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第2课时 一次函数的图象和性质
1．了解并掌握一次函数的图象与性质；(重点)
2．能灵活运用一次函数的图象与性质解答有关问题．(难点)
一、情境导入
在同一直角坐标系内作出下列一次函数的图象：y＝x＋2；y＝x；y＝x－2.观察图象你能得出什么结论？
二、合作探究
探究点一： 一次函数的图象
作出一次函数y＝12x＋1的图象，并根据图象回答下列问题：
(1)当x＝3时，y＝________；当y＝－32时，x＝________；
(2)图象与x轴的交点坐标是________，与y轴的交点坐标是________；
(3)当y>0时，x________．
解析：作y＝12x＋1的图象，取(0，1)，(－2，0)两点，已知x代入关系式求y，已知y代入关系式求x.列表如下：
x 0 －2
y＝12x＋1 1 0
描点、连线，y＝12x＋1的图象如下图：
(1)当x＝3时，y＝2.5；当y＝－32时，x＝－5.
(2)图象与x轴的交点坐标是(－2，0)，与y轴的交点坐标是(0，1)．
(3)当y>0时，x>－2.
方法总结：一次函数的图象y＝kx＋b是与坐标轴相交的直线，只需描出点(0，b)，(－bk，0)就可以作出图象．
探究点二：一次函数的性质
【类型一】 一次函数图象的性质
已知一次函数y＝(2＋m)x＋(n－4)．
(1)m为何值时，y随x的增大而减小？
(2)m、n为何值时，函数图象与y轴的交点在x轴的下方？
(3)m、n为何值时，函数图象过原点？
解析：(1)因为k<0时，y随x的增大而减小，故2＋m<0；(2)要使直线与y轴的交点在x轴的下方，必有2＋m≠0，同时n－4<0；(3)直线过原点是正比例函数的特征，即2＋m≠0且n－4＝0.
解：(1)依题意，得2＋m<0，即m<－2.第 2 页 共 3 页
故当m<－2时，y随x的增大而减小．
(2)依题意，得2＋m≠0，n－4<0.解得n<4且m≠－2.故当m≠－2且n<4时，函数图象与y轴的交点在x轴的下方．
- 1 - 专题：一次函数的图象、性质和应用
一、选择题
1.【泰兴市二模】如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（1，1），B（3，1），C（2，2），当直线y=12x+b与△ABC有交点时，b的取值范围是（ ）
A、－1≤b≤1 B、－12≤b≤1 C、－12≤b≤12 D、－1≤b≤12
2.【无锡市崇安区一模】一次函数y=－2x+4的图象与y轴的交点坐标是（ ）
A、（0，4） B、（4，0） C、（2，0） D、（0，2）
3.【江阴市青阳片一模】已知点A（－4，0），B（2，0）．若点C在一次函数y=12x+2的图象上，且△ABC是直角三角形，则点C的个数是（ ）
A、1 B、2 C、3 D、4
4.【徐州市一模】将函数y=－5x的图象沿y轴向上平移3个单位长度后，所得图象对应的函数关系式为（ ）
A．y=－5x+3 B．y=－6x－3 C．y=－5（x+3） D．y=－5（x－3）
5.【苏州市吴江区一模】在平面直角坐标系中，将直线x=0绕原点顺时针旋转45°，再向上平移1个单位后得到直线a，则直线a对应的函数表达式为（ ）
A．y=x B．y=x－1 C．y=x+1 D．y=－x+1
二、填空题
1.【昆山市二模】正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图的方式放置．点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y=x+1和x轴上，则点B6的坐标是 ．
2.【徐州市二模】点A（－1，y1），B（3，y2）是直线y=kx+b（k＜0）上的两点，则y1－y2 - 2 - 0（填“＞”或“＜”）．
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1 如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。——高斯
专题：一次函数的图像及性质重难点
考点一
一次函数的图像及性质
1．一次函数y＝kx＋b与y＝kx的图像关系
(1)平移变换：y＝kx－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－→y＝kx＋b；
(2)作图：通常采用“两点定线”法作图，一般取直线：
与y轴的交点(0，b) ，与x轴的交点(－bk，0) ；
注意：平移前后两直线 ，平行直线的系数k ；
2．一次函数y＝kx＋b的图像与性质
k b 示意图 象限 增减性
k>0 b>0 y随x增大
而 ． b<0
k<0 b>0 y随x增大
而 ． b<0
注意：①系数k叫直线的斜率，反映直线的倾斜程度，与直线的增减性有关，即：k>0时直线递增，k<0时直线递减；
②常数b叫直线的截距，反映直线与y轴的交点位置，即：b>0时直线交于y正半轴，b＜0时直线交于y负半轴．
【例1】1．对于y＝－2x＋4的图象，下列说法正确的是( D )
A．经过第一、二、三象限 B．y随x的增大而增大
C．图象必过点(－2，0) D．与y＝－2x＋1的图象平行
2．若ab＜0且a＞b，则函数y＝ax＋b的图象可能是( A )
3．将函数y＝－0.5x 的图象向上平移3个单位，得到的函数与x轴、y轴分别交于点A，B，则△AOB 的面积是 9 ．
4．已知一次函数y＝kx＋2k＋3(k≠0)的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，且函数值y随x的增大而减小，则k所有可能取得的整数值为 －1 ．
5．已知一次函数y=(2m－1)x－m+3，分别求下列m的范围：
(1)过一、二、三象限； (2)不过第二象限；
(3) y随x增大减小． (4)与y正半轴相交．
解：(1) 12＜m＜3；(2) m≥3；(3) m＜12； (4) m＜3且m≠12．
一次函数的图像和性质
一次函数是一个代数函数，也称为线性函数或直线函数。它是最简单的一种函数形式，在数学和物理等领域中都有广泛的应用。一次函数的一般形式为y = ax + b，其中a和b是常数，且a≠0。
一次函数的图像是一个直线，在平面直角坐标系中表示为一根斜率为a的直线，并且通过点(0,b)。斜率a表示函数的变化率，即y随x的变化速度。当a>0时，表明随着x增大，y也增大；当a<0时，表明随着x增大，y减小；当a=0时，函数是一个常数函数。
一次函数图像的性质包括斜率、截距、与坐标轴的交点等。
1.斜率：一次函数的斜率表示函数图像在x轴方向每单位变化时，y轴方向的变化量。斜率的计算可以通过选择两个不同的x值，计算对应的y值的差异，然后除以对应x值的差异。即斜率a=Δy/Δx。斜率为正的函数图像向上倾斜，斜率为负的函数图像向下倾斜，斜率为零的函数图像是水平的。
2. 截距：一次函数的截距表示函数图像与y轴的交点，它的值可以从函数的形式y=ax+b中得到。当x=0时，y=b，因此截距为b。
3. 与坐标轴的交点：一次函数的图像与x轴的交点为y=0时的x值，可以通过令y=0，解方程ax+b=0，得到x=-b/a。图像与y轴的交点已经在上述截距部分提到，为(0, b)。
4.平行：两个斜率相等的一次函数图像是平行的，它们可能在坐标轴上的交点不同，但是平行于同一直线。 5. 垂直平分线：对于一次函数y = ax + b，它的垂直平分线为x =
-a/2、如果两个函数的图像关于该直线对称，那么它们是互为反函数。
6. 对称轴：对于一次函数y = ax + b，它的对称轴为x = -b/(2a)。如果交换a和b的位置，可以得到该函数关于y轴对称函数。如果交换x和y的位置，可以得到原函数的倒数。
7.等差数列：一次函数的图像可以表示等差数列，其中公差为斜率a。数列的第一个项为截距b。
8.增长率：一次函数的增长率等于斜率a的绝对值。增长率越大，函数图像的斜率就越陡峭，函数增长得越快。
