三角形三线合一

等腰三角形的“三线合一”

一、证明线段相等

例1（1） 如图1，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.求证：DE＝DF.

（2）如图，∠A=∠D=90°，AB=CD，AC与BD相交于点F，E是BC的中点.

求证：∠BFE=∠CFE.

二、证明两条线垂直

例2 如图2，AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED，CF＝DF.求证：AF⊥CD.

三、证明角的倍半关系

例3 如图3，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC交AC于D.求证：∠DBC＝12∠BAC.

C D E F

图1 B A

F D

图2 B E

C A

F

E

图3 D

C B A 四、证明线段的倍半关系

例4 如图4，已知等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF的延长线于D.求证：BF＝2CD.

五、证明一个角是直角

例5 如图5，△ABC中，∠ACB＝2∠B，BC＝2AC.求证：∠A＝90°.

六、证明线段的和差关系

例6 如图6，在△ABC中，AD⊥BC于D，且∠ABC＝2∠C.求证：CD＝AB+BD.

图5 A

B C D E 图4 B F D E

C A

D

图6 C E B A

共 7 页，第 1 页1、如图，已知AC平分∠BAD,CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC="CD."

（1）求证：△BCE≌△DCF

（2）若AB=17，AD=9，求AE的长.

2、如图，已知AB=AC,∠A=36°，AB的中垂线MN交AC于点D,交AB于点M,

求证：（1）BD平分∠ABC；

（2）△BCD为等腰三角形.

3、已知：如图∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线DG交于点D,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足

分别为E，F．

⑴试说明：BE=CF；

⑵若AF=3，BC=4，求△ABC的周长．

共 7 页，第 2 页4、如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为BC的中点，点E与点C关于直线

AD对称，CE与AD、AB分别交于点F、G，连接BE、BF、GD

求证：(1) △BEF为等腰直角三角形；（2) ∠ADC＝∠BDG.

5、如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，D是斜边上AB上任一点，AE⊥CD于E，

BF⊥CD交CD的延长线于F，CH⊥AB于H点，交AE于G．

（1）试说明AH＝BH

（2）求证：BD＝CG．

（3）探索AE与EF、BF之间的数量关系

6、（本题14分）如图（1），在△ABC和△EDC中，D为△ABC边AC上一点，CA平分

∠BCE，BC＝CD，AC＝CE.

（1）求证：△ABC≌△EDC；

（2）如图（2），若∠ACB＝60°，连接BE交AC于F，G为边CE上一点，满足CG＝

CF，连接DG交BE于H.

①求∠DHF的度数；

②若EB平分∠DEC，试说明：BE平分∠ABC.共 7 页，第 3 页

参考答案

1、（1）证明见解析（2）1

2、（1）证明见解析（2）证明见解析

3、(1)证明详见解析；(2)10．

4、（1）证明见解析；（2）证明见解析.

5、（1）见解析；（2）见解析；（3）AE=EF＋BF，理由见解析

6、（1）略（2）①∠DHF="60°" ②略

【解析】

1、试题分析：(1)根据角平分线的性质可以得出CF="CE," 在证明就可以得出DF=BE；

三角形三线合一

三角形三线合一 1

三条线合一，即在等腰三角形中，顶角平分线、底边中线、底边高线，三条线重合。比如，已知等腰三角形的中线和底边的高度相同，那么可以说这条线段就是底边对应顶点的角平分线。

应用

三条线合一是等腰三角形。分别是，一个与顶角、顶角平分线有关，另外两个与底边有关(不是腰，是等边三角形比较特殊)。一个是底边的高度，一个是底边的中垂线。这是等腰三角形的一个特殊性质，可以用来处理很多平面几何问题。

三线合一逆命题

①如果三角形中有一角的角平分线和它所对边的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。

②如果三角形中有一边的中线和这条边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。

③如果三角形中有一角的角平分线和它所对边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形。

三角形三线合一 4

1.等腰三角形的两个底角度数相等(简写成“等边对等角”)。

2.等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合(简写成“三角形三线合一 1”)。 3.等腰三角形两底角的平分线相等(两腰中线相等，两腰高度相等)。

4.等腰三角形底边上的中垂线与两个腰的距离相等。

5.等腰三角形的一个腰高与底边的夹角等于顶角的一半。

6.等腰三角形底边上的任意一点到两个腰的距离之和等于一个腰的高度(用等面积法证明)。

7.一般的等腰三角形是轴对称图形,只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。但等边三角形(特殊的等腰三角形)有三条对称轴。每个角的角平分线所在的直线，三条中线所在的直线，和高所在的直线就是等边三角形的对称轴。

8.等腰三角形中腰长的平方等于底边高的平方加上底边平方的一半(勾股定理)。

9.等腰三角形的腰与它的高的关系：腰大于高;腰的平方等于高的平方加底的一半的平方。

1 等腰三角形三线合一10

1、 等腰三角形一边等于5，另一边等于8，则周长是________。

2、 在△ABC中，已知AB＝AC，AD是中线，∠B＝70°，BC＝15cm， 则∠BAC＝________，∠DAC＝________，BD＝________cm。

3、 在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，AB＝3，AC＝4，则AD＝________。

4、 已知△ABC中，∠A ＝n°，角平分线BE、CF相交于O，则∠BOC的度数应为（ ）

（A）90°－n21°（B）90°＋ n21°（C）180°－n°（B）180°－n21°

5、 下列两个三角形中，一定全等的是（ ）

（A）有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形

（B）两个等边三角形

（C）有一个角是100°，底相等的两个等腰三角形

（D）有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形

6、如图所示，在等腰△ABC中，AD是BC边上的中线，点E在AD上。求证：BE=CE。

7、如图，在△ABC中，AB=AC，D是形外一点，且BD=CD。求证：AD垂直平分BC。

8、 已知，如图所示，AD是△ABC，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高。

求证：AD垂直平分EF。

2 9、 如图△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，若CD＝4，且△BDC周长为24，求AE的长度。

10、 已知：如图，△ABC中，AB=AC。小强想做∠BAC的平分线，但他没有量角器，只有刻度尺，他如何做出∠BAC的平分线？

11、 已知：如图，B、D、E、C在同一直线上，AB=AC，AD=AE。求证：BD=CE。

12、 如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AB上一点，且BD=BC。DE⊥AB交AC于E。

求证：CD⊥BE。

13、 如图，锐角△ABC中，∠B=2∠C，AD为BC边上的高，求证：DC=AB+BD。