第一章 1.3 算法案例 课时活页训练

学习资料第一章算法初步1．3算法案例［A组学业达标]1．在对16和12求最大公约数时，整个操作如下:16－12＝4，12－4＝8,8－4＝4.由此可以看出12和16的最大公约数是（）A．4B．12C．16 D．8解析：根据更相减损术的方法判断．答案:A2．459和357的最大公约数是() A．3 B．9C．17 D．51解析：∵459＝357×1＋102，357＝102×3＋51,102＝51×2,∴459和357的最大公约数是51.故选D.答案：D3．下列各数中最小的数是(）A．101 010(2)B．210（8）C．1 001（16)D．81解析：101 010（2)＝1×25＋0×24＋1×23＋0×22＋1×21＋0×20＝42,210（8)＝2×82＋1×81＋0×80＝136，1 001(16)＝1×163＋0×162＋0×161＋1×160＝4 097.故选A.答案：A4．用秦九韶算法求多项式f(x）＝1＋2x＋x2－3x3＋2x4在x＝－1时的值，v2的结果是(）A．－4 B．－1C．5 D．6解析：n＝4，a4＝2，a3＝－3，a2＝1，a1＝2,a0＝1，由秦九韶算法的递推关系式得v0＝2，v1＝v0x＋a3＝－5，v2＝v1x＋a2＝6.答案：D5．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝3x6＋4x5＋5x4＋6x3＋7x2＋8x＋1当x＝0.4时的值时,需要做乘法和加法的次数分别是（）A．6，6 B．5,6C．5，5 D．6,5解析：秦九韶算法中最多需用加法和乘法的次数，由多项式的次数n可知，∴选A。

答案:A6．用秦九韶算法求f（x)＝2x3＋x－3当x＝3时的值v2＝__________．解析：f(x）＝（（2x＋0）x＋1)x－3，v0＝2；v1＝2×3＋0＝6；v2＝6×3＋1＝19.答案：197．将51化为二进制数得__________．解析：答案：110 011（2)8．用辗转相除法求294和84的最大公约数时，需要做除法的次数是__________．解析：294＝84×3＋42,84＝42×2.答案：29．用辗转相除法求242与154的最大公约数．解析:242＝154×1＋88,154＝88×1＋66，88＝66×1＋22，66＝22×3.所以242与154的最大公约数是22。

1.3 算法案例一、选择题1．关于进位制说法错误的是()A．进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统B．二进制就是满二进一，十进制就是满十进一C．满几进一，就是几进制，几进制的基数就是几D．为了区分不同的进位制，必须在数的右下角标注基数2．下列四个数中，数值最小的是()A．25(10)B．54(4)C．10 110(2)D．10 111(2)3．用更相减损术求1 515和600的最大公约数时，需要做减法次数是()A．15B．14C．13D．124．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制数的对应关系如下表：十六0123456789A B C D E F 进制十进0123456789101112131415制例如，用十六进制表示：E＋D＝1B，则A×B等于()A．6E B．72C．5F D．B05．以下各数有可能是五进制数的是()A．15B．106C．731D．21 340二、填空题6．用更相减损术求36与134的最大公约数，第一步应为________．7．用秦九韶算法求f(x)＝2x3＋x－3当x＝3时的值v2＝________．8．将八进制数127(8)化成二进制数为________．三、解答题9．用更相减损术求288与153的最大公约数．10．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝x6－12x5＋60x4－160x3＋240x2－192x＋64，当x＝2时的值．11．用秦九韶算法求多项式f(x)＝8x7＋5x6＋3x4＋2x＋1，当x＝2时的值．参考答案1.【解析】一般情况下，不同的进位制须在数的右下角标注基数，但十进制可以不用标注，所以不是必须在数的右下角标注基数，所以D 错误．【答案】D2.【解析】统一成十进制，B中54(4)＝5×41＋4＝24，C中10 110(2)＝1×24＋1×22＋2＝22，D中，10 111(2)＝23.【答案】C3.【解析】1 515－600＝915，915－600＝315，600－315＝285，315－285＝30，285－30＝255，255－30＝225，225－30＝195，195－30＝165，165－30＝135，135－30＝105，105－30＝75，75－30＝45，45－30＝15，30－15＝15.∴1 515与600的最大公约数是15.则共做14次减法．【答案】B4.【解析】A×B用十进制表示10×11＝110，而110＝6×16＋14，所以用16进制表示6E.【答案】A5.【解析】五进制数中各个数字均是小于5的自然数，故选D.【答案】D6.【解析】∵36与134都是偶数，∴第一步应为：先除以2，得到18与67.【答案】先除以2，得到18与677.【解析】f(x)＝((2x＋0)x＋1)x－3，v0＝2；v1＝2×3＋0＝6；v2＝6×3＋1＝19.【答案】198.【解析】先将八进制数127(8)化为十进制数：127(8)＝1×82＋2×81＋7×80＝64＋16＋7＝87，再将十进制数87化成二进制数：∴87＝1010111(2)，∴127(8)＝1010111(2)．【答案】1010111(2)9.解：288－153＝135，153－135＝18，135－18＝117，117－18＝99，99－18＝81，81－18＝63，63－18＝45，45－18＝27，27－18＝9，18－9＝9.因此288与153的最大公约数为9.10.解：将f(x)改写为f(x)＝(((((x－12)x＋60)x－160)x＋240)x－192)x＋64，由内向外依次计算一次多项式当x＝2时的值，v0＝1，v1＝1×2－12＝－10，v2＝－10×2＋60＝40，v3＝40×2－160＝－80，v4＝－80×2＋240＝80，v5＝80×2－192＝－32，v6＝－32×2＋64＝0.所以f(2)＝0，即x＝2时，原多项式的值为0. 11.解：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：f(x)＝8x7＋5x6＋0·x5＋3·x4＋0·x3＋0·x2＋2x＋1＝((((((8x＋5)x＋0)x＋3)x＋0)x＋0)x＋2)x＋1.而x＝2，所以有v0＝8，v1＝8×2＋5＝21，v2＝21×2＋0＝42，v3＝42×2＋3＝87，v4＝87×2＋0＝174，v5＝174×2＋0＝348，v6＝348×2＋2＝698，v7＝698×2＋1＝1 397.所以当x＝2时，多项式的值为1 397.。

1.3 算法案例[课时作业][A组学业水平达标]1．用辗转相除法求35和134的最大公约数，第一步是( )A．134－35＝99 B．134＝35×3＋29C．先除以2，得到18和67 D．35＝25×1＋10解析：按照辗转相除法的算法步骤，先用大数除以小数，故选B.答案：B2．下列各数转化成十进制后最小的数是( )A．111 111(2)B．210(6)C．1 000(4)D．81(9)解析：A项，将111 111(2)转化为十进制数为111 111(2)＝1×25＋1×24＋1×23＋1×22＋1×2＋1×20＝32＋16＋8＋4＋2＋1＝63；B项，将210(6)转化为十进制数为210(6)＝2×62＋1×61＋0×60＝78；C项将1 000(4)转化为十进制数为1 000(4)＝1×43＋0×42＋0×41＋0×40＝64；D项，将81(9)转化为十进制数为81(9)＝8×91＋1×90＝73，比较这四个数，78＞73＞64＞63，即A项转化为十进制数之后表示的数最小．答案：A3．利用秦九韶算法计算多项式f(x)＝3x6＋4x5＋5x4＋6x3＋7x2＋8x＋1，当x＝4时的值，需要做乘法和加法的次数分别为( )A．6,6 B．21,6C．5,6 D．6,5解析：用秦九韶算法计算多项式的值时，计算的乘法的次数与多项式的未知数的最高次项的指数相同，∴一共进行了6次乘法运算，加法运算的次数在多项式有常数项的条件下与乘法的次数相同，∴一共进行了6次加法运算，故答案为A.答案：A4．把89化成五进制数的末位数字为( )A．1 B．2C．3 D．4解析：89÷5＝17……4, 17÷5＝3……2,3÷5＝0……3，所以把89化成五进制数为324(5)答案：D5．下列结论正确的是( )A．88(9)<210(6)B．62＝124(5)C．110(2)>10(3)D．32(4)＝23(6)解析：对于A：因为88(9)＝8×9＋8×90＝80，210(6)＝2×62＋1×6＋0×60＝78,80>78，所以A错误．对于B：因为124(5)＝1×52＋2×5＋4×50＝39≠62，所以B错误．对于C：因为110(2)＝1×22＋1×2＋0×20＝6，10(3)＝1×3＋0×30＝3,6>3，所以C正确．对于D：因为32(4)＝3×4＋2×40＝14，23(6)＝2×6＋3×60＝15,14≠15，所以D错误．答案：C6．用辗转相除法求得数98与63的最大公约数是________．解析：98＝63×1＋35,63＝35×1＋28,35＝28×1＋7,28＝4×7＋0.所以最大公约数为7. 答案：77．25(7)＝________(2)．解析：因为根据除k取余法，得到25(7)＝1 011(2)．答案：1 0118．读程序：若在INPUT语句中输入m，n的数据分别是72,168，则程序运行的结果为__________．解析：程序是求n的最大公约数．答案：249．用秦九韶算法求多项式f(x)＝5x5－4x4＋3x2＋8x－6，当x＝3时的值．解析：f(x)＝5x5－4x4＋3x2＋8x－6＝((((5x－4)x＋0)x＋3)x＋8)x－6，当x＝3时，v0＝5，v1＝5×3－4＝11，v2＝11×3＋0＝33，v3＝33×3＋3＝102，v4＝102×3＋8＝314，v5＝314×3－6＝936.∴f(3)＝936.10．用辗转相除法求下列两数的最大公约数，并用更相减损术检验你的结果．(1)80,36；(2)294,84.解析：(1)80＝36×2＋8,36＝8×4＋4,8＝4×2，即80与36的最大公约数是4.验证：80－36＝44,44－36＝8,36－8＝28,28－8＝20,20－8＝12,12－8＝4,8－4＝4，故80与36的最大公约数为4.(2)294＝84×3＋42,84＝42×2，即294与84的最大公约数是42.验证：∵294与84都是偶数，可同时除以2，∴取147与42的最大公约数后再乘以2. 147－42＝105,105－42＝63,63－42＝21,42－21＝21，∴294与84的最大公约数为21×2＝42.[B组应考能力提升]1．计算机中常用十六进制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号与十进制得对应关系如下表：例如用十六进制表示有D＋E＝1B，则A×B＝( )A．6E B．7CC．5F D．B0解析：∵表格中A对应的十进制数为10，B对应的十进制数为11，∴A ×B ＝10×11，由十进制表示为：10×11＝6×16＋14， 又表格中E 对应的十进制为14， ∴用十六进制表示A ×B ＝6E .故选A 答案：A2．已知多项式f (x )＝4x 5＋2x 4＋3.5x 3－2.6x 2＋1.7x －0.8，用秦九韶算法计算f (5)时的v 1值为( ) A ．22 B ．564.9 C ．20D ．14 130.2解析：根据秦九韶算法，把多项式改写为f (x )＝((((4x ＋2)x ＋3.5)x －2.6)x ＋1.7)x －0.8；按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x ＝5时的值：v 0＝4，v 1＝4×5＋2＝22. 答案：A3．下列各数85(9)，210(6)，1 000(4)，111 111(2)中最小的数是________． 解析：将题中四个数化为十进制数． 85(9)＝8×91＋5×90＝72＋5＝77； 210(6)＝2×62＋1×6＋0＝72＋6＝78； 1 000(4)＝1×43＝64；111 111(2)＝25＋24＋23＋22＋21＋20＝63. 答案：111 111(2)4．已知n 次多项式P n (x )＝a 0x n＋a 1xn －1＋…＋a n －1x ＋a n .如果在一种算法中，计算x k0(k ＝2,3,4，…，n )的值需要k －1次乘法，计算P 3(x 0)的值共需要9次运算(6次乘法，3次加法)，那么计算P n (x 0)的值共需要__________次运算． 下面给出一种减少运算次数的算法：P 0(x )＝a 0，P k ＋1(x )＝xP k (x )＋a k ＋1(k ＝0,1,2，…，n －1)．利用该算法，计算P 3(x 0)的值共需要6次运算，计算P n (x 0)的值共需要__________次运算． (参考公式：1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12)解析：P n (x 0)＝a 0x n0＋a 1x n －10＋…＋a n －1x 0＋a n ，共需n 次加法运算，每个小因式中所需乘法运算依次为n ，n －1，…，1,0.故总运算次数为n ＋n ＋(n －1)＋…＋1＝n ＋n n ＋12＝12n (n ＋3)．第二种算法中，P 0(x 0)＝a 0，不需要运算，P 1(x 0)＝x 0P 0(x 0)＋a 1需2次运算， P 2(x 0)＝x 0P 1(x 0)＋a 2需2＋2次运算，依次往下，P n (x 0)需2n 次运算． 答案：12n (n ＋3) 2n5．用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x，当x＝3时的值．解析：由f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x，∴y1＝7×3＋6＝27；y2＝27×3＋5＝86；y3＝86×3＋4＝262；y4＝262×3＋3＝789；y5＝789×3＋2＝2 369；y6＝2 369×3＋1＝7 108；y7＝7 108×3＝21 324；∴f(3)＝21 324.6．若二进制数100y 011和八进制数x03相等，求x＋y的值．解析：100y 011(2)＝1×26＋y×23＋1×2＋1＝67＋8y，x03(8)＝x×82＋3＝64x＋3，∴8y＋67＝64x＋3.∵y可取0,1，x可以取1,2,3,4,5,6,7，y＝0时，x＝1；y＝1时，64x＝72无解；∴x＋y＝1.。

1．3 算法案例第1课时算法案例(1)课时目标1.能用辗转相除法和更相减损术求两个数的最大公约数．2．能用秦九韶算法求高次多项式的值．3．掌握古代数学中这两种算法的编程．识记强化1．辗转相除法是用于求两个正整数的最大公约数的一种方法，这种算法由欧几里得在公元前300年左右首先提出，因而又叫欧几里得算法．2．所谓辗转相除法，就是对于给定的两个正整数，用较大数除以较小数．若余数不为零，则将余数和较小数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较小数就是原来两个数的最大公约数．3．更相减损术是我国古代数学专著《九章算术》中介绍的一种求两个正整数最大公约数的方法．其基本过程是：对于给定的两个正整数，判断它们是否都是偶数，若是，用2约简；若不是，用较大数减去较小数，接着把所得的差与较小数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数．4．秦九韶算法是我国南宋数学家秦九韶在他的代表作《数学九章》中提出的一种用于计算一元n次多项式的值的方法．课时作业一、选择题1．用更相减损术求36与134的最大公约数，第一步为( ) A ．134－36＝98 B ．134＝3×36＋26 C ．先除以2，得到18与67 D ．134÷36＝3(余26) 答案：C解析：利用更相减损术求两个数的最大公约数时，若两个数都是偶数，则首先将两个数都除以2之后再作减法．2．如果a ，b 是整数，且a ＞b ＞0，r ＝a MOD b ，则a 与b 的最大公约数是( ) A ．r B ．bC ．b －rD ．b 与r 的最大公约数 答案：D解析：由题意a ＝kb ＋r (k ∈N *)，即a ，b 的最大公约数是b 与r 的最大公约数． 3．98,280的最大公约数为( ) A ．7 B ．14 C ．16 D ．8 答案：B解析：由辗转相除法可得：280＝98×2＋84,98＝84×1＋14,84＝14×6.故最大公约数为14.也可以使用更相减损术或短除法．4．用秦九韶算法求n 次函数f (x )＝a n x n＋a n －1x n －1＋…＋a 1x ＋a 0，在x ＝x 0时的值时，一个反复执行的步骤是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧v 0＝a 0v k ＝v k －1x ＋a n －k (k ＝1,2，…，n )B.⎩⎪⎨⎪⎧ v 0＝a n v k ＝v k －1x ＋a n －k(k ＝1,2，…，n )C.⎩⎪⎨⎪⎧ v 0＝a n v k ＝v k －1x ＋a k (k ＝1,2，…，n )D.⎩⎪⎨⎪⎧v 0＝a 0v k ＝v k －1x ＋a k(k ＝1,2，…，n )答案：B5．用更相减损术求168与360的最大公约数时，需要做的差式运算的次数为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9答案：C6．使用秦九韶算法求P (x )＝a n x n＋a n －1x n －1＋…＋a 1x ＋a 0在x ＝x 0时的值可减少运算次数，做加法的次数为( )A ．n B.n n ＋12C ．2n ＋1D ．2n 答案：A解析：由秦九韶算法的过程可知，做加法的次数为n . 二、填空题7．三个数30,42,60的最大公约数是________． 答案：6解析：30＝5×6,42＝7×6,60＝10×6.8．用秦九韶算法求多项式f (x )＝12＋35x －8x 2＋79x 3＋6x 4＋5x 5＋3x 6当x ＝－4时的值时，其中v 1的值为________．答案：－79．利用秦九韶算法求P (x )＝a n x n ＋a n －1x n －1＋…＋a 1x ＋a 0当x ＝x 0时的值可减少运算次数，做乘法的次数为________次．答案：n 三、解答题10．用辗转相除法求294与84的最大公约数． 解：用辗转相除法： 294＝84×3＋42,84＝42×2， 即294与84的最大公约数是42.11．已知函数f (x )＝x 3－2x 2－5x ＋6，试用秦九韶算法求f (10)的值． 解：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：f (x )＝x 3－2x 2－5x ＋6＝(x 2－2x －5)x ＋6＝((x －2)x －5)x ＋6.我们把x ＝10代入函数式，得f (10)＝((10－2)×10－5)×10＋6＝756.能力提升12．已知多项式P n (x )＝a 0x n＋a 1xn －1＋…＋a n －1x ＋a n .如果在一种算法中，计算x k0(k ＝2,3,4，…，n )的值需要k －1次乘法，计算P 3(x 0)的值共需要9次运算(6次乘法，3次加法)，那么计算P n (x 0)的值共需要________次运算．下面给出一种减少运算次数的算法：P 0(x )＝a 0，P k ＋1(x )＝xP k (x )＋a k ＋1(k ＝0,1,2，…，n －1)．利用该算法，计算P 3(x 0)的值共需要6次运算，计算P n (x 0)的值共需要________次运算．答案：12n (n ＋3) 2n解析：P n (x )＝a 0x n＋a 1xn －1＋…＋a n －1x ＋a n ，共需n 次加法运算，每个小因式中所需乘法运算依次为n ，n －1，…，1,0.故总运算次数为n ＋n ＋(n －1)＋…＋1＝n ＋n n ＋12＝12n (n ＋3)．第二种算法中，P 0(x 0)＝a 0不需要运算，P 1(x 0)＝x 0P 0(x 0)＋a 1，需2次运算，P 2(x 0)＝x 0P 1(x 0)＋a 2需2＋2次运算，依次往下，P n (x 0)需2n 次运算．13．春节快到了，奶奶要给来家里玩的小朋友分糖果，现有大白兔、金丝猴、阿尔卑斯三种糖果，分别重3 600克、4 000克、3 200克．现要将它们分别全部装入小礼品盒中，每个小礼品盒装入的糖果重量相等，问每盒最多装多少克糖果？解：根据题意求每盒最多装多少克，即求3 600、4 000、3 200的最大公约数，由更相减损术原理即求9、10、8最大公约数与400的积，由更相减损术易求9、10、8最大公约数为1.所以3 600、4 000、3 200的最大公约数为400，故每盒最多装400克糖果．。

1.3 算法案例（一）学业水平合格练1．秦九韶算法与直接计算相比较，下列说法错误的是()A．秦九韶算法与直接计算相比，大大节省了做乘法的次数，使计算量减少，并且逻辑结构简单B．秦九韶算法减少了做乘法的次数，在计算机上也就加快了计算的速度C．秦九韶算法减少了做乘法的次数，在计算机上也就降低了计算的速度D．秦九韶算法避免了对自变量x单独做幂的计算，而且与系数一起逐次增长幂次，从而提高计算的精度2．下列说法中正确的个数为()①辗转相除法也叫欧几里得算法；②辗转相除法的基本步骤是用较大的数除以较小的数；③求最大公约数的方法，除辗转相除法之外，没有其他方法；④编写辗转相除法的程序时，要用到循环语句．A．1 B．2C．3 D．43．利用秦九韶算法求f(x)＝1＋2x＋3x2＋…＋6x5当x＝2时的值时，下列说法正确的是() A．先求1＋2×2B．先求6×2＋5，第二步求2×(6×2＋5)＋4C．f(2)＝1＋2×2＋3×22＋4×23＋5×24＋6×25直接运算求解D．以上都不对4．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入的a为2,2,5，则输出的s＝()A ．7B ．12C ．17D ．345．用更相减损术求117和182的最大公约数时，需做减法的次数是( ) A ．8 B ．7 C ．6D ．56．用秦九韶算法求n 次多项式f (x )＝a n x n ＋a n －1x n －1＋…＋a 1x ＋a 0当x ＝x 0时的值，求f (x 0)需要乘方、乘法、加法的次数分别为( ) A ．n (n ＋1)2，n ，nB ．n,2n ，nC ．0,2n ，nD ．0，n ，n7．用秦九韶算法求多项式f (x )＝12＋35x －8x 2＋79x 3＋6x 4＋5x 5＋3x 6当x ＝－4的值时，其中v 1的值为________．8．378和90的最大公约数为________． 9．求1356和2400的最小公倍数．10．用秦九韶算法求多项式f (x )＝7x 7＋6x 6＋5x 5＋4x 4＋3x 3＋2x 2＋x 当x ＝3时的值．应试能力等级练11．下列哪组的最大公约数与1855,1120的最大公约数不同()A．1120,735 B．385,350C．385,735 D．1855,32512．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝3x6＋4x5＋5x4＋6x3＋7x2＋8x＋1，当x＝0.4时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是()A．6,6B．5,6C．5,5D．6,513．已知a＝333，b＝24，则使得a＝bq＋r(q，r均为自然数，且0≤r≤b)成立的q和r的值分别为________．14．用秦九韶算法求多项式f(x)＝1－5x－8x2＋10x3＋6x4＋12x5＋3x6当x＝－4时的值时，v0，v1，v2，v3，v4中最大值与最小值的差是________．15．用辗转相除法和更相减损术两种方法求三个数72,120,168的最大公约数．参考答案学业水平合格练1．【答案】C【解析】秦九韶算法减少了做乘法的次数，在计算机上也就加快了计算的速度，故选项C 错误．2．【答案】C【解析】①、②、④正确，③错误．3．【答案】B【解析】利用秦九韶算法应先算a n x＋a n－1，再算(a n x＋a n－1)x＋a n－2，故选B.4．【答案】C【解析】该题考查程序框图的运行及考生的识图能力．由程序框图知，第一次循环：x＝2，n＝2，a＝2，s＝0×2＋2＝2，k＝1；第二次循环：a＝2，s＝2×2＋2＝6，k＝2；第三次循环：a＝5，s＝6×2＋5＝17，k＝3.结束循环，输出s的值为17，故选C.5．【答案】C【解析】∵182－117＝65,117－65＝52,65－52＝13,52－13＝39,39－13＝26,26－13＝13，∴13是117和182的最大公约数，需做减法的次数是6.6．【答案】D【解析】因为f(x)＝(…((a n x＋a n－1)x＋a n－2)x＋…＋a1)x＋a0，所以乘方、乘法、加法的次数分别为0，n，n.7．【答案】－7【解析】∵f(x)＝12＋35x－8x2＋79x3＋6x4＋5x5＋3x6，∴v0＝a6＝3，v1＝v0x＋a5＝3×(－4)＋5＝－7.8．【答案】18【解析】378＝90×4＋18,90＝18×5＋0，∴378与90的最大公约数是18.9．解：2400＝1356×1＋1044，1356＝1044×1＋312，1044＝312×3＋108，312＝108×2＋96，108＝96×1＋12，96＝12×8.所以1356与2400的最大公约数为12.则1356与2400的最小公倍数为(1356×2400)÷12＝271200.10．解：f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)·x，所以v0＝7，v1＝7×3＋6＝27，v2＝27×3＋5＝86，v3＝86×3＋4＝262，v4＝262×3＋3＝789，v5＝789×3＋2＝2369，v6＝2369×3＋1＝7108，v7＝7108×3＝21324.故x＝3时，多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x的值为21324.应试能力等级练11．【答案】D【解析】∵(1855,1120)→(735,1120)→(735,385)→(350,385)→(350,35)，∴1855与1120的最大公约数是35，由以上计算过程可知选D.12．【答案】A【解析】根据秦九韶算法，把多项式改写为f(x)＝(((((3x＋4)x＋5)x＋6)x＋7)x＋8)x＋1，∴需要做6次加法运算，6次乘法运算，故选A.13．【答案】13,21【解析】用333除以24，商即为q，余数就是r.333÷24的商为13，余数是21.∴q＝13，r＝21.14．【答案】62【解析】多项式变形为f(x)＝3x6＋12x5＋6x4＋10x3－8x2－5x＋1＝(((((3x＋12)x＋6)x＋10)x－8)x－5)x＋1，v0＝3，v1＝3×(－4)＋12＝0，v2＝0×(－4)＋6＝6，v3＝6×(－4)＋10＝－14，v4＝－14×(－4)－8＝48，所以v4最大，v3最小，所以v4－v3＝48＋14＝62.15．解：(辗转相除法)：先求120,168的最大公约数．因为168＝120×1＋48，120＝48×2＋24,48＝24×2，所以120,168的最大公约数是24.再求72,24的最大公约数．因为72＝24×3，所以72,24的最大公约数为24，即72,120,168的最大公约数为24.(更相减损术)：先求120,168的最大公约数．168－120＝48,120－48＝72，72－48＝24,48－24＝24，所以120,168的最大公约数为24.再求72,24的最大公约数．72－24＝48,48－24＝24，所以72,24的最大公约数为24，即72,120,168的最大公约数为24.。

§1.3算法案例(二)课时达标训练一、基础过关1．下列各进制数中值最小的是() A．85(9)B．210(6)C．1 000(4)D．111 111(2)答案D2．把189化为三进制数，则末位数是() A．0 B．1 C．2 D．3答案A解析将189除以3得余数为0，所以189化为三进制数的末位数为0.3．已知一个k进制的数132与十进制的数30相等，那么k等于() A．7或4 B．－7C．4 D．都不对答案C解析132(k)＝1×k2＋3×k＋2＝k2＋3k＋2，∴k2＋3k＋2＝30，即k2＋3k－28＝0，解得k＝4或k＝－7(舍去)．4．四位二进制数能表示的最大十进制数是() A．4 B．64 C．255 D．15答案D解析由二进制数化为十进制数的过程可知，当四位二进制数为1 111时表示的十进制数最大，此时，1 111(2)＝15.5．七进制数中各个数位上的数字只能是______中的一个．答案0、1、2、3、4、5、6解析“满几进一”就是几进制．∵是七进制．∴满七进一，根本不可能出现7或比7大的数字，所以各个数位上的数字只能是0、1、2、3、4、5、6中的一个．6．已知三个数12(16)，25(7)，33(4)，将它们按由小到大的顺序排列为________．答案33(4)<12(16)<25(7)解析将三个数都化为十进制数.12(16)＝1×16＋2＝18,25(7)＝2×7＋5＝19，33(4)＝3×4＋3＝15，∴33(4)<12(16)<25(7)．7．已知1 0b1(2)＝a02(3)，求数字a，b的值．解∵1 0b1(2)＝1×23＋b×2＋1＝2b＋9，a02(3)＝a×32＋2＝9a＋2，∴2b＋9＝9a＋2，即9a－2b＝7.∵a∈{1,2}，b∈{0,1}，∴当a＝1时，b＝1符合题意，当a＝2时，b＝112不合题意，∴a＝1，b＝1.8．古时候，当边境有敌人来犯时，守边的官兵通过在烽火台上举火向国内报告，如图，烽火台上点火，表示数字1，不点火表示数字0，约定二进制数对应的十进制的单位是1 000，请你计算一下，这组烽火台表示约有多少敌人入侵？解由图可知从左到右的五个烽火台，表示二进制数的自左到右五个数位，依题意知这组烽火台表示的二进制数是11 011，改写为十进制为：11 011(2)＝1×24＋1×23＋0×22＋1×21＋1×20＝16＋8＋2＋1＝27(10)．又27×1 000＝27 000，所以这组烽火台表示边境约有27 000个敌人来犯．二、能力提升9．已知44(k)＝36，把67(k)转化为十进制数为() A．8 B．55 C．56 D．62答案B解析由题意得，36＝4×k1＋4×k0，所以k＝8.则67(k)＝67(8)＝6×81＋7×80＝55.10．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：十六进制0123456789A B C D E F十进制0123456789101112131415A．6E B．72 C．5F D．80答案A解析A×B用十进制可以表示为10×11＝110，而110＝6×16＋14，所以用十六进制表示为6E.11．10 303(4)和235(7)化为十进制数分别为______，_______.答案307124解析10 303(4)＝1×44＋3×42＋3×40＝307.235(7)＝2×72＋3×71＋5×70＝124(10)．12．把五进制数1 234(5)转化为十进制数，再把它转化为八进制数．解 1 234(5)＝1×53＋2×52＋3×51＋4×50＝194(10)．因为，所以1 234(5)＝194(10)＝302(8)．三、探究与拓展13．分别用算法步骤、程序框图、程序语句表示把k进制数a(共有n位数)转化成十进制数b.解算法步骤：第一步，输入a，k，n的值．第二步，赋值b＝0，i＝1.第三步，b＝b＋a i·k i－1，i＝i＋1.第四步，判断i>n是否成立．若是，则执行第五步；否则，返回第三步．第五步，输出b的值．程序框图：程序语句：INPUT “a,k,n=”;a,k,n b=0i=1t=a MOD 10DOb=b+t*k＾(i-1)a=a\\10t=a MOD 10i=i+1LOOP UNTIL i>n PRINT bEND。

算法案例(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.更相减损术可解决下列问题中的()A.求两个正整数的最大公约数B.求多项式的值C.进位制的转化计算D.排序问题【解析】选A.更相减损术是解决求两个或两个以上的正整数的最大公约数的.2.(2015·娄底高一检测)把77化成四进制数的末位数字为()A.4B.3C.2D.1【解析】选D.因为77÷4=19……1，19÷4=4……3，4÷4=1……0，1÷4=0……1，故77(10)=1 031(4)，末位数字为1.【补偿训练】十进制数89化为二进制的数为()A.1001101(2)B.1011001(2)C.0011001(2)D.1001001(2)【解析】选B.89÷2=44…1，44÷2=22…0，22÷2=11…0，11÷2=5…1，5÷2=2…1，2÷2=1…0，1÷2=0…1，故89(10)=1 011 001(2).3.(2015·临沂高一检测)已知多项式f(x)=x4-3x3+5x，用秦九韶算法求f(5)的值等于()A.275B.257C.55D.10【解析】选A.因为f(x)=x4-3x3+0·x2+5x=(((x-3)x+0)x+5)x，v0=1，v1=1×5-3=2，v2=2×5+0=10，v3=10×5+5=55，v4=55×5=275，所以f(5)的值为275.4.(2015·洛阳高一检测)用秦九韶算法计算多项式f(x)=1+5x+10x2+10x3+5x4+x5在x=-2时，v3的值为()A.1B.2C.3D.4【解题指南】所给的多项式写成关于x的一次函数的形式，依次写出，得到最后结果，从里到外进行运算，得到要求的值.【解析】选B.f(x)=1+5x+10x2+10x3+5x4+x5=(x4+5x3+10x2+10x+5)x+1=((x3+5x2+10x+10)x+5)x+1=((((x+5)x+10)x+10)x+5)x+1所以在x=-2时，v3的值为((x+5)x+10)x+10=2，故选B.【补偿训练】利用秦九韶算法求多项式f(x)=7x3+3x2-5x+11当x=23的值时，在运算中下列哪个值用不到()A.164B.3 767C.86 652D.85 169【解析】选D.f(x)=((7x+3)x-5)x+11，v1=7×23+3=164，v2=164×23-5=3 767，v3=3 767×23+11=86 652，所以f(23)=86 652.5.把十进制的23化成二进制数是()A.00 110(2)B.10 111(2)C.10 111(2)D.11 101(2)【解析】选B.23÷2=11…1，11÷2=5…1，5÷2=2…1，2÷2=1…0，1÷2=0…1，故23=10 111(2).【补偿训练】四位二进制数能表示的最大十进制数是()A.4B.15C.64D.127【解析】选B.1 111(2)=1×23+1×22+1×21+1×20=8+4+2+1=15.二、填空题(每小题5分，共15分)6.25与35的最大公约数为.【解析】35=1×25+10，25=2×10+5，10=2×5，所以25与35的最大公约数为5.答案：57.(2015·苏州高一检测)七进制数中各个数位上的数字只能是中的一个.【解析】“满几进一”就是几进制.因为进位制是七进制，所以满七进一，根本不可能出现7或比7大的数字，所以各个数位上的数字只能是0，1，2，3，4，5，6中的一个.答案：0，1，2，3，4，5，68.用秦九韶算法求多项式f(x)=12+35x-8x2+79x3+6x4+5x5+3x6当x=-4时的值时，其中v1的值为.【解析】由题意知答案：-7【误区警示】此题很容易把所求的v1写成v0的值而出现错误答案.三、解答题(每小题10分，共20分)9.(2015·杭州高一检测)分别用辗转相除法和更相减损术求261，319的最大公约数.【解析】辗转相除法：319=261×1+58，261=58×4+29，58=29×2.所以319与261的最大公约数是29.更相减损术：319-261=58，261-58=203，203-58=145，145-58=87，87-58=29，58-29=29，所以319与261的最大公约数是29.10.利用秦九韶算法求多项式f(x)=3x6+12x5+8x4-3.5x3+7.2x2+5x-13当x=6时的值，写出详细步骤. 【解题指南】先把多项式改写，再利用秦九韶算法求解.【解析】f(x)=(((((3x+12)x+8)x-3.5)x+7.2)x+5)x-13，v0=3，v1=v0×6+12=30，v2=v1×6+8=188，v3=v2×6-3.5=1 124.5，v4=v3×6+7.2=6 754.2，v5=v4×6+5=40 530.2，v6=v5×6-13=243 168.2.f(6)=243 168.2.【拓展延伸】秦九韶算法的求解策略秦九韶算法把求n次多项式f(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0的值转化为求递推公式(k=1，2，…，n)的值.这样最多只需n次乘法和n次加法即可求出多项式的值，和直接代入求值相比，减少了运算次数，提高了运算效率.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.(2015·南昌高一检测)将389化成四进制数的末位是()A.1B.2C.3D.0【解析】选A.389化成四进制数的运算过程如图，所得的四进制数是12 011(4)，其末位是1.2.两个正整数840与1 785的最大公约数是()A.105B.8C.2D.840【解析】选A.1 785=840×2+105，840=105×8，所以105为840与1 785的最大公约数.【补偿训练】用更相减损术求459与357的最大公约数，需要做减法的次数为() A.4B.5C.6D.7【解析】选B.459-357=102，357-102=255，255-102=153，153-102=51，102-51=51，所以459与357的最大公约数为51，共做减法5次，故选B.二、填空题(每小题5分，共10分)3.(2015·邵阳高一检测)已知函数f(x)=x3-2x2-5x+8，利用秦九韶算法求f(9)的值.【解析】f(x)=x3-2x2-5x+8=((x-2)x-5)x+8，所以f(9)=((9-2)×9-5)×9+8=530.答案：530【补偿训练】用秦九韶算法求多项式f(x)=1-5x-8x2+10x3+6x4+12x5+3x6当x=-4时的值时，v0，v1，v2，v3，v4中最大值与最小值的差是.【解析】多项式变形为f(x)=3x6+12x5+6x4+10x3-8x2-5x+1=(((((3x+12)x+6)x+10)x-8)x-5)x+1，v0=3，v1=3×(-4)+12=0，v2=0×(-4)+6=6，v3=6×(-4)+10=-14，v4=-14×(-4)-8=48，所以v4最大，v3最小，所以v4-v3=48+14=62.答案：624.把二进制数1 001(2)化成十进制数为.【解析】1 001(2)=1×23+0×22+0×21+1=9.答案：9【补偿训练】将53(8)转化为二进制的数为.【解析】53(8)=5×81+3=43.所以53(8)=101 011(2).答案：101 011(2)三、解答题(每小题10分，共20分)5.(2015·韶关高一检测)用辗转相除法求888与1 147的最大公约数. 【解析】因为1 147=888×1+259，888=259×3+111，259=111×2+37，111=37×3，所以888与1 147的最大公约数是37.【一题多解】此题也可以利用更相减损术来求：1 147-888=259，888-259=629，629-259=370，370-259=111，259-111=148，148-111=37，111-37=74，74-37=37.所以888与1 147的最大公约数为37.【拓展延伸】辗转相除法和更相减损术的选择辗转相除法和更相减损术都可以求两个正整数的最大公约数，针对不同的两数，选择运算少的是关键，当满足下列条件之一，选择辗转相除法：(1)所给两数差值大；(2)所给两数的差与较小的数比，差值较大.6.(1)将137化为六进制数.(2)将53(8)转化为三进制数.【解析】(1)所以137=345(6).(2)53(8)=5×81+3×80=43.所以53(8)=1 121(3).。

课时作业7算法案例解析：∵36与134都是偶数，∴第一步应为：先除以2，得到18与67.答案：先除以2，得到18与677．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x＋7在x＝0.4时的值时，需做加法和乘法的次数的和为________．解析：f(x)＝(((((6x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x＋7，所以做加法6次，乘法6次，所以6＋6＝12(次)．答案：128．三位七进制数表示的最大的十进制数是________．解析：最大的三位七进制表示的十进制数最大，最大的三位七进制数为666(7)，则666(7)＝6×72＋6×71＋6×70＝342.答案：342三、解答题(每小题10分，共20分)9．用辗转相除法求80和36的最大公约数，并用更相减损术检验所得结果．解析：辗转相除法：80＝36×2＋8,36＝8×4＋4,8＝4×2＋0.故80和36的最大公约数是4.用更相减损术检验：80－36＝44，44－36＝8，36－8＝28，28－8＝20，20－8＝12，12－8＝4，8－4＝4，所以80和36的最大公约数是4.10．把八进制数2011(8)化为五进制数．解析：2011(8)＝2×83＋0×82＋1×81＋1×80＝1 024＋0＋8＋1＝1 033.所以2 011(8)＝13 113(5)．|能力提升|(20分钟，40分)11．用秦九韶算法求n次多项式f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0当x＝x0时的值，求f(x0)需要乘方、乘法、加法的次数分别为( )A.＋2，n，n B．n,2n，nC．0,2n，n D．0，n，n解析：因为f(x)＝(…((a n x＋a n－1)x＋a n－2)x＋…＋a1)x＋a0，所以乘方、乘法、加法的次数分别为0，n，n.答案：D12．已知三个数12(16)，25(7)，33(4)，将它们按由小到大的顺序排列为________．解析：将三个数都化为十进制数．12(16)＝1×16＋2＝18，25(7)＝2×7＋5＝19，33(4)＝3×4＋3＝15，所以33(4)<12(16)<25(7)．答案：33(4)<12(16)<25(7)13．用秦九韶算法求多项式f(x)＝x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1当x＝－2时的值．解析：f(x)＝x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1＝((((x＋5)x＋10)x＋10)x＋5)x＋1.当x＝－2时，有v0＝1；v1＝v0x＋a4＝1×(－2)＋5＝3；v2＝v1x＋a3＝3×(－2)＋10＝4；v3＝v2x＋a2＝4×(－2)＋10＝2；v4＝v3x＋a1＝2×(－2)＋5＝1；v5＝v4x＋a0＝1×(－2)＋1＝－1.故f(－2)＝－1.14．(1)把五进制数1 234(5)转化为十进制数；(2)把2 012化为二进制数和八进制数．解析：(1)1 234(5)＝1×53＋2×52＋3×51＋4×50＝194.(2)∴2 012＝111 110 111 00(2)．∴2 012＝3 734(8)．。

1.3 算法案例优化训练1．用更相减损术求294和84的最大公约数时，需做减法的次数是()A．2B．3C．4 D．5解析：选C.294－84＝210,210－84＝126,126－84＝42,84－42＝42，故选C.2．若用秦九韶算法求多项式f(x)＝4x5－x2＋2当x＝3时的值，则需要做乘法运算和加减法运算的次数分别为()A．4,2 B．5,3C．5,2 D．6,2解析：选C.f(x)＝4x5－x2＋2＝((((4x)x)x－1)x)x＋2，所以需要做5次乘法运算和2次加减运算．3．将二进制数10001(2)化为五进制数为()A．32(5) B．23(5)C．21(5) D．12(5)解析：选A.将10001(2)化为十进制数为：10001(2)＝1×24＋0×23＋0×22＋0×21＋1×20＝17，将17化为五进制数为32(5)，∴10001(2)＝32(5)．4．378与90的最大公约数为________．解析：辗转相除法：378＝90×4＋18，90＝18×5＋0，∴378与90的最大公约数是18.答案：181．45和150的最大公约数和最小公倍数分别是()A．5,150 B．15,450C．450,15 D．15,150解析：选B.利用辗转相除法求45和150的最大公约数：150＝45×3＋15,45＝15×3，所以45和150的最大公约数为15.所以45和150的最小公倍数为15×(45÷15)×(150÷15)＝450，故选B.2．用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x6＋6x5＋3x2＋2当x＝4的值时，先算的是()A．4×4＝16 B．7×4＝28C．4×4×4＝64 D．7×4＋6＝34解析：选D.因为f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0，所以用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x6＋6x5＋3x2＋2当x＝4的值时，先算的是7×4＋6＝34.3．二进制数算式1010(2)＋10(2)的值是()A．1011(2) B．1100(2)C．1101(2) D．1000(2)解析：选B.1010(2)＋10(2)＝(1×23＋0×22＋1×21＋0×20)＋(1×21＋0×20)＝12＝1100(2)，故选B .4．已知一个k进制的数132与十进制的数30相等，那么k等于()A．7或4 B．－7C．4 D．都不对解析：选C.132(k)＝1×k2＋3×k＋2＝k2＋3k＋2，∴k2＋3k＋2＝30，即k2＋3k－28＝0，解得k＝4或k＝－7(舍去)．5．已知f(x)＝x5＋2x3＋3x2＋x＋1，应用秦九韶算法计算x＝3时的值时，v3的值为() A．27 B．11C．118 D．36解析：选D.将函数式化成如下形式．f(x)＝((((x＋0)x＋2)x＋3)x＋1)x＋1，由内向外依次计算：v0＝1，v1＝1×3＋0＝3，v2＝3×3＋2＝11，v3＝11×3＋3＝36.6．由389化为的四进制数的末位为()A．3 B．2C．1 D．0解析：选C.以4作除数，相应的除法算式为∴389＝12018(4)，故选C. 7．七进制数中各个数位上的数字只能是________中的一个．解析：“满几进一”就是几进制．∵是七进制．∴满七进一，根本不可能出现7或比7大的数字，所以各个数位上的数字只能是0、1、2、3、4、5、6中的一个．答案：0、1、2、3、4、5、68．将八进制数127(8)化成二进制数为________．解析：先将八进制数127(8)化为十进制数：127(8)＝1×82＋2×81＋7×80＝64＋16＋7＝87，再将十进制数87化成二进制数：∴87＝1010111(2)，∴127(8)＝1010111(2)．答案：1010111(2)9．下列各数①111111(2) ②210(6)③1000(4) ④81(8)最大数为________，最小数为________．解析：可以考虑将①②③④中的数都转换成十进制，那么①中111111(2)＝63；②中210(6)＝78；③中1000(4)＝64；④中81(8)＝65.作比较，可知①的数最小，②的数最大．答案：②①10．已知函数f(x)＝x3－2x2－5x＋6，试用秦九韶算法求f(10)的值．解：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：f(x)＝x3－2x2－5x＋6＝(x2－2x－5)x＋6＝((x－2)x－5)x＋6.我们把x＝10代入函数式，得f(10)＝((10－2)×10－5)×10＋6＝756.11．把110(5)转化为二进制数．解：110(5)＝1×52＋1×51＋0×50＝30，30＝1×24＋1×23＋1×22＋1×2＋0×20＝11110(2)，即110(5)＝11110(2)．12．利用秦九韶算法分别计算f(x)＝8x7＋5x6＋3x4＋2x＋1在x＝2与x＝－1时的值，并判断多项式f(x)在区间[－1,2]有没有零点．解：∵f(x)＝8x7＋5x6＋3x4＋2x＋1＝((((((8x＋5)x＋0)x＋3)x＋0)x＋0)x＋2)x＋1，且x＝2，∴v0＝8，v1＝8×2＋5＝21，v2＝21×2＋0＝42，v3＝42×2＋3＝87，v4＝87×2＋0＝174，v5＝174×2＋0＝348，v6＝348×2＋2＝698，v7＝698×2＋1＝1397.∴当x＝2时，f(x)＝1397.同理可求当x＝－1时，f(x)＝－1，又∵f(－1)f(2)＝－1397<0，则多项式f(x)在区间[－1,2]上有零点．。

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3算法案例一、选择题1.用辗转相除法求29４和84的最大公约数时,需要做除法的次数是( ）Ａ． 1 B.2 Ｃ.3 D.42．运行下面的程序，当输入ｎ＝840和m＝１76４时,输出结果是( )A．84 B.12 Ｃ.16８Ｄ．252３.用更相减损术,求１05与3０的最大公约数时,需要做减法的次数是 ( )Ａ．2 ﻩ B.3 C.4 Ｄ.54.下列程序运行后的输出结果为( ）INPUT “输入正整数a，b=”；ａ，ｂm=a*bWHＩLE a<>ｂIF ａ＞b THENa=a-bＥLSE ｂ＝b－ａENＤ IＦWＥNDPRINT m=m/aEＮD运行时,从键盘输入４8，３6.A．３6 B．12 C.144 D.4８5．用秦九韶算法计算多项式f(ｘ)＝３x6+４x５＋5x4＋６x３+7x2+８x+1当x＝0.4时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是( ）Ａ．6,6 B.５,6 C ．５，5 Ｄ．6，56．用秦九韶算法求多项式f （x )＝12+3５x -８ｘ2＋7９x 3+６x ４＋5x 5＋3x 6的值,当x ＝－4时，v 4的值为( )A.－５7 ﻩﻩﻩＢ．１24C ．－８45ﻩ D.２20 ７．下列各数中最小的数为（ ) A ．１０1０11(2） ﻩ B.1210(3) C ．110（8) ﻩ D.６8（１2） 8.二进制数算式１010(2）＋１0(２)的值是（ ） A ．1011（２) B.1１００（2) C ．11０1（2) ﻩﻩﻩD ．1０00(2)二、填空题9．运行下面的程序,当输入数据为7８和36时,输出的值为 .10．在用辗转相除法求两个正整数a ,b (ａ＞b )的最大公约数时，得到表达式a =nb +ｒ,（n ∈N ),这里r 的取值范围是____＿＿_.11.下面是用碾转相除法求两个正整数a ,b (ａ＞ｂ)的最大公约数算法的程序框图，其中(1)处缺少的程序项为___＿___＿．1______ 2___＿__ 3＿＿____4__＿___５＿＿____６______7_____＿１２．完成下列进位制之间的转化.（1)１0231(4）=___＿____（10);(２)235(7）＝________(1０）;（3）137（10)＝______＿_（６）;(4)123１(５)＝＿__＿＿＿_＿（７);(5）２13(4)＝______＿_(3);(6)１01０１11（2)=＿_______(4）．三、解答题13。

§1.3算法案例课时目标通过三种算法案例：辗转相除法与更相减损术，秦九韶算法，进位制，进一步体会算法的思想，提高算法设计水平，体会中国古代数学对世界的贡献．1．辗转相除法(1)辗转相除法，又叫欧几里得算法，是一种求两个正整数的最大公约数的古老而有效的算法．(2)辗转相除法的算法步骤第一步，给定两个正整数m，n.第二步，计算m除以n所得的余数r.第三步，m＝n，n＝r.第四步，若r＝0，则m、n的最大公约数等于m；否则，返回第二步．2．更相减损术第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数．若是，用2约简；若不是，执行第二步．第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数．3．秦九韶算法把一个n次多项式f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0改写成如下形式：(…((a n x＋a n－1)x＋a n－2)x＋…＋a1)x＋a0，求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即v1＝a n x＋a n－1，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即v2＝v1x＋a n－2，v3＝v2x＋a n－3，…v n＝v n－1x＋a0这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值．4．进位制进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，“满k进一”就是k进制，k进制的基数是k.把十进制转化为k进制数时，通常用除k取余法．一、选择题1．下列说法中正确的个数为()(1)辗转相除法也叫欧几里得算法；(2)辗转相除法的基本步骤是用较大的数除以较小的数；(3)求最大公约数的方法，除辗转相除法之外，没有其他方法；(4)编写辗转相除法的程序时，要用到循环语句．A．1 B．2 C．3 D．4答案 C解析(1)、(2)、(4)正确，(3)错误．2．用更相减损术求294和84的最大公约数时，需做减法的次数是()A．2 B．3 C．4 D．5答案 C解析由于294和84都是偶数，所以用2约简：294÷2＝147，84÷2＝42，又由于147不是偶数，所以147－42＝105，105－42＝63，63－42＝21，42－21＝21，故需做4次减法，故选C.3．1 037和425的最大公约数是()A．51 B．17 C．9 D．3答案 B解析∵1 037＝425×2＋187，425＝187×2＋51，187＝51×3＋34，51＝34×1＋17，34＝17×2，即1 037和425的最大公约数是17.4．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x＋7在x＝0.4时的值时，需做加法和乘法的次数的和为()A．10 B．9 C．12 D．8答案 C解析f(x)＝(((((6x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x＋7∴加法6次，乘法6次，∴6＋6＝12(次)，故选C.5．已知f(x)＝x5＋2x3＋3x2＋x＋1，应用秦九韶算法计算x＝3时的值时，v3的值为() A．27 B．11 C．109 D．36答案 D解析将函数式化成如下形式．f(x)＝(((x＋0)x＋2)x＋3)x＋1)x＋1由内向外依次计算：v0＝1，v1＝1×3＋0＝3，v2＝3×3＋2＝11，v3＝11×3＋3＝36，v4＝36×3＋1＝109，v5＝109×3＋1＝328.6．下列有可能是4进制数的是()A．5 123 B．6 542 C．3 103 D．4 312答案 C解析4进制数每位上的数字一定小于4，故选C.二、填空题7．辗转相除法程序中有一空请填上．答案 a MOD b解析MOD用来表示a除以b的余数．8．更相减损术程序中有两空请填上．答案a＝b b＝r9．已知三个数12(16)，25(7)，33(4)，将它们按由小到大的顺序排列为________．答案33(4)<12(16)<25(7)解析将三个数都化为十进制数．12(16)＝1×16＋2＝18，25(7)＝2×7＋5＝19，33(4)＝3×4＋3＝15，∴33(4)<12(16)<25(7)．三、解答题10．用两种方法求210与98的最大公约数．解用辗转相除法：210＝98×2＋14，98＝14×7.∴210与98的最大公约数为14.用更相减损术：∵210与98都是偶数，用2约简得105和49，105－49＝56,56－49＝7，49－7＝42,42－7＝35，35－7＝28,28－7＝21，21－7＝14,14－7＝7.∴210与98的最大公约数为2×7＝14.11．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝x6－12x5＋60x4－160x3＋240x2－192x＋64当x＝2时的值．解将f(x)改写为f(x)＝(((((x－12)x＋60)x－160)x＋240)x－192)x＋64由内向外依次计算一次多项式当x＝2时的值v0＝1，v1＝1×2－12＝－10，v2＝－10×2＋60＝40，v3＝40×2－160＝－80，v4＝－80×2＋240＝80，v5＝80×2－192＝－32，v6＝－32×2＋64＝0.∴f(2)＝0，即x＝2时，原多项式的值为0.能力提升12．把111化为五进制数．解∴111化为五进制数为421(5)．13．把10 231(5)化为四进制数．解先化成十进制数．10 231(5)＝1×54＋0×53＋2×52＋3×51＋1＝625＋50＋15＋1＝691再化为四进制数∴10 231(5)＝22 303(4).1．辗转相除法与更相减损术的区别和联系(1)都是求最大公约数的方法．(2)二者的实质都是递归的过程．(3)二者都要用循环结构来实现．2．秦九韶算法的特点秦九韶算法的特点在于把求一个n 次多项式的值转化为求n 个一次多项式的值，即把求f (x )＝a n x n ＋a n －1x n －1＋…＋a 1x ＋a 0的值转化为求递推公式： ⎩⎪⎨⎪⎧v 0＝a n v k ＝v k －1x ＋a n －k (k ＝1，2，…，n ) 这样可以最多计算n 次乘法和n 次加法即可得多项式的值，和直接代入多项式相比减少了乘法的运算次数，提高了运算效率．3．十进制与其他进制的转化(1)将k 进制转化为十进制的方法：先把k 进制数写成各位上的数字与k 的幂的乘积的形式，再按十进制的运算规则计算．(2)将十进制化成k 进制的方法：用除k 取余法，用k 连续去除十进制数所得的商，直到商为零为止，然后将各步所得的余数倒序写出，即为相应的k 进制数．附赠材料答题六注意 ：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点: 第一,考前做好准备工作。

1.3 算法案例A级：根底稳固练一、选择题1．4830与3289的最大公约数为( )A．23 B．35 C．11 D．13答案 A解析4830＝1×3289＋1541；3289＝2×1541＋207；1541＝7×207＋92；207＝2×92＋23；92＝4×23.∴23是4830与3289的最大公约数．2．用辗转相除法计算56和264的最大公约数时，需要做的除法次数是( )A．3 B．4 C．6 D．7答案 B解析∵264÷56＝4……40,56÷40＝1……16,40÷16＝2……8,16÷8＝2，∴264与56的最大公约数是8，需要做的除法次数是4.应选B.3．用更相减损术求459与357的最大公约数，需要做减法的次数为( )A．4 B．5 C．6 D．7答案 B解析459－357＝102,357－102＝255,255－102＝153,153－102＝51,102－51＝51，所以459与357的最大公约数为51，共做减法5次．4．以下各数，化为十进制后，最大的为( )A．101010(2)B．111(5)C．32(8)D．54(6)答案 A解析101010(2)＝1×25＋0×24＋1×23＋0×22＋1×21＋0×20＝42,111(5)＝1×52＋1×51＋1×50＝31,32(8)＝3×81＋2×80＝26,54(6)＝5×61＋4×60＝34.故转化为十进制后，最大的是101010(2)．5．?周易?历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的根底，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“——〞当作数字“1〞，把阴爻“——〞当作数字“0〞，那么八卦所代表的数表示如下：依此类推，那么六十四卦中的“屯〞卦，符号“〞表示的十进制数是( ) A．18 B．17 C．16 D．15答案 B解析由题意类推，可知六十四卦中的“屯〞卦，符号“〞表示的二进制数为010001，转化为十进制数，为1×20＋0×21＋0×22＋0×23＋1×24＋0×25＝17.二、填空题6．阅读程序框图，利用秦九韶算法计算多项式f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0，当x ＝x0时，框图中A处应填入________．答案a n－k解析f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0，先用秦九韶算法改为一次多项式，f(x)＝(…((a n x＋a n－1)x＋a n－2)x＋…＋a1)x＋a0.f1＝a n；k＝1，f2＝f1x0＋a n－1；k＝2，f3＝f2x0＋a n－2；…；归纳得第k次f k＋1＝f k x0＋a n－k.故A处应填a n－k.7．设2134与1455的最大公约数为m，那么m化为三进制数为________．答案10121(3)解析2134＝1455＋679,1455＝679×2＋97,679＝97×7，∴2134与1455的最大公约数为97，∴m＝97.用97连续除3取余数，可得97化为三进制数为10121(3)．8．十六进制数与十进制数的对应如表：例如：A＋B＝11＋12＝16＋7＝F＋7＝17(16)，所以A＋B的值用十六进制表示就等于17(16)．试计算：A×B＋D＝________(用十六进制表示)．答案92(16)解析∵A×B＋D＝11×12＋14＝146,146÷16＝9……2,9÷16＝0……9，∴用十六进制表示146为92(16)．三、解答题9．10x1(2)＝y02(3)，求数字x，y的值．解∵10x1(2)＝1×20＋x×21＋0×22＋1×23＝9＋2x，y02(3)＝2×30＋y×32＝9y＋2，∴9＋2x＝9y＋2且x∈{0,1}，y∈{0,1,2}，所以x＝1，y＝1.B级：能力提升练10．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝x6－12x5＋60x4－160x3＋240x2－192x＋64，当x＝2。