山东科技大学2015—2016学年第 一 学期
《高等数学》期中考试试卷
班级 姓名 学号
一、填空题（每小题5分，共15分）
1.
设lim )0,x ax b →-∞
-=则a =_________，b =________。
2. 设()sin
cos 22
x
f x x =+,(27)()f π=___________。 3.已知2)3(='f ，则h
f h f h 2)
3()3(lim
0--→= 。
二、单项选择题（每小题5分，共15分）
1. 当0x →时，变量211
sin x x
是（ ）
()A 无穷小 ()B 无穷大
()C 有界但不为无穷小 ()D 无界但不为无穷大
2. x
x
x +-=
11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有（ ） （A ）α是比β高阶的无穷小 （B ）α是比β低阶的无穷小 （C ）α与β同阶无穷小，但不等价 （D ）βα~
3. )(6
1sin 43
x R x x x +-
=其中=)(4x R ( ) （A ）
5!5cos x ξ- （B ）5
!5cos x ξ （C ）5!5sin x ξ （D ）5
!
5sin x ξ-（上述各式中ξ介于0与x 之间）
三、计算题（每小题8分，共40分）
1. 求极限 x x x e e x
x x cos sin lim tan 0--→。
2. 求极限 x
x x
x )121lim
2+-∞
→（。 3. 讨论2
cos
2(1)
x
y x x π=
-的连续性，若有间断点判断其类型，如是可去间断点补充定义使其连续。 4.
设ln arctan x y t
⎧⎪=⎨=⎪⎩ 22d y dx 。
5. 设()y y x =由方程2610y e xy x ++-=所确定，求
''(0)y 。
四、解答题（共10分）
设()()sin f x x x ϕ=，其中()x ϕ的一阶导数连续，且 (0)0ϕ=，'(0)0ϕ=，试判断()f x 在
0x =处是否二阶可导。
五、证明题（每小题10分，共20分）
1.设函数()f x 在(,)-∞+∞内二阶可导,且()1,f x ''>0
()
lim
2,x f x x
→= 试证明：2
1()22
f x x x ≥+
。 2．设函数()f x 在[,]a b 上有二阶导数,()()f a f b =,试证：在(,)a b 内至少存在一点ξ,使得
2()
()f f b ξξξ
'''=
- 。
