高中数学选修4-2矩阵与变换知识点复习课课件_苏教版

X’，根据矩阵变换的性质有
16
矩阵乘法的几何意义——变换的合成 乘法满足结合律，不满足交换律
1/2 0 0 –1 的变换过程(先旋转后压缩):
0 1 10
0 –1 1/2 0 的变换过程(先压缩后旋转):
10 01
17
逆变换与逆矩阵
伸压变换之逆为伸压变换
1/2 0 01
20 01
20 01
1/2 0 01
14
矩阵表示的变换，把直线或者变成 直线，或者变成一个点
直线的向量方程 一般地，在平面直角坐标系中，经过点
M0(x0,y0）且平行于非零向量 的直线l的方程为
v0
v1
v
2
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矩阵表示的变换，把直线或者变成 直线，或者变成一个点
给量向定量OuuMuM矩uur0v阵'变0。M成,它向把量点OuuMMuu0ur0变，成点M把M向0’，量即v0把变向成 对l上任意一点X,矩阵M把点X变成点
1
1 3 y = -2
求解线性方程组即为：求一个向量，它由已知变 换变为一个已知向量。
Mx xM1
可以根据变换，讨论可逆解的情况。
21
特征值与特征向量的意义
1 0
矩阵
0
1 2
的特征向量为 1 和
0
0
1
和
矩阵只改变其特征向量的
0 –1
1
0
高中数学选修４- 2
矩阵与变换
1
主要内容
通过几何变换讨论二阶方 阵的乘法及性质、矩阵的逆 和矩阵的特征向量，初步展 示矩阵应用。
2
特色
突出矩阵的几何意义
从具体到一般，从直观到抽象
用实例展示矩阵应用广泛性

形具有更真实的视觉效果
坐标变换：通过矩阵运算实 现图形的平移、旋转、缩放 等变换
动画制作：通过矩阵运算实 现图形的动画效果，如变形、
运动等
矩阵在其他领域中的应用
物理：在力学、电磁学、量子力学等领域，矩阵被用来描述物理系统的状态和变化
计算机科学：在计算机图形学、人工智能、数据挖掘等领域，矩阵被用来处理和表示数据
高中数学选修4-2矩阵 与变换知识点复习课 课件
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目录
CONTENTS
01 添加目录标题 02 矩阵与变换概述 03 矩阵的逆与行列式 04 矩阵的秩与特征值 05 矩阵的几何意义与线性变换的矩阵表示
06 矩阵的应用举例
单击添加章节标题
第一章
矩阵与变换概述
第二章
矩阵的定义与性质
矩阵的定义：由m行n列的数组 成的m*n个数阵
矩阵与线性变换的关系
矩阵是线性变换的一种表示方法 线性变换可以通过矩阵乘法来实现 矩阵的逆矩阵表示线性变换的逆操作 矩阵的秩表示线性变换的维数
矩阵的逆与行列式
第三章
矩阵的逆
逆矩阵的定义：满足AB=BA=I的矩阵B称为矩阵A的逆矩阵 逆矩阵的性质：逆矩阵的唯一性、逆矩阵的线性性、逆矩阵的乘法性质 逆矩阵的求法：利用初等行变换求逆矩阵、利用伴随矩阵求逆矩阵 逆矩阵的应用：求解线性方程组、求解矩阵方程、求解线性规划问题
行列式的定义与性质
行列式的定义： 矩阵中主对角线 元素的乘积
行列式的性质： 行列式等于其转 置行列式的值
行列式的计算方 法：利用行列式 的性质进行计算
行列式的应用： 求解线性方程组、 判断矩阵是否可 逆等
行列式的计算方法
初等变换法：通过行变换或列变换 将矩阵化为行阶梯形或列阶梯形， 然后计算行列式

2.在本章中点和向量不加区分.如:
x （0， 0）为起点， y 既可以表示点（x, y），也可以表示以O uuu r 以（ P x, y）为终点的向量OP。
2.1 二阶矩阵与平面向量
3.矩阵的概念——从表、网络图、坐标平面上的点（向 量）、生活实例等引出. 即在大量举例的基础上引出矩 阵的概念和表示方法.如: 某公司负责从两个矿区向三个城市送煤： 从甲矿区向城市A,B,C送煤的量分别是200万吨、240 万吨、160万吨； 从乙矿区向城市A,B,C送煤的量分别是400万吨、360 万吨、820万吨。 城市A 城市B 城市C 甲矿区 乙矿区
a11 a12 x0 a11 x0 a12 y0 a21 a22 y0 a21 x0 a22 y0
2.1 二阶矩阵与平面向量
7.强化学生对二阶矩阵与平面列向量乘法的几何意义 理解.使他们认识并理解矩阵是向量集合到向量集合 的映射,为后面学习几种常见的几何变换打下基础.
200 240 160 400 360 820
2.1 二阶矩阵与平面向量
4.矩阵通常用大写黑体字母表示.如;矩阵A, 行矩阵和列 矩阵通常用希腊字母α 、β 等表示. 5.两个矩阵的行数与列数分别相等,并且对应位置的 元素也分别相等时两矩阵相等. 6.二阶矩阵与列向量的乘法法则为:
难点
切变变换，逆变换(矩阵)，特征值与特征向 量。
主要数学思想
（1）数学化思想； （2）数学建模； （3）数形结合的思想；（4）算法思想。
主线
本专题的教学思路
通过几何变换对几何图形的作用，直观认识矩 阵的意义和作用。
教学要点
从具体实例入手，突出矩阵的几何意义，遵循

a b x bx ax＋by ＋ ＝ ，这是矩阵 与向量 的乘 y d y cx＋dy c d ＋
5．线性变换的基本性质 ． 性质 1.设 A 是一个二阶矩阵，α，β 是平面上的任意两个向 设 是一个二阶矩阵， ， 是任意实数， 量，λ 是任意实数，则 ①A(λα)＝λAα. ＝
理科
│知识梳理
a A＝ ＝ c x b ＝ ，a＝y ，规定二阶矩阵 A 与向量 a 的乘积为 d
设
ax＋by ＋ 向量 ，记为 cx＋dy ＋
Aa
a 或 c
bx ， d y
即 法．
a Aa＝ ＝ c
理科
│要点探究
【点评】 要理解二阶矩阵变换的定义，熟悉五种常 点评】 要理解二阶矩阵变换的定义， 见的矩阵变换，明确矩阵变换的特点． 见的矩阵变换，明确矩阵变换的特点．
理科
│要点探究
变式题 已知变换 T 把平面上的点 A(2,0)，B(3,1)分 ， 分 别变换成点 A′(2,1)，B′(3,2)，试求变换 T 对应的矩阵 M. ， ，
理科
│二阶矩阵与平面图形的变换
理科
│知识梳理
知识梳理
1．二阶矩阵的定义 ． (1)由 4 个数 a，b，c，d 由 ，，， 矩阵． 矩阵． (2)元素全为 0 元素全为
1 矩阵 0 0 的二阶矩阵 0 a 排成的正方形数表 c
b 称为二阶 d
0 0 . 称为零矩阵， 称为零矩阵，简记为 0
0 E 称为二阶单位矩阵， 称为二阶单位矩阵，记为 2 . 1
理科
│知识梳理
2．几种特殊线性变换 ． (1)旋转变换 旋转变换 直线坐标系 xOy 内的每个点绕原点 O 按逆时针方向旋 转 α 角的旋转变换的坐标变换公式是

主干知识研讨
命题角度聚焦
阅卷现场体验
矩阵变换与逆矩阵交汇创新 矩阵的逆矩阵、特征值与特征向量的求法是高考的热点内容， 其中矩阵的逆矩阵常和矩阵变换结合在一起考查，难度不大， 属中低档题，在解答过程中应注意步骤的规范化．
主干知识研讨
命题角度聚焦
阅卷现场体验
【典例】(满分 7 分)设曲线 2x2＋2xy＋y2＝1 在矩阵 A＝ab 01(a>0) 对应的变换作用下得到的曲线为 x2＋y2＝1. (1)求实数 a，b 的值； (2)求 A2 的逆矩阵．
主干知识研讨
命题角度聚焦
阅卷现场体验
考向二 二阶矩阵的逆矩阵与逆变换 常考查：①求二阶矩阵的逆矩阵；②直线在线性变换下求参数 的取值．
主干知识研讨
命题角度聚焦
阅卷现场体验
【例 2】 已知矩阵 A＝13 (1)求逆矩阵 A－1；
－ －27.
(2)若二阶矩阵 X 满足 AX＝31 05，试求矩阵 X.
提示：对应的矩阵为k01 k02.
主干知识研讨
命题角度聚焦
阅卷现场体验
[思考 3] 对于二阶矩阵 A＝ac bd(ad≠bc)，你能写出它的逆矩阵 吗？
[思考4] 请叙述什么是二阶矩阵的特征值和特征向量？ 提示：(1)设 λ 是二阶矩阵 M＝ac bd的一个特征值，它的一个 特征向量为 α＝yx， 则有 Myx＝λxy.
阅卷现场体验
[探究提升] 1.二阶矩阵与线性变换的题目往往和矩阵的基本运算 相结合命题．包括二阶矩阵的乘法，矩阵与向量的乘法等． 2．(1)二阶矩阵与线性变换涉及变换矩阵、变换前的曲线方程、 变换后的曲线方程三个要素，知其二可求第三个．(2)在解决通 过矩阵进行平面曲线的变换问题时，要把变换前后的变量区别 清楚，防止混淆．

b ，α 是矩阵 A 的属于特征值 λ 的任 d
意一个特征向量，则 Anα＝____ λnα (n∈N*)． (2)设 λ1，λ2 是二阶矩阵 A 的两个不同特征值， α，β 是矩阵 A 的分别属于特征值 λ1，λ2 的特征向量，对于平面上任意一个 非零向量 γ，设 γ＝t1α＋t2β(其中 t1，t2 为实数)，则 Anγ＝
所以 a＋λ＝－3－2＝－5. 答案：－5
考点一
求逆矩阵与逆变换
[典例引领] 已知矩阵
－1 A＝ 0 1 0 ， B ＝ 0 2
2 －1 ，求矩阵 A B. 6
解：设矩阵 A 的逆矩阵为
－1 则 0 0 a b 1 c d ＝0 2
矩阵 A 的属于 λ 的一个特征向量，则 a＋λ＝_____.
解析：因为
1 Aα＝λα，所以 a 2 2 2 ＝ λ －3 －3， －4
2－6＝2λ， 即 2a＋12＝－3λ，
a＝－3， 解得 λ＝－2，
－
－3 6 －2 1 － 3 － 3 且 A－1＝ ＝ . 5 2 －5 2 － 3 3 －3 －3 －2 答案： 5 3 1 2 － 3
2． 已知矩阵
1 A＝ a
2 2 的一个特征值为 λ ， 向量 α ＝ －3是 －4
0 ，因为 1×0－0×0＝0，找不到二阶 0
1 A ＝ 0
0 矩阵 B，使得 BA＝AB＝E 成立，故 不可逆． 0 2．如果向量 α 是属于 λ 的特征向量，将它乘非零实数 t 后所得 的新向量 tα 与向量 α 共线，故 tα 也是属于 λ 的特征向量， 因此，一个特征值对应多个特征向量，显然，只要有了特征 值的一个特征向量，就可以表示出属于这个特征值的共线的 所有特征向量了．

选修4－2 ⎪⎪⎪矩阵与变换第一节平面变换、变换的复合与矩阵的乘法1．二阶矩阵与平面向量 (1)矩阵的概念在数学中，把形如⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 315，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 3 42 0 －1这样的矩形数字(或字母)阵列称为矩阵，其中，同一横排中按原来次序排列的一行数(或字母)叫做矩阵的行，同一竖排中按原来次序排列的一列数(或字母)叫做矩阵的列，而组成矩阵的每一个数(或字母)称为矩阵的元素．(2)二阶矩阵与平面列向量的乘法①[a 11 a 12]⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21＝[a 11×b 11＋a 12×b 21]； ②⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11×x 0＋a 12×y 0a 21×x 0＋a 22×y 0. 2．几种常见的平面变换(1)当M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1时，则对应的变换是恒等变换．(2) 由矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k001或M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 k (k >0)确定的变换T M 称为(垂直)伸压变换．(3)反射变换是轴对称变换、中心对称变换的总称．(4)当M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θ －sin θsin θ cos θ时，对应的变换叫旋转变换，即把平面图形(或点)逆时针旋转θ角度．(5) 将一个平面图投影到某条直线(或某个点)的变换称为投影变换． (6) 由矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 k 0 1或M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0k 1确定的变换称为切变变换．3．矩阵的乘法一般地，对于矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11 b 12b 21 b 22，规定乘法法则如下：MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11 b 12b 21 b 22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11b 11＋a 12b 21 a 11b 12＋a 12b 22a 21b 11＋a 22b 21 a 21b 12＋a 22b 22. 4．矩阵乘法的几何意义(1)变换的复合：在数学中，一一对应的平面几何变换常可以看做是伸压、反射、旋转、切变变换的一次或多次复合，而伸压、反射、切变等变换通常叫做初等变换；对应的矩阵叫做初等变换矩阵．(2)矩阵乘法MN 的几何意义为：对向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 连续实施的两次几何变换(先T N 后T M )的复合变换．(3)当连续对向量实施n ·(n ＞1且n ∈N *)次变换T M 时，对应地我们记M n ＝M ·M ·…·M . 5．矩阵乘法的运算性质 (1)矩阵乘法不满足交换律对于二阶矩阵A ，B 来说，尽管AB ，BA 均有意义，但可能AB ≠BA . (2)矩阵乘法满足结合律设A ，B ，C 为二阶矩阵，则一定有(AB )C ＝A (BC )． (3)矩阵乘法不满足消去律．设A ，B ，C 为二阶矩阵，当AB ＝AC 时，可能B ≠C . [小题体验]1．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 82 3，矩阵B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1x y 3.若A ＝B ，则x ＋y ＝________.解析：因为A ＝B ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝2，所以x ＋y ＝10.答案：102．已知变换⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋3y x ＋y ，则它所对应的变换矩阵为________．解析：将它写成矩阵的乘法形式⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 31 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，所以它所对应的变换矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 31 1. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 3111．矩阵的乘法对应着变换的复合，而两个变换的复合仍是一个变换，且两个变换的复合过程是有序的，易颠倒．2．矩阵乘法不满足交换律和消去律，但满足结合律． [小题纠偏]1．设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 2k 7，若AB ＝BA ，则实数k 的值为________．解析：AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 2k 7＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 4＋2k 1612＋4k 34， BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 2k 7⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 10 16k ＋21 2k ＋28，因为AB ＝BA ，故k ＝3. 答案：3 2．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 01，C ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1，计算AB ，AC . 解：AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 0，AC ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 0.考点一 二阶矩阵的运算(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 1212 12，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 1－1 －1，计算A 2，B 2.解：A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 1212 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 1212 12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 1212 12.B 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 1－1 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 1－1 －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 00 0.2．(2014·江苏高考)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－121 x，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 －1，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y ，x ，y 为实数．若Aα＝Bα，求x ＋y 的值．解：由已知，得Aα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 21 x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2＋2y 2＋xy ，Bα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2＋y 4－y .因为Aα＝Bα，所以⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2＋2y 2＋xy ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2＋y 4－y ， 故⎩⎪⎨⎪⎧－2＋2y ＝2＋y ，2＋xy ＝4－y .解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝4.所以x ＋y ＝72.3．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 012，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4 3 4 －2且α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，试判断(AB )α与A (Bα)的关系．解：因为AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－4 3 4 －2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－4 3 4 －1， 所以(AB )α＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－4 3 4 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤34＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤08，因为Bα＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－4 3 4 －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤34＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤04， A (Bα)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤04＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤08. 所以(AB )α＝A (Bα)．[谨记通法]1．矩阵的乘法规则两矩阵M ，N 的乘积C ＝MN 是这样一个矩阵； (1)C 的行数与M 的相同，列数与N 的相同；(2)C 的第i 行第j 列的元素C ij 由M 的第i 行与N 的第j 列元素对应相乘求和得到． [提醒] 只有M 的行数与N 的列数相同时，才可以求MN ，否则无意义． 2．矩阵的运算律 (1)结合律(AB )C ＝A (BC )；(2)分配律A (B ±C )＝AB ±AC ，(B ±C )A ＝BA ±CA ； (3)λ(AB )＝(λA )B ＝A (λB )．考点二 平面变换的应用(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]已知曲线C ：xy ＝1，若矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22 －22 22 22对应的变换将曲线C 变为曲线C ′，求曲线C ′的方程．解：设曲线C 上一点(x ′，y ′)对应于曲线C ′上一点(x ，y )，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤22 －222222⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 所以22x ′－22y ′＝x ，22x ′＋22y ′＝y .所以x ′＝x ＋y 2，y ′＝y －x 2，所以x ′y ′＝x ＋y 2×y －x 2＝1， 所以曲线C ′的方程为y 2－x 2＝2.[由题悟法]利用平面变换解决问题的类型及方法：(1)已知曲线C 与变换矩阵，求曲线C 在变换矩阵对应的变换作用下得到的曲线C ′的表达式，常先转化为点的对应变换再用代入法(相关点法)求解．(2)已知曲线C ′是曲线C 在平面变换作用下得到的，求与平面变换对应的变换矩阵，常根据变换前后曲线方程的特点设出变换矩阵，构建方程(组)求解．[即时应用]已知圆C ：x 2＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00b (a >0，b >0)对应的变换作用下变为椭圆x 29＋y 24＝1，求a ，b 的值．解：设P (x ，y )为圆C 上的任意一点，在矩阵A 对应的变换下变为另一个点P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax ，y ′＝by .又因为点P ′(x ′，y ′)在椭圆x 29＋y 24＝1上，所以a 2x 29＋b 2y 24＝1.由已知条件可知，x 2＋y 2＝1，所以a 2＝9，b 2＝4. 因为a >0，b >0，所以a ＝3，b ＝2.考点三 变换的复合与矩阵的乘法(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0,0)，B (－2,0)，C (－2,1)．设k 为非零实数，矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 001，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤011 0，点A ，B ，C 在矩阵MN 对应的变换下得到点分别为A 1，B 1，C 1，△A 1B 1C 1的面积是△ABC 面积的2倍，求k 的值．解：由题设得MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 00 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 k 1 0， 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 k 1 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 k 1 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 k 1 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ k－2，可知A 1(0,0)，B 1(0，－2)，C 1(k ，－2)． 计算得△ABC 的面积是1，△A 1B 1C 1的面积是|k |， 则由题设知：|k |＝2×1＝2. 所以k 的值为2或－2.[由题悟法]矩阵的乘法对应着变换的复合，而两个变换的复合仍是一个变换，且两个变换的复合过程是有序的，不能颠倒．二阶矩阵的运算关键是记熟运算法则．[即时应用]已知圆C ：x 2＋y 2＝1，先将圆C 作关于矩阵P ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002的伸压变换，再将所得图形绕原点逆时针旋转90°，求所得曲线的方程．解：绕原点逆时针旋转90°的变换矩阵Q ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，则M ＝QP ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0.设A (x 0，y 0)为圆C 上的任意一点，在T M 变换下变为另一点A ′(x 0′，y 0′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0′y 0′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0′＝－2y 0，y 0′＝x 0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y 0′，y 0＝－x 0′2.又因为点A (x 0，y 0)在曲线x 2＋y 2＝1上，所以(y 0′)2＋⎝⎛⎫－x 0′22＝1. 故所得曲线的方程为x 24＋y 2＝1.1．设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤110，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 0 0 12，求MN .解：MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 0 012＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 12 1 0.2．(2016·南京三模)已知曲线C ：x 2＋2xy ＋2y 2＝1，矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1210所对应的变换T 把曲线C 变成曲线C 1，求曲线C 1的方程．解：设曲线C 上的任意一点P (x ，y )，P 在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 21 0对应的变换下得到点Q (x ′，y ′)．则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 21 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝x ′，x ＝y ′， 所以x ＝y ′，y ＝x ′－y ′2.代入x 2＋2xy ＋2y 2＝1，得y ′2＋2y ′·x ′－y ′2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′－y ′22＝1，即x ′2＋y ′2＝2， 所以曲线C 1的方程为x 2＋y 2＝2.3．(2016·南通、扬州、泰州、淮安三调)在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋y －2＝0在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a 12对应的变换作用下得到直线x ＋y －b ＝0(a ，b ∈R)，求a ＋b 的值．解：设P (x ，y )是直线x ＋y －2＝0上任意一点，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a 1 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ＋ay x ＋2y ，得(x ＋ay )＋(x ＋2y )－b ＝0，即x ＋a ＋22y －b 2＝0. 由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋22＝1，－b 2＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝4，所以a ＋b ＝4.4．已知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －22 3，W ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－3 1，试求满足MZ ＝W 的二阶矩阵Z .解：设Z ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ， 则MZ ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －22 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a －2c b －2d 2a ＋3c 2b ＋3d . 又因为MZ ＝W ，且W ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －1－3 1， 所以⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a －2c b －2d 2a ＋3c 2b ＋3d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2 －1－3 1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －2c ＝2，b －2d ＝－1，2a ＋3c ＝－3，2b ＋3d ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－17，c ＝－1，d ＝37.故Z ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －17－137. 5．(2016·苏锡常镇一调)设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 0 0 1，试求曲线y ＝sin x 在矩阵MN 变换下得到的曲线方程．解：由题意得MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 0 0 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 0 0 2. 设曲线y ＝sin x 上任意一点P (x ，y )在矩阵MN 变换下得到点P ′(x ′，y ′)， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 0 0 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝12x ，y ′＝2y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝12y ′.因为y ＝sin x ，所以12y ′＝sin 2x ′，即y ′＝2sin 2x ′.因此所求的曲线方程为y ＝2sin 2x .6．(2017·苏锡常镇调研)已知变换T 把平面上的点(3，－4)，(5,0)分别变换成(2，－1)，(－1,2)，试求变换T 对应的矩阵M .解：设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，由题意，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤50＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a －4b ＝2，3c －4d ＝－1，5a ＝－1，5c ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝－1320，c ＝25，d ＝1120.即M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15 －1320251120. 7．(2016·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调)在平面直角坐标系xOy 中，设点A (－1,2)在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 01对应的变换作用下得到点A ′，将点B (3,4)绕点A ′逆时针旋转90°得到点B ′，求点B ′的坐标．解：设B ′(x ，y )，依题意，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，得A ′(1,2)．则A ′B ―→＝(2,2)，A ′B ―→＝(x －1，y －2)．记旋转矩阵N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x －1y －2，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x －1y －2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4，所以点B ′的坐标为(－1,4)． 8．已知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－1 1，求曲线2x 2－2xy ＋1＝0在矩阵MN 对应的变换作用下得到的曲线方程．解：MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－1 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－2 2， 设P (x ′，y ′)是曲线2x 2－2xy ＋1＝0上任意一点，点P 在矩阵MN 对应的变换下变为点P ′(x ，y )，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－2 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ x ′－2x ′＋2y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′，y ＝－2x ′＋2y ′， 于是⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝x ＋y 2.代入2x 2－2xy ＋1＝0得xy ＝1，所以曲线2x 2－2xy ＋1＝0在MN 对应的变换作用下得到的曲线方程为xy ＝1.第二节逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量1．逆变换与逆矩阵(1)对于二阶矩阵A ，B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵． (2)若二阶矩阵A ，B 均存在逆矩阵，则AB 也存在逆矩阵，且(AB )－1＝B －1A －1.(3)利用行列式解二元一次方程组． 2．逆矩阵的求法一般地，对于二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，当ad －bc ≠0时，矩阵A 可逆，且它的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ d ad －bc －b ad －bc －c ad －bc a ad －bc .3.特征值与特征向量的定义设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的属于特征值λ的一个特征向量．4．特征多项式的定义设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 是一个二阶矩阵，λ∈R ，我们把行列式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝λ2－(a ＋d )λ＋ad －bc 称为A 的特征多项式．5．特征值与特征向量的计算设λ是二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 的特征值，α为λ的特征向量，求λ与α的步骤为：第一步：令矩阵A 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝λ2－(a ＋d )λ＋ad －bc ＝0，求出λ的值．第二步：将λ的值代入二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧(λ－a )x －by ＝0，－cx ＋(λ－d )y ＝0，得到一组非零解⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，于是非零向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0即为矩阵A 的属于特征值λ的一个特征向量．6．A n α(n ∈N *)的简单表示 (1)设二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，α是矩阵A 的属于特征值λ的任意一个特征向量，则A n α＝λn α(n ∈N *)．(2)设λ1，λ2是二阶矩阵A 的两个不同特征值，α，β是矩阵A 的分别属于特征值λ1，λ2的特征向量，对于平面上任意一个非零向量γ，设γ＝t 1α＋t 2β(其中t 1，t 2为实数)，则A n γ＝t 1λn 1α＋t 2λn 2β(n ∈N *)．[小题体验]1．矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 6－2 －6 的特征值为__________．解析：矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －6 2 λ＋6＝(λ＋2)(λ＋3)，令f (λ)＝0，得M 的特征值为λ1＝－2，λ2＝－3.答案：－2或－3 2．设⎣⎢⎡⎦⎥⎤23是矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 23 2的一个特征向量，则实数a 的值为________．解析：设⎣⎢⎡⎦⎥⎤23是矩阵M 属于特征值λ的一个特征向量，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 23 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，故⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋6＝2λ，12＝3λ解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝4，a ＝1.答案：11．不是每个二阶矩阵都可逆，只有当⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd 中ad －bc ≠0时，才可逆，如当A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0，因为1×0－0×0＝0，找不到二阶矩阵B ，使得BA ＝AB ＝E 成立，故A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0不可逆． 2．如果向量α是属于λ的特征向量，将它乘非零实数t 后所得的新向量tα与向量α共线，故tα也是属于λ的特征向量，因此，一个特征值对应多个特征向量，显然，只要有了特征值的一个特征向量，就可以表示出属于这个特征值的共线的所有特征向量了．[小题纠偏] 1．矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 356的逆矩阵为____________． 解析：法一：设矩阵A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 35 6⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1， 即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2x ＋3z 2y ＋3w 5x ＋6z 5y ＋6w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3z ＝1，2y ＋3w ＝0，5x ＋6z ＝0，5y ＋6w ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，z ＝53，w ＝－23.故所求的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2153－23. 法二：注意到2×6－3×5＝－3≠0， 故A 存在逆矩阵A －1，且A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤6－3 －3－3－5－32－3＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 1 53 －23.答案：⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 1 53－23 2．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2a －4的一个特征值为λ，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－3是矩阵A 的属于λ的一个特征向量，则a ＋λ＝_____.解析：因为Aα＝λα，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2a －4⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－3＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－3，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2－6＝2λ，2a ＋12＝－3λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，λ＝－2，所以a ＋λ＝－3－2＝－5. 答案：－5考点一 求逆矩阵与逆变换(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6，求矩阵A －1B . 解：设矩阵A 的逆矩阵为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12.所以矩阵A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12. 所以A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 －2 0 3.[由题悟法]求一个矩阵A 的逆矩阵或证明一个矩阵不可逆时，常用两种解法．法一：待定矩阵法：先设出其逆矩阵，根据逆矩阵的定义AB ＝BA ＝E ，应用矩阵相等的定义列方程组求解，若方程组有解，即可求出其逆矩阵，若方程组无解，则说明此矩阵不可逆，此种方法称为待定矩阵法．法二：利用逆矩阵公式，对矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ：①若ad －bc ＝0，则A 的逆矩阵不存在．②若ad －bc ≠0，则A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ d ad －bc －b ad －bc －c ad －bc a ad －bc .[即时应用]已知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 0012，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 1，求矩阵AB 的逆矩阵．解：法一：因为A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 0012，且1×12－0＝12≠0，所以A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1212 －012－012 112＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2， 同理B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1. 因此(AB )－1＝B －1A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 2.法二：因为A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 1，所以AB ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 10 12，且1×12－0×1＝12≠0，所以(AB )－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1212 －112012 112＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 2.考点二 特征值与特征向量的计算及应用(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 21，其中a ∈R ，若点P (1，－2)在矩阵M 的变换下得到点P ′(－4,0)． (1)求实数a 的值；(2)求矩阵M 的特征值及其对应的特征向量． 解：(1)由⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 a 2 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4 0，得2－2a ＝－4⇒a ＝3.(2)由(1)知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 32 1，则矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －3 －2 λ－1＝(λ－2)(λ－1)－6＝λ2－3λ－4.令f (λ)＝0，得矩阵M 的特征值为－1与4.把λ＝－1代入二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧(λ－2)x －3y ＝0，－2x ＋(λ－1)y ＝0，得x ＋y ＝0，所以矩阵M 的属于特征值－1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1；把λ＝4代入二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧(λ－2)x －3y ＝0，－2x ＋(λ－1)y ＝0，得2x －3y ＝0.所以矩阵M 的属于特征值4的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32.[由题悟法](1)求矩阵A 的特征值与特征向量的一般思路为：先确定其特征多项式f (λ)，再由f (λ)＝0求出该矩阵的特征值，然后把特征值代入矩阵A 所确定的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧(λ－a )x －by ＝0，－cx ＋(λ－d )y ＝0，即可求出特征向量． (2)根据矩阵A 的特征值与特征向量求矩阵A 的一般思路：设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，根据Aα＝λα构建a ，b ，c ，d 的方程求解．[即时应用]1．(2015·江苏高考)已知x ，y ∈R ，向量a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1是矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x1y 0的属于特征值 －2的一个特征向量，求矩阵A 以及它的另一个特征值．解：由已知，得Aa ＝－2a ， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1 y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2，则⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝－2，y ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2， 所以矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 2 0.从而矩阵A 的特征多项式f (λ)＝(λ＋2)(λ－1)， 所以矩阵A 的另一个特征值为1.2．已知二阶矩阵M 有特征值λ＝3及对应的一个特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1,2)变换成(9,15)，求矩阵M .解：设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，c ＋d ＝3. 又⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 915，故⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2b ＝9，－c ＋2d ＝15.联立以上两方程组解得a ＝－1，b ＝4，c ＝－3，d ＝6，故M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 4－3 6. 考点三 根据A ，α计算A n α(n ∈N *)(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]给定的矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－14，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32.(1)求A 的特征值λ1，λ2及对应的特征向量α1，α2；(2)求A 4B .解：(1)设A 的一个特征值为λ，由题意知：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －21 λ－4＝0，即(λ－2)(λ－3)＝0，所以λ1＝2，λ2＝3.当λ1＝2时，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－1 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得A 属于特征值2的特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21；当λ2＝3时，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－1 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得A 属于特征值3的特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11. (2)由于B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝α1＋α2，故A 4B ＝A 4(α1＋α2)＝24α1＋34α2＝16α1＋81α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3216＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤8181＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤113 97. [由题悟法]已知矩阵A 和向量α，求A n α(n ∈N *)，其步骤为： (1)求出矩阵A 的特征值λ1，λ2和对应的特征向量α1，α2. (2)把α用特征向量的组合来表示：α＝sα1＋tα2.(3)应用A n α＝sλn 1α1＋tλn2α2表示A n α.[即时应用]已知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1221，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤17，计算M 5β.解：矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2－2 λ－1＝λ2－2λ－3. 令f (λ)＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，令⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 22 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝3x ，2x ＋y ＝3y ， 从而求得λ1＝3的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，同理得对应λ2＝－1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.令β＝mα1＋nα2，则m ＝4，n ＝－3. M 5β＝M 5(4α1－3α2)＝4(M 5α1)－3(M5α2)＝4(λ51α1)－3(λ52α2)＝4×35⎣⎢⎡⎦⎥⎤11－3×(－1)5⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤975969.1．(2016·无锡期末)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤120 1，若矩阵AB －1对应的变换把直线l变为直线l ′：x ＋y －2＝0，求直线l 的方程．解：由题意得B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1，所以AB －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 2， 设直线l 上任意一点(x ，y )在矩阵AB －1对应的变换下为点(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －2y ，y ′＝2y ，将x ′，y ′代入l ′的方程，得(x －2y )＋2y －2＝0，化简后得l ：x ＝2.2．(2016·江苏高考)已知矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤10 2－2，矩阵B 的逆矩阵B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －120 2，求矩阵AB .解：设B ＝⎣⎡⎦⎤a cb d ，则B －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －120 2⎣⎡⎦⎤a c bd ＝⎣⎡⎦⎤10 01， 即错误!＝错误!，故⎩⎪⎨⎪⎧a －12c ＝1，b －12d ＝0，2c ＝0，2d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝14，c ＝0，d ＝12，所以B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 1412. 因此，AB ＝⎣⎡⎦⎤102－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 14012＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1540 －1. 3．(2016·南京、盐城、连云港、徐州二模)已知a ，b 是实数，如果矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 a b －2所对应的变换T 把点(2,3)变成(3,4)．(1)求a ，b 的值；(2)若矩阵A 的逆矩阵为B ，求B 2.解：(1)由题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 a b －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，所以6＋3a ＝3,2b －6＝4， 所以a ＝－1，b ＝5.(2)由(1)得A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3 －15 －2. 由矩阵的逆矩阵公式得B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －15 －3. 所以B 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －15 －3⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －15 －3＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 1－5 4. 4．(2016·常州期末)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 24 b 的属于特征值8的一个特征向量是e ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，点P (－1,2)在M 对应的变换作用下得到点Q ，求Q 的坐标．解：由题意知⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 24 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝8×⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，故⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2＝8，4＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝4，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 24 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 4，所以点Q 的坐标为(－2,4)． 5．(2016·苏州暑假测试)求矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14 26的特征值和特征向量．解：特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ＋1 －4 －2 λ－6＝(λ＋1)(λ－6)－8＝λ2－5λ－14＝(λ－7)(λ＋2)， 由f (λ)＝0，解得λ1＝7，λ2＝－2.将λ1＝7代入特征方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧8x －4y ＝0，－2x ＋y ＝0，即y ＝2x ，可取⎣⎢⎡⎦⎥⎤12为属于特征值λ1＝7的一个特征向量．同理，λ2＝－2时，特征方程组是⎩⎪⎨⎪⎧－x －4y ＝0，－2x －8y ＝0，即x ＝－4y ，所以可取⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－1为属于特征值λ2＝－2的一个特征向量．综上所述，矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 4 2 6有两个特征值λ1＝7，λ2＝－2.属于λ1＝7的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，属于λ2＝－2的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4－1.6．矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 652有属于特征值λ1＝8的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤65，及属于特征值λ2＝－3的一个特征向量e 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1.对向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，计算M 3α.解：令α＝me 1＋ne 2，将具体数据代入，有m ＝1，n ＝－3，所以α＝e 1－3e 2.所以M 3α＝M 3(e 1－3e 2)＝M 3e 1－3M3e 2＝λ31e 1－3λ32e 2＝83⎣⎢⎡⎦⎥⎤65－3×(－3)3⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 1532 479. 7．(2016·泰州期末)已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 2 52 x 的一个特征值为－2，求M 2. 解：把λ＝－2代入⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ＋1 －2－52 λ－x ＝λ2－(x －1)λ－(x ＋5)＝0，得x ＝3，第 21 页 共 21 页所以矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 2 52 3，所以M 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 45 14. 8．已知二阶矩阵M 有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1,2)变换成(－2,4). 求：(1) 矩阵M;(2) 矩阵M 的另一个特征值，及对应的一个特征向量e 2的坐标之间的关系；(3) 直线l ：x －y ＋1＝0在矩阵M 的作用下的直线l ′的方程．解：(1) 设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤88， 故⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝8，c ＋d ＝8.⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 4，故⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2b ＝－2，－c ＋2d ＝4. 联立以上两方程组，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝6，b ＝2，c ＝4，d ＝4，故M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 24 4. (2) 由(1)知，矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝(λ－6)(λ－4)－8＝λ2－10λ＋16，故其另一个特征值为λ＝2. 设矩阵M 的另一个特征向量是e 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 则Me 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤6x ＋2y 4x ＋4y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，解得2x ＋y ＝0. (3) 设点(x ，y )是直线l 上的任意一点，其在矩阵M 的变换下对应的点的坐标为(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 24 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即x ＝14x ′－18y ′，y ＝－14x ′＋38y ′，代入直线l 的方程后并化简，得x ′－y ′＋2＝0，即x －y ＋2＝0.。

自
堂 双
主
成绩统计表：
姓名
导 学
科目
A BCD
基 达 标
语文 82 75 92 63
数学 90 89 95 72
课 堂
英语 95 90 92 90
课
互 动
试用矩阵表示上述数据．
时 作
探 究
【解】 矩阵可以表示为
业
82 75 92 63 90 89 95 72 95 90 92 90
菜单
课 时
动 探
b＝2a＋1，
作 业
究
由此解得 a＝－1，b＝－1，c＝15，d＝－25.
菜单
课
当
前
堂
自
双
主 导
(教材第 10 页习题第 5 题)设
基 达
学
标
A＝1y 3x，B＝mx－－2ny xm＋＋yn，若 A＝B，求 x，y，m，
课 n 的值．
堂
课
互 动
(2013·苏州模拟)已知
当 堂
自
双
主 导
【提示】
不一定．两个同行同列的矩阵，只要有一个
基 达
学
标
对应位置上的元素不一样，这两个矩阵就不相等，如12
4 3
课 堂 互
≠12
－43.两个不同行(或者不同列)的矩阵一定是不相等的，
课 时
动
作
探 究
如以零矩阵为例：[0,0]和00
00，尽管两个矩阵的元素均为 0， 业
导 学
①[0 0]；②00；③aa1211；④a11 a12；
达 标
课
⑤01
10；⑥－01 ；⑦2
0；⑧10
2 3
04.

λ－a －c
λ－－db＝0.记
f(λ) ＝ λ－－caλ－－db 为 矩 阵
A＝ca
b d
的特征多项式；方程
－λ－caλ－－db＝0，即
f(λ)＝0
称为矩阵
A＝ca
b d
的特征方程．
(3)特征值与特征向量的计算 λ－a －b
如果 λ 是二阶矩阵 A 的特征值，则 λ 是特征方程 f(λ)＝－c λ－d ＝λ2－(a＋d)λ ＋ad－bc＝0 的一个根． 解这个关于 λ 的二元一次方程，得 λ＝λ1、λ2，将 λ＝λ1、λ2 分别代入方程组(*)， 分别求出它们的一个非零解
0－157＝0×15×＋5＋－01××7 7 ＝－75.
学海无涯
答案
5 －7
2．若
A＝121 2
2121，B＝－1212
－1 12，则 AB＝ 2
.
解析
1 AB＝122
21
1 2
12－12
－12
1 2
＝2112××2112＋＋2211××－－2112
12×－21＋21×12 12×－12＋12×12
【训练 1】已知变换 S 把平面上的点 A(3,0)，B(2,1)分别变换为点 A′(0,3)，B′(1，
－1)，试求变换 S 对应的矩阵 T.
解
设 T＝ba dc，则 T：03→xy′′＝ab
c d
30＝33ab＝03，解得ab＝＝01，；
学海无涯
T：12→yx′′＝ba dc12＝22ba＋＋dc＝－11，
知 识 梳理
1．矩阵的乘法规则
b11 (1)行矩阵[a11 a12]与列矩阵 的乘法规则：
b21
b11 [a11 a12] ＝[a11×b11＋a12×b21]．

阵，若存在，请把它求出来；若不存在，请说明理由．
课 堂 互 动
1 (1)A＝0
120；(2)B＝10
－12；
课 时 作
探
业
究
1 1
(3)C＝21 21；(4)D＝01 －01.
2 2
菜单
课 前
【思路探究】 矩阵→对应的几何变换→
当 堂
自
双
主 导
判断是否存在逆变换→若存在写出逆变换→逆矩阵
基 达
学
标
【自主解答】 (1)矩阵 A 对应的是伸压变换，它将平面
内点的横坐标保持不变，纵坐标沿 y 轴方向压缩为原来的12，
课
堂 因此，它存在逆变换：将平面内的点的横坐标保持不变，纵 课
互
时
动 坐标沿 y 轴方向伸长为原来的 2 倍，所对应的变换矩阵记为
堂
课
互
(1)注意到 1×3－2×1＝1≠0，故 A 存在逆矩阵 A－1，且 时
动
作
探 究
3 A－1＝－121
－111＝－32 1
－11.
业
菜单
课 前
当
(2)注意到 2×5－4×3＝－2≠0，故 B 存在逆矩阵 B－1， 堂
自
双
主且
导
基 达
学
5 －3
标
课
B－1＝－ －24 －2
的，B 称为 A 的逆矩阵，记作：A－1＝B.
菜单
课
当
前
3．逆矩阵的性质
自
堂 双
主 导
基
(1)若二阶矩阵 A 存在逆矩阵 B，则逆矩阵是惟一的． 达
学
标
(2)若二阶矩阵 A，B 均存在逆矩阵，则 AB 也存在逆矩

探
究
【思路探究】 解与密码等有关问题的关键是明确加密
与解密过程的实质就是矩阵的乘法．
菜单
课
前
【自主解答】 由题意知
自
主
导 学
6 BA＝514
5
－－2585－12
24＝26
48，
课 时 作 业
课 堂 互 动 探 究
∴(BA)－1＝－ 34 1－1214.
动
探 究
个箱子，从中取出 1 件为一等品的概率是多少？
【思路探究】 找到基本量之间的关系，将其转化成矩
阵问题．
菜单
课
前
自 主
【自主解答】 设取出一等品的可能性为 X，取出二等
导
学 品的可能性为 Y，
课
时
1
作 业
课 堂
则取出一个箱子的概率可表示为 M＝21
A B
，
互 动
2
探
究
菜单
菜单
课
(3)第 n 年时，兔子数量用 Rn 表示，狐狸数量用 Fn 表示；
前 自
(4)初始时刻(即第 0 年)，兔子数量 R0＝100 只，狐狸数
主
导 量 F0＝30 只．
学
请用所学知识解决以下问题：
课 时
作
(1)列出兔子与狐狸的生态模型(即 Rn，Fn 的关系式)；
业
课
(2)求 Rn，Fn 关于 n 的关系式；
探
究
菜单
课
前
自
主
导
(教材第 81 页习题 2.6 第 3 题)写出如图所示
学 课
的网络表示的一级路矩阵(图(2)的圆圈表示自己到自己有 1 时 作
业
条线路)．

四、简单应用
1.设矩阵A=，求点P(2,2)在A所对应的线性变换下的象。
练习：P13 1.2.3.4.5
【第一讲.作业】
1.关于x轴的反射变换对应的二阶矩阵是
2.在直角坐标系下，将每个点绕原点逆时针旋转120o的旋转变换对应的二阶矩阵是
3.如果一种旋转变换对应的矩阵为二阶单位矩阵，则该旋转变换是
4.平面内的一种线性变换使抛物线的焦点变为直线y=x上的点，则该线性变换对应的二阶矩阵可以是
5.平面上一点A先作关于x轴的反射变换，得到点A1,在把A1绕原点逆时针旋转180o，得到点A2，若存在一种反射变换同样可以使A变为A2，则该反射变换对应的二阶矩阵是
6.P（1，2）经过平行于y轴的切变变换后变为点P1(1,-5)，则该切变变换对应的坐标公式为
7. 设，，且A=B.则x＝
8.在平面直角坐标系中，关于直线y=-x的正投影变换对应的矩阵为
9.在矩阵对应的线性变换作用下，点P(2,1)的像的坐标为
12. 13. 14.y=-2x(－2≤x≤2)、y=0(－2≤x≤2)、 15. ＝
第三讲 矩阵乘法的性质·逆变换、逆矩阵
二、矩阵乘法的性质
1.设Ａ＝，Ｂ＝，Ｃ＝由A、B、C研究矩阵是否满足，①结合律；②交换律；③消去律。
结论：
2.由结合律研究矩阵Ａ的乘方运算。
3.单位矩阵的性
第二讲 线性变换的性质·复合变换与二阶矩阵的乘法
一、数乘平面向量与平面向量的加法运算
1.数乘平面向量：设，是任意一个实数，则
2.平面向量的加法：设，，则
性质1：设A是一个二阶矩阵，是平面上的任意两个向量，是任意一个实数，则①数乘结合律：；②分配律：

二、同步听课法
有些同学在听课的过程中常碰到这样的问题，比如老师讲到一道很难的题目时，同学们听课的思路就“卡壳“了，无法再跟上老师的思路。这时候该怎么办呢？
如果“卡壳”的内容是老师讲的某一句话或某一个具体问题，同学们应马上举手提问，争取让老师解释得在透彻些、明白些。
如果“卡壳”的内容是公式、定理、定律，而接下去就要用它去解决问题，这种情况下大家应当先承认老师给出的结论（公式或定律）并非继续听下去，先把问题记 下来，到课后再慢慢弄懂它。
13 119 －11119.
法二 ∵A＝－41 53，∴det(A)＝－41 53＝12＋5＝17，
3 A－1＝117
17
－1547； 17
又∵B＝－13
21，∴det(B)＝－13
21＝－1－6＝－7.∴B－1＝－173
【解】
法一
∵AB＝－41
5－1 3 3
2 1
＝（（－－1）1）××（4－＋15）×＋33×32×（4＋－51×）1×2＋3×1
＝1110 113，
∴det(AB)＝1110 113＝11－130＝－119.
∴(AB)－1＝－111109 119
＝－111109 119
13 119 －11119.
二、二元一次方程组的解的情况的判定及求解方法 1.二元一次方程组的解的情况的判定. 常用两种方法：法一：利用 det(A)与 0 的大小情况判定. 法二：从几何变换的角度判定. 2.二元一次方程组的求解常用两种方法：
(1)用行列式法求解 记 D＝ac db，Dx＝mn db，Dy＝ac nm， 于是方程组的解为x＝DDx，
利用矩阵求逆公式得12 13－1＝－32 －1 1.
所以原方程组的解为xy＝－32

第 1 页共 21 页选修 4－ 2矩阵与变换第一节平面变换、变换的复合与矩阵的乘法1．二阶矩阵与平面向量(1) 矩阵的概念在数学中，把形如123134，1，20这样的矩形数字 (或字母 )阵列称为矩阵，其35－ 1中，同一横排中按原来次序排列的一行数(或字母 )叫做矩阵的行，同一竖排中按原来次序排列的一列数 (或字母 )叫做矩阵的列，而组成矩阵的每一个数(或字母 )称为矩阵的元素．(2)二阶矩阵与平面列向量的乘法① [a 11a12 ]b11＝ [ a11×b11＋ a 12×b 21 ] ；b21②a11a12x0＝a11× x0＋ a12× y0.a21a22 y0a21× x0＋ a22× y02．几种常见的平面变换10(1) 当 M ＝时，则对应的变换是恒等变换．01(2)k010由矩阵 M ＝或 M ＝(k>0) 确定的变换 T M称为 (垂直 )伸压变换．01k(3)反射变换是轴对称变换、中心对称变换的总称．cos θ － sin θ(4) 当 M ＝时，对应的变换叫旋转变换，即把平面图形(或点 )逆时针旋转sin θcos θθ角度．(5)将一个平面图投影到某条直线 (或某个点 )的变换称为投影变换．1k10 (6) 由矩阵 M ＝或 M ＝k 确定的变换称为切变变换．011 3．矩阵的乘法一般地，对于矩阵a11a12b11b12M ＝a22， N＝，规定乘法法则如下：a21b21b2211 12 11 12a bbb ba ab b11 11＋ a 12 21a 11 12＋ a 12 22MN ＝a 22b 21＝a 21b 11＋ a 22b 21.a 21 b22a 21b 12＋ a 22b 224．矩 乘法的几何意(1) 的复合：在数学中，一一 的平面几何 常可以看做是伸 、反射、旋 、切 的一次或多次复合，而伸 、反射、切 等 通常叫做初等 ； 的矩 叫做初等 矩 ．(2)MN 的几何意 ： 向量x 矩 乘法α＝ 施的两次几何 (先 T N 后 T M )y的复合 ．·(3) 当 向量 施 n ( n ＞ 1 且 n ∈ N * )次 T M ， 地我M n ＝ M ·M ·⋯ ·M .5．矩 乘法的运算性(1) 矩 乘法不 足交 律于二 矩A ，B 来 ，尽管 AB ， BA 均有意 ，但可能 AB ≠BA .(2) 矩 乘法 足 合律A ，B ，C 二 矩 ， 一定有(AB)C ＝ A(BC)．(3) 矩 乘法不 足消去律．A ，B ，C 二 矩 ，当 AB ＝ AC ，可能 B ≠C. [ 小 体 ]1 8 1 x1．已知矩 A ＝3，矩 B ＝.若 A ＝B ， x ＋ y ＝ ________.2y 3解析： 因 A ＝ B ，x ＝ 8， ＋ ＝10.所以y ＝ 2，x y答案： 102．已知x x ′2x ＋ 3y ， 它所 的 矩 ________．y→＝y ′x ＋ yxx ′ 2 3 x解析： 将它写成矩 的乘法形式→′ ＝1 ，所以它所 的 矩y1yy2 3 1 .12 3答案：111．矩 的乘法 着 的复合，而两个 的复合仍是一个 ，且两个 的复合 程是有序的，易 倒．2．矩阵乘法不满足交换律和消去律，但满足结合律．[ 小题纠偏 ]1 2 ， B ＝4 2 1．设 A ＝4k ，若 AB ＝ BA ，则实数 k 的值为 ________．37解析： AB ＝1 24 2 ＝4＋ 2k163 4k 7，12＋ 4k 3442 1 21016BA ＝ k7 34 ＝ ＋＋ 28，k 21 2k 因为 AB ＝ BA ，故 k ＝ 3.答案： 32．已知 A ＝1 0 ， B ＝－ 1 0－ 1 00 0 0 1， C ＝，计算 AB ， AC.0 － 1解： AB ＝1 0 － 1 0－ 1 00 1 ＝，1 0 － 10 － 1 0 . AC ＝0 0－ 1＝ 0 0 0考点一二阶矩阵的运算 基础送分型考点 —— 自主练透[ 题组练透 ]1 11 11．已知 A ＝2 2，计算 A 2， B 2.1 ， B ＝ － 1－ 1 1221 1 11 1 1 解： A 2＝2 2 2 2 2 2 . 1 1 1 ＝1 1 12 2222 21111B 2＝－ 1 － 1 － 1 ＝.－ 12．(2014 江·苏高考 )已知矩阵 A ＝－ 1 211 21 ，B ＝，向量 α＝ ，x ，y 为实数． 若x2－ 1 yA α＝B α，求 x ＋ y 的值．解： 由已知，得 A α＝ － 12 2 ＝ － 2＋ 2y ， α＝ 11 2 ＝ 2＋ y y2 － 1 y1 x 2＋ xy4－ y第 4 页共 21 页因为 A α＝ B α，所以 － 2＋ 2y2＋ y＝，2＋ xy 4－ y－ 2＋ 2y ＝ 2＋ y ，故2＋ xy ＝4－ y.x ＝－ 12，所以 x ＋ y ＝ 7 解得2.y ＝ 4.3．已知矩阵 A ＝1 0 － 4 3 31 ， B ＝ 4 － 2且 α＝ ，试判断 (AB)α与 A(B α)的关系．2 4解： 因为 AB ＝1 0－ 43 －4 31 2＝ ，4 － 2 4 － 1－ 43 3所以 (AB)α＝－ 1 4＝ ，48 因为 B α＝－433 ＝0 ，4 － 2441 0 0 0A(B α)＝24＝. 18所以 (AB)α＝ A(B α)．[ 谨记通法 ]1．矩阵的乘法规则两矩阵 M ， N 的乘积 C ＝ MN 是这样一个矩阵；(1) C 的行数与 M 的相同，列数与 N 的相同；(2) C 的第 i 行第 j 列的元素C ij 由 M 的第 i 行与 N 的第 j 列元素对应相乘求和得到． [ 提醒 ] 只有 M 的行数与 N 的列数相同时，才可以求MN ，否则无意义．2．矩阵的运算律(1) 结合律 (AB)C ＝ A(BC)；(2) 分配律 A(B ±C)＝ AB ±AC ， (B ±C)A ＝ BA ±CA ；(3) λ(AB)＝ (λA )B ＝ A( λB )．考点二平面变换的应用重点保分型考点 —— 师生共研[ 典例引领 ]2 － 2 2 2已知曲线 C ：xy ＝ 1，若矩阵 M ＝对应的变换将曲线C 变为曲线 C ′，求2 222曲线 C ′的方程．解： 设曲线 C 上一点 (x ′ ， y ′ )对应于曲线 C ′ 上一点 (x ，y)，2 － 222x ′x所以＝y，22 ′y222 222′＝所以x ＋ y y － x所以 ′ － ′ ＝ ， ′ ＋′ ＝ ，y ′ ＝ ，所以 x ′ y ′＝2 x2 yx2x2 yy.x22x ＋ y y － x ＝ 1，×2 2所以曲线 C ′ 的方程为 y 2－ x 2＝ 2.[ 由题悟法 ]利用平面变换解决问题的类型及方法：(1) 已知曲线 C 与变换矩阵，求曲线C 在变换矩阵对应的变换作用下得到的曲线C ′的表达式，常先转化为点的对应变换再用代入法(相关点法 )求解．(2) 已知曲线 C ′是曲线 C 在平面变换作用下得到的，求与平面变换对应的变换矩阵， 常根据变换前后曲线方程的特点设出变换矩阵，构建方程(组 )求解．[ 即时应用 ]a 022x ＋ y已知圆 C ：x 2＋ y 2＝ 1 在矩阵 A ＝(a>0，b>0) 对应的变换作用下变为椭圆＝0 b9 41，求 a ， b 的值．解：设 P(x ，y)为圆 C 上的任意一点， 在矩阵 A 对应的变换下变为另一个点 P ′ (x ′ ，y ′ )，x ′ a 0x x ′＝ ax ， 则 ＝，即y ′0 byy ′ ＝ by.2 2 2222xya xb y又因为点 P ′ (x ′ ， y ′ )在椭圆 9 ＋ 4 ＝ 1 上，所以 9 ＋ 4 ＝ 1. 由已知条件可知，x 2＋ y 2＝1，所以 a 2 ＝ 9， b 2＝ 4.因为 a>0 ， b>0 ，所以 a ＝ 3， b ＝ 2.考点三 变换的复合与矩阵的乘法 重点保分型考点 —— 师生共研[ 典例引领 ]在平面直角坐标系xOy 中，已知点 A(0,0)，B(－ 2,0)，C(－ 2,1)．设 k 为非零实数，矩阵k 0 0 1A 1，B 1，C 1，M ＝1 ， N ＝，点 A ， B ， C 在矩阵 MN 对应的变换下得到点分别为1 0△ A 1B 1C 1 的面积是△ ABC 面积的 2 倍，求 k 的值．k 0 0 1 0 k解： 由题设得 MN ＝1 1＝，1 0 由 0k 0 0 0 k － 2，＝，＝1 00 01－ 20 k －2k，可知 A 1(0,0)，B 1(0，－ 2)， C 1(k ，－ 2)．1 0＝1－ 2计算得△ABC 的面积是1，△A 1 1 1 的面积是 |k|，B C则由题设知： |k|＝ 2× 1＝ 2.所以 k 的值为 2 或－ 2.[ 由题悟法 ]矩阵的乘法对应着变换的复合，而两个变换的复合仍是一个变换，且两个变换的复合过程是有序的，不能颠倒．二阶矩阵的运算关键是记熟运算法则．[ 即时应用 ]1 0已知圆 C ：x 2＋ y 2＝ 1，先将圆 C 作关于矩阵 P ＝的伸压变换，再将所得图形绕原0 2点逆时针旋转 90°，求所得曲线的方程．0 － 1解： 绕原点逆时针旋转 90° 的变换矩阵 Q ＝，1 0则 M ＝ QP ＝0 － 11 0 0 － 210 2＝.1设 A(x 0， y 0 为圆 C 上的任意一点，在T M 变换下变为另一点 A ′ (x 0′ ， y 0′ )，)′－x 0′ ＝－ 2y 0，2则＝，即y 0 ′ 10 y 0y 0′ ＝ x 0，x 0＝ y 0′ ，所以x 0′y 0＝－ 2 .又因为点 A(x 0， y 0) 在曲线 x 2＋ y 2＝ 1 上，2x 0′ 2所以 (y 0′ ) ＋ －＝ 1.2故所得曲线的方程为x4＋ y 2 ＝1.0 11， N ＝1 ，求 MN .1．设 M ＝00 120 11 0 0 112.解： MN ＝0 ＝1211 2 T 把曲2．(2016 南·京三模 )已知曲线 C ：x 2＋ 2xy ＋ 2y 2＝ 1，矩阵 A ＝所对应的变换1 0线 C 变成曲线 C 1，求曲线 C 1 的方程．1 2 解： 设曲线 C 上的任意一点 P(x ， y)， P 在矩阵 A ＝对应的变换下得到点 Q(x ′ ，1 0y ′ )．1 2 x x ′ x ＋ 2y ＝ x ′ ，则10 ＝， 即y′ x ＝ y ′ ，yx ′ －y ′所以 x ＝ y ′ ， y ＝ .2x ′ － y ′＋2x ′ － y ′2＝ 1，即 x ′ 2＋ y ′ 2＝ 2，代入 x 2＋ 2xy ＋2y 2＝ 1，得 y ′ 2 ＋2y ′ ·22所以曲线 C 1 的方程为 x 2＋ y 2＝ 2.3． (2016 南·通、扬州、泰州、淮安三调 )在平面直角坐标系xOy 中，直线 x ＋ y － 2＝ 0 在矩阵 A ＝1 ax ＋ y － b ＝ 0(a ， b ∈ R) ，求 a ＋ b 的值．1 对应的变换作用下得到直线2解： 设 P(x ， y)是直线 x ＋ y －2＝ 0 上任意一点，由 1a x ＝x ＋ ay ，得 (x ＋ ay)＋ (x ＋ 2y)－ b ＝ 0，即 x ＋ a ＋ 2 － b＝ 0.12 y x ＋ 2y2 y 2a ＋ 22 ＝ 1， a ＝ 0，所以 a ＋b ＝ 4.由条件得解得－b＝－ 2，b ＝ 4，2第 8 页共 21 页4．已知 M ＝1－ 22 － 12 ， W ＝－ 3，试求满足 MZ ＝ W 的二阶矩阵 Z .3 1a b解： 设 Z ＝d ，c则 MZ ＝ 1 － 2 a b a － 2cb －2d＝.23 c d 2a ＋ 3c 2b ＋3d又因为 MZ ＝ W ，且 W ＝2 － 1，－ 31a － 2cb － 2d 2 － 1所以＋ ＝ － 3 1 ， ＋3c3d2a 2ba ＝ 0，a － 2c ＝ 2，1b ＝－b － 2d ＝－ 1，7，所以解得2a ＋ 3c ＝－ 3， c ＝－ 1，2b ＋ 3d ＝ 1.d ＝ 37.0 1 － 7故 Z ＝.－ 1371 15． (2016 苏·锡常镇一调 )设矩阵 M ＝y ＝ sin x 在矩阵， N ＝ 2，试求曲线21MN 变换下得到的曲线方程．11解： 由题意得 MN ＝ 1 0 2 0＝ 20 . 0 20 1 0 2设曲线 y ＝ sin x 上任意一点 P(x ， y)在矩阵 MN 变换下得到点 P ′ (x ′， y ′ )，x ′1x则2，＝yy21x ＝ 2x ′ ， 即 x ′ ＝ 2x ，得1y ′ ＝ 2y ，y ＝2y ′ .因为 y ＝ sin x ，所以 1 ′ ＝′ ，即 ′ ＝ ′2ysin 2xy2sin 2x .因此所求的曲线方程为 y ＝ 2sin 2x.6．(2017 苏·锡常镇调研 )已知变换 T 把平面上的点 (3，－ 4)，(5,0)分别变换成 (2，－ 1)，(－1,2)，试求变换 T 对应的矩阵 M .a b a b3 2 a b 5 ＝－ 1解： 设 M ＝，由题意，得＝ ， ，c dc d－ 4 － 1 c d 0 213a － 4b ＝ 2， a ＝－ 5，13，3c － 4d ＝－ 1，b ＝－20所以解得2 5a ＝－ 1，c ＝5，5c ＝ 2.11d ＝ 20.113－5－20即 M ＝.2 11 5207．(2016 ·通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调南 )在平面直角坐标系xOy 中，设点 A(－ 1,2)－ 1 0 在矩阵 M ＝对应的变换作用下得到点 A ′，将点 B(3,4)绕点 A ′逆时针旋转90°得0 1到点 B ′，求点 B ′的坐标．解： 设 B ′(x ， y)，－ 1 0－ 11 依题意，由0 1＝，得 A ′ (1,2) ．22―→ ―→则 A ′ B ＝ (2,2) ， A ′ B ＝ (x － 1， y － 2)．0 － 1记旋转矩阵 N ＝，1 00 － 1 2x － 1 － 2x － 1 则＝，即＝，10 2－ 2－ 2y 2y 解得x ＝－ 1，y ＝ 4，所以点 B ′ 的坐标为 (－ 1,4)．1 0 1 02x 2－ 2xy ＋ 1＝ 0 在矩阵 MN 对应的变换作8．已知 M ＝， N ＝，求曲线0 2－ 1 1用下得到的曲线方程．1 0 1 01 0解： MN ＝2 － 11＝，－ 22设 P(x ′ ， y ′ )是曲线 2x 2－ 2xy ＋ 1＝ 0 上任意一点，点 P 在矩阵 MN 对应的变换下变为点 P ′ ( x ， y)，x1 0 x ′x ′则有＝2 ′＝，y－ 2－ ′ ＋ ′y2x 2yx ＝ x ′ ，即y ＝－ 2x ′ ＋ 2y ′ ，x ′ ＝x ，于是yy ′ ＝x ＋ 2.代入 2x 2－ 2xy ＋ 1＝ 0 得 xy ＝ 1，所以曲线 2x 2－ 2xy ＋ 1＝0 在 MN 对应的变换作用下得到的曲线方程为xy ＝ 1.第二节逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量1．逆变换与逆矩阵(1) 对于二阶矩阵 A ， B ，若有 AB ＝ BA ＝ E ，则称 A 是可逆的， B 称为 A 的逆矩阵．(2) 若二阶矩阵 A ，B 均存在逆矩阵，则 － 1－ 1 － 1AB 也存在逆矩阵，且 (AB) ＝ B A .(3) 利用行列式解二元一次方程组．2．逆矩阵的求法一般地，对于二阶矩阵a b － 1A ＝，当 ad － bc ≠ 0 时，矩阵 A 可逆，且它的逆矩阵 Ac dd－ b ad － bc ad － bc＝.－ c aad － bcad － bc3.特征值与特征向量的定义设 A 是一个二阶矩阵，如果对于实数 λ，存在一个非零向量 α，使得 A α＝ λα，那么 λ称为 A 的一个特征值，而α称为 A 的属于特征值 λ的一个特征向量．4．特征多项式的定义a b是一个二阶矩阵， λ∈ R ，我们把行列式f(λ)＝λ－ a － b 2设 A ＝d － c＝ λ－ (a ＋ d)λcλ－ d＋ ad － bc 称为 A 的特征多项式．5．特征值与特征向量的计算设 λ是二阶矩阵a bλ与 α的步骤为：A ＝的特征值， α为 λ的特征向量，求c d第一步：令矩阵λ－ a － b2A 的特征多项式 f(λ)＝λ－ d ＝ λ－ (a ＋ d)λ＋ ad － bc ＝ 0，求出 λ－ c的值．第二步： 将 λ的值代入二元一次方程组λ－ a x － by ＝ 0，得到一组非零解 x 0 ，于是－ cx ＋ λ－ d y ＝ 0，y非零向量 x 0即为矩阵 A 的属于特征值 λ的一个特征向量．y 06．A n α(n ∈ N * )的简单表示(1) 设二阶矩阵 A ＝a b ， α是矩阵 A 的属于特征值 λ的任意一个特征向量，则A n α＝cdn *)．λα(n ∈ N， λ是二阶矩阵 A 的两个不同特征值，α， β是矩阵 A 的分别属于特征值 λ， λ(2) 设 λ1 212的特征向量，对于平面上任意一个非零向量γ，设 γ＝ t 1 α＋ t 2β(其中 t 1， t 2 为实数 )，则 A n γ＝n n* ．1λ1α＋ t 2λ2β(n ∈ N)t[ 小题体验 ]1 61．矩阵 M ＝ － 2－ 6 的特征值为 __________ ．解析： 矩阵 M 的特征多项式为 f(λ)＝ λ－ 1 － 6λ＋2)( λ＋ 3) ，令 λ＝ ，得 M 的特(f( ) 02 λ＋ 6征值为 λ＝－1 2， λ＝－2 3.答案： － 2 或－ 32．设2 a 2 a 的值为 ________．3是矩阵 M ＝ 的一个特征向量，则实数322解析： 设是矩阵 M 属于特征值 λ的一个特征向量，3a 2 2 2则2 ＝ λ ， 33 32a ＋ 6＝2λ， λ＝ 4，故解得12＝ 3λ a ＝ 1.答案： 11．不是每个二阶矩阵都可逆， 只有当ab中 ad － bc ≠ 0 时，才可逆， 如当 A ＝10 ， c d0 01 0因为 1× 0－ 0× 0＝ 0，找不到二阶矩阵 B ，使得 BA ＝ AB ＝E 成立，故 A ＝ 不可逆．0 2．如果向量 α是属于 λ的特征向量，将它乘非零实数t 后所得的新向量t α与向量 α共线，故 t α也是属于 λ的特征向量，因此，一个特征值对应多个特征向量，显然，只要有了特征值的一个特征向量，就可以表示出属于这个特征值的共线的所有特征向量了．[ 小题纠偏 ]1．矩阵 A ＝2 35的逆矩阵为 ____________． 6x y 解析：法一： 设矩阵 A 的逆矩阵 A－1＝，z w2 3 x y1 0 则6 z w＝ ， 512x ＋ 3z 2y ＋ 3w 1 0即＝0 1 ， 5x ＋ 6z 5y ＋ 6w2x ＋ 3z ＝ 1，x ＝－ 2，2y ＋ 3w ＝ 0，y ＝ 1，所以解得55x ＋ 6z ＝ 0， z ＝ 3，5y ＋ 6w ＝ 1，2w ＝－ 3.A －1＝－21故所求的逆矩阵5－ 2 .3 3法二： 注意到 2× 6－ 3×5＝－ 3≠0，故 A 存在逆矩阵 A－1，6 － 3－ 3－ 3－ 21且 A －1＝＝52 .－ 5 2－3 3－ 3 － 3－ 2 1 答案：5 － 2331 222．已知矩阵 A ＝－ 4 的一个特征值为 λ，向量 α＝ 是矩阵 A 的属于 λ的一个特a－ 3 征向量，则 a ＋ λ＝ _____.解析： 因为 A α＝ λα，所以2－ 6＝ 2λ， 即解得2a ＋ 12＝－ 3λ，所以 a ＋ λ＝－ 3－ 2＝－ 5.答案： － 51 2 2 2a－ 4 － 3 ＝ λ ，－ 3a ＝－ 3，λ＝－ 2，考点一求逆矩阵与逆变换重点保分型考点 —— 师生共研[ 典例引领 ]－ 1 01 2 A －1已知矩阵 A ＝2， B ＝，求矩阵 B.6 解： 设矩阵 A 的逆矩阵为a bc，d－ 1 0 a b1 0，即 － a － b 1 0则＝＝ ，2 c d12c 2d 0 11故 a ＝－ 1， b ＝ 0， c ＝ 0， d ＝2.所以矩阵 A 的逆矩阵为 A －1＝－ 11 .2所以 A－ 1 0 1 2－ 1－ 2－1B ＝1＝.0 632[ 由题悟法 ]求一个矩阵 A 的逆矩阵或证明一个矩阵不可逆时，常用两种解法．法一： 待定矩阵法：先设出其逆矩阵，根据逆矩阵的定义 AB ＝ BA ＝ E ，应用矩阵相等的定义列方程组求解，若方程组有解，即可求出其逆矩阵，若方程组无解，则说明此矩阵不可逆，此种方法称为待定矩阵法．a b法二： 利用逆矩阵公式，对矩阵A ＝ ：c d①若 ad － bc ＝ 0，则 A 的逆矩阵不存在．d－ b ②若 ad － bc ≠ 0，则－ 1ad － bc ad － bc.A ＝－ caad － bc ad － bc[ 即时应用 ]11 1已知 A ＝ 1， B ＝，求矩阵 AB 的逆矩阵．1 021 0 1－ ＝ 1≠ 0， 解：法一： 因为 A ＝1 ，且 1 ×2 02 0212 －111 0所以 A－1＝22 ＝，20 1－ 1 12 2 1－ 1.同理 B－1＝0 1因此 (AB)－1＝ B－1A －1＝1－ 1 1 0 1 － 20 2 ＝.0 1 0 211 1法二： 因为 A ＝10 ， B ＝，20 1所以1 0 1 1 ＝ 11 ，且× 1－ × ＝ 1≠ 0，AB＝11 10 0 120 1222第 15 页 共 21 页1 － 1 21 11 － 2所以 (AB)－1＝22.＝20 1 01 12 2考点二特征值与特征向量的计算及应用重点保分型考点 —— 师生共研[ 典例引领 ]2 a已知矩阵 M ＝，其中 a ∈ R ，若点 P(1，－ 2)在矩阵 M 的变换下得到点 P ′(－ 4,0)．2 1(1) 求实数 a 的值；(2) 求矩阵 M 的特征值及其对应的特征向量．解： (1) 由 2 a1－ 4 ，得 － ＝－＝＝3.2 1 －22 2a4? a2 3λ－ 2 － 3(2) 由 (1)知 M ＝，则矩阵 M 的特征多项式为 f (λ)＝ ＝( λ－ 2)( λ－ 1)－ 621－ 2 λ－ 12＝ λ－ 3λ－4.令 f(λ)＝ 0，得矩阵 M 的特征值为－ 1 与 4.λ－ 2 x － 3y ＝ 0，把 λ＝－ 1 代入二元一次方程组－ 2x ＋ λ－ 1 y ＝0，得 x ＋ y ＝ 0，1所以矩阵 M 的属于特征值－ 1 的一个特征向量为；－1λ－ 2 x － 3y ＝ 0，把 λ＝ 4 代入二元一次方程组－ 2x ＋ λ－ 1 y ＝ 0，得 2x － 3y ＝ 0.所以矩阵 M 的属于特征值4 的一个特征向量为3.2[ 由题悟法 ](1) 求矩阵 A 的特征值与特征向量的一般思路为：先确定其特征多项式 f(λ)，再由 f(λ)＝ 0求 出 该 矩 阵 的 特 征 值 ， 然 后 把 特 征 值 代 入 矩 阵 A所 确 定 的 二 元 一 次 方 程 组λ－ a x － by ＝ 0， 即可求出特征向量．－ cx ＋ λ－ d y ＝ 0，(2) 根据矩阵 A 的特征值与特征向量求矩阵A 的一般思路：设 A ＝a b c ，根据 A α＝λαd构建 a ， b ， c ， d 的方程求解．[ 即时应用 ]1x 1 的属于特征值 － 21． (2015 江·苏高考 )已知 x ， y ∈ R ，向量 a ＝ 是矩阵 A ＝y 0 － 1的一个特征向量，求矩阵A 以及它的另一个特征值．解： 由已知，得 Aa ＝－ 2a ，x 11－ － 2即＝x 1＝，y0 － 1y2x － 1＝－ 2， x ＝－ 1， 则即y ＝ 2，y ＝ 2，－11 所以矩阵 A ＝2.从而矩阵 A 的特征多项式f (λ)＝ (λ＋ 2)( λ－ 1)，所以矩阵 A 的另一个特征值为1.1 2．已知二阶矩阵 M 有特征值 λ＝ 3 及对应的一个特征向量 α1＝，并且矩阵 M 对应的1变换将点 (－1,2)变换成 (9,15) ，求矩阵 M .解： 设 M ＝ a b ，则a b 1 1 3 a ＋ b ＝ 3，＝ 3＝，故c dc d 113c ＋d ＝ 3.a b － 1 9－a ＋ 2b ＝ 9，又＝ ，故c d215－ c ＋ 2d ＝ 15.联立以上两方程组解得a ＝－ 1，b ＝ 4，c ＝－ 3，d ＝ 6，－ 1 4故 M ＝.－ 3 6考点三根据 A ， α计算 A n αn ∈ N *重点保分型考点 —— 师生共研[ 典例引领 ]1 23给定的矩阵 A ＝ ， B ＝ .－ 1 4 2 (1) ， λ及对应的特征向量 α， α；求 A 的特征值 λ1 2 12(2) 求 A 4B.解： (1) 设 A 的一个特征值为 λ，由题意知：λ－ 1 － 2＝ 0，即 (λ－ 2)(λ－ 3)＝ 0，所以 λ1＝ 2， λ2＝ 3.1λ－ 4当 λ1＝ 2 时，由1 2 xx2 的特征向量 α1＝24 ＝ 2，得 A 属于特征值；－ 1 yy1当 λ2＝ 3 时，由1 2 xx 3 的特征向量 α2＝14 ＝ 3，得 A 属于特征值.－ 1 y y1(2) 由于 B ＝32 1＝ α＋ α，＝ ＋ 2 1 1 1 2故 A 4＝4 α＋ α ＝ 4α＋ 34α＝ 16α＋ 81α＝ 32 81＝ 1132 ＋ .16 8197[ 由题悟法 ]已知矩阵 A 和向量 α，求 A n α(n ∈ N * )，其步骤为：(1) 求出矩阵， λ和对应的特征向量 α， αA 的特征值 λ1 2 12. (2) 把 α用特征向量的组合来表示：α＝ s α1＋ t α2.nnn表示 A n(3) 应用 A α＝ s λα11 ＋ t λα.2α2[ 即时应用 ]已知 M ＝ 1 2 ， β＝ 1 ，计算 M 5β21 7.λ－ 1 － 2解： 矩阵 M 的特征多项式为f( λ)＝2＝ λ－ 2λ－ 3.－ 2 λ－ 1令 f(λ)＝ 0，解得 λ＝1 3，λ＝－2 1，12 xx，得x ＋ 2y ＝ 3x ，令＝ 32 1 y y2x ＋ y ＝ 3y ，从而求得 λ1＝3 的一个特征向量为1α1＝，11同理得对应λ2＝－1的一个特征向量为α2＝－ 1.令β＝ mα1＋ nα2，则 m＝4， n＝－ 3.55α－ 3α555551－ 3× (－ 1)51β＝＝α－＝－＝×＝M M (44(M3(Mα4(λα3(λα312)1)2) 1 1)22)41－ 1975.9691．(2016 无·锡期末 )已知矩阵 A＝1012－1对应的变换把直线 l 0， B＝，若矩阵 AB21变为直线 l′： x＋ y－ 2＝ 0，求直线 l 的方程．解：由题意得 B－1＝1－ 2，01101－ 21－ 2所以 AB－1＝＝，020102设直线 l 上任意一点 (x， y)在矩阵 AB－1对应的变换下为点 (x′， y′ )，则1－ 2x＝02yx′x′＝ x－ 2y，，所以y′y′＝ 2y，将 x′， y′代入 l′的方程，得 (x－ 2y)＋ 2y－2＝ 0，化简后得 l： x＝ 2.12－ 11－12． (2016 江·苏高考 )已知矩阵 A＝0－2，矩阵 B 的逆矩阵 B＝2，求矩阵02AB.解：设 B＝ab，c d－11－1a b10则 B2＝，＝B c d010 2即错误 ! ＝错误 ! ，1a ＝ 1， a － 2c ＝ 1，1，11b ＝ 1b － 2d ＝ 0，4所以 B ＝4故解得.2c ＝ 0，c ＝ 0，121d ＝2d ＝ 1，2，1 1 1 51424因此， AB ＝ 0－ 2＝.1 0－123． (2016 南·京、盐城、连云港、徐州二模)已知 a ， b 是实数，如果矩阵 3 aA ＝所b － 2对应的变换 T 把点 (2,3) 变成 (3,4)．(1) 求 a ， b 的值；(2) 若矩阵 A 的逆矩阵为 B ，求 B 2.3 a23解： (1) 由题意得＝，b － 2 34所以 6＋ 3a ＝ 3,2b － 6＝ 4，所以 a ＝－ 1， b ＝ 5.3 － 1(2) 由 (1)得 A ＝.5 － 22 － 1由矩阵的逆矩阵公式得B ＝.5 － 32 － 1 2 － 1－ 1 1所以 B 2＝＝. 5 － 3 5 － 3 － 544． (2016 常·州期末 )已知矩阵 M ＝a 2 8 的一个特征向量是e ＝14的属于特征值 ，点b1P(－ 1,2)在 M 对应的变换作用下得到点Q ，求 Q 的坐标．a 2 1 1 解： 由题意知4 b ＝ 8×，11a ＋ 2＝ 8，a ＝ 6，故解得4＋ b ＝ 8，b ＝ 4，6 2 － 1 ＝－ 2所以42，所以点 Q 的坐标为 (－2,4)．4 4－ 1 45． (2016 苏·州暑假测试 )求矩阵 M ＝2 的特征值和特征向量．6λ＋ 1 － 42解： 特征多项式f(λ)＝＝ λ＋1)( λ－6)＝ λ－7)( λ＋ 2) ，－ ＝ λ－ λ－(85 14(－ 2 λ－ 6由 f(λ)＝ 0，解得 λ1＝ 7，λ2＝－ 2.8x － 4y ＝ 0，1 将 λ＝ 7 代入特征方程组，得即 y ＝ 2x ，可取为属于特征值 λ＝ 7 的11－ 2x ＋ y ＝ 0，2一个特征向量．－ － ＝ ，4x 4y 0同理， λ＝－2 2 时，特征方程组是即 x ＝－ 4y ，所以可取为属于－ 2x － 8y ＝ 0，－ 1特征值 λ2＝－ 2 的一个特征向量．M ＝ － 1 4λ1＝ 7， λ2＝－ 2.属于 λ1＝7 的一个特征向量综上所述，矩阵2 有两个特征值61，属于 λ2＝－ 2 的一个特征向量为4为－ 1. 23 6λ＝ 8 的一个特征向量e ＝ 6，及属于特征值 λ＝－ 36．矩阵 M ＝有属于特征值255的一个特征向量 e ＝13 ，计算 M3α2－ 1 .对向量 α＝ 8.解： 令 α＝ me ＋ ne ，将具体数据代入，有m ＝ 1，n ＝－ 3，所以 α＝e － 3e 所以M 3α 1212 .3333 3 3 6 1 3 153＝ M － 3e ＝ － 3M － 3× (－3) 3 ＝(e 1＝ λ － 3λ ＝ 8.5－ 1 2 479－ 1 27． (2016 泰·州期末 )已知矩阵 M ＝5x 的一个特征值为－ 2，求 M 2.2λ＋ 1－ 22解： 把 λ＝－ 2 代入－λ－ ＋ ＝ ，得＝ ，＝ λ－5λ－ x(x1)(x 5)x 3－2第 21 页共 21 页－ 124所以矩阵 M ＝65，所以 M 2＝.351428．已知二阶矩阵 M 有特征值 λ＝ 8 及对应的一个特征向量 e 1＝1 ，并且矩阵 M 对应的1变换将点 (－1,2)变换成 (－ 2,4). 求：(1) 矩阵 M;(2) 矩阵 M 的另一个特征值，及对应的一个特征向量e 2 的坐标之间的关系；(3) 直线 l ： x －y ＋ 1＝ 0 在矩阵 M 的作用下的直线 l ′的方程．a ba b 1 18解： (1) 设 M ＝，则c d 1 ＝ 8 ＝ ，c d1 8a ＋ ＝ ，b－1－2－a ＋ 2b ＝－ 2，b8a＝ ，故故c d＋ ＝8.24－c ＋ 2d ＝ 4.c da ＝ 6，b ＝ 2，62 联立以上两方程组，解得故 M ＝.c ＝ 4，44d ＝ 4，2(2) 由 (1) 知，矩阵 M 的特征多项式为f (λ)＝ (λ－ 6)( λ－ 4)－ 8＝λ－ 10λ＋ 16，故其另一个特征值为λ＝ 2.设矩阵 M 的另一个特征向量是e 2＝x ，y则 Me 2＝6x ＋ 2yx ，解得 2x ＋ y ＝0.＝ 2y4x ＋ 4y(3) 设点 (x ，y)是直线 l 上的任意一点， 其在矩阵 M 的变换下对应的点的坐标为 (x ′ ，y ′ )，则 6 2 x ＝x ′，即 x ＝ 1 ′ －1 ′ ， ＝－1′ ＋3′ ，代入直线l 的方程后并化简，4 4 y′4x8yy4x8yy得 x ′ － y ′ ＋ 2＝0，即 x －y ＋ 2＝ 0.。

选修4-2 矩阵与变换本章主要是通过平面图形的变换讨论二阶方阵的乘法及性质、简单的线性运算及其性质、逆矩阵与逆变换、矩阵的特征值与特征向量等概念，并以变换和映射的观点理解解线性方程组的意义，应用实例初步展示矩阵应用的广泛性．2·1二阶矩阵与平面向量1.矩阵的概念(1)在数学中，把形如⎥⎦⎤⎢⎣⎡31，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4 2332m ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡85659080这样的矩形数字（或字母）阵列称做矩阵，一般地，我们用大写黑体拉丁字母Ａ，Ｂ，…或者（a ij ）来表示矩阵，其中i,j 分别表示元素所在的行和列。

同一横排中按原来次序排列的一行数（或字母）叫做矩阵的行，同一竖排中按原来次序排列的一列数（或字母）叫做矩阵的列，组成矩阵的每一个数（或字母）称为矩阵和元素，所有元素都为0的矩阵称为零矩阵.(2)平面上向量),(y x =α的坐标和平面上的点P （x,y ）都可以看做是行矩阵[]y x ，也可以看做是列矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x .因此我们又称[]y x为行向量，称⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x 为列向量，在本书中，我们把平面向量（x,y ）的坐标写成⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x 的形式.(3)当两个矩阵Ａ、Ｂ，只有当它们的行数与列数分别相等，并且对应位置的元素也分别相等时，才有Ａ＝Ｂ.行矩阵：[a 11,a 12]（仅有一行）列矩阵：⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 21 （仅有一列）向量a →＝（x,y ），平面上的点P （x,y ）都可以看成行矩阵[,]x y 或列矩阵x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，在本书中规定所有的平面向量均写成列向量x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的形式。

(4)由4个数a,b,c,d 排成的正方形数表a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦称为二阶矩阵。

a,b,c,d 称为矩阵的元素。

①零矩阵：所有元素均为0，即0000⎡⎤⎢⎥⎣⎦，记为0。

②二阶单位矩阵：1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦，记为E 2. 2.二阶矩阵与平面向量的乘法 行矩阵[]1211a a 与列矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡2111b b 的乘法规则：[]1211a a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2111b b =[]21121111b a b a ⨯+⨯二阶矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡22211211a a a a 与列向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡00y x 的乘法规则：⎥⎦⎤⎢⎣⎡22211211a a a a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡00y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⨯⨯+⨯022021012011y a x a y a x a一般地两个矩阵只有当前一个列数与后一个矩阵的行数相等时才能进行乘法运算 3.理解二阶矩阵与平面列向量乘法的几何意义一个列向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x 左乘一个2×2矩阵M 后得到一个新的列向量，如果列向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x 表示一个点P （x,y ）,那么列向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x 左乘矩阵M 后的列向量就对应平面上的一个新的点.对于平面上的任意一个点（向量）（x,y ）,若按照对应法则T ，总能对应惟一的一个点（向量）),(y x ''，则称T 为一个变换，简记为：T ：),(),(y x y x ''→或T ：⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x →⎥⎦⎤⎢⎣⎡''y x一般地，对于平面向量变换T ，如果变换规则为T ：⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x →⎥⎦⎤⎢⎣⎡''y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++dy cx by ax ，那么根据二阶矩阵与平面列向量在乘法规则可以改写为T ：⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x →⎥⎦⎤⎢⎣⎡''y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x 的矩阵形式，反之亦然（a 、b 、c 、d ∈Ｒ）由矩阵Ｍ确定的变换，通常记为T M ,根据变换的定义，它是平面内点集到自身的一个映射，平面内的一个图形它在T M ,的作用下得到一个新的图形.1 设矩阵A 为二阶矩阵，且规定其元素2,1,2;1,2ij a i j i j =+==，则A=（ ）A 、 2 53 6⎡⎤⎢⎥⎣⎦B 、 2 35 6⎡⎤⎢⎥⎣⎦C 、 2 63 5⎡⎤⎢⎥⎣⎦D 、 2 26 5⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】B 。