2017_2018学年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式一不等式2基本不等式学案含解析新人教A版选修

二 绝对值不等式1．绝对值三角不等式1．理解绝对值的几何意义．2．掌握绝对值三角不等式及其几何意义．3．三个实数的绝对值不等式及应用．1．绝对值的几何意义(1)实数a 的绝对值|a |表示数轴上坐标为____的点A 到______的距离．(2)对于任意两个实数a ，b ，设它们在数轴上的对应点分别为A ，B ，那么|a －b |的几何意义是数轴上A ，B 两点之间的______，即线段AB 的______．(1)|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，当a >0时，0，当a ＝0时，－a ，当a <0时.(2)对任意实数a ，都有|a |＝a 2.(3)实数积和商的绝对值运算法则： |ab |＝|a |×|b |，|a b |＝|a ||b |(b ≠0)． 2．绝对值三角不等式(1)如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当________时，等号成立．(2)如果把上面的绝对值三角不等式中的实数a ，b 换成向量a ，b ，当向量a ，b 不共线时，由向量加法的三角形法则，向量a ＋b ，a ，b 构成三角形，因此有向量形式的不等式|a ＋b |＜|a |＋|b |，它的几何意义是______________．【做一做】 若|x －a |＜h ，|y －a |＜k ，则下列不等式一定成立的是( )A ．|x －y |＜2hB ．|x －y |＜2kC ．|x －y |＜h ＋kD ．|x －y |＜|h －k |3．三个实数的绝对值不等式如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当__________时，等号成立．答案：1．(1)a 原点(2)距离 长度2．(1)ab ≥0(2)三角形两边之和大于第三边【做一做】 C |x －y |＝|(x －a )＋(a －y )|≤|x －a |＋|a －y |＜h ＋k .3．(a －b )(b －c )≥01．对绝对值三角不等式的理解剖析：绝对值三角不等式实质是两个实数的和差的绝对值与绝对值的和差的关系，我们可以类比得到另外一种形式：|a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |.和差的绝对值与绝对值的和差的关系是由ab ＞0，ab ＜0，ab ＝0三种情况来确定的，其本质是叙述两个实数符号的各种情形下得到的结果，即这个定理本身就是一个分类讨论问题．“数”分正、负、零等不同情况讨论，往往在所难免，因此，对绝对值的认识要有分类讨论的习惯．2．对绝对值三角不等式几何意义的理解剖析：用向量a ，b 替换实数a ，b 时，问题就从一维扩展到二维，当向量a ，b 不共线时，a ＋b ，a ，b 构成三角形，有|a ＋b|＜|a|＋|b|.当向量a ，b 共线时，a ，b 同向(相当于ab ≥0)时，|a ＋b|＝|a|＋|b|；a ，b 异向(相当于ab ＜0)时，|a ＋b|＜|a|＋|b|，这些都是利用了三角形的性质定理，如两边之和大于第三边等，这样处理，可以形象地描绘绝对值三角不等式，更易于记忆定理，并应用定理解题．绝对值三角不等式体现了“放缩法”的一种形式，但放缩的“尺度”还要仔细把握，如下面的式子：|a |－|b |≤||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |.我们较为常用的形式是|a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |，但有些学生就会误认为只能如此，而实质上，|a ＋b |是不小于||a |－|b ||的，|a |－|b |不一定是正数，当然，这需对绝对值不等式有更深的理解，从而使放缩的“尺度”更为准确．题型一 绝对值三角不等式的性质【例1】 若x ＜5，n ∈N ，则下列不等式：①|x lg n n ＋1|＜5|lg n n ＋1|； ②|x |lgn n ＋1＜5lg n n ＋1； ③x lg n n ＋1＜5|lg n n ＋1|； ④|x |lg n n ＋1＜5|lg nn ＋1|. 其中，能够成立的有______．反思：判断一个不等式成立与否，往往是对影响不等号的因素进行分析，如一个数的正、负、零等，数(或式子)的积、平方、取倒数等都对不等号产生影响，注意考查这些因素在不等式中的作用，一个不等式的成立与否也就比较好判断了．题型二 用绝对值三角不等式的性质证明不等式【例2】 设m 等于|a |，|b |和1中最大的一个，当|x |＞m 时，求证：|a x ＋b x 2|＜2. 分析：本题的关键是对题设条件的理解和运用．|a |，|b |和1这三个数中哪一个最大？如果两两比较大小，将十分复杂，但我们可以得到一个重要的信息：m ≥|a |，m ≥|b |，m ≥1.反思：分析题目时，题目中的语言文字是我们解题的信息的重要来源与依据，而解题时的数学符号语言也往往需要从文字语言“翻译”转化而来，那么准确理解题目中的文字语言，适时准确地进行转化也就成了解题的关键，如本题中题设条件中的文字语言“m 等于|a |，|b |和1中最大的一个”转化为符号语言“m ≥|a |，|m |≥|b |，m ≥1”是证明本题的关键．题型三 绝对值三角不等式的综合应用【例3】 已知函数f (x )＝lg x 2－x ＋1x 2＋1. (1)判断f (x )在[－1,1]上的单调性，并给出证明．(2)若t ∈R ，求证：lg 710≤f (|t －16|－|t ＋16|)≤lg 1310. 分析：(1)借助定义判别f (x )的单调性；(2)利用绝对值三角不等式解决．反思：此类题目综合性强，不仅用到绝对值不等式的性质、推论及已知条件，还要用到配方等等价变形．在应用绝对值不等式放缩性质求最值时要注意等号成立的条件，这是关键所在．答案：【例1】 ④ ∵0＜n n ＋1＜1， ∴lg nn ＋1＜0.由x ＜5，并不能确定|x |与5的关系，∴可以否定①②③，而|x |lg nn ＋1＜0，故④成立．【例2】 证明：∵|x |＞m ≥|a |，|x |＞m ≥|b |，|x |＞m ≥1，∴|x |2＞|b |，∴|a x ＋b x 2|≤|a x |＋|b x 2|＝|a ||x |＋|b ||x |2＜|x ||x |＋|x |2|x |2＝2. ∴|a x ＋b x 2|＜2.故原不等式成立．【例3】 解：(1)f (x )在[－1,1]上是减函数． 证明：令u ＝x 2－x ＋1x 2＋1＝1－x x 2＋1. 取－1≤x 1＜x 2≤1.则u 1－u 2＝x 2－x 1－x 1x 2x 21＋x 22＋， ∵|x 1|≤1，|x 2|≤1，x 1＜x 2，∴u 1－u 2＞0，即u 1＞u 2.由u ＞0，lg u 1＞lg u 2，得f (x 1)＞f (x 2)，∴f (x )在[－1,1]上是减函数．(2)∵|t －16|－|t ＋16|≤|(t －16)－(t ＋16)|＝13. |t ＋16|－|t －16| ≤|t ＋16－(t －16)|＝13， ∴－13≤|t －16|－|t ＋16|≤13. 由(1)的结论，有f (13)≤f (|t －16|－|t ＋16|)≤f (－13)．而f (13)＝lg 710，f (－13)＝lg 1310， ∴lg 710≤f (|t －16|－|t ＋16|)≤lg 1310.1．设ab ＞0，下面四个不等式①|a ＋b |＞|a |；②|a ＋b |＜|b |；③|a ＋b |＜|a －b |；④|a ＋b |＞|a |－|b |中，正确的是( )A ．①和②B ．①和③C ．①和④D ．②和④2．已知实数a ，b 满足ab ＜0，则下列不等式成立的是( )A ．|a ＋b |＞|a －b |B ．|a ＋b |＜|a －b |C ．|a －b |＜||a |－|b ||D ．|a －b |＜|a |＋|b |3．不等式||||||a b a b +-≥1成立的充要条件是________． 4．设|a |≤1，函数f (x )＝ax 2＋x －a (－1≤x ≤1)，证明|f (x )|≤54.答案：1．C ∵ab ＞0，∴a ，b 同号．∴|a ＋b |＝|a |＋|b |.∴①④正确．2．B3．|a |＞|b | ||||||a b a b +-≥1||(||||)||||a b a b a b +---≥0(|a |－|b |)[|a ＋b |－(|a |－|b |)]≥0.而|a ＋b |≥|a |－|b |，∴|a ＋b |－(|a |－|b |)≥0.∴|a |－|b |＞0，即|a |＞|b |.4．证明：|f (x )|＝|a (x 2－1)＋x |≤|a (x 2－1)|＋|x |≤|x 2－1|＋|x |＝1－x 2＋|x |＝215(||)24x --+ ≤54，即|f (x )|≤54.。

二 绝对值不等式2.绝对值不等式的解法1．掌握绝对值不等式的几种解法，并解决绝对值不等式求解问题． 2．了解绝对值不等式的几何解法．1．含有绝对值的不等式的解法(同解性) (1)|x |＜a⎩⎪⎨⎪⎧，a >0， ，a ≤0.(2)|x |＞a ⎩⎪⎨⎪⎧，a >0， ，a ＝0，，a <0.对于不等式|x |＜a (a ＞0)，由绝对值的几何定义知，它表示数轴上到原点的距离小于a 的点的集合．如图：【做一做1】 若集合M ＝{x ||x |≤2}，N ＝{x |x 2－3x ＝0}，则M ∩N ＝( ) A ．{3} B ．{0} C ．{0,2} D ．{0,3} 2．|ax ＋b |≤c (c ＞0)，|ax ＋b |≥c (c ＞0)型不等式的解法(1)|ax ＋b |≤c (c ＞0)型不等式的解法是：先化为不等式组__________，再利用不等式的性质求出原不等式的解集．(2)|ax ＋b |≥c (c ＞0)的解法是：先化为________或__________，再进一步利用不等式的性质求出原不等式的解集．【做一做2－1】 若条件p ：|x ＋1|≤4，条件q ：x 2＜5x －6，则p 是q 的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 【做一做2－2】 |2x ＋1|＞|5－x |的解集是__________． 3．|x －a |＋|x －b |≥c 和|x －a |＋|x －b |≤c 型不等式的解法 有三种不同的解法：解法一可以利用绝对值不等式的________．解法二利用分类讨论的思想，以绝对值的“______”为分界点，将数轴分成几个区间，然后确定各个绝对值中的多项式的______，进而去掉__________．解法三可以通过________，利用__________，得到不等式的解集．|x －a |＋|x －b |≥c 或|x －a |＋|x －b |≤c 型的不等式的三种解法可简述为：①几何意义；②根分区间法；③构造函数法．【做一做3】 不等式|x －1|＋|x －2|＜2的解集是__________．答案：1．(1)－a ＜x ＜a 无解 (2)x ＞a 或x ＜－a x ≠0 x ∈R【做一做1】 B 方法一：由代入选项验证可排除选项A 、C 、D ，故选B. 方法二：M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{0,3}， ∴M ∩N ＝{0}．2．(1)－c ≤ax ＋b ≤c (2)ax ＋b ≥c ax ＋b ≤－c【做一做2－1】 A ∵由p ：|x ＋1|≤4，得－4≤x ＋1≤4，即－5≤x ≤3，又q ：2＜x ＜3，∴p 为x ＞3或x ＜－5，q 为x ≥3或x ≤2.∴p q ，而q p ，∴p 是q 的必要不充分条件．【做一做2－2】 (－∞，－6)∪(43，＋∞)∵|2x ＋1|＞|5－x |，∴(2x ＋1)2＞(5－x )2.∴3x 2＋14x －24＞0. ∴x ＜－6或x ＞43.3．几何意义零点 符号 绝对值符号 构造函数 函数的图象【做一做3】 (12，52) 当x ≤1时，1－x ＋2－x ＜2，即2x ＞1，∴12＜x ≤1；当1＜x＜2时，x －1＋2－x ＜2恒成立，即1＜x ＜2；当x ≥2时，x －1＋x －2＜2，即2x ＜5，∴2≤x ＜52.综上，12＜x ＜52.1．用分段讨论法解含绝对值的不等式 剖析：用分段讨论法解含绝对值的不等式时，先求出使每一个绝对值符号内的数学式子等于零的未知数的值(称为零点)，将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内的式子在每一个区间上的符号，去掉绝对值符号，使之转化为不含绝对值的不等式去解，求解过程中不要丢掉对区间端点的讨论，以免漏解．在分段讨论过程中，每一段的讨论都有一个“x ”的范围(或值)作为本段讨论的前提，这与解含参数的不等式有些类似，但本质上又不同，每一段的讨论结果，都是“x ”的前提范围与本段含绝对值不等式去掉绝对值号的不等式解集的交集，而最后的不等式的解集应是每一段结果的并集．解含参数的不等式讨论时，每一步的前提条件是参数所取的范围(或值)，每一步间的结果各自独立，不存在“交、并”集的说法，因此最后的结果也必须在参数的不同限制范围下叙述结论．所以解含绝对值不等式与解含参数不等式，虽然用的都是分段讨论法，但实质上是不同的．这就要求准确理解和把握各自不同的解题思路及解题过程，以免出错．2．几个特殊的含绝对值的不等式的区别剖析：(1)|x －4|－|x －3|＞a 有解，则a 的取值范围是______；(2)|x －4|－|x －3|＞a 的解集为R ，则a 的取值范围是______； (3)|x －4|＋|x －3|＜a 的解集为，则a 的取值范围是______； (4)|x －4|＋|x －3|＞a 的解集为R ，则a 的取值范围是______．处理以上这种问题，我们可以与函数y ＝|x －4|－|x －3|，y ＝|x －4|＋|x －3|的最值(值域)等联系起来，第一个函数的值域为[－1,1]，而第二个函数的最小值为1，即|x －4|＋|x －3|≥1，所以(1)|x －4|－|x －3|＞a 有解，只需a ＜1；|x －4|－|x －3|＞a 的解集是R ，则说明是恒成立问题，所以a ＜[|x －4|－|x －3|]min ＝－1，即a ＜－1；|x －4|＋|x －3|＜a 的解集为，说明a ≤[|x －4|＋|x －3|]min ＝1，所以a ≤1；|x －4|＋|x －3|＞a 的解集为R ，说明a ＜[|x －4|＋|x －3|]min ＝1.以上这几种不等式问题，实质是与两种函数的值域或最值相联系的问题，当然也可以借助函数的图象，用数形结合来解得a 的范围．而理解这几种表述方式对掌握本节知识有很好的帮助．题型一 解|ax ＋b |≥c (c ＞0)和|ax ＋b |≤c (c ＞0)型的不等式 【例1】 不等式|3x －2|＞4的解集是( ) A ．{x |x ＞2}B ．{x |x ＜－23}C ．{x |x ＜－23或x ＞2}D ．{x |－23＜x ＜2}【例2】 不等式|5x －x 2|＜6的解集为( )A ．{x |x ＜2或x ＞3}B ．{x |－1＜x ＜2或3＜x ＜6}C ．{x |－1＜x ＜6}D ．{x |2＜x ＜3}反思：形如|f (x )|＜a ，|f (x )|＞a (a ∈R )型不等式的简单解法是等价命题法，即①当a ＞0时，|f (x )|＜a －a ＜f (x )＜a .|f (x )|＞a f (x )＞a 或f (x )＜－a . ②当a ＝0时，|f (x )|＜a 无解． |f (x )|＞a |f (x )|≠0.③当a ＜0时，|f (x )|＜a 无解． |f (x )|＞a f (x )有意义．题型二 解|f (x )|＞g (x )型的不等式【例3】 解不等式|x －x 2－2|＞x 2－3x －4.反思：本题形如|f (x )|＞g (x )，我们可以借助形如|ax ＋b |＞c 的解法转化为f (x )＜－g (x )或f (x )＞g (x )，当然|f (x )|＜g (x )－g (x )＜f (x )＜g (x )．而如果f (x )的正负能确定的话，也可以直接去掉绝对值再解不等式．题型三 解|x ＋a |＋|x ＋b |≥c (c ＞0)型的不等式 【例4】 解不等式|x ＋1|＋|x －1|≥3.分析：本题可以用分段讨论法或数形结合法求解，对于形如|x ＋a |＋|x ＋b |的代数式，可以认为是分段函数．反思：|x －a |＋|x －b |≥c 、|x －a |＋|x －b |≤c (c ＞0)型不等式的三种解法：分区间(分类)讨论法、图象法和几何法．分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图象法直观，但只适用于数据较简单的情况．①分区间讨论的关键在于对绝对值代数意义的理解，即|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧xx －xx ＜，也即x 为非负数时，|x |为x ；x 为负数时，|x |为－x ，即x 的相反数．②|x －a |＋|x －b |≥c 、|x －a |＋|x －b |≤c (c ＞0)型不等式的图象解法和画出函数f (x )＝|x －a |＋|x －b |－c 的图象是密切相关的，其图象是折线，正确地画出其图象的关键是写出f (x )的分段表达式．不妨设a ＜b ，于是f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋a ＋b －c x ≤a b －a －c a ＜x ＜b2x －a －b －c x ≥b.这种图象法的关键是合理构造函数，正确画出函数的图象，求出函数的零点，体现了函数与方程结合、数形结合的思想．③几何解法的关键是理解绝对值的几何意义． 题型四 含有参数的绝对值不等式的解法【例5】 (2010福建高考，理21选做3)已知函数f (x )＝|x －a |. (1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值； (2)在(1)的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围． 反思：含有参数的不等式的求解问题分两类，一类要对参数进行讨论，另一类如本例，对参数a 并没有进行讨论，而是去绝对值时对变量进行讨论，得到两个不等式组，最后把两不等式组的解集合并，即得该不等式的解集．答案：【例1】 C 可以利用|ax ＋b |≥c (c ＞0)型不等式的解法进行等价转化，或者利用数形结合法．方法一：由|3x －2|＞4， 得3x －2＜－4或3x －2＞4.即x ＜－23或x ＞2.所以原不等式的解集为{x |x ＜－23或x ＞2}．方法二：(数形结合法)画出函数y ＝|3x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －2，x ≥23，2－3x ， x <23的图象，如下图所示：由|3x －2|＝4，解得x ＝2或x ＝－23.在同一坐标系中画出直线y ＝4，所以交点坐标为(2,4)与(－23，4)．所以|3x －2|＞4时，x ＜－23或x ＞2.所以原不等式的解集为{x |x ＜－23或x ＞2}．【例2】 B 可以利用|x |＜a (a ＞0)的结论进行转化，然后解一元二次不等式，取交集可得结果，本题还可以用数形结合法求结果．方法一：由|5x －x 2|＜6，得|x 2－5x |＜6.∴－6＜x 2－5x ＜6.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6>0x 2－5x －6<0⎩⎪⎨⎪⎧x －x －x －x ＋⎩⎪⎨⎪⎧x <2或x >3，－1<x <6.∴－1＜x ＜2或3＜x ＜6.∴原不等式的解集为{x |－1＜x ＜2或3＜x ＜6}．方法二：作函数y ＝x 2－5x 的图象，如下图所示．|x 2－5x |＜6表示函数图象中直线y ＝－6和直线y ＝6之间相应部分的自变量的集合．解方程x 2－5x ＝6，得x 1＝－1，x 2＝6.解方程x 2－5x ＝－6，得x 1′＝2，x 2′＝3.即得到不等式的解集是{x |－1＜x ＜2或3＜x ＜6}．【例3】 解：∵|x －x 2－2|＝|x 2－x ＋2|，而x 2－x ＋2＝(x －12)2＋74＞0，∴|x －x 2－2|＝|x 2－x ＋2|＝x 2－x ＋2， 故原不等式等价于x 2－x ＋2＞x 2－3x －4. ∴x ＞－3.∴原不等式的解集为{x |x ＞－3}．【例4】 解法一：如下图，设数轴上与－1,1对应的点分别为A ，B ，那么A ，B 两点间的距离为2，因此区间[－1,1]上的数都不是不等式的解．设在A 点左侧有一点A 1到A ，B 两点的距离和为3，A 1对应数轴上的x .所以－1－x ＋1－x ＝3，得x ＝－32.同理设B 点右侧有一点B 1到A ，B 两点的距离和为3，B 1对应数轴上的x ， 所以x －1＋x －(－1)＝3.所以x ＝32.从数轴上可看到，点A 1，B 1之间的点到A ，B 的距离之和都小于3；点A 1的左侧或点B 1的右侧的任何点到A ，B 的距离之和都大于3，所以原不等式的解集是(－∞，－32]∪[32，＋∞)．解法二：当x ≤－1时，原不等式可以化为－(x ＋1)－(x －1)≥3， 解得x ≤－32.当－1＜x ＜1时，原不等式可以化为x ＋1－(x －1)≥3，即2≥3.不成立，无解． 当x ≥1时，原不等式可以化为x ＋1＋x －1≥3.所以x ≥32.综上，可知原不等式的解集为(－∞，－32]∪[32，＋∞)．解法三：将原不等式转化为|x ＋1|＋|x －1|－3≥0.构造函数y ＝|x ＋1|＋|x －1|－3，即 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －3， x ≤－1，－1， －1<x <1，2x －3， x ≥1.作出函数的图象(如图)．函数的零点是－32，32.从图象可知，当x ≤－32或x ≥32时，y ≥0，即|x ＋1|＋|x －1|－3≥0.所以原不等式的解集为(－∞，－32]∪[32，＋∞)．【例5】 解：(1)由f (x )≤3，得|x －a |≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3.又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2.所以实数a 的值为2.(2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|. 设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)，于是g (x )＝|x －2|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，x <－3，5，－3≤x ≤2，2x ＋1，x >2.所以当x ＜－3时，g (x )＞5；当－3≤x ≤2时，g (x )＝5；当x ＞2时，g (x )＞5.综上可得，g (x )的最小值为5.从而，若f (x )＋f (x ＋5)≥m ，即g (x )≥m 对一切实数x 恒成立， 则m 的取值范围为(－∞，5]．1．不等式|1||1|x x +-＜1的解集为( )A ．{x |0＜x ＜1}∪{x |x ＞1}B ．{x |0＜x ＜1}C ．{x |－1＜x ＜0}D ．{x |x ＜0}2．|21|2|3|x x --+＞0的解集为( )A ．{x |x ＞32或x ＜12-} B ．{x |1322x -<<} C ．{x |x ＞32或x ＜12-且x ≠－3}D ．{x |x ∈R 且x ≠－3}3．不等式4＜|3x －2|＜8的解集为______．4．解不等式：|x ＋1|＋|x －1|≤1.5．(2012东北四校一模)已知关于x 的不等式|2x ＋1|－|x －1|≤log 2a (其中a ＞0)． (1)当a ＝4时，求不等式的解集；(2)若不等式有解，求实数a 的取值范围．答案：1．D 1||1x x +-＜1－1＜11x x +-＜1111111x x x x +⎧>-⎪⎪-⎨+⎪<⎪-⎩11011101x x x x x x ++-⎧>⎪⎪-⎨+-+⎪<⎪-⎩2(1)010x x x ->⎧⎨-<⎩x ＜0. 2．C |21|2|3|x x --+＞|21|230x x ->⎧⎨+≠⎩2122123x x x ->-<-⎧⎨≠-⎩或31,223.x x x ⎧><-⎪⎨⎪≠-⎩或 3．{x |2＜x ＜103或－2＜x ＜23-} 本题是由两个绝对值不等式构成的不等式组，可分别解出其解集，然后取交集即可．由4＜|3x －2|＜8，得|32|4|32|8x x ->⎧⎨-<⎩3243248328x x x -<-->⎧⎨-<-<⎩或22,3102.3x x x ⎧<->⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩或 ∴－2＜x ＜23-或2＜x ＜103. ∴原不等式的解集为{x |－2＜x ＜23-或2＜x ＜103}． 4．解：当x ≤－1时，原不等式可化为－(x ＋1)－(x －1)≤1，无解．当－1＜x ＜1时，原不等式可化为 x ＋1－(x －1)≤1， 解得2≤1，无解．当x ≥1时，原不等式可化为x ＋1＋x －1≤1，无解． 综上，可知原不等式的解集为空集．5．解：(1)令|2x ＋1|－|x －1|＝f (x )，当a ＝4时，f (x )≤2，x ＜12-时，－x －2≤2，得－4≤x ＜12-； 12-≤x ≤1时，3x ≤2，得12-≤x ≤23； x ＞1时，x ≤0，此时x 不存在．∴不等式的解集为2|43x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭. (2)∵设f (x )＝|2x ＋1|－|x －1|＝12, 213, 22, 1x x x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪-≤≤⎨⎪+>⎪⎪⎩1故f (x )∈3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，即f (x )的最小值为32-，所以f (x )≤log 2a 有解，则log 2a ≥32-， 解得a，即a的取值范围是4⎫+∞⎪⎪⎣⎭.。

2.基本不等式一、选择题1.若a,b,c都是正数,且a(a+b+c)+bc=4-2,则2a+b+c的最小值为( )A.-1B.+1C.2+2D.2-2解析:∵a(a+b+c)+bc=4-2,∴(a+b)(a+c)=4-2,∵a,b,c>0,∴(a+c)(a+b)≤,当且仅当a+c=a+b,即b=c时,等号成立.∴2a+b+c≥2=2(-1)=2-2.答案:D2.下列结论中不正确的是( )A.a>0时,a+≥2B.≥2C.a2+b2≥2abD.a2+b2≥解析:选项A、C显然正确;选项D中,2(a2+b2)-(a+b)2=a2+b2-2ab≥0,∴a2+b2≥成立;而选项B中,≥2不成立,因为若ab<0,则不满足基本不等式成立的条件.答案:B3.函数y=3x2+的最小值是( )A.3-3B.-3C.6D.6-3解析:y=3x2+=3x2+3+-3,∵3x2+3>0,>0,∴y≥2-3=6-3,当且仅当3x2+3=时,y取得最小值6-3.答案:D4.设x,y∈R,且x+y=5,则3x+3y的最小值是( )A.10B.6C.4D.18解析:3x+3y≥2=2=2=18.答案:D5.若x,y>0,且x+2y=3,则的最小值是( )A.2B.C.1+D.3+2解析:=1+,当且仅当时,等号成立,取得最小值1+.答案:C二、非选择题6.若a>3,则+a的最小值为.解析:由基本不等式,得+a=+a-3+3≥2+3=2+3=7,当且仅当=a-3,即a=5(a=1舍去)时,等号成立.答案:77.若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是.解析:令=t(t>0),由ab=a+b+3≥2+3,得t2≥2t+3,∴t≥3或t≤-1(舍去).∴≥3.∴ab≥9,当a=b=3时,等号成立.答案:[9,+∞)8.函数y=log a(x+3)-1(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中mn>0,则的最小值为.解析:函数y=log a(x+3)-1的图象恒过定点A(-2,-1),∵点A在直线mx+ny+1=0上,∴-2m-n+1=0,即2m+n=1,则×(2m+n)==2++4·+2≥4+2=4+4=8,当且仅当m=,n=时取等号.答案:89.求函数y=(x≥0)的最小值.解:原式变形,得y==x+2++1.因为x≥0,所以x+2>0.所以x+2+≥6,所以y≥7,当且仅当x=1时,等号成立.所以函数y=(x≥0)的最小值为7.10. 若a>0,b>0,且.(1)求a3+b3的最小值;(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.解:(1)由,得ab≥2,且当a=b=时等号成立.故a3+b3≥2≥4,且当a=b=时等号成立.所以a3+b3的最小值为4.(2)由(1)知,2a+3b≥2≥4.由于4>6,从而不存在a,b,使得2a+3b=6.11.如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一个底宽为2 m的无盖长方体沉淀箱,污水从A 孔流入,经沉淀后从B孔流出,设箱体的长度为a m,高度为b m,已知流出的水中该杂质的质量分数与a,b的乘积ab成反比,现有制箱材料60 m2,问当a,b各为多少时,沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小?(A,B孔的面积忽略不计)解:设y为流出的水中该杂质的质量分数,则y=,k>0,k为比例系数,依题意,即求a,b的值,使y最小.依题设,有4b+2ab+2a=60(a>0,b>0),所以b=(0<a<30).①于是y====≥=.当a+2=时,等号成立,y取最小值.这时a=6,a=-10(舍去),将a=6代入①,得b=3.故当a为6,b为3时,沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.三、备选习题1.已知a>2,试判断log a(a-1)·log a(a+1)与1的大小关系.解:∵a>2,∴log a(a-1)>0,log a(a+1)>0,且log a(a-1)≠log a(a+1),∴log a(a-1)·log a(a+1)<==1,∴当a>2时,log a(a-1)·log a(a+1)<1.2.一艘船由甲地逆水匀速行驶到乙地,甲乙两地相距s(千米),水速为常量p(千米/时),船在静水中的最大速度为q(千米/时),且p<q.已知船每小时的燃料费用(元)与船在静水中速度v(千米/时)的平方成正比,比例系数为k.(1)把全程燃料费用y(元)表示为静水中的速度v(千米/时)的函数,并指出其定义域;(2)为了使全程燃料费用最小,船的实际前进速度应为多少?解:(1)由于船每小时航行的燃料费用是kv2,全程航行时间为,于是全程燃料费用y=kv2·,故所求函数是y=ks·(p<v≤q),定义域是(p,q].(2)y=ks·=ks=ks·≥ks=4ksp.其中取“=”的充要条件是v-p=,即v=2p.①当v=2p∈(p,q],即2p≤q时y min=f(2p)=4ksp.②当v=2p∉(p,q],即2p>q.任取v1,v2∈(p,q],且v1<v2,则y1-y2=ks=·[p2-(v1-p)(v2-p)],而p2-(v1-p)(v2-p)>p2-(q-p)(q-p)=q(2p-q)>0,∴y1-y2>0.故函数y在区间(p,q]内单调递减,此时y(v)≥y(q),即y min=y(q)=ks.此时,船的前进速度等于q-p.故为使全程燃料费用最小,当2p≤q时,船的实际前进速度应为2p-p=p(千米/时);当2p>q 时,船的实际前进速度为q-p(千米/时).。