大学物理第四章3

整个刚体的动能为所有质 元动能的代数和
mi
转动动能
1 2 Ek mi vi i 2 1 1 2 2 2 ( mi ri ) J 2 i 2 1 2 Ek J 2
第四章 刚体的转动 三 刚体转动的动能定理
2 2
A Md J d
1 1
mB B
mA mB g FT1 FT2 mA mB
0，可得
（2） B由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率
2mB gy v 2ay mA mB mC / 2
第四章 刚体的转动 （3） 考虑滑轮与轴承间的摩 擦力矩 M f ，转动定律
FT1
Mf
RFT2 RFT1 M f J
力矩的功
说明：
力矩作功的实质仍然是力 作功。对于刚体转动的情 况，用力矩的角位移来表 示。
o
r
dr
A Md
1
2
x
dA F dr Ft ds Ft rd
第四章 刚体的转动 二 转动动能 将刚体分割无穷多个无穷 小质量元，任取一质量元， 其动能为
vi
z
O
ri
1 1 2 Eki mi vi mi ri 2 2 2 2
第四章 刚体的转动
1 2 1 TR ＝ J J 2 2 1 2 J＝ MR 2
2
0
T’
N’
h
对于物体来说，由质点动能定理，得
P’
1 1 2 2 mgh T ' h mv mv0 2 2
T
P
第四章 刚体的转动
由牛顿第三定律
T T'
由于绳与圆盘之间无相对滑动，故有
h R v R
R
以子弹和沙袋为系统 以子弹和杆为系统 圆锥摆系统 动量守恒； 动量不守恒； 动量不守恒； 角动量守恒； 角动量守恒； 角动量守恒； 机械能不守恒 . 机械能不守恒 . 机械能守恒 .
第四章 刚体的转动 4-4 刚体转动的动能定理 一、力矩的功
d Ft
v
F
M Ft r dA Md
o
30

1 2 2 mva ( m l ma ) 3 3mva 2 2 m' l 3ma
a
m v
'
第四章 刚体的转动
3mva 2 2 m' l 3ma
射入竿后，以子弹、细杆和 地球为系统 ，机械能守恒 .
o
30

a
m v
'
1 1 ( ml 2 ma 2 ) 2 2 3 l mga(1 cos 30) mg (1 cos 30) 2
F
o
F
第四章 刚体的转动
角动量守恒定律的两种应用：
1. 转动惯量保持不变的单个刚体。 J J 0 ,则 0 2. 转动惯量可变的物体。
dL 在 C
当J增大时，就减小； 当J减小时，就增大.
解上述方程，可得
m v 2 gh M / 2 m
第四章 刚体的转动
例 一长为 l , 质量为 m的竿可绕支点O自由 转动 . 一质量为 m、速率为 v 的子弹射入竿内距支 点为 a 处，使竿的偏转角为30º . 问子弹的初速率为 多少 ?
解 把子弹和竿看作一个系统 . 子弹射入竿的过程系统角动量守恒
FT1
PC
FC
FT2
mB PB y
a R
mB g a mA mB mC 2 mA mB g FT1 mA mB mC 2
(mA mC 2)mB g FT2 mA mB mC 2
如令 mC
第四章 刚体的转动 A mA
FT1
C
mC FT2

1
1
2 d J d J d 1 dt
2
A
1
1 1 2 Md J 2 J 12 2 2
刚体转动动能定理：合外力矩对刚 体所作的功，等于刚体动能的增量.
例题：如图所示，一质量为M、半径为R的圆盘，可绕一无摩擦 的水平轴转动。圆盘上绕有轻绳，一端悬挂质量为m的物体。问 物体由静止下落高度h时，其速度的大小为多少？设绳的质量忽 略不计。 R 解：圆盘和物体的受力如图，对于 圆盘，根据转动动能定理
第四章 刚体的转动 一 质点的角动量定理和角动量守恒定律 z v 1 质点的角动量
在空间运动，某时刻相对原点 O 的位矢为 r，质点相对于原 点的角动量
质量为 m 的质点以速度 v
L
x
r
o
m y
L 的方向符合右手法则.
L mr J
2
L r p r mv 大小 L rmv sin

t2
t1
M dt L2 L1
其中:
冲量矩
t1
t2
M dt
3 质点的角动量守恒定律:质点所受对参考点 O 的合 力矩为零时，质点对该参考点 O 的角动量为一恒矢 量.
M 0, L
恒矢量
第四章 刚体的转动
二
刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
2 mi ri )
A
mA FN F T1 mA O x PA
FT1
第四章 刚体的转动 C
mC FT2 FT2
mB B
O
解 （1）隔离物体分 别对物体A、B 及滑轮作 受力分析，取坐标如图， 运用牛顿第二定律 、转 动定律列方程 .
FT1 mA a
mB g FT2 mBa
RFT2 RFT1 J
花样滑冰运动员通过改变身 体姿态即改变转动惯量来改变 转速.
ω
第四章 刚体的转动
例 质量为m、半径为R的转 台，可绕过中心的竖直轴转 动，如图，质量为M的人站 在台边缘，最初，它们都静 止，后来人开始以角速度ω 跑动，求转台的转动角速度
ω
解 由于人和转台组成的系 统中所受合外力为0 所以M=0 所以角动量守恒
L
v

r
p
若质点做圆周运动，则相对圆 心的角动量
L
m o r
第四章 刚体的转动 2 质点的角动量定理
Lrp
由于:
dL d dp dr (r p) r p dt dt dt dt dL dp dr p v mv 0 r r F dt dt dt
L J 常量
Mi 0
1 角动量守恒条件的理解 1)不受力;
2)受力,但力F方向指向转轴 3) Fi 0 不等价 Mi 0
例: i)
F1 F2
Mi 0
Fi 0
ii)
F1
F2
Fi 0
Mi 0
第四章 刚体的转动 2 内力矩不改变系统的角动量. 3 若系统由几部分构成，总角动量守恒是指各部分相 对同一转轴的角动量； 4 对微观粒子和高速运动也适用，是物理学中 的基本定律之一。 自然界中存在多种守恒定律 动量守恒定律 能量守恒定律 角动量守恒定律
MR 2 I ' 0
转台的转动惯量 1 I mR 2 2 2M ' m 负号表示转台的转动方 向与人的方向相反
MR 2 ' I
例 一质量为M 半径为R 的转台，以角速度a 转动,转轴的摩 擦不计。1) 有一质量为m 的蜘蛛垂直地落在转台边缘上，求 此时转台的角速度b ;2) 如果蜘蛛随后慢慢地爬向转台中心， 当它离转台中心距离为r 时,转台的角速度c 为多少？设蜘蛛 下落前距转台很近。 1 ）1 J ( J0 J b) 0 a 1 ) ） J ( J J 1 ）J 00a J 1 1) bb a ( J0 0 解: 1 1 2 2 2 J 1 mR 2 J0 J 1MR 2 2 MR J mR 0 2 MR J0 J 1 1 mR 2 2J MM 0 J 0 a b J 2 ） J a a a ( J 0 J 2 ) c M 0 bJ J a M 2m 0 b 0 J0 1 J a M 2m a J 0 J1 1 M 2m1 2 2 J MR J mr 0 2 ） () J 0 a 0 J 2 ) c 2 2 ）J 0 a 2 (JJ J 0 2 c 2 1 J MR 2 2 1 J 0 2 2 mr MR c a a 0 2 J 0 MR J 2 mrJ 2 2 2 J0 J2 MR 2mr 2 2 2 J MR J0 0 MR
1 刚体定轴转动的角动量
L mi ri vi (
i
L J
i

ri
z
2 刚体定轴转动的角动量定理
dL d ( J ) M dt dt
O
vi
mi
t1
t2
Mdt J 2 J1
第四章 刚体的转动 3 刚体定轴转动的角动量守恒定律 若 M 0 ，则 讨论
电荷守恒定律
质量守恒定律
宇称守恒定律等
第四章 刚体的转动 注意区分：角动量守恒与 动量守恒的条件。
例如:光滑水平面上有一静 止的细杆，若在细杆两端 施加一对大小相等，方向 相反的力，问在细杆运动 过程中，细杆的动量是否 守恒/，对杆中心点O的角 动量是否守恒？动能是否 守恒？ 合外力为零，则系统的 动量守恒。 合外力矩不为零，则系 统的角动量不守恒。 合外力矩作正功，则系统的动 能不守恒。
v g (2 3 )( ml 2ma )( ml 3ma ) 6 ma