【高考领航】高考数学总复习 第2节 参数方程练习 苏教版选修4-4

第二节参数方程课时作业练-(t 1.(2018江苏南京高三学情调研)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为为参数),圆C的参数方程为(θ为参数).若直线l与圆C相切,求实数a的值.-得直线l的普通方程为x-y+1=0.解+析由直线l的参数方程为由圆C的参数方程为得圆C的普通方程为(x-a)2+(y-2a)2=1.因为直线l与圆C相切,所以=1,解得a=1±.所以实数a的值为1±.2.(2019苏北四市高三模拟)以直角坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴,且在两种坐标系中取相2+2ρcos θ-同的单位长度,建立极坐标系,试判断直线l:-(t为参数)与圆C:ρ2ρsin θ=0的位置关系.解+析将直线方程l:-化为普通方程,得x+y=2.将圆C:ρ2+2ρcos θ-2ρsin θ=0化为直角坐标方程,得x2+2x+y2-2y=0,即(x+1)2+(y-1)2=2.因为圆心C(-1,1)到直线l的距离d==,所以直线l与圆C相切.3.(2019江苏高考数学模拟)已知点P是曲线C:(θ为参数,π≤θ≤2π)上一点,O 为直角坐标系中的原点.若直线OP的倾斜角为,求点P的直角坐标.解+析由题意得,曲线C的普通方程为+=1.①由π≤θ≤2π⇒sin θ≤0⇒y≤0 又直线OP的方程为y=x.②-联立①②解得(舍)或-.所以点P的坐标为--.4.(2018江苏盐城中学高三上学期期末)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为--(t为参数),圆C的参数方程为(θ为参数),若圆C与直线l交于两个不同的点A、B,点P在圆C上运动,求△PAB的面积的最大值.解+析直线l的普通方程为x+y-1=0,圆C的普通方程为x2+y2=1,由-解得或.故不妨设A(1,0),B(0,1).设点P(cos θ,sin θ),则点P到直线l的距离d=≤.故△PAB的面积的最大值为 AB ·dmax=××=.5.(2018苏锡常镇四市高三教学情况调研(二))在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为-(t为参数).以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρcos-=a(a∈R) 已知圆心C到直线l的距离等于,求a的值.解+析消去参数t,得到圆的普通方程为(x-3)2+(y+2)2=4,由ρcos-=a,得ρcos θ+ρsin θ-a=0,所以直线l的直角坐标方程为x+y-a=0.因为圆心C到直线l的距离等于,所以=,解得a=-1或3.6.(2017江苏无锡普通高中高三期末调研)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程是(t是参数),以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,若圆C的极坐标方程是ρ=4sin θ,且直线l与圆C相交,求实数m的取值范围.解+析由ρ=4sin θ,得ρ2=4ρsin θ,所以x2+y2=4y.即圆C的方程为x2+(y-2)2=4,由(t为参数)消去t,得x-y+m=0,由直线l与圆C相交,得-<2,即-2<m<6.7.(2018江苏盐城中学高三阶段性检测)在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度,建立极坐标系.已知曲线C1的参数方程为(α∈[0 2π],α为参数),曲线C2的极坐标方程为ρsin=a(a∈R).若曲线C1与曲线C2有且仅有一个公共点,求实数a的值.解+析由题意知曲线C1的直角坐标方程为(x-)2+(y-3)2=4.∵ρsin=a ∴ρsin θ+ρcos θ=a,∴曲线C2的直角坐标方程为x+y-2a=0.由题意知曲线C1的圆心到直线C2的距离d=()=2,∴ a-3 =2 ∴a=1或a=5.8.(2019江苏扬州高三模拟)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程是(t是参数,m是常数).以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=6cos θ.(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;(2)若直线l与曲线C相交于P,Q两点,且|PQ|=2,求实数m的值.解+析(1) 因为直线l的参数方程是 (t是参数),所以直线l的普通方程为x-y-m=0.因为曲线C的极坐标方程为ρ=6cos θ,所以ρ2=6ρcos θ ,所以x2+y2=6x,所以曲线C的直角坐标方程是(x-3)2+y2=9.(2)设圆心到直线l的距离为d,则d=-=2,又d=,所以=2,所以|3-m|=4,即 m=-1或m=7.。

《参数方程》平行性测试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1） 以极点为原点，极轴的方向为x 轴的正方向，建立直角坐标系，则极坐标M ⎝⎛⎭⎫2016，5π3表示的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限（C ）第三象限 （D ）第四象限（2） 在极坐标系中，已知点P (2，π6)，则过点P 且平行于极轴的直线方程是 （A ）ρsin θ＝1 （B ）ρsin θ＝ 3（C ）ρcos θ＝1 （D ）ρcos θ＝ 3（3） 参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θy ＝sin θ(θ为参数)所表示的曲线为 （A ）抛物线的一部分 （B ）一条抛物线（C ）双曲线的一部分 （D ）一条双曲线（4） 极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是（A ）两个圆 （B ）两条直线（C ）一个圆和一条射线 （D ）一条直线和一条射线（5） 在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎫2，π3与圆ρ＝2cos θ的圆心之间的距离为 （A ）2 （B ）9π42+ （C ）9π12+（D ） 3 （6） 已知点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 2，y ＝4t (t 为参数)上，则|PF |等于 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（7） 若直线2x －y －3＋c ＝0与曲线⎩⎨⎧ x ＝5cos θ，y ＝5sin θ(θ为参数)相切，则实数c 等于 （A ）2或－8 （B ）6或－4（C ）－2或8 （D ）4或－6（8） 已知曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)和直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ，y ＝t ＋b (t 为参数，b 为实数)，若曲线C 上恰有3个点到直线l 的距离等于1，则b 等于（A ） 2 （B ）－ 2 （C ）0 （D ）± 2（9） 设直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋t ，y ＝t (t 为参数)，点P 在该直线上，且与点M 0(－4，0)的距离为2，则在参数方程中点P 对应的t 值为（A ）±1 （B ）0 （C ）±12 （D ）±32（10） 如果曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a ＋2cos θ，y ＝a ＋2sin θ(θ为参数)上有且仅有两个点到原点的距离为2，则实数a 的取值范围是（A ）(－22，0) （B ）(0，22)（C ）(－22，0)∪(0，22) （D ）(1，22)（11） 已知圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos αy ＝1＋sin α(α为参数)，当圆心C 到直线kx ＋y ＋4＝0的距离最大时，k 的值为（A ）13 （B ）15 （C ）－13 （D ）－15（12） 已知在平面直角坐标系xOy 中，点P (x ，y )是椭圆x 22＋y 23＝1上的一个动点，则S ＝x ＋y 的取值范围为（A ）[5，5] （B ）[－5，5]（C ）[－5，－5] （D ）[－5，5] 二、填空题：本大题4小题，每小题5分．（13） 在以O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a 相交于A ，B 两点．若△AOB是等边三角形，则a 的值为________．（14） 极坐标系中，点A 在曲线ρ＝2sin θ上，点B 在曲线ρcos θ＝－2上，则|AB |的最小值为________．（15） 在极坐标系中，已知点A ⎝⎛⎭⎫1，π2，点P 是曲线ρsin 2θ＝4cos θ上任意一点，设点P 到直线ρcos θ＋1＝0的距离为d ，则|PA |＋d 的最小值为________．（16） 已知抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)，其中p >0，焦点为F ，准线为l ．过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E ．若|EF |＝|MF |，且点M 的横坐标是3，则p 等于________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17） （本小题满分10分） 已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为14cos ,24sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩ (θ为参数)，直线l 经过点P (3，5)，且倾斜角为3π． （Ⅰ）写曲线C 的普通方程和直线l 的参数方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |的值．（18） （本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，直线l 经过点P (-1，0)，其倾斜角为α，以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy 取相同的单位长度，建立极坐标系，设曲线C 的极坐标方程为ρ2-6ρcos θ+5=0．（Ⅰ）若直线l 与曲线C 有公共点，求α的取值范围；（Ⅱ）设M (x ，y )为曲线C 上任意一点，求x +y 的取值范围．（19） （本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos αy ＝2＋2sin α(α为参数)，在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρ＝1cos θ－2asin θ． （Ⅰ）若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值；（Ⅱ）点P 在圆C 上移动，Q 为线段OP 的中点，求点Q 的轨迹的极坐标方程．（20） （本小题满分12分） 已知椭圆C ：1162422=+y x ，直线l ：1812=+y x ．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求椭圆C 与直线l 的极坐标方程；（Ⅱ）已知P 是l 上一动点，射线OP 交椭圆C 于点R ，又点Q 在OP 上且满足2||||||OR OP OQ =⋅．当点P 在l 上移动时，求直角坐标下，动点Q 的轨迹方程．（21） （本小题满分12分）曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin ,cos y x (θ为参数)，将曲线C 1上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的3倍，得到曲线C 2．以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l :ρ(cos θ-2sin θ)=6．（Ⅰ）求曲线C 2的普通方程和直线l 的直角坐标方程．（Ⅱ）若P 为曲线C 2上任意一点，求点P 到直线l 的距离的最小值和最大值．（22） （本小题满分12分）已知曲线C 1的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin 3,cos 2y x (ϕ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ=2，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为)3π,2(． （Ⅰ）求点A ，B ，C ，D 的直角坐标．（Ⅱ）设P 为C 1上任意一点，求|PA |2+|PB |2+|PC |2+|PD |2的取值范围．《坐标系与参数方程》平行性测试卷参考答案一、选择题（1） D ．解析：由于x ＝ρcos θ＝2016cos 5π3＝1008，y ＝ρsin θ＝2016sin 5π3＝－10083， 故点(1008，－10083)位于第四象限．（2） A ．解析：先将极坐标化成直角坐标表示，由P (2，π6)得x ＝ρcos θ＝2cos π6＝3，y ＝ρsin θ＝2sin π6＝1，即(3，1)，过点(3，1)且平行于x 轴的直线为y ＝1，再化为极坐标为ρsin θ＝1．（3） A ．解析：y 2＋x ＝1，∵x ∈[0，1]，y ∈[－1，1]，∴是抛物线的一部分．（4） C ．解析：∵(ρ－1)(θ－π)＝0，∴ρ＝1或θ＝π．ρ＝1表示以极点为圆心、半径为1的圆，θ＝π表示由极点出发的一条射线．（5） D ．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得⎩⎨⎧ x ＝2cos π3，y ＝2sin π3即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，可知点⎝⎛⎭⎫2，π3的直角坐标为(1，3)．圆ρ＝2cos θ的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，则圆心(1，0)与点(1，3)之间的距离为3．（6） D ．解析：将抛物线的参数方程化为普通方程，得y 2＝4x ，则焦点F (1，0)，准线方程为x ＝－1，又P (3，m )在抛物线上，由抛物线的定义知|PF |＝3－(－1)＝4．（7） C ．解析：将曲线⎩⎨⎧ x ＝5cos θ，y ＝5sin θ(θ为参数)化为普通方程，得x 2＋y 2＝5，因为直线2x －y －3＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝5相切，所以|－3＋c |5＝5，解得c ＝－2或8． （8） D ．解析：将曲线C 和直线l 的参数方程分别化为普通方程为x 2＋y 2＝4和y ＝x ＋b ，依题意，若要使圆上有3个点到直线l 的距离为1，只要满足圆心到直线的距离为1即可，得到|b |2＝1，解得b ＝±2． （9） A ．解析：由题意知－4＋t ＋42＋t －02＝2，解得t ＝1或t ＝－1．（10） C ．解析：将曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋2cos θ，y ＝a ＋2sin θ(θ为参数)转化为普通方程，即(x －a )2＋(y －a )2＝4，由题意可知，问题可转化为以原点为圆心，以2为半径的圆与圆C 总相交，根据两圆相交的充要条件得0<2a 2<4，∴0<a 2<8，解得0<a <22或－22<a <0．（11） D ．解析：⊙C 的直角坐标方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，∴圆心C (－1，1)，又直线kx ＋y ＋4＝0过定点A (0，－4)，故当CA 与直线kx ＋y ＋4＝0垂直时，圆心C 到直线距离最大，∵k CA ＝－5，∴－k ＝15，∴k ＝－15． （12） D ．解析：因椭圆x 22＋y 23＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos φy ＝3sin φ(φ为参数)，故可设动点P 的坐标为(2cos φ，3sin φ)，其中0≤φ<2π，因此S ＝x ＋y ＝2cos φ＋3sin φ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫25cos φ＋35sin φ＝5sin(φ＋γ)，其中tan γ＝63，所以S 的取值范围是[－5，5]． 二、填空题（13） 3．解析：圆的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4y ，直线的直角坐标方程为y ＝a ，因为△AOB 为等边三角形，则A ⎝⎛⎭⎫±a 3，a ，代入圆的方程得a 23＋a 2＝4a ，故a ＝3． （14） 1．解析：由ρ＝2sin θ得ρ2＝2ρsin θ，化为直角坐标方程，得x 2＋y 2－2y ＝0，即x 2＋(y －1)2＝1．因为ρcos θ＝－2，所以x ＝－2，易知圆心(0，1)到直线x ＝－2的距离为2，圆半径为1，所以|AB |min ＝1．（15） 2．解析：依题意，点A 的直角坐标是(0，1)，曲线ρsin 2θ＝4cos θ的直角坐标方程是y 2＝4x ，该抛物线的焦点F (1，0)，准线方程是x ＋1＝0；直线ρcos θ＋1＝0的直角坐标方程是x ＋1＝0，它是抛物线y 2＝4x 的准线；因此点P 到直线x ＋1＝0的距离d ＝|PF |，结合图形可知，|PA |＋d ＝|PA |＋|PF |≥|AF |＝2，当点P 是线段AF 与抛物线y 2＝4x 的交点时取等号，因此|PA |＋d 的最小值是2．（16） 2．解析：由参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)，p >0， 可得曲线方程为y 2＝2px (p >0)． ∵|EF |＝|MF |，且|MF |＝|ME |(抛物线定义)，∴△MEF 为等边三角形，E 的横坐标为－p 2，M 的横坐标为3． ∴EM 中点的横坐标为3－p 22，与F 的横坐标p 2相同． ∴3－p 22＝p 2，∴p ＝2． 三、解答题（17） 解：（Ⅰ）由曲线C 的参数方程14cos ,24sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数)， 得普通方程为(x -1)2+(y -2)2=16，即x 2+y 2-2x -4y -11=0．………………………3分直线l 经过点P (3，5)，且倾斜角为3π， 所以直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 235,213(t 是参数)．…………………………5分 （Ⅱ）将直线的参数方程代入x 2+y 2-2x -4y -11=0，整理，得t 2+(2+33)t -3=0，设方程的两根分别为t 1，t 2，则t 1t 2=-3，因为直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，所以|PA |·|PB |=|t 1t 2|=3．……………10分（18） 解：（Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程ρ2-6ρcos θ+5=0化为直角坐标方程为x 2+y 2-6x +5=0，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+-=ααsin ,cos 1t y t x (t 为参数)，将其代入x 2+y 2-6x +5=0， 整理得t 2-8t cos α+12=0．………………………………………………………3分因为直线l 与曲线C 有公共点，所以Δ=64cos 2α-48≥0，解得cosα≥23或cosα≤23-， 又因为α∈)π,0[，所以α的取值范围是π),65π[)6π,0[ ．……………6分 （Ⅱ）曲线C 的方程x 2+y 2-6x +5=0可化为(x -3)2+y 2=4，其参数方程为⎩⎨⎧=+=θθsin 2,cos 23y x (θ为参数）．……………………………8分 因为M (x ，y )为曲线C 上任意一点，所以x +y =3+2cos θ+2sin θ=)4πsin(223++θ， 所以x +y 的取值范围是]223,223[+-．……………………………12分（19） 解：（Ⅰ）将圆C 的参数方程⎩⎨⎧ x ＝2cos αy ＝2＋2sin α化为普通方程为x 2＋(y －2)2＝2，则圆C 的圆心为C (0，2)，半径为2．………………………………2分将直线l 的极坐标方程ρ＝1cos θ－2asin θ化为直角坐标方程为x －2ay －1＝0． ………………………………………………………………………………4分由直线l 与圆C 相切得，圆心C 到直线l 的距离d ＝|0－22a －1|1＋4a 2＝2， 解得a ＝28．………………………………………………………………6分 （Ⅱ）设Q (x ，y )，因为Q 为线段OP 的中点，则P (2x ，2y )在圆C 上，……8分所以4x 2＋(2y －2)2＝2，即x 2＋y 2－2y ＝0，…………………………………10分将其化为极坐标方程为ρ＝2sin θ．…………………………………………12分（20） 解：（Ⅰ）椭圆C 的极坐标方程为：θθρ222sin 3cos 248+=，……………3分 直线l 的极坐标方程为：θθρsin 3cos 224+=．………………………………6分 （Ⅱ）在极坐标系下设点),(θρQ ，则ρ=||OQ ，θθsin 3cos 224||+=OP ，θθ222sin 3cos 248||+=OR ，………8分 由2||||||OR OP OQ =⋅， 得θθθθρ22sin 3cos 248sin 3cos 224+=+⋅，…………………………………10分 即)sin 3cos 2(2)sin 3cos 2(222θθρθθρ+=+，亦即0sin 6cos 4sin 3cos 22222=--+θρθρθρθρ，化为直角坐标方程，得0643222=--+y x y x ．……………………………12分 （21） 解：（Ⅰ）依题意可得C 2的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin 3,cos 2y x (θ为参数)，…………2分所以C 2的普通方程为13422=+y x ；…………………………………………4分 直线l :ρ(cos θ-2sin θ)=6化为直角坐标方程为x -2y -6=0．……………………6分 （Ⅱ）设点P (2cos θ，3sinθ)，由点到直线的距离公式得点P 到直线l 的距离5|6)6πsin(4|5|6sin 32cos 2|---=--=θθθd ，……………………9分 所以当1)6πsin(-=-θ时，552m in =d ； 当1)6πsin(=-θ时，52max =d ． 故点P 到直线l 的距离的最小值为552，最大值为52．………………12分 （22） 解：（Ⅰ）由曲线C 2的极坐标方程为ρ=2，所以曲线C 2是圆心在极点，半径为2的圆，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,)3π，所以5π(2,)6B ，…………………………………………3分 由对称性得，直角坐标分别为)3,1(A ，)1,3(-B ，)3,1(--C ，)1,3(-D ．……………………………………………………6分（Ⅱ）由于P 为曲线C 1：2cos ,3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩上任意一点，可设P (2cos φ，3sin φ)，则|PA |2+|PB |2+|PC |2+|PD |22222)1sin 3()3cos 2()3sin 3()1cos 2(-+++-+-=ϕϕϕϕ22)3sin 3()1cos 2(++++ϕϕ22)1sin 3()3cos 2(++-+ϕϕ…………9分 .sin 203216sin 36cos 16222ϕϕϕ+=++=因为0≤sin 2φ≤1，得32≤32+20sin 2φ≤52，所以|PA |2+|PB |2+|PC |2+|PD |2的取值范围是]52,32[．…………………………12分。

2020年精品试题芳草香出品1．已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t －1t ，y ＝3(t ＋1t )(t 为参数，t >0)．求曲线C 的普通方程． 解析：由x ＝t －1t平方得x 2＝t ＋1t －2， 又y ＝3(t ＋1t )，则t ＋1t ＝y 3，代入x 2＝t ＋1t －2，得x 2＝y 3－2.∴3x 2－y ＋6＝0(y ≥6)．故曲线C 的普通方程为3x 2－y ＋6＝0(y ≥6)．2．已知直线l ：3x ＋4y －12＝0与圆C ：⎩⎨⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)，试判断它们的公共点个数．解析：圆的方程可化为(x ＋1) 2＋(y －2)2＝4，其圆心为C (－1,2)，半径为2.由于圆心到直线l 的距离d ＝|3×(－1)＋4×2－12|32＋42＝75<2， 所以直线l 与圆C 相交．故直线l 与圆C 的公共点的个数为2.3．已知点P (x ，y )是椭圆x 24＋y 2＝1上的动点．(1)求z ＝x 2＋y 2的最大值和最小值；(2)求t ＝2x ＋y 的最大值和最小值．解析：椭圆的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝2cos θ，y ＝sin θ，(θ为参数)，则 (1)∵z ＝x 2＋y 2＝4cos 2θ＋sin 2θ＝1＋3cos 2θ，∴当cos θ＝±1，即x ＝±2时，z 的最大值为4；当cos θ＝0，即x ＝0时，z 的最小值为1.(2)∵t ＝2x ＋y ＝4cos θ＋sin θ＝17sin(θ＋φ)，其中tan φ＝4，当sin(θ＋φ)＝1时，t 的最大值为17；当sin(θ＋φ)＝－1时，t 的最小值为－17.4．已知直线l 的参数方程：⎩⎨⎧ x ＝t ，y ＝1＋2t(t 为参数)和圆C 的极坐标方程：ρ＝22sin(θ＋π4)(θ为参数)．(1)将直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)判断直线l 和圆C 的位置关系．解析：(1)消去参数t ，得直线l 的直角坐标方程为y ＝2x ＋1；ρ＝22sin(θ＋π4)，即ρ＝2(sin θ＋cos θ)，两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)，消去参数θ，得圆C 的直角坐标方程为：(x －1)2＋(y －1)2＝2.(2)圆心C 到直线l 的距离d ＝|2－1＋1|22＋(－1)2＝255<2， 所以直线l 和圆C 相交．。

第2讲 参数方程)1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数，从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．2．直线、圆和圆锥曲线的参数方程参数方程与普通方程的互化已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t(t 为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线．【解】 曲线C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，曲线C 2：x 264＋y 29＝1，曲线C 1是以(－4，3)为圆心，1为半径的圆；曲线C 2是中心为坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．将参数方程化为普通方程的方法(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等．对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin 2θ＋cos 2θ＝1等．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解．将下列参数方程化为普通方程．(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3k1＋k 2，y ＝6k 21＋k2； (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－sin 2θ，y ＝sin θ＋cos θ.(1)两式相除，得k ＝y2x，将其代入得x ＝3·y2x1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2x 2， 化简得所求的普通方程是4x 2＋y 2－6y ＝0(y ≠6)．(2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ)，x ＝1－sin 2θ∈，得y 2＝2－x .即所求的普通方程为y 2＝2－x ，x ∈．参数方程的应用(2017·兰州市实战考试)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t y ＝5＋22t (t 为参数)．在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ.(1)写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；(2)若点P 坐标为(3，5)，圆C 与直线l 交于A 、B 两点，求|PA |＋|PB |的值． 【解】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t y ＝5＋22t 得直线l 的普通方程为x ＋y －3－5＝0.又由ρ＝25sin θ得圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－25y ＝0， 即x 2＋(y －5)2＝5.(2)把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得 ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－22t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝5，即t 2－32t ＋4＝0.由于Δ＝(32)2－4×4＝2＞0，故可设t 1、t 2是上述方程的两实数根， 所以t 1＋t 2＝32，t 1·t 2＝4.又直线l 过点P (3，5)，A 、B 两点对应的参数分别为t 1、t 2， 所以|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2.(1)解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上与动点有关的问题，如最值、范围等．(2)根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论： 过定点M 0的直线与圆锥曲线相交，交点为M 1，M 2，所对应的参数分别为t 1，t 2. ①弦长l ＝|t 1－t 2|； ②弦M 1M 2的中点⇒t 1＋t 2＝0； ③|M 0M 1||M 0M 2|＝|t 1t 2|.已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12ty ＝32t(t 为参数)，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ(θ为参数)．(1)设l 与C 1相交于A ，B 两点，求|AB |；(2)若把曲线C 1上各点的横坐标压缩为原来的12，纵坐标压缩为原来的32，得到曲线C 2，设点P 是曲线C 2上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．(1)l 的普通方程为y ＝3(x －1)，C 1的普通方程为x 2＋y 2＝1. 联立方程⎩⎨⎧y ＝3（x －1）x 2＋y 2＝1，解得l 与C 1的交点为A (1，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，则|AB |＝1.(2)C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12cos θy ＝32sin θ(θ为参数)．故点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ，32sin θ.从而点P 到直线l 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪32cos θ－32sin θ－32＝34⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋2，当sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝－1时，d 取得最小值，且最小值为64(2－1)．极坐标方程与参数方程的综合问题(2017·张掖市第一次诊断考试)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－32t y ＝3＋12t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)若P (x ，y )是直线l 与圆面ρ≤4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6的公共点，求3x ＋y 的取值范围．【解】 (1)因为圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6，所以ρ2＝4ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝4ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin θ－12cos θ，所以圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝23y －2x ， 即(x ＋1)2＋(y －3)2＝4.(2)设z ＝3x ＋y ，圆C 的圆心是(－1，3)，半径是2， 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－32t y ＝3＋12t 代入z ＝3x ＋y ，得z ＝－t .又因为直线l 过C (－1，3)，圆C 的半径为2，所以－2≤t ≤2， 所以－2≤－t ≤2，即3x ＋y 的取值范围是．涉及参数方程和极坐标方程的综合问题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ≥0)，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋t cos αy ＝t sin α(t 为参数，0≤α＜π)，射线θ＝φ，θ＝φ＋π4，θ＝φ－π4与曲线C 1分别交于(不包括极点O )点A 、B 、C .(1)求证：|OB |＋|OC |＝2|OA |；(2)当φ＝π12时，B 、C 两点在曲线C 2上，求m 与α的值．(1)证明：依题意|OA |＝4cos φ，|OB |＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π4，|OC |＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π4， 则|OB |＋|OC |＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π4＋4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π4＝22(cos φ－sin φ)＋22(cos φ＋sin φ) ＝42cos φ＝2|OA |.(2)当φ＝π12时，B 、C 两点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3、⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－π6，化为直角坐标为B (1，3)、C (3，－3)，所以经过点B 、C 的直线方程为y －3＝－3(x －1)，而C 2是经过点(m ，0)且倾斜角为α的直线，故m ＝2，α＝2π3.1．(2016·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12ty ＝32t(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．设直线l 与椭圆C 相交于A ，B两点，求线段AB 的长．椭圆C 的普通方程为x 2＋y 24＝1. 将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t代入x 2＋y24＝1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 24＝1， 即7t 2＋16t ＝0， 解得t 1＝0，t 2＝－167.所以AB ＝|t 1－t 2|＝167.2．(2017·广东珠海模拟)在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为ρ2＝4ρ(cos θ＋sin θ)－6.若以极点O 为原点，极轴所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．(1)求圆C 的参数方程；(2)在直角坐标系中，点P (x ，y )是圆C 上一动点，试求x ＋y 的最大值，并求出此时点P 的直角坐标．(1)因为ρ2＝4ρ(cos θ＋sin θ)－6， 所以x 2＋y 2＝4x ＋4y －6， 所以x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0，即(x －2)2＋(y －2)2＝2为圆C 的直角坐标方程．所以所求的圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)．(2)由(1)可得x ＋y ＝4＋2(sin θ＋cos θ)＝4＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4. 当θ＝π4，即点P 的直角坐标为(3，3)时，x ＋y 取得最大值，为6.3．(2015·高考陕西卷)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t (t 为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标． (1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ， 从而有x 2＋y 2＝23y ， 所以x 2＋(y －3)2＝3.(2)设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t ，32t ，又C (0，3)，则|PC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t －32＝t 2＋12， 故当t ＝0时，|PC |取得最小值， 此时，点P 的直角坐标为(3，0)．4．(2017·合肥市第一次教学质量检测)已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t y ＝3＋32t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2－23ρsin θ＝a (a ＞－3)．(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)若曲线C 与直线l 有唯一公共点，求a 的值． (1)由ρ2－23ρsin θ＝a 知其直角坐标方程为x 2＋y 2－23y ＝a ，即x 2＋(y －3)2＝a ＋3(a ＞－3)．(2)将l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t y ＝3＋32t 代入曲线C 的直角坐标方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 2＝a ＋3，化简得t 2＋t －a －2＝0.因为曲线C 与直线l 仅有唯一公共点， 所以Δ＝1－4(－a －2)＝0， 解得a ＝－94.5．(2017·广西第一次质量检测)已知直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos αy ＝1＋t sin α(t 为参数)，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos αy ＝4＋2sin α(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)若直线l 的斜率为2，判断直线l 与曲线C 1的位置关系； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ＜2π)．(1)当斜率为2时，直线l 的普通方程为y －1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋3.①将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos αy ＝4＋2sin α消去参数α，化为普通方程得(x －2)2＋(y －4)2＝4，② 则曲线C 1是以C 1(2，4)为圆心，2为半径的圆，圆心C 1(2，4)到直线l 的距离d ＝|4－4＋3|5＝355＜2，故直线l 与曲线(圆)C 1相交．(2)C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x －8y ＋16＝0x 2＋y 2－4x ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝2，所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，π4.6．(2017·河南省八市重点高中质量检测)已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6.cos θy ＝4sin θ(θ为参数)，在同一平面直角坐标系中，将曲线C 上的点按坐标变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13xy ′＝14y得到曲线C ′.(1)求曲线C ′的普通方程；(2)若点A 在曲线C ′上，点D (1，3)．当点A 在曲线C ′上运动时，求AD 中点P 的轨迹方程．(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6cos θy ＝4sin θ代入⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x y ′＝14y，得曲线C ′的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2cos θy ′＝sin θ，所以曲线C ′的普通方程为x 24＋y 2＝1.(2)设点P (x ，y )，A (x 0，y 0)，又D (1，3)，且AD 的中点为P ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －1y 0＝2y －3，又点A 在曲线C ′上，所以代入曲线C ′的普通方程x 24＋y 2＝1，得(2x －1)2＋4(2y －3)2＝4，所以动点P 的轨迹方程为(2x －1)2＋4(2y －3)2＝4.7．(2017·河南省六市第一次联考)在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t y ＝t －3(t 为参数)，在以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θsin 2θ. (1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求△AOB 的面积． (1)由曲线C 的极坐标方程ρ＝2cos θsin 2θ，得 ρ2sin 2θ＝2ρcos θ，所以曲线C 的直角坐标方程是y 2＝2x .由直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋ty ＝t －3(t 为参数)，得t ＝3＋y ，代入x ＝1＋t 中，消去t 得x－y －4＝0，所以直线l 的普通方程为x －y －4＝0.(2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程y 2＝2x ，得t 2－8t ＋7＝0， 设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝8，t 1t 2＝7，所以|AB |＝2|t 1－t 2|＝2×（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝2×82－4×7＝62， 因为原点到直线x －y －4＝0的距离d ＝|－4|1＋1＝22，所以△AOB 的面积是12|AB |·d ＝12×62×22＝12.8．(2017·福建省毕业班质量检测)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos αy ＝sin α(α为参数)，在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝ 2.(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的倾斜角；(2)设点P (0，2)，直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，求|PA |＋|PB |.(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos αy ＝sin α消去参数α，得x 29＋y 2＝1，即曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.由ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，得ρsin θ－ρcos θ＝2，(*) 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ代入(*)，化简得y ＝x ＋2， 所以直线l 的倾斜角为π4.(2)由(1)知，点P (0，2)在直线l 上，可设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos π4y ＝2＋t sin π4(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t y ＝2＋22t (t 为参数)， 代入x 29＋y 2＝1并化简， 得5t 2＋182t ＋27＝0，Δ＝(182)2－4×5×27＝108＞0， 设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－1825＜0，t 1t 2＝275＞0， 所以t 1＜0，t 2＜0，所以|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝－(t 1＋t 2)＝1825.。

参数方程的应用练习1．过点M (2，1）作曲线C :4cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数)的弦，使M 为弦的中点，则此弦所在直线方程为__________． 2．如图,由圆x 2＋y 2＝9上的点M 向x 轴作垂线，交x 轴于点N ,设P 是MN 的中点，则点P 的轨迹的参数方程是__________．3．点P （x ,y ）在椭圆4x 2＋y 2＝4上，则x ＋y 的最大值为________,最小值为________．4．椭圆x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩，（φ为参数)的焦距是__________．5．参数方程4sin 5cos x y θ,θ=⎧⎨=⎩（θ为参数)表示的曲线为__________． 6．直线cos sin x t y t θ,θ=⎧⎨=⎩(θ为参数，θ∈［0，π))和圆42cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）相切，则θ＝__________。

7．已知A ,B 分别是椭圆221369x y +=的右顶点和上顶点,动点C 在该椭圆上运动,则△ABC 的重心G 的轨迹的参数方程是__________．8．如图，已知椭圆24x ＋y 2＝1上任一点M （除短轴端点外）与短轴两端点B 1,B 2的连线分别交x 轴于P ，Q 两点，求|OP |·|OQ ｜的值．9．设点M (x ，y ）在圆x 2＋y 2＝1上移动,求:(1)点P （x ＋y ，xy )的轨迹；（2）点Q （x （x ＋y )，y (x ＋y ))的轨迹．10．已知双曲线方程为x 2－y 2＝1，M 为双曲线上任意一点,点M 到两条渐近线的距离分别为d 1和d 2，求证:d 1与d 2的乘积是常数．参考答案1。

答案:2x ＋y －5＝0解析：把曲线C 的参数方程化为普通方程为x 2＋y 2＝16,表示圆心在原点，半径r ＝4的圆，∴过点M 的弦与线段OM 垂直．又12OM k =, ∴弦所在直线的斜率为－2，∴直线方程为y －1＝－2（x －2）,即2x ＋y －5＝0。

选修 4－4坐标系与参数方程考点整合1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点， x 轴正半轴作为极轴， 且在两坐标系中取同样的长度单位．设M 是平面内的随意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ， y)和( ρ，θ)，22 2 x ＝ ρ cos ，θρ＝x ＋y，则yy ＝ ρ sin ，θ tan ＝θx2．直线的极坐标方程若直线过点 M(ρ ，θ－ α)．00)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为： ρ sin(－θα)＝ρ0sin( 0θ几个特别地点的直线的极坐标方程：(1) 直线过极点： θ＝ α；(2) 直线过点 M(a,0)(a ＞ 0)且垂直于极轴： ρ cos ＝θa ；π(3) 直线过 M b ， 2 且平行于极轴： ρsin ＝θb.3．圆的极坐标方程若圆心为 M(ρ ， θ的圆方程为： 00)，半径为 r 2－ 2ρ 2－ r 2＝ 0.ρ 0ρ cos(－θθ0)＋ ρ0几个特别地点的圆的极坐标方程(1) 当圆心位于极点，半径为 r ： ρ＝ r ；(2) 当圆心位于 M(r,0) ，半径为 r ：ρ＝ 2rcos ；θπ(3) 当圆心位于 M r ，2 ，半径为 r ： ρ＝ 2rsin θ. 4．直线的参数方程x ＝ x 0＋ tcos α，经过点 P 0(x 0， y 0)，倾斜角为 α的直线的参数方程为(t 为参数 )．y ＝ y 0＋ tsin α设 P 是直线上的任一点，则 →t 表示有向线段 P 0P 的数目．5．圆的参数方程x ＝x 0 ＋rcos θ， ( θ为参数， 0≤θ＜ 2π)． 圆心在点 M(x 0， y 0)，半径为 r 的圆的参数方程为y ＝ y 0＋ rsin θ6．圆锥曲线的参数方程x2y2x＝ acos，θ22y＝ bsin ( θ为参数 )．(1) 椭圆a＋b＝ 1(a＞ b＞ 0)的参数方程为θx 2y2a，x＝cosθ( θ为参数 )．(2) 双曲线a2－b2＝ 1(a＞ 0， b＞ 0)的参数方程为y＝ btanθx＝2pt 2，(3) 抛物线 y2＝ 2px(p ＞0) 的参数方程为(t 为参数 )．y＝ 2pt种类一曲线的极坐标方程[ 例 1] (2016高·考全国甲卷 )在直角坐标系xOy 中，圆 C 的方程为 (x＋ 6)2＋y2＝ 25.(1) 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴成立极坐标系，求 C 的极坐标方程；(2) 直线 lx＝ tcos，α与 C 交于 A，B 两点， |AB|＝10，求 l 的参数方程是(t 为参数 )， ly＝ tsinα的斜率．解： (1)由 x＝ρcos ，θy＝ρsin 可θ得圆 C 的极坐标方程为2ρ＋ 12ρcos ＋θ11＝ 0.x＝tcos，αy＝x· tan (2) 由直线 l 的参数方程(t 为参数 )，消去参数得α.y＝ tsinα设直线 l 的斜率为 k，则直线 l 的方程为 kx － y＝ 0.由圆 C 的方程 (x＋ 6)2＋ y2＝ 25 知，圆心坐标为 (－ 6,0)，半径为 5.|－ 6k|2又 |AB| ＝10，由垂径定理及点到直线的距离公式得＝ 25－102，即36k2＝90，1＋ k221＋ k4整理得 k2＝5，解得 k＝±15，3315即 l 的斜率为±3 .[ 解后反省 ]由圆的直角坐标方程化为极坐标方程，其方法就是把x＝ρ cosθ，y＝ρ sinθ代入圆的方程，依据三角函数公式整理．x＝ acos t，)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 (t 为参y＝1＋ asin t数， a>0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ.(1)说明 C1是哪一种曲线，并将 C1的方程化为极坐标方程；(2) 直线 C3的极坐标方程为θ＝α，此中α知足 tanα＝ 2，若曲线 C与 C的公共点都在C300012上，求 a.解： (1)消去参数 t 获得 C1的一般方程为x2＋ (y－1) 2＝ a2，则 C 1 是以 (0,1) 为圆心， a 为半径的圆．将 x ＝ ρcos ，θy ＝ρsin 代θ入 C 1 的一般方程中，获得 C 1 的极坐标方程为 22ρ－ 2ρsin ＋θ1－ a＝ 0.(2) 曲线 C 1， C 2 的公共点的极坐标知足方程组22ρ－ 2ρsin ＋θ1－ a ＝ 0， ρ＝ 4cos θ.若 ρ≠0，由方程组得 16cos 2θ－ 8sin θ cos ＋ 1θ－ a 2＝ 0，由已知 tan θ＝ 2，可得 16cos 2θ－ 8sin θ cos ＝ 0θ，进而 1－ a 2＝ 0，解得 a ＝－ 1(舍去 )或 a ＝1.当 a ＝ 1 时，极点也为 C 1， C 2 的公共点，且在C 3 上．∴ a ＝ 1.种类二参数方程[ 例 2] (2016 高·考全国丙卷 )在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 1 的参数方程为x ＝ 3cosα，( αy ＝ sin α为参数 )．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，成立极坐标系，曲线C 2 的极坐标方π程为 ρsin θ＋4 ＝ 2 2.(1) 写出 C 1 的一般方程和 C 2 的直角坐标方程；(2)设点 P 在 C 1上，点 Q在 C 2 上，求 |PQ|的最小值及此时 P 的直角坐标．x 22解： (1)C 1 的一般方程为3 ＋ y ＝ 1.C 2 的直角坐标方程为x ＋ y －4＝ 0.(2) 由题意，可设点 P 的直角坐标为 ( 3cos α，sin α)．由于 C 2 是直线，所以 |PQ|的最小值即为 P 到 C 2 的距离 d( α)的最小值，| 3cos ＋α sin －α4|2 sin α＋π π d( α)＝＝ 3－2 ，当且仅当 α＝ 2k π＋ (k ∈Z) 时，d( α)获得最小262，此时 P 的直角坐标为 3 1 值，最小值为 2， 2 .[ 解后反省 ] 由参数方程化为一般方程就是 “消去参数 ”，可依据三角公式消参，也可利用代入法消参．2．在直角坐标系xOy中，曲线C 1：x ＝ tcos y ＝ tsin，α α(t为参数，t ≠0)，此中 0≤α＜ π.在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2： ρ＝ 2sin θ， C 3： ρ＝23cosθ.(1) 求 C 2 与 C 3 交点的直角坐标；(2) 若 C 1 与 C 2 订交于点 A ， C 1与 C 3 订交于点 B ，求 |AB| 的最大值．解： (1)曲线 C 2 的直角坐标方程为x 2＋ y 2－ 2y ＝ 0，曲线 C 3 的直角坐标方程为 x 2＋y 2－2 3x＝ 0.x2＋ y2－ 2y ＝ 0，3，x＝ 0，或x＝2联立解得y＝0，3 x2＋ y2－ 23x＝0，y＝2.所以 C2与 C3交点的直角坐标为(0,0)和3， 3.22(2)曲线 C1的极坐标方程为θ＝α( ∈ρR，ρ≠，0)此中 0≤α＜π.所以 A 的极坐标为 (2sin ，αα)， B 的极坐标为(2 3cos，αα)．所以 |AB| ＝ |2sin－α23cos α|π＝4 sin α－3 .当α＝5π时， |AB| 获得最大值，最大值为 4. 6。