高中数学选修2-3 北师大版 超几何分布 同步练习(含答案)

选修2-3 2.2超几何分布 同步练习【选择题】1、已知某厂的产品合格率为90%，抽出10件产品检查，则下列说法正确的是（ D ）A 合格产品少于9件B 合格产品多于9件C 合格产品正好为9件D 合格产品可能是9件2、从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台参加展览，其中至少有原装与组装计算机各2台的概率为 （ A ）()A 32236565511C C C C C ⋅+⋅ ()B 3268511C C C ⋅ ()C 2258511C C C ⋅ ()D 221657511C C C C ⋅⋅3、在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同。

从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于 （ A ）（A ）27 （B ）38 （C ）37 （D ）9284、某12人的兴趣小组中，有5名“三好生”，现从中任意选6人参加竞赛，用ε表示这6人中“三好生”的人数，则下列概率中等于6123735C C C 的是（ B ） A ．P （ε=2） B ．P （ε=3） C ．P （ε≤2） D ．P （ε≤3）【填空题】5、某厂的产品次品率为20%，该厂8000件产品中次品大概为 1600 件。

6、在100个产品中，有10个是次品，若从这100个产品中任取5个，其中恰有2个次品的概率等于_________________7．在20瓶饮料中，有2瓶已过了保质期，从中任取1瓶，取到已过保质期的饮料的概率为【解答题】8、有10件产品，其中有2件次品，从中随机抽取3件，求：(1)其中恰有1件次品的概率；(2)至少有一件次品的概率、9、甲、乙二人参加知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙二人依次各抽一题、①甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少?②甲、乙二人中至少有一个抽到选择题的概率是多少?10、在一次口试中，要从10道题中随机抽出3道题进行回答，答对了其中2道题就获得及格，某考生会回答10道题中的6道题，那么他（她）获得及格的概率是多少？11、在80件产品中，有50件一等品，20件二等品，10件三等品，从中任取3件，计算：⑴3件都是一等品的概率；⑵2件是一等品、1件是二等品的概率；⑶一等品、二等品、三等品各有一件的概率参考答案1、D2、A3、A4、B5、16006、5100390210C C C 7、10%8、 (1)157 (2)158 9、解：①甲从选择题中抽到一题的可能结果有C 61个，乙从判断题中抽到一题的可能结果有C 41个，又甲、乙依次抽一题的结果共有C 101·C 91个，所以甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是：191101416C C C C ＝154 ②甲、乙二人依次都抽到判断题的概率为191101314C C C C ，故甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率为1-191101314C C C C ＝1513，所求概率为1513或：191101516C C C C +191101416C C C C +191101614C C C C ＝31+154+154＝1513，所求概率为1513 10、 12346633101023C C C C C += 11、 ⑴3503802451027C C =；⑵21502038012254108C C C =；⑶1115020103801251027C C C C =。

学业分层测评 (建议用时：45分钟)一、选择题1．从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张是A 的概率为( ) A.C 34C 248C 552 B.C 348C 24C 552 C ．1－C 148C 44C 552D.C 34C 248＋C 44C 148C 552【解析】 从52张扑克牌中任意抽出5张，至少有3张A 的结果数是C 34C 248＋C 44C 148，故所求概率为C 34C 248＋C 44C 148C 552. 【答案】 D2．一个盒子里装有相同大小的黑球10个，红球12个，白球4个，从中任取2个，其中白球的个数记为X ，则P (X ≤1)等于( )A.C 122C 14＋C 222C 26 B.C 112C 14＋C 24C 26 C.C 110C 14＋C 222C 226D.C 110C 14＋C 24C 226【解析】 由已知得，X 的可能取值为0,1,2. P (X ＝0)＝C 222C 226；P (X ＝1)＝C 122C 14C 226；P (X ＝2)＝C 24C 226，∴P (X ≤1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 122C 14＋C 222C 226. 【答案】 A3．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么310等于( )A ．恰有1只是坏的的概率B ．恰有两只是好的的概率C ．4只全是好的的概率D ．至多有两只是坏的的概率【解析】 恰好两只是好的概率为P ＝C 23C 27C 410＝310.【答案】 B4．某12人的兴趣小组中，有5名“特困生”，现从中任意选6人参加竞赛，用ξ表示这6人中“特困生”的人数，则下列概率中等于C 35C 37C 612的是( )A ．P (ξ＝2)B ．P (ξ＝3)C ．P (ξ≤2)D ．P (ξ≤3)【解析】 6人中“特困生”的人数为ξ，则其选法数为C ξ5·C 6－ξ7，当ξ＝3时，选法数为C 35C 37，故P (ξ＝3)＝C 35C 37C 612.【答案】 B5．一个盒子里装有相同大小的红球、白球共30个，其中白球4个．从中任取两个，则概率为C 126C 14＋C 24C 230的事件是( ) 【导学号：62690032】 A ．没有白球 B ．至少有一个白球 C ．至少有一个红球D ．至多有一个白球【解析】 C 126C 14＋C 24C 230＝C 126C 14C 230＋C 24C 230表示任取的两个球中只有一个白球和两个都是白球的概率，即至少有一个白球的概率．【答案】 B 二、填空题6．一批产品共50件，其中5件次品，其余均为合格品，从这批产品中任意抽取两件，其中出现次品的概率为________．【解析】 设抽取的两件产品中次品的件数为X ， 则P (X ＝k )＝C k 5C 2－k45C 250(k ＝0,1,2)．∴P (X >0)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝C 15C 145C 250＋C 25C 250＝47245.【答案】472457．在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过了保质期饮料的概率为________．(结果用最简分数表示)【解析】 从这30瓶饮料中任取2瓶，设至少取到1瓶已过了保质期饮料为事件A ，则P (A )＝C 127C 13C 230＋C 23C 230＝28145.【答案】281458．袋中有3个黑球，4个红球，除颜色外，其他均相同，从袋中任取3个球，则至少有一个红球的概率为________．【解析】 令X 表示取出的黑球个数，则X ＝0,1,2,3，P (X ＝0)＝C 33C 37＝135，故至少有一个红球的概率为P (X ≥1)＝1－135＝3435.【答案】3435三、解答题9．现有10张奖券，其中8张1元，2张5元，从中同时任取3张，求所得金额的分布列．【解】 设所得金额为X ，X 的可能取值为3,7,11. P (X ＝3)＝C 38C 310＝715，P (X ＝7)＝C 28C 12C 310＝715，P (X ＝11)＝C 18·C 22C 310＝115.故X 的分布列为10.老师要从102篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列； (2)他能及格的概率．【解】 (1)设抽到他能背诵的课文的数量为X ，则P (X ＝k )＝C k 6C 3－k 4C 310(k ＝0,1,2,3)．P (X ＝0)＝C 06C 34C 310＝130，P (X ＝1)＝C 16C 24C 310＝310，P (X ＝2)＝C 26C 14C 310＝12，P (X ＝3)＝C 36C 04C 310＝16.所以X 的分布列为(2)他能及格的概率为P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝2＋6＝23.1．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量：①X 表示取出的最大号码； ②X 表示取出的最小号码；③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X 表示取出的4个球的总得分； ④X 表示取出的黑球个数．这四种变量中服从超几何分布的是( ) A ．①② B ．③④ C ．①②④D ．①②③④【解析】 由超几何分布的概念知③④符合，故选B. 【答案】 B2．现有语文、数学课本共7本(其中语文课本不少于2本)，从中任取2本，至多有1本语文课本的概率是57，则语文课本的本数为( ) 【导学号：62690033】A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】 设语文课本有m 本，任取2本书中的语文课本数为X ，则X 服从参数为N ＝7，M ＝m ，n ＝2的超几何分布，其中X 的所有可能取值为0,1,2，且P (X ＝k )＝C k m C 2－k7－mC 27(k ＝0,1,2)．由题意，得P (X ≤1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 0m C 27－m C 27＋C 1m C 17－mC 27＝12×－m－m21＋m－m 21＝57. ∴m 2－m －12＝0，解得m ＝4或m ＝－3(舍去)． 即7本书中语文课本有4本． 【答案】 C3．口袋内装有10个大小相同的球，其中5个球标有数字0,5个球标有数字1，若从口袋中摸出5个球，那么摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率是________(用数字作答)．【解析】 设摸出标有数字1的球的个数为X ，则所求的概率为： 1－P (X ＝2)－P (X ＝3)＝1－C 25C 35C 510－C 35C 25C 510＝1－5063＝1363.【答案】13634．盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分．现从盒内任取3个球．(1)求取出的3个球中至少有一个红球的概率； (2)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；(3)设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的分布列． 【解】 (1)P ＝1－C 37C 39＝712.(2)记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B ，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C ，则P (B ＋C )＝P (B )＋P (C )＝C 12C 23C 39＋C 22C 14C 39＝542.(3)ξ可能的取值为0,1,2,3，ξ服从超几何分布， 且P (ξ＝k )＝C k 3C 3－k6C 39，k ＝0,1,2,3.故P (ξ＝0)＝C 36C 39＝521，P (ξ＝1)＝C 13C 26C 39＝1528，P (ξ＝2)＝C 23C 16C 39＝314，P (ξ＝3)＝C 33C 39＝184，ξ的分布列为。

第二章 §2一、选择题1．袋中有除颜色外完全相同的3个白球和2个红球，从中任取2个，那么下列事件中发生的概率为710的是( )A ．都不是白球B ．恰有1个白球C ．至少有1个白球D ．至多有1个白球[答案] D[解析] P (都不是白球)＝C 22C 25＝110，P (恰有1个白球)＝C 13C 12C 25＝35，P (至少有1个白球)＝C 13C 12＋C 23C 25＝910， P (至多有1个白球)＝C 22＋C 13C 12C 25＝710故选D. 2．有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这20个零件中任取3个，那么至少有一个是一等品的概率是( )A.C 116C 24C 320 B.C 216C 24C 320C.C 216C 14＋C 316C 320D ．以上均不对[答案] D[解析] 至少有一个是一等品的概率是C 116C 24＋C 216C 14＋C 316C 04C 320. 3．某电视台有一次对收看新闻节目观众的抽样调查中， 随机抽取了45名电视观众，其中20至40岁的有18人，大于40岁的有27人．用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，在这5名观众中再任取2人，则恰有1名观众的年龄在20至40岁的概率为( )A.15B.35 C.310 D.110[答案] B[解析] 由于是分层抽样，所以5名观众中，年龄为20至40岁的有1845×5＝2人．设随机变量X 表示20至40岁的人数，则X 服从参数为N ＝5，M ＝2，n ＝2的超几何分布，故P (X ＝1)＝C 12C 13C 25＝35.二、填空题4．在3名女生和2名男生中任选2人参加一项交流活动，其中至少有1名男生的概率为________．[答案] 0.7[解析] 5名学生中抽取2人的方法有C 25种，至少有1名男生参加的可能结果有C 12C 13＋C 22种，所以概率为C 12C 13＋C 22C 25＝0.7. 5．从一副不含大小王的52张扑克牌中任意抽出5张，至少有3张A 的概率是________． [答案] 0.001 8[解析] 因为一副扑克牌中有4张A ，所以根据题意，抽到扑克牌A 的张数X 为离散型随机变量，且X 服从参数为N ＝52，M ＝5，n ＝4的超几何分布，它的可能取值为0,1,2,3,4，根据超几何分布的公式得至少有3张A 的概率为P (X ≥3)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝C 34C 248C 552＋C 44C 148C 552＝4×1 1282 598 960＋1×482 598 960≈0.001 8.故至少有3张A 的概率约为0.001 8. 三、解答题6．盒中有16个白球和4个黑球，从中任意取出3个，设ξ表示其中黑球的个数，求出ξ的分布列．[分析] 显然这是一个超几何分布的例子．N ＝20，M ＝4，n ＝3.利用P (ξ＝m )＝C m M C n －m N －MC n N求出概率值，则分布列可得．[解析] ξ可能取的值为0,1,2,3，P (ξ＝0)＝C 04C 316C 320，P (ξ＝1)＝C 14C 216C 320，P (ξ＝2)＝C 24C 116C 320，P (ξ＝3)＝C 34C 016C 320.∴ξ的分布列为[点评] P (ξ＝m )＝C m M C n －mN －M C n N的意义，然后求出的相应的概率，列出分布列即可.一、选择题1．10名同学中有a 名女生，若从中抽取2个人作为学生代表，则恰抽取1名女生的概率是1645，则a ＝( )A ．1B ．2或8C ．2D ．8[答案] B[解析] 设X 表示抽取的女生人数，则X 服从超几何分布，P (X ＝1)＝C 1a C 110－aC 210＝a (10－a )45＝1645，解得a ＝2或a ＝8. 2．一个盒子里装有除颜色外完全相同的黑球10个，红球12个，白球4个，从中任取2个，其中白球的个数记为X ，则下列算式中等于C 122C 14＋C 222C 226的是( )A ．P (0<X ≤2)B ．P (X ≤1)C ．P (X ＝1)D ．P (X ＝2)[答案] B[解析] 由C 122C 14＋C 222可知，是从22个元素中取1个与从4个元素中取1个的可能取法种数之积，加上从22个元素中取2个元素的可能取法种数，即4个白球中至多取1个，故选B.3．若在甲袋内装有8个白球，4个红球，在乙袋内装有6个白球，6个红球．今从两袋里任意取出1个球，设取出的白球个数为X ，则下列概率中等于C 18C 16＋C 14C 16C 112C 112的是( ) A ．P (X ＝0) B ．P (X ≤2) C ．P (X ＝1) D ．P (X ＝2)[答案] C[解析] 当X ＝1时，有甲袋内取出的是白球，乙袋内取出的是红球或甲袋内取出的是红球，乙袋内取出的是白球个数是X ＝1时，有P (X ＝1)＝C 18C 16＋C 14C 16C 112C 112. 4．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X 表示取得次品的个数，则P (X <2)等于( )A.715 B.815 C.1415 D ．1[答案] C[解析] 由题意，知X 取0,1,2，X 服从超几何分布，它取每个值的概率都符合等可能事件的概率公式，即P (X ＝0)＝C 27C 210＝715，P (X ＝1)＝C 17·C 13C 210＝715，P (X ＝2)＝C 23C 210＝115，于是P (X <2)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝715＋715＝1415.5．盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机抽取4个，那么310等于( )A ．恰有1个是坏的概率B ．恰有2个是好的概率C ．4个全是好的概率D ．至多有2个是坏的概率 [答案] B[解析] A 中“恰有1个是坏的概率”为P 1＝C 13C 37C 410＝105210＝12；B 中“恰有2个是好的概率”为P 2＝C 27C 23C 410＝310；C 中“4个全是好的概率”为P 3＝C 47C 410＝16；D 中“至多有2个是坏的概率”为P 4＝P 1＋P 2＋P 3＝2930，故选B.二、填空题6．某班有50名学生，其中15人选修A 课程，另外35人选修B 课程，从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是________．[答案] 37[解析] 将50名学生看做一批产品，其中选修A 课程为不合格品，选修B 课程为合格品，随机抽取两名学生，X 表示选修A 课程的学生数，则X 服从超几何分布，其中N ＝50，M ＝15，n ＝2.依题意所求概率为P (X ＝1)＝C 115C 2－150－15C 250＝37. 7．一批产品共50件，其中5件次品，45件合格品，从这批产品中任意抽两件，则其中出现次品的概率为________．[答案]47245[解析] 设抽到次品的件数为X ，则X 服从参数为N ＝50，M ＝5，n ＝2的超几何分布，于是出现次品的概率为P (X ≥1)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝C 15C 2－150－5C 250＋C 25C 2－250－5C 250＝949＋2245＝47245. 即出现次品的概率为47245.三、解答题8．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X 表示所选3人中女生的人数．(1)求X 的分布列；(2)求“所选3人中女生人数不大于1”的概率．[分析] 这个问题与取产品的问题类似，从中发现两个问题在本质上的一致性，从而可用超几何分布来解决此问题．[解析] (1)X 的可能取值为0,1,2，P (X ＝k )＝C k 2C 3－k 4C 36，k ＝0,1,2.所以X 的分布列为(2)P (X ≤1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝15＋35＝45.[点评] 本题考查超几何分布及分布列等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力．解此类题首先要分析题意，确定所给问题是否是超几何分布问题，若是，则写出参数N ，M ，n 的取值，然后利用超几何分布的概率公式求出相应的概率，写出其分布列．9．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道试题，乙能答对其中的8道试题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，答对一题得5分，答错一题得0分．求：(1)甲答对试题数X 的分布列； (2)乙所得分数Y 的分布列． [解析] (1)X 的可能取值为0,1,2,3. P (X ＝0)＝C 34C 310＝130，P (X ＝1)＝C 24C 16C 310＝310，P (X ＝2)＝C 14C 26C 310＝12，P (X ＝3)＝C 36C 310＝16.所以甲答对试题数X 的分布列为(2)P (Y ＝5)＝C 22C 18C 310＝115，P (X ＝10)＝C 12C 28C 310＝715，P (Y ＝15)＝C 38C 310＝715.所以乙所得分数Y 的分布列为[点评] 值的概率计算．在分析第(2)问随机变量的可能取值时，极容易忽视已知条件“乙能答对8道题”，而错误地认为“Y ＝0,5,10,15”，可见分析随机变量的可能取值一定要正确．同时应注意，在求解分布列时可运用分布列的性质来检验答案是否正确．10．(2014·天津理，16)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望． [解析] (1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A ，则P (A )＝C 13·C 27＋C 03·C 37C 310＝4960. 所以，选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960.(2)随机变量X 的所有可能值为0,1,2,3.P (X ＝k )＝C k 4·C 3－k6C 310(k ＝0,1,2,3) 所以，随机变量X 的分布列是随机变量X 的数学期望E (X )＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝65.。

§2超几何分布1．理解超几何分布及其推导过程．(重点)2．能用超几何分布解决一些简单的实际问题．(难点)[基础·初探]教材整理超几何分布阅读教材P38～P40部分，完成下列问题．1．超几何分布的概念一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(X＝k)＝____________(其中k 为非负整数)．如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X服从参数为N，M，n的超几何分布．2．超几何分布的表格形式【答案】 1.M N－MC n N 2.M N－MC n NM N－MC n NM N－MC n NM N－MC n N1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在产品检验中，超几何分布描述的是放回抽样．()(2)在超几何分布中，随机变量X取值的最大值是M.()(3)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X服从超几何分布．()(4)在超几何分布中，只要知道N，M和n，就可以根据公式，求出X取不同值m时的概率P(X＝m)．()【答案】(1)×(2)×(3)√(4)√2．设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为()A.C380C610C10100 B.C680C410C10100C.C480C620C10100 D.C680C420C10100【解析】设X表示任取10个球中红球的个数，则X服从参数为N＝100，M＝80，n＝10的超几何分布，取到的10个球中恰有6个红球，即X＝6，P(X＝6)＝C 680C420C10100.【答案】 D[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]个白球，这些球除颜色外完全相同．(1)若用随机变量X表示任选4个球中红球的个数，则X服从超几何分布，其参数为()A．N＝9，M＝4，n＝4 B．N＝9，M＝5，n＝5C．N＝13，M＝4，n＝4 D．N＝14，M＝5，n＝5(2)若用随机变量Y表示任选3个球中红球的个数，则Y的可能取值为________．(3)若用随机变量Z表示任选5个球中白球的个数，则P(Z＝2)＝________.【精彩点拨】着眼点：(1)超几何分布的概念；(2)参数的意义；(3)古典概型概率的计算公式．【自主解答】(1)根据超几何分布的定义知，N＝9，M＝4，n＝4.(2)由于只选取了3个球，因此随机变量Y的所有可能取值为0,1,2,3.(3)由古典概型概率计算公式知，P(Z＝2)＝C22C37C59＝518.【答案】(1)A(2)0,1,2,3(3)5 18对于超几何分布要注意以下两点：(1)超几何分布是不放回抽样；(2)公式P(X＝k)＝C k M·C n－kN－MC n N中各参数的意义.[再练一题]1．若将例1第(1)小题中改为“随机变量X表示不是红球的个数”，则参数N＝______，M＝______，n＝______.【解析】根据超几何分布的定义知，N＝9，M＝5，n＝4.【答案】95 43个球，求取出的红球数X 的分布列，并求至少有一个红球的概率．【精彩点拨】 先写出X 所有可能的取值，求出每一个X 所对应的概率，然后写出分布列，求出概率．【自主解答】 X ＝0,1,2,3， X ＝0表示取出的3个球全是黑球，P (X ＝0)＝C 35C 38＝1056＝528，同理P (X ＝1)＝C 13·C 25C 38＝3056＝1528，P (X ＝2)＝C 23·C 15C 38＝1556，P (X ＝3)＝C 33C 38＝156.∴X 的分布列为至少有一个红球的概率为P (X ≥1)＝1－528＝2328.超几何分布的求解步骤1．辨模型：结合实际情景分析所求概率分布问题是否具有明显的两部分组成，如“男生、女生”，“正品、次品”，“优劣”等，或可转化为明显的两部分．具有该特征的概率模型为超几何分布模型．2．算概率：可以直接借助公式P(X＝k)＝C k M C n－kN－MC n N求解，也可以利用排列组合及概率的知识求解，需注意借助公式求解时应理解参数M，N，n，k的含义．3．列分布表：把求得的概率值通过表格表示出来．[再练一题]2．从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，求取得次品数为ξ的分布列．【解】设随机变量ξ表示取出次品的件数，则ξ服从超几何分布，其中N ＝15，M＝2，n＝3.ξ的可能的取值为0,1,2，相应的概率依次为P(ξ＝0)＝C02C313C315＝2235，P(ξ＝1)＝C12C213C315＝1235，P(ξ＝2)＝C22C113C315＝135.所以ξ的分布列为探究12分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．试求得分X的分布列．【提示】从袋中随机摸4个球的情况为1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红四种情况，分别得分为5分，6分，7分，8分，故X的可能取值为5,6,7,8.P(X＝5)＝C14C33C47＝435，P(X＝6)＝C24C23C47＝1835，P(X＝7)＝C34C13C47＝1235，P(X＝8)＝C44C03C47＝135.故所求的分布列为探究2 【提示】 根据随机变量X 的分布列，可以得到得分大于6分的概率为P (X >6)＝P (X ＝7)＋P (X ＝8)＝1235＋135＝1335.交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念．记交通指数为T ，其范围为[0,10]，分别有五个级别：T ∈[0,2)畅通；T ∈[2,4)基本畅通；T ∈[4,6)轻度拥堵；T ∈[6,8)中度拥堵；T ∈[8,10]严重拥堵．晚高峰时段，从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的直方图如图2-2-1所示：图2-2-1(1)这20个路段轻度拥堵、中度拥堵的路段各有多少个？(2)从这20个路段中随机抽出3个路段，用X 表示抽取的中度拥堵的路段的个数，求X 的分布列．【精彩点拨】 (1)求这20个路段中轻度拥堵、中度拥堵的个数，即求交通指数分别为[4,6)和[6,8)时的频数．根据频率分布直方图的性质求解．(2)先根据超几何分布的概率公式求解X 取各个值时的概率，再列出分布列．【自主解答】 (1)由直方图得：轻度拥堵的路段个数是(0.1＋0.2)×1×20＝6；中度拥堵的路段个数是(0.3＋0.2)×1×20＝10.(2)X 的可能取值为0,1,2,3.则P (X ＝0)＝C 010C 310C 320＝219；P (X ＝1)＝C 110C 210C 320＝1538；P(X＝2)＝C210C110C320＝1538；P(X＝3)＝C310C010C320＝219.所以X的分布列为1．超几何分布具有广泛的应用，它可以用来描述产品抽样中的次品数的分布规律，也可以用来研究我们熟悉的不放回摸球游戏中的某些概率问题．在其分布列的表达式中，各个字母的含义在不同的背景下会有所不同．2．在超几何分布中，随机变量X取每个值的概率是用古典概型计算的，明确每一个基本事件的性质是正确解答此类问题的关键．[再练一题]3．某人有5把钥匙，其中只有一把能打开办公室的门，一次他醉酒后拿钥匙去开门．由于看不清是哪把钥匙，他只好逐一去试．若不能开门，则把钥匙扔到一边，记打开门时试开门的次数为ξ，试求ξ的分布列，并求他至多试开3次的概率．【解】ξ的所有可能取值为1,2,3,4,5，且P(ξ＝1)＝C 11 C15＝15，P(ξ＝2)＝C14C11C15C14＝15，P(ξ＝3)＝C14C13C11C15C14C13＝15，P(ξ＝4)＝C14C13C12C11C15C14C13C12＝15，P(ξ＝5)＝C14C13C12C11C11C15C14C13C12C11＝1 5.因此ξ的分布列为由分布列知P(ξ≤3)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝15＋15＋15＝35.[构建·体系]1．盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则取出1个白球和2个红球的概率是()A.3742 B.1742C.1021 D.1721【解析】根据题意知，该问题为古典概型，∴P＝C14C25C39＝1021.【答案】 C2．某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用X表示4人中的团员人数，则P(X＝3)＝() 【导学号：62690031】A.421 B.921C.621 D.521【解析】P(X＝3)＝C35C15C410＝521.【答案】 D3．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，若设X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数，则P(X＝1)＝________.【解析】X＝1表示的结果是抽取的2台彩电有甲型和乙型彩电各一台，故所求概率P(X＝1)＝C 13C12 C25＝3 5.【答案】 354．在某次国际会议中，需要从4个日本人，5个英国人和6个美国人中，任选4人负责新闻发布会，则恰好含有3个英国人的概率为________．(用式子表示)【解析】 设选取的4人中英国人有X 个，由题意知X 服从参数为N ＝15，M ＝5，n ＝4的超几何分布，其中X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，且P (X ＝k )＝C k 5C 4－k 10C 415(k ＝0,1,2,3,4)．∴P (X ＝3)＝C 35C 110C 415.【答案】 C 35C 110C 4155．一个袋中装有3个白球和2个黑球，它们大小相同，采用无放回地方式从袋中任取3个球，取到黑球的数目用X 表示，求随机变量X 的分布列．【解】 X 可能取的值为0,1,2. 由题意知，X 服从超几何分布，所以P (X ＝0)＝C 02·C 33C 35＝110；P (X ＝1)＝C 12·C 23C 35＝35；P (X ＝2)＝C 22·C 13C 35＝310.所以X 的分布列为：我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张是A 的概率为()A.C34C248 C552B.C348C24 C552C．1－C148C44 C552D.C34C248＋C44C148C552【解析】从52张扑克牌中任意抽出5张，至少有3张A的结果数是C34C248＋C44C148，故所求概率为C34C248＋C44C148C552.【答案】 D2．一个盒子里装有相同大小的黑球10个，红球12个，白球4个，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则P(X≤1)等于()A.C122C14＋C222C226 B.C112C14＋C24C226C.C110C14＋C222C226 D.C110C14＋C24C226【解析】由已知得，X的可能取值为0,1,2.P(X＝0)＝C222C226；P(X＝1)＝C122C14C226；P(X＝2)＝C24C226，∴P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝C122C14＋C222C226.【答案】 A3．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么310等于()A．恰有1只是坏的的概率B．恰有两只是好的的概率C．4只全是好的的概率D．至多有两只是坏的的概率【解析】恰好两只是好的概率为P＝C23C27C410＝310.【答案】 B4．某12人的兴趣小组中，有5名“特困生”，现从中任意选6人参加竞赛，用ξ表示这6人中“特困生”的人数，则下列概率中等于C35C37C612的是()A．P(ξ＝2) B．P(ξ＝3)C．P(ξ≤2) D．P(ξ≤3)【解析】6人中“特困生”的人数为ξ，则其选法数为Cξ5·C6－ξ7，当ξ＝3时，选法数为C35C37，故P(ξ＝3)＝C 35C37C612.【答案】 B5．一个盒子里装有相同大小的红球、白球共30个，其中白球4个．从中任取两个，则概率为C 126C 14＋C 24C 230的事件是( ) 【导学号：62690032】A ．没有白球B ．至少有一个白球C ．至少有一个红球D ．至多有一个白球【解析】 C 126C 14＋C 24C 230＝C 126C 14C 230＋C 24C 230表示任取的两个球中只有一个白球和两个都是白球的概率，即至少有一个白球的概率．【答案】 B 二、填空题6．一批产品共50件，其中5件次品，其余均为合格品，从这批产品中任意抽取两件，其中出现次品的概率为________．【解析】 设抽取的两件产品中次品的件数为X ，则P (X ＝k )＝C k 5C 2－k45C 250(k ＝0,1,2)．∴P (X >0)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝C 15C 145C 250＋C 25C 250＝47245.【答案】 472457．在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过了保质期饮料的概率为________．(结果用最简分数表示)【解析】 从这30瓶饮料中任取2瓶，设至少取到1瓶已过了保质期饮料为事件A ，则P (A )＝C 127C 13C 230＋C 23C 230＝28145.【答案】 281458．(2016·铜川高二检测)袋中有3个黑球，4个红球，除颜色外，其他均相同，从袋中任取3个球，则至少有一个红球的概率为________．【解析】 令X 表示取出的黑球个数，则X ＝0,1,2,3，P (X ＝0)＝C 33C 37＝135，故至少有一个红球的概率为P (X ≥1)＝1－135＝3435.【答案】34 35三、解答题9．现有10张奖券，其中8张1元，2张5元，从中同时任取3张，求所得金额的分布列．【解】设所得金额为X，X的可能取值为3,7,11.P(X＝3)＝C38C310＝715，P(X＝7)＝C28C12C310＝715，P(X＝11)＝C18·C22C310＝115.故X的分布列为10.老师要从10规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列；(2)他能及格的概率．【解】(1)设抽到他能背诵的课文的数量为X，则P(X＝k)＝C k6C3－k4C310(k＝0,1,2,3)．P(X＝0)＝C06C34C310＝130，P(X＝1)＝C16C24C310＝310，P(X＝2)＝C26C14C310＝12，P(X＝3)＝C36C04C310＝16.所以X的分布列为(2)他能及格的概率为P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝12＋16＝23.[能力提升]1．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量：①X表示取出的最大号码；②X表示取出的最小号码；③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分；④X表示取出的黑球个数．这四种变量中服从超几何分布的是()A．①②B．③④C．①②④D．①②③④【解析】由超几何分布的概念知③④符合，故选B.【答案】 B2．现有语文、数学课本共7本(其中语文课本不少于2本)，从中任取2本，至多有1本语文课本的概率是57，则语文课本的本数为() 【导学号：62690033】A．2 B．3C．4 D．5【解析】设语文课本有m本，任取2本书中的语文课本数为X，则X服从参数为N＝7，M＝m，n＝2的超几何分布，其中X的所有可能取值为0,1,2，且P(X＝k)＝C k m C2－k7－mC27(k＝0,1,2)．由题意，得P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝C0m C27－mC27＋C1m C17－mC27＝1 2×(7－m)(6－m)21＋m(7－m)21＝57.∴m2－m－12＝0，解得m＝4或m＝－3(舍去)．即7本书中语文课本有4本．【答案】 C3．口袋内装有10个大小相同的球，其中5个球标有数字0,5个球标有数字1，若从口袋中摸出5个球，那么摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率是________(用数字作答)．【解析】设摸出标有数字1的球的个数为X，则所求的概率为：1－P(X＝2)－P(X＝3)＝1－C25C35C510－C35C25C510＝1－5063＝1363.【答案】13 634．盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分．现从盒内任取3个球．(1)求取出的3个球中至少有一个红球的概率；(2)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；(3)设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的分布列．【解】(1)P＝1－C37C39＝712.(2)记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C，则P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝C 12C23C39＋C22C14C39＝542.(3)ξ可能的取值为0,1,2,3，ξ服从超几何分布，且P(ξ＝k)＝C k3C3－k6C39，k＝0,1,2,3.故P(ξ＝0)＝C 36 C39＝5 21，P(ξ＝1)＝C13C26C39＝1528，P(ξ＝2)＝C23C16C39＝314，P(ξ＝3)＝C33C39＝184，ξ的分布列为。

§2 超几何分布同步练测一、填空题(本题共2小题，每小题10分，共20分)1．在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出3个球，至少摸到2 个黑球的概率等于 .2．现有语文、数学课本共7本(其中语文课本不少于2本)，从中任取2本，至多有1本语文课本的概率是错误!未找到引用源。

，则语文课本共有本.二、解答题（本题共7小题，共80分）3.（本小题满分10分）生产方提供一批50箱的产品，其中有2箱不合格产品．采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有一箱不合格产品，便接收该批产品．问：该批产品被接收的概率是多少？4.（本小题满分10分）从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，求取得的次品数错误!未找到引用源。

的分布列．5.（本小题满分10分）现有10张奖券，其中8张1元的、2张5元的，从中同时任取3张，求所得金额的分布列．§2 超几何分布同步练测答题纸得分：_________一、填空题1.__________2.二、解答题3.4.5.6.7.8.9.§2 超几何分布同步练测答案一、填空题1.27 解析：C 23·C 15＋C 33C 05C 38＝27. 2．4 解析：设语文课本有n 本，则数学课本有（7－n ）本(2≤n ≤7)．则2本都是语文课本的概率为C 2n C 07－n C 27＝27，由组合数公式得n 2－n －12＝0，解得n ＝4.二、解答题3.解：一批50箱的产品，从中随机抽取5箱，用X 表示“5箱中的不合格品的箱数”，则X 服从超几何分布，其中参数N ＝50，M ＝2，n ＝5.这批产品被接收的条件是X ＝0或1，所以被接收的概率为 P (X ≤1)＝C 02C 548C 550＋C 12C 448C 550＝243245，即该批产品被接收的概率是243245. 4.解：由题意知X 服从超几何分布，其中N ＝15，M ＝2，n ＝3. 它的可能的取值为0,1,2，相应的概率依次为 P (X ＝0)＝C 02C 313C 315＝2235，P (X ＝1)＝C 12C 213C 315＝1235，P (X ＝2)＝C 22C 113C 315＝135.所以X 的分布列为5.解：设所得金额为X ，X 的可能取值为3,7,11. P (X ＝3)＝C 38C 310＝715，P (X ＝7)＝C 28C 12C 310＝715，P (X ＝11)＝C 18C 22C 310＝115.故X 的分布列为6.解：(1)X 可能的取值为0,1,2，服从超几何分布，P (X ＝k )＝C k 2·C 3－k4C 36，k ＝0,1,2. 即P (X ＝0)＝C 34C 36＝15，P (X ＝1)＝C 12C 24C 36＝35，P (X ＝2)＝C 22C 14C 36＝15.所以X 的分布列为(2)由(1)知，“X P (X ≤1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝45.7.解：(1)由于从10件产品中任取3件的结果数为C 310，从10件产品中任取3件，其中恰有m (m ≤3)件一等品的结果数为C m 3C 3－m7， 那么从10件产品中任取3件，其中恰有m 件一等品的概率为P (X ＝m )＝C m 3C 3－m7C 310，m ＝0,1,2,3.(2)1件一等品和2件三等品”为事件A 1，“恰好取出2件一等品”为事件A 2，“恰好取出3件一等品”为事件A 3.由于事件A 1，A 2，A 3彼此互斥，且A ＝A 1∪A 2∪A 3，因为P (A 1)＝C 13C 23C 310＝340，P (A 2)＝P (X ＝2)＝740，P (A 3)＝P (X ＝3)＝1120，所以P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝340＋740＋1120＝31120.即取出的3件产品中一等品的件数多于二等品的件数的概率为31120.8.解：(1)袋中共7个棋子，以取到白棋子为标准，则取到白棋子的个数为1,2,3,4，对应的得分错误!未找到引用源。

（7）超几何分布1、在一次抽奖中,一个箱子里有编号为1至10的10个号码球(球的大小、质地完全相同,但编号不同)其中有个号码为中奖号码,若从中任意取出4个号码球,其中恰有1个中奖号码的概率为则这10个小球中,中奖号码球的个数为( )A.2B.3C.4D.52、一个盒子里装有相同大小的黑球10个,红球12个,白球4个.从中任取2个,其中白球的个数记为X ,则概率等于11222422226C C C C +表示的是( ) A. (02)P X <≤ B. ()1P X ≤ C. ()1P X = D. ()2P X =3、有6个大小相同的黑球,编号为1,2,3,4,5,6,还有4个同样大小的白球,编号为7,8,9,10,现从中任取4个球,有如下变量: ①X 表示取出的最大号码; ②Y 表示取出的最小号码;③ 取出一个黑球记2分,取出一个白球记1分, ξ表示取出的4个球的总得分; ④η表示取出的黑球个数.以上四种变量中服从超几何分布的是( ) A.①② B.③④ C.①②④ D.①②③④4、一个盒子里装有相同大小的黑球10个,红球12个,白球4个.从中任取两个,其中白球的个数记为ξ,则下列算式中等于11222422226C C C C +的是( ) A. (02)P ξ<≤ B. (1)P ξ≤ C. (2)P ξ= D. (1)P ξ=5、设袋中有80个红球,20个白球,若从袋中任取10个球,则其中恰有6个红球的概率为( )A. 46801010100C C C B. 64801010100C C CC. 46802010100C C C D. 64802010100C C C 6、有N 件产品,其中有M 件次品,从中不放回地抽n 件产品,抽到的次品数的数学期望值是( ) A. n B. ()1M n N- C. M nND. ()1M n N+ 7、在一个口袋中装有5个白球和3个黑球,从中摸出3个球,至少摸到2个黑球的概率为( )A.27 B. 38C. 37D. 9288、10名学生中有a 名女生,若从中抽取2个人作为学生代表,恰有1名女生的概率为1645,则a = ( ).A.1B.2或8C.2D.89、—个盒子里装有相同大小的红球、白球共30个,其中白球4个.从中任取两个,则概率为1102264264230C C C C C +的事件是( ). A.没有白球 B.至少有一个白球C.至少有一个红球D.至多有一个白球10、袋中有4只红球3只黑球,从袋中任取4只球,取到1只红球得1分,取到1只黑球得3分,设得分为随机变量ξ,则(6)P ξ≤= ( ).A.13 B. 1316C.1235 D. 133511、—个口袋中装有30个球,其中有10个红球,其余为白球,这些球除颜色外完全相同,游戏者一次从中摸出5个球,摸到4个红球、1个白球中一等奖,那么游戏者中一等奖的概率是__________(精确到0. 001).12、在编号为1,2,3,…, n 的n 张赠券中,采用不放回方式抽取,则在第()1k k n ≤≤次抽取中抽到1号赠券的概率为__________.13、某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏,在一个口袋中装有10个红球和20个白球,这些球除颜色外完全相同,从中一次摸出5个球,至少摸到3个红球就中奖,则中奖的概率为__________.(精确到0.001)14、在15个村庄中有7个村庄交通不方便,现从中任意选10个,用X 表示这10个村庄中交通方便的村庄数,若()46781015C C P X a C ==,则a =__________.15、为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名;乙协会的运动员5名,其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(1).设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A 发生的概率;(2).设X 为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X 的分布列和数学期望.答案以及解析1答案及解析： 答案： C解析： 由题意，可得，所以,将选项中的值代入检验，知选C.2答案及解析： 答案：B解析：本题相当于最多取出1个白球的概率,也就是取到1个白球或没有取到白球.3答案及解析： 答案：B解析：由超几何分布的特征可知①②不服从超几何分布, ③④服从超几何分布,故选B4答案及解析： 答案：B解析：随机变量ξ的分布为ξ12P222226C C 11224226C C C 24226C C 而()()()101P P P ξξξ≤==+=,所以选B.5答案及解析： 答案：D解析：若随机变量X 表示任取10个球中红球的个数,则X 服从参数为100N =,80M =,10n =的超几何分布.取到的10个球中恰有6个红球,即6X =,64802010100(6)C C P X C == (注意袋中球的个数为8020100+=).6答案及解析： 答案：C 解析：7答案及解析： 答案：A解析：312353338827C C C P C C =+=8答案及解析： 答案：B解析：由题意得11102101645a aC C C -=，即210160a a -+=，解得2a =或8.9答案及解析： 答案：B解析：11264230C C C 为只有一个白球的概率, 02264230C C C 为有两个白球的概率,故选B.10答案及解析： 答案：D 解析：取出的4只球中红球的个数可能为4,3, 2,1,黑球相应的个数为0,1,2,3.其分值为4,6,8,10.40314343447713(6)(4)(6)35C C C C P P P C C ξξξ≤==+==+=.11答案及解析： 答案：0.029解析：由题意,可得游戏者中一等奖的概率是4110205300.029C C C ≈12答案及解析： 答案：1n解析：13答案及解析： 答案：0.191 解析：14答案及解析： 答案：6 解析：在第一位数字为0的条件下.第二位数字为0的概率为()()()1|2P AB P A B P B ==.15答案及解析： 答案：(1).635(2).随机变量X 的分布列为()52E X =解析：(1).由古典概型计算公式直接计算即可.由已知,有()2222233348635C C C C P A C +==, 所以事件A 发生的概率为635. (2).先写出随机变量X 的所有可能值,求出其相应的概率,即可求概率分布列及期望. 随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4()()453481,2,3,4k kC C P X k k C -===,所以随机变量X 的分布列为所以随机变量X 的数学期望()1331512341477142E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.。

§2超几何分布[对应学生用书P23]超几何分布已知在8件产品中有3件次品，现从这8件产品中任取2件，用X 表示取得的次品数． 问题1：X 可能取哪些值？ 提示：0,1,2.问题2：“X ＝1”表示的试验结果是什么？P (X ＝1)的值呢？ 提示：任取2件产品中恰有1件次品．P (X ＝1)＝C 13C 15C 28.问题3：如何求P (X ＝k )？(k ＝0,1,2)提示：P (X ＝k )＝C k 3C 2－k 5C 28.超几何分布一般地，设有N 件产品，其中有M (M ≤N )件是次品．从中任取n (n ≤N )件产品，用X 表示取出的n 件产品中次品的件数，那么P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC nN(其中k 为非负整数)． 如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布．(1)超几何分布，实质上就是有总数为N 件的两类物品，其中一类有M (M ≤N )件，从所有物品中任取n 件，这n 件中所含这类物品的件数X 是一个离散型随机变量，它取值为k时的概率为P (X ＝k )＝C k M C n －k N －MC n N①(k ≤l ，l 是n 和M 中较小的一个)．(2)在超几何分布中，只要知道N ，M 和n ，就可以根据公式①求出X 取不同值时的概率P ，从而写出X 的分布列．[对应学生用书P23]利用超几何分布公式求概率[例1] 个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同．现一次从中摸出5个球，若摸到4个红球1个白球的就中一等奖，求中一等奖的概率．[思路点拨] 若以30个球为一批产品，则球的总数30可与产品总数N 对应，红球数10可与产品中总的不合格产品数对应，一次从中摸出5个球，即n ＝5，这5个球中红球的个数X 是一个离散型随机变量，X 服从超几何分布．[精解详析] 若以30个球为一批产品，其中红球为不合格产品，随机抽取5个球，X 表示取到的红球数，则X 服从超几何分布．由公式得P (X ＝4)＝C 410C 5－420C 530＝70023751≈0.0295，所以获一等奖的概率约为2.95%.[一点通] 解决此类问题的关键是先判断所给问题是否属于超几何分布问题，若是，则可直接利用公式求解，要注意M ，N ，n ，k 的取值．1．一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则正好取到1件次品的概率是( ) A.2845 B.1645 C.1145D.1745解析：由题意10件产品中有2件次品，故所求概率为P ＝C 12C 18C 210＝1645.答案：B2．设10件产品中，有3件次品，现从中抽取5件，用X 表示抽得次品的件数，则X 服从参数为________(即定义中的N ，M ，n )的超几何分布．答案：10,3,53．从6名男同学和4名女同学中随机选出3名同学参加一项竞技测试．试求出选3名同学中，至少有一名女同学的概率．解：设选出的女同学人数为X ，则X 的可能取值为0,1,2,3，且X 服从参数为N ＝10，M＝4，n ＝3的超几何分布，于是选出的3名同学中，至少有一名女同学的概率为：P (X ≥1)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝C 14C 26C 310＋C 24C 16C 310＋C 34C 06C 310＝56或P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－C 04C 36C 310＝56.超几何分布的分布列[例2] (10分)从5名男生和3名女生中任选3人参加某运动会火炬接力活动，若随机变量X 表示所选3人中女生的人数，求X 的分布列及P (X <2)．[思路点拨] 可以将8人看作8件“产品”，3名女生看作3件“次品”，任选3人中女生的人数可看作是任取3件“产品”中所含的“次品”数．[精解详析] 由题意分析可知，随机变量X 服从超几何分布．其中N ＝8，M ＝3，n ＝3，(2分)所以P (X ＝0)＝C 35C 03C 38＝528，P (X ＝1)＝C 25C 13C 38＝1528，P (X ＝2)＝C 15C 23C 38＝1556，P (X ＝3)＝C 05C 33C 38＝156. (8分)从而随机变量X 的分布列为X ＝k 0 1 2 3 P (X ＝k )52815281556156所以P (X <2)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝528＋1528＝57.(10分)[一点通] 解答此类题目的关键在于先分析随机变量是否服从超几何分布，如果满足超几何分布的条件，则直接利用超几何分布概率公式来解．当然，本例也可通过古典概型解决．4．(重庆高考改编)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X 表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X 的分布列．(注：若三个数a ，b ，c 满足a ≤b ≤c ，则称b 为这三个数的中位数．)解：(1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为p ＝C 34＋C 33C 39＝584.(2)X 的所有可能值为1,2,3，且P (X ＝1)＝C 24C 15＋C 34C 39＝1742，P (X ＝2)＝C 13C 14C 12＋C 23C 16＋C 33C 39＝4384， P (X ＝3)＝C 22C 17C 39＝112，故X 的分布列为5．某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A 饮料，另外4杯为B 饮料，公司要求其员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A 饮料．若4杯都选对，则月工资定为3 500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2 800元；否则月工资定为2 100元．令X 表示此人选对A 饮料的杯数．假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力．(1)求X 的分布列；(2)用Y 表示新录用员工的月工资，求Y 的分布列． 解：(1)X 的所有可能取值为0,1,2,3,4.P (X ＝k )＝C k 4C 4－k 4C 48(k ＝0,1,2,3,4)． 则X 的分布列为(2)令Y 表示新录用员工的月工资，则Y 的所有可能取值为2 100,2 800,3 500. 则P (Y ＝3 500)＝P (X ＝4)＝170， P (Y ＝2 800)＝P (X ＝3)＝835，P (Y ＝2 100)＝P (X ≤2)＝5370，则Y 的分布列为Y ＝k 2 100 2 800 3 500 P (Y ＝k )53708351701．超几何分布描述的是不放回抽样问题，从形式上看超几何分布的模型，其产品有较明显的两部分组成．2．在超几何分布中，只要知道N ，M 和n ，就可以根据公式求出随机变量X 取k 时的概率P (X ＝k )，从而列出随机变量X 的分布列．[对应课时跟踪训练(十)]1．一个小组有6人，任选2名代表，求其中甲当选的概率是( ) A.12 B.13 C.14D.15解析：设X 表示2名代表中有甲的个数，X 的可能取值为0,1， 由题意知X 服从超几何分布，其中参数为N ＝6，M ＝1，n ＝2，则P (X ＝1)＝C 11C 15C 26＝13.答案：B2．在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于( )A.27 B.38 C.37D.928解析：黑球的个数X 服从超几何分布，则至少摸到2个黑球的概率P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝C 23C 15C 38＋C 33C 05C 38＝27.答案：A3．某12人的兴趣小组中，有5名“三好生”，现从中任意选6人参加竞赛，用X 表示这6人中“三好生”的人数，则C 35C 37C 612是表示的概率是( )A ．P (X ＝2)B ．P (X ＝3)C ．P (X ≤2)D ．P (X ≤3)解析：6人中“三好生”的人数X 服从超几何分布，其中参数为N ＝12，M ＝5，n ＝6，所以P (X ＝3)＝C 35C 37C 612.答案：B4．从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张A 的概率为( )A.C 34C 248C 552B.C 348C 24C 552C ．1－C 148C 44C 552D.C 34C 248＋C 44C 148C 552解析：设X 为抽出的5张扑克牌中含A 的张数．则P (X ≥3)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝C 34C 248C 552＋C 44C 148C 552.答案：D5．某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的概率为________．解析：至少有1名女生当选包括1男1女，2女两种情况，概率为C 13C 17＋C 23C 210＝815. 答案：8156．知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，小张抽4题，则小张抽到选择题至少2道的概率为________．解析：由题意知小张抽到选择题数X 服从超几何分布(N ＝10，M ＝6，n ＝4)， 小张抽到选择题至少2道的概率为：P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝C 26C 24C 410＋C 36C 14C 410＋C 46C 04C 410＝3742.答案：37427．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，求X 的分布列．解：由题意知，旧球个数X 的所有可能取值为3,4,5,6.则P (X ＝3)＝C 33C 312＝1220，P (X ＝4)＝C 23C 19C 312＝27220，P (X ＝5)＝C 29C 13C 312＝108220＝2755，P (X ＝6)＝C 39C 312＝84220＝2155.所以X 的分布列为8．在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X 的分布列． (2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张． ①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值Y 元，求Y 的分布列．解：(1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X 的取值只有0和1两种情况． P (X ＝1)＝C 14C 110＝410＝25，则P (X ＝0)＝1－P (X ＝1)＝1－25＝35.因此X 的分布列为(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖．故所求概率P ＝C 14C 16＋C 24C 06C 210＝3045＝23. ②Y 的所有可能取值为0,10,20,50,60，且P (Y ＝0)＝C 04C 26C 210＝1545＝13，P (Y ＝10)＝C 13C 16C 210＝1845＝25，P (Y ＝20)＝C 23C 06C 210＝345＝115，P (Y ＝50)＝C 11C 16C 210＝645＝215，P (Y ＝60)＝C 11C 13C 210＝345＝115.因此随机变量Y的分布列为。

课时作业7超几何分布酎间:45分钟—基础巩固类 ------~、选_择题1,下划随机事件中的随机变量X服从起.几何分布的是(B )A,将~枚硬币连抛3次，正面向上的次教XB,从7名男生、3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人教XC,某射手的命中率为0。

8,现对目标射击1次，记令中目标的表教XD,盒中有4个右球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回,X 是首次摸出黑球酎的巳摸次教解析：根据起.几何分布的概念可知选项B正确.2,~个小组有6人，任选2名代表，求其中甲当选的概率是(B JA.错误！B.错误！C.错误！D。

错误！解析：设X表示2名代表中有甲的个教,X的可能取值为0,1,由题意知X服队超.几何分布,其中参教为N= 6, M= l,n =2,则P (X=l)=错误！=错误!.3,盒中有10个螺丝钉,其中有3个是坏的，现队盒中随机地抽取4个，即么概率是错误!的事件为(C )A,怜有1个是坏的 B. 4个全是好的C,怜有2个是好的D,至多有2个是坏的解析:对于选项A,概率为错误!=错误!.对于选项B,概率为错误!= 错误!。

对于选项C,概率为错误!=错误!.对于选项D,包括没有坏的，有1个坏的和2个坏的三种情况,根据A选项，恰好有~个坏的概率巳经是错误!〉错误!，故D选项不正确、综上所述，本小题也C.4、在15个村庄中，有7个村庄矣通不方便，若用随机变量X表示任选10个村庄中交通不方便的村庄的个教，则X服队起.几何分布，其参教为(A )A. N= 15, M=L n= 10B. N= 15,M= 10,n = 7C. N=22,M= 10, n = 7D. N=22, M=7, n= 10解析：根据起.几何分布概率模型知.5、设袋中有80个红球,20个右球，若从袋中任取10个球, 则其中怜有6个红球的概率为(D )Ao错误！Bo错误！Co错误！D。

错误！解析：若随机变量X表示任取10个球中红球的个教，则X 服队参教为N= 100, M = 80,n = 10的超.几何分布、取到10个球COoC4, 20中怜有6个红球，即X=6,P(X=6)= C|8o (注意袋中球的个教为80 + 20= 100人6,从〜副不舍大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张A的概率为(D )A.错误！Bo错误！C. 1 一错误！D.错误！解析：设X为抽出的5张扑克牌中舍A的张教.则P CX>3J =P(X=3J +P(X=4J =错误！+ 错误!.7.10名同学中有。

同步测控我夯基，我达标1.设有100件产品，其中5件次品，从中任取3件产品，其中含有的次品数X 的所有可能取值为( )A.0，1,2，3,4，5B.1,2，3,4，5C.1,2，3D.0,1，2,3 答案:D2.设盒中有5个球，其中有2个白球，3个黑球，从中任取3个球，X 表示取到的白球数，则P(X=1)等于( ) A.101B.51C.103 D.53解析：P(X=1)=106352312=C C C . 答案：D3.在100张奖券中，有4张中奖，从中任取2张，则2张都中奖的概率是( ) A.501 B.251 C.8251 D.49501解析：基本事件总数为C 2100，记X 为2张中的中奖数，则P(X=2)=8251210024=C C .答案：C4.有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从零件中任取3个，那么至少有1个是一等品的概率是( )A.32024116C C CB.32024216C C C C.32031614216C C C C + D.1-32034C C 解析：记X 为取出的3件产品中一等品的个数；则P(X≥1)=1-P(X=0)=1-32034C C .答案：D5.一批100个计算机芯片中含有两个不合格的芯片，现随机地从中取出5个芯片作样本，则样本中至少含有一个不合格芯片的概率为( )A.51003982249812C C C C C +B.510049812C C C C.510039822C C C D.1-51002C C 解析：设X 为5个样本中含有不合格芯片的个数，则P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)=510039822510049812C C C C C C +或P(X≥1)=1-P(X=0)=1-510059802C C C . 答案：A6.一盒中有a 个白球和2个黑球，从中任取3个球，则其中至少含有一个黑球的概率为0.9，那么a 的值为( )A.2B.3C.4D.5 解析：设X 为任取3球中黑球的个数，则P(X≥1)=1-P(X=0)=1-323+a aC C =0.9，整理得3a 2-11a+6=0，解得a=32或3. ∵a ∈Z,∴a=3. 答案：B7.在20个同类产品中，有15个正品，5个次品，从中任意抽取4个，则至少抽到两个次品的概率是___________________________.解析：设X 为抽取的4个产品中的次品数，则P(X≥2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-42015315420415C C C C C -=0.25. 答案：0.258.设有100件产品，其中次品数有5件，从中任取20件，取到的次品数X 的所有可能取值组成的集合为____________________________. 答案：{0，1,2，3,4，5}9.设有20件产品，其中有15件一级品，5件二级品，从中任取3件，求其中含有二级品数X 的分布列.解：X 的可能取值为0，1，2,3，P(X=0)=,22891320315=C CP(X=1)=,22810532015215=C C C P(X=2)=,228303202515=C C C P(X=3)=.228232035=C C∴X 的分布列为：10.一袋中装有8个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同，现从袋中任意摸出5个球，用X 表示摸出的红球个数. 写出X 的分布列.解：X 的可能取值为1,2，3,4，5.P(X=1)=,9915124418=C C C P(X=2)=99145123428=C C C ， P(X=3)=33145122438=C C C ， P(X=4)=99355121448=C C C ， P(X=5)=99751258=C C .我综合，我发展11.从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张A 的概率为( )A.55224834C C CB.55224348C C C C.1-55244148C C C D.5521484424834C C C C C + 解析：设X 为抽出的5张扑克牌中含A 的张数.则P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)=.5521484455224834C C C C C C + 答案：D12.若随机变量X 服从参数为N ，M ，n(M≤N ，n≤N)的超几何分布，则下列说法正确的是( ) A.X 的所有可能的取值集合一定为{0,1，2,3，…，M} B.X 的所有可能的取值集合一定为{0,1，2,3，…，n} C.X 的所有可能的取值集合中一定含有0 D.X 的所有可能的取值集中不一定含有0 答案:D13.从一批含有13只正品、2只次品的产品中，不放回的任取3件，则取出产品中无次品的概率为( )A.3522 B.3512 C.351 D.3534 解析：设随机变量X 表示取出次品的个数，则P(X=0)=352231531302=C C C . 答案：A14.设10件产品中含有a 件次品，从中任取7件产品，其中含有的次品数为X ，若X 的可能取值中的最小值为2，则a=________________________.解析：取出的7件产品中，要使所含的次品数最小，只需将10-a 件正品都取出，然后再取2件次品即可，故(10-a)+2=7，解得a=5. 答案：515.有一种体育彩票是从01，02，…，36个数中任选择7个，开奖时公布的是7个正选数与1个特选数，若选择的7个数恰好是公布的7个正选数，将获特等奖；若选择的7个数中有6个是公布的正选数，另一个是公布的特选数，将获一等奖……，某人买一张彩票，则他中特等奖的概率为_________________________. 答案：7361C 16.一批产品共有50件，其中5件次品，45件合格品，从这批产品中任意抽两件，求其中出现次品的概率.解：设抽到次品的件数为X ，则X 服从超几何分布，其中N=50，M=5，n=2，于是出现次品的概率为P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)=.2454724524992102521014515=+=+C C C C C 即出现次品的概率为24547. 我创新，我超越17.某种彩票的开奖是从1,2，…，36中任意选出7个基本号码，凡购买的彩票上的7个号码中有4个或4个以上基本号码就中奖，根据基本号码个数的多少，中奖的等级为：求至少中三等奖的概率.解：设X 为选出的7个号码中含有基本号码的个数，由题意知，至少中三等奖的概率为 P(X≥5)=P(X=5)+P(X=6)+P(X=7)=736777361296773622957C C C C C C C C +++≈0.001 05. 18.某商场有10件大型电器，其中有5件合格品，5件不合格品，质检部门在进行质量检查时，声称要随机抽取4件产品进行检验，但最终检验的结果是4件产品都合格. (1)选择4件产品都合格的概率是多少？ (2)你认为质检人员在秉公执法吗？解：(1)设X 为抽出的4件产品中的不合格产品数，则4件产品都合格的概率为P(X=0)=42141045 C C ≈0.024.(2)因为抽出的4件产品中都合格的概率约为0.024，所以其中至少有一件不合格品的概率约为0.976，故有97.6%的把握认为质检人员没有秉公执法.。