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微分方程的建模与解析解法一、引言微分方程是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域的建模与分析问题中。
本文将介绍微分方程的建模过程，以及常见的解析解法。
二、微分方程的建模微分方程的建模通过描述问题中的变量与变量之间的关系来进行。
具体步骤如下：1. 了解问题：详细了解问题的背景和要解决的具体内容。
2. 确定变量：确定与问题相关的变量，归纳出关键变量和依赖变量。
3. 建立关系：根据问题的特点和变量之间的关系，建立微分方程。
4. 添加初始条件：在微分方程中添加相关的初始条件，这些条件旨在确定方程的具体解。
三、常见的微分方程解析解法微分方程的解析解是通过数学方法求出的解，可以明确地表示出问题的解决方案。
以下是常见的解析解法：1. 可分离变量法：对于形如dy/dx=f(x)g(y)的一阶微分方程，可以将x和y分离到方程的两边，然后分别进行积分求解。
2. 齐次方程法：对于形如dy/dx=f(x/y)的一阶微分方程，可以进行变量代换将其化为可分离变量形式的方程。
3. 线性微分方程法：对于形如dy/dx+p(x)y=q(x)的一阶线性微分方程，可以利用积分因子法求解。
4. 变量替换法：对于一些复杂的微分方程，通过适当的变量替换，可以将其化简为已知解法形式的微分方程来求解。
5. 求和法和积分法：对于高阶线性微分方程，可以通过求和法和积分法来求解特解，然后利用线性微分方程的叠加原理求得整个方程的解。
四、举例与实践为了更好地理解微分方程的建模与解析解法，我们来看一个具体的例子。
假设有一水槽中的水高度随时间变化的问题，可以建立如下微分方程：dh/dt = -k * sqrt(h)其中，h是水槽中的水高度，t是时间，k是一个常数。
使用可分离变量法，我们可以将此微分方程分离变量并进行求解：(1/√h)dh = -kdt对两边同时进行积分，得到：2√h = -kt + C1其中C1是积分常数。
通过一系列代数变换，我们可以求出水槽中水的高度h关于时间t的解析解：h = ((-kt + C1)/2)^2这个解析解可以明确地描述出水槽中水的高度随时间变化的规律。
微分方程方法建模概述及举例微分方程是数学中的一个重要分支，广泛应用于各个领域，特别是自然科学和工程学科中的建模问题。
本文将概述微分方程方法建模的基本思路，并通过举例说明其在实际问题中的应用。
1.问题抽象化：首先需要将实际问题抽象成一个或一组微分方程。
通过观察问题的物理过程和规律，了解问题中的变量、因果关系以及其演化过程。
将这些信息用数学语言表示出来，通常是通过建立数学模型来描述问题。
2.建立微分方程：基于问题的抽象化模型，我们可以建立相应的微分方程。
根据物理规律和描述问题演化的数学关系，确定方程中的变量、常数和系数。
对于复杂问题，可能需要引入附加的假设和近似，以简化问题求解。
3.求解微分方程：通过求解微分方程，可以得到问题的数学解。
求解方法包括解析解和数值解两种。
解析解通常是通过变量分离、常数变易、积分变换等方法，求得方程的具体解析形式。
数值解则是通过数值计算方法，如欧拉法、龙格-库塔法等，近似计算出微分方程的解。
4.模型验证和分析：将求得的数学解与实际问题进行比较和分析，验证模型的有效性和准确性。
通过对模型进行敏感性分析和参数优化，对模型进行改进和完善。
现在我们来通过两个实际问题的建模例子，进一步说明微分方程方法的应用。
1.指数增长模型问题：假设一个生物种群遵循指数增长规律，种群数量在一段时间内以固定比率增加。
已知在初始时刻，种群数量为100只，经过3个小时后，种群数量增加到了1000只。
求解该问题。
解答：我们可以建立如下的微分方程模型:dy/dt = k * y其中，y表示种群数量，t表示时间，k为增长率。
根据已知条件，当t=0时，y=100；当t=3时，y=1000。
将这些条件代入微分方程，就可以求解得到k的值。
然后再根据k的值，求解出种群数量y随时间t的变化。
2.弹簧振动模型问题：一个弹簧系统在无外力作用下，其振动满足以下微分方程：m* d^2y/dt^2 = -k * y，其中m为弹簧的质量，k为弹簧的劲度系数。
微分方程建模方法微分方程建模是数学建模中的一个重要分支。
它通过建立描述现象的微分方程模型，利用数学工具和方法来研究和解决与该现象相关的问题。
微分方程建模的步骤包括确定问题、建立模型、求解模型和验证模型。
本文将详细介绍微分方程建模的方法。
经验模型法是一种基于已有经验和实验数据的建模方法。
它根据实验数据的分析和总结，通过适当的函数拟合和参数调整，建立与实际问题相吻合的微分方程模型。
经验模型法的优点是简单直观，适用于较为简单和复杂程度较低的问题。
例如，考虑一个物体在空气中的自由下落问题。
经验发现，物体受到的空气阻力与速度成正比，可以建立微分方程模型：$$\frac{{d^2x}}{{dt^2}}=g-\frac{{kv^2}}{{m}}$$其中，$x$为物体的位移，$t$为时间，$m$为物体的质量，$v$为物体的速度，$k$为与物体形状和空气性质有关的常数，$g$为重力加速度。
这个模型可以进一步求解，得到物体的速度和位移随时间的变化规律。
理论模型法是一种基于物理规律和数学原理的建模方法。
它通过对问题的深入理解，运用物理学原理、工程学原理和其他学科的知识，建立与实际问题相对应的微分方程模型。
理论模型法的优点是准确性高，适用于复杂和精密度较高的问题。
例如，考虑一个物体在弹簧中的振动问题。
根据胡克定律，在弹簧恢复力和物体质量、加速度之间建立微分方程模型：$$m\frac{{d^2x}}{{dt^2}}=-kx$$其中，$x$为物体的位移，$t$为时间，$m$为物体的质量，$k$为弹簧的劲度系数。
这个模型可以求解得到物体的振动规律。
解析解法是指通过数学方法求解微分方程模型的解。
对于一些简单和常见的微分方程，可以通过积分、分离变量、变量替换等方法求得其解析解。
解析解法的优点是求解结果准确、精确，可以提供深入理解问题的信息。
但对于复杂和非线性的微分方程，往往难以求得解析解，需要借助数值方法。
数值解法是指通过数学计算机计算求解微分方程模型的解。
微分方程建模一般说来，微分方程建模的方法大致可以分为以下的几个步骤：1.根据实际问题的要求确定要研究的量，包括自变量、未知函数、必要的参数等以及它们各自的变化区间；2.列方程。
可以在合理假设的前提下，利用导数表示斜率、速度、变化率的实际意义，根据一些基本定理（几何的、物理的、化学的或生物学的等等）或规律，找出未知函数的导数（或微分）与相关各量之间的等量关系式，建立微分方程并确定定解条件（注：如果没有现成的定理可供利用，也可以用微元分析法与模拟近似法列出微分方程）；3.解微分方程；4.对模型的适用性作出评价，即用已知的数据检验微分方程的解是否与实际相符。
若结果与实际存在一定的差距，则还要对方程进行修正和调整，直到得出较满意的结果为止。
下面，我们就通过一些实例说明微分方程建模的具体步骤。
一.增长模型在自然界和社会的经济活动中，许多量的变化都遵循着一个基本的规律：任一单位时间内的增量都与该量自身当时的大小成正比。
运用这一基本规律，就可以建立起各种各样的增长模型。
1.马尔萨斯人口模型严格地讲，讨论人口问题所建立的模型应属于离散型模型。
但在人口基数很大的情况下，突然增加或减少的只是单一的个体或少数几个个体，相对于全体数量而言，这种改变量是极其微小的，因此，我们可以近似地假设人口随时间连续变化甚至是可微的。
这样，我们就可以采用微分方程的工具来研究这一问题。
最早研究人口问题的是英国的经济系家马尔萨斯(Malthus )（1766—1834）。
他根据百余年的人口资料，经过潜心研究，在1798年发表的《人口论》中首先提出了人口增长模型。
他的基本假设是：任一单位时刻人口的增长量与当时的人口总数成正比，且比例系数为常数。
于是，设t 时刻的人口总数为)(t y ，则单位时间内人口的增长量即为tt y t t y ∆-∆+)()( 根据基本假设，有tt y t t y ∆-∆+)()()(t y r ⋅= （r 为比例系数） 令0→∆t ，可得微分方程y r dtdy ⋅= （4.1） 这就是著名的马尔萨斯人口方程。
-153-第十三章 微分方程建模微分方程建模是数学建模的重要方法，因为许多实际问题的数学描述将导致求解微分方程的定解问题。
把形形色色的实际问题化成微分方程的定解问题，大体上可以按以下几步：1. 根据实际要求确定要研究的量(自变量、未知函数、必要的参数等)并确定坐标系。
2. 找出这些量所满足的基本规律(物理的、几何的、化学的或生物学的等等)。
3. 运用这些规律列出方程和定解条件。
列方程常见的方法有： （i ）按规律直接列方程在数学、力学、物理、化学等学科中许多自然现象所满足的规律已为人们所熟悉，并直接由微分方程所描述。
如牛顿第二定律、放射性物质的放射性规律等。
我们常利用这些规律对某些实际问题列出微分方程。
（ii ）微元分析法与任意区域上取积分的方法自然界中也有许多现象所满足的规律是通过变量的微元之间的关系式来表达的。
对于这类问题，我们不能直接列出自变量和未知函数及其变化率之间的关系式，而是通过微元分析法，利用已知的规律建立一些变量（自变量与未知函数）的微元之间的关系式，然后再通过取极限的方法得到微分方程，或等价地通过任意区域上取积分的方法来建立微分方程。
（iii ）模拟近似法在生物、经济等学科中，许多现象所满足的规律并不很清楚而且相当复杂，因而需要根据实际资料或大量的实验数据，提出各种假设。
在一定的假设下，给出实际现象所满足的规律，然后利用适当的数学方法列出微分方程。
在实际的微分方程建模过程中，也往往是上述方法的综合应用。
不论应用哪种方法，通常要根据实际情况，作出一定的假设与简化，并要把模型的理论或计算结果与实际情况进行对照验证，以修改模型使之更准确地描述实际问题并进而达到预测预报的目的。
本章将利用上述方法讨论具体的微分方程的建模问题。
§1 发射卫星为什么用三级火箭为什么不能用一级火箭而必须用多级火箭系统？下面通过建立运载火箭有关的数学模型来回答上述问题。
火箭是一个复杂的系统，为了使问题简单明了，我们只从动力系统和整体结构上分析，并且假设引擎是足够强大的。
1.1 为什么不能用一级火箭发射人造卫星 下面用三个数学模型回答这个问题1.1.1 卫星进入600km 高空轨道时，火箭必须的最低速度 首先将问题理想化，假设：（i ）卫星轨道是以地球中心为圆心的某个平面上的圆周，卫星在此轨道上以地球引力作为向心力绕地球作平面匀速圆周运动；（ii ）地球是固定于空间中的一个均匀球体，其质量集中于球心； （iii ）其它星球对卫星的引力忽略不计。
建模与求解：设地球半径为R ，质量为M ；卫星轨道半径为r ，卫星质量为m 。
根据假设（ii ）和（iii ），卫星只受到地球的引力，由牛顿万有引力定律可知其引力-154-大小为2rGMmF =（1） 其中G 为引力常数。
为消去常数G ，把卫星放在地球表面，则由（1）式得2RGMm mg = 或 g R GM 2= 再代入（1）式，得2⎟⎠⎞⎜⎝⎛=r R mg F （2）其中)m/s (81.92=g 为重力加速度。
根据假设（i ），若卫星围绕地球作匀速圆周运动的速度为v ，则其向心力为r mv /2，因为卫星所受的地球引力就是它作匀速运动的向心力，故有r mv r R mg 22=⎟⎠⎞⎜⎝⎛由此便推得卫星距地面为km )(R r −，必须的最低速度的数学模型为rgRv = （3） 取km 6400=R ，km 600=−R r ，代入上式，得 km/s 6.7≈v即要把卫星送入离地面600km 高的轨道，火箭的末速度最低应为7.6km/s 。
1.1.2 火箭推进力及升空速度火箭的简单模型是由一台发动机和一个燃料仓组成。
燃料燃烧产生大量气体从火箭末端喷出，给火箭一个向前的推力。
火箭飞行要受地球引力、空气阻力、地球自转与公转等的影响，使火箭升空后作曲线运动。
为使问题简化，假设：（i ）火箭在喷气推动下作直线运动，火箭所受的重力和空气阻力忽略不计。
（ii ）在t 时刻火箭质量为)(t m ，速度为)(t v ，且均为时间t 的连续可微函数； （iii ）从火箭末端喷出气体的速度（相对火箭本身）为常数u 。
建模与分析：由于火箭在运动过程中不断喷出气体，使其质量不断减少，在),(t t t Δ+内的减少量可由台劳展式表示为)()()(t o t dtdmt m t t m Δ+Δ=−Δ+ （4） 因为喷出的气体相对于地球的速度为u t v −)(，则由动量守恒定律有))(()()()()()(u t v t o t dt dm t t v t t m t v t m −⎥⎦⎤⎢⎣⎡Δ+Δ−Δ+Δ+= （5）从（4）式和（5）式可得火箭推进力的数学模型为dtdmu dt dv m−= （6） 令0=t 时，0)0(v v =，0)0(m m =，求解上式，得火箭升空速度模型-155-)(ln)(00t m m u v t v += （7） （6）式表明火箭所受推力等于燃料消耗速度与喷气速度（相对火箭）的乘积。
（7）式表明，在00,m v 一定的条件下，升空速度)(t v 由喷气速度（相对火箭）u 及质量比)(/0t m mu 值；从结构上设法减少)(t m 。
1.1.3 一级火箭末速度上限火箭—卫星系统的质量可分为三部分：p m （有效负载，如卫星），F m （燃料质量），s m （结构质量，如外壳、燃料容器及推进器）。
一级火箭末速度上限主要是受目前技术条件的限制，假设：（i ）目前技术条件为：相对火箭的喷气速度3=u km/s 及91≥+s F s m m m（ii）初速度0v 忽略不计，即00=v 。
建模与求解：因为升空火箭的最终（燃料耗尽）质量为s p m m +，由（7）式及假设（ii）得到末速度为sp m m m u v +=0ln（8）令)()(0p s F s m m m m m −=+=λλ，代入上式，得 pm m m u v )1(ln00λλ−+= （9）于是，当卫星脱离火箭，即0=p m 时，便得火箭末速度上限的数学模型为 λ1ln 0u v =由假设（i），取3=u km，91=λ，便得火箭速度上限 6.69ln 30≈=v km/s因此，用一级火箭发射卫星，在目前技术条件下无法达到相应高度所需的速度。
1.2 理想火箭模型从前面对问题的假设和分析可以看出：火箭推进力自始至终在加速着整个火箭，然而随着燃料的不断消耗，所出现的无用结构质量也在随之不断加速，作了无用功，故效益低，浪费大。
所谓理想火箭，就是能够随着燃料的燃烧不断抛弃火箭的无用结构。
下面建立它的数学模型。
假设：在),(t t t Δ+时段丢弃的结构质量与烧掉的燃料质量以α与α−1的比例同时进行。
建模与分析：由动量守恒定律，有-156-)()()()()(t v t dtdmt t v t t m t v t m ⋅Δ−Δ+Δ+=α)())(()1(t o u t v t dtdmΔ+−⋅Δ−−α 由上式可得理想火箭的数学模型为 u dtdmdt t dv t m ⋅−=−)1()()(α （10） 及0)0(=v ，0)0(m m = 解之得)(ln)1()(0t m m u t v α−= （11） 由上式可知，当燃料耗尽，结构质量抛弃完时，便只剩卫星质量p m ，从而最终速度的数学模型为pm m u t v 0ln)1()(α−= （12） （12）式表明，当0m 足够大时，便可使卫星达到我们所希望它具有的任意速度。
例如，考虑到空气阻力和重力等因素，估计要使5.10=v km/s 才行，如果取3=u km/s ，1.0=α，则可推出50/0=p m m ，即发射1吨重的卫星大约需50吨重的理想火箭。
1.3 多级火箭卫星系统理想火箭是设想把无用结构质量连续抛弃以达到最佳的升空速度，虽然这在目前的技术条件下办不到，但它确为发展火箭技术指明了奋斗目标。
目前已商业化的多级火箭卫星系统便是朝着这种目标迈进的第一步。
多级火箭是从末级开始，逐级燃烧，当第i 级燃料烧尽时，第1+i 级火箭立即自动点火，并抛弃已经无用的第i 级。
我们用i m 表示第i 级火箭质量，p m 表示有效负载。
为了简单起见，先作如下假设：（i ）设各级火箭具有相同的λ，i m λ表示第i 级结构质量，i m )1(λ−表示第i 级的燃料质量。
（ii ）喷气相对火箭的速度u 相同，燃烧级的初始质量与其负载质量之比保持不变，记该比值为k 。
先考虑二级火箭。
由（7）式，当第一级火箭燃烧完时，其速度为11lnln21211++=++++=k k u m m m m m m u v ppλλ 在第二级火箭燃烧完时，其速度为 11ln2ln2212++=+++=k k u m m m m u v v ppλλ （13） 仍取3=u km/s ，1.0=λ，考虑到阻力等因素，为了达到第一宇宙速度，对于二级火箭，欲使5.102=v km/s ，由（13）式得-157-5.1011.01ln6=++k k解之得2.11=k ， 这时149)1(2210≈+=++=k m m m m m m ppp同理，可推出三级火箭11ln33++=k k u v λ 欲使5.103=v km/s ，应该25.3≈k ，从而77/0≈p m m 。
与二级火箭相比，在达到相同效果的情况下，三级火箭的质量几乎节省了一半。
现记n 级火箭的总质量（包括有效负载p m ）为0m ，在相同假设下（3=u km/s ，5.10=末v km/s ，1.0=λ），可以算出相应的p m m /0值，现将计算结果列于下表中：n （级数）1 2 3 4 5 ... ∞ p m m /0 × 149 77 65 60 (50)实际上，由于受技术条件的限制，采用四级或四级以上的火箭，经济效益是不合算的，因此采用三级火箭是最好的方案。
1.4 最佳结构设计下面我们将考虑当用n 级火箭发射卫星时的最佳结构，即使p m m /0最小的结构。
记p n m m m m m w ++++==L 2101p n m m m w +++=L 22 … p n m w =+1 记211w w k =，…，1+=n n n w w k ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++=+1211ln n n n w m w w m w u v λλL 末 由于211w w m −=，322w w m −=，…，1+−=n n n w w m ，可以推出 ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−+−=1)1(1)1(ln 11n n k k k k u v λλL 末 易知n pk k k m m L 210= 则最佳结构问题转化为-158-n k k k L 21mins.t.c k k k k k n n=+−+−]1)1([]1)1([121λλL L 可以推出当n k k k ===L 21时，pm m0最小。
