数值分析高斯型求积公式

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高斯求积公式

x xj xi xj
ji
高斯求积公式具有较高的代数精度((2n+1)阶）, 并且是数值稳定的.
三、几种常见的高斯求积公式
1.高斯-勒让德求积公式
取( x) 1,积分区间为[1,1]上的高斯求积公式
称为高斯－勒让德公式。
1
f ( x)dx
1
n
i f ( xi )
i0
xi 勒让德多项式的零点
式 Ln( x)，
由插值原理，可用插值多项式Ln( x)作为 f ( x)的近似，由于多项式求导较为简单，
f (k ) ( x) L(nk ) ( x) (k 1,2, , n) 这样建立的数值微分公式称为插值型数值微分公式。
应当指出，即使 f (x) 与 Ln( x)处处相差不多， f ( x) 与 Ln ( x) 在某些点仍然可能出入很大.
f
( x0 )
+
1
f
( x1 )
令f ( x) 1, x, x 2 , x 3 使上式成立，得非线性方程组
0＋1＝2
0
x0
+ 1 x1
0
0
x
2 0
0
x03
+ 1 x12 + 1 x13
2
3 0
0 1
1 1
x0
3 3
x1
3 3
由此得两点公式
1
f ( x)dx f (
3)+ f(
以高斯点 xk (k 0,1, , n)为零点的 n+1次多项式，
pn+1( x) ( x x0 )( x x1 ) ( x xn )
称为勒让德(Legendre)多项式。

高斯求积公式-数值分析课程设计2

一、引言介绍高斯型求积公式，并使用其求积分⎰=1sin I xdx 。

要求：数值实验结果要体现出随高斯点的增加误差的变化。

我们知道,求积公式⎰∑=≈bani i ix f Adx x f 0)()( （1.1）含有22+n 个待定常数i x 及),,2,1,0(n i A i =,如果它具有n 次代数精确度,则它应使1+m 个方程mk dx x x A bakni ki i ,,2,1,0,==⎰∑= (1.2)精确成立。

作为插值型求积公式(1.1)它至少具有n 次代数精确度；另一方面,令)())(()(101n n x x x x x x x ---=+ ω,则对22+n 次多项式)()(21x x f n +=ω而言，(7.5.1)右端为零,而左端严格大于零,即(7.5.1)式对22+n 次多项式)(21x n +ω不准确成立。

但要确定方程组(7.5.2)中的22+n 个待定常数i x 与i A ,最多需要给出22+n 个独立条件,所以m最大取12+n 。

因此,插值型求积公式(1.1)的代数精确度最小是n ,最大是12+n ．由此可见，高斯公式的代数精度比牛顿-科特斯公式高，求解高斯求积公式的关键就是解出上述2n+2个待定常数。

为解决上述问题，首先要先给出三个定理：定理一：以n x x x ,,,10 为节点的插值型求积公式(7.5.1)具有12+n 次代数精确度的充要条件是以这些节点为零点的多项式)())(()(101n n x x x x x x x ---=+ ω与任意次数不超过n 的多项式)(x P 均在区间],[b a 上正交,即⎰=+ban dx x x P 0)()(1ω (1.3)定理二：高斯公式(1.1)的求积系数k A 全为正,且nk dx x l dx x l A bak bak k ,1,0,)()(2===⎰⎰(1.4)定理三：对于高斯公式(1.1),其余项为dxx fn f R ban n ⎰+++=)()()!22(1)(21)22(ωη (1.5)其中).())(()(],,[101n n x x x x x x x b a ---=∈+ ωη证明以n x x x ,,,10 为节点构造)(x f 的埃尔米特插值多项式)(x H),()(i i x f x H = ni x f x H i i ,1,0),()(='='因为)(x H 是12+n 次多项式,而它的余项是)()()!22(1)()(21)22(x fn x H x f n n +++=-ωξ所以高斯公式(7.5.1)对)(x H 能准确成立,即∑∑⎰====ni i in i iibax f Ax H A dx x H 0)()()(从而dxx fn dxx H dx x f x f A dx x f f R n ban babani i i ba)()()!22(1)()()()()(21)22(0++=⎰⎰⎰∑⎰+=-=-=ωξ若)()22(x fn +在区间],[b a 上连续,由于)(21x n +ω在],[b a 上不变号,故应用积分中值定理可得],[,)()()!22(1)(21)22(b a dx x fn f R ban n ∈+=⎰++ηωη上述定理说明,与牛顿—科兹公式进行比较,高斯公式不但具有高精度,而且它还是数值稳定的,但是节点和求积系数的计算比较麻烦。

数值分析课件高斯求积公式

1
1
1 f ( x)dx A0 f (
求 A0 , A：1
3 ) A1 f (
) 3
令 f ( x) ，1,代x入公式精确成立，得到： A0 A1 1
或
1
1
A0 1 l0 ( x)dx 1, A1 1 l1( x)dx 1
两点Gauss-Legendre求积公式
3次代数精度
1
1
1
一、 Gauss积分问题的提法
n
积分公式的一般形式： In ( f ) Ak f ( xk ) k0
➢为了提高代数精度，需要适当选择求积节点:
①当求积节点个数确定后，不管这些求积节点如何选
取，求积公式的代数精度最高能达到多少？2n 1
②具有最高代数精度的求积公式中求积节点如何选取？
n 个1求积节点， n个求1 积系数，共个2n未知2量，需要
f p max f p axb
则Gauss型求积公式（*）是收敛的。
证明：由Weierstrass定理知对 0
存在m次多项式 p( x满)足
下证 N , 当 n 时N
f
p 2
b
( x)dx
a
b
n
f ( x)( x)dx
a
Ak f ( xk )
k0
b
n
f ( x)( x)dx
➢ Gauss-Chebyshev求积公式
(x)
1
n
f ( x)( x)dx
1
Ak f ( xk )
k0
1 1 x2
其中求积节点
多项式的零点
xk
n [a, b] 是n+1次Chebyshev
k0

数值分析(高斯求积公式)

2
推论 Gauss求积公式是稳定的. 定理3. 6.4
设f x C a , b , 则Gauss求积公式是收敛的,即
lim Ak f xk f x dx
b n k 0 a
n
常用的Gauss求积公式
1. Gauss－Legendre求积公式取权函数 ( x ) 1,? 积分区间[a , b] [1,1], Gauss点为Legendre多项式的零点, 则得到 Gauss Legendre求积公式 :
例3.6.1
1
取 ( x ) 1, 积分区间为[1,1], 求x0 , x1和A0 , A1，使
1
求积公式 f x dx A0 f x0 A1 f x1 为Gauss求积公式. 解法二：
注意到f xk q xk 2 xk r xk r xk , k 0,1.
两端ai i 0,1,2,, m 的系数相等。即
A0 A1 A2 An 0 ,
其中，i x i ( x )dx .
a
b
A0 x0 A1 x1 A2 x2 An xn 1 ,
2 2 2 2 A0 x0 A1 x1 A2 x2 An xn 2 ,
则有 f x dx q x 2 x dx r x dx， 3.6.8
1 1 1 1 1 1
注意到r x 是一次式，故对求积公式准确成立，即
r x dx A r x A r x .
1 1 0 0 1 1
b a k 0
n
k
f ( xk )
的余项为
R

数值分析19Gauss积分

数值分析
上式共有 r +1个等式，2n+2个待定系数(变元),要想如上方程组有唯一解，应有方程的个数等于变元的个数, 即 r+1=2n+2, 这样导出求积公式的代数精度至少是 2 n+1,下面证明代数精度只能是2n+1.
事实上,取 2n+2次多项式g(x)=(x-x0)2(x-x1)2….(x-
数值分析
可查表得到ti和Ai ,(i 0,1, 2, 3)
原积分
1
11
f ( x)dx F (t)dt
0
2 1
1 2
(
A0F (t0
)
A1F
(t1 )
A2F
(t2
)
A3F
(t3
))
1
1
1
1
2
( A0
f
( 2
(1
t0 ))
A1
f
(
2
(1
t1 ))
A2
f
( 2
(1
t2 ))
1
A3 f ( 2 (1 t3 )))
为Gauss型求积公式。
解：先作变量代换
x 1 (a b) 1 (b a)t 1 (1 t), dx 1 dt
2
2
2
2
于是
1 f ( x)dx 1
1
f
(
1
(1
t
))dt
1
1
F (t)dt
0
2 1 2
2 1
由两点Gauss Legendre求积公式
1
F(t)dt F(0.577) F(0.577)
2
)
5

数值分析-高斯求积分

有（插值节点为x1
3 5 , x2 0, x3
3） 5
1
A1 A2 +A3
dx
1
A1 x1 A2 x2 +A3 x3
A1 x12 A2 x22 +A3 x32
2
1
xdx 0
1

x 2dx
2
1
3
解得 :
A1
5 9
,
A2
8 9
,
A3
3点Gauss型求积公式为：
1
f ( x)dx
1
5 f( 9
3 ) 8 f (0) 59
I sin tdt sin
dx
若用n=0 2的Gaus4s-L1egend4re公式，则
I
4
sin4
(1
0.5773503)
4
sin4
(1.5773503)
0.9984725
例题2
若用n=3的Gauss-Legendre公式，则
I 0.5555556 f (0.7745967) 0.8888889 f (0) 0.5555556 f (0.7745967)
5 9
5 f( 3) 95
例题1
1
例例11 用高斯—勒让德求积公式计算 cos xdx
使其具有五次代数精度。 1
解：用三个节点的高斯—勒让德公式
1
51
8
51
f ( x)dx f ( 15) f (0) f ( 15),
1
95
9
95
5 0.5556, 8 0.8889,cos( 1 15) cos(1 15) 0.7147
多项式，即若p( x)为一个不超过n-1次得多项式，则

4.3高斯型求积公式

k 0
n
P( x) 在积分区间上均正交，即 n 1 ( x) P ( x)dx = 0
a
b
Gauss求积公式的特点： 1. 代数精度达到最高2n+1(针对n+1个节点而言) 2. 高斯点xk 是[a,b]上的n+1次正交多项式Pn 1 ( x )的根)
定理4-2：带权插值求积公式 a ( x ) f ( x )dx Ak f ( xk ) 其结点 xk
n
来说，不管在积分区间上的 n 1 个插值结点 xk 如何选取，其代数精度至少为 n ；而只要选取合适的 xk 与 Ak，此插值求积公式的代数精度达到最大。
对于给定的求积节点,代数精度最高的求积公式是插值型求积公式. 事实上,插值型求积公式的代数精度完全由求积节点的分布所决定. 节点数目固定后, 节点分布不同,所达到的代数精度也不同.
1 1 x 2
3. Gauss - Chebyshev求积公式以 Tn 1 ( x ) 的 n 1 个零点作为区间 [ 1,1] 上的带权高斯点，其带权插值求积公式
n 1 1 Ak f ( xk ) 1 1 x f ( x )dx k =0 (2k 1) 为Tn 1的零点, xk cos 2n 2 1 1 Ak 1 1 x lk ( x )dx n 1
a n n k 0 b 2 ( x xn )]2 n 1 ( x )
而数值积分
2 I n Ak f ( xk ) Ak n 1 ( xk ) 0 k 0
故最高可能代数精度为2n+1.
高斯求积公式
定义4-1：如果求积公式 a f ( x)dx Ak f ( xk ) 对于

gauss型求积公式

gauss型求积公式一、Gauss型求积公式的基本概念。

1. 定义。

- 在数值积分中，Gauss型求积公式是一种高精度的求积公式。

对于积分∫_a^bf(x)ρ(x)dx（其中ρ(x)为权函数），Gauss型求积公式的形式为∫_a^bf(x)ρ(x)dx≈∑_i = 1^nA_if(x_i)。

这里x_i称为求积节点，A_i称为求积系数，n为求积公式的节点个数。

2. 特点。

- 高精度：Gauss型求积公式具有很高的代数精度。

对于n个节点的Gauss型求积公式，其代数精度为2n - 1。

这意味着对于次数不超过2n-1的多项式f(x)，该求积公式能精确成立，即∫_a^bP_m(x)ρ(x)dx=∑_i = 1^nA_iP_m(x_i)，其中m≤slant2n - 1，P_m(x)是m次多项式。

- 节点分布：Gauss型求积公式的节点x_i不是等距分布的。

这些节点是关于权函数ρ(x)正交的多项式的零点。

例如，当ρ(x) = 1，[a,b]=[- 1,1]时，对应的正交多项式是勒让德多项式P_n(x)，Gauss型求积公式的节点就是勒让德多项式的零点。

二、求积节点与求积系数。

1. 求积节点的确定。

- 以勒让德 - Gauss求积公式为例（ρ(x)=1，[a,b]=[-1,1]），求积节点x_i是勒让德多项式P_n(x)的零点。

勒让德多项式P_n(x)可以通过递推公式(n + 1)P_n +1(x)=(2n + 1)xP_n(x)-nP_n - 1(x)，P_0(x)=1，P_1(x)=x来计算。

通过求解P_n(x)=0得到求积节点x_i。

2. 求积系数的计算。

- 求积系数A_i可以通过多种方法计算。

一种常见的方法是利用正交性条件。

对于勒让德 - Gauss求积公式，求积系数A_i可以通过公式A_i=(2)/((1 -x_i)^2)[P_{n'(x_i)]^2}计算，其中P_n'(x)是勒让德多项式P_n(x)的导数。

数值分析4-5(高斯公式)

06
所建立的高斯公式为
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
07
切比雪夫—高斯公式
08
xk是切比雪夫多项式的零点
构造高斯公式的一般方法是
注意：
待定系数法
01
02
03
04
05
举例
要构造下列形式的高斯公式
解
则其代数精度应为
即
感谢各位的观看
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简约风工作总结
单击此处添加副标题
202X/XX/XX
汇报人姓名
定义：高斯公式
机械求积公式
含有2n+2个待定参数
若适当选择这些参数使求积公式具有2n+1次代数精度，则这类公式称为高斯公式。
(4.1)
一、高斯点
01
02
03
04
定义：高斯点
???
请回答:
求出ωn+1(x)的n+1个零点就是高斯点。 [-1，1]上与所有次数不超过0的多项式都正交的多项式ω1(x)=？
解：设P0(x)=C，ω1(x)= x – x0。由于
即
展开，得
则一个点的高斯公式为
中矩形公式
壹
贰
叁
特殊地若取P1(x) = x 的零点x0 = 0 作节点构造求积公式
令它对 f(x) = 1准确成立，即可定出A0 = 2.
即一点高斯公式为
中矩形公式
令它对 f(x) = 1, x 准确成立，即可定出A0 ,A1
可得两点高斯—勒让得公式为
再取的零点作节点构造求积公式
注：其它的高阶公式详见书。
即
2n+1
n+1
n
n

数值分析4。4高斯型求积公式

1 n ik
2 或可证得 Ak 1 xk2 [ Pn1 ( xk )]2
, k 0,1,
,n
高斯-勒让德求积公式的余项为
22n3[(n 1)!]4 (2 n 2) R[ f ] f ( ), (1,1) 3 (2n 3)[(2n 2)!]
华长生制作
此定积分的精确值为 I=e-2=0.718281828,得n=1时的误差为 0.0063340054, n=2时的误差为0.000030049。
华长生制作 17
2.高斯-切比雪夫求积公式
在区间[-1,1]上取权函数 x
多项式。n+1次Chebyshev多项式
1 1 x2
的正交多项式是Chebyshev正交
i 2 ,3 , , n
Ax b 4.4 高斯型求积公式
在Newton-Cotes求积公式中,节点是等距的, 从而限制了求积公式的代数精度.下面的讨论将取消这个限制条件,使求积公式的代数精度尽可能高.首先以简单情形论证这样做是可行的,然后给出概念和一般理论。
华长生制作
2
例确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽 1 量高。

b
a
x f x dx a x Qx dx
b
由于是插值型求积，它对于Q(x)能准确立即
华长生制作 8
即
x Q x dx A Q x
b a k 0 k k
n
注意到 n1 xk 0 知
Qxk f xk
推论
n+1次正交多项式的零点是n+1点Gauss公式的Gauss点
。
利用正交多项式得出Guass点 x0 , x 1 , xn

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∫ ∑ b
n
a
f ( x) dx ≈ Ai f ( xi )
i=0
注：(1)Gauss求积公式仍然是插值型求积公式； (2)Gauss系数可通过Gauss点和Lagrange基函数得到；
高斯点的确定
定理节点 xi (i = 0, 1, … , n) 是求积公式(2-30)的Gauss
点的充要条件是：多项式
∫ I = 1 (π )3(1+ t)2 cos π (1+ t)dt
−1 4
4
例题2
套用三点高斯公式计算积分
∫ I =
31 dx
1x
解作变换x=2+t将积分区间变到[-1，1]，然后套用三点高斯高斯公式有
∫1
I=
1 dt ≈ 5 ×
1
+ 8×1+ 5×
1
−1 2 + t
9 2− 3 Leabharlann 2 9 2+ 3插值型的求导公式
问题：已知 f (x) 在节点 x0 , … , xn 上的函数值，如何计算在这些节点处导数的近似值？
方法：插值型数值微分
先构造出 f (x) 的插值多项式 pn(x) ，然后用 pn(x) 的导数来近似 f (x) 的导数。
插值型的求导公式的误差
多项式插值余项
∏ f ( x) − Pn( x) =
0.0000000
±0.93246951 ±0.66120939 ±0.23861919
1.0000000
0.5555556 0.8888889
0.3478548 0.6521452
0.2369269 0.4786287 0.5688889
0.17132449 0.36076157 0.46791393
∫ ∑ ∫ ∏ R[ f ] =
1
n
−1
f
(x)
dx
−
i=0
ωi
f
( xi )
=
f (2n+2) (η )
(2n + 2)!
1 −1
n i=0
(x −
xi )2
dx
证明：以 x0 … xn 为节点，构造 f (x) 的 2n+1 次Hermite插值
多项式 H(x)，满足
H ( xi ) = f ( xi ), H'( xi ) = f'( xi ), (i = 0, 1, … , n)
∫ ∑ b
n
a f (x)dx≈ i=0 Ai f (xi )
对任意次数不大于n 的多项式 p (x)， p (x) w(x) 的次数不大
于 2n+1，则代入公式应精确成立：
∫ ∑ 9 b
n
0
a p( x )w( x )dx = i=0 Ai p( xi )w( xi ) = 0
“⇐” 要证明 x0 … xn 为 Gauss 点，即要证公式对任意次数不大于2n+1 的多项式 p(x) 精确成立，即证明：
插值余项为
∏ f ( x) − H ( x) =
f (2n+2) (ξ x )
(2n + 2)!
n
( x − xi )2, ξx ∈ (-1,1)
i=0
上式两边积分得
G-L 公式的余项（续）
∫ ∫ ∫ ∏ 1 f ( x) dx −
−1
1 −1
H
(
x)
dx
=
1 (2n +
2)!
1 −1
f (2n+2) (ξ x )
第2章数值积分与数值微分
高斯型求积公式
高精度的求积公式
考虑积分
∫b
I = f (x) dx a
能否利用 n+1 个节点 x0 ,… , xn 构造出具有 2n+1 次
代数精度的求积公式？
∫ ∑ b
n
a
f ( x) dx ≈ Ai f ( xi )
i=0
将节点 x0 , … , xn 以及系数 A0 , … , An 都作为待定系数。令 f (x) = 1, x, x2, …, x2n+1 代入可求解，得到的公
n i=0
(x −
xi )2
dx
由于G-L求积公式具有 2n+1 次代数精度，故
∫ ∑ ∑ 1
n
n
H ( x) dx
−1
≈
i=0
Ai H ( xi )
=
i=0
Ai
f (xi )
所以
1
n
∫ ∫ ∑ ∏ R[
f
]= =
f(
−1
1 (2n +
x) 2)
dx −
1
! −1
ωi f ( xi )
i=0
f (2n+2) (ξ x )
G-L求积公式的优点：
计算精度高；可计算无穷区间上的积分和奇异积分。
G-L求积公式的缺点：
需计算Gauss点和Gauss系数；增加节点时需重新计算。高斯求积公式的求积系数全是正的,且是稳定的算法
例题1
用4点（n=3）的高斯-勒让德求积公式计算
π
∫ I = 2 x2 cos xdx 0
解先将区间[0，π/2]化为[-1，1]，可以得到
∫ ∑ b
n
a
f ( x) dx ≈ Ai f ( xi )
i=0
的代数精度不超过 2n+1。
即Gauss公式是插值型求积公式中代数精度最高的。
Gauss-Legendre 公式
设 f (x) ∈C[-1, 1] ，考虑 Gauss型求积公式
∫ ∑ 1
n
−1
f
( x) dx
≈
i=0
Ai
f
( xi
ωAii f
b
− 2
a
xi
+
b
+ 2
a
其中 xi 和 Ai 分别为 Gauss点和 Gauss系数。
G-L 公式的优缺点
与前面求积方法的比较
9复合梯形公式：用了 210+1 个节点达到 7 位有效数字 9Romberg公式：用了 9 个节点达到 7 位有效数字 9G-L公式：用了 3 个节点达到 7 位有效数字
三点公式（等距）
等距三点公式：
n = 2，步长 h ，节点 xi = x0 + ih ，i = 0, 1, 2
P2( x) =
(x ( x0
− −
x1)( x − x2) x1)( x0 − x2)
f (x0)
+
(x − ( x1 −
x0)(x − x2) x0)( x1 − x2)
f ( x1) +
n = 1: Pn+1(x) = (3x2 - 1)/2, x0 = −1 3 , x1 = 1
3 ,ω0=ω1=1
∫ ∑ 1
n
−1
f ( x) dx ≈
i=0
Ai f ( xi ) =
f (−1/
3) + f (1 /
3)
n = 2: Pn+1(x) = (5x3 - 3x)/2,
两点G-L公式
( ) ( ) ∫1 f (x) dx ≈ 5 f
f (n+1)(ξ x )
(n + 1)!
n
(xi − x j)
j=0
ξx ∈ (x0 , xn)
j≠i
两点公式
两点公式（等距）：
n = 1，节点 x0 , x1 ，步长 h = x1 - x0
P1( x) =
x − x1 x0 − x1
f (x0) +
x − x0 x1 − x0
f ( x1)
计算导数值 f′（a），首先必须选取合适的步长.为此需要进行误差分析.分别将 f（a ±h）在 x=a 泰勒展开有
中点公式的误差
代入上式得
由此得知，从截断误差的角度来看，步长越小，计算结果越准确.且
f ′( a ) − G ( h ) ≤ h 2 M 6
其中 M ≥ max f ′′′ ( x ) x−a ≤h
一般区间上的 G-L 公式
设 f (x) ∈C[a, b]
作变量替换 x = (b- a) t/2+(b + a)/2，则 t ∈ [-1, 1]
( ) ∫ ∫ b f ( x) dx =
1
f
b−at + b+a
i b − a dt
a
−1
2
2
2
∫ ∑ ( ) b a
f
(x)
dx
≈
b
−a 2
n i=0
当 n > 3 时，可用数值方法计算 Pn+1(x) 的零点 (mygl.m)
n 节点个数
Gauss点
Gauss系数
0
1
0.0000000
2.0000000
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
±0.5773503
±0.7745967 0.0000000
±0.8611363 ±0.3399810 ±0.9061798 ±0.5384693
n i=0
(x −
xi )2
dx
∫ ∏ 9 积分中值定理
=
f (2n+2) (η )
(2n + 2)!
1 −1
n i=0
(x
−
xi )2
dx，η
∈