一次函数图象与性质

Ｓ　一次函数是初中函数内容的基础，其图象直观、形象地反映了自变量与函数的对应关系以及变化规律，不　仅从形的角度刻画了一次函数的性质，同时也架起了联系一次函数与一元一次方程、二元一次方程、一元　一次不等式的桥梁．利用一次函数的性质及变量的限制条件，可以解决某些实际生活中的选优问题．一　次函数的图象与性质在中考中占有重要的地位。是中考热点之一．　函数的图象与性质　叠　

表１　

ｏ两　．萤Ｉ一　吗９试从　２４　例题呈现　一、一次函数、方程、不等式　试题１　（２００９浙江台州）如　图１所示，直线Ｚ１：　＋１与直线Ｚ２：　ｍｘ＋ｎ相交于点Ｐ（１．ｂ）．　（１）求ｂ的值．　（２）不要求解关于　，ｙ的方程组　｛ｙ＝ｘ¨’请你直接写出它的解．　［ｙ＝ｍｘ＋ｎ，　（３）直线如：ｙ＝　＋ｍ是否也经过　点　请说明理由．　Ｊ　＼．　／Ｚｌ　／　６　／　＼　ｌ　＼　／ｏ　１　一　图１　匿重滢　（１）因为（１，ｂ）在直线　＋１上，所以当　＝１时，６＝１＋１＝２　ｆ　＝１．　（２）｛　【　２　（３）直线　＋ｍ也经过点　因为点尸（１，２）在］Ｌ￣￣ｙ＝ｍｘ＋ｎ－Ｌ，所以ｍ＋　ｎ＝２，所ｖＸ２＝ｎｘｌ＋ｍ，这说明直线　似＋ｍ也经过点　黧蕊蠹　一次函数与二元一次方程（组）的关系如表１所示．　次　▲　东　一　山　一　Ｏ　————一图　１５０（分）．　（２）８＋（２００－５０）ｘ０．２＝３８（元），３８－３　１．５＝　６．５－，Ｌ，所以如果不使用９分卡，他这个月　【　将多支付话费６５元．　神奇ＤＮＡ技术　【　１．Ａ　２．略．　３．（１）设公司采购了　个大包装箱，Ｙ　．　个小包装箱．根据题意得ｆ　０ｘ＋５ｙ＝３２５０，　Ｌ５ｘ＋３ｙ＝１７０ｆｆ　解得ｆ脚５０，所以公司采购了２５０术大　［ｙ＝１５０．　１　包装箱．１５０个小包装箱．　。　（２）设公司派Ａ种型号的车：辆，则Ｂ　１　种型号的车为（１０一ｚ）辆．根据题意得　【　』３０ｚ＋２０（１０－ｚ）￣２５０，解得５≤ｚ≤一２５．　【１０ｚ＋４０（１０　）≥１５０．　３　｝　因为。为正整数，所ｖＸｚｇ￣５、６，７、８．所以　共有４条方案：方案１．公司派Ａ种型号的　车５辆，Ｂ种型号的车５辆；方案２，公司派Ａ　种型号的车６辆．Ｂ种型号的车４辆：方案　３，公司派Ａ种型号的车７ｔ￣ｉ，Ｂ种型号的车　３辆；方案４，公司派Ａ种型号的车８辆，Ｂ种　型号的车２辆．　（３）因为Ａ种车省油，所以应多用Ａ　型车，因此最好安排Ａ种车８辆，Ｂ种车２　辆．即方案４．　４．（１）点Ａ，Ｂ的坐标分别为（一ｌ０，５），　（１０，５）．　（２）文物的高度为兰　ｅｍ．　４　（３）镀膜示意图如下图．　由示意图可知．镀膜外围周长由四条线　段长和四务半径为３　ｃｍ的弧长构成。镀膜　的外围周长为（１０　＋５０＋６＇ｒｒ）ｅｍ．　５．（１）１５　（２）ｙｌ＝２０（ｘ一５）　（３）ｙｚ＝１５－１０（ｘ－５）　（４）点Ｃ表示小明与爸爸相遇处＿当小　明与爸爸相遇时，Ｙ￣－－Ｙ２。￣ｅ２０ｘ一１００＝一１眦＋　６５．解得　：　．　＝１０（ｋｍ）．　’　１　…　所以此时小明离家还有１０ｋｍ．　查漏补缺自测表　１．Ｃ　２．平移：　３．Ｄ　４．６　５．（１）略．　（２）略．　（３）（０，０）．　（４）是轴对称图形（图略）．　６．Ｄ　７．（１）略．　（２）设坐标纸中方格边长为单位１，则　Ｐ（　，　）以０为位似中心放大为原来的２传　（　，２ｙ）竺　塑塑塑－２ｘ，２ｙ），鱼查±堑　堂（一２ｘ＋４，２ｙ）鱼圭±翌　兰堡　（一　＋４，２ｙ＋５）．　８．（１）图略．　（２）根据网格图￣ＡＢ－－４，ＢＣ＝３，所以　线段曰Ｃ所扫过的图形的面积　｛１Ｔ（Ａ　Ｃ２－Ａ　Ｂｚ）：　（ｅｍ２）．　４　４　一次函数的图象与性质　１．　＞一２　２．　ｌ＞ｌ　３．（１）５０　（２）ｙ＝２ｘ一３０　（３）＠Ｐ＝１５ｘ＋２５０；②购进２３套Ａ￣１，　１６套Ｂ型。ｌ１套Ｃ型时获得最大利润．为　５９５元．　一次函数　１．Ｃ　２（０，一１）　３．一１＜ｘ＜２　４（１）ｙ＝１５０＋ｘ　ｆ０．５ｘ＋（５　）・（１２≤１９，　（２）｛　２８￣＜ｘ≤　【Ｑ３　＋（５０　）・ｎ４≤１７．２，　３０．￣ｘ＝２８Ｎ，ｙ最小，ｙ￣，＝１７８．　稀趣推存　１．Ｃ　２　：±５　３．Ｄ　４．Ａ　５．（１）（２）略　（３）真；真；假　．　６（１）因为Ｍ（。，　１　ｌＪ仕　了１　＋６上，　所以　：１×０＋ｂ．即６：ｌ＿．　４　３　４　（２）由（１）得　÷　＿４１，因为　・（１　）　在ｚ上，所以当　＝１时　＝≥×１　＿４１＝　７，所　以Ｂ。（１，　）．设抛物线表达式为ｙ　（　一　１）　（　０），又因机　，　），　进而　（川）　＋　７，即一　，　所以经过点　，Ｂ。，Ａ　２的抛物线的解析　式为　一　ｚ＋　．　（３）存在美丽抛物线．由抛物线的　对称性可知．所构成的直角三角形必是　以抛物线顶点为直角顶点的等腰直角三　角形．所以此等腰直角三角形斜边上的　高等于斜边的一半．又因为０＜ｄ＜１．所以　等腰直角三角形斜边的长小于２．所以等　腰直角三角形斜边上的高必小于１．即抛　物线的顶点纵坐标必小于１．　因为当　时　＝　×　＋÷＝　＜　，　当　＝２时，　≥×２＋｛：　＜　，当　＝ｓ时，　ｙ３：一１　ｘ３＋一１：ｌ—　＞１，所以美丽抛物线的　３　４　４　顶点只有Ｂ，．Ｂ，．

第07讲 一次函数-— 图象与性质（教案）

一、教学内容

第07讲 一次函数—图象与性质

《数学》人教版七年级下册第七章

1. 一次函数的图象

- 一次函数图象的定义与特点

- 一次函数图象的绘制方法

2. 一次函数的性质

- 一次函数的增减性

- 一次函数的截距与斜率

- 一次函数的图像与坐标轴的交点

3. 一次函数图象的应用

- 利用一次函数解决实际问题

- 根据图象分析一次函数的性质

- 一次函数图象的变换与识别

4. 练习与巩固

- 判断一次函数的增减性

- 根据斜率和截距绘制一次函数图象

- 解答与一次函数相关的问题，运用图象分析解决实际问题

二、核心素养目标

1. 培养学生的数感与符号意识，通过一次函数的学习，使学生能够理解数学符号表示的实际意义，提高运用符号进行表达和交流的能力。

2. 培养学生的空间观念和几何直观，通过绘制和分析一次函数图象，使学生能够直观地感受函数与图象之间的关系，增强对几何图形的认识和理解。

3. 发展学生的数据分析观念，培养学生从实际问题中提取数学信息，运用一次函数解决实际问题的能力，提高数据分析与应用的水平。

4. 培养学生的逻辑推理能力，通过探究一次函数的性质，使学生学会运用逻辑推理方法分析问题，形成严谨的数学思维。

5. 培养学生的模型思想，使学生能够建立一次函数模型，运用数学工具解决现实生活中的问题，增强数学在实际生活中的应用意识。

三、教学难点与重点

1. 教学重点

- 一次函数图象的绘制：重点掌握利用斜率和截距绘制一次函数图象的方法，理解图象与坐标轴交点的含义。

- 例如：给定一次函数y=2x+3，学生需理解斜率k=2表示图象的倾斜程度，截距b=3表示图象与y轴的交点。

- 一次函数的性质：重点掌握一次函数的增减性、斜率和截距的概念，以及它们对图象的影响。

- 例如：解释一次函数y=kx+b中，当k>0时，函数随x增大而增大；当k<0时，函数随x增大而减小。

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1 如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。——高斯

专题：一次函数的图像及性质重难点

考点一

一次函数的图像及性质

1．一次函数y＝kx＋b与y＝kx的图像关系

(1)平移变换：y＝kx－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－→y＝kx＋b；

(2)作图：通常采用“两点定线”法作图，一般取直线：

与y轴的交点(0，b) ，与x轴的交点(－bk，0) ；

注意：平移前后两直线 ，平行直线的系数k ；

2．一次函数y＝kx＋b的图像与性质

k b 示意图 象限 增减性

k>0 b>0 y随x增大

而 ． b<0

k<0 b>0 y随x增大

而 ． b<0

注意：①系数k叫直线的斜率，反映直线的倾斜程度，与直线的增减性有关，即：k>0时直线递增，k<0时直线递减；

②常数b叫直线的截距，反映直线与y轴的交点位置，即：b>0时直线交于y正半轴，b＜0时直线交于y负半轴．

【例1】1．对于y＝－2x＋4的图象，下列说法正确的是( D )

A．经过第一、二、三象限 B．y随x的增大而增大

C．图象必过点(－2，0) D．与y＝－2x＋1的图象平行

2．若ab＜0且a＞b，则函数y＝ax＋b的图象可能是( A )

3．将函数y＝－0.5x 的图象向上平移3个单位，得到的函数与x轴、y轴分别交于点A，B，则△AOB 的面积是 9 ．

4．已知一次函数y＝kx＋2k＋3(k≠0)的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，且函数值y随x的增大而减小，则k所有可能取得的整数值为 －1 ．

5．已知一次函数y=(2m－1)x－m+3，分别求下列m的范围：

(1)过一、二、三象限； (2)不过第二象限；

(3) y随x增大减小． (4)与y正半轴相交．

解：(1) 12＜m＜3；(2) m≥3；(3) m＜12； (4) m＜3且m≠12．

1

一次函数的图象与性质练习

1、若一次函数y＝kx＋1(k为常数，k≠0)的图象经过第一、二、三象限，则k的取值范围是________．

2、一次函数y＝(m＋2)x＋1，若y随x的增大而增大，则m的取值范围是________．

3、某一次函数的图象经过点（﹣1，3），且函数y随x的增大而减小，请你写出一个符合条件的函数解析式 ．

4、一次函数2xy的图象不经过的象限是【 】

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

5、一次函数52xy与x轴交于______，与y轴交于______。

6、直线62xy与两坐标轴围成的三角形面积是 ．

7、星期天晚饭后，小红从家里出发去散步，图描述了她散步过程中离家s（米）与散步所用的时间t(分)之间的函数关系．依据图象，下面描述符合小红散步情景的是【 】

A.从家出发,到了一个公共阅报栏,看了一会报后,就回家了.

B.从家出发,一直散步(没有停留),然后回家了.

C.从家出发,到了一个公共阅报栏,看了一会报后,继续向前走了一会,然后回家了.

D.从家出发,散了一会步,就找同学去了,18分钟后才开始返回.

8、一汽车在某一直线道路上行驶，该车离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系如图所示（折线ABCDE），根据图中提供的信息，给出下列说法：①汽车共行驶了120千米；②汽车在行驶途中停留了0.5小时；③汽车在行驶过程中的平均速度为803千米/小时；④汽车自出发后3小时至4.5小时之间行驶的速度在逐渐减小.其中正确的说法共有【 】

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

2

9、对于一次函数y＝(3－k)x＋(k＋1)．

（1）若函数图象过原点，求k的值；

（2）若y随x的增大而增大，求k的取值范围；

（3）若y随x的增大而减小，求k的取值范围．