2020年辽宁省辽阳市高考数学一模试卷(理科) (含答案解析)

2020年辽宁省辽阳市高考数学一模试卷(理科)

一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 若集合𝐴={2,3，4}，𝐵={𝑥|1+𝑥>3}，则𝐴∩𝐵=( )

A. {4} B. {2} C. {3,4} D. {2,3}

2. 已知复数z满足(3−4𝑖)𝑧=25，则𝑧=( )

A. −3+4𝑖 B. −3−4𝑖 C. 3+4𝑖 D. 3−4𝑖

3. 某位教师2017年的家庭总收入为80000元，各种用途占比统计如下面的折线图．2018年收入的各种用途占比统计如下面的条形图，已知2018年的就医费用比2017年增加了4750元，则该教师2018年的家庭总收入为(单位：元)

A. 100000 B. 95000 C. 90000 D. 85000

4. 甲、乙、丙、丁、戊和己6名在一次数学考试中，成绩各不相同。甲、乙、丙、丁去问成绩，老师说“甲和乙都不是最高分，乙肯定不是最低分，丙得分比丁高”.则这6位同学的得分排名情况有( )

A. 360种 B. 288种 C. 240种 D. 192种

5. 已知向量𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ，|𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，则𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( )

A. 9 B. 8 C. 7 D. 10

6. 双曲线𝑥216−𝑦29=1的离心率为______ A. 54

B.

53

C.

45

D.

35

7. 采用随机数表法从编号为01，02，03，……，30的30个个体中选取7个个体，指定从下面随机数表的第一行第5列开始，由左向右选取两个数字作为应取个体的号码，则选取的第6个个体号码是( )

03 47 43 86 3616 47 80 45 6911 14 16 95 3661 46 98 63 7162 33 26 36 77

97 74 24 67 6242 81 14 57 2042 53 32 37 3227 07 36 07 5224 52 79 89 73

A. 14 B. 16 C. 20 D. 26

8. 若log2𝑥+log2𝑦=2，则𝑥+2𝑦的最小值为( )

A. 2 B.

2√2 C. 4 D. 4√2

9. 若𝑡𝑎𝑛𝛼=2，则𝑠𝑖𝑛2𝛼=( )

A. −25 B. −45 C. 25 D. 45

10. 已知四棱柱𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，𝐴𝐴1⊥平面ABCD，且底面ABCD是正方形，𝐴𝐵=2，𝐶𝐶1=1，则异面直线𝐴𝐵1与𝐵𝐶1所成角的余弦值为( )

A. 12 B. √1010 C. √105 D. 15

11. 将函数的图像向右平移12个单位长度后得到𝑔(𝑥)的图像，则( )

A. 𝑔(𝑥)=sin(𝜋𝑥−12) B. 𝑔(𝑥)=cos𝜋𝑥

C. 𝑔(𝑥)=sin(𝜋𝑥+12) D. 𝑔(𝑥)=−cos𝜋𝑥

12. 函数𝑓(𝑥)的导函数为𝑓′(𝑥)，对任意的𝑥∈𝑅，都有2𝑓′(𝑥)>𝑓(𝑥)成立，则( )

A. 3𝑓(2ln2)>2𝑓(2ln3)

B. 3𝑓(2ln2)<2𝑓(2ln3)

C. 3𝑓(2ln2)=2𝑓(2ln3)

D. 3𝑓(2ln2)与2𝑓(2ln3)的大小不确定

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. △𝐴𝐵𝐶的内角A，B，C对边分别为a，b，c，且满足sin𝐴：sin𝐵：sin𝐶=2：3：4，则𝑎+𝑏𝑏+𝑐=_____ ．

14. 三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶的四个顶点都在球O上，PA，PB，PC两两垂直，𝑃𝐴=𝑃𝐵=𝑃𝐶=2√3，球O的体积为______. 15. 函数𝑦=√4−2−𝑥的值域是________________．

16. 已知𝐹1，𝐹2是椭圆C：𝑥24+𝑦23=1的左右焦点，P是直线l：𝑦=𝑥+𝑚(𝑚∈𝑅)上一点，若|𝑃𝐹1|+|𝑃𝐹2|的最小值是4，则实数𝑚=__________．

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17. 如图所示，在四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，底面ABCD是矩形，𝑃𝐴⊥平面ABCD，𝑃𝐴=𝐴𝐷=4，𝐴𝐵=2，𝐵𝑀⊥𝑃𝐷于点M．

(1)求证：𝐴𝑀⊥𝑃𝐷；

(2)求直线CD与平面ACM所成角的余弦值．

18. 某服装厂拟申报“质量管理示范企业”称号，先进行自查，自查方法如下：先随机抽取50件进行检验，假设每件服装不合格的概率为𝑝(0<𝑝<1)，且各件是否合格相互独立．

(1)记50件服装中恰有一件不合格的概率为𝑓(𝑝)，求𝑓(𝑝)的最大值点𝑝0． (2)以(1)中确定的𝑝0作为p的值，已知质检部门规定：先从一批服装中随机抽取3件进行检验，若3件都合格，则可授予“质量管理示范企业”称号；若有2件合格，则再从剩下的服装中任意抽取一件进行检验，若检验合格，则也可以授予“质量管理示范企业”称号．

(𝑖)求该服装厂申报“质量管理示范企业”称号成功的概率；

(𝑖𝑖)若每件服装的检验费为1000元，并且所抽取的服装都要检验，记这批服装的检验费为𝜉(单位：元)，求𝜉的分布列与数学期望．(附：0.983≈0.9412，概率结果精确到0.001.)

19. 数列{𝑎𝑛}是公差为𝑑(𝑑≠0)的等差数列，𝑆𝑛为其前n项和，𝑎1,𝑎2,𝑎5成等比数列，(Ⅰ)证明成等比数列；

(Ⅱ)设𝑎1=1,𝑏𝑛=𝑎2𝑛,求数列{𝑏𝑛}的前n项和𝑇𝑛．

20. 设函数𝑓(𝑥)=𝑎2(𝑥−1)2−𝑥+ln𝑥(𝑎>0)

(1)讨论𝑓(𝑥)的单调性； (2)若1<𝑎<𝑒，试判断𝑓(𝑥)的零点个数．

21. 已知抛物线𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝>0)的焦点为𝐹(2,0)．

(1)求p；

(2)斜率为1的直线过点F，且与抛物线交于A，B两点，求线段AB的长．

22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{𝑥=2+√3cos𝜃𝑦=√3sin𝜃(𝜃为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知点𝑃(𝜌,𝜃)(𝜌>0,0≤𝜃≤2𝜋)是曲线C在极坐标中的任意一点．

(Ⅰ)证明：4cos𝜃=𝜌+1𝜌.

(Ⅱ)求𝜃的取值范围．

23. 已知函数𝑓(𝑥)=|𝑥−4|+|1−𝑥|，𝑥∈𝑅.

(1)解不等式：𝑓(𝑥)≤5；

(2)记𝑓(𝑥)的最小值为M，若实数ab满足𝑎2+𝑏2=𝑀，试证明：1𝑎2+2+1𝑏2+1≥23．

【答案与解析】

1.答案：C

解析：解：𝐵={𝑥|𝑥>2}；

∴𝐴∩𝐵={3,4}．

故选：C．

可求出集合B，然后进行交集的运算即可．

考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算．

2.答案：C

解析：

本题考查复数的运算，属于基础题．

由复数的运算法则求解即可．

解： 因为(3−4𝑖)𝑧=25，

所以𝑧=253−4𝑖=25(3+4𝑖)(3−4𝑖)(3+4𝑖)=3+4𝑖．

故选C．

3.答案：D

解析：

本题主要考查折线图、条形图，属于基础题．

根据折线图求出2017年就医花费，根据条形图求出2018年收入．

解：根据折线图可知，2017年就医花费80000×10％=8000元，

则2018年就医花费8000+4750=12750元，

根据条形图可知，2018年收入1275015％=85000元． 故选D．

4.答案：D

解析：

本题主要考查排列组合的相关知识，难度不大，由题意知乙所受限制最多，所以可以先限定乙的排列情况，其次是甲，最后根据全排列中“丙得分比丁高”的限制条件综合得到结果．

解：由题意知乙既不是最高分也不是最低分，所受限制最多，所以先排乙，且有4种情况；

再排甲，也有4种情况；

剩下丙、丁、戊和己4名，全排列有𝐴44种情况，其中“丙得分比丁高”和“丙得分比丁低”的情况各占一半，

所以“丙得分比丁高”的情况有12𝐴44种，

所以“甲和乙都不是最高分，乙肯定不是最低分，丙得分比丁高”的得分排名情况有4×4×12𝐴44=192种，

故选D．

5.答案：A

解析：

本题考查向量的数量积和向量垂直，向量加法的运用，属于简单题．

化得𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ )，即可求解．

解：向量𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ，|𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，则𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =0，

𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ )

=𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ 2+𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗

=32+0

=9．

故选：A．

6.答案：A