高考专题练习： 直线、平面平行的判定与性质

1．直线与平面平行的判定定理和性质定理

文字语言 图形语言 符号语言

判定

定理 平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行) 因为l∥a，

a⊂α，l⊄α，

所以l∥α

性质

定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”) 因为l∥α，l⊂β，

α∩β＝b，所以l∥b

2．平面与平面平行的判定定理和性质定理

文字语言 图形语言 符号语言

判定

定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”) 因为a∥β，b∥β，

a∩b＝P，a⊂α，

b⊂α，所以α∥β

性质

定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 因为α∥β，α∩γ＝a，

β∩γ＝b，所以a∥b

常用结论

1．三种平行关系的转化

线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是解决与平行有关的证明题的指导思想．

2．平行关系中的三个重要结论

(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.

(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.

(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α.( )

(2)若直线l在平面α外，则l∥α.( )

(3)若直线l∥b，直线b⊂α，则l∥α.( )

(4)若直线l∥b，直线b⊂α，那么直线l平行于平面α内的无数条直线．( )

答案：(1)× (2)× (3)× (4)√

二、易错纠偏

常见误区| (1)对空间平行关系的相互转化条件理解不够；

(2)忽略线面平行、面面平行的条件．

1．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的( )

A．一条直线不相交 B．两条直线不相交

C．无数条直线不相交 D．任意一条直线都不相交

解析：选D．因为a∥平面α，直线a与平面α无公共点，因此a和平面α内的任意一条直线都不相交，故选D．

2．如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________．

解析：因为平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，所以EF∥HG.同理EH∥FG，所以四边形EFGH是平行四边形．

答案：平行四边形

与线、面平行相关命题的判定(师生共研)

(1)设m，n表示不同直线，α，β表示不同平面，则下列结论中正确的是( )

A．若m∥α，m∥n，则n∥α

B．若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β

C．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥β

D．若α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则n∥β

(2)(2020·沈阳市教学质量监测(一))已知a，b为两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列说法中正确的是 ( )

①若a∥α，α∥β，则a∥β；②若α∥β，β∥γ，则α∥γ；

③若a⊥α，b⊥α，则a∥b；④若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β.

A．①③ B．②③

C．①②③ D．②③④

【解析】 (1)A错误，n有可能在平面α内；B错误，平面α可能与平面β相交；C错误，n也有可能在平面β内；D正确，易知m∥β或m⊂β，若m⊂β，又n∥m，n⊄β，所以n∥β，若m∥β，过m作平面γ交平面β于直线l，则m∥l，又n∥m，所以n∥l，又n⊄β，l⊂β，所以n∥β.

(2)若a∥α，α∥β，则a可能平行于β，也可能在β内，故①不正确；若α∥β，β∥γ，则由面面平行的性质知α∥γ，故②正确；若a⊥α，b⊥α，则由线面垂直的性质知a∥b，故③正确；若α⊥γ，β⊥γ，则α与β可能平行也可能相交，故④不正确．综上所述，②③正确，故选B．

【答案】 (1)D (2)B

解决线、面平行关系应注意的问题

(1)注意判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的条件中线在面外易被忽视． (2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．

(3)会举反例或用反证法推断命题是否正确．

1．下列命题中正确的是( )

A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面

B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行

C．平行于同一条直线的两个平面平行

D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α

解析：选D．A错误，a可能在经过b的平面内；B错误，a与α内的直线平行或异面；C错误，两个平面可能相交；D正确，由a∥α，可得a平行于经过直线a的平面与α的交线c，即a∥c，又a∥b，所以b∥c，b⊄α，c⊂α，所以b∥α.

2．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( )

A．α内有无数条直线与β平行

B．α内有两条相交直线与β平行

C．α，β平行于同一条直线

D．α，β垂直于同一平面

解析：选B．对于A，C，D选项，α均有可能与β相交，故排除A，C，D选项，选B．

线面平行的判定与性质(多维探究)

角度一 线面平行的证明

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是BC，CC1，C1D1，A1A的中点．求证：

(1)BF∥HD1；

(2)EG∥平面BB1D1D.

【证明】 (1)如图所示，取BB1的中点M，连接MH，MC1，易证四边形HMC1D1是平行四边形，

所以HD1∥MC1.

又因为在平面BCC1B1中，BM∥＝FC1，

所以四边形BMC1F为平行四边形，

所以MC1∥BF，所以BF∥HD1.

(2)取BD的中点O，连接EO，D1O，

则OE∥DC且OE＝12DC，

又D1G∥DC且D1G＝12DC，所以OE∥＝D1G，

所以四边形OEGD1是平行四边形，所以GE∥D1O.

又D1O⊂平面BB1D1D，GE⊄平面BB1D1D，

所以EG∥平面BB1D1D.

证明直线与平面平行的常用方法

(1)利用线面平行的定义．

(2)利用线面平行的判定定理：关键是找到平面内与已知直线平行的直线，可先直观判断题中是否存在这样的直线，若不存在，则需作出直线，常考虑利用三角形的中位线、平行四边形的对边平行或过已知直线作一平面，找其交线进行证明．

角度二 线面平行性质定理的应用

如图，在五面体ABCDFE中，底面ABCD为矩形，EF∥AB，过BC的平面交棱FD于点P，交棱FA于点Q.

证明：PQ∥平面ABCD.

【证明】 因为底面ABCD为矩形，所以AD∥BC，

AD∥BCAD⊂平面ADFBC⊄平面ADF⇒BC∥平面ADF，

BC∥平面ADFBC⊂平面BCPQ平面BCPQ∩平面ADF＝PQ⇒BC∥PQ，

PQ∥BCPQ⊄平面ABCDBC⊂平面ABCD⇒PQ∥平面ABCD.

应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线．该定理的作用是由线面平行转化为线线平行．

1．(一题多解)(2021·河南中原名校联考)如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，E，F分别是PA，BD上的点且PE∶EA＝BF∶FD，求证：EF∥平面PBC.

证明：方法一：如图，连接AF，并延长交BC于点G，连接PG，

因为BC∥AD，所以FGFA＝FBFD，

又因为PEEA＝BFFD，

所以PEEA＝GFFA，所以EF∥PG.

又因为PG⊂平面PBC，EF⊄平面PBC，

所以EF∥平面PBC.

方法二：如图，过点F作FM∥AD，交AB于点M，连接EM，

因为FM∥AD，AD∥BC，

所以FM∥BC，又因为FM⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，

所以FM∥平面PBC.

由FM∥AD得BMMA＝BFFD，

又因为PEEA＝BFFD，所以PEEA＝BMMA，所以EM∥PB.

因为PB⊂平面PBC，EM⊄平面PBC，

所以EM∥平面PBC，

因为EM∩FM＝M，EM，FM⊂平面EFM， 所以平面EFM∥平面PBC，

因为EF⊂平面EFM，所以EF∥平面PBC.

2.如图，几何体E-ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.

(1)求证：BE＝DE；

(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.

证明： (1)取BD的中点O，连接CO，EO.

由于CB＝CD，所以CO⊥BD.

又EC⊥BD，EC∩CO＝C，又因为CO，EC⊂平面EOC，

所以BD⊥平面EOC，

因此BD⊥EO，

又O为BD的中点，所以BE＝DE.

(2)取AB的中点N，连接DN，MN，

因为M是AE的中点，N是AB的中点，

所以MN∥BE.

又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC， 所以MN∥平面BEC.

因为△ABD为正三角形，

所以∠BDN＝30°，

又CB＝CD，∠BCD＝120°，

因此∠CBD＝30°，

所以DN∥BC.

又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，

所以DN∥平面BEC.

又MN∩DN＝N，

故平面DMN∥平面BEC，

又DM⊂平面DMN，所以DM∥平面BEC.

面面平行的判定与性质(典例迁移)

如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：

(1)B，C，H，G四点共面；

(2)平面EFA1∥平面BCHG.

【证明】 (1)因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点，

所以GH∥B1C1，又B1C1∥BC，

所以GH∥BC，所以B，C，H，G四点共面．