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孙会元固体物理基础第三章能带论课件39布洛赫电子在恒定磁场作用下的运动共34页

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孙会元固体物理基础第三章能带论课件3.1布洛赫定理及能带

孙会元固体物理基础第三章能带论课件3.1布洛赫定理及能带

ˆ ˆ H (r )TRn (r ) ˆ, H ˆ]0 [T
所以平移对称操作算符与哈密顿算符是对易的。
推导中用到了周期势的假定和微分算符中的变量 改变一常矢量不影响微分结果。即：
V (r ) V (r Rn ) 2 2 2 2 2 2 2 2 r 2 2 2 r R 2 2 2 n ( x n a ) ( y n a ) ( z n a ) x y z 1 1 2 2 3 3
n
（3）平移算符的本征值 设 TR 对应的本征值为 (Rn )，波函数 ( r ) 和 是 TR ˆ 共同的本征函数。则有 H
n
ˆ T ( Rn ) (r ) (r Rn ) ( Rn ) (r ) H (r ) E (r )
(3)
对易的算符有共 同的本征函数
ˆ T
ik Rn ( Rn ) e
(1)引入平移对称算符 TR n
f (r ) f (r R ) 平移对称算符的定义： TR n n
平移对称算符的性质： 2 f (r ) T f (r R ) f (r 2 R ) TR n n Rn n l f (r ) f (r lR ) TR n n T T T T TR Rm Rn Rn Rm n Rm
根据波函数的归一性：
2 2 2 ( r ) dr T ( R ) ( r ) dr ( R ) ( r ) dr 1 n n
但是： ( Rn ) (r ) (r ) 2 所以只能有： ( R ) 1 n 从而 ( Rn )可以写成如下形式 ：
《固体能带理论》课件

《固体能带理论》课件

分类
导带、价带、禁带等，导带与价带之 间的区域称为能隙，决定了固体是否 导电。
能带结构的形成
原子轨道重叠
固体中的原子通过轨道重叠形成分子轨道，进一步形 成能带。
周期性结构
固体中的原子按照一定的周期性排列，导致能带结构 的周期性。
电子相互作用
电子之间的相互作用会影响能带结构，包括电子间的 排斥力和交换力等。
量子场论和量子力学
与量子场论和量子力学的结合，将有助于更全面地描述和理解固体中的电子行为 和相互作用。
谢谢聆听
新材料的设计与发现
拓扑材料
随着拓扑学的发展，将会有更多具有独特电子结构和性质的拓扑材料被发现， 为新材料的设计和开发提供新的思路。
二维材料
二维材料具有独特的物理性质和结构，未来将会有更多新型二维材料被发现和 应用。
与其他理论的结合与发展
强关联理论
固体能带理论与强关联理论的结合，将有助于更深入地理解强关联体系中的电子 行为和物理性质。
电子在能带中的状态
01
02
03
占据电子
价带中的电子被原子轨道 上的电子占据，导带中的 电子较为自由。
热激发
在温度较高时，价带中的 电子可以被激发到导带中 ，形成电流。
光电效应
光照在固体表面时，能量 较高的光子可以使价带中 的电子激发到导带中，产 生光电流。
03 固体能带理论的的基本方程，描述 了电子密度随时间和空间的变化 。
02
交换相关泛函
03
自洽迭代方法
描述电子间的交换和相关作用的 能量，是密度泛函理论中的重要 部分。
通过迭代求解哈特里-福克方程 ，得到电子密度和总能量，直至 收敛。
格林函数方法
格林函数
《固体物理基础教程》课件第3章

《固体物理基础教程》课件第3章


图3.5 一维双原子链
值得注意的是，该一维双原子链模型实际上反映的是 NaCl结构的〈100〉晶向或者CsCl结构的〈111〉晶向原子 排列的情况。如果晶格模型稍加改变，比如，基元中含有两 个质量相同的原子，但原子间平衡间距d≠a/2，则反映的是 金刚石结构〈111〉晶向原子排列的情况；如果基元中很有 两个质量不同的原子，且原子间平衡间距d≠a/2，则反映的 是闪锌矿结构〈111〉晶向原子排列的情况。对于这两种晶 格模型，由于原子间距不同，因此原子间的相互作用(化学 键)也不同，在数学推导时就必须采用不同的弹性系数β1、β2 来反映。读者可以根据本节下面的推导过程，任选这两种晶 格模型之一加以推导。同时还可以思考下面的问题：如果在 一维双原子链模型中，基元中含有两个质量相同的原子，且 原子间平衡间距d=a/2，则情况会发生怎样的变化？
图3.1 一维单原子链模型
经过上面的分析，就可以根据牛顿第二定律直接建立第
n个原子的运动状态方程，即
m
d2n
dt 2
fn1
fn1
(n1 n ) (n1 n )
(n1 n1 2n )
(3.1)
每一个原子对应一个这样的方程，因此式(3.1)实际上代 表着N个联立的线性奇次方程，该方程组应该有N个独立解， 而独立解的个数也称为自由度，即一维单原子链的自由度为
基于如下的物理考虑：首先，晶体的宏观热性质取决于 组成晶体的绝大多数原子的运动状态；其次，晶体边界(表 面)原子的数目远小于晶体内部原子数目，因此对晶体热性 质的影响很小；第三，按照近邻作用近似，边界原子对内部 原子运动状态的影响很小。于是，玻恩-卡曼提出了这样的 周期性边界条件：假定由数目巨大的N个原子组成的一维单 原子链首尾衔接(间距也为a)，构成一个如图3.3所示的半径 很大的圆环，局部范围内原子沿环方向的振动仍然可以看做
《固体物理能带理论》课件

《固体物理能带理论》课件


探索禁带宽度
禁带宽度的影响
深入探究禁带宽度对材料性质的 影响，介绍如何利用禁带宽度调 控材料性质。
直接/间接带隙
介绍直接带隙和间接带隙的概念 和特点，以及如何通过调控禁带 宽度实现它们之间的转换。
量子点
了解量子点的概念及其在光伏、 光催化、发光等方面的应用。
电子在周期势场中的行为
布拉歇特条件
探究布拉歇特条件的作用和意义，以及如何通过布拉歇特条件来理解材料导电性。
电子自旋
介绍电子自旋的概念和特点，以及在磁性材料中的重要作用。
量子霍尔效应
了解量子霍尔效应的概念和特点，以及其在电子学、自旋测量等方面的应用。
应用能带理论
1
太阳能电池
探究太阳能电池的原理和构造，以及如
半导体激光器
2
何利用能带理论来提高太阳能电池的性 能。
介绍半导体激光器的原理和构造，以及
如何通过能带理论来优化激光器的性能。
《固体物理能带理论》 PPT课件
通过本PPT了解固体物理能带理论，理解能带的概念和特点，并探究能带理论 在实际应用中的应用。
什么是固体物理能带理论？
晶体的电子结构
介绍晶体的基本结构和存在能带 的原因，以及能带分布的规律。
能带、狄拉克相对论
进一步探究能带的特点及其与材 料导电性的关系，介绍狄拉克相 对论的意义。
Bloch定理和能带图
介绍Bloch定理的作用，以及如何 通过能带图来描绘材料的电子结 构。
深入理解价带和导带
价带的物理意义
介绍价带中电子的特征和性 质，并探讨不同能级之间的 关系。
导带的物理意义
深入剖析导带中的电子行为， 介绍电子元件中导带的作用。
轻重空穴带
《固体物理基础教学课件》第4章-能带理论共34页文档

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孤立原子中电子的 势阱
势垒 电子能级
+
第 四 章 固体的能带
解定态薛定谔方程， 可以得出两点重要结论： [ 2 2 V (r)] E
2m
➢电子的能量是量子化的 ➢电子的运动有隧道效应
# 原子的外层电子（在高能级） 势垒穿透概率较大， 电子可以在整个固体中运动，称为共有化电子。原子 的内层电子与原子核结合较紧，一般不是共有化电子， 称为离子实。
不满带：未填满电子的能带
E
空带：没有电子占据的能带
禁带：不能填充电子的能区
价带：在0k时能被电子占满的最高能
带，对半导体价带通常是慢带
导带：半导体最外面（能量最高）的
一个能带。
空带
禁带体的能带
能带对电导的贡献 满带
…
电子交换能态并不改变 能量状态，所以满带不 导电。
导带： 不满带或满带以上最低的空带 为什么把空带或不满带称为导带？ 因为只有这种能带中的电子才能导电。
第 四 章 固体的能带
导电——电子在电场作用下作定向运动，
以一定速度漂移， v 10 -2 cm/s
E
电子得到附加能量
到较高的能级上去，
这只有导带中的电子才有可能。
第 四 章 固体的能带
p2 E
能级已填满不能再填充电子— 2s
分裂为两条
1s
第 四 章 固体的能带
各原子间的相互作用 原来孤立原子的能级发生分裂
若有N个原子组成一体，对于原来孤立原子的 一个能级，就分裂成N条靠得很近的能级，称
为能带（energy band）。
能带的宽度记作 E，E ～eV 的量级
若N数量级为1023，则能带中两相邻能级的间距约
pentium MMX
电子在k空间的等能面上运动1沿磁场方向的分量不发生变化

电子在k空间的等能面上运动1沿磁场方向的分量不发生变化

—— 半导体中能带底和能带顶附近采用有效质量近似处理 —— 碱金属也可以采用有效质量近似
2021/5/25
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18
—— 采用有效质量近似后，晶体中电子在磁场中的运动变为 自由电子在磁场中的运动，前面的结果中将电子的质量m用 有效质量m*代替
磁场中自由电子的波函数
固体物理
Solid State Physics
第一章 晶体结构 第二章 晶体的结合 第三章 晶格的热振动 第四章 能带论 第五章 金属电子论 第六章 半导体电子论 第七章 固体磁性 第八章 固体超导
1 布洛赫定理与布洛赫波 2 近自由电子近似方法 3 紧束缚近似方法 4 其他方法 5 能带电子的态密度 6 布洛赫电子的准经典运动 7 布洛赫电子在恒定电场中的 准经典运动
1 2
0
(
y
y0
)2
H n[0 (y来自y0)]能量本征值
E n
2
k
2 z
(n
1)
2m
2
0
2
k
2 z
2m
—— 在(x, y)平面内的圆周运动对应一种简谐振荡，能量是 量子化的
—— 这些量子化的能级称为朗道能级
2021/5/25
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16
能量本征值
E (n 1) 2
(
qB m
)2
x
0
d2y dt 2
(
qB m
)2
y
0
—— 在(x, y)平面做匀速圆周运动 回转频率
2021/5/25
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孙会元固体物理基础第三章能带论课件3.4能带结构的其它计算方法

孙会元固体物理基础第三章能带论课件3.4能带结构的其它计算方法


( ) r) ,相互作用势依赖于 i ( r ) ,同时 i ( r ) 由于nr i( i i ( r ) 既出现 又要由薛定谔方程来决定,也就是说， 在系数中,同时又是方程的解.所以,必须用自洽的 计算方法—迭代法来处理.这种求解工作量很大, 需借助计算机进行. 求解思路： 1).首先确定所研究晶体的结构和组成(确知价 电子并计算出电荷密度)； 2). 确定初始的单电子势 V ( r ) ；
3.密度泛函理论(density functional theory) 该理论是对哈特利—福克(Hartree—Fock)近 似,亦即将多电子问题化为单电子问题的更严格、 更精确的描述. (具体内容可参考谢希德、陆栋主 编的《固体能带理论》17）. 在密度泛函理论基础之上的局域密度近似 (local density approximation,简称为LDFT)框架 下的计算 ,在大多数情况下能得到较好的结果。 密度泛函理论的基础是非均匀相互作用电子 系统的基态能量由基态电荷密度唯一确定,是基态 电子密度n ( r ) 的泛函.阎守胜书P287(12.1.3)给出了 证明;同时给出了当电子密度的空间变化缓慢时,由 局域密度近似得到的单电子薛定谔方程.
内层电子的能带---窄带；外层电子的能带---宽带 通常把被电子填满的最高能带称为价带，而把 最低空带或半满带称为导带(后面我们还要讨论). 固体的物性主要取决于价带和导带中的电子.而对 于这些外层电子而言,离子实区内和离子实区外是 两种性质不同的区域. 离子实区外,电子感受到的是弱的势场的作用, 波函数很平滑,类似于平面波;离子实区内由于强 烈的局域势作用,波函数急剧振荡,可由紧束缚波 函数来描述。 外层电子(价带和导带中的电子)的波函数可由 两者的线性组合来描述。
(2)
固体物理第三章：能带论I

固体物理第三章：能带论I


此式表明,晶体中总的 He 是N个单电子的哈密 顿之和,即N体问题简化为单体问题。 单电子近似在很多情况下是一个很好的近似， 其原因后面讲。 3.周期场近似(periodic potential approximation) 单电子势能:
e2 V (r ) = ve (r ) − ∑ Rn 4πε 0 r − Rn 1
3 假定晶体体积 V = L ,含有N个带正电荷Ze的离子 实,Z为单原子的价电子数目,因而,晶体中有NZ个价电子。 即：
N个离子实，每个离子实带正电荷Ze，其位矢用 Rn 表示； NZ个价电子，简称为电子，其位矢用 ri 表示。
NZ ∑ ∇i2 + ∑ 2 i , j 4πε 0 ri − rj i =1 2m 1 / 1 (Ze)2 2 −∑ ∇n + ∑ 2 n,m 4πε 0 Rn − Rm n =1 2M
ψ (r + Rn ) = e
ik ⋅( r + Rn )
=e
ik ⋅ Rn
e
ik ⋅ r
=e
ik ⋅ Rn
NZ 1 1 e Vee (ri , rj ) = ∑∑ = ∑ ve (ri ) 2 i =1 j ≠i 4πε 0 ri − rj i =1 NZ 2
为简单起见，取单原子的价电子数目Z=1。 则电子体系的哈密顿进一步简化为： 2 单电子势能 N 1 e2 2
i =1
H e = ∑[ −
∇i + ve (ri ) − ∑ ] 2m Rn 4πε 0 r − Rn i
∇r = ∂x
2
+
∂y
2
+
∂z
2
= ∇ r + Rn
∂2 ∂2 ∂2 = + + 2 2 ∂( x + n1a1 ) ∂( y + n2a2 ) ∂( z + n3a3 )2
《固体物理基础教学课件》第3章

《固体物理基础教学课件》第3章

原子n离开平衡位置位移μn 原子n和原子n+1间相对位移
n1 n
平衡位置 非平衡位置
a 3
3-1 原子作用力的处理：简谐近似
忽略高阶项，简谐近似考虑原子 V 振动，相邻原子间相互作用势能
v(a)12(ddr2v2)a2
相邻原子间作用力
O
a
r
f ddv, (d dr2v2)a
只考虑相邻原子的作用，第n个原
第2n+1个M原子的方程 M d2 dt2 2n1(22n12n22n)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 第2n个m原子的方程 mdd 2t22n(22n2n12n1)
解也具有平面波 的形式
两种原子振动的 振幅（m取A， M取B）一般来说 是不同的
a 13
3-2 声学波与光学波
色散关系有不同的两种
2(m m M M ) 11(m 4 m M M )2sin2aq12
a 2
3-1 一维单原子链模型
一维单原子链：最简单的晶格模型
晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式 —— 格波
格波的研究方法：
计算原子之间的相互作用力 根据牛顿定律写出原子运动方程，并求解方程
一维单原子链模型：
平衡时相邻原子间距为a （即原胞体积为a）
原子质量为m 原子限制在沿链方向运动
声子
0.1
1 100 10000
a 11
3-2 一维双原子链模型
一维双原子链模型 声学波与光学波 声学波与光学波的长波极限 长光学波的特性
a 12
3-2 一维双原子链模型
两种原子m和M (M > m) 构成一维复式格子 M原子位于2n-1, 2n+1, 2n+3 … m原子位于2n, 2n+2, 2n+4… 晶格常数、同种原子间的距离：2a
孙会元固体物理基础第三章能带论课件37布洛赫电子的准经典运动

孙会元固体物理基础第三章能带论课件37布洛赫电子的准经典运动


1 (r , t ) k
归一化因子

k k0 2 k k0 2
u n , k ( r )e
i[ k r
n (k )
t]
dk
求和写成积分是同一能带中波矢 k是准连续的
令：k k0 k
1 (r , t ) k

k 2 k k0 2 k0
u n , k ( r )e
前面写波函数时,考虑到本征态是定态,没有考 虑时间因子,现在考虑时间因子后，布洛赫波函 数写成：
i n ( k )t i[ k r
( r , t ) n ( k , r )e
e
n (k )
t]
un , k ( r )
由于波包包含不同能量本征态(不同的 k 状态 k 范 具有不同的能量).忽略带间跃迁,可把 k0 附近 围内的布洛赫本征态叠加构成的波包函数写成:
*
左2
[ k n (k )] u nk (r )unk (r )dr n (k ) u nk (r ) k unk (r )dr
左2 ( H k u nk (r )) k unk (r )dr n (k ) u nk (r ) k unk (r )dr 右2
又因为：
Hk
2
2m
(i k )2 V (r )
1 1 2 2 (i k ) V (r ) ( p k ) V (r ) 2m 2m
H 所以： k ( p k ) m k H k unk (r ) H k k unk (r ) [k n (k )]unk (r ) n (k )k unk (r ) k
* *
由于 H k 是厄米算符，则左2为：
孙会元固体物理基础第三章能带论课件3.5 能带结构的图示和空晶格模型

孙会元固体物理基础第三章能带论课件3.5 能带结构的图示和空晶格模型

2 2 n

其他曲线我们不再分析,有兴趣的同学可参考 可参考黄昆的书PP178-184 。 总之,沿 轴时,找出倒空间和 轴()平行的线 段上的最近邻、次近邻…等倒格点，并计算出相 应的 , 依抛物线形式画出即可。 沿其它轴的画法一样，注意平移线段的长度应 为倒格矢. 由上面的分析可知,在空晶格近似中,由于对称 性,许多状态是高度简并的,在计入周期场起伏的 微扰作用后,某些简并性要消失(不会全部消失), 详细情况可参阅谢希德等人编著的《固体物理学 中的群论》。
的解为：
nk (r ) e
ik r
unk (r ) 且
unk (r ) e
iGh r
2 2 相应的能量本征值为： n (k ) (k Gh ) 2m
面心立方格子的倒格子为体心立方。第一布 里渊区为倒格子空间中的WS原胞，由于共有8个 近邻，所以，形状为截角八面体。

轴

如 2 (k ) 曲线：
Fcc的倒格子为bcc, 所以原点 在体心.
M
kz
N
2 2 2 n (k ) / ( ) 2m a

ky
kx 2 (k ) 曲线对应最近邻倒格点M： 2 2 2 M 点： k ( , , ) a a a 移入第一布里渊区后对应点 ; 2 2 N点： k ( , 0, ) a a
在讨论金属和 半导体的能带 结构时，常以 空晶格近似作 为参照。如图 所示为面心立 方金属铝的能 带计算结果(实 线),虚线为空晶 格近似的能带 结构，可见， 两者非常接近。 除布里渊边界 处以及晶格 周期场使某些简并解除导致偏离以外。
つづき
图的得到可参考黄昆的书PP178-184

固体物理基础第三章能带论课件39布洛赫电子在恒定磁场作用下的运动


2 m 2 y2 2m 2c 2(yy0)2 (y)( y)
其c 中 e m ,B y 0 e k B x , E 2 2 m k z 2,
与量子力学中谐振子方程比较可知，上式是
一个中心在y0的谐振子波动方程。 回旋频率 谐振子能量
v (k) v (k)
(k )
dk
k

T(,kz)2 c eBd v keB 2 ( k)dk
2 A( , kz ) eB
A(,kz)是用，kz标记的
轨道在k空间所围面积
与
c

eB
m
* c
比较可知：
mc*

2
2
A(, kz )
由量子力学知

(n 1) 2
c
E 2kz2
2m
电子的能量 E(n1 2)c 22m kz2 n0,1,2,
相应的周期为： d d k t(e)v(k)B d d k t eBv
T(,kz)2 c d kkeB dkveBd v k
设Δ(k)是垂直于磁场的轨道平面内能量为ε和ε + Δε两 个等能面间法线距离。
如图：
由 r v(k)1k(k)得：


dvy dt

m
dk y dt

eB m m kx

eB m vx
dvz

dt
0
电子在r 空间做螺旋运动，即在垂直磁场的平面内
做匀速圆周运动，回旋频率为 0eB/m
以上讨论的是自由电子，对于布洛赫电子，由于 晶格周期场的作用，闭合轨道并不一定是圆形，但形 式上仍可写成：
c e m B c *;m c * 称 为 回 旋 有 效 质 量 (c y c lo tr o n e ffe c tiv em a s s )

《固体物理》能带理论

固体的能带理论的建立：1928，F. Bloch 应用量子理论研 究固体的电子运动，提出Bloch定理，奠定了现代量子固体 物理的基础。1931年，A. H. Wilson 依据能带理论，成功 地解释了金属、绝缘体和半导体的差别（定性研究）。
1964, W. Kohn等建立密度泛函理论， 借助与计算机，能够定量计算高分子、纳 米材料、介观器件等。（精确计算）
五、能带的近似理论
2）单电子近似
其他电子的影响忽略，或归结到势场。
理由：由于泡利不相容原理，两电子 间的平均距离较大。
3）周期场近似
离子实或其他电子的作用归结为一个周期
性势场：
V
(r )
V
(r
Rn
)
五、能带的近似理论
能带问题简化为“单电子在周期场”的运动
H (r) E (r)
2 2m
电子的动量。
hk 被称为“晶体动量”，K是描述电子状态
的一个量子数。
§3-2 近自由电子近似
实际晶格中，势能是周期性变化的， 若势能起伏不太大
取平均势 势的起伏用微扰论处理（周期性微扰）
一、模型和微扰计算
V
周期势： V (x) V (x la)
1.零级近似：
, x 0, x L V (x) V , 0 x L
2
V
(r)
(r)
E
(r)
本 章 下 面 的 内 容 主 要 讨 论 这 种 单 电 子 Schordinger 方程的求解方法——初等量子力学
§3-1 布洛赫定理
Next:怎样求解周期场中的Schordinger 方程
一、Bloch 定理（1）
在周期性势场中运动的电子的波 函数可写成布洛赫波的形式：

孙会元固体物理基础第三章能带论课件3.6 能态密度


写成积分的形式则有
ds V dN n ( ) 2 3 (2 ) k n (k ) d (k )
则态密度为
dN n ( ) 2V N n ( ) d (k ) (2 )3
2 (2 )
3

k n (k )
ds
从而单位体积的能态密度为
g n ( )

k n ( k )
ds
积分是沿着一个能量为ε的等能面进行的.
g n ( )
2 (2 )
3

k n ( k )
ds
对于交叠的能带，总的能态密度可以写为 g ( ) g n ( )
n
以上是三维的结果，对于二维情况，等能面退 化为等能线，则单位面积的能态密度为
和最小值,所以,一定存在某些 k 值，使得：
1 这些地方会使得 (k ) 发散。 k n
由此可以定义几种奇异点，称为范· 霍夫奇点 (van Hove singularity) (见李正中的固体理论第一 版p64-69)
k n (k ) 0
几个求解能态密度的例子 1. 自由电子气体，能量为
つづき
给出能态密度的一般表达式
3.6 能态密度 布洛赫电子的能级组成一系列的能带，在每 一个允许能带中的能级分布是准连续的，因此标 明其中的每一个能级是没有意义的，为此引入能 态密度来表示能级密集的程度随能量变化的情况 是很有意义的。 考虑到固体中所有能带都可以在第一布里渊 区中表示，并且在k空间均匀分布，波矢密度为 V/8π3。 假定Sn(ε)是等能面在第一布里渊区内的部分 ，dS是该等能面上的面元。
g n ( ) 2 (2 )
2

孙会元固体物理基础第三章能带论课件3.8 布洛赫电子在恒定电场作用下的运动


π a
A π
V
a
k
0
v (k ) v (k )
j (k ) ev (k ) ev (k ) j (k )
亦即处在k 和-k 态的电子,对电 流密度的贡献恰好相消。 一个能带对电流的贡献,是所有 电子携带电流的和：I ev (k )
k

A

π a
A π
三、近满带和空穴
1. 非导体的能带特征 对于不具有部分填充能带的非导体，也就是说基态时 N个电子恰好填满最低的一系列能带，再高的各带全部 都是空的。则对该类材料中的能带来说，除了所有电子 状态都被电子占据的满带以外，还有能带中所有电子状 态均未被电子占据的能带，即空带。 对于非导体来说，把能量最低的空带称为导带。并把 导带中能量最低的能级，定义为导带底；把能量最高的 满带定义为价带；价带中能量最高的能级称为价带顶。 导带底和价带顶之间的能量范围称为能隙(energy gap), 或叫带隙.
k

A
a
A
E
a
k
即未满能带(或部分填充能带)导电，因而这种能带也 称为导带. 所以,固体材料可按照是否有部分填充的能带而分 为:导体和非导体两大类—能带论的一大成就。
小结(关于准经典模型中布洛赫电子速度和 满带不导电等问题的进一步说明)： 是布洛赫电子在实空间的 r vn (k ) k n (k ) 速度,沿等能面的法线方向.
二、能带填充情况与晶体导电性的关系
1. 满带不导电
满带是指能带中所有电子状态都 被电子占据的能带。 如果一个能带被电子部分填充，就 称为未满能带，或部分填充能带. (1)无外电场 没有外电场时,由于能带的对称性
A
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drv h B)vdkv dt eB dt
r v 是 电 子 在 实 空 间 位 置 矢 量 在 垂 直 磁 场 方 向 的 投 影
积 分 得 ： r v ( t) r v ( 0 ) e h B B ) v [ k v ( t) k v ( 0 ) ]
所以,电子在实空间的轨道可由在k空间的轨道绕磁场
这些量子化的能级称为朗道能级。
1. 朗道能级
考虑边长为 L 的立方体,以它们的边长为 x,y,z 轴,外磁场平行于z 轴且均匀. 即： BvBz)
自由电子在外加磁场(沿z轴方向)的哈密顿算 符为： H ˆ 1 (peA )2
2m p：电子的运动学动量， A ：电子的场动量，
eA：矢量势
则由于
BvBz) 且
BA
可令
v A(By,0,0)
hv(k v) vh (k v)
v
(k )
d
v k
v k
T(,kz)2 c eh B蜒 d v ke hB 2 ( k)dk
h2 A( , kz ) eB
A(,kz)是用，kz标记的
轨道在k空间所围面积
与
c
eB
m
* c
比较可知：
mc*
h2
2
A(, kz )
mc*
h2
2
A(, kz )
v (orA(0,Bx,0))
H ˆ 1 (peA )2 2m
21mp xeB2yp 2yp 2z
是H对 中易不的含。x根，据z,所量以子它力和学算，符可p选x Hi的hx本及征p z波 函i h
z
数同时为 pˆx, pˆz 的本征波函数。
p ˆx kx ,p ˆz k z
电子的能量
这时波函数可以写成： ei(kxxkzz) (y)
相应的周期为： hd d k t(e)v v (k v )B v d d k t e h Bv
T(,kz)2 c 蜒 d kv & keh B dkveh B? d v k
设Δ(k)是垂直于磁场的轨道平面内能量为ε和ε + Δε两 个等能面间法线距离。
如图：
由 rv&vv(kv)1 hkv(kv)得：
dkx
dt
eB m
ky
dky dt
eB m
kx
dkz dt
0
在k空间，电子总是沿着垂直于
kz
B
磁场的平面和等能面的交线运动
自由电子的等能面是球面,与 kz 垂直 的平面与等能面的交线就是一系列圆.
k k
ky
kz
保持不变,在
kx
—
k圆周运动,回转的频率 0 eB/m
代入方程Hˆ E 得到: 2 1 m [(h kxeB y)2p )2 yh2kz 2](y)E (y)
[ 2 h m 2 y 2 2 2 1 m (h k x e B y )2 ](y ) (E h 2 2 m k z 2)(y )
2 m 2 y2 2m 2c 2(yy0)2 (y)( y)
做匀速圆周运动，回旋频率为
v
0 eB/m
以上讨论的是自由电子，对于布洛赫电子，由于 晶格周期场的作用，闭合轨道并不一定是圆形，但形 式上仍可写成：
c e m B c *;m c * 称 为 回 旋 有 v效 质 量 (c y c lo tr o n e ffe c v tiv em a s s )
轴旋转90度,并乘以因子 h / eB得到.
电子在实空间的轨道可由在k空间的轨道绕磁场轴旋转
90度,并乘以因子 h / eB 得到.
)v B
h
vv [k(t) k(0)]
eB
rv(t)rv(0)
r v (t) r v (0 ) e h B B ) v [k v (t) k v (0 )]
二、均匀磁场中自由电子的量子化理论
(2)电子在实空间的运动图象
vv(
v k)
v hk
m
v
x
h m
kx
v
y
h m
ky
v
z
h m
kz
dvx dt
h m
dkx dt
h m
eB m ky
eB m
vy
dvy dt
h m
dk y dt
h m
eB m kx
eB m vx
dvz
dt
0
电子在r 空间做螺旋运动，即在垂直磁场的平面内
其c中 e m ,B y 0 e k B x, E 2 2 m k z 2,
与量子力学中谐振子方程比较可知，上式是
一个中心在y0的谐振子波动方程。 回旋频率 谐振子能量
由量子力学知 (n 12)hc
E 2kz2
2m
电子的能量 E(n1 2)c 22m kz2 n0,1,2,L
一、恒定磁场中布洛赫电子的准经典运动
准1 经.恒典定运磁动场的中两的个准方经程典：运动hrv&dkvvv(kv( )e)vv1 h(k v)kvB (vkv)
12)).. 所d设 ddd以ktvkh tvB v ，d /(垂/波kv 在z轴 直矢•1 ， 于k的v d B则 变v空v化d 的间 d k t)方z 中垂d 向，直0 ,波于k 0 z矢保 vvh(持 kkkvv& v& )•为 说满的B vd常 明足方t量 电向0：。 子 沿h因 电 垂 平 的着kv&•而 子 面 交直等vv总 和 线,于能在0是 等 运磁面k空动沿 能场运间.着 面的动,
dt hdk dt
说明k沿磁场方向的分量和电子的能量是运动常量
以自由电子为例加以讨论： h 2 k 2
v B(0,0,B)
vhv(dkvkv)( 1he)vvkv(kv()kv)B v
dt
h 2 k 2
vv
(
v k
)
v
v hk m
dk d t
e m
2m v k
v B
v 2 m
(1)电子在k 空间的运动图象
m c * 是 与 轨 道 相 关 的 回 旋 有 效 质 量
它与只和电子态有关的电子的有效质量不一定相同。
对方程
hdkv(e)vv(kv)Bv
)v v
两边用 B B/
v
B叉乘，得：
dt
h B ) v d d k t v ( e ) B v ) [ v v ( k v ) B v ] e B v v e B d d r v t
和 自 由 电 子 Eh2kx 2h2ky 2h2kz 2比 较
2 m 2 m 2 m 沿磁场B方向,电子保持自由运动, 相应的动能为
2 2
k m
2 z
在垂直磁场的x-y平面上,电子的运动是量子化的
从准连续的能量
2 2m
(kx2
ky2
)
变成(n+1/2)
c
在与磁场垂直的kz＝常数的平面内,轨道是量子化的.