2016年辽宁省大连市高考一模数学试卷(理科)【解析版】
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2016年辽宁省大连市高考数学一模试卷（理科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，集合B＝{x
|}，则A∩B＝（ ）
A．（1，2） B．（﹣1，2） C．（1，3） D．（﹣1，3）
2．（5分）设复数z
1，z
2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z
1＝2+i，则
＝（ ）
A．﹣4+3i B．4﹣3i C．﹣3﹣4i D．3﹣4i
3．（5分）已知向量＝（2，﹣1），＝（0，1），则|+2|＝（ ）
A．2 B． C．2 D．4
4．（5
分）已知函数
，则＝（ ）
A．4 B
． C．﹣4 D
．
5．（5分）已知x，y∈{1，2，3，4，5，6}，且x+y＝7
，则的概率（ ）
A
． B
． C
． D
．
6．（5分）已知tanα＝2，α为第一象限角，则sin2α+cosα的值为（ ）
A． B
． C
． D
．
7．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A
1B
1C
1D
1中，点P是棱CD上一点，则三棱
锥P﹣A
1B
1A的左视图可能为（ ）
A
． B
．
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C
． D
．
8．（5分）将函数f（x）＝sin（2x+φ
）
的图象向右平移个单位后
的图象关于y轴对称，则函数f（x
）在上的最小值为（ ）
A
． B
． C
． D
．
9．（5分）见如图程序框图，若输入a＝110011，则输出结果是（ ）
A．51 B．49 C．47 D．45
10．（5分）已知双曲线C
：的右焦点为F，以F为圆心
和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实
轴垂直，则双曲线C的离心率为（ ）
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A
． B． C． D．2
11．（5分）△ABC中，D为BC的中点，满足∠BAD+∠C＝90°，则△ABC的
形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
12．（5分）已知偶函数f（x）的定义域为（﹣1，0）∪（0，1），且f
（）＝0，
当0＜x＜1
时，不等式（﹣x）f′（x）•ln（1﹣x2）＞2f（x）恒成立，那么
不等式f（x）＜0的解集为（ ）
A．{x|
﹣＜x＜0
或＜x＜1} B．{x|﹣1＜x
＜﹣
或＜x＜1}
C．{x|
﹣＜x
＜且x≠0} D．{x|﹣1＜x
＜﹣或0＜x
＜}
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）若x，y
满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为 ．
14．（5
分）在椭圆
+＝1上有两个动点M、N，K（2，0）为定点，若
＝0，则的最小值为 ．
15．（5分）设G是一个非空集合，*是定义在G上的一个运算，如果满足下述
四个条件
（1）对于∀a，b∈G，都有a*b∈G；
（2）对于∀a，b，c∈G，都有（a*b）*c＝a*（b*c）；
（3）对于∀a∈G，∃e∈G，使得 a*e＝e*a＝a；
（4）对于∀a∈G，∃a′∈G，使得 a*a′＝a′*a＝e
则称G关于运算*构成一个群．现给出下列集合和运箅
①G是整数集合，*为加法；②G是奇数集合，*为乘法；③G是平面向量集合，
*为数量积运算；④G是非零复数集合，*为乘法，其中G关于运算*构成群
的序号是 （将你认为正确的序号都填上）．
16．（5分）已知正四棱锥P﹣ABCD的所有顶点都在半径为1的球面上，当正四
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棱锥P﹣ABCD的体积最大时，该正四棱锥的高为 ．
三、解答题（共5小题，满分60分）
17．（12分）已知数列{a
n}满足a
1＝511，4a
n＝a
n﹣1﹣3（n≥2）．
（1）求证：（a
n+1）是等比数列；
（2）令b
n＝|log
2（a
n+1）|，求{b
n}的前n项和S
n．
18．（12分）某初中对初二年级的学生进行体质测试，已知初二一班共有学生30
人，测试立定跳远的成绩用茎叶图表示如下（单位：cm）：
男生成绩在175cm以上（包括175cm）定义为“合格”，成绩在175cm以下（不
包括175cm）定义为“不合格”；
女生成绩在165cm以上（包括165cm）定义为“合格”，成绩在165cm以下（不
包括165cm）定义为“不合格”．
（1）求女生立定跳远成绩的中位数；
（2）若在男生中用分层抽样的方法抽取6个人，求抽取成绩“合格”的学生人
数；
（3）若从全班成绩“合格”的学生中选取2个人参加复试，用X表示其中男生
的人数，试写出X的分布列，并求X的数学期望．
19．（12分）如图（1），在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为AB和CD
的中点，且AB＝EF＝2，CD＝6，M为BC中点，现将梯形BEFC沿EF所在
直线折起，使平面EFCB⊥平面EFDA，如图（2）所示，N是线段CD上一
动点，且CN＝λND．
（Ⅰ）当时，求证：MN∥平面ADFE；
（Ⅱ）当λ＝1时，求二面角M﹣NA﹣F的余弦值．
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20．（12分）已知动点P在抛物线x2＝2y上，过点P作x轴的垂线，垂足为H，
动点Q满足＝．
（1）求动点Q的轨迹E的方程；
（2）点M（﹣4，4），过点N（4，5）且斜率为k的直线交轨迹E于A、B两点，
设直线MA、MB的斜率分别为k
1、k
2，求|k
1﹣k
2|的最小值．
21．（12分）已知函数f（x）＝e1﹣x（﹣a+cosx），a∈R．
（Ⅰ）若函数f（x）存在单调减区间，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若a＝0
，证明：，总有f（﹣x﹣1）+2f′（x）•cos（x+1）
＞0．
选修4-1：几何证明选讲
22．（10分）已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形，且BC＝CD，其对角线AC
与BD相交于点M．过点B作⊙O的切线交DC的延长线于点P．
（1）求证：AB•MD＝AD•BM；
（2）若CP•MD＝CB•BM，求证：AB＝BC．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
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23．在平面直角坐标系中，已知直线l
的参数方程为（t为参数），以
坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程
为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ＝12，点F的极坐标为（2，π），且F在直线l上．
（Ⅰ）若直线l与曲线C交于A、B两点，求|FA|•丨FB丨的值；
（Ⅱ）求曲线C内接矩形周长的最大值．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知∃x
0∈R使得关于x的不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥t成立．
（Ⅰ）求满足条件的实数t集合T；
（Ⅱ）若m＞1，n＞1，且对于∀t∈T，不等式log
3m•log
3n≥t恒成立，试求m+n
的最小值．
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2016年辽宁省大连市高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，集合B＝{x
|}，则A∩B＝（ ）
A．（1，2） B．（﹣1，2） C．（1，3） D．（﹣1，3）
【解答】解：集合A＝{x|﹣1＜x＜3}＝（﹣1，3），集合B＝{x
|}＝（﹣
1，2），
则A∩B＝（﹣1，2），
故选：B．
2．（5分）设复数z
1，z
2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z
1＝2+i，则
＝（ ）
A．﹣4+3i B．4﹣3i C．﹣3﹣4i D．3﹣4i
【解答】解：∵复数z
1，z
2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z
1＝2+i，
∴z
2＝﹣2+i，从而， ∴＝（2+i）（﹣2﹣i）＝﹣3﹣4i，
故选：C．
3．（5分）已知向量＝（2，﹣1），＝（0，1），则|+2|＝（ ）
A．2 B． C．2 D．4
【解答】解：向量＝（2，﹣1），＝（0，1），则|+2|＝|（2，1）|＝．
故选：B．
4．（5
分）已知函数
，则＝（ ）
A．4 B
． C．﹣4 D
．
【解答】解：f
（）＝log
5＝﹣2，
＝f（﹣2
）＝，
故选：B．
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5．（5分）已知x，y∈{1，2，3，4，5，6}，且x+y＝7
，则的概率（ ）
A
． B
． C
． D
．
【解答】解：由题基本事件空间中的元素有：（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），
（5，2）（6，1），
满足题意的有（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），
故则
的概率为
＝
故选：B．
6．（5分）已知tanα＝2，α为第一象限角，则sin2α+cosα的值为（ ）
A． B
． C
． D
．
【解答】解：由tanα＝2
＝，sin2α+cos2α＝1，α为第一象限角，
可得
，
，所以，
∴sin2α+cosα
＝，
故选：C．
7．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A
1B
1C
1D
1中，点P是棱CD上一点，则三棱
锥P﹣A
1B
1A的左视图可能为（ ）
A
． B
．
C
． D
．
