3~~4 微分方程方法建模PPT课件
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《微分方程数学建模》课件
实际问题的转化
了解如何将实际问题转化为数学模型， 培养建模思维。
边界条件的确定
掌握边界条件的重要性，学会确定合适 的边界条件来求解微分方程。
数学建模实例
弹性材料的振动问题
通过建立微分方程模型，分析弹 性材料的振动特性和共振现象。
传染病传播模型
运用微分方程建模技巧，研究传 染病在人群中的传播规律和防控 策略。
《微分方程数学建模》 PPT课件
这份PPT课件将带领您深入了解微分方程数学建模，并探讨其应用与意义。通 过丰富的实例和技巧，让您轻松掌握数学建模的要点。
微分方程数学建模简介
微分方程简述
了解微分方程的基本概念和定义，掌握它在数学建模中的核心作用。
微分方程的应用和意义
探索微分方程在科学、工程和社会问题中的广泛应用，体会它的重要性。
4 高阶线性微分方程
探讨高阶线性微分方程的常见形式和特殊解 法，拓宽解题思路。
5 常系数齐次线性微分方程
学习处理常系数齐次线性微分方程的技巧和 常见应用场景。
建立微分方程模型
1
变量的择和定义
2
学习选择和定义适当的变量来建立准确
和有效的微分方程模型。
3
模型的求解方法
4
了解常见微分方程模型的解法，探索解 析和数值解的求解技巧。
相关教材
推荐一些优秀的教材，帮助 您进一步学习微分方程和数 学建模。
网络资源
介绍一些优质的网络资源， 供您查阅更多有关微分方程 数学建模的资料。
城市汽车拥堵问题的建模
通过建立微分方程模型，解析城 市交通拥堵的成因和调控方案。
总结
1 微分方程数学建模的重要性
总结微分方程在解决实际问题中的重要作用和应用前景。
微分方程的经典模型.ppt
游击作战模型
模型假设
1.不考虑增援，忽略非战斗减员；
2.甲乙双方均以游击作战方式，每一方士兵的活动均具有隐蔽性，对方的
射击行为局限在某个范围考虑可以被认为是盲目的。因此，甲乙双方的战斗减
员率不光与对方的兵力有关，同样设为是正比关系；而且与自己一方的士兵数
有关，这主要是由于其活动空间的限制所引起的，士兵数越多，其分布密度会
y(t)
g(
x,
y)
y
v(t)
x(0) x0 , y(0) y0
正规作战模型
模型假设
1.不考虑增援，并忽略非战斗减员； 2.甲乙双方均以正规部队作战，每一方士兵的活动均公开，处于对方 士兵的监视与杀伤范围之内，一旦一方的某个士兵被杀伤，对方的火力 立即转移到其他士兵身上。
正规作战模型
因此，甲乙双方的战斗减员率仅与对方的兵力有关，简单的设为是
方每次射击的有效面积sy 1平方米，则可得乙方获胜的条件为：
y0 x0
2
2 0.1 0.1 106 2 1100
100
即 y0 x0 10 ，乙方必须10倍于甲方的兵力。
点评与讨论
应用了微分方程建模的思想 这类模型反映了我们描述的对象随时间的变化。
6.3传染病模型
问题的提出 上世纪初，瘟疫还经常在世界的某些地区流行，被传染的人数与哪
致的一个部队减员），它通常可被设与本方的兵力成正比，比例系数, 0
分别对应甲乙双方； 5.每一方的增援率，它通常取决于一个已投入战争部队以外的因素，甲
乙双方的增援率函数分别以u(t) , v(t) 表示。
模型建立 根据假设得到一般的战争模型
x(t) f (x, y) x u(t)
结合以上两表达式，并代入 c、d 的值，可得游击作战的数学模型
《微分方程模型》PPT课件
房室具有以下特征：它由考察对象均匀分布而成， （注：考察对象一般并非均匀分布，这里采用了一种简 化方法一集中参数法）；房室中考察对象的数量或浓度 （密度）的变化率与外部环境有关，这种关系被称为 “交换”且交换满足着总量守衡。在本节中，我们将用 房室系统的方法来研究药物在体内的分布。在下一节中， 我们将用多房室系统的方法来研究另一问题。两者都很 环境 简单，意图在于介绍建模方法。
器倾翻，图中X点处注入湖中。在采取紧急
措施后，于11:35事故得到控制，但数量不详
B
的化学物质Z已泻入湖中，初步估计Z的量在5~20m3之间。 建立一个模型，通过它来估计湖水污染程度随时间的变化
并估计：
（1）湖水何时到达污染高峰；
（2）何时污染程度可降至安全水平(<0.05%)
湖泊污染问题分析
设湖水在t时的污染程度为C(t)， X
0t 3 3t 4 t4
现回答上述问题
（1）t 6 代入对应方程，求得
W (6) 57.48247kg
（2）要满足体重不增，即dW (b 16W ) /10000 0
dt
所以b 16W 1657.1256 914 (cal)
因此每天总卡路里摄取量是1200+914＝2114cal
因污染源被截断，故微分方程变为 2000 dC 6C
dt
： 它的特解为
630
C(t) C(30)e 2000
当达到安全水平，即C(t)=0.0005时，可求出 此时的t=T，即
T 30 (2000 / 6) ln(0.0005 / C(30))
解得
T 30 (2000 / 6) ln(0.9564Z)
引例一
数学建模之微分方程方法ppt课件
建模 s(t) i(t) r(t) 1
需建立 i(t),s(t),r(t)的两个方程
23.04.2020
.
26
четверг, 23 апреля
模型4
SIR模型
N [ i ( t t ) i ( t ) ] N ( t ) i ( t ) s t N ( t ) ti
N [ s ( t t) s ( t) ] N ( t) i ( t s ) t
.
一 微分方程的平衡点及稳定性
１．平衡点的概念
设方程组：
dx
dt
f (t, x)
x(t0 ) x0
（1）
如果存在某个常数(向量) x0 使得 f (t; x0 ) 0 ， 则称点 x0 为方程组的平衡点（或奇点）。且称 x x0
为方程组的平凡解（或奇解）。
23.04.2020
.
7
четверг, 23 апреля
x2
提高阈值 1/ 降低
被传染人数比例 x
.
31
четверг, 23 апреля
建立微分方程模型的方法
（1）根据规律列方程 利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或 经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。
（2）微元分析法
利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系 式，与第一种方法不同的是对微元而不是直 接对函数及其导数应用规律。
增加假设 3）病人每天治愈的比例为 ~日治愈率
建模 N [ i ( t t ) i ( t ) ] N ( t ) i ( t ) s t N ( t ) t
di dt
i(1 i)
i
i(0) i0
~ 日接触率 1/ ~感染期
/ ~ 一个感染期内每个病人的
需建立 i(t),s(t),r(t)的两个方程
23.04.2020
.
26
четверг, 23 апреля
模型4
SIR模型
N [ i ( t t ) i ( t ) ] N ( t ) i ( t ) s t N ( t ) ti
N [ s ( t t) s ( t) ] N ( t) i ( t s ) t
.
一 微分方程的平衡点及稳定性
１．平衡点的概念
设方程组：
dx
dt
f (t, x)
x(t0 ) x0
（1）
如果存在某个常数(向量) x0 使得 f (t; x0 ) 0 ， 则称点 x0 为方程组的平衡点（或奇点）。且称 x x0
为方程组的平凡解（或奇解）。
23.04.2020
.
7
четверг, 23 апреля
x2
提高阈值 1/ 降低
被传染人数比例 x
.
31
четверг, 23 апреля
建立微分方程模型的方法
（1）根据规律列方程 利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或 经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。
（2）微元分析法
利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系 式，与第一种方法不同的是对微元而不是直 接对函数及其导数应用规律。
增加假设 3）病人每天治愈的比例为 ~日治愈率
建模 N [ i ( t t ) i ( t ) ] N ( t ) i ( t ) s t N ( t ) t
di dt
i(1 i)
i
i(0) i0
~ 日接触率 1/ ~感染期
/ ~ 一个感染期内每个病人的
微分方程建模.ppt
d2x dy 2
dy dt
(H
感y谢)你的dd观yx看
dy dt
ve
dx dt
22
即有
d2x dy 2
dy dt
(H
y)
ve
把式(3.1)写为 dy dt
vw
代入上式,就得到轨迹方程.这是一个二阶非
dy dx
2
1
线性微分方程,加上初值条件,则初值问题
轴指向正北方。
2019年8月21
感谢你的观看
20
当 t=0 时，导弹位于点O，敌艇位于点 A(0,H)， 其中H=120（km）。
设导弹在t时刻的位置为 P(x(t),y(t))，由题意,
2019年8月21
dx dt
2
dy dt
2
v2
感谢你的观看
(3.1)
21
2019年8月21
感谢你的观看
12
6、模型求解
• 使用各种数学方法或软件包求解数学模型。此部分应包 括求解过程的公式推导、算法步骤及计算结果。为求解 而编写的计算机程序应放在附录部分。有时需要对求解 结果进行数学上的分析，如结果的误差分析、模型对数 据的稳定性或灵敏度分析等。
2019年8月21
感谢你的观看
dt
dt
vet
x
方程(3.1),(3.3)连同初值条件
(3.2)
(3.3)
x(0) 0, y(0) 0
(3.4)
构成了一个关于时间变量t的一阶微分方程组的初值问题。
为了寻求x与y的关系,要设法消去变量t, 由式(3.2)得
3：微分方程建模法 数学建模精品PPT课件
四.分析法 基本思想：根据对现实对象特性的认识，
分析其因果关系, 找出反映内部机理的规律.
例5.1.4（独家广告模型） 广告是调整商品 销售的强有力的手段, 广告与销售量之间有什 么内在联系？如何评价不同时期的广告效果？
分析 广告的效果, 可做如下的条件假设： *1. 商品的销售速度会因广告而增大，当商品 在市场上趋于饱和时，销售速度将趋于一个极 限值；
f
kv k ds dt
可得圆桶的位移和速度分别满足下面的微分方程:
m
d 2s dt 2
mg
gv
k
ds dt
(2)
m dv mg gv kv
dt
(3)
目录(1)
2.由题设这时圆桶受到的阻力应改为 f kv2 k ( ds )2 dt
类似上面,可得这时圆桶的速度应满足如下的微分方程:
m dv mg gv kv2
目录(1)
因 s=90(米),所以解下列方程:
8 < 90 171511 429.744t 171511e0.00250564t
In[]:= FindRoot[90==-171511+429.744429.744t+171511/Exp[0.00250564t],{t,13}]
Out[]:= t ? 13.0001614589966019`
(4)
dt
初始条件为:
ds dt
|t 0
v
|t 0
0,
s
|t 0
0
题设:m=239.46kg,w=0.2058m3,g=9.8m/t2,ρ=1035.71kg/m3,k=0.6
通过Mathematica求圆桶的位移和速度:
In[]:= Chop[DSolve[{m*s’’[t]==m*g-p*g*w-k*s’[t],s[0]==0’
分析其因果关系, 找出反映内部机理的规律.
例5.1.4（独家广告模型） 广告是调整商品 销售的强有力的手段, 广告与销售量之间有什 么内在联系？如何评价不同时期的广告效果？
分析 广告的效果, 可做如下的条件假设： *1. 商品的销售速度会因广告而增大，当商品 在市场上趋于饱和时，销售速度将趋于一个极 限值；
f
kv k ds dt
可得圆桶的位移和速度分别满足下面的微分方程:
m
d 2s dt 2
mg
gv
k
ds dt
(2)
m dv mg gv kv
dt
(3)
目录(1)
2.由题设这时圆桶受到的阻力应改为 f kv2 k ( ds )2 dt
类似上面,可得这时圆桶的速度应满足如下的微分方程:
m dv mg gv kv2
目录(1)
因 s=90(米),所以解下列方程:
8 < 90 171511 429.744t 171511e0.00250564t
In[]:= FindRoot[90==-171511+429.744429.744t+171511/Exp[0.00250564t],{t,13}]
Out[]:= t ? 13.0001614589966019`
(4)
dt
初始条件为:
ds dt
|t 0
v
|t 0
0,
s
|t 0
0
题设:m=239.46kg,w=0.2058m3,g=9.8m/t2,ρ=1035.71kg/m3,k=0.6
通过Mathematica求圆桶的位移和速度:
In[]:= Chop[DSolve[{m*s’’[t]==m*g-p*g*w-k*s’[t],s[0]==0’
《微分方程建模》PPT课件
h(t) ( H B g t)2 这就是水位与时间的关系。 A2
在h=0，即水放光时
t* A 2H Bg
2.耐用消费品的销售—新产品的销售量
一种耐用消费品进入市场后，一般是开始销得慢，逐渐加快， 当普及了之后，速度又逐步减小，Product Life Cycle产品生 命周期。有人认为应该是钟型曲线，请建模分析一下PLC曲线。
度为8%，在每小层看吸收量，第一层后被吸收量为：
k8%d/n，含量变为： 8%(1- kd )
n
第二层吸收了
k8%(1- kd ) d nn
第二层后浓度 8%(1- kd )-k8%(1- kd ) d
n
nn
= 8%(1 kd )2
n
依此类推，最后第n层后的浓度为
8%(1 kd )n n
从而n→∞即无限细分通过d厘米后出口浓度
建立模型：
记潜在市场人数为K，n(t)为t时刻已购买者的人数， t到t+△t之间△n1为完全由消费者外信息交流造成的增加量, △n2为由消费者内部造成的消费增加量。
假设
假设 所以
△n1与未购买者成正比，即△n1=a(K-n(t)) △t, △n2与未购买者成正比，也与已购买者成正比， △n2=bn(t)(K-n(t))△t,其中a,b为比例系数（常数）
（2）要使出口浓度为1%，8%e-d*ln2/5=1%，则d=15cm
练习： 1.用处理放水问题和耐用消费品销售量的方法推出出口
浓度与吸收层厚度的关系模型。 2.推出线长度为L的单摆的周期计算公式。 马上拿纸做，下课交，做什么程度算什么样。
引入变量t：0 t d 表示厚度的变化，
引入函数f(t)表示通过厚度t后的浓度：8% f (t) f (d)
微分方程ppt课件
F(x, y, y) 0
(1.8)
如果在(1.8)中能将 y 解出，则得到方程
y f (x, y)
(1.9)
或
M (x, y)dx N(x, y)dy 0
(1.10)
(1.8)称为一阶隐式方程,(1.9)称为一阶显式方程，(1.10)称为微 分形式的一阶方程.
14
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推得
c1 v0
c2 H
于是，得到满足上述初值条件的特解为
xx(t()t)H12gt122 gt2c1t v0ct 2
(1.14)
22
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它描述了初始高度为H，初始速度为v0的自由落体运 动规律.
求微分方程满足初值条件的解的问题称为初值 问题.
于是我们称(1.14)是初值问题
4
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目
录
第一章 初等积方法 第二章 基本定理 第三章 一阶线性微分方程组 第四章 n阶线性微分方程 第五章 定性与稳定性理论简介 第六章 一阶偏微分方程初步
5
机动 目录 上页 下页 返回 结束
第一讲
第一章 初等积分法
1.1 微分方程和解
300多年前，由牛顿(Newton,1642-1727)和 莱布尼兹(Leibniz,1646-1716)所创立的微积分学， 是人类科学史上划时代的重大发现，而微积分 的产生和发展，又与求解微分方程问题密切相 关.这是因为，微积分产生的一个重要动因来自 于人们探求物质世界运动规律的需求.
12
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例如下面的方程都是常微分方程
dy 2x dx
(1.4)
数学建模--微分、积分和微分方程PPT课件
若用雷达进行跟踪，保持船的瞬时 速度方向始终指向走私船，
缉私舰的运动轨迹是怎样的？是否 能够追上走私船？
如果能追上，需要用多长时间？
2021精选ppt
22
应用、思考和练习(追击问题)
y M0
M(x, y)
d
S0
S
2021精选ppt
x
23
应用、思考和练习(追击问题)
d2x d y2
r
(
1(dd
x)2)/ y
（1）定义法，取近似和的极限。
高等数学中不是重点内容 但数值积分的各种算法却是基于定义建立的
（2）用不定积分计算定积分。
不定积分是求导的逆运算， 而定积分是连续变量的求和（曲边梯形的面积） 表面上看是两个完全不同的概念， 通过牛顿－莱布尼兹公式联系在一起，
（3）解微分方程计算定积分
2021精选ppt
drawnow
end2021精选ppt来自29电影动画制作（zxy7_3)
moviein、 getframe、movie指令
x=-8:0.5:8; [XX,YY]=meshgrid(x);
r=sqrt(XX.^2+YY.^2)+eps;
Z=sin(r)./r;
surf(Z); %画出祯
theAxes=axis; %保存坐标值，使得所有帧都在同
例：求极限：
limsin(xs) in(3x) x0 sin(x)
syms x a
I1=limit(‘(sin(x)-sin(3*x))/sin(x)’,x,0) 运行结果
2021精选ppt
12
符号微积分(求导）
diff(f,‘var’,n) 求 f 对变量var 的n阶导数 缺省n时为求一阶导数 缺省变量'var' 时，默认变量为x 可用来求单变量函数导数 多变量函数的偏导数 还可以求抽象函数的导数
缉私舰的运动轨迹是怎样的？是否 能够追上走私船？
如果能追上，需要用多长时间？
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22
应用、思考和练习(追击问题)
y M0
M(x, y)
d
S0
S
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x
23
应用、思考和练习(追击问题)
d2x d y2
r
(
1(dd
x)2)/ y
（1）定义法，取近似和的极限。
高等数学中不是重点内容 但数值积分的各种算法却是基于定义建立的
（2）用不定积分计算定积分。
不定积分是求导的逆运算， 而定积分是连续变量的求和（曲边梯形的面积） 表面上看是两个完全不同的概念， 通过牛顿－莱布尼兹公式联系在一起，
（3）解微分方程计算定积分
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x=-8:0.5:8; [XX,YY]=meshgrid(x);
r=sqrt(XX.^2+YY.^2)+eps;
Z=sin(r)./r;
surf(Z); %画出祯
theAxes=axis; %保存坐标值，使得所有帧都在同
例：求极限：
limsin(xs) in(3x) x0 sin(x)
syms x a
I1=limit(‘(sin(x)-sin(3*x))/sin(x)’,x,0) 运行结果
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12
符号微积分(求导）
diff(f,‘var’,n) 求 f 对变量var 的n阶导数 缺省n时为求一阶导数 缺省变量'var' 时，默认变量为x 可用来求单变量函数导数 多变量函数的偏导数 还可以求抽象函数的导数
3~~4 微分方程方法建模
3.1.1 人的体重
问题分析
体重w
时间t 函数w(t) , 连续可微
找到体重w(t)满足的微分方程即可求出函数w(t)
“变化率” “导数”
微元法
3.1.1 人的体重
进一步分析
由题意可知, “每天”体重变化应满足下面描述 体重的变化＝输入－输出 输入＝扣除基本的新陈代谢之后的净重量吸收
净吸收量/天＝10467(焦/天)－5038(焦/天) ＝5429(焦/天) 输出＝进行健身训练时的消耗 运动消耗3.1.2 常微分方程建模基
本准则
常微分方程建模应符合下面基本准则：
建立瞬时表达式：微分方程是一个在任何时刻都必须正 确的瞬时表达式。由此根据寻找到问题所遵循的模式， 建立起在自变量时段 t上的函数x(t)的增长量 x 表达式
t 0 即得到
d x 的表达式 d t
单位：在建模中应注意每一项应采用同样的物理单位；
草地积了h厘米高的水量 草地水量的改变
微分方程建模方法
根据函数及其变化率(导数)之间的关系确定函数 根据建模目的和问题分析作出简化假设
按照内在规律(模式)或用类比法建立微分方程
3.1 微分方程建模 3.1.1 人的体重
3.1.2 常微分方程建模基本准则
3.1.1 人的体重
问题
研究此人的体重随时间变化的规律
某人的食量是10467（焦/天），其中5038 （焦/天）用于基本的新陈代谢(即自动消耗)。 在健身训练中，他所消耗的热量大约是69（焦/ 公斤· 天）乘以他的体重(公斤)。 假设以脂肪形式贮藏的热量100％的有效， 而1公斤脂肪含热量41868焦。
翻译：将研究的对象翻译成为时间变量的连续函数； 转化：在实际问题中, 有许多表示导数的常用词，如“速 率”, “增长率”(在生物学、人口学问题研究中), “衰变 率”(在 放射性问题中)及“边际”(在经济学中)等； 模式：找出问题遵循的模式，大致可按下面两种方法： 1）利用熟悉的力学、数学、物理、化学等学科中的规律， 对某些实际问题直接列出微分方程； 2）模拟近似法，在生物、经济等学科中，许多现象所满足 的规律并不清楚，而且现象也相当复杂，但都可以遵循下 面的模式 改变率＝净变化率＝输入率－输出率
《微分法建模》课件
传染病传播模型
总结词
预测和控制传染病传播
详细描述
传染病传播模型基于微分方程，描述了疾病在人群中的传播过程。该模型考虑了感染率、恢复率以及易感者和感 染者之间的相互作用，为预防和控制传染病提供了理论支持。
经济周期模型
总结词
分析经济活动的周期性波动
详细描述
经济周期模型采用微分方程来描述经济活动的周期性波动。该模型考虑了经济增长、通货膨胀、利率 等因素，通过求解微分方程，可以预测经济周期的转折点，为政策制定提供依据。
将微分法建模应用于图像识别、目标跟踪等领域，提高计算机视觉系统的准确性和实时性 。
微分法建模在机器人学中的应用
利用微分法建模对机器人进行控制和优化，提高机器人的运动性能和自主性。
THANK YOU
感谢观看
界中的系统。
缺点
复杂性
微分法建模通常需要处理高 维度的微分方程，这使得模 型求解和参数估计变得复杂 和计算密集。
数据需求
为了建立有效的微分法模型 ，需要大量的数据来估计模 型参数和验证模型的预测能 力。
不确定性
由于现实世界的复杂性和不 确定性，微分法模型可能无 法完全准确地描述系统的动 态行为。
参数敏感性
进行求解计算
根据选择的求解方法，进行求解计算，得出模型的解。
分析解的性质
对模型的解进行分析，了解解的性质和规律。
验证模型
对比模型与实际数据
将模型的解与实际数据进行对比，验证模型的准确性和可靠性。
分析误差和不确定性
分析模型误差和不确定性来源，提高模型的精度和可靠性。
改进和完善模型
根据验证结果，对模型进行改进和完善，提高模型的适用性和实 用性。
工程学
第四部分微分方程建模
为了保持自然资料的合理开发与利用，人类必须保持并 控制生态平衡，甚至必须控制人类自身的增长。
本节将建立几个简单的单种群增长模型，以简略分析一
下这方面离的散问化题为。连一续般，生方态系统的分析可以通过一些简单模
型的复合来研究便，研大究家若有兴趣可以根据生态系统的特征自
行建立相应的模型。
美丽的大自然
种群的数量本应取离散值，但由于种群数 量一般较大，为建立微分方程模型，可将种群 数量看作连续变量，甚至允许它为可微变量， 由此引起的误差将是十分微小的。
的时间称为药物的血浆半衰期：
t1
2
ln 2 k
环境 机体
只输出不 输入房室
x(t)
x(0) D
dx dt 出
情况2 恒速静脉点滴
药物似恒速点滴方式进入体内，即: dx
则体内药物总量满足：
dx dt
K0
kx
dt
（x(0)=0）
设的水内即从部：小磨孔擦dd流力ht 出和的表[R0速面.26S度张(R2为力hgh的v)(2]t假)，定由下力，学有定：律，在不计水
这是可 (分t) 离0变.6 量2g的h 一阶微分方程，得
因体积守T衡dV，R0 又[可0Rr.622d得Sh(R2：gshh)d2t] dh
l
mg
图4-1
例2 一个半径为Rcm的半球形容器内开始时盛满了
水，但由于其底部一个面积为Scm2的小孔在t=0时刻
被打开，水被不断放出。问：容器中的水被放完总共 需要多少时间？ 解: 以容器的底部O点为 原点，取坐标系如图3.3所示。 令h(t)为t时刻容器中水的高度，现建立h(t)满足的微分 方程。
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➢确定条件：这些条件是关于系统在某一特定时刻或边界 上的信息，它们独立于微分方程而成立，用于确定有关 的常数，为了完整、充分地给出问题陈述，应将这些给 定的条件和微分方程一起给出。
3.2 草地水量模型
问题
草地网球比赛常因下雨而被迫中断，只有草坪 的最上层充分干以后，才能够继续比赛。雨停 之后，部分雨水直接渗入地下，部分蒸发到空 气中去。一些机械装置可以用来加速干燥过程， 但为避免损伤草皮，最好让草地自然地变干， 能否建立一个数学模型描述这一干燥过程.
第三章 微分方程方法建模
3.1 微分方程建模 3.2 草地水量模型 3.3 传染病模型 3.4 食饵-捕食者模型
3.1 微分方程建模
微分方程模型属于动态模型
➢ 描述所研究对象特征随时间(空间)的演变过程 ➢ 分析所研究对象特征的变化规律 ➢ 预报所研究对象特征的未来性态 ➢ 研究控制所研究对象特征的手段
3.2 草地水量模型
问题陈述
➢草地开始是干的，突然开始下雨，雨大约 持续c小时, 雨在草地中聚积了h厘米高的水;
➢雨停后，通过渗入、蒸发使草地的积水减 少，最终自然变干，恢复比赛。
➢由此可将研究对象视为草地积单位面积的 水量Q, 它是时间t 的函数.
需要建立模型求出Q(t)，并能预测下雨 后多长时间t1 ，使Q(t1)=0。
微分方程建模方法
➢ 根据函数及其变化率(导数)之间的关系确定函数 ➢ 根据建模目的和问题分析作出简化假设 ➢ 按照内在规律(模式)或用类比法建立微分方程
3.1 微分方程建模
3.1.1 人的体重 3.1.2 常微分方程建模基本准则
3.1.1 人的体重
问题 研究此人的体重随时间变化的规律
某人的食量是10467（焦/天），其中5038 （焦/天）用于基本的新陈代谢(即自动消耗)。 在健身训练中，他所消耗的热量大约是69（焦/ 公斤·天）乘以他的体重(公斤)。
输入＝扣除基本的新陈代谢之后的净重量吸收
净吸收量/天＝10467(焦/天)－5038(焦/天)
输出＝进行运健动身消耗训/天练＝＝时6594焦的29(/(公消焦斤/天耗·天) )×w(t)(公
斤)
导数意义的陈述
体重的变化/天＝净吸收量/天－运动消耗/天
3.1.1 人的体重
模型建立
连续函数w(t)的瞬时关系满足下面关系式
率”(在 放射性问题中)及“边际”(在经济学中)等；
➢ 模式：找出问题遵循的模式，大致可按下面两种方法： 1）利用熟悉的力学、数学、物理、化学等学科中的规律， 对某些实际问题直接列出微分方程； 2）模拟近似法，在生物、经济等学科中，许多现象所满足 的规律并不清楚，而且现象也相当复杂，但都可以遵循下 面的模式 改变率＝净变化率＝输入假设
1．开始时草地是干的,下雨时只考虑渗透排水,雨停 后水是通过渗透,蒸发排除的,其它因素不考虑。
2．渗透率、蒸发率与草地的水量成正比，不考虑 空气中的湿度与温度；
3．降雨速度为常数。
3.2 草地水量模型
问题分析
开始时
下雨时
若草地是干的，即Q(0)=0。
r米/秒降雨速度
持续c小时
体重的变化/天＝ w(t t) w(t)(公斤/天) t
＝ w/ t（公斤/天）
将两单位换算成统一形式：
公斤/天＝ 焦/天 41868焦/公斤
3.1.1 人的体重
模型建立
由上述分析，体重w(t)满足下面关系式
w t(公 斤 /天 ） 5 4 2 9 （ 焦 4 1 /8 天 6 8 ） 焦 6 /公 9 w （ 斤 焦 /天 ） 两边的物理单位量纲一致，令
草地积了h厘米高的水量
草地水量的改变
水的流入量（降雨过程） 流出量（渗透过程）
停雨后 草地水量的改变 流出量(渗透、蒸发过程) 由此本模型应遵循下面的模式：
草地积水量的改变量＝流入量－流出量 （1）
3.2 草地水量模型
模型建立
A （平方米）: 草地的面积 a 单位时间内单位水量的渗透量 b 单位时间内单位水量的蒸发量
16
即 t , w 平 稳 11 36 00(公 斤 )81.25(公 斤 )
3.1.2 常微分方程建模基
本准则
常微分方程建模应符合下面基本准则：
➢翻译：将研究的对象翻译成为时间变量的连续函数；
➢转化：在实际问题中, 有许多表示导数的常用词，如“速 率”, “增长率”(在生物学、人口学问题研究中), “衰变
3.1.2 常微分方程建模基
本准则
常微分方程建模应符合下面基本准则：
➢ 建立瞬时表达式：微分方程是一个在任何时刻都必须正 确的瞬时表达式。由此根据寻找到问题所遵循的模式， 建立起在自变量时段 t上的函数x(t)的增长量 x表达式
t 0 即得到 d x 的表达式
dt
➢单位：在建模中应注意每一项应采用同样的物理单位；
130106w(t)(130 1w 0 6 0)ex1 pt6 (/10)000
w (t) 1 3 0 0 (1 3 0 0 1 6 w 0)e x p ( 1 6 t/1 0 0 0 0 ) 1 6 1 6
3.1.1 人的体重
模型解释
由上述表达可知，随着时间的变化，人的体重最终
趋于一种平稳的值 1300 (公 斤 )
t,t t 时间内(1)式各量的描述:
草地积水量的改变量＝ Q(t)A
流入量－流出量
t 0
lim
t 0
dw130016w dt 10000
w(0) w0
3.1.1 人的体重
模型求解
dw(t) dt
130016w(t) 10000
分离变量法
d(16w(t)) 16dt 130016w(t) 10000
130016w(t) ln
16t
130016w(0) 10000
0到t
积分
1 3 0 0 1 6 w ( t ) 1 3 0 0 1 6 w ( 0 ) e x p ( 1 6 t/ 1 0 0 0 0 )
假设以脂肪形式贮藏的热量100％的有效， 而1公斤脂肪含热量41868焦。
3.1.1 人的体重
问题分析 体重w
时间t
函数w(t) , 连续可微
找到体重w(t)满足的微分方程即可求出函数w(t)
“变化率”
“导数”
微元法
3.1.1 人的体重
进一步分析
由题意可知, “每天”体重变化应满足下面描述 体重的变化＝输入－输出
3.2 草地水量模型
问题
草地网球比赛常因下雨而被迫中断，只有草坪 的最上层充分干以后，才能够继续比赛。雨停 之后，部分雨水直接渗入地下，部分蒸发到空 气中去。一些机械装置可以用来加速干燥过程， 但为避免损伤草皮，最好让草地自然地变干， 能否建立一个数学模型描述这一干燥过程.
第三章 微分方程方法建模
3.1 微分方程建模 3.2 草地水量模型 3.3 传染病模型 3.4 食饵-捕食者模型
3.1 微分方程建模
微分方程模型属于动态模型
➢ 描述所研究对象特征随时间(空间)的演变过程 ➢ 分析所研究对象特征的变化规律 ➢ 预报所研究对象特征的未来性态 ➢ 研究控制所研究对象特征的手段
3.2 草地水量模型
问题陈述
➢草地开始是干的，突然开始下雨，雨大约 持续c小时, 雨在草地中聚积了h厘米高的水;
➢雨停后，通过渗入、蒸发使草地的积水减 少，最终自然变干，恢复比赛。
➢由此可将研究对象视为草地积单位面积的 水量Q, 它是时间t 的函数.
需要建立模型求出Q(t)，并能预测下雨 后多长时间t1 ，使Q(t1)=0。
微分方程建模方法
➢ 根据函数及其变化率(导数)之间的关系确定函数 ➢ 根据建模目的和问题分析作出简化假设 ➢ 按照内在规律(模式)或用类比法建立微分方程
3.1 微分方程建模
3.1.1 人的体重 3.1.2 常微分方程建模基本准则
3.1.1 人的体重
问题 研究此人的体重随时间变化的规律
某人的食量是10467（焦/天），其中5038 （焦/天）用于基本的新陈代谢(即自动消耗)。 在健身训练中，他所消耗的热量大约是69（焦/ 公斤·天）乘以他的体重(公斤)。
输入＝扣除基本的新陈代谢之后的净重量吸收
净吸收量/天＝10467(焦/天)－5038(焦/天)
输出＝进行运健动身消耗训/天练＝＝时6594焦的29(/(公消焦斤/天耗·天) )×w(t)(公
斤)
导数意义的陈述
体重的变化/天＝净吸收量/天－运动消耗/天
3.1.1 人的体重
模型建立
连续函数w(t)的瞬时关系满足下面关系式
率”(在 放射性问题中)及“边际”(在经济学中)等；
➢ 模式：找出问题遵循的模式，大致可按下面两种方法： 1）利用熟悉的力学、数学、物理、化学等学科中的规律， 对某些实际问题直接列出微分方程； 2）模拟近似法，在生物、经济等学科中，许多现象所满足 的规律并不清楚，而且现象也相当复杂，但都可以遵循下 面的模式 改变率＝净变化率＝输入假设
1．开始时草地是干的,下雨时只考虑渗透排水,雨停 后水是通过渗透,蒸发排除的,其它因素不考虑。
2．渗透率、蒸发率与草地的水量成正比，不考虑 空气中的湿度与温度；
3．降雨速度为常数。
3.2 草地水量模型
问题分析
开始时
下雨时
若草地是干的，即Q(0)=0。
r米/秒降雨速度
持续c小时
体重的变化/天＝ w(t t) w(t)(公斤/天) t
＝ w/ t（公斤/天）
将两单位换算成统一形式：
公斤/天＝ 焦/天 41868焦/公斤
3.1.1 人的体重
模型建立
由上述分析，体重w(t)满足下面关系式
w t(公 斤 /天 ） 5 4 2 9 （ 焦 4 1 /8 天 6 8 ） 焦 6 /公 9 w （ 斤 焦 /天 ） 两边的物理单位量纲一致，令
草地积了h厘米高的水量
草地水量的改变
水的流入量（降雨过程） 流出量（渗透过程）
停雨后 草地水量的改变 流出量(渗透、蒸发过程) 由此本模型应遵循下面的模式：
草地积水量的改变量＝流入量－流出量 （1）
3.2 草地水量模型
模型建立
A （平方米）: 草地的面积 a 单位时间内单位水量的渗透量 b 单位时间内单位水量的蒸发量
16
即 t , w 平 稳 11 36 00(公 斤 )81.25(公 斤 )
3.1.2 常微分方程建模基
本准则
常微分方程建模应符合下面基本准则：
➢翻译：将研究的对象翻译成为时间变量的连续函数；
➢转化：在实际问题中, 有许多表示导数的常用词，如“速 率”, “增长率”(在生物学、人口学问题研究中), “衰变
3.1.2 常微分方程建模基
本准则
常微分方程建模应符合下面基本准则：
➢ 建立瞬时表达式：微分方程是一个在任何时刻都必须正 确的瞬时表达式。由此根据寻找到问题所遵循的模式， 建立起在自变量时段 t上的函数x(t)的增长量 x表达式
t 0 即得到 d x 的表达式
dt
➢单位：在建模中应注意每一项应采用同样的物理单位；
130106w(t)(130 1w 0 6 0)ex1 pt6 (/10)000
w (t) 1 3 0 0 (1 3 0 0 1 6 w 0)e x p ( 1 6 t/1 0 0 0 0 ) 1 6 1 6
3.1.1 人的体重
模型解释
由上述表达可知，随着时间的变化，人的体重最终
趋于一种平稳的值 1300 (公 斤 )
t,t t 时间内(1)式各量的描述:
草地积水量的改变量＝ Q(t)A
流入量－流出量
t 0
lim
t 0
dw130016w dt 10000
w(0) w0
3.1.1 人的体重
模型求解
dw(t) dt
130016w(t) 10000
分离变量法
d(16w(t)) 16dt 130016w(t) 10000
130016w(t) ln
16t
130016w(0) 10000
0到t
积分
1 3 0 0 1 6 w ( t ) 1 3 0 0 1 6 w ( 0 ) e x p ( 1 6 t/ 1 0 0 0 0 )
假设以脂肪形式贮藏的热量100％的有效， 而1公斤脂肪含热量41868焦。
3.1.1 人的体重
问题分析 体重w
时间t
函数w(t) , 连续可微
找到体重w(t)满足的微分方程即可求出函数w(t)
“变化率”
“导数”
微元法
3.1.1 人的体重
进一步分析
由题意可知, “每天”体重变化应满足下面描述 体重的变化＝输入－输出