沪教版六年级数学上册-整数和整除的意义、

第一章数的整除1.1 整数和整除的意义1、在数物体的时候，用来表示物体个数的数1,2,3,4,5，……，叫做整数2、在正整数1,2,3,4,5，……，的前面添上“—”号，得到的数—1，—2，—3，—4，—5，……，叫做负整数3、零和正整数统称为自然数4、正整数、负整数和零统称为整数5、整数a除以整数b，如果除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a1.2 因数和倍数1、如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数2、倍数和因数是相互依存的3、一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身4、一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身1.3 能被2, 5整除的数1、个位数字是0,2,4,6,8的数都能被2整除2、整数可以分成奇数和偶数，能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数3、在正整数中（除1外），与奇数相邻的两个数是偶数4、在正整数中，与偶数相邻的两个数是奇数5、个位数字是0,5的数都能被5整除6、0是偶数1.4 素数、合数与分解素因数1、只含有因数1及本身的整数叫做素数或质数2、除了1及本身还有别的因数，这样的数叫做合数3、1既不是素数也不是合数4、奇数和偶数统称为正整数，素数、合数和1统称为正整数5、每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，这几个素数都叫做这个合数的素因数6、把一个合数用素因数相乘的形式表示出来,叫做分解素因数7、分解素因数方法：树枝分解法、短除法1.5 公因数与最大公因数1、几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其最大的一个叫做这几个数的最大公因数2、如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素数3、把两个数公有的素因数连乘，所得的积就是这两个数的最大公因数4、如果两个数中，较小数是较大数的因数，那么这两个数的最大公因数较小的数5、如果两个数是互素数，那么这两个数的最大公因数是11.6 公倍数与最小公倍数1、几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数2、几个数中最小的公因数，叫做这几个数的最小公倍数3、求两个数的最小公倍数，只要把它们所有的公有的素因数和他们各自独有的素因数连乘，所得的积就是他们的最小公倍数4、如果两个数中，较大数是较小数的倍数，那么这两个数的最小公倍数是较大的那个数如果两个数是互素数，那么这两个数的最小公倍数是两个数的乘积试试你的身手！一：填空题（每空1分，共22分）1．3.6÷2＝1.8，（能，不能）说2整除2.8。

问题：（1）是否有最小的自然数?是什么？（有，0） （2）比5小的所有自然数有?(0,1,2,3,4)（3）共有多少个自然数呢?（4）最小的正整数是几？（1）分析： 带学生参加夏令营，既然要求分组，肯定不能15人作为一大组，这叫不分组，也叫不听从老师的安排；当然也不能分15组，一个人一组，各自为政，这不叫旅游，这叫冒险。

分组的目的，大家彼此合作，便于旅游活动，增进友谊，旅游愉快。

如果平均分成5组，3515=÷,每组3人；如果平均分成3组，15÷3=5,每组5人为什么不能平均分成2组或者4组呢？学生说明理由。

请学生观察： 24 ÷2=12 6÷5=1.221÷3=7 17÷10=1.784÷21=4 35÷6=5 (5)首先提问学生上面六个算式的第一个数叫做？除号后面的叫做？等号后面的叫做？帮助学生复习与熟悉已经学过的被除数与除数的概念。

请学生一起读出上面六个式子的被除数与除数。

请学生将自己认为有共同特征的算式放入不同的圈内。

可以进行以下的提示：注意观察两组算式中的被除数和除数都是整数，他们的运算结果有什么不同？第（1）组算式中的商都是整数，余数为0。

第（2）组算式中的商都是小数，或除不尽。

问题：（1）第一组算式的条件和运算结果各是什么？条件是被除数和除数都是整数，运算结果商都是整数，余数为0。

（2）上面算式中都是用具体的，特殊的数表示，如何把第一组算式用一般的式子表示？（c b a =÷，字母下面对应着被除数，除数，商）。

c b a =÷ 用字母表示数的思想被除数 除数 商总结：整数a 除以整数b ,如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a 能够被b 整除；或者说b 能整除a 。

请学生一起读一下第一组式子。

用两种方法。

（24能被2整除，21能被3整除，84能被21整除，2能整除24，3能整除21，21能整除84，其中在式子1中24是除数，2是被除数。

教 师学 生 上课时间 学 科数学 年 级 预初 课题名称 整数和整除的意义 教学目标1、从数的类型认识整数及整数的分类、自然数的意义。

2、从整数的运算结果看、领会、理解整除的意义和条件 重点难点 整除的意义和整除的条件一、授课内容：如，一片草地的一半是21，一半的一半就是41。

即：零和正整数统称为自然数（natural ：正整数、零、负整统称为整数（integer ）12、 -7、 0、 0.4、 -23、 54、 91、 -8.75、 2016 正整数 负整数 整数 自然数5、若一个自然数为a （a ＞0），则与它相邻的两个自然数可以表示为 ；已知三个连续的自然数之和是54，则这三个数是 。

4、 知识总结与拓展:1、自然数的单位任何一个非0自然数都是由若干个“1”组成的，所以“1”是自然数的单位。

任意一个非0自然数n ，都是n 个1相加的结果。

由0开始，逐次进行“加1”运算，可以得到顺序排列（连续）的各个自然数。

自然数的个数是无限的，最小的自然数是“0”，没有最大的自然数。

2、整数整数； 正整数、零、负正整统称为整数。

正整数：非0自然数也叫正整数，即1，2，3，4，……负整数：小于0的整数叫负整数。

负整数的表示方法是在整数前面加上“–”（读作负）号。

最大的负整数是–1，没有最小的负整数，没有最大的整数。

3、零现在我们知道0是一个数，是最小的自然数。

那么，你们有谁知道零有哪些性质和作用？零的性质：1）0是一个自然数，并且是一个整数，且小于一切非0自然数。

2）0可以表示一个物体都没有，也可以表示确定的内容，例如：飞机零点起飞。

3）0是任意非0自然数的倍数（0除以任意非0自然数的结果为0）4）任何数与0相加，值不变。

5）任何数与0相乘，积等于0。

6）任何数减去0它的值不变。

7）相同的两个数相减，差等于0。

8）0不能作除数。

9）0是唯一的一个中性数，既不是正数也不是负数。

10）0被非0的数除商等于0。

沪教版六年级数学知识点汇总第一章整数1.1 整数和整除的意义1．在数物体的时候；用来表示物体个数的数1,2,3,4,5；……；叫做整数2．在正整数1,2,3,4,5；……；的前面添上“—”号；得到的数—1；—2；—3；—4；—5；……；叫做负整数3. 零和正整数统称为自然数4．正整数、负整数和零统称为整数5．整数a除以整数b；如果除得的商正好是整数而没有余数；我们就说a能被b整除；或者说b能整除a。

1.2 因数和倍数1．如果整数a能被整数b整除；a就叫做b倍数；b就叫做a的因数2．倍数和因数是相互依存的3．一个数的因数的个数是有限的；其中最小的因数是1；最大的因数是它本身4．一个数的倍数的个数是无限的；其中最小的倍数是它本身1.3能被2,5整除的数1．个位数字是0,2,4,6,8的数都能被2整除2．整数可以分成奇数和偶数；能被2整除的数叫做偶数；不能被2整除的数叫做奇数3．在正整数中（除1外）；与奇数相邻的两个数是偶数4．在正整数中；与偶数相邻的两个数是奇数5．个位数字是0,5的数都能被5整除6. 0是偶数1.4 素数、合数与分解素因数1．只含有因数1及本身的整数叫做素数或质数2．除了1及本身还有别的因数；这样的数叫做合数3. 1既不是素数也不是合数4．奇数和偶数统称为正整数；素数、合数和1统称为正整数5．每个合数都可以写成几个素数相乘的形式；这几个素数都叫做这个合数的素因数6．把一个合数用素因数相乘的形式表示出来,叫做分解素因数。

7．通常用什么方法分解素因数: 树枝分解法,短除法1.5 公因数与最大公因数1．几个数公有的因数；叫做这几个数的公因数；其最大的一个叫做这几个数的最大公因数2．如果两个整数只有公因数1；那么称这两个数互素数3．把两个数公有的素因数连乘；所得的积就是这两个数的最大公因数4．如果两个数中；较小数是较大数的因数；那么这两个数的最大公因数较小的数5．如果两个数是互素数；那么这两个数的最大公因数是11.6公倍数与最小公倍数1．几个数公有的倍数；叫做这几个数的公倍数2．几个数中最小的公因数；叫做这几个数的最小公倍数3．求两个数的最小公倍数；只要把它们所有的公有的素因数和他们各自独有的素因数连乘；所得的积就是他们的最小公倍数4．如果两个数中；较大数是较小数的倍数；那么这两个数的最小公倍数是较大的那个数5．如果两个数是互素数；那么这两个数的最小公倍数是；两个数的乘积第二章分数2.1分数与除法1．一般地；两个正整数相除的商可用分数表示；即被除数÷除数= 被除数除数用字母表示为p÷q=pq（p、q为正整数）2.2分数的基本性质1．分数的分子和分母同时乘以一个不为零的整数；分数的值不变2．分子分母只有公因数1的分数叫做最简分数3．把一个分数化成同它相等；但分子、分母都比较小的分数；叫做约分2.3分数的比较大小1．同分母分数的大小只需要比较分子的大小；分子大的比较大；分子小的比较小2．通分的一般步骤是：（1）求公分母——求分母的最小公倍数；（2）根据分数的基本性质；将每个分数化成分母相同的分数。

一、数的整除代数1.1.整数与整除的意义：1.数物体时，用来表示物体的个数的数叫做正整数（1、2、3、4、5、6等）2.在正整数前面加上负号，得到的数叫负整数（-1、-2、-3、-4、-5等）3.零和正整数统称自然数4.正、负整数和0统称为整数5. 整数a除以整数b，如果除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a1.2.因数和倍数1.若a能被b整除，a叫b的倍数，b叫a的因数2.倍数和因数互相依存3.一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身4.一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身1.3.能被2、5整除的数1.各位数是2、4、6、8、0的数都能被2整除2.整数可以分成奇数和偶数，偶数可以被2整除，奇数则不能被2整除3.在正整数中（除1外），与奇数相邻的两个数是偶数4.在正整数中，与偶数相邻的两个数是奇数5.个位数字是0或5的数都能被5整除6.0是偶数1.4.素数、合数与分解素因数1.只含有因数1和其本身的整数叫做素数（或质数）2.除了1和本身还有别的因数，这种数叫做合数3.1既不是素数也不是合数4.奇数和偶数统称正整数，素数、合数和1统称正整数5.每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，这几个素数都叫做这个合数的素因数6.把一个合数用素因数相乘的形式表现出来，叫做分解素因数7.分解素因数的通常方法：短除、树枝分解法1.5.公因数与最大公因数1.几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其最大的一个叫做这几个数的最大公因数2.若两个数只有公因数1，那么称两个数互素数3.把两个数公有的素因数连乘，所得的积就是这两个数的最大公因数4.如果两个数中，较小数是较大数的因数，那么这两个数的最大公因数为较小数本身5.互素数的最大公因数为11.6.公倍数与最小公倍数1.几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数2.几个数中最小的公倍数，叫做这几个数的最小公倍数3.求两个数的最小公倍数，只要把它们所有的公有素因数和它们各自独有的素因数连乘，所得的积就是它们的最小公倍数4.如果两个数中，较大数是较小数的倍数，那么这两个数的最小公倍数是较大的那个数本身5.如果两个数是互素数，那么这两个数的最小公倍数是两个数的乘积*能被3整除的数:各位数之和能被3整除的整数能被4整除的数：末两位数能被4整除的整数能被6整除的数：各位数之和能被3整除的偶数能被8整除的数：末三位数能被8整除的整数能被9整除的数：各位数之和能被9整除的整数能被11整除的数：奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差的绝对值是11的倍数的整数练习：10以内的质数有（）20-40之间（不包括）的合数有（）若A=2×3×3×5，B=2×5×7，则A、B的最大公因数是（）,最小公倍数是（）一个三位数6□3能被3整除，□中最小填（）用“树枝分解法”分解素因数：46、30、52用短除法分解素因数：24、92、315。

1.1整数和整除的意义知识点1：整数的意义和分类1.在数物体的时候，用来表示物体个数的数1、2、3、4……，叫做正整数。

2.在正整数1、2、3、4……的前面添上“—”号，得到的数-1、-2、-3、-4……，叫做负整数。

3. 0既不是正整数，也不是负整数4.零和正整数统称为自然数。

5.正整数、零和负整数，统称为整数。

0⎧⎫⎪⎬⎨⎭⎪⎩自然数整数正整数负整数思考：有多少个整数呢？ 无数又有多少个自然数呢？ 无数是否存在最小的自然数？ 0是否有最大的自然数呢？ 没有是否有最小的整数？ 没有是否存在最大的整数？ 不存在是否存在最小的正整数？ 1【例1】 从下列书中选择适当的数填入相应的圈内 25,- 13, 2.47, 8.75,- 0, 29 自然数 正整数 负整数 整数知识点2：整除整除的定义：整数a 除以整数b ，如果除得的商是整数而余数为0，我们就说a 能被b 整除，或者说b 能整除a 。

a ÷b=c (a.b.c 都是整数且b 不等于0 )整除的条件：（1）除数、被除数都是整数（2）被除数除以除数，商是整数而且余数为零例1：下列算式中表示整除的算式是（ ）A. 0.80.42÷=B. 16351÷= C. 212÷= D. 8160.5÷=【例2】 能整除12的数有哪些？________________________________。

知识点3： 整除与除尽整除：被除数和除数----都是整数，除数不等于0， 商----商是整数，余数为0除尽：被除数和除数----不一定是整数，除数不等于0，商----商是整数或有限小数，没有余数其实，整数是除尽的一种特殊形式例：从下列算式中选择适当的算式填入相应的圈内2555÷=， 2.50.55÷=， 25381÷=， 254 6.25÷=265 5.2÷= 3575÷= 0.90.33÷= 22731÷=整 除 除 尽巩固练习：判断题（1）自然数的个数是有限的。

整数和整除内容分析整数和整除是六年级数学上学期第一章第一节内容，主要对整数的分类和整除的概念进行讲解，重点是整除的概念理解，难点是整除条件的归纳总结．通过这节课的学习一方面为我们后期学习公因数和公倍数提供依据，另一方面也为下学期学习有理数奠定基础．知识结构模块一：整数和整除的意义知识精讲1、整数的意义和分类（1）自然数：零和正整数统称为自然数；（2）整数：正整数、零、负整数，统称为整数．2、整除的意义步同级年六2 / 20整数a 除以整数b ，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a 能被b 整除；或者说b 能整除a ．【例1】 在12、5.352、0、0.2、30、12.4、9.5、1这些数中，整数是_________，自然数是__________．【难度】★【答案】12，0，30，1；12，0，30，1．【解析】自然数：零和正整数统称为自然数；正整数、 零、负整数，统称为整数．【总结】本题主要考查自然数和整数的概念．【例2】 关于1836÷=，下列说法正确的是（ ） A ．18能整除3B ．3能被整除18C ．18能被3整除D ．3不能整除18【难度】★ 【答案】C【解析】整数a 除以整数b ，如果除得的商是整数且余数为零，我们就说a 能被b 整除；或者说b 能整除a ．【总结】本题主要考查整除的概念．【例3】 下列各组数中，第一个数能整除第二个数的是________．○13和0.3；○212和4；○35和15；○40.2和0.4；○51.4和14；○65和0.1． 【答案】③例题解析【解析】整数a除以整数b，如果除得的商是整数且余数为零，我们就说a能被b整除；或者说b能整除a．【总结】本题依旧考查整除的概念．【例4】下列说法中，正确个数是（）○1整数包括负数、整数；○21是最小的自然数；○3a除以b，商为整数，且余数为0，则a能被b整除；○4有最大的自然数，而没有最小的自然数；○5最大的正整数和最大的负整数都不存在．A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】A【解析】①错，整数包括正整数、负整数和0；②错，0是最小的自然数；③错，要求a和b也要为整数；④错，没有最大的自然数，有最小的自然数为0．⑤错，没有最大的正整数，有最大的负整数为-1．【总结】本题主要考查整数的分类问题，注意0的特殊性．【例5】下面的几对数中，第一个数能除尽第二个数的是____________．○17和11；○29和2538；○32和5；○415和5；○513和91；○62和0.4；○70.3和6；○81.5和2.5．【答案】②③⑤⑥⑦b 所得的商是整数或有限小数，要与数的整除的概念区分开．【解析】a能除尽b是指a【总结】本题主要考查除尽的概念，注意与数的整除的区分．步同级年六4 / 20【例6】 有15位同学参加学校组织的夏令营活动，老师准备把她们平均分成若干小组，有几种分法？有可能把他们平均分成4个小组吗？为什么？【答案】一组、三组、五组、十五组均可．不能平均分成4个小组，因为4不能整除15． 【解析】因为5315115⨯=⨯=，所以可分为一组、三组、五组或者十五组． 【总结】本题主要考查数的整除在实际问题中的应用．【例7】 一班同学分成四个小组糊纸盒，每组糊的个数同样多，小马虎统计时说：全班共糊纸盒342个．小马虎的统计对吗？为什么？【难度】★★★【答案】不对，因为4不能整除342． 【解析】2......854342=÷，余数不为0．【总结】本题主要考查数的整除在实际问题中的应用．【例8】 在1~600这600个数中，不能被2整除的数有多少个？不能被3整除的数有多少个？既不能被2整除，又不能被3整除的数有多少个？【难度】★★★ 【答案】300，400，200师生总结1、 整除与除尽有什么相同点？2、 整除与除尽有什么不同点？【解析】在1~600这600个数中，能被2整数的数有2，4，6，8，．．．．．．600，共有300个，则不能被2整除的数有600-300=300个；能被3整除的数有3，6，9，12，．．．．．．600，共有200个，则不能被3整除的数有600-200=400个；既能被2整除，又能被3整除的数有6，12，18，．．．．．．600，共有100个．能被2或3整除的数有300+200-100=400个，所以既不能被2整除，又不能被3整除的数有600-400=200个．【总结】本题主要考查整除在数字问题中的应用，注意思考方式的改变．模块二：因数和倍数知识精讲1、因数和倍数整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（也称为约数）．注：一个整数的因数中最小的因数是1，最大的因数是它本身．例题解析【例9】在9、12、15、30、45、66有因数2的是_________，是3的倍数的是_________．【难度】★【答案】12、30、66；12、15、30、45、66．【解析】有因数2的是：12、30、66；是3的倍数的有：9、12、15、30、45、66．【总结】本题主要考查因数和倍数的概念．【例10】 既是23的倍数，又是23的因数的数是______．【难度】★ 【答案】23．【解析】23的因数有1、23，其中是23的倍数为23． 【总结】本题主要考查因数和倍数的概念．【例11】下列说法中不正确的是（ ）A ．1是任何整数的因数，任何整数都是1的倍数B ．偶数的因数不一定是偶数C ．奇数的因数一定是奇数D ．一个数的最大因数一定小于它的最小倍数【答案】D【解析】D 答案中一个数的最大因数都是等于它的最小倍数的，故D 是不正确的． 【总结】本题主要考查因数和倍数的定义，注意1的特殊性． 【例12】 一个正整数所有的因数是1、2、3、6，那么这个数是______．【答案】6【解析】因为一个正整数最小的因数为1，最大的因数为它本身，故这个数是6． 【总结】本题主要考查正整数的因数的特征．【例13】既是3的倍数，又是30的因数的数是________________．（写出所有符合条件的数）【答案】3、6、15、30．【解析】6510315230130⨯=⨯=⨯=⨯=，所以30的因数为1、2、3、5、6、10、15、30．其中3的倍数为3、6、15、30．【总结】本题可以将30的因数一一列出，然后判断其实不是3的倍数，反过来也可以．【例14】一个数即是10的倍数，又是100的因数，且不能被4整除，这个数是______．【答案】10、50．【解析】10的倍数为：10、20、30、40、50、60、70、80、90、100，其中又是100的因数，且不能被4整除的是10、50．【总结】本题也可一一列举出即是10的倍数，又是100的因数的数，然后再判断哪些不能被4整除．【例15】已知一个三位数abc ，若两位数bc 能被4整除，那么这个三位数就能被4整除．这句话对吗？如果正确，请证明；如果不正确，请举出反例．【难度】★★★ 【答案】正确．【解析】三位数abc 可以表示为()c b a ++10100，两位数bc 可以表示为c b +10，因为两位数bc 能被4整除，∴c b +10能被4整除．而()()()410254104100410100÷++=÷++÷=÷++c b a c b a c b a ，没有余数，所以这个三位数就能被4整除．【解析】本题主要考查整除的概念，注意合理的运算方法的选择以及对于三位数的表示．1、 能被2整除的数能被2整除的数的特征：个位上是0，2，4，6，8的整数； 能被2整除的整数叫做偶数，不能被2整除的整数叫做奇数． 2、奇数偶数的运算性质奇数±奇数 = 偶数；奇数±偶数 = 奇数；偶数±偶数 = 偶数；奇数⨯奇数 = 奇数； 奇数⨯偶数 = 偶数；偶数⨯偶数 = 偶数． 推广结论：（1）奇数个奇数的和为奇数；偶数个奇数的和为偶数；任意有限个偶数的和为偶数；知识精讲模块三：能被2、5整除的数步同级年六（2）若干个奇数的乘积为奇数，偶数与整数的乘积为偶数；（3）如果若干个整数的乘积是奇数，那么其中每一个整数都是奇数；如果若干个整数的乘积是偶数，那么其中至少有一个整数是偶数；（4）如果两个整数的和（或差）是偶数，那么这两个整数的奇偶性相同；如果两个整数的和（或差）是奇数，那么这两个整数的奇偶性不同；（5）两个整数的和与差的奇偶性相同．3、能被5整除的数能被5整除的数的特征：个位上是0或5的整数．4、能同时被2、5整除的数能同时被2和5整除的数的特征：个位上是0的整数．例题解析【例16】两个连续自然数的差是（）A．奇数B．偶数C．奇数或偶数D．既不是奇数也不是偶数【难度】★【答案】A【解析】两个连续自然数的差为±1，为奇数．【总结】本题主要考查奇、偶数的运算性质．【例17】9个连续自然数的积是______（“奇”或“偶”）数．【难度】★【答案】偶．【解析】9个连续的自然数中必定会有偶数，则乘积必定为偶数．【总结】本题主要考查奇、偶数的运算性质．【例18】已知一个三位数13x．（1）若这个三位数能被2整除，求x；（2）若这个三位数能被5整除，求x；8/ 20（3）若这个三位数能同时被2和5整除，求x．【答案】（1）0，2，4，6，8；（2）0，5；（3）0．【解析】能被2整除的数的特征：个位上是0，2，4，6，8的整数；能被5整除的数的特征：个位上是0，5的整数；能同时被2和5整除的数的特征：个位上是0的整数．【总结】本题主要考查能被2、5整除的数的特点．【例19】用0、1、2三个数字组成的数字不重复的三位数中，偶数有（）个A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解析】用0、1、2三个数字组成的数字不重复的三位数有120、102、210、201，其中偶数有120、102、210．【总结】一一列举符合题目条件的数字，考查偶数的概念．【例20】5个连续偶数的和为240，这五个偶数分别是几？【答案】44、46、48、50、52．【解析】这5个偶数的平均数为48，则中间的数字为48，则这5个连续的偶数为44、 46、48、50、52．【总结】本题主要考查利用平均数解决连续整数和的问题．+++⋅⋅⋅++的结果是奇数还是偶数？请说明理由．【例21】12320152016【答案】偶数，理由见解析．【解析】1到2016个数字中有1008个偶数，这1008个偶数之和为偶数；有1008个奇数，这1008个奇数之和为偶数；则这2016个数字之和为偶数．【总结】本题主要考查奇、偶数的运算性质．【例22】用25、26、27、28、29这五个数两两相乘，可以得到10个不同的乘积，问乘积中有多少个偶数？【答案】7．【解析】要使乘积为偶数，则乘数中至少有一个为偶数．则26与25、27、28、29相乘，可以得到偶数；28与25、26、27、29相乘，可以得到偶数．中间有重复的26与28相乘，则一共有4+4-1=7个偶数．【总结】本题主要考查奇、偶数的运算性质．【例23】13个不同的的自然数之和等于100，其中偶数最多有几个？偶数最少有几个？【难度】★★★【答案】其中偶数最多有13个；偶数最少有1个．【解析】当偶数有13个时，则其和为偶数，所以其中偶数最多有13个；偶数为0个时，则这13个数均为奇数，其和定为奇数，不可能为100；偶数为1个时，则有12个奇数，这13个数字之和为偶数，所以偶数最少有1个．【总结】本题主要考查奇、偶数的运算性质．【例24】有五只杯口朝上的杯子放在桌子上，每次将其中四只杯子同时“翻转”，使其杯口朝下，问能不能经过这样有限多次的“翻转”后，使五只杯子的杯口全部朝下？为什么？【难度】★★★【答案】不能，理由见解析．【解析】对一只杯口朝上的杯子而言，需要“翻转”奇数次，才能使其杯口朝下，对于五只杯口朝上的杯子放在桌子上，则需要“翻转”的总次数为5个奇数的和，这个和定为奇数．而每次将其中四只杯子同时“翻转”，则每轮“翻转”的次数为4次（可以看做4个杯子各“翻转”1次），所以无论你“翻转”多少次，总次数都是4的倍数，定为偶数，不可能为奇数，则不能经过这样有限多次的“翻转”后，使五只杯子的杯口全部朝下．【总结】本题主要是将实际问题转化成奇、偶数的运算性质等问题．【例25】 1011021039991000⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯的结果的末尾有多少个零？【难度】★★★【答案】225．【解析】只要有因数5和因数2的两个整数相乘，末尾就会出现0．1到1000中5的倍数要少于2的倍数，其中5的倍数有10005200÷=个，25 的倍数有10002540÷=个，125的倍数有10001258÷=个，625的倍数有1个，而1到100中5的倍数有20个，25的倍数有4个，因此在1011021039991000⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯的结果的末尾中含零的个数为：2004081204225+++--=个．【总结】两数相乘结果末尾为0，则要求整数的个位为2和个位为5的数相乘即可．【例26】 在1，2，3，…，2015，2016中每个数前面任意添加“+”、“-”号，最终的运算结果是奇数还是偶数？请说明理由．【难度】★★★【答案】偶数，理由见解析．【解析】2016个数中有1008个奇数，这1008个奇数之和为偶数；2016个数中有1008个偶数，这1008个偶数之和为偶数；偶偶相加为偶数，则2016个数字之和为偶数．每个数前面任意添加“+”、“-”号，与1，2，3，…，2015，2016之和的奇偶性是一样的，所以结果为偶数．【总结】本题主要考查奇、偶数的运算性质．模块四：能被3、9整除的数步同级年六12 / 201、 能被3整除的数能被3整除的数的特征：各个数位上的数字和是3的倍数．2、 能被9整除的数能被9整除的数的特征：各个数位上的数字和是9的倍数．【例27】要使三位数2□3能被3整除，那么□中可以填的数是_____________； 要使三位数2□3能被9整除，那么□中可以填的数是_____________．【难度】★【答案】1、4、7；4．【解析】能被3整除的数的特征：各个数位上的数字和是3的倍数；能被9整除的数的特征： 各个数位上的数字和是9的倍数．【总结】本题主要考查能被3和9整除的数的特点．【例28】 一个五位数497A B 能被3整除，且7B 能被2整除，这样的五位数有______个．【答案】16．【解析】7B 能被2整除，则B 为0、2、4、6、8；497A B 能被3整除，则B A ++20能被3整除．当B =0时，A 可为1、4、7；当B =2时，A 可为2、5、8；当B =4时， A 可为0、3、6、9；当B =6时，A 可为1、4、7；当B =8时，A 可为2、5、8；所以这样的五位数有16个．知识精讲 例题解析【总结】先一一列举符合7B 能被2整除的数，然后一一列举数字，判断符不符合题意．【例29】 从2、4、0、5、8这五个数字中选出3个数字组成一个三位数，使得这个三位数同时被2、3和5整除，那么这样的三位数有______个．【难度】★★★【答案】4．【解析】能同时被2和5整除的数末尾数为0，则有240、420、580、850、250、520、280、820、450、540、480、840，其中能够被3整除的有240、420、450、540、 480、 840．【总结】本题主要考查能被2、3、5整除的数的特征．【例30】 已知一个三位数abc ，试证明：若a b c ++能被9整除，则abc 能被9整除．【难度】★★★【答案】证明见解析．【解析】因为a b c ++能被9整除，则可得m c b a 9=++（m 为正整数），又abc =10010a b c ++ ()()999a b a b c =++++，因为b a 999+能被9整除，也a b c ++能被9整除，所以abc能被9整除．【总结】本题一方面考查三位数的表示方法，另一方面考查整除的运用．步同级年六随堂检测【习题1】下列说法正确的是（）A．一个数至少有两个因数B．个位上是3、6、9的整数都能被3整除C．一个数既是2的倍数又是5的倍数，那么这个数一定是10的倍数D．非负整数是正整数【难度】★【答案】C【解析】A答案错误，如1只有一个因数；B答案中考查能被3整除的数的特征：各个数位上的数字和是3的倍数；C答案是正确的；D答案中0也属于非负整数．【总结】本题主要考查因数、倍数的概念以及整数分类的问题．【习题2】50以内的7的倍数有_______个．【难度】★【答案】7【解析】50以内的7的倍数有：7、14、21、27、35、42、49．【总结】从最小的倍数一一尝试即可得到答案．【习题3】一个数的最大因数与最小倍数的和是2014，这个数是______．【答案】1007．【解析】一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，因此这个数是1007．【总结】任何一个正整数的最大因数和最小倍数都是它本身．14/ 20【习题4】 下列说法不正确的个数有（ ）个（1）两个正整数的和或差的奇偶性相同；（2）甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能整除丙数；（3）任何正整数都能被0整除；（4）3m n ÷=，则n 一定能整除m ；（5）三个连续自然数的乘积能被2整除．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】（1）对；（2）错，考查整除的定义；（3）错，0能被任何正整数整除；（4）错，n 和m 不一定为整数；（5）对，因为三个连续自然数中一定有偶数，则它们的积一定是偶数．【总结】本题主要考查整除的概念，注意整除的定义中的被除数、除数、商都必须是整数，且余数为零，另外还考差了奇、偶数运算性质的问题．【习题5】 下列各算式中，满足整除的有______个，满足除尽的有______个．（1）135÷；（2）127÷；（3）20163÷；（4）02÷；（5）246÷；（6）2.53÷；（7）2.8 1.4÷；（8）8.82÷．【答案】（3）、（4）、（5）；（1）、（3）、（4）、（5）、（7）、（8）【解析】整数a 除以整数b ，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a 能被b 整除；或者说b 能整除a ．【总结】本题主要考查整除和除尽的概念，注意除尽与整除的区别．【习题6】 能整除18的数有________________．【答案】1、2、3、6、9、18．【解析】整数a 除以整数b ，如果除得的商是整数而余数为零，我们 就说a 能被b 整除；或者说b 能整除a ．【总结】本题主要考查整除的概念．【习题7】 一个两位数，其中个位上的数字比十位数字大2，且能被5整除，求所有符合条件的两位数：_______________．【答案】35．【解析】能被5整除的数尾数为0或5．0为个位数时，十位数字为负数，不合题意，舍去．所以个位上的数字只能为5，十位上的数字为3，则这个两位数为35．【总结】本题主要考查能被5整除是数的特点，可以一一举例得到最后的答案．【习题8】 四位数29A B 能同时被3和5整除，写出所有满足条件的四位数__________．【答案】2190、2490、2790、2295、2595、2895．【解析】能被5整除的数的个位数为0或5，则B 为0或5；当B =0时，A 为1、4、7；当B =5时，A 为2、5、8．所以满足条件的四位数为2190、2490、2790、2295、2595、2895．【总结】本题主要考查能被3、5同时整除的数的特点，可以一一举例得到最后的答案．【习题9】 三个连续的自然数的和一定能被3整除吗？如果是，请证明；如果不是，请举出反例．【难度】★★★【答案】是，证明见解析【解析】设三个连续的自然数为11+-n n n ，，，则其和为n n n n 311=+++-，此数一定能被3整除．【总结】三个连续的自然数的表示方法为11+-n n n ，，．【习题10】 小明有12张卡片，其中3张卡片上面写着1，3张卡片上面写着3，3张卡片上面写着5，3张卡片上面写着7，小明从中选出5张卡片，它们上面的数字之和可能等于22吗？如果能，请说明如何选择卡片；如果不能，请说明理由．【难度】★★★【答案】不能．【解析】因为12张卡片上的数字都是奇数，5个奇数之和一定为奇数，不可能为偶数，22是偶数，所以不能．【解析】本题主要考查数字的奇偶性，偶数个奇数相加结果为偶数；奇数个奇数相加结果为奇数．【作业1】 如果A 表示一个正整数，它的最小因数是_______，最小倍数是_______．【难度】★【答案】1；A ．【解析】一个正整数的最小因数为1，最小倍数为它本身．【总结】本题主要考查一个正整数的最小因数的和最大因数的特征． 课后作业【作业2】 731最少加上______，就是5的倍数．【难度】★【答案】4【解析】能被5整除的数的特点：个位数字为0或5，因此最少加上4即可．【总结】本题主要考查能被5整除的数的特征．【作业3】 三位数“15□”是8的倍数，那么“□”中能填的数字的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】可以填2，四个答案一一验算．【总结】本题主要考查因数和倍数的概念，是8的倍数，则说明该数能被8整除．【作业4】 一个奇数要变成偶数，下列方法中可行的方法有______个（1）加上()12399100+++⋅⋅⋅++；（2）减去()1002327985⨯+⨯；（3）乘以2；（4）除以2．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】（1）12399100=5050+++⋅⋅⋅++为偶数，奇数加上偶数，结果为奇数； （2）1002327985=16996⨯+⨯为偶数，奇数加上偶数，结果为奇数；（3）奇数乘以2，为偶数；（4）奇数除以2余数为1．【总结】本题主要考查奇、偶数的运算性质．【作业5】 三个连续的奇数的和是321，则这三个奇数为____________【答案】105、107、109【解析】这三个连续的奇数平均数为1073321=÷，则中间的数为107，其余两个数为 105和109．【总结】连续的奇数和偶数之和的问题均可以用平均数来解决．【作业6】 小智买一大箱苹果，共有84个，要求每次拿出的个数一样多，拿了若干次正好拿完，则小智共有______种不同的拿法．（假设不能一次全拿出）【答案】11．【解析】12714621428342284184⨯=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯=，则84的因数为1、2、3、4、6、 7、12、14、21、28、42、84，共有12个，因为不能一次全拿出，所以共有11中 不同的拿法．【总结】将实际问题转化为寻找因数的方法来解决．【作业7】 一个整数的最大因数与最小因数的差为27，写出这个整数的所有因数：_______________．【答案】1、2、4、7、14、28．【解析】一个整数的最大因数为它本身，最小因数为1，则这个数为28．7414228128⨯=⨯=⨯=，则28的因数有1、2、4、7、14、28．【总结】任何一个正整数的最大因数为它本身，最小因数为1．【作业8】 122334************⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅⨯+⨯的结果是______．（填奇数或偶数）【答案】偶数．【解析】连续的自然数乘积为偶数，表达式中有101个偶数相加，则其结果为偶数．【总结】本题主要考查奇、偶数的运算性质．【作业9】五位数538AB能够同时被2、3、5整除，求A + B的值．【难度】★★★【答案】2、5、8．【解析】能被2、5整除的数的特点是个位上数字为0，则B=0．能被3整除的数的特点是各个数位上的数字之和能被3整除，则A可为2、5、8．则A+B为2、5、8．【总结】本题主要考查能被2、3、5整除的数的特点．【作业10】油库中有7桶油，分别是汽油、柴油和机油，每桶油分别重12千克、13千克、16千克、17千克、22千克、27千克和32千克，已知柴油的总重量是机油的3倍，汽油只有一桶，请问7个桶分别装的是什么油？12千克：____油；13千克：____油；16千克：____油；17千克：____油；22千克：____油；27千克：____油；32千克：____油．【难度】★★★【答案】机油；柴油；机油；柴油；柴油；汽油；柴油．【解析】因为柴油的总重量是机油的3倍，所以他们的重量和一定为4的倍数．而7桶油的总重量是12+13+17+22+27+32=139（千克），而139÷4=34．．．．．．3，我们容易推出汽油的重量被4除余3，由此可见，汽油的重量是27千克．剩下的6桶共重139-27=112（千克），其中包括1份机油和3份柴油，因此机油的总重量为112÷4=28 （千克），柴油的总重量为112-28=84（千克），剩下的6个数字中只有12和16的和为28，则重量是12千克、16千克的这两只桶内装的是机油，其余4只桶内装的柴油．【总结】本题综合性较强，主要考查利用倍数的概念来解决实际问题．。

沪教版六年级数学第一章数的整除1.1整数和整除的意义零和正整数统称为自然数.正整数、零、负整数统称为整数.整数a除以整数b,如果除得的商是整数而余数为零,我们就说a能被b整除；或者说b能整除a.注意整除的条件：1、除数、被除数都是整数2、被除数除以除数,商是整数而余数为零.1.2因数和倍数整数a能被整数b整除,a就叫做b的倍数,b就叫a的因数〔也称为约数〕倍数和因数是相互依存的注意：1、一个数的因数的个数是有限的,其中最小的因数是 1,最大的因数是它本身2、一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身1.3能被2,3,5整除的数个位上是0,2,4,6,8的整数都能被2整除.能被2整除的数叫做偶数,不能被2整除的数叫做奇数.个位上是0或5的整数都能被5整除.将一个整数的各位数字相加,如果得到的和能被3整除,那么这个数就能被3整除.注意：1、在正整数中〔除 1 外〕 ,与奇数相邻的两个数是偶数2、在正整数中,与偶数相邻的两个数是奇数3、0 是偶数1.4素数、合数与分解素因数一个正整数,如果只有1和它本身两个因数,这样的数叫做素数,也叫做质数；如果除了1和它本身以外还有别的因数,这样的数叫做合数.1既不是素数,也不是合数.这样,正整数又可以分为1、素数、合数三类.〔依据：因数的个数〕每个合数都可以写成几个素数相乘的形式,其中每个素数都是这个合数的素因数.把一个合数用素因数相乘的形式表示出来,叫做分解素因数.用短除法分解素因数的步骤如下：1、先用一个能整除这个合数的素数〔通常从最小的开始〕去除2、得出的商如果是合数,再按照上面的方法继续除下去,知道得出的商是素数为止.3、然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式.1.5公因数和最大公因数几个数公有的因数,叫做这几个数的公因数,其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数.如果两个整数只有公因数1,那么称为这两个数互素.两个整数中,如果某个数是另一个数的因数,那么这个数就是这两个数的最大公因数.如果这两个数互素,那么它们的最大公因数就是1.1.6公倍数和最小公倍数几个整数的公有的倍数叫做它们的公倍数,其中最小的一个叫做它们的最小公倍数.求两个整数的最小公倍数,只要取它们所有公有的素因数,再取它们各自剩余的素因数,将这些连乘,所得的积就是这两个数的最小公倍数.如果两个整数中某一个数是另一个数的倍数,那么这个数就是它们的最小公倍数.如果两个数互素,那么它们的乘积就是它们的最小公倍数.第二章分数2.1分数与除法两个正整数p、q相除,可以用分数错误!表示,即p÷q＝错误!错误!,其中p为分子,q为分母.2.2分数的基本性质分数的分子和分母都乘以或都除以同一个不为零的数,所得的分数与原分数大小相等,即错误!= 错误!错误!= 错误!错误!<b≠0,k≠0,n≠0>.分子和分母互素的分数叫做最简分数.把一个分数的分子和分母的公因数约去的过程,称为约分.2.3分数的大小比较将异分母的分数分别化成与原分母大小相等的同分母的分数,这个过程叫做通分.2.4分数加减法同分母分数相加减,分母不变,分子相加减.异分母的分数相加减,先通分,然后按照同分母分数加减法的法则进行运算,结果化成最简分数.分子比分母小的分数叫做真分数,分子大于或等于分母的分数叫做假分数.一个正整数与一个真分数相加所成的数叫做带分数.带分数的加减运算,可将它们的整数部分和真分数部分分别相加减,再将所得的结果合并起来；或者将带分数化成假分数在进行加减运算.注意列方程求未知数的一般书写步骤：〔1〕设未知数为 x；〔2〕根据题意列出方程：〔3〕根据加减互为逆运算,表示出 x 等于那些数相加减；〔4〕计算出 x 的值,并写出上结论2.5分数的乘法两个分数相乘,将分子相乘的积作积的分子分母相乘的积作积的分母.整数与分数相乘,整数与分数的分子的积作积的分子,分母不变.2.6分数的除法1除以一个不为零的数得到的商,叫做这个数的倒数.a的倒数是错误!<a≠0>,错误!的倒数是错误!<p≠0,q≠0>.互为倒数的两个数的乘积为1.甲数除以乙数〔0除外〕,等于甲数乘以乙数的倒数.用字母表示就是：错误!÷ 错误!= 错误!× 错误!<n≠0,p≠0,q≠0>.2.7分数和小数的互化一个最简分数,如果分母中只含有素因数2和5,再无其他素因数那么这个分数可以化成有限小数.一个小数从小数部分的某一位起,一个数字或者几个数字依次不断地重复出现,这个小数叫做循环小数.一个循环小数的小数部分中依次不断地重复出现大的第一个最少的数字组,叫做这个循环小数的循环节.一个分数总可以化为有限小数或无线循环小数2.8 分数、小数的四则混合运算分数、2.9 分数运算的应用分数运算的应用第三章比和比例3.1比的意义a,b是两个数或两个同类的量,为了把b和a相比较,将a与b相除,叫做a与b的比.记作a:b,或写成a／b,其中b≠0；读作a比b,或a与b的比.a叫做比的前项,b叫做比的后项.前项a除以后项b所得的商叫做比值.求两个同类量的比值时,如果单位不同,必须把这两个量化成相同的单位.比值可以用整数、分数或小数表示注意比、分数和除法三者之间的关系是：1、比的前项相当于分数的分子和除式中的被除数；2、比的后项相当于分数的分母和除式中的除数；3、比值相当于分数的分数值和除式中的商.3.2比的基本性质比的基本性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数〔0除外〕,比值不变.注意三项连比的性质是：1、如果a：b＝m：n,b：c＝n：k,那么a：b：c＝m：n：k.2、如果k≠0,那么a：b：c＝ak：bk：ck＝ak：bk：ck.注意求三项连比的一般步骤是： .1、寻找关联量,求关联量对应的两个数的最小公倍数2、根据比的基本性质,把两个比中关联量化成相同的数3、对应写出三项连比注意关联量：1、将三个整数比化为最简整数比,就是给每项除以最大公约数2、将三个分数化为最简整数比,先求分母的最小公倍数,再给各项乘以分母的最小公倍数；3、将三个小数比化为最简整数比先给各项同乘以 10,100,1000 等,化为整数比,再化为最简整数比3.3比例a 〔第一比例项〕 ：b 〔第二比例项〕=c 〔第三比例项〕 ：d 〔第四比例项〕 ；其中 a 、d 叫 做比例外项,b 、c 叫做比例内项如果两个比例内项相同,即a ：b ＝b ：c,那么把b 叫做a 和c 的比例中项.比例的基本性质：如果a ：b ＝c ：d 或a b ＝c d,那么ad ＝bc.简单的说,就是内项之积等于外项之积列方程解应用题的一般书写步骤分四步：〔1〕设未知数〔2〕列方程〔3〕解方程〔4〕答注意：1、列比例方程时,一定要注意对应关系,一定要注意同类量的单位要对应统一3.4百分比的意义 把两个数量的比值写成100n 的形式,成为百分数,也叫做百分比或百分率,记作n ％,读作百分之n.符号"％〞叫做百分号.3.5百分比的应用在生产和工作中常用的百分率有： 与格率＝ 及格人数总人数100％； 合格率＝合格产品数产品总数×100％； 增产率＝增加的产量原来的产量×100％； 出勤率＝实际出勤人数应该出勤人数×100％；等等. 盈利率＝盈利成本×100％＝售价-成本成本×100％ 亏损率＝亏损成本×100％＝成本-售价成本×100％. 银行利息的结算和本金、利率和期数有关〔注意：贷款利息不纳税〕利息=本金×利率×期数；利息税=利息×20％；税后本息和=本金＋税后利息=本金＋利息－利息税=本金＋利息×〔1－20％〕增长率=增长的量／原来的基数×100％注意：1、三个关键词：是,占,的2、一条主线：求部分占全体的百分数； 三类情景：一般文字题,统计图和统计表,恩格尔系数3.6 等可能事件P ＝发生的结果数÷所有等可能的结果数. 第四章圆和扇形4.1 圆的周长圆的周长÷直径＝圆周率C ＝πd 或C ＝2πr 其中π是一个无限不循环小数,通常取π=3.14注意：1、会根据题意,有其中 2 个量求第三个量的值4.2弧长 1°圆心角所对弧长＝1360×2πr ＝1180πr n °圆心角所对弧长＝360n ×2πr ＝180nπr4.3 圆的面积圆的面积S ＝πr ×r ＝πr 2环形的面积=大圆的面积－小圆的面积,S =π〔R 2－r 2〕 4.4 扇形的面积扇形面积公式S 扇=360n πr 2=12lr注意：1、要求阴影部分面积,要善于抓住图形间的位置关系和数量关系进行适当的割补 第五章 有理数5.1有理数的意义 整数和分数统称为有理数有理数 整数：正整数、零、负整数分数：正分数、负分数5.2正数和负数零是正数和负数的分界.只有符号不同的两个数,我们称其中一个数为另一个数的相反数,也称为这两个数互为相反数,零的相反数是零.数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示.一个数在数轴上所对应的点与原点的距离,叫做这个数的绝对值注意：1、一个正数的绝对值是它本身.2、一个负数的绝对值是它的相反数.3、零的绝对值是零.4、两个负数,绝对值大的那个数反而小.5.3有理数的加减有理数加法法则：1、同号两数相加,取原来的符号,并把绝对值相加.2、异号两数相加,绝对值相等时和为零,绝对值不相等时,其和的绝对值为较大绝对值减去较小的绝对值所得的差,其和的符号取绝对值较大的加数的符号.3、一个数同零相加,仍得这个数.有理数加法的运算律1、交换律：a+b=b+a2、结合律：〔a+b〕+ c=a+<b+c>有理数的减法法则1、减去一个数,等于加上这个数的相反数2、a-b=a+<-b>5.4有理数的乘除两数相乘的符号法则正正得正,正负得负,负正得负,负负得正.有理数的乘法法则1、两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘.2、任何数与零相乘,都得零.注意连成的符号：1、几个不等于零的数相乘,积的符号由负因数的个数决定2、当负因数有奇数个时,积为负3、当负因数有偶数个时,积为正4、几个数相乘,有因数为零,积就为零有理数除法法则1、两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除.2、零除以任何一个不为零的数,都得零.5.5有理数的乘方求N个相同因数的积的运算,叫做乘方.乘法的结果叫做幂.在a n中,a叫做底数,n叫做指数,读作a的n次方,a n看做是a的n次方结果时,读作a的n次幂.注意：1、正数的任何次幂都是正数,负数的奇数次幂是负数,负数的偶数次幂是正数.2、有理数混合运算的顺序：先乘方,后乘除,再加减；统计运算从左到右；如果有括号,先算小括号,后算中括号,再算大括号.3、把一个数写成a*10n<其中1≤a＜10,n是正整数,这种形式的计数方法叫做科学计数法第六章一次方程〔组〕与一次不等式〔组〕6.1方程的意义用字母x、y、等表示所要求的未知的数量,这些字母称为未知数.含有未知数的等式叫做方程.在方程中,所含的未知数又称为元.为了求得未知数,在未知数和已知数之间建立一种等量关系式,就是列方程.如果未知数所取的某个值能使方程左右两边的值相等看,那么这个未知数的值叫做方程的解6.2一次方程的意义只含有一个未知数且未知数的次数是一次的方程叫做一元一次方程等式性质：1、等式两边同时加上〔或减去〕同一个数或一个含有字母的式子,说得结果仍是等式.2、等式两边同时乘以同一个数〔或除以同一个不为零的数〕,所得结果仍是等式.去括号的法则是：括号前带"+〞号,去掉括号时括号内各项都不变符号.括号前带"—〞号,去掉括号时括号内各项都改变符号.6.3一次方程的解法解一元一次方程的一般步骤是：1、去分母；2、去括号；3、移项；4、化成ax=b〔a≠0〕的形式5、两边同除以未知数的系数,得到方程的解x=b/a列方程解应用题的一般步骤是：1、设未知数〔元〕；2、列方程；3、解方程；4、检验并作答.6.4不等式的意义与解法用不等号"＜〞"＞〞"≤〞"≥〞表示的关系式,叫做"不等式〞.不等式性质：1、不等式的两边同时加上〔或减去〕同一个数或同一个含有字母的式子,不等号的方向不变,即：如果a＞b,那么a+m＞b+m如果a＜b,那么a+m＜b+m2、不等式的两边同时乘以〔或除以〕同一个正数,不等号的方向不变,即：如果a＞b,且m＞0,那么am＞bm〔或a/m＞b/m〕如果a＜b,且m＞0,那么am＜bm〔或a/m＜b/m＝3、不等式的两边同时乘以〔或除以〕同一个负数,不等号的方向改变,即：如果a＞b,且m＜0,那么am＜bm〔或a/m＞b/m〕如果a＜b,且m＜0,那么am＞bm〔或a/m＜b/m〕在含有未知数的不等式中,能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解.一般情况下,一元一次方程的解只有一个,一元一次不等式的解可以有无数个.不等式的解的全体叫做不等式的解集.只含有一个未知数且未知数的次数是一次的不等式叫做一元一次不等式.解一元一次不等式的一般步骤与解一元一次方程类似.不等式组由几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组,叫做一元一次不等式组.不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集.求不等式组的解集的过程叫做解不等式组.如果各个不等式的解集没有公共部分,那么这个不等式组无解.解一元一次不等式组的一般步骤是：1、求出不等式组中各个不等式的解集；2、在数轴上表示各个不等式的解集；3、确定各个不等式解集的公共部分,就得到这个不等式组的解集.二元一次方程含有两个未知数的一次方程叫做二元一次方程.使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解.二元一次方程的解有无数个,二元一次的解的全体叫做这个二元一次方程的解集.由几个方程组成的一组方程叫做方程组.如果方程组中含有两个未知数,且含未知数的项的二元一次方程组次数都是一次,那么这样的方程组叫做二元一次方程组.在二元一次方程组中,使每个方程都适合的解,叫做二元一次方程组的解.通过"代入〞消去一个未知数,将方程式转化为一元一次方程,这种解法叫做代入消元法,简称代入法.通过将两个方程相加〔或相减〕消去一个未知数,将方程组转化为一元一次方程,这种解法叫做加减消元法.如果方程组中有三个未知数,且含有未知数的项的次数都是一次,这样的方程组叫做三元一次方程组.注意：1、列方程解应用题时要灵活选择未知数的个数.2、对于含有两个未知数的应用题一般采用列二元一次方程组求解；对于含有三个未知数的应用题一般采用列三元一次方程组求解.第七章线段与角的画法7.1直线的画法7.2射线的画法7.3线段的画法联结两点的线段的长度叫做两点之间的距离.两条线段可以相加〔或相减〕,它们的和〔或差〕也是一条线段,其长度等于这两条线段的长度的和〔或差〕.将一条线段分成两条相等线段的店叫做这条线段的中点.7.4角的画法角是具有公共端点的两条射线组成的图形.公共端点叫做角的顶点,两条射线叫做角的边.角是由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形.处于初始位置的那条射线叫做角的始边,终止位置的那条射线叫做角的终边.两个角可以相加〔或相减〕,它们的和〔或差〕也是一个角,它的度数等于这两个角的角度的和〔或差〕.从一个角的顶点引出一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线.7.5角的测量如果两个角的度数的和是90°,那么这两个角叫做互为余角,简称互余.其中一个角成为另一个角的余角.如果两个角的度数的和是180°,那么这两个角叫做互为补角,简称互补.其中一个角称为另一个角的补角.注意：1、同角〔或等角〕的余角相等；2、同角〔或等角〕的补角相等；提问：1、一个角与它的余角相等,这个角是怎样的角？是锐角2、一个角与它的补角相等,这个角是怎样的角？是直角3、互补的两个角能否都是锐角？不能4、互补的两个角能否都是直角？可能5、互补的两个角能否都是钝角？不能第八章长方体的再认识长方体的顶点；长方体的棱；长方体的面；长方体的表面积；长方体的体积公式；1、长方体有六个面,八个顶点,十二条棱.2、长方体的每个面都是长方形.3、长方体的十二条棱可以分为三组,每组中的四条棱的长度相等.4、长方体的六个面可以分为三组,每组中的两个面的形状和大小都相同.5、第115页：长方体中棱与棱位置关系的认识：如图：棱EH与棱EF所在的直线在同一个面内,它们有惟一的公共点,我们称这两条棱相交.棱EF与棱AB所在的直线在同一个面内,但它们没有公共点,我们称这两条棱平行.棱EH与棱AB所在的直线既不平行,也不相交,我们称这两条棱异面.6、一般地,如果直线AB与直线CD在同一平面内,具有惟一公共点,那么称这两条直线的位置关系为相交,读作：直线AB与直线CD相交.7、如果直线AB与直线CD在同一平面内,但没有公共点,那么称这两条直线的位置关系为平行,记作：AB∥CD,读作：直线AB与直线CD平行.8、如果直线AB与直线CD既不平行,也不相交,那么称这两条直线的位置关系为异面,读作：直线AB与直线CD异面.9、直线PQ垂直于平面ABCD,记住：直线PQ⊥平面ABCD,读作：直线PQ垂直于平面ABCD.10、如何检验直线与平面垂直呢？可以用"铅垂线〞检验.如果细棒垂直于墙面,可以用"三角尺〞检验.还可以用"合页型折纸〞检验直线是否垂直于平面.11、直线PQ平行于平面ABCD,记作：直线PQ∥平面ABCD, 读作：直线PQ平行于平面ABCD.12、如何检验直线与平面平行呢？可以用"铅垂线〞检验.也可以用"长方形纸片〞检验.。