三角形的三线

《三角形的高、中线与角平分线》学案

姓名

一、学习目标

1.理解三角形的高、中线与角平分线等概念；

2.会用工具画三角形的高、中线与角平分线；

3.会用几何语言表达三角形的高、中线与角平分线的定义；

4.运用概念及性质解决简单问题.

二、自学指导

自学课本第4-5页的内容，完成下列问题：

（1）三角形的高、中线、角平分线及重心是怎样定义的？

注意：①把定义中的关键词画出来；

②试用几何语言表述前三个定义.

（2）怎样画三角形的高、中线、角平分线？

三、画一画、议一议

在不同类型的三角形中，画出每一个三角形的三条高，你有什么发现？ 三条中线呢？三条角平分线呢？

注意：将同学们分成三大组：第一组画高，第二组中线，第三组画三条角平分线.

结论：

四、当堂检测

1.如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE//AC，DF//AB．试判断∠3和∠4的关系，并说明理由．

2.线段BM是△ABC的中线，若AB=5cm，BC=13cm，那么△BCM的周长与△ABM的周长之差是多少cm？

3. 在△ABC中，∠ACB=90°，CB=6， CA=8， AB=10，则AB边上的高CD是多少？

五、拓展延伸

某种植户有一块三角形的地，他想分成面积相等的四个三角形，来种植四种不同的农作物，请你帮他设计出分割方案（至少四种）.

备用图

六、课后反思：

等腰三角形的“三线合一”

一、证明线段相等

例1（1） 如图1，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.求证：DE＝DF.

（2）如图，∠A=∠D=90°，AB=CD，AC与BD相交于点F，E是BC的中点.

求证：∠BFE=∠CFE.

二、证明两条线垂直

例2 如图2，AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED，CF＝DF.求证：AF⊥CD.

三、证明角的倍半关系

例3 如图3，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC交AC于D.求证：∠DBC＝12∠BAC.

C D E F

图1 B A

F D

图2 B E

C A

F

E

图3 D

C B A 四、证明线段的倍半关系

例4 如图4，已知等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF的延长线于D.求证：BF＝2CD.

五、证明一个角是直角

例5 如图5，△ABC中，∠ACB＝2∠B，BC＝2AC.求证：∠A＝90°.

六、证明线段的和差关系

例6 如图6，在△ABC中，AD⊥BC于D，且∠ABC＝2∠C.求证：CD＝AB+BD.

图5 A

B C D E 图4 B F D E

C A

D

图6 C E B A

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精选教育 把握三角形的三条主要线段

三角形的高线、中线和角平分线简称三角形的“三线”，它是三角形的三条主要线段，同学们在学习时应该注意：

一、弄清概念

1、三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。

学习高时应把握：

（1）它是线段，并且有一个端点是三角形的一个顶点，另一个短点在对边或对边的延长线上；

（2）高线垂直于一条边所在的直线；

（3）一个三角形有3条高，这三条高的位置根据三角形的形状而定。锐角三角形的3条高都在它的内部，并且交于一点；直角三角形有一条高在三角形的内部，即是直角三角形斜边上的高，另外两条边上的高为直角三角形的两条直角边，它的交点位于直角三角形顶点处；钝角三角形有一条边上的高在三角形的内部，它是最长边上的高，另外两条较短边上的高则在三角形的外部，并且3条高的交点在三角形外部。如图1所示。

（4）画三角形的高，这个问题对大家来说，并不容易，有些同学经常画错A

B C D E F

O A

B C(O) D A

D C B F

E

O 图 1 .

精选教育 或不能从容画得。不妨大家可以按如下步骤进行：

首先，找到需要画高的那条边；其次，找到这条边所对的顶点；最后，过这个顶点向这条边所在的直线画垂线段。

注：垂足落在要画高的边上或边的延长线上。

2、三角形的中线：在三角形中，连结一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。

注意把握以下几点：

（1）三角形的中线同样也是一条线段，并且有一个端点是三角形的一个顶点，另一个端点在对边上。它既不是射线，也不是直线；

（2）中线平分一条边；

（3）它有3条中线，不论三角形的形状如何，3条中线交点都交于三角形内部。

3、三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

学习时应把握：

（1）它是一条线段，并且有一个短点是三角形的一个顶点，另一个短点在对边上，它不同于角平分线，角平分线是一条射线；

三角形的中线、角平分线练习题

一、选择题：

1、△ABC中，∠A+∠B=120°，∠C=∠A，则△ABC是( )

A、钝角三角形 B、等腰直角三角形 C、直角三角形 D、等边三角形

2、下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？

（1）3，4，8； （2）5，6，11； （3）5，6，10

3、 一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长是（ ）

A、7 B、9 C、12 D、9或12

4、如果三角形的两边长分别是3和5，那么第三边长可能是（ ）

A、1 B、9 C、3 D、10

二、填空题：

5、有四根木条，长度分别是12cm、10cm、8cm、4cm，选其中三根组成三角形，能组成三角形的个数是_______个。

6、等腰三角形的一个角是70°，则它的顶角的度数是 。

7、在△ABC中，∠B：∠C＝7：5,且∠B比∠C大20°,则∠A＝ 。

8、在直角三角形ABC中，C＝900 ，A200，则B

9、在△ABC中， ∠A＝40°，∠B＝∠C，则∠C＝ 。

10、在等腰三角形中，已知顶角是500，则底角是

11、在等腰三角形中，有一个角是70度，则另外两个角是

12、若三角形的周长是60cm，且三条边的比为3：4：5，则三边长分别为___________.

13、若△ABC的三边长都是整数，周长为11，且有一边长为4，则这个三角形可能的最大边长是___________.

14、已知线段3cm,5cm,xcm,x为偶数，以3，5，x为边能组成______个三角形

15、用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形，如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？

解：设底边长为xcm，则腰长是 cm ，因为三角形的周长为