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k at s
k ( , 0, 0) 同理在 点： a
R点： k ( , , ) a a a
R at s
J 0 2 J1
at s
J 0 6 J1 对应能带顶
a
则沿ГX即Δ轴的波矢取值范围
(k x ,Байду номын сангаасk y , k z ) ( , 0, 0); 且0 1
的解为：
nk (r ) e
ik r
unk (r ) 且
unk (r ) e
iGh r
2 2 相应的能量本征值为： n (k ) (k Gh ) 2m
面心立方格子的倒格子为体心立方。第一布 里渊区为倒格子空间中的WS原胞，由于共有8个 近邻，所以，形状为截角八面体。
在讨论金属和 半导体的能带 结构时，常以 空晶格近似作 为参照。如图 所示为面心立 方金属铝的能 带计算结果(实 线),虚线为空晶 格近似的能带 结构，可见， 两者非常接近。 除布里渊边界 处以及晶格 周期场使某些简并解除导致偏离以外。
つづき
按照
2 2 n (k ) k 2m
kz
以及K空间中相应点的坐标 , 可求得 n (k ) 从而可描点画图。
kx
ky
对面心立方格子(fcc)对称点、线符号说明： 2 点： k (1, 0, 0) 点： k (0, 0, 0)
2 3 3 K点： k ( , , 0) a 4 4 a 2 1 1 1 L点： k ( , , ) a 2 2 2
这些高对称性的点、线常用一些固定的符号 表示出来(在K空间)，第二章我们已经给出了这 些符号的说明。
比如简立方晶系的符号有：
点： k (0, 0, 0) (原点)
[布里渊区正方形边界的面心位置，共有 6个等价点(
点： k ( , 0, 0) a
a
, 0, 0);(0,
移入第一布里渊区后对应 点 .
轴
2 2 2 则 2 3 ( ) 2m a 2 2 2 2 2 ( ) 2m a 由此可得 2 ( k ) 由于和 MN等价的有4条,所 以 2 (k ) 4重简并 kz
2 2 2 n (k ) / ( ) 2m a
M
N
kx
ky
轴
2 (k ) / ( ) 同理可得 3 (k ) 曲线： 2m a 3 (k ) 曲线对应最近邻倒格点P： 2 2 2 P点： k ( , , )对应点 a a a 2 4 2 Q点： k ( , , )对应点 a a a 2 kz 2 2 则 3 3 ( ) 2m a P Q 2 ky 2 2 3 6 ( ) 2m a kx 轴 3 (k ) 也是4重简并
图的得到可参考黄昆的书PP178-184
2 2 2 n (k ) / ( ) 2m a
2 2 2 2 点： k (0,1,0) 1 ( ) a 2m a 2 2 2 取 ( ) 为能量单位， 1 (k ) 1 2m a
2 2 n (k ) k 如 1 (k ) 曲线： 2m 当 k 在第一布里渊区时： 点： k (0, 0, 0) 1 0
2 轴:沿 ( , 0, 0);(0 1) a 2 3 轴:沿 ( , , 0);(0 ) a 4 2 1 轴:沿 ( , , );(0 ) a 2
kz
ky
kx
如图—面心立方格子沿 轴向 空 晶格近似得到的 n (k ) 函数图示
, 0);(0, 0, )] a a
R点： k ( , , ) a a a
[布里渊区顶角的位置，共有 8个等价点： ( 1, 1, 1)] a
沿 100 方向的轴记为； 沿 111 方向的轴记为
对于简立方在紧束缚近似下我们得到能量为：
J 0 2 J1 (cos k x a cos k y a cos k z a) at 在 点： k (0, 0, 0) s J 0 6 J1 对应能带底
2 2 n
其他曲线我们不再分析,有兴趣的同学可参考 可参考黄昆的书PP178-184 。 总之,沿 轴时,找出倒空间和 轴()平行的线 段上的最近邻、次近邻…等倒格点，并计算出相 应的 , 依抛物线形式画出即可。 沿其它轴的画法一样，注意平移线段的长度应 为倒格矢. 由上面的分析可知,在空晶格近似中,由于对称 性,许多状态是高度简并的,在计入周期场起伏的 微扰作用后,某些简并性要消失(不会全部消失), 详细情况可参阅谢希德等人编著的《固体物理学 中的群论》。
轴
如 2 (k ) 曲线：
Fcc的倒格子为bcc, 所以原点 在体心.
M
kz
N
2 2 2 n (k ) / ( ) 2m a
ky
kx 2 (k ) 曲线对应最近邻倒格点M： 2 2 2 M 点： k ( , , ) a a a 移入第一布里渊区后对应点 ; 2 2 N点： k ( , 0, ) a a
k sat J 0 2 J1 (cos k x a cos k y a cos k z a)
(k x , k y , k z )
a
( , 0, 0); 且0 1
在上述波矢范围内取一些值，代入能量表达 式中就可以得到相应的能量，进而可以画出Δ 轴上的能谱图。类似的对于Г点和R点的连线 轴也可以得到相应的能谱图。 用简约波矢表述自由电子的能量称为空晶格 模型(empty-lattice model)
下面我们以面心立方格子空晶格模型为例， 讨论其能带结构。
面心立方格子空晶格模型(empty-lattice model) 的能带结构 空晶格模型中晶格周期势V (r )=0, 即电子完全自由。 但薛定谔方程的解受晶格对称性的约束。因 而其通解为自由电子 布洛赫函数，即： 2 2 (r ) 薛定谔方程 n k (r ) n (k) n k 2m
3.5 能带结构的图示和空晶格模型
本节主要内容:
给出空晶格模型下能带结构的图示
3.5 能带结构的图示和空晶格模型
为了直观理解能带的计算结果 n (k ) ，常以图
示的形式在第一布里渊区中一些高对称性的点、 线上给出。 这些特殊的点、线满足以下条件：
k k Gh 且 所属点群操作数目要大于1
