高中数学 2.1.2 系统抽样导学案 新人教A版必修3

2.1.2系统抽样

【学习目标】

1．理解系统抽样的定义、适用条件及其步骤．

2．会利用系统抽样抽取样本．

【学习重点】系统抽样的原理与步骤

课前预习案

【知识链接】

1．某中学从5 000名学生中选出50人参加2013年10月1日的庆国庆文娱活动，若用抽签法可行吗？

2．能否设计一个合理的抽样方法完成此样本的抽取？

【知识梳理】

系统抽样

(1)定义：一般地，要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，可将总体分成____的若干部分，然后按照预先制定的____，从每一部分抽取____个体，得到所需要的样本，这种抽样的方法叫做系统抽样．

(2)步骤：

小结：

系统抽样的特征：

(1)当总体中个体无差异且个体数目较大时，采用系统抽样．

(2)将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，因此，系统抽样又称等距抽样，间隔一般为k＝NnNn表示不超过Nn的最大整数.

(3)预先制定的规则指的是：在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整数倍即为抽样编号．

(4)在每段上仅抽一个个体，所分的组数(即段数)等于样本容量．

(5)第一步编号中，有时可直接利用个体自身所带的号码，如学号、准考证号、门牌号等，不再重新编号．

2．系统抽样中的合理分段问题

说明：系统抽样操作的要领是先将个体数较多的总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分中抽取1个个体，从而得到所需的样本．由于抽样的间隔相等，因此系统抽样又称为等距抽样(或叫机械抽样)，所以系统抽样中必须对总体中的每个个体进行合理(即等距)分段．

(1)若从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，用系统抽样时，应先将总体中的各个个体编号，再确定分段间隔k，以便对总体进行分段． (2)当Nn是整数时，取k＝Nn作为分段间隔即可，如N＝100，n＝20，则分段间隔k＝10020＝5.也就是将100个个体按平均每5个为1段(组)进行分段(组)；

(3)当Nn不是整数时，应先从总体中随机剔除一些个体，使剩余个体数N′能被n整除，这时分段间隔k＝N′n，如N＝101，n＝20，则应先用简单随机抽样从总体中剔除1个个体，使剩余的总体容量(即100)能被20整除，从而得出分段间隔k＝10020＝5，也就是说，只需将100个个体平均分为20段(组)．

(4)一般地，用简单随机抽样的方法从总体中剔除部分个体，其个数为总体中的个体数除以样本容量所得的余数．

自主小测：

1、 中央电视台动画城节目为了对本周的热心小观众给予奖励，要从已确定编号的一万名小观众中抽出十名幸运小观众．现采用系统抽样法抽取，其组容量为( )

A．10 B．100 C．1 000 D．10 000

2、 为了了解1 200名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔k为( )

A．40 B．30 C．20 D．12

3．为了了解参加一次知识竞赛的1 252名学生的成绩，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本．那么总体中应随机剔除的个体数目是( )

A．2 B．4 C．5 D．6

课上导学案

教师点拨：

1．系统抽样与简单随机抽样的区别

(1)系统抽样比简单随机抽样更容易实施，可节约抽样成本．

(2)抽样所得样本的代表性与具体的编号有关，而简单随机抽样所得样本的代表性与个体的编号无关．如果编号的个体特征随编号的变化呈现一定的周期性，则可能会使抽样的代表性差些．

(3)系统抽样的应用比简单随机抽样的应用更广泛，尤其是工业生产线上对产品质量的检验，由于不知道产品的数量，因此不能用简单随机抽样．

2．系统抽样与简单随机抽样的联系

(1)对总体均分后的每一部分进行抽样时，采用的是简单随机抽样．

(2)与简单随机抽样一样，系统抽样是等概率抽样，它是客观的、公平的．

(3)与简单随机抽样一样是不放回抽样．

(4)总体中的个体数恰好能被样本容量整除时，可用它们的比值作为系统抽样的间隔；当总体中的个体数不能被样本容量整除时，可用简单随机抽样先从总体中剔除少量个体，使剩下的个体数能被样本容量整除后再进行系统抽样．

【例题讲解】

【例题1】 下列问题中，最适合用系统抽样抽取样本的是( )

A．从10名学生中，随机抽取2名学生参加义务劳动

B．从全校3 000名学生中，随机抽取100名学生参加义务劳动

C．从某市30 000名学生中，其中小学生有14 000人，初中生有10 000人，高中生有6 000人，抽取300名学生以了解该市学生的近视情况

D．从某班周二值日小组6人中，随机抽取1人擦黑板

【例题2】 某校高中三年级的295名学生已经编号为1,2，…，295，为了了解学生的学习情况，要按1∶5的比例抽取一个样本．请用系统抽样的方法进行抽取，并写出过程．

【例题3】 现从全班63人中，用系统抽样方法任选10人进行高中生体重与身高的关系的调查．应如何实施？

【当堂检测】

1．某中学从已编号(1～60)的60个班级中，随机抽取6个班级进行卫生检查，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选的6个班级的编号可能是( )

A．6,16,26,36,46,56 B．3,10,17,24,31,38

C．4,11,18,25,32,39 D．5,14,23,32,41,50

2．下列抽样试验中，最适宜用系统抽样法的是( )

A．某市的4个区共有2 000名学生，4个区的学生人数之比为3∶2∶8∶2，从中抽取200人入样

B．从某厂生产的2 000个电子元件中抽取50个入样

C．从某厂生产的10个电子元件中抽取2个入样

D．从某厂生产的20个电子元件中抽取5个入样

3．将参加数学竞赛的1 000名学生编号如下000,001,002，…，999，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样方法分成50个部分，第一段编号为000,002，…，019，如果在第一段随机抽取的一个号码为015，则抽取的第40个号码为__________．

4．某单位的在岗职工为620人，为了调查上班时，从家到单位的路上平均所用的时间，决定抽取10%的职工调查这一情况，如何采用系统抽样抽取样本？

【问题与收获】

【知识链接】

1、【提示】 可行，但费时费力、操作不变．

2、【提示】 能．

先将总体中的个体逐一编号，然后按号码顺序以一定的间隔k进行抽取，先从第一个间隔中随机地抽取一个号码，然后逐个抽取的号码依次增加间隔数即得到所求样本．

知识梳理答案：(1)均衡 规则 一个 (2)编号 分段间隔 简单随机抽样 间隔k l＋k l＋2k

自主小测答案1、 C 依题意，要抽十名幸运小观众，所以要分成十个组，每个组容量为10 000÷10＝1 000，即分段间隔．

2、A ∵N＝1 200，n＝30，∴k＝Nn＝1 20030＝40.

3．A 因为1 252＝50×25＋2，所以应随机剔除2个个体．

例题答案：

【例题1】 B A项中总体个体无差异，但个数较少，适合用简单随机抽样；同样D项中也适合用简单随机抽样；C项中总体中个体有差异不适合用系统抽样；B项中，总体中有3 000个个体，个数较多且无差异，适合用系统抽样．

【例题2】 解：按照1∶5的比例抽取样本，则样本容量为15×295＝59.

抽样步骤是：

(1)编号：按现有的号码．

(2)确定分段间隔k＝5，把295名同学分成59组，每组5人；第1段是编号为1～5的5名学生，第2段是编号为6～10的5名学生，依次下去，第59段是编号为291～295的5名学生．

(3)采用简单随机抽样的方法，从第一段5名学生中抽出一名学生，不妨设编号为l(1≤l≤5)．

(4)那么抽取的学生编号为l＋5k(k＝0,1,2，…，58)，得到59个个体作为样本，如当l＝3时的样本编号为3,8,13，…，288,293.

【例题3】 第一步，先对63人随机编号01,02，…，63；

第二步，用抽签法从63人中随机剔除3人；

第三步，余下60人重新编号为01,02,03，…，60，并分成10段，每段6人；

第四步，从第一段6人中用抽签法抽出1个号，如02；

第五步，将号码为02,08,14,20,26,32,38,44,50,56的学生作为样本．