(,)A x y ，22(,)B x y 与2y x =联立，得20y my n --=，当240m n D =+>时，12y y m +=，所以()()212122x x my n my n m n +=+++=+，设M 到y 轴的距离为d ，则21222x x m d n +==+.又||=AB a ，所以()()22214m m n a ++=，得222141a n m m æö=-ç÷+èø.所以22222211114141a a d m m m m æöæö=+=++-ç÷ç÷++èøèø.设211t m =+…，则2114a d t t æö=+-ç÷èø，当01a <<时，得2114a d t t æö=+-ç÷èø在[1,)t Î+¥上是增函数，所以当1t =时，2min4a d =，故当01a <<时，点M 到y 轴的最短距离为24a ；当1a …时，设F 为抛物线的焦点，分别过A 、B 、M 向抛物线的准线引垂线，垂足分别为1A 、1B 、1M ，如下图：易知||||||AF BF AB +…，结合抛物线的定义及梯形中位线的性质，得11||2MM AB …，所以1MM 的最小值为2a ，从而M 到y 轴的最短距离为124a -.2．(1)1C 的方程为2221,73x y C +=的方程为2213y x -=(2)72【分析】（1）由12PF PF ^，结合椭圆、双曲线定义列方程即可求解；（2）确定AB 方程，联立1C 方程，求得D 坐标，即可求解.【详解】（1）因为12121,1,PF PF PF PF =+=^，所以14F ，记()()12,0,,0F c F c -，则2c =.由椭圆的定义可得，2221223a PF PF a b a c =+===-=.由双曲线的定义可得，2221222,1,3m PF PF m n c m =-===-=.所以1C 的方程为2221,73x y C +=的方程为2213y x -=.（2）由题意得((),1,0A B -，则直线AB的方程为y 设()11,D x y .联立221,73y x y ì=ïí+=ïî得2470x x +=，所以174x =-.所以1y =，72=.3．(1)31ln42-(2)1,8æù-¥-çúèû【分析】（1）求导得函数的单调区间，进一步得最值；（2）()2121210ax x f x ax x x+-=+-=£¢在区间[]1,3上恒成立，分离参数即可求解.【详解】（1）当1a =时，()2ln f x x x x =+-，且()121f x x x+¢=-， 令()1210f x x x =+->¢，即2210x x x+->；20,210x x x >\+->Q ，12x \>， 所以()y f x =在10,2æöç÷èø上单调递减，在1,2¥æö+ç÷èø上单调递增.所以当12x =时，函数()y f x =取最小值为31ln 42-．（2）因为函数()y f x =在区间[]1,3上是减函数，所以()2121210ax x f x ax x x +-=+-=£¢在区间[]1,3上恒成立．即2210ax x +-£在[]1,3上恒成立， 则21122a x x£-在[]1,3上恒成立，令()2211111()22228h t t t t =-=--，11,13t x éù=Îêúëû，显然()h t 在区间11,32éùêúëû上单调递减，在区间1,12éùêúëû上单调递增，则()min 1128h t h æö==-ç÷èø，所以18a £-，实数a 的取值范围为1,8¥æù--çúèû.4．(1)22143x y +=(2)10x y --=或10x y +-=【分析】（1）设椭圆C 的焦距为()20c c >，由四边形12GF HF G ，可求c，进而将G 代入椭圆方程可求22,a b 值，从而得到椭圆C 的方程；（2）设()()1122:1,,,,l x my A x y B x y =+,与椭圆联立方程组，可得12122269,3434m y y y y m m --+==++，进而求12y y -的值，从而由1F AB V可得m 的值，即得到直线l 的方程.【详解】（1）设椭圆C 的焦距为()20c c >，因为12,OG OH OF OF ==，所以四边形12GF HF 为平行四边形，其面积设为S，则2S c ==1c =，所以2221a b c -==，即221a b =+又点G 在椭圆C ，则223314a b +=，整理得()()223410b b -+=，解得224,3a b ==，所以椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）易知l 的斜率不为0，设()()1122:1,,,,l x my A x y B x y =+，联立221143x my x y =+ìïí+=ïî，得()2234690m y my ++-=，又()()222Δ36363414410m m m =++=+>，所以1y +所以1y -由1F ABS V 解得1m =±，所以l 的方程为10x y --=或10x y +-=.5．(1)(2)m n y x -=-；1.【分析】（1）因为0PA PB PC ++=uuu r uuu r uuu r r，所以()()()0OA OP OB OP OC OP -+-+-=uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r r ，即得1()(2,2)3OP OA OB OC =++=uuu r uuu r uuu r uuu r，故求得OP =uuu r （2）因为OP mAB nAC =+uuu r uuu r uuu r ，所以(,)(2,2)x y m n m n =++，即22x m ny m n =+ìí=+î，两式相减得m n y x -=-，令y x t -=，点(),P x y 在ABC V 三边围成的区域（含边界）上，当直线y x t =+过点()2,3B 时，t 取得最大值1，故m n -的最大值为1.【详解】（1）因为0PA PB PC ++=uuu r uuu r uuu r r，所以()()()0OA OP OB OP OC OP -+-+-=uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r r ，即()11()123,132(2,2)33OP OA OB OC =++=++++=uuu r uuu r uuu r uuu r ，=（2）因为OP mAB nAC =+uuu r uuu r uuu r ，()()()()1,21,311,231,212,AB AC =--==--=uuu r uuu r ，所以(,)(2,2)x y m n m n =++，即22x m ny m n =+ìí=+î，两式相减得：m n y x -=-，令y x t -=，由图可知，当直线y x t =+过点()2,3B 时，t 取得最大值，max 321t =-=，故m n -的最大值为1..6．(1)2214x y +=(2)[)13,11,3æù--È--çúèû【分析】（1）根据向量数量积得到,b c 关系式，结合离心率以及222a c b -=求解出,a b ，则椭圆方程可求；（2）设出,A B 坐标，根据向量共线表示出对应坐标关系，再利用点差法结合已知坐标关系进行化简从而得到1y 关于l 的表示，根据椭圆的有界性可求l 的范围.【详解】（1）设点12,F F 的坐标分别为()(),0,,0c c -，又点P 的坐标为()0,b ，且()()2212,,2PF PF c b c b c b ×=--×-=-+=-uuu r uuu u r ，所以222c c a a ì-ïï=íï-ïî，解得2,1a b ==，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则依据AQ QB l =uuu r uuu r得()()1122,2,2x y x y l --=-，整理得()1212,22x x y y l l =-=--，又221122221414x y x y ì+=ïïíï+=ïî，故22112222222144x y x y l l l ì+=ïïíï+=ïî，得()()()()12122121214x x x x y y y y l l l l l -++-+=-，即()()212221y y l l l -+=-，当1l =-时，此时AQ QB BQ =-=uuu r uuu r uuu r ，即,A B 重合，显然不成立，所以1l ¹-，所以()()122211y y l l l l-+=-+，即1212yy ll --=，又()1221y y l l +=+，得1354y l +=，又[]11,1y Î-，故13,3l éùÎ--êúëû，且1l ¹-，故实数l 的取值范围为[)13,11,3æù--È--çúèû.7．A【分析】根据函数表达式确定函数()f x 在(1,]n n -（N*n Î）上是增函数且21()2n f n -=，零点个数转化为函数()f x 与2()h x x=的图象交点个数，作出它们的大致图象后，观察可得交点个数，从而得结论．【详解】由2,01()1(1),12x x f x f x x ì<£ï=í->ïî，得()f x 在区间(,1]n n +上的函数值都是区间(1,]n n -上相应函数值的一半，N*n Î，又01x <£时，()2x f x =是增函数，即()(1)2f x f £=，所以21()2n f n -=，因此(1,]x n n Î-时，21()()2n f x f n -£=，令2()h x x=，它在(0,)+¥上是减函数，2()h n n =，(1)2(1)h f ==，(2)1(2)h f ==，当3n ³时，221()2n h n n -=>，作出()y f x =和2()h x x=在(0,)+¥上图象，如图，由图可知：在2x >时，()f x 的图象与()h x 的图象没有交点，所以在(0,)+¥上，它们只有两个交点，所以()g x 的零点个数为2.故选：A ．8．B【分析】利用向量的模的计算可得||a t b c ++=r r r.【详解】因为,,a b cr r r所以1||a b+===r r，||a b ct++==r r r==³==，当12t=-时，()a b tc t++ÎRr r故选：B.9．B【分析】A选项根据正方体的性质判断；对于B，D利用空间向量判断，对于C，利用体积公式求解即可.【详解】A选项：1111ABCD A B C D-为正方体，所以11//DD CC，直线AF与直线1CC不垂直，所以直线AF与直线1DD不垂直，故A错误；如图建立空间直角坐标系，则()()11111,0,0,,1,0,0,1,,1,1,,1,0,1222A E F G Aæöæöæöç÷ç÷ç÷èøèøèø，对于B，设平面AEF的法向量为(,,)n x y z=r，则1·021·02AE n x yAF n x y zì=-+=ïïíï=-++=ïîuuu r ruuu r r，令1y=，则(2,1,2)n=r，因为110,1,2A Gæö=-ç÷èøuuu u r，所以11·0211202A G n=´+´-´=uuu u r r，所以1A G n^uuu u r r，因为1A G在平面AEF外，所以直线1A G与平面AEF平行，所以B正确，对于C，111112224ABES BE AB=×=´´=V，所以三棱锥FABE-的体积为11111334224AEBS d×=´´=V，所以C错误，对于D，()()()1,1,0,0,1,0,1,0,0B C BC=-uuu r，直线BC与平面AEF所成的角为q，2sin3=，所以D错误，故选：B.10．(1)2214x y +=(2)11,11,22æöæö--ç÷ç÷èøèøU 【分析】（1）根据椭圆离心率公式，结合椭圆垂直于长轴的弦长公式进行求解即可；（2）根据直线l 是否存在斜率，结合平面向量的坐标运算公式、一元二次方程根与系数关系分类讨论进行求解即可.【详解】（1）所以有()22222223311444c c a b b a a a a -=Þ=Þ=Þ=，在方程22221x y a b +=中，令x c =±，解得24222221c b b y b y a aa æö=-=Þ=±ç÷èø，因为过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1，所以有()2212b b a a æö--=ç÷èø，由()()1,2可得：21a b =ìí=î，所以椭圆的方程为2214x y +=；（2）当直线l 不存在斜率时，由题意可知直线与椭圆有两个交点，与纵轴也有两个交点不符合题意；当直线l 存在斜率时，设为k ，所以直线l 的方程设为y kx m =+，于是有()2222211484404x y k x kmx m y kx m ì+=ïÞ+++-=íï=+î，因为该直线与椭圆有两个交点，所以一定有()()222264414440k m k m D =-+->，化简，得22410k m -+>，设()()1122,,,A x y B x y ，于是有2121222844,1414km m x x x x k k -+=-=++，因为34OA OB OM uuu r uuu r uuuu r +=，所以()()()11221212,3,40,303x y x y m x x x x +=Þ+=Þ=-，代入122814km x x k +=-+中，得222228431414km km x x x k k -+=-Þ=++，于是有()222222224444433141414m km m x x k k k --æö-×=Þ-=ç÷+++èø，化简，得2221416m k m-=-，代入22410k m -+>中，得222211114101,11,416422m m m m m -æöæö×-+>Þ<<ÞÎ--ç÷ç÷-èøèøU .【点睛】关键点睛：本题的关键是由向量等式34OA OB OM uuu r uuu r uuuu r +=得到123x x =-.11．(1)2213y x -=(2))+¥【分析】（1）根据离心率以及经过的点即可联立求解曲线方程；（2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，进而根据向量的数量积的坐标运算化简得22332k m +=，根据弦长公式，结合不等式即可求解，【详解】（1）由题意可得12=，解得221,3a b ==，故双曲线方程为22:13y C x -=.（2）当直线l 斜率不存在时，可设()(),,,A A A A A x y B x y -，则()(),,,A A A A OA x y OB x y ==-uuu r uuu r，将其代入双曲线方程2213A Ay x -=，又220A A OA OB x y ×=-=uuu r uuu r，解得A y =此时2A AB y ==当直线l 斜率存在时，设其方程为y kx m =+，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，联立()22222323013y kx m k x kmx m y x =+ìïÞ----=í-=ïî，故()()()21222122222222302333Δ412131230k kmx x k m x x k k m m k m k ì-¹ïï+=ï-ïí--ï=-ïï=++-=-+>ïî，则()()12121212OA OB x x y y x x kx m kx m ×=+=+++uuu r uuu r ()()()222221212223211033m km k x x km x x m k km m k k--=++++=+++=--，化简得22332k m +=，此时()2Δ690k =+>，===当0k =时，此时AB =当0k ¹230,k -¹\Q 2216096k k>+-，，综上可得)AB ¥Î+.。

毕业论文文献综述数学与应用数学高等代数对中学代数的指导作用一、前言部分人们常有一种片面的观点, 认为高校里所学的专业知识在中学数学教学中几乎无用. 甚至有些中学数学教师和师范院校数学系的学生认为学习高等数学对于中学数学教学作用不大。

其实高等数学知识在开阔中学教师的视野、指导中学数学解题等方面有很大的作用.我们还认为要把初等数学教好, 不仅要学习高等数学, 而且还一定要学“好”。

学“好”高等数学是指不仅要学习它的定理和方法, 更重要的是要学习它的“观点” ,也即必须掌握高等数学处理问题的特点, 并且将这些观点应用在处理初等数学的问题与教学中去。

众所周知, 我们可以用求导数的方法来求函数的极值, 用微分学中值定理来证明一些不等式、用行列式来求线性方程组的解、用空间解析几何来解立体几何的一些问题。

可能有些同志会说即使熟练地掌握了这些内容, 也不能对中学生讲, 因而在初等数学教学工作中还是用不上。

但是, 我们应该注意到, 学好高等数学不仅要学会这些方法, 而且要了解这些方法的精神实质以及为什么要这样处理问题。

这一切都将成为从事初等数学教学工作的指导思想。

我们可以用高等数学中的一些观点引伸出解初等数学问题的某些技巧, 这些方法是完全初等的, 可以为中学生所接受的, 而应用这些方法都可以将相当数量的、表面上看来完全无关的初等数学问题用儿乎相同的方法解出。

高等数学类课程在知识上是中学数学的继续和提高，在思想方法上是中学数学的因素和扩张，在观念上是中学数学的深化和发展。

高等代数与中学数学在思想方法方面的联系主要体现在抽象化思想、分类思想、结构思想、类比推理思想、公理化方法等方法。

注意与中学数学的联系对比，不但可以降低高等代数课的学习难度，而且增强了高等代数课对培养中学数学的指导作用。

通过研究高等代数与中学数学的联系、区别，探讨高等代数对中学数学的指导,可以更好的学习高等代数和中学数学。

二、主题部分高等代数与中学代数是一脉相承的，是相辅相成的，高等代数是中学代数的深化与进一步研究，中学代数是中学生学习的比较简单基础的高等代数，已有许多教学第一线的教学工作者和数学家及相关研究人员，从不同的角度对高等代数与中学代数的关系。

【标题】高等数学在中学数学中的应用【作者】丁海云【关键词】高等数学中学数学联系应用【指导老师】陈强【专业】数学与应用数学【正文】1 引言近几年来，高等师范院校数学系的不少大学生对学习高等数学存在不少看法，如“现在学的高等数学好像与初等数学没有多大联系”，“学习高等数学对今后当中学数学教师作用不大”，有的甚至提出“高等数学在中学教学里根本用不上”等等．这些看法正如著名数学家克莱因早已指出的那样：“新的大学生一入学就发现，他面对的问题好像和中学里学过的东西一点也没有联系似的，当然他很快就忘了中学学的知识．但是毕业以后当了老师，他们又突然发现，要他们按老师的教法来教传统的初等数学，由于缺乏指导，他们很难辨明当前数学内容和所受大学数学训练之间的联系，于是很快坠入相沿成习的教学方法，而他们所受的大学训练至多成为一种愉快的回忆，对他们对教学毫无影响”．然而在新的数学教材中已经出现了一些基础的高等数学知识，可以说是数学发展的一种必然．现在的中学数学教师必须掌握高等数学的基础知识以适应数学发展和教材改革，而高等数学知识在开阔视野、指导数学解题、指导数学教学、对初等数学问题加以诠释等方面的作用就尤为突出了．本文探讨一些高等数学知识和方法在初等数学中的应用．2 初等数学与高等数学的联系一般说来,数学史家把数学的发展分成四个阶段(萌芽时期、初等数学时期、古典高等数学时期、现代高等数学时期)或五个时期(再加上“当代时期”)．无论何种方法，都把第二发展时期叫做“初等数学时期”，这个时期的数学知识和经验就是“初等数学”,而把第三、第四或第三、四、五阶段叫做“高等数学时期”,这些阶段的数学知识和经验就是“高等数学”．理论意义下的初等数学和高等数学是按照恩格斯(Engles)的经典分法：所谓初等数学就是指常量数学，高等数学就是指变量数学，并把笛卡尔(R?Descartes)1637年发明的解析几何看成为出现高等数学或进入高等数学时期的标志．而教育意义下的初等数学和高等数学是依据教育的发展历程和教育的等级加以区分的，即视普通初等、中等教育(即中、小学教育)阶段的数学主要内容为初等数学，视高等教育阶段的数学主要内容为高等数学．当然，由于社会和教育的思想、方法、手段尤其是教育内容都在不断发展，“初等数学”和“高等数学”也是一个变化的客体对象，两者没有严格的概念区别．事实上，数学科学是一个不可分割的整体，它的生命力在于各部分之间的有机联系，只从学科表面上看，难以看清两者之间的内在联系，这就需要深入研究初等数学，理清其中最基本的思想和方法，努力寻求初等数学和高等数学的结合点．2.1 知识方面的联系高等代数在知识上是中学数学的继续和提高．它能解释许多中学数学未能说清楚的问题，如多项式的根及因式分解理论、线性方程组理论等．从以下几个方面说明：首先，中学代数讲多项式的加、减、乘、除运算法则.高等代数在拓宽多项式的含义，严格定义多项式的次数及加法、乘法运算的基础上，接着讲多项式的整除理论及最大公因式理论；中学代数给出了多项式因式分解的常用方法.高等代数首先用不可约多项式的严格定义解释了“不可再分”的含义，接着给出了不可约多项式的性质、唯一因式分解定理及不可约多项式在三种常见数域上的判定；中学代数讲一元一次方程、一元二次方程的求解方法及一元二次方程根与系数的关系.高等代数接着讲一元n次方程根的定义，复数域上一元n次方程根与系数的关系及根的个数，实系数一元n次方程根的特点，有理系数一元n次方程有理根的性质及求法，一元n次方程根的近似解法及公式解简介；中学代数讲二元一次、三元一次方程组的消元解法．高等代数讲线性方程组的行列式解法和矩阵消元解法、讲线性方程组解的判定及解与解之间的关系.中学代数学习的整数、有理数、实数、复数为高等代数的数环、数域提供例子；中学代数学习的有理数、实数、复数、平面向量为高等代数的向量空间提供例子．中学代数中的坐标旋转公式成为高等代数中坐标变换公式的例子.其次，中学几何的内容体系主要是由平面几何、立体几何和平面解析几何三部分构成．平面几何研究由点的集合而形成的平面几何图形的性质；立体几何研究空间几何图形的性质诸如直线、平面及旋转体；平面解析几何研究形与数结合的问题，重点是二次曲线理论的研究．侧重研究直线间的合同、相似极度量关系，就二次曲线而言也侧重于定义的直观描述和各自所具有的性质．作为高等几何而言，侧重于对直线形的结合关系、顺序关系及二次曲线一般理论的研究，具有普适性、全面性．中学几何学习的向量的长度和夹角为欧氏空间向量的长度和夹角提供模型，三角形不等式为欧氏空间中两点间距离的性质提供模型，线段在平面上的投影为欧氏空间中向量在子空间的投影提供模型.第三，高等数学分支之一数学分析的形成和发展体现了数学发展的每个新时期，不仅内容上更加丰富，更在思想方法上发生了根本性的变化．它的形成是深深扎根于初等数学基础之上，它的一些基本概念如导数、积分、无穷级数的收敛等，都是在初等数学有关问题的基础上发展起来的．如导数是在运用代数运算求直线斜率这一问题的基础上，发展成为运用极限方法求曲线上的点的斜率而形成的．可以这样讲，数学分析的形成是初等数学发展到一定阶段的必然结果．第四，集合论是关于无穷集合和超穷数的数学理论．它的建立是数学发展史上的一个里程碑，它给数学奠下了坚实的基础，其思想已渗透到数学的各个领域．它是整个数学的基础，它是数学的基本语言，同时也树立了现代数学的传统．我国中学数学中已经渗透了集合论的内容，如集合、映射及分类的思想，并使用了点集、解集合等集合论语言．综上所述可知，高等代数在知识上的确是中学数学的继续和提高.它不但解释了许多中学数学未能说清楚的如多项式的根及因式分解理论、线性方程组理论等问题，而且以整数、实数、复数、平面向量为实例，引入了数环、数域、向量空间、欧氏空间等代数系统．这对用现代数学的观点、原理和方法指导中学数学教学是十分有用的.2.2 思想方面的联系中学数学思想和方法主要体现为三个层次，第一层次指数学各分科的具体解题方法和解题模式，如代数中的加减消元法、代入消元法、韦达法、判别式法、公式法、非负数法、放缩法、错位相消法、复数法、数学归纳法等等；几何中的平移、旋转、对称、相似、辅助线及辅助面的作法、面积方法、体积方法、图形及几何体的割补方法、三角形奠基法等等；还有在解题教学中教师概括出来的具体解题模式、教科书给出的各种具体的解题程序和模式．第二层次指适用面很广的一些“通法”，如配方法、换元法、待定系数法、分离系数法、消元法、降次法、数形结合法、一般化与特殊化法、参数法、反证法、同一法、观察与实验、比较与分类、分解与组合、分析与综合、归纳与演绎、类比与联想、抽象与概括等等．第三层次指数学观念，即人们对数学的基本看法和概括认识，如推理意识、整体意识、抽象意识、化归意识、数学美的意识等等．在高等数学教育活动中，上述数学思想和方法将得到进一步强化，高等数学各分支学科中几乎渗透了三个层次的思想和方法，在空间解析几何、高等几何、微分几何等学科中明显渗透着第一层次的思想和方法，第二、第三层次的思想和方法是数学学习和研究的重要方法，在各层次的数学教学活动中都应该重视这些思想和方法的训练．除上述所举的思想和方法外，高等数学各分支学科中也渗透着许多新的思想和方法，如分析中的极限法、微分法、积分法等等;代数中的求公因式法、线性方程组的矩阵解法、二次型的正负判定法、线性变换法等等．现代中学数学和高等数学教学的一个显著特征就是注重知识形成过程的教学，形成和发展学生的数学思想和方法，会用数学思想和方法来解决问题．3 高等数学在中学数学中的应用用高等数学的观点、原理和方法，认识、理解和解决中学数学问题是我们大多数人的共同目的，也是高等数学价值的一种体现，尤其是在指导教学、指导解题、诠释初等数学问题等方面，体现非常明显．3.1 高等数学在中学数学教学中的作用我们知道，初等数学与高等数学之间无论在观点上还是在方法上都有着很大的区别．正因为这个原因，有许多学者就认为：学生不需要懂得什么高等数学知识，教师只要能照本本讲下去就可以了，其实这是一种误解．诚然，我们在课堂上不能把高等数学知识传授给学生，但我们作为一名教师倘若仅仅停留在本本上，那是很不够的，有时甚至连自己对一些初等数学问题也可能会感到费解，这是因为：一方面，高等数学是初等数学的继续和提高；另一方面，初等数学里很多理论遗留问题必须在高等数学中才能得以澄清．因此，我们对高等数学在初等数学教学中的作用不能掉以轻心，下面就这个问题谈谈笔者的一些初浅的体会．3.1.1 高等数学原理与中学数学教学首先，注重高等数学对初等数学的指导作用,运用原理，把握本质.多数教育工作者实践中认识到：教师只有深人研究高等数学，才能深刻把握初等数学的本质，使数学课堂教学不失科学性，做到居高临下，把课教活．如有这样一道题目：例1 解方程．解此题若按三次方程求解相当困难．但若将“”看作“未知数”，看作常量，则是一个关于“”的“一元二次方程”，，解之得= ．所以原方程的解为，.可以看出,该题很好的把握了题目的主旨—变量和函数的观点.虽然变量与函数是数学分析研究的对象,中学数学中以常量问题为主,但有时若将这些问题中的字母,甚至常数看作变量,而将字母间的关系看作函数关系,运用变量和函数的观点去考察它,会使一些问题变得容易或为解题提示一种可行的思路.另外,中学数学教材中的数学知识,由于充分考虑到数学的社会性原则和学生的可接受性原则,往往是以教育形态(不是学术形态)的呈现,因此中学数学教材中的一些知识内容不可能严谨透彻,例如高中代数中的指数函数（a> 0且a≠1）,由于中学阶段指数概念仅推广到有理数,而指数函数的定义域是实数集.然而要在中学阶段讲清这个问题是不大容易的,需要涉及极限理论.事实上,指数函数是群(R, +)到群(R+, )的同构映射,且保持序结构.同时,一些重要的数学基本定理,根据其在中学数学中的地位与作用,大都以“公理”的形式直接加以肯定,并予以直观的描述,严格的证明需通过高等数学的知识加以证明和完善.可以说,运用高等数学的知识能将中学数学中不能或很难彻底解决的基本理论加以严格地证明;反过来,中学数学中的问题也为高等数学的理论提供可靠的背景和模型.因此,教师学习和运用高等数学知识可以加深理解中学数学教学内容的安排意图,更利于提高高师生数学解题能力.其次，在教学中讲解高等数学在初等数学中的渗透，深化对中学知识的掌握高等数学中的概念、思想、方法很多已渗透到中学数学中，在教学中注意这方面的讲解，就能使学生充分地认识到高等数学对中学数学教学的指导意义，也说明教师充分认识到了“居高临下”的重要性．另外在中学数学中，对有些概念和方法没有加以解释和说明，就交给学生应用，虽然使用时能解决问题，但深入理解是不可能的．而作为未来的中学数学教师，对这些概念的理解与掌握就不能只停留在中学时的水平上，而应该更清楚和深刻．如：中学数学中把“形如a+bi(a,b都是实数)的数”叫作复数.这里的“+”是什么意思？a与bi是两个不同单位的元素，怎么可以相加？因此，这里的“+”只能看作是将a与bi连结成一个整体的符号．那么，能不能把这个符号理解为普通实数的加法符号呢？为此，就必须学习了近世代数中复数的构造性理论后才能解答.C是复数集，+，分别表示复数的加法与乘法，则（C；+，）是一个域，叫复数域.在对应关系：（a,0） a之下可证集合与实数域同构，故可把（a,0）看成实数a,即（a,0）=a，从而复数域就是实数域的一个扩域.由复数乘法的定义得.因此复数（0，1）和的性质相同.它是方程的一个根，令（0，1）=i，i为虚数单位.故任意复数（a，b）就可以写成（a，b）=（a,0）+(0,b)=a+bi中的“+”不仅是形式上的符号，它与实数算术运算中的“+”完全一致.3.1.2 高等数学观点与中学数学教学中学数学教学以渗透高等数学思想、观点,使它们相结合．现代高等数学的新思想、新理念、新观点及许多美妙而诱人的技巧和方法,使它更具有魅力．3.1.2.1 数学分析的辩证观点与中学数学教学数学分析不仅继承了初等数学的方法,而且又引进新的思想方法———极限法．运用极限方法,“常量”与“变量”、“直”与“曲”、“均匀”与“非均匀”等可实现相互转化．所以，从方法论的角度来讲，数学分析的有关知识和方法对理解和解决一些中学数学问题会起导向作用．例2 设有三次函数y= (p、q∈R)，用微分方法求函数极值.解所以当>0时，无驻点，因而也无极值点；当=0时，驻点=0，但此时在=0两侧不变号，故=0不是极值点，即=0时无极值点；当 0时，有二驻点，又所以函数在处取得极大值在处取得极小值.这从思想、方法上更有指导性的是数学分析中的辩证观点,运用这样的方法，将会使我们中学数学问题的解决思路大为开阔,方法更加灵活有效,从而摆脱对问题束手无策或盲目乱试的困境.另外高等数学知识进一步探讨和学习，可增强学生的求知欲，达到培养学生的学习兴趣．教师运用高等数学知识可以提高对学生提出的一些问题的回答的正确性及敏捷性.3.1.2.2 高等几何思想与中学数学教学高等几何对教材内容的安排一般不同于中学几何，它是先给出定义、定理而后直观解释和证明，中学几何一般是先通过实例描述而后给出重要的概念和定理．前者训练抽象思维,后者训练形象思维,出发点不同，对同一问题得出的结论相同．全面了解欧氏几何、仿射几何、射影几何的联系与区别，从本质上认识，从整体上把握，又从局部上深入，才能深刻认识动与静、特殊与一般的辩证关系．就内容而言，高等几何比中学几何丰富，而且分析问题、处理问题的观点新颖，方法独特．如对偶原则，在研究点几何的同时，也研究了线几何的内容，对二次曲线的定义，既有几何定义，又有代数定义，开拓了认识眼界．从方法论来看，高等几何对具体问题处理的方法独特，而且灵活，对解决中学几何的有关命题提供了一种新的模式，也为中学几何的有关问题提供了知识背景．如利用中心射影投影一直线到无穷远来证明中学几何问题：若在平面上给定一个与直线有关的本质上是射影性质的几何命题，则只要恰当选择射影中心和向平面，总可以使直线的象直线是上的无穷远直线．由于无穷远直线的特殊性，有时可以将原命题化成上容易证明的新命题．既然射影变换保持射影性质不变，那么只要证明了新命题,则原命题也得到了证明．3.1.2.3 集合论的观点和方法与中学数学教学集合论是整个数学的基础，它不仅是数学的基本语言，而且树立了现代数学的传统.它蕴含着极其深刻的数学思想和丰富的数学方法，对分析和理解中学数学具有指导意义.映射是集合论的有力研究工具，也是数学中十分重要的化归方法，利用映射可以把不容易研究的集合上的问题转化到容易研究的集合上去，从而实现由未知(难、复杂)到已知(易、简单)的转化.映射方法的基本思想是：当处理某问题甲有困难时，可联想适当的映射，把问题甲及关系结构R映成与它有一一对应关系且易于考察的问题及关系结构；在新的关系结构中对问题处理完毕后,再把所得结果通过逆映射反演到R,求得关于问题甲所需的结果.这样启发了解题思路,又可用来指导数学发现.如：数学模型方法. 数学模型方法是指把所考察的实际问题化为数学问题,构造相应的数学模型,通过对数学模型的研究,使实际问题得以解决的一种数学方法.中学数学中的解应用题是最简单的数学模型方法.过程如下图:图1：运用数学模型方法解题过程框图3.2 高等数学在中学数学解题过程中的作用初等数学是高等数学的基础，二者有本质的联系．将高等数学的理论应用于初等数学,使其内在的本质联系得以体现，进而去指导初等数学的教学工作，是一个值得研究的课题．俗话说，站得高才能看得远．因此，笔者认为,作为中学教师，除掌握中学数学各种类型题的已熟知的初等方法外，还应善于用高等数学方法解决中学数学问题，特别是一些用初等数学方法难以解决或虽能解决但显得难、繁，而用高等数学方法则易于解决的中学数学问题,从而拓广解题思路和技巧，提高教师专业水平，促进中学数学教学．下面略几举例说明之：3.2.1 变换角度，化繁为简例3 求满足方程.解如果从中学数学考虑的话那颇费周折.但换种思路从变量和函数的观点来看是两个变量，上面的方程只能确定之间的函数关系，而不能求出其具体的值.茅盾的根源在于：中学数学中求未知数总是方程的个数和未知数的个数相同才能求出，但题目里面却是两个未知数一个方程．可以得出启发：应当设法构造出两个关于的方程.在实数范围内，将一个等式分成几个等式，最常见的方法是利用非负数，即若几个非负数之和为零，则其中每个必须为零.根据此思路，可将方程变形为进而变为，由是锐角知，上式中两项均为负，故都都等于零．从而解得.另外，许多初等数学中的问题，往往蕴含着数学中的较高层次理论的再实践的问题．如能在教学中有意将高等数学的原理、方法应用于一些初等数学的证明、计算，不仅可以开拓学生的视野，而且可使学生体会到教师所使用的高等数学的原理、方法在解决初等数学问题时的驾轻驭熟的感觉，进而更加有兴趣学习数学．3.2.2 利用函数的单调性证明不等式不等式是数学中不可缺少的工具之一，有许多不等式在数学研究中有着重要的作用.但用初等数学知识证明一些不等式比较困难，下面利用高等数学的原理和方法，就不等式的证明给出证法以帮助理解.我们知道对定义在区间（a，b）内的函数，若>0（或<0），则函数在（a,b）内严格增加（或严格减少），根据函数的单调性，可证明不等式.例4 证明不等式(其中x>0)．证明：先证：.设，则在[0,+ )单调增加，又,当时，，即：.再证：．设，则, 当时，，即：.以上方法体现了用初等数学知识证明比较难的不等式时，可充分利用高等数学的原理和方法思考，进而收到很好的效果．3.2.3 利用高等几何思想解初等几何问题在中学数学教学中往往会碰到一些初等几何问题,欲用传统的综合证法,苦于找不到解决问题的思路,而用解析法却轻而易举,可又不能将此法告知学生,面临如何将它转化为纯几何的证明方法的问题,往往十分棘手．但利用高等几何知识进行思考，可收到很好的效果．例5 过一圆的弦AB的中点M引任意两弦CD和EF，连结CF和ED交AB弦于P、Q.求证:PM=MQ. (蝴蝶定理)分析:如图2,此题若局限在平面几何范围内去研究，虽能找到多种不同的证法，如：为使、是全等三角形的对应边，宜将沿直线翻折至,则有, ,故知.这样，又将线段相等归结为角的相等，而角的相等关系在圆上又可利用圆周角定理进行转化，即因，故内接于圆.再由内接于圆和、对称得出结论.但以上结论的得出来之不易，如果我们利用高等几何的交比来证明，就非常容易了.证明:如图，E(AF，DB)=C(AF，DB) (1)E(AF，DB)=(AM，QB) (2)E(AF，DB)=(AP，MB) (3)由(1)、(2)、(3)式得(AM，QB)=(AP，MB)(AM,QB)=(AP,MB)即亦即(4)因为 AM=BM,设PM=x，MQ=y，AM=BM=a，则由(4)式得图2所以故 PM=MQ这种证法不仅简单地证明了结论，而且还把结论推广到了二次曲线的情形.即如果把“蝴蝶定理”中的园换成椭圆、双曲线、抛物线，一对平行线或一对相交直线，结论仍成立.高等数学的许多方法和技巧都能直接应用于中学数学解题，常能起到以简驭繁，并能使问题得以深化和拓广的作用．以上只是给出两个实例说明高等数学能指导中学数学解题（初等代数和初等几何），且收到了很好的效果．在教学过程中，结合具体内容，不失时机地介绍给学生，对于丰富学生的解题方法，特别是作为教师在将来的数学教学中用它来预测答案，确定初等解法的路线，构造习题，检验结果都有重要的作用．3.2.4 微积分在中学数学解题中的指导作用微积分在高等数学里占有非常高的地位，它之所以能解决初等数学不能解决的问题，其根本原因是在初等数学的基础上它引进了一种新的思想方法——极限法．俗话说，站得高才能看得远．笔者认为，作为中学数学教师，利用微积分思想解决中学数学问题特别是一些用初等数学方法难以解决或虽能解决但显得难、繁，而用微积分思想则易于解决的中学数学问题，从而拓广解题思路和技巧，提高教师专业水平．例6 分解因式.解把看作变量，看作常量.令,求对的导数得。

浅谈高等数学在中学数学中的应用摘要本文探讨了初等数学和高等数学在知识体系上的差别以及应用上的联系，同时也探讨了他们地位上的差别和各自的重要性。

通过讨论可以得知，高等数学在很大程度上是初等数学的扩展。

本文第三部分重点介绍了微积分，不等式，行列式，以及高等几何等在初等数学中的应用，探讨了应用高等数学的思想方法解决初等数学的有关问题。

另外还探讨了高等数学在高考试题上体现的情况和如何解决相应的问题。

关键词高等数学中学数学微积分行列式AbstractThis study of elementary mathematics and higher mathematics in knowledge on the difference between system and application links, also discussed their differences on the status and importance of each. Through discussion can see that higher mathematics is to a large extent is an extension of elementary mathematics. This article focuses on the second part of calculus, inequality, determinants, as well as the application of higher geometry in elementary mathematics, explored the application of higher mathematics thought method to solve problems of elementary mathematics. Discussion also reflected on the college entrance examination in higher mathematics and how to solve the problemKey words advanced mathematics Mathematics calculus目录摘要 (I)Abstract (II)第一章前言 (1)1.1 研究背景 (1)1.2 课题研究意义 (1)1.3 文献综述 (2)1.4 研究方法 (2)1.5 创新之处 (2)第二章高等数学与初等数学的地位与联系 (3)2.1 初等数学与高等数学的定位 (3)2.2 高等数学与中学数学的联系 (4)2.2.1 中学数学与大学数学的统一性 (4)2.2.2 中学数学与大学数学的连贯性 (4)2.3 高等数学对初等数学的拓展 (5)2.3.1 代数方面 (5)2.3.2 几何方面 (6)第三章高等数学在初等数学中的应用 (8)3.1 高等代数在中学数学中的应用 (8)3.2.1 行列式的应用 (8)3.2.2 柯西—施瓦兹不等式应用 (9)3.2 微积分方法在中学数学的应用 (9)3.2.1 微积分方法在求函数的极值、最值中的应用 (10)3.2.2 用微积分知识直接用来处理初等数学的问题而达到简便的目的 (10)3.2.3 积分在空间立体体积与表面积中的应用 (12)3.2.4 积分在求曲线弧长中的应用 (14)3.3 高等几何在初等几何的应用 (14)3.3.1 仿射变换的应用 (14)3.3.2 射影几何观点在初等几何中的应用 (15)3.3.2.1 仿射变换的应用 (15)3.3.2.2 笛沙格定理的应用 (16)3.3.2.3 点列中四点的交比 (17)3.3.2.4 线束中四条直线的交比的应用 (18)第四章高考试题中的微积分在解题中的应用 (20)4.1 拉格朗日中值定理 (20)4.2 有关级数的应用 (23)总结 (26)参考文献............................................................ 错误!未定义书签。