辽宁省锦州市高考数学一模试卷 理(含解析)

1 2017年辽宁省锦州市高考数学一模试卷（理科）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．集合M={x|x=3n，n∈N}，集合N={x|x=3n，n∈N}，则集合M与集合N的关系（ ）

A．M⊆N B．N⊆M C．M∩N=∅ D．M⊈N且N⊈M

2．若复数z满足i•z=（1+i），则z的虚部是（ ）

A．﹣ i B． i C．﹣ D．

3．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，俯视图是圆心角为的扇形，则该几何体的侧面积为（ ）

A．2 B．4+π C．4+π D．4+π+π

4．如表提供了某厂节能降耗改造后在生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，则下列结论错误的是（ ）

x 3 4 5 6

y 2.5 t 4 4.5

A．线性回归直线一定过点（4.5，3.5）

B．产品的生产能耗与产量呈正相关

C．t的取值必定是3.15

D．A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨

5．已知等差数列{an}的前n项和Sn，其中且a11=20，则S13=（ ）

A．60 B．130 C．160 D．260 2 6．设p：实数x，y满足（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2，q：实数x，y满足，则p是q的（ ）

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

7．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ）

A．﹣2 B． C．﹣1 D．2

8．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实，黄实，利用2×勾×股+（股﹣勾）2=4×朱实+黄实=弦实，化简，得勾2+股2=弦2，设勾股中勾股比为1：，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（ ） 3

A．866 B．500 C．300 D．134

9．已知f（x）=sinxcosx﹣sin2x，把f（x）的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到y=g（x）的图象，若对任意实数x，都有g（α﹣x）=g（α+x）成立，则g（α+）+g（）=（ ）

A．4 B．3 C．2 D．

10．设a＞0，b＞2，且a+b=3，则的最小值是（ ）

A．6 B． C． D．

11．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）左右焦点分别为F1，F2，渐近线为l1，l2，P位于l1在第一象限内的部分，若l2⊥PF1，l2∥PF2，则双曲线的离心率为（ ）

A．2 B． C． D．

12．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），∀x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，在（0，+∞）上f′（x）＜x，若f（2﹣m）+f（﹣m）﹣m2+2m﹣2≥0，则实数m的取值范围为（ ）

A．[﹣1，1] B．[1，+∞） C．[2，+∞） D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．（x2﹣x﹣2）3展开式中x项的系数为

． 14．设抛物线x2=2y的焦点为F，经过点P（1，3）的直线l与抛物线相交于A，B两点，且点P恰为AB的中点，则= ．

15．三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为3的正三角形，SC是球O的直径，且SC=4，则此三棱锥的体积V= ．

16．将正整数12分解成两个正整数的乘积有1×12，2×6，3×4三种，其中3×4是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称3×4为12的最佳分解．当p×q（p≤q且pq∈N*，） 4 是正整数n的最佳分解时，我们定义函数f（n）=q﹣p，例如f（12）=4﹣3=1．数列{f（3n）}的前100项和为

．

三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．已知函数的部分图象如图所示．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若（2a﹣c）cosB=bcosC，求的取值范围．

18．《汉字听写大会》不断创收视新高，为了避免“书写危机”弘扬传统文化，某市对全市10万名市民进行了汉字听写测试，调查数据显示市民的成绩服从正态分布N．现从某社区居民中随机抽取50名市民进行听写测试，发现被测试市民正确书写汉字的个数全部在160到184之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组[160，164），第二组[164，168），…，第六组[180，184），如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．

（1）试评估该社区被测试的50名市民的成绩在全市市民中成绩的平均状况及这50名市民成绩在172个以上（含172个）的人数；

（2）在这50名市民中成绩在172个以上（含172个）的人中任意抽取2人，该2人中成绩排名（从高到低）在全市前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．

参考数据：若η～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）=0.9974． 5

19．在四棱锥P﹣ABCD中，，，△PAB和△PBD都是边长为2的等边三角形，设P在底面ABCD的射影为O．

（1）求证：O是AD中点；

（2）证明：BC⊥PB；

（3）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．

20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的上下两个焦点分别为F1，F2，过点F1与y轴垂直的直线交椭圆C于M，N两点，△MNF2的面积为，椭圆C的离心率为

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）已知O为坐标原点，直线l：y=kx+m与y轴交于点P，与椭圆C交于A，B两个不同的点，若存在实数λ，使得+λ=4，求m的取值范围．

21．已知m＞0，设函数f（x）=emx﹣lnx﹣2．

（1）若m=1，证明：存在唯一实数，使得f′（t）=0；

（2）若当x＞0时，f（x）＞0，证明：． 6

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．已知曲线C在平面直角坐标系xOy下的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．

（1）求曲线C的普通方程及极坐标方程；

（2）直线l的极坐标方程是，射线OT：与曲线C交于点A与直线l交于点B，求线段AB的长．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数f（x）=|x+3|+|x﹣2|

（Ⅰ）若∀x∈R，f（x）≥6a﹣a2恒成立，求实数a的取值范围

（Ⅱ）求函数y=f（x）的图象与直线y=9围成的封闭图形的面积．

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2017年辽宁省锦州市高考数学一模试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．集合M={x|x=3n，n∈N}，集合N={x|x=3n，n∈N}，则集合M与集合N的关系（ ）

A．M⊆N B．N⊆M C．M∩N=∅ D．M⊈N且N⊈M

【考点】15：集合的表示法．

【分析】利用子集的定义判断两个集合间的包含关系，从而确定集合间的关系．

【解答】解：∵1∈M，1∉N；

0∈N，0∉M；

∴M⊈N且N⊈M．

故选：D．

2．若复数z满足i•z=（1+i），则z的虚部是（ ）

A．﹣ i B． i C．﹣ D．

【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．

【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．

【解答】解：由i•z=（1+i），得，

∴z的虚部为．

故选：C．

3．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，俯视图是圆心角为的扇形，则该几何体的侧面积为（ ） 8

A．2 B．4+π C．4+π D．4+π+π

【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；L!：由三视图求面积、体积．

【分析】由已知可得该几何体为以俯视图为底面的锥体，其侧面积由两个腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，和一个高为2，底面半径为2的圆锥的四分之一侧面积组成，计算可得答案．

【解答】解：由已知可得该几何体为以俯视图为底面的锥体，

其侧面积由两个腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，

和一个高为2，底面半径为2的圆锥的四分之一侧面积组成，

故S=2××2×2+×π×2×=4+π，

故选：C．

4．如表提供了某厂节能降耗改造后在生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，则下列结论错误的是（ ）

x 3 4 5 6

y 2.5 t 4 4.5

A．线性回归直线一定过点（4.5，3.5）

B．产品的生产能耗与产量呈正相关

C．t的取值必定是3.15

D．A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨

【考点】BK：线性回归方程．

【分析】根据回归直线的性质分别进行判断即可．

【解答】解： =（3+4+5+6）==4.5，

则=0.7×4.5+0.35=3.5，即线性回归直线一定过点（4.5，3.5），故A正确，

∵0.7＞0，∴产品的生产能耗与产量呈正相关，故B正确， 9 ∵=（2.5+t+4+4.5）=3.5，得t=3，故C错误，

A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨，故D正确

故选：C

5．已知等差数列{an}的前n项和Sn，其中且a11=20，则S13=（ ）

A．60 B．130 C．160 D．260

【考点】85：等差数列的前n项和．

【分析】由已知中等差数列{an}的前n项和Sn，其中且a11=20，我们易求出a3=0，结合a1+a13=a3+a11即可得到S13的值．

【解答】解：∵数列{an}为等差数列，

∴2a3=a3，即a3=0

又∵a11=20，

∴d=S13=•（a1+a13）=•（a3+a11）=•20=130

故选B．

6．设p：实数x，y满足（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2，q：实数x，y满足，则p是q的（ ）

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【考点】7D：简单线性规划的应用；2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【分析】画出p，q表示的平面区域，进而根据充要条件的定义，可得答案．

【解答】解：（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2表示以（1，1）为圆心，以为半径的圆内区域（包括边界）；

满足的可行域如图有阴影部分所示，