[高二数学]高中数学§4《反证法》教案北师大版选修1-2

《反证法》教学设计一1．教学目标：知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点。

过程与方法: 多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

2.教学重点：了解反证法的思考过程、特点3. 教学难点：反证法的思考过程、特点4．教具准备：与教材内容相关的资料。

5．教学设想：利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。

6．教学过程:学生探究过程：综合法与分析法归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。

推理必须严谨。

导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。

上，都需要翻转奇数次，所以 3 枚硬币全部反面朝上时，需要翻转 3 个奇数之和次，即要翻转奇数次．但由于每次用双手同时翻转 2 枚硬币， 3 枚硬币被翻转的次数只能是 2 的倍数，即偶数次．这个矛盾说明假设错误，原结论正确，即无论怎样翻转都不能使 3 枚硬币全部反面朝上．一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法 ( reduction to absurdity ) .例1、已知直线,a b 和平面，如果,a b αα⊄⊂，且||a b ，求证||a α。

证明：因为||a b , 所以经过直线a , b 确定一个平面β。

因为a α⊄，而a β⊂，所以 α与β是两个不同的平面．因为b α⊂，且b β⊂，所以b αβ=. 下面用反证法证明直线a 与平面α没有公共点．假设直线a 与平面α有公共点P ，则P b αβ∈=，即点P 是直线 a 与b 的公共点，这与||a b 矛盾．所以 ||a α.点评：线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．推理模式：,,////a b a b a ααα⊄⊂⇒．例2、求证：2不是有理数分析：直接证明一个数是无理数比较困难，我们采用反证法．假设2不是无理数，那么它就是有理数．我们知道，任一有理数都可以写成形如m n（,m n 互质， *,m Z n N ∈∈”的形式．下面我们看看能否由此推出矛盾．正是2的发现，使人们认识到在有理数之外，还有一类数与 1 是不可公度的，这就是无理数；从而引发了数学史上的第一次危机，大大推动了数学前进的步伐。

3 反证法（二）一、提出问题二、反证法定义问题1、任找370个人，他们中生日有没有相同的呢？问题2、将9个球分别染成红色或白色，无论怎样染，至少有5个球是同色的，你能证明这个结论吗？思考：通过以上几个练习，大家已经初步体会到反证法的作用，你能不能总结一下应用反证法的概念及其步骤？例1、已知直线,a b和平面α，如果,a bαα⊄⊂，且||a b，求证||aα。

解析：让学生理解反证法的严密性和合理性；证明：因为||a b,所以经过直线 a , b 确定一个平面β。

因为aα⊄，而aβ⊂，所以α与β是两个不同的平面．因为bα⊂，且bβ⊂，所以bαβ=.下面用反证法证明直线a与平面α没有公共点．假设直线a 与平面α有公共点P，则P bαβ∈=，即点P是直线a 与b的公共点，这与||a b矛盾．所以||aα.1：反证法的概念：假设原命题不成立，经过正确的推理,最后得出矛盾，因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的的证明方法叫反证法．2：反证法的基本步骤： 1）:假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；2）:从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；3）:从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.3：应用反证法的情形：1）：直接证明困难；2）：需分成很多类进行讨论；3）：结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个”类命题； 4）：结论为“唯一”类命题；例2、求证：2不是有理数解析：直接证明一个数是无理数比较困难，我们采用反证法．假设2不是无理数，那么它就是有理数．我们知道，任一有理数都可以写成形如mn（,m n互质，*,m Z n N∈∈”的形式．下面我们看看能否由此推出矛盾．从实际生活的例子出发，使学生对反证法的基本方法和步骤有一个更深刻的认识。

直观了解反证法的证明过程。

否定结论，推出矛盾。

提醒学生：使用反证法进行证明的关键是在正确的推理下得出矛盾。

这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等。

3。

3反证法教学过程:提出问题：问题1：桌面上有3枚正面朝上的硬币，每次用双手同时翻转2枚硬币，那么无论怎么翻转,都不能使硬币全部反面朝上.你能解释这种现象吗？学生尝试用直接证明的方法解释。

采用反证法证明：假设经过若干次翻转可以使硬币全部反面向上，由于每枚硬币从正面朝上变为反面朝上都需要翻转奇数次，所以3 枚硬币全部反面朝上时，需要翻转3 个奇数之和次，即要翻转奇数次．但由于每次用双手同时翻转2 枚硬币, 3 枚硬币被翻转的次数只能是2 的倍数，即偶数次．这个矛盾说明假设错误，原结论正确,即无论怎样翻转都不能使3 枚硬币全部反面朝上．问题2：A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。

则C必定是在撒谎，为什么？分析：假设C没有撒谎, 则C真。

那么A假且B假;由A假, 知B 真. 这与B假矛盾。

那么假设C没有撒谎不成立;则C必定是在撒谎。

推进新课在解决某些数学问题时，我们会不自觉地使用反证法反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设,然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设,达到肯定原命题正确的一种方法。

三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容四、例题讲解：例1、已知直线,a b 和平面α，如果,a b αα⊄⊂，且||a b ，求证||a α。

解析:让学生理解反证法的严密性和合理性；证明：因为||a b ,所以经过直线a ， b 确定一个平面β。

因为a α⊄，而a β⊂，所以 α与β是两个不同的平面．因为b α⊂，且b β⊂，所以b αβ=.下面用反证法证明直线a 与平面α没有公共点．假设直线a 与平面α有公共点P ,则P b αβ∈=，即点P 是直线 a 与b 的公共点，这与||a b矛盾．所以 ||a α. 点评：用反证法的基本步骤：第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；第二步 作出与所证不等式相反的假定；第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果;第四步 断定产生矛盾结果的原因,在于开始所作的假定不正确，于是原证不等利变式训练1。

高中数学《反证法》教案(北师大版选修)一、教学目标1.理解并掌握反证法的基本概念和应用方法；2.能够熟练运用反证法解决数学问题；3.培养学生逻辑思维和推理能力；4.培养学生批判性思维和解决问题的能力。

二、教学重点和难点2.1 教学重点1.反证法的基本概念和原理；2.反证法的应用方法；3.反证法解决数学问题的实例。

2.2 教学难点1.理解和掌握反证法的原理；2.运用反证法解决复杂的数学问题。

三、教学内容和教学步骤3.1 反证法的基本概念反证法是一种利用逻辑推理的方法，通过假设命题的否定，推导出与已知条件或已有结论相矛盾的结论，从而证明原命题的方法。

3.2 反证法的原理反证法的原理是：如果假设命题的否定，能够推导出与已知条件或已有结论相矛盾的结论，则原命题成立。

3.3 反证法的应用方法1.假设命题的否定；2.推导出与已知条件或已有结论相矛盾的结论；3.得出原命题成立的结论。

3.4 反证法解决数学问题的实例示例1：证明根号2是无理数。

解：假设根号2是有理数，即可以表示为p/q（其中p和q互质）。

根据根号2的定义，有（p/q）^2 = 2，即p^2 = 2q^2。

根据整数的奇偶性，可知p为偶数，表示为p = 2m。

代入上述等式，得到(2m)^2 = 2q2，即4m2 = 2q2，简化得到2m2 = q^2。

根据整数的奇偶性，可知q也为偶数，与p、q互质的前提相矛盾。

所以根号2是无理数。

四、教学方法和学时安排4.1 教学方法1.讲解法：通过简洁明了的语言讲解反证法的概念、原理和应用方法；2.实例法：通过实际例子演示反证法的具体应用；3.讨论法：引导学生讨论反证法在数学问题中的应用。

4.2 学时安排本教案预计用时2课时，具体安排如下：第一课时： - 介绍反证法的基本概念和原理（20分钟） - 示例1的讲解和演示（15分钟） - 学生讨论与思考（15分钟）第二课时：- 复习上节课的内容（10分钟）- 示例2的讲解和演示（15分钟）- 学生讨论与思考（20分钟）五、教学评估5.1 自我评估教师可以通过观察学生的学习情况、听取他们的问题和解答，来进行自我评估。

例谈反证法在解题中的应用反证法是一种间接证法.它是数学学习中一种很重要的证题方法.反证法证题的步骤大致分为三步：（1）反设：作出与求证的结论相反的假设； （2）归谬：由反设出发，导出矛盾结果；（3）作出结论：证明了反设不能成立，从而证明了所求证的结论成立.其中，导出矛盾是关键，通常有以下几种途径：与已知矛盾，与公理、定理矛盾，与假设矛盾，自相矛盾等.一、证明“至多”或“至少”问题例１ 已知函数()f x 对其定义域内的任意两个实数a b ，，当a b <时，都有()()f a f b <．求证：至多有一个实数x 使得()0f x =．证明：假设存在两个不等实数12x x ，，使得12()()0f x f x ==．()* 不妨设12x x <，由条件可知12()()f x f x <，与()*式矛盾．故至多有一个实数x 使得()0f x =．二、证明“不可能”问题例2 给定实数0a a ≠，，且1a ≠，设函数11()1x y x x ax a-=∈≠-R ，且，求证：经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x 轴．证明：假设函数图象上存在两点12M M ，，使得直线12M M 平行于x 轴． 设111222()()M x y M x y ，，，且12x x ≠．由120M M k =，得212121212121111110(1)(1)x x y y ax ax a x x x x ax ax -------===----，解得1a =．与已知1a ≠矛盾．故经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x 轴.例3 双曲线1xy =的两支为12C C ，，正三角形PQR 的三顶点位于此双曲线上．求证：P Q R ，，不可能在双曲线的同一支上．证明：假设正三角形的三顶点P Q R ，，位于双曲线同一支如1C 上，其坐标分别为112233()()()x y x y x y ，，，，，，不妨设1230x x x <<<，则一定有1230y y y >>>． 于是222PQ QR PR ++22222122313122313[()()()][()()()]x x x x x x y y y y y y =-+---+-+--- 21232122()()2()()0x x x x y y y y --+--<． 因此，222PQ QR PR +<．这说明PQR △是钝角三角形，与PQR △为正三角形矛盾．故P Q R ，，不可能在双曲线的同一支上．三、证明“存在性”或“唯一性”问题例4 已知函数2()f x ax bx c =++的图象过点(10)-，．问是否存在常数a b c ，，，使不等式21()(1)2x f x x +≤≤对一切实数x 都成立？若存在，求出a b c ，，的值；若不存在，说明理由．解：假设存在符合条件的a b c ，，． ()f x ∵的图象过(10)-，， (1)0f -=∴，即0a b c -+=．又21()(1)2x f x x +∵≤≤对一切实数都成立， 令1x =，则211(11)12a b c +++=≤≤． 1a b c ++=∴，12b =∴，12a c +=．211()22f x ax a ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭∴．由2()1()(1)2f x x f x x ⎧⎪⎨+⎪⎩，，≥≤得221102211022ax x a a x x a ⎧⎛⎫-+- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-+- ⎪⎪⎝⎭⎩，①．②≥≤ 据题意，对于任意实数x ，①与②都成立．对于①，若0a =，则1x ≤，不合题意；若0a >，欲使①的解集为R ，则需00a >⎧⎨⎩∆，，≤即0114042a a a >⎧⎪⎨⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎩，．≤解得14a =． 对于14a =，再考虑②，把14a =代入②，得2210x x -+≥，其解集为R ． 所以，存在满足条件的abc ，，，其中1142a cb ===，．。

3.4 反证法学习目标1. 结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；2. 了解反证法的思考过程、特点;3. 会用反证法证明问题.学习过程一、课前预备复习1：直接证明的两种方法: 和;复习2：是间接证明的一种基本方法.二、新课导学※学习探究探究任务：反证法问题(1)：将9个球分别染成红色或白色,那么无论怎样染,至少有5个球是同色的,你能证明这个结论吗?问题(2):三十六口缸,九条船来装,只准装单,不准装双,你说怎么装?新知：一般地，假设原命题，经过正确的推理，最终得出，因此说明假设，从而证明白原命题.这种证明方法叫.试试：证明：5,3,2不行能成等差数列.反思：证明基本步骤：假设原命题的结论不成立→ 从假设动身，经推理论证得到冲突→ 冲突的缘由是假设不成立，从而原命题的结论成立方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而确定原命题真实.※典型例题例1 已知0a≠,证明x的方程ax b=有且只有一个根. 变式：证明在ABC∆中,若C∠是直角,那么B∠确定是锐角.小结：应用关键：在正确的推理下得出冲突（与已知条件冲突，或与假设冲突，或与定义、公理、定理、事实冲突等）.例2求证圆的两条不是直径的相交弦不能相互平分.变式：求证：一个三角形中，至少有一个内角不少于60︒.小结：反证法适用于证明“存在性，唯一性，至少有一个，至多有一个”等字样的一些数学问题. ※动手试试练1. 假如12x>,那么2210x x+-≠.练2. ABC∆的三边,,a b c的倒数成等差数列,求证:90B<︒.三、总结提升※学习小结1. 反证法的步骤：①否定结论；②推理论证；③导出冲突；④确定结论.2. 反证法适用于证明“存在性，唯一性，至少有一个，至多有一个”等字样的一些数学问题.学习评价※自我评价你完成本节导学案的状况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 用反证法证明命题“三角形的内角至少有一个不大于60︒”时，反设正确的是（）.A ．假设三内角都不大于60︒B ．假设三内角都大于60︒C ．假设三内角至多有一个大于60︒D ．假设三内角至多有两个大于60︒ 2. 实数,,a b c 不全为0等价于为（ ）. A ．,,a b c 均不为0 B ．,,a b c 中至多有一个为0 C ．,,a b c 中至少有一个为0 D ．,,a b c 中至少有一个不为03.设,,a b c 都是正数，则三个数111,,a b c b c a+++（ ）. A ．都大于2 B.至少有一个大于2 C.至少有一个不小于2 D.至少有一个不大于2 4. 用反证法证明命题“自然数,,a b c 中恰有一个偶数”的反设为 . 5. “4x >”是“240x x ->”的 条件. 课后作业1. 已知,0x y >,且2x y +>.试证:11,x yy x++中至少有一个小于2.2. 证明2不是有理数.。