2010届高三数学高考复习必备：不等式的性质与证明 素材

要点重温之不等式的性质与证明1．在不等式两边非负的条件下能同时平方或开方，具体的：当a>0,b>0时，a>b ⇔a n >b n ； 当a<0,b<0时，a>b ⇔a 2<b 2；a 2>b 2⇔|a|>|b|。

在不等式两边同号的条件下能同时取倒数，但不等号的方向要改变，如：由x 1<2推得的应该是：x>21或x<0，而由x 1>2推得的应该是： 0<x<21（别漏了“0<x ”）等。

[举例]若)(x f =x 2,则)(31)(x f x g -=的值域为 ；3)(11)(++=x f x h 的值域为 。

解析：此题可以“逆求”：分别用g(x)、h(x)表示f(x)，解不等式f(x)>0即可。

以下用“取倒数”求：3-f(x)<3，分两段取倒数即0<3-f(x)<3得)(31x f ->31或3-f(x)<0得)(31x f -<0, ∴g(x )∈(-∞,0)∪(31,+∞)；f(x)+3>3⇒0<3)(1+x f <31⇒1<h(x)<34。

[巩固1] 若011<<b a ，则下列不等式①ab b a <+；②|;|||b a >③b a <；④2>+ba ab 中，正确的不等式有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个 [巩固2] 下列命题：①若a>b,则ac 2>bc 2；②若ac 2>bc 2,则a>b ；③若a>b,c>d 则a -d>b -c ； ④若a>b,则a 3>b 3；⑤若a>b,则),1lg()1lg(22+>+b a ⑥若a<b<0,则a 2>ab>b 2；⑦若a<b<0,则|a|>|b|；⑧若a<b<0,则b a a b >；⑨若a>b 且b a 11>,则a>0,b<0； ⑩若c>a>b>0,则bc b a c a ->-；其中正确的命题是 。

高考数学不等式的基本性质知识点总结以下是查字典数学网整理的不等式的基本性质知识点的考察方面，希望对考生复习有帮助。

1.不等式的定义：a-bb, a-b=0a=b, a-b0a① 其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。

它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。

②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景，来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。

作差后，为判断差的符号，需要分解因式，以便使用实数运算的符号法则。

2.不等式的性质：① 不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。

不等式基本性质有：(1) abb(2) acac (传递性)(3) ab+c (cR)(4) c0时，abcc0时，abac运算性质有：(1) ada+cb+d。

(2) a0, c0acbd。

(3) a0anbn (nN, n1)。

(4) a0isin;N, n1)。

应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“”和“”即推出关系和等价关系。

一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。

解不等式就是施行一系列的等价变换。

因此，要正确理解和应用不等式性质。

② 关于不等式的性质的考察，主要有以下三类问题：(1)根据给定的不等式条件，利用不等式的性质，判断不等式能否成立。

(2)利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的大小。

(3)利用不等式的性质，判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。

不等式的基本性质知识点的相关内容就是这些，希望考生可以深入理解，全面把握。

不等式的性质与证明方法总结在数学中，不等式是一种非常重要的数学工具，用于描述数值之间的大小关系。

不等式可以帮助我们解决各种实际问题，同时也是数学推理和证明的基础。

本文将总结一些常见的不等式性质和证明方法，帮助读者更好地理解和应用不等式。

一、基本不等式性质1. 传递性：如果a < b，b < c，则有a < c。

这个性质是不等式推理的基础，可以用于简化证明过程。

2. 加法性：如果a < b，则a + c < b + c。

这个性质表示在不等式两边同时加上一个相同的数，不等式的大小关系不变。

3. 乘法性：如果a < b，c > 0，则ac < bc；如果a < b，c < 0，则ac > bc。

这个性质表示在不等式两边同时乘以一个正数或负数，不等式的大小关系会发生改变。

4. 对称性：如果a < b，则-b < -a。

这个性质表示如果不等式两边同时取相反数，不等式的大小关系会发生改变。

二、常见不等式1. 平均不等式：对于任意非负实数a1, a2, ..., an，有以下不等式成立：(a1 + a2 + ... + an) / n >= (a1 * a2 * ... * an)^(1/n)平均不等式可以用于证明其他不等式，如均值不等式、柯西不等式等。

2. 均值不等式：对于任意非负实数a1, a2, ..., an，有以下不等式成立：(a1 + a2 + ... + an) / n >= (a1^p + a2^p + ... + an^p)^(1/p)其中p为大于0的实数。

均值不等式可以用于证明其他不等式，如柯西不等式、夹逼定理等。

3. 柯西不等式：对于任意实数a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn，有以下不等式成立：(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2 <= (a1^2 + a2^2 + ... + an^2)(b1^2 + b2^2 + ... +bn^2)柯西不等式可以用于证明向量内积的性质，以及其他不等式的推导。

6.2 不等式的证明（一）●知识梳理1.均值定理：a +b ≥2ab ；ab ≤（2b a +）2（a 、b ∈R +）， 当且仅当a =b 时取等号.2.比较法：a －b ＞0⇒a ＞b ，a －b ＜0⇒a ＜b .3.作商法：a ＞0，b ＞0，ba＞1⇒a ＞b . 特别提示1.比较法证明不等式是不等式证明的最基本的方法.作差后需要判断差的符号，作差变形的方向常常是因式分解后，把差写成积的形式或配成完全平方式.2.比商法要注意使用条件，若ba＞1不能推出a ＞b .这里要注意a 、b 两数的符号. ●点击双基1.若a 、b 是正数，则2b a +、ab 、b a ab+2、222b a +这四个数的大小顺序是A.ab ≤2b a +≤b a ab+2≤222b a +B.222b a +≤ab ≤2b a +≤b a ab+2C.b a ab +2≤ab ≤2ba +≤222b a +D.ab ≤2b a +≤222b a +≤ba ab+2解析：可设a =1，b =2， 则2b a +=23，ab =2， b a ab +2=34， 222b a +=241+=25=5.2. 答案：C2.设0＜x ＜1，则a =2x ，b =1+x ，c =x -11中最大的一个是 A.a B.bC.cD.不能确定解析：∵0＜x ＜1，∴1+x ＞2x =x 4＞x 2. ∴只需比较1+x 与x-11的大小. ∵1+x －x-11=x x ---1112=－x x -12＜0，∴1+x ＜x-11.答案：C3.若a 、b 、c 是常数，则“a ＞0且b 2－4ac ＜0”是“对任意x ∈R ，有ax 2+bx +c ＞0”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 必要条件 解析：当a ＞0，b 2－4ac ＜0时，ax 2+bx +c ＞0.反之，ax 2+bx +c ＞0对x ∈R 成立不能推出a ＞0，b 2－4ac ＜0. 反例：a =b =0，c =2.故选A. 答案：A4.（理）已知|a +b |＜－c （a 、b 、c ∈R ），给出下列不等式：①a ＜－b －c ；②a ＞－b +c ；③a ＜b －c ；④|a |＜|b |－c ；⑤|a |＜－|b |－c . 其中一定成立的不等式是____________.（把成立的不等式的序号都填上） 解析：∵|a +b |＜－c ，∴c ＜a +b ＜－c .∴－b +c ＜a ＜－b －c .故①②成立，③不成立. ∵|a +b |＜－c ，|a +b |≥|a |－|b |， ∴|a |－|b |＜－c .∴|a |＜|b |－c . 故④成立，⑤不成立. 答案：①②④（文）若a 、b ∈R ，有下列不等式：①a 2+3＞2a ；②a 2+b 2≥2（a －b －1）；③a 5+b 5＞a 3b 2+a 2b 3；④a +a1≥2.其中一定成立的是__________. 解析：①a 2+3－2a =（a －1）2+2＞0， ∴a 2+3＞2a ；②a 2+b 2－2a +2b +2=（a －1）2+（b +1）2≥0， ∴a 2+b 2≥2（a －b －1）； ③a 5+b 5－a 3b 2－a 2b 3=a 3（a 2－b 2）+b 3（b 2－a 2） =（a 2－b 2）（a 3－b 3）=（a +b ）（a －b ）2（a 2+ab +b 2）. ∵（a －b ）2≥0，a 2+ab +b 2≥0，但a +b 符号不确定， ∴a 5+b 5＞a 3b 2+a 2b 3不正确； ④a ∈R 时，a +a1≥2不正确. 答案：①②5.船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的平均速度v 1和在静水中的速度v 2的大小关系为____________.解析：设甲地至乙地的距离为s ，船在静水中的速度为v 2，水流速度为v （v 2＞v ＞0），则船在流水中在甲乙间来回行驶一次的时间t =v v s +2+v v s-2=22222vv s v -， 平均速度v 1=ts 2=2222v vv -.∵v 1－v 2=2222v v v -－v 2=－22v v ＜0，∴v 1＜v 2.答案：v 1＜v 2 ●典例剖析【例1】 设a ＞0，b ＞0，求证：（b a 2）21（ab 2）21≥a 21+b 21. 剖析：不等式两端都是多项式的形式，故可用比差法证明或比商法证明.证法一：左边－右边＝abb a 33）（）（+－（a ＋b ）＝abb a ab b ab a b a ）（））（（+-+-+＝ab b ab a b a ））（（+-+2＝abb a b a 2））（（-+≥0.∴原不等式成立.证法二：左边＞0，右边＞0，右边左边＝）（））（（b a ab b ab a b a ++-+＝ab bab a +-≥abab ab -2＝1. ∴原不等式成立.评述：用比较法证不等式，一般要经历作差（或商）、变形、判断三个步骤.变形的主要手段是通分、因式分解或配方.在变形过程中，也可利用基本不等式放缩，如证法二.下面的例3则是公式法与配方法的综合应用.【例2】 已知a 、b 、x 、y ∈R +且a 1＞b1，x ＞y . 求证：ax x+＞b y y +. 剖析：观察待证不等式的特征，用比较法或分析法较适合.证法一：（作差比较法）∵ax x+－b y y +=））（（b y a x ay bx ++-， 又a 1＞b1且a 、b ∈R +， ∴b ＞a ＞0.又x ＞y ＞0，∴bx ＞ay .∴））（（b y a x ay bx ++-＞0，即a x x+＞b y y +. 证法二：（分析法） ∵x 、y 、a 、b ∈R +，∴要证ax x+＞b y y +， 只需证明x （y +b ）＞y （x +a ），即证xb ＞ya .而由a 1＞b1＞0，∴b ＞a ＞0.又x ＞y ＞0， 知xb ＞ya 显然成立.故原不等式成立. 思考讨论 该例若用函数的单调性应如何构造函数?解法一：令f （x ）=a x x +，易证f （x ）在（0，+∞）上为增函数，从而a x x+＞b y y +.再令g （x ）=xm m+，易证g （x ）在（0，+∞）上单调递减. ∵a 1＞b1，a 、b ∈R +.∴a ＜b . ∴g （a ）＞g （b ），即a m m +＞b m m+，命题得证. 解法二：原不等式即为1+ax a x ＞1+by b y，为此构造函数f （x ）=1+x x，x ∈（0，+∞）. 易证f （x ）在（0，+∞）上为单调增函数，而a x＞by ， ∴1+ax a x＞1+by b y ，即ax x+＞b y y +. 【例3】 某食品厂定期购买面粉.已知该厂每天需用面粉6 t ，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元.（1）求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少?（2）若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210 t 时，其价格可享受9折优惠（即原价的90%），问该厂是否考虑利用此优惠条件?请说明理由.解：（1）设该厂应每隔x 天购买一次面粉，其购买量为6x t ，由题意知，面粉的保管等其他费用为3［6x +6（x －1）+…+6×2+6×1］=9x （x +1）.设平均每天所支付的总费用为y 1元，则y 1=x1［9x （x +1）+900］+6×1800 =x900+9x +10809≥2x x 9900⋅+10809=10989.当且仅当9x =x900，即x =10时取等号， 即该厂应每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少.（2）若厂家利用此优惠条件，则至少每隔35天，购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y 2元，则y 2=x1［9x （x +1）+900］+6×1800×0.90 =x900+9x +9729（x ≥35）. 令f （x ）=x +x100（x ≥35）， x 2＞x 1≥35，则f （x 1）－f （x 2）=（x 1+1100x ）－（x 2+2100x ）=212112100x x x x x x ））（（--∵x 2＞x 1≥35，∴x 2－x 1＞0，x 1x 2＞0，100－x 1x 2＜0. ∴f （x 1）－f （x 2）＜0，f （x 1）＜f （x 2），即f （x ）=x +x100，当x ≥35时为增函数. ∴当x =35时，f （x ）有最小值，此时y 2＜10989.∴该厂应该接受此优惠条件. ●闯关训练 夯实基础1.设x ＞0，y ＞0，且xy －（x +y ）=1，则 A.x +y ≤22+2B.x +y ≥22+2C.x +y ≤（2+1）2D.x +y ≥（2+1）2解析：∵x ＞0，y ＞0，∴xy ≤（2y x +）2. 由xy －（x +y ）=1得（2y x +）2－（x +y ）≥1. ∴x +y ≥2+22.答案：B2.已知x 、y ∈R ，M =x 2+y 2+1，N =x +y +xy ，则M 与N 的大小关系是 A.M ≥N B.M ≤N C.M =N D.不能确定解析：M －N =x 2+y 2+1－（x +y +xy ） =21［（x 2+y 2－2xy ）+（x 2－2x +1）+（y 2－2y +1）］ =21［（x －y ）2+（x －1）2+（y －1）2］≥0. 答案：A3.设a ＞0，b ＞0，a 2+22b =1，则a 21b +的最大值是____________.解析：a 2+22b =1⇔a 2+212+b =23. ∴a 21b +=2·a ·212+b ≤2·22122++b a =2·223=423. 答案：423 4.若记号“※”表示求两个实数a 和b 的算术平均数的运算，即a ※b =2ba +，则两边均含有运算符号“※”和“+”，且对于任意3个实数a 、b 、c 都能成立的一个等式可以是____________.解析：∵a ※b =2b a +，b ※a =2ab +， ∴a ※b +c =b ※a +c . 答案：a ※b +c =b ※a +c .思考：对于运算“※”分配律成立吗? 即a ※（b +c ）=a ※b +a ※c . 答案：不成立5.当m ＞n 时，求证：m 3－m 2n －3mn 2＞2m 2n －6mn 2＋n 3．证明：∵（m 3－m 2n －3mn 2）－（2m 2n －6mn 2＋n 3）＝m 3－3m 2n ＋3mn 2－n 3＝（m －n ）3， 又m ＞n ，∴m －n ＞0.∴（m －n ）3＞0，即（m 3－m 2n －3mn 2）－（2m 2n －6mn 2＋n 3）＞0. 故m 3－m 2n －3mn 2＞2m 2n －6mn 2＋n 3．6.已知a ＞1，λ＞0，求证：log a （a +λ）＞log a +λ（a +2λ）. 证明：log a （a +λ）－log （a +λ）（a +2λ） =a a lg lg ）（λ+－）（）（λλ++a a lg 2lg=）（）（）（λλλ+⋅+⋅-+a a a a a lg lg 2lg lg lg 2∵a ＞1，λ＞0，∴lg a ＞0，lg （a +2λ）＞0，且lg a ≠lg （a +2λ）.∴lg a ·lg （a +2λ）＜［（22lg lg ）（λ++a a ）］2=［22lg 2）（λa a +］2＜［2lg 2）（λ+a ］2=lg 2（a +λ）.∴）（）（）（λλλ++⋅-+a a a a a lg lg 2lg lg lg 2＞0.∴log a （a +λ）＞log （a +λ）（a +2λ）.培养能力7.已知x ＞0，y ＞0，若不等式x +y ≤m y x +恒成立，求实数m 的最小值. 分析：∵x +y ≤m y x +恒成立，∴m ≥yx yx ++恒成立.∴m 的最小值就是yx yx ++的最大值.解：∵x +y ≤m y x +恒成立，∴m ≥yx yx ++恒成立.∵x ＞0，y ＞0， ∴y x +≥22）（y x +=2yx +.∴yx y x ++≤2yx y x ++=2.∴m 的最小值为2.评述：分离参数法是求参数的范围问题常用的方法，化归是解这类问题常用的手段. 8.有点难度哟！求证：在非Rt △ABC 中，若a ＞b ，h a 、h b 分别表示a 、b 边上的高，则必有a +h a ＞b +h b . 证明：设S 表示△ABC 的面积，则S =21ah a =21bh b =21ab sin C . ∴h a =b sin C ，h b =a sin C.∴（a +h a ）－（b +h b ）=a +b sin C －b －a sin C =（a －b ）（1－sin C ）. ∵C ≠2π，∴1－sin C ＞0. ∴（a －b ）（1－sin C ）＞0. ∴a +h a ＞b +h b .探究创新9.设二次函数f （x ）=ax 2+bx +c （a ＞0），方程f （x ）－x =0的两根x 1、x 2满足1＜x 1＜x 2＜a1. （1）当x ∈（0，x 1）时，证明x ＜f （x ）＜x 1； （2）设函数f （x ）的图象关于直线x =x 0对称，求证x 0＜21x . 证明：（1）令F （x ）=f （x ）－x ， ∵x 1、x 2是方程f （x ）－x =0的根， ∴F （x ）=a （x －x 1）（x －x 2）. 当x ∈（0，x 1）时，由于x 1＜x 2， ∴（x －x 1）（x －x 2）＞0.又a ＞0，得F （x ）=a （x －x 1）（x －x 2）＞0， 即x ＜f （x ）.又x 1－f （x ）=x 1－［x +F （x ）］=x 1－x +a （x 1－x ）（x －x 2）=（x 1－x ）［1+a （x －x 2）］，∵0＜x ＜x 1＜x 2＜a1，x 1－x ＞0， 1+a （x －x 2）=1+ax －ax 2＞1－ax 2＞0， ∴x 1－f （x ）＞0，即f （x ）＜x 1. 综上，可知x ＜f （x ）＜x 1. （2）由题意知x 0=－ab 2. ∵x 1、x 2是方程f （x ）－x =0的根，即x 1、x 2是方程ax 2+（b －1）x +c =0的根， ∴x 1+x 2=－ab 1-. ∴x 0=－ab 2=a x x a 2121-+）（=a ax ax 2121-+.又∵ax 2＜1，∴x 0＜a ax 21=21x.●思悟小结1.比较法有两种形式：一是作差，二是作商.用作差法证明不等式是证明不等式中最基本、最常用的方法.它的依据是不等式的基本性质.2.步骤是：作差（商）→变形→判断.变形的目的是为了判断.若是作差，就判断与0的大小关系，为了便于判断，往往把形式变为积或完全平方式.若是作商，两边为正，就判断与1的大小关系.3.有时要先对不等式作等价变形再进行证明，有时几种证明方法综合使用.4.在应用均值定理求最值时，要把握定理成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”.若忽略了某个条件，就会出现错误.●教师下载中心 教学点睛1.在证明不等式的各种方法中，作差比较法是一种最基本、最重要的方法，它是利用不等式两边的差是正数还是负数来证明不等式，其应用非常广泛，一定要熟练掌握.2.对于公式a +b ≥2ab ，ab ≤（2b a +）2要讲清它们的作用和使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab 和a +b 的转化关系.拓展题例【例1】设a 、b ∈R ，关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0的实根为α、β.若｜a ｜＋｜b ｜＜1，求证：｜α｜＜1，｜β｜＜1.证法一：∵α＋β＝－a ，αβ＝b ，∴｜α＋β｜＋｜αβ｜＝｜a ｜＋｜b ｜＜1. ∴｜α｜－｜β｜＋｜α｜｜β｜＜1，（｜α｜－1）（｜β｜＋1）＜0. ∴｜α｜＜1.同理，｜β｜＜1.证法二：设f （x ）=x 2＋ax ＋b ，则有f （1）＝1＋a ＋b ＞1－（｜a ｜＋｜b ｜）＞1－1＝0， f （－1）＝1－a ＋b ＞1－（｜a ｜＋｜b ｜）＞0. ∵0≤｜a ｜＜1，∴－1＜a ＜1.∴－21＜－2a ＜21. ∴方程f （x ）＝0的两实根在（－1，1）内，即｜α｜＜1，｜β｜＜1.评述：证法一先利用韦达定理，再用绝对值不等式的性质恰好能分解因式；证法二考虑根的分布，证两根在（－1，1）内.【例2】 是否存在常数C ，使得不等式y x x +2+y x y 2+≤C ≤y x x2++yx y +2对任意正数x 、y 恒成立?试证明你的结论.解：当x =y 时，可由不等式得出C =32. 下面分两个方面证明.先证y x x +2+y x y 2+≤32，此不等式⇔3x （x +2y ）+3y （2x +y ）≤2（2x +y ）（x +2y ）⇔x 2+y 2≥2xy .再证y x x 2++y x y +2≥32， 此不等式⇔3x （2x +y ）+3y （x +2y ）≥2（x +2y ）（2x +y ）⇔2xy ≤x 2+y 2. 综上，可知存在常数C =32，使对任何正数x 、y 不等式恒成立.。

第2讲 不等式的证明1．基本不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 定理2：如果a 、b 为正数，则a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理3：如果a 、b 、c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a nn ≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立． 2．不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等． 3．数学归纳法证明不等式的关键使用数学归纳法证明与自然数有关的不等式，关键是由n ＝k 时不等式成立推证n ＝k ＋1时不等式成立，此步的证明要具有目标意识，要注意与最终达到的解题目标进行分析、比较，以便确定解题方向．对于任意的x 、y ∈R ，求证|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥3. 证明：根据绝对值的几何意义，可知|x －1|＋|x |≥1， |y －1|＋|y ＋1|≥2，所以|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥1＋2＝3.若a ，b ∈(0，＋∞)且a ＋b ＝1，求证：1a 2＋1b 2≥8.证明：因为a ＋b ＝1， 所以a 2＋2ab ＋b 2＝1. 因为a >0，b >0，所以1a 2＋1b 2＝（a ＋b ）2a 2＋（a ＋b ）2b 2＝1＋2b a ＋b 2a 2＋1＋2a b ＋a 2b 2＝2＋⎝⎛⎭⎫2b a ＋2a b ＋⎝⎛⎭⎫b 2a 2＋a 2b 2≥2＋22b a ·2a b＋2b 2a 2·a 2b 2＝8⎝⎛⎭⎫当a ＝b ＝12时取等号. 若x ，y ，z ∈R ＋，且x ＋y >z ，求证：x 1＋x ＋y 1＋y >z1＋z .证明：因为x ＋y >z ， 所以x ＋y －z >0.由分数性质得z1＋z <z ＋（x ＋y －z ）1＋z ＋（x＋y －z ）＝x ＋y 1＋x ＋y .因为x >0，y >0，所以x ＋y 1＋x ＋y ＝x 1＋x ＋y ＋y 1＋x ＋y <x 1＋x ＋y 1＋y .所以x 1＋x ＋y 1＋y >z 1＋z.若a >b >1，证明：a ＋1a >b ＋1b.证明：a ＋1a －⎝⎛⎭⎫b ＋1b ＝a －b ＋b －a ab ＝（a －b ）（ab －1）ab . 由a >b >1得ab >1，a －b >0， 所以（a －b ）（ab －1）ab>0.即a ＋1a －⎝⎛⎭⎫b ＋1b >0，所以a ＋1a >b ＋1b.比较法证明不等式[典例引领](2016·高考全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )＜2的解集． (1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |＜|1＋ab |.【解】 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12＜x ＜12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时，由f (x )＜2得－2x ＜2，解得x ＞－1；当－12＜x ＜12时，f (x )＜2；当x ≥12时，由f (x )＜2得2x ＜2，解得x ＜1.所以f (x )＜2的解集M ＝{x |－1＜x ＜1}．(2)证明：由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1＜a ＜1，－1＜b ＜1，从而(a ＋b )2－(1＋ab )2＝a 2＋b 2－a 2b 2－1＝(a 2－1)(1－b 2)＜0. 因此|a ＋b |＜|1＋ab |.比较法证明不等式的方法与步骤(1)作差比较法：作差、变形、判号、下结论． (2)作商比较法：作商、变形、判断、下结论．[提醒] (1)当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时，一般使用作差比较法． (2)当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时，一般使用作商比较法．[通关练习]1．若a ，b ∈R ＋，证明：(a ＋b )(a 5＋b 5)≤2(a 6＋b 6)．证明：因为(a ＋b )(a 5＋b 5)－2(a 6＋b 6)＝a 6＋a 5b ＋ab 5＋b 6－2a 6－2b 6＝a 5b ＋ab 5－a 6－b 6＝a 5(b －a )＋b 5(a －b )＝(a －b )(b 5－a 5)．当a >b >0时，a －b >0，b 5－a 5<0，有(a －b )(b 5－a 5)<0. 当b >a >0时，a －b <0，b 5－a 5>0，有(a －b )(b 5－a 5)<0. 当a ＝b >0时，a －b ＝0，有(a －b )(b 5－a 5)＝0. 综上可知(a ＋b )(a 5＋b 5)≤2(a 6＋b 6)． 2．已知a ，b ∈(0，＋∞)，求证：a b b a≤(ab )a ＋b2.证明：a b b a（ab ）a ＋b 2＝ab －a ＋b 2ba －a ＋b 2＝⎝⎛⎭⎫b a a －b2. 当a ＝b 时，⎝⎛⎭⎫b a a －b2＝1；当a >b >0时，0<ba<1，a －b 2>0，⎝⎛⎭⎫b a a －b2<1. 当b >a >0时，b a >1，a －b 2<0，⎝⎛⎭⎫b a a －b2<1. 所以a b b a≤(ab )a ＋b 2.用综合法、分析法证明不等式[典例引领](2017·高考全国卷Ⅱ)已知a >0，b >0，a 3＋b 3＝2.证明： (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4； (2)a ＋b ≤2.【证明】 法一：(综合法) (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4) ＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4.(2)因为(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3 ＝2＋3ab (a ＋b )≤2＋3（a ＋b ）24·(a ＋b )＝2＋3（a ＋b ）34，所以(a ＋b )3≤8，因此a ＋b ≤2. 法二：(分析法)(1)因为a >0，b >0，a 3＋b 3＝2. 要证(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4，只需证(a ＋b )(a 5＋b 5)≥(a 3＋b 3)2， 再证a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6≥a 6＋2a 3b 3＋b 6， 再证a 4＋b 4≥2a 2b 2，因为(a 2－b 2)2≥0，即a 4＋b 4≥2a 2b 2成立． 故原不等式成立． (2)要证a ＋b ≤2成立， 只需证(a ＋b )3≤8，再证a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3≤8， 再证ab (a ＋b )≤2， 再证ab (a ＋b )≤a 3＋b 3，再证ab (a ＋b )≤(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)， 即证ab ≤a 2－ab ＋b 2显然成立． 故原不等式成立．分析法与综合法常常结合起来使用，称为分析综合法，其实质是既充分利用已知条件，又时刻瞄准解题目标，即不仅要搞清已知什么，还要明确干什么，通常用分析法找到解题思路，用综合法书写证题过程．[通关练习]1．设x ≥1，y ≥1，求证：x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y ＋xy .证明：由于x ≥1，y ≥1， 要证x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy ，只需证xy (x ＋y )＋1≤y ＋x ＋(xy )2. 因为[y ＋x ＋(xy )2]－[xy (x ＋y )＋1] ＝[(xy )2－1]－[xy (x ＋y )－(x ＋y )] ＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y )(xy －1) ＝(xy －1)(xy －x －y ＋1) ＝(xy －1)(x －1)(y －1)，因为x ≥1，y ≥1，所以(xy －1)(x －1)(y －1)≥0， 从而所要证明的不等式成立．2．已知实数a ，b ，c 满足a >0，b >0，c >0，且abc ＝1. (1)证明：(1＋a )(1＋b )(1＋c )≥8； (2)证明：a ＋b ＋c ≤1a ＋1b ＋1c.证明：(1)1＋a ≥2a ，1＋b ≥2b ，1＋c ≥2c ， 相乘得：(1＋a )(1＋b )(1＋c )≥8abc ＝8. (2)1a ＋1b ＋1c ＝ab ＋bc ＋ac ， ab ＋bc ≥2ab 2c ＝2b ， ab ＋ac ≥2a 2bc ＝2a ， bc ＋ac ≥2abc 2＝2c ， 相加得a ＋b ＋c ≤1a ＋1b ＋1c.反证法证明不等式[典例引领]设0<a ，b ，c <1，求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不可能同时大于14.【证明】 设(1－a )b >14，(1－b )c >14，(1－c )a >14，三式相乘得(1－a )b ·(1－b )c ·(1－c )a >164，①又因为0<a ，b ，c <1，所以0<(1－a )a ≤⎣⎡⎦⎤（1－a ）＋a 22＝14. 同理：(1－b )b ≤14，(1－c )c ≤14，以上三式相乘得(1－a )a ·(1－b )b ·(1－c )c ≤164，与①矛盾．所以(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不可能同时大于14.利用反证法证明问题的一般步骤(1)否定原结论；(2)从假设出发，导出矛盾； (3)证明原命题正确．已知a ＋b ＋c >0，ab ＋bc ＋ca >0，abc >0，求证：a ，b ，c >0.证明：(1)设a <0，因为abc >0， 所以bc <0.又由a ＋b ＋c >0，则b ＋c >－a >0，所以ab ＋bc ＋ca ＝a (b ＋c )＋bc <0，与题设矛盾． (2)若a ＝0，则与abc >0矛盾， 所以必有a >0. 同理可证：b >0，c >0. 综上可证a ，b ，c >0.放缩法证明不等式[典例引领]若a ，b ∈R ，求证：|a ＋b |1＋|a ＋b |≤|a |1＋|a |＋|b |1＋|b |.【证明】 当|a ＋b |＝0时，不等式显然成立． 当|a ＋b |≠0时， 由0＜|a ＋b |≤|a |＋|b | ⇒1|a ＋b |≥1|a |＋|b |， 所以|a ＋b |1＋|a ＋b |＝11|a ＋b |＋1≤11＋1|a |＋|b |＝|a |＋|b |1＋|a |＋|b | ＝|a |1＋|a |＋|b |＋|b |1＋|a |＋|b |≤|a |1＋|a |＋|b |1＋|b |.综上，原不等式成立．“放”和“缩”的常用技巧在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧．常见的放缩变换有：(1)变换分式的分子和分母，如1k 2<1k （k －1），1k 2>1k （k ＋1），1k <2k ＋k －1，1k >2k ＋k ＋1.上面不等式中k ∈N *，k >1； (2)利用函数的单调性；(3)真分数性质“若0<a <b ，m >0，则a b <a ＋mb ＋m”．[提醒] 在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一个度．设n 是正整数，求证：12≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n<1.证明：由2n ≥n ＋k >n (k ＝1，2，…，n )，得12n ≤1n ＋k <1n .当k ＝1时，12n ≤1n ＋1<1n ；当k ＝2时，12n ≤1n ＋2<1n ；…当k ＝n 时，12n ≤1n ＋n <1n，所以12＝n 2n ≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n <n n ＝1.所以原不等式成立．用数学归纳法证明不等式[典例引领]证明贝努利不等式：设x ∈R ，且x >－1，x ≠0，n ∈N ，n >1，则(1＋x )n >1＋nx . 【证明】 (1)当n ＝2时，因为x ≠0.所以(1＋x )2＝1＋2x ＋x 2>1＋2x ，不等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥2)时不等式成立， 即有(1＋x )k >1＋kx ，则当n ＝k ＋1时，由于x >－1，x ≠0. 所以(1＋x )k ＋1＝(1＋x )(1＋x )k >(1＋x )(1＋kx ) ＝1＋x ＋kx ＋kx 2>1＋(k ＋1)x ， 所以当n ＝k ＋1时不等式成立．由(1)(2)可知，贝努利不等式成立．用数学归纳法证明与自然数有关的命题时应注意以下两个证题步骤：(1)证明当n＝n0(满足命题的最小的自然数的值)时，命题正确．(2)在假设n＝k(k≥n0)时命题正确的基础上，推证当n＝k＋1时，命题也正确．这两步合为一体才是数学归纳法，缺一不可．其中第一步是基础，第二步是递推的依据．证明：对于n∈N*，不等式|sin nθ|≤n|sin θ|恒成立．证明：(1)当n＝1时，上式左边＝|sin θ|＝右边，不等式成立．(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时不等式成立，即有|sin kθ|≤k|sin θ|.当n＝k＋1时，|sin(k＋1)θ|＝|sin kθcos θ＋cos kθsin θ|≤|sin kθcos θ|＋|cos kθsin θ|＝|sin kθ|·|cos θ|＋|cos kθ|·|sin θ|≤|sin kθ|＋|sin θ|≤k|sin θ|＋|sin θ|＝(k＋1)|sin θ|.所以当n＝k＋1时不等式也成立．由(1)(2)可知，不等式对一切正整数n均成立．证明不等式的常用方法与技巧(1)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少”“至多”等方式给出或否定性命题、唯一性命题，则考虑用反证法；如果待证不等式与自然数有关，则考虑用数学归纳法等．(2)在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明．尤其是对含绝对值不等式的解法或证明，其简化的基本思路是去绝对值号，转化为常见的不等式(组)求解．多以绝对值的几何意义或“找零点、分区间、逐个解、并起来”为简化策略，而绝对值三角不等式，往往作为不等式放缩的依据．在使用基本不等式时，等号成立的条件是一直要注意的事情，特别是连续使用时，要分析每次使用时等号是否成立．1．(2018·安徽省两校阶段性测试)已知函数f (x )＝|x －2|. (1)解不等式：f (x )＋f (x ＋1)≤2； (2)若a <0，求证：f (ax )－af (x )≥f (2a )．解：(1)由题意，得f (x )＋f (x ＋1)＝|x －1|＋|x －2|. 因此只要解不等式|x －1|＋|x －2|≤2.当x ≤1时，原不等式等价于－2x ＋3≤2，即12≤x ≤1；当1<x ≤2时，原不等式等价于1≤2，即1<x ≤2； 当x >2时，原不等式等价于2x －3≤2，即2<x ≤52.综上，原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫12≤x ≤52. (2)证明：由题意得f (ax )－af (x )＝|ax －2|－a |x －2|＝|ax －2|＋|2a －ax |≥|ax －2＋2a －ax |＝|2a －2|＝f (2a )，所以f (ax )－af (x )≥f (2a )成立． 2．求证：112＋122＋132＋…＋1n 2<2.证明：因为1n 2<1n （n －1）＝1n －1－1n，所以112＋122＋132＋…＋1n 2<1＋11×2＋12×3＋13×4＋…＋1（n －1）×n ＝1＋⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＝2－1n <2.3．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )，当x ∈[－1，1]时，|f (x )|≤1. (1)求证：|b |≤1；(2)若f (0)＝－1，f (1)＝1，求实数a 的值．解：(1)证明：由题意知f (1)＝a ＋b ＋c ，f (－1)＝a －b ＋c ， 所以b ＝12[f (1)－f (－1)]．因为当x ∈[－1，1]时，|f (x )|≤1， 所以|f (1)|≤1，|f (－1)|≤1，所以|b |＝12|f (1)－f (－1)|≤12[|f (1)|＋|f (－1)|]≤1.(2)由f (0)＝－1，f (1)＝1可得c ＝－1，b ＝2－a ， 所以f (x )＝ax 2＋(2－a )x －1.当a ＝0时，不满足题意，当a ≠0时，函数f (x )图象的对称轴为x ＝a －22a ，即x ＝12－1a. 因为x ∈[－1，1]时，|f (x )|≤1，即|f (－1)|≤1，所以|2a －3|≤1，解得1≤a ≤2. 所以－12≤12－1a ≤0，故|f ⎝⎛⎭⎫12－1a |＝ |a ⎝⎛⎭⎫12－1a 2＋(2－a )⎝⎛⎭⎫12－1a －1|≤1. 整理得|（a －2）24a ＋1|≤1，所以－1≤（a －2）24a ＋1≤1，所以－2≤（a －2）24a ≤0，又a ＞0，所以（a －2）24a ≥0，所以（a －2）24a＝0，所以a ＝2.4．设a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1. (1)求证：2ab ＋bc ＋ca ＋c 22≤12；(2)求证：a 2＋c 2b ＋b 2＋a 2c ＋c 2＋b 2a≥2.证明：(1)要证2ab ＋bc ＋ca ＋c 22≤12，只需证1≥4ab ＋2bc ＋2ca ＋c 2，即证1－(4ab ＋2bc ＋2ca＋c 2)≥0，而1－(4ab ＋2bc ＋2ca ＋c 2)＝(a ＋b ＋c )2－(4ab ＋2bc ＋2ca ＋c 2)＝a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0成立，所以2ab ＋bc ＋ca ＋c 22≤12.(2)因为a 2＋c 2b ≥2ac b ，b 2＋a 2c ≥2ab c ，c 2＋b 2a ≥2bca，所以a 2＋c 2b ＋b 2＋a 2c ＋c 2＋b 2a ≥⎝⎛⎭⎫ac b ＋ab c ＋⎝⎛⎭⎫ab c ＋bc a ＋⎝⎛⎭⎫ac b ＋bc a ＝a ⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ＋b ⎝⎛⎭⎫a c ＋c a ＋c ⎝⎛⎭⎫a b ＋ba ≥2a ＋2b ＋2c ＝2(当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立)．5．已知函数f (x )＝|x －1|. (1)解不等式f (x )＋f (x ＋4)≥8；(2)若|a |<1，|b |<1，且a ≠0，求证：f (ab )>|a |f ⎝⎛⎭⎫b a .解：(1)f (x )＋f (x ＋4)＝|x －1|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，x <－3，4，－3≤x ≤12x ＋2，x >1.当x <－3时，由－2x －2≥8，解得x ≤－5；当－3≤x ≤1时，4≥8不成立；当x >1时，由2x ＋2≥8，解得x ≥3.所以不等式f (x )＋f (x ＋4)≥8的解集为{x |x ≤－5或x ≥3}．(2)证明：f (ab )>|a |f ⎝⎛⎭⎫b a ，即|ab －1|>|a －b |.因为|a |<1，|b |<1，所以|ab －1|2－|a －b |2＝(a 2b 2－2ab ＋1)－(a 2－2ab ＋b 2)＝(a 2－1)(b 2－1)>0，所以|ab －1|>|a －b |.故所证不等式成立．1．(2018·武汉市武昌区调研考试)设函数f (x )＝|x －2|＋2x －3，记f (x )≤－1的解集为M .(1)求M ；(2)当x ∈M 时，证明：x [f (x )]2－x 2f (x )≤0.解：(1)由已知，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≤23x －5，x >2. 当x ≤2时，由f (x )＝x －1≤－1，解得x ≤0，此时x ≤0；当x >2时，由f (x )＝3x －5≤－1，解得x ≤43，显然不成立． 故f (x )≤－1的解集为M ＝{x |x ≤0}．(2)证明：当x ∈M 时，f (x )＝x －1，于是x [f (x )]2－x 2f (x )＝x (x －1)2－x 2(x －1)＝－x 2＋x ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14. 令g (x )＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14，则函数g (x )在(－∞，0]上是增函数， 所以g (x )≤g (0)＝0.故x [f (x )]2－x 2f (x )≤0.2．(2018·沈阳模拟)设a ，b ，c >0，且ab ＋bc ＋ca ＝1.求证：(1)a ＋b ＋c ≥ 3.(2)a bc ＋b ac ＋c ab≥3(a ＋b ＋c )． 证明：(1)要证a ＋b ＋c ≥3，由于a ，b ，c >0，因此只需证明(a ＋b ＋c )2≥3.即证a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3.而ab ＋bc ＋ca ＝1，故只需证明a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3(ab ＋bc ＋ca )，即证a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .而这可以由ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋c 2＋a 22＝a 2＋b 2＋c 2(当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立)证得．所以原不等式成立． (2)a bc ＋b ac ＋c ab ＝a ＋b ＋c abc. 在(1)中已证a ＋b ＋c ≥ 3.因此要证原不等式成立，只需证明1abc ≥a ＋b ＋c ， 即证a bc ＋b ac ＋c ab ≤1，即证a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca .而a bc ＝ab ·ac ≤ab ＋ac 2， b ac ≤ab ＋bc 2，c ab ≤bc ＋ac 2， 所以a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca(当且仅当a ＝b ＝c ＝33时等号成立)． 所以原不等式成立．3．已知a ，b ，c 均为正实数．求证：(1)(a ＋b )(ab ＋c 2)≥4abc ；(2)若a ＋b ＋c ＝3，则a ＋1＋b ＋1＋c ＋1≤3 2.证明：(1)要证(a ＋b )(ab ＋c 2)≥4abc ，可证a 2b ＋ac 2＋ab 2＋bc 2－4abc ≥0，需证b (a 2＋c 2－2ac )＋a (c 2＋b 2－2bc )≥0，即证b (a －c )2＋a (c －b )2≥0，当且仅当a ＝b ＝c 时，取等号，由已知，上式显然成立，故不等式(a ＋b )(ab ＋c 2)≥4abc 成立．(2)因为a ，b ，c 均为正实数，由不等式的性质知a ＋1·2≤a ＋1＋22＝a ＋32，当且仅当a ＋1＝2时，取等号，b ＋1·2≤b ＋1＋22＝b ＋32，当且仅当b ＋1＝2时，取等号， c ＋1·2≤c ＋1＋22＝c ＋32，当且仅当c ＋1＝2时，取等号， 以上三式相加，得2(a ＋1＋b ＋1＋c ＋1)≤a ＋b ＋c ＋92＝6， 所以a ＋1＋b ＋1＋c ＋1≤32，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，取等号．。

不等式的性质证明不等式是数学中常见的概念，它描述了两个数、两个算式或两个函数之间的大小关系。

在数学研究和实际问题中，不等式的性质具有重要的意义。

本文将深入探讨不等式的基本性质，并进行相应的证明。

一、不等式的基本性质1. 传递性：对于任意的实数a、b、c，若a < b，b < c，则有a < c。

即如果一个数小于另一个数，而另一个数又小于另一个数，那么第一个数一定小于第三个数。

证明：设a < b，b < c，用反证法。

假设a ≥ c，那么由于a < b，根据传递性得知b ≥ c，与b < c矛盾。

故假设不成立，得证。

2. 加法性：对于任意的实数a、b、c，若a < b，则有a + c < b + c。

即两个不等式的同侧同时加上一个相同的数，不等号的方向不变。

证明：设a < b，用反证法。

假设a + c ≥ b + c，那么由于a < b，根据传递性得知a + c < b + c，与假设矛盾。

故假设不成立，得证。

3. 乘法性：对于任意的实数a、b和正数c，若a < b且c > 0，则有ac < bc。

即两个不等式的同侧同时乘上一个正数，不等号的方向不变；若c < 0，则有ac > bc，即两个不等式的同侧同时乘上一个负数，不等号的方向反向。

证明：设a < b，用反证法。

假设ac ≥ bc，若c > 0，则由于a < b，根据乘法性得知ac < bc，与假设矛盾；若c < 0，则有ac > bc，同样与假设矛盾。

故假设不成立，得证。

二、不等式中的常见定理及证明1. 加法定理：对于任意的实数a，b和c，若a < b，则有a + c < b + c。

证明：设a < b，令d = b - a，根据传递性得知0 < d。

由于c > 0，根据乘法性可得0 < c × d。

2010高考数学复习详细资料（精品）——不等式的性质知识清单：1．不等式的性质：⑴(对称性或反身性)错误!未找到引用源。

;⑵(传递性)错误!未找到引用源。

;⑶(可加性)错误!未找到引用源。

,此法则又称为移项法则;(同向可相加)错误!未找到引用源。

⑷(可乘性)错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

.(正数同向可相乘)错误!未找到引用源。

⑸(乘方法则)错误!未找到引用源。

⑹(开方法则)错误!未找到引用源。

⑺(倒数法则)错误!未找到引用源。

注意：条件与结论间的对应关系，是“错误!未找到引用源。

”符号还是“错误!未找到引用源。

”符号；运用不等式性质的关键是不等号方向的把握，条件与不等号方向是紧密相连的。

运用不等式的性质可以对不等式进行各种变形,虽然这些变形都很简单,但却是我们今后研究和认识不等式的基本手段.2．定理1：如果a,b∈{x|x是正实数}，那么错误!未找到引用源。

≥错误!未找到引用源。

（当且仅当a=b时取“=”号）.注：该不等式可推出:当a、b为正数时,错误!未找到引用源。

（当且仅当a = b时取“=”号）即:平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥调和平均数2.含立方的几个重要不等式（a、b、c为正数）：⑴错误!未找到引用源。

⑵由错误!未找到引用源。

可推出错误!未找到引用源。

(错误!未找到引用源。

,错误!未找到引用源。

);⑶如果a,b,c∈{x|x是正实数}，那么错误!未找到引用源。

.（当且仅当a=b=c时取“=”号）3.绝对值不等式：错误!未找到引用源。

注：均值不等式可以用来求最值(积定和小，和定积大),特别要注意条件的满足：一正、二定、三相等.课前预习1．（06上海文，14）如果错误!未找到引用源。

，那么，下列不等式中正确的是（）（A）错误!未找到引用源。

（B）错误!未找到引用源。

（C）错误!未找到引用源。

（D）错误!未找到引用源。

2．（06江苏，8）设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立．．．．的是（A）错误!未找到引用源。