四种命题形式和等价命题

第一章：集合与命题第四节：命题的形式及等价关系【知识梳理：】复习巩固：在初中，我们已学过命题，真命题，假命题。

命题：表示判断的语句。

真命题：正确的命题。

假命题：错误的命题。

命题 “全等三角形的面积相等”的条件与结论各是什么？本节将进一步研究命题与其有关的命题的概念。

例题讲解：1.1命题例1：下列语句哪些不是命题，哪些是命题？如果是命题，那么它们是真命题还是假命题？为什么？1.个位数是5的自然数能被5整除；2.凡直角三角形都相似；3.上课请不要讲话；4.互为补角的两个角不相等；5.你是高一学生吗？结论：①命题必定由条件与结论两部分组成。

②假命题的确定：举反例（举出一个满足条件，不满足结论的例子，一个即可）[说明]：构造反例有时候很不容易，要充分注意命题的条件和结论，还要注意极端情况，或运用类比手段。

③真命题的确定：作出证明，方法⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧同一法反证法间接证明直接证明 [说明]:反证法既是一种重要的数学思想,也是命题证明的一种方法.1.2：推出关系：一般地，如果α这件事成立可以推出β这件事也成立，那么就说由α可以推出β，并用记号α⇒β表示，读作“α推出β”。

换言之，α⇒β表示以α为条件，β为结论的命题是真命题。

例2：设α表示“两个角是对顶角”，β表示为“两个角相等”，问能用“⇒”表示α、β之间关系吗？解：α⇒β关系成立，但反过来不行。

例3：在下列各题中，用符号“⇒”或“⇔”把α、β这两件事联系起来。

1. α：实数x 满足92=x ，β：3=x 或3-=x 。

（“α⇔β”）2. α：U B A = ，β：U B U A ==或（U 为全集）。

（“α⇒β”）3. α：B A ⊆，β：A B A = 。

（“α⇔β”）4. α：0=ab ，β：0=a 。

（“β⇒α”）课堂巩固：1.判断下列命题的真假（1）不含任何元素的集合是空集（2）0是{0,1,2}的真子集（3）A,B 为两个集合，如果A ∩B=A ，那么B A ≠⊂ 2.用符”号⇔⇐⇒、、”表示下列事件的推出关系：（1）：αAB C ∆是等边三角形；：βAB C ∆是轴对称图形，α β；（2）：α实数x 适合12=x ；：β1=x ，α β课堂练习：在下列各题中，用符号“⇒”或“⇒”或“⇔”把α、β这两件事联系起来：（1） α：x 适合方程0652=+-x x ，β：3x 2==或x ；（2） α：3x -=，β：3=x ；（3） α：B A ⊆，β：B B A = ；（4） α：集合N M =，β：A N N M =。

1.3.2命题的四种形式学习目标 1.了解四种命题的概念，会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.3.会利用命题的等价性解决问题．知识点一四种命题的概念命题“如果p，则(那么)q”是由条件p和结论q组成的，对p，q进行“换位”和“换质”，一共可以构成四种不同形式的命题．(1)原命题：如果p，则q；(2)条件和结论“换位”：如果q，则p，这称为原命题的逆命题；(3)条件和结论“换质”(分别否定)：如果綈p，则綈q，这称为原命题的否命题．(4)条件和结论“换位”又“换质”：如果綈q，则綈p，这称为原命题的逆否命题．知识点二四种命题间的相互关系(1)四种命题间的关系(2)四种命题间的真假关系由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性，即两命题等价；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系，即两个命题不等价．1．有的命题没有逆命题．(×)2．两个互逆命题的真假性相同．(×)3．对于一个命题的四种命题，可以一个真命题也没有．(√)4．一个命题的四种命题中，真命题的个数一定为偶数．(√)题型一四种命题的结构形式例1把下列命题写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．(1)正数的平方根不等于0；(2)当x＝2时，x2＋x－6＝0；(3)对顶角相等．解(1)原命题：若a是正数，则a的平方根不等于0.逆命题：若a的平方根不等于0，则a是正数．否命题：若a不是正数，则a的平方根等于0.逆否命题：若a的平方根等于0，则a不是正数．(2)原命题：若x＝2，则x2＋x－6＝0.逆命题：若x2＋x－6＝0，则x＝2.否命题：若x≠2，则x2＋x－6≠0.逆否命题：若x2＋x－6≠0，则x≠2.(3)原命题：若两个角是对顶角，则它们相等．逆命题：若两个角相等，则它们是对顶角．否命题：若两个角不是对顶角，则它们不相等．逆否命题：若两个角不相等，则它们不是对顶角．反思感悟由原命题写出其他三种命题的关键是找到原命题的条件和结论，根据其他三种命题的定义，确定所写命题的条件和结论．跟踪训练1写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．(1)实数的平方是非负数；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形．解(1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．题型二四种命题的真假判断例2写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．(1)若a>b，则ac2>bc2；(2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形．解(1)逆命题：若ac2>bc2，则a>b.真命题．否命题：若a≤b，则ac2≤bc2.真命题．逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b.假命题．(2)逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则该四边形的对角互补．真命题．否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形．真命题．逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则该四边形的对角不互补．真命题．反思感悟若原命题为真命题，则它的逆命题、否命题可能为真命题，也可能为假命题．原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题．互为逆否命题的两个命题的真假性相同．在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数要么是0，要么是2，要么是4. 跟踪训练2下列命题中为真命题的是()①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；②“正三角形都相似”的逆命题；③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题；④“若x－2是有理数，则x是无理数”的逆否命题．A．①②③④B．①③④C．②③④D．①④答案 B解析 ①原命题的否命题为“若x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为零”．故为真命题．②原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”．故为假命题． ③原命题的逆否命题为“若x 2＋x －m ＝0无实根，则m ≤0”． ∵方程无实根，∴判别式Δ＝1＋4m <0，∴m <－14<0.故为真命题．④原命题的逆否命题为“若x 不是无理数，则x －2不是有理数”． ∵x 不是无理数，∴x 是有理数．又2是无理数，∴x －2是无理数，不是有理数．故为真命题． 故正确的命题为①③④，故选B. 题型三 等价命题的应用例3 证明：已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ≥0.证明 原命题的逆否命题为“已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，若a ＋b <0， 则f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )”． 若a ＋b <0，则a <－b ，b <－a . 又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )， ∴f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )． 即原命题的逆否命题为真命题． ∴原命题为真命题．反思感悟 因为原命题与其逆否命题是等价的，可以证明一个命题的逆否命题成立，从而证明原命题也是成立的．正确写出原命题的逆否命题是证题的关键．跟踪训练3 判断命题“已知a ，x 为实数，若关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集不是空集，则a ≥1”的逆否命题的真假． 解 先判断原命题的真假．因为a ，x 为实数，且关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集不是空集， 所以Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0，即4a －7≥0，解得a ≥74，a ≥74⇒a ≥1，所以原命题为真，又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真．命题的等价性典例 主人邀请张三、李四、王五三个人吃饭，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五打电话说：“临时有急事，不能去了．”主人听了，随口说了句：“该来的没有来．”张三听了脸色一沉，起来一声不吭地走了，主人愣了片刻，又道了句：“不该走的又走了．”李四听了大怒，拂袖而去．请你用逻辑学原理解释二人离去的原因．解 张三走的原因是：“该来的没有来”的逆否命题是“来了不该来的”，张三觉得自己是不该来的．李四走的原因是：“不该走的又走了”的逆否命题是“没走的应该走”，李四觉得自己是应该走的．[素养评析] 逻辑推理是在数学活动中进行交流的基本思维品质，本例是利用原命题与其逆否命题的等价性的逻辑原理，得出相应的合理解释．1．命题“如果a ∉A ，则b ∈B ”的否命题是( ) A ．如果a ∉A ，则b ∉B B ．如果a ∈A ，则b ∉B C ．如果b ∈B ，则a ∉A D ．如果b ∉B ，则a ∉A答案 B解析 命题“如果p ，则q ”的否命题是“如果綈p ，则綈q ”，“∈”与“∉”互为否定形式．2．命题“若綈p ，则q ”的逆否命题为( ) A ．若p ，则綈q B ．若綈q ，则綈p C ．若綈q ，则p D ．若q ，则p 答案 C3．下列命题为真命题的是( ) A ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题 B ．命题“若x ＝1，则x 2>1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x2>1，则x>1”的逆否命题答案 A解析对A，即判断：若x>|y|，则x>y的真假，显然是真命题．4．在原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．答案 4解析逆命题为“若A∩B≠A，则A∪B≠B”；否命题为“若A∪B＝B，则A∩B＝A”；逆否命题为“若A∩B＝A，则A∪B＝B”，全为真命题．5．已知命题p：“若ac≥0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0无解”．(1)写出命题p的否命题；(2)判断命题p的否命题的真假．解(1)命题p的否命题为：“若ac<0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0有解”．(2)命题p的否命题是真命题．判断如下：因为ac<0，所以－ac>0⇒Δ＝b2－4ac>0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根⇒ax2＋bx＋c>0有解，所以该命题是真命题．写一个命题的否命题时，要对命题的条件和结论都进行否定，避免出现不否定条件，而只否定结论的错误．若由p经逻辑推理得出q，则命题“若p，则q”为真；确定“若p，则q”为假时，则只需举一个反例说明即可．一、选择题1．“如果x>y，则x2>y2”的逆否命题是()A．如果x≤y，则x2≤y2B．如果x>y，则x2<y2C．如果x2≤y2，则x≤y D．如果x<y，则x2<y2答案 C解析由互为逆否命题的定义可知，把原命题的条件的否定作为结论，原命题的结论的否定作为条件即可得逆否命题．2．命题“如果a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为() A．1 B．2 C．3 D．4答案 B解析原命题显然为真命题，故其逆否命题为真命题，而其逆命题为“如果a>－6，则a>－3”，这是假命题，从而否命题也是假命题，因此只有两个真命题．3．“△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B全是锐角”的否命题为()A．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B全不是锐角B．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不全是锐角C．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B中必有一钝角D．以上都不对答案 B解析若∠C≠90°，则∠A，∠B不全是锐角，此处“全”的否定是“不全”．4．若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是()A．互逆命题B．互否命题C．互为逆否命题D．以上都不正确答案 A解析设p为“如果A，则B”，那么q为“如果綈A，则綈B”，r为“如果綈B，则綈A”．故q与r为互逆命题．5．有下列四个命题：①“如果x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“如果q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．其中真命题的序号为()A．①②B．②③C．①③D．③④答案 C解析 命题①：“如果x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”是真命题；命题②：可考虑其逆命题“面积相等的三角形是全等三角形”是假命题，因此命题②是假命题；命题③：“如果x 2＋2x ＋q ＝0有实根，则q ≤1”是真命题；命题④是假命题．6．原命题为“若a n ＋a n ＋12<a n ，n ∈N ＋，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( ) A ．真、真、真 B ．假、假、真 C ．真、真、假 D ．假、假、假答案 A解析 从原命题、逆命题的真假入手，a n ＋a n ＋12<a n ⇔a n ＋1<a n ⇔{a n }为递减数列，即原命题、逆命题都为真命题，则其逆否命题、否命题也为真命题．7．设原命题：若a ＋b ≥2，则a ，b 中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是( )A ．原命题为真命题，逆命题为假命题B ．原命题为假命题，逆命题为真命题C ．原命题与逆命题均为真命题D ．原命题与逆命题均为假命题 答案 A解析 逆否命题：若a ，b 都小于1，则a ＋b <2，是真命题，所以原命题是真命题．逆命题：若a ，b 中至少有一个不小于1，则a ＋b ≥2.例如，a ＝3，b ＝－3满足条件a ，b 中至少有一个不小于1，但a ＋b ＝0，故逆命题是假命题．故选A.8．关于命题“若拋物线y ＝ax 2＋bx ＋c 开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c <0}⇏∅”的逆命题、否命题、逆否命题的真假性，下列结论正确的是( ) A ．都是真命题 B ．都是假命题 C ．否命题是真命题 D ．逆否命题是真命题 答案 D解析 原命题为真命题，所以其逆否命题也为真命题．逆命题“若{x |ax 2＋bx ＋c <0}D ＝/∅，则拋物线y ＝ax 2＋bx ＋c 开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集非空时，可以有a >0，即拋物线的开口可以向上，因此否命题也是假命题，故选D. 二、填空题9．下列命题：①“如果xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②“四边相等的四边形是正方形”的否命题； ③“梯形不是平行四边形”的逆否命题； ④“如果ac 2>bc 2，则a >b ”的逆命题． 其中真命题是________．(填序号) 答案 ①②③解析 ①“如果xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题是“如果x ，y 互为倒数，则xy ＝1”，是真命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；③“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；④“如果ac 2>bc 2，则a >b ”的逆命题是“如果a >b ，则ac 2>bc 2”，是假命题．所以真命题是①②③.10．已知命题“若m －1<x <m ＋1，则1<x <2”的逆命题为真命题，则m 的取值范围是________． 答案 [1,2]解析 由已知得，若1<x <2成立，则m －1<x <m ＋1也成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤1，m ＋1≥2，∴1≤m ≤2. 11．下列命题中：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形； ②若一个四边形对角互补，则它内接于圆； ③正方形的四条边相等； ④圆内接四边形对角互补； ⑤对角不互补的四边形不内接于圆；⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．其中互为逆命题的有________；互为否命题的有______；互为逆否命题的有________． 答案 ②和④，③和⑥ ①和⑥，②和⑤ ①和③，④和⑤解析 命题③可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；命题④可改写为“若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补”；命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”，再依据四种命题间的关系便不难判断． 三、解答题12．判断下列命题的真假．(1)对角线不相等的四边形不是等腰梯形；(2)若x∉A∩B，则x∉A且x∉B；(3)若x2＋y2≠0，则xy≠0.考点四种命题间的相互关系题点利用四种命题的关系判断真假解(1)该命题的逆否命题是“若一个四边形是等腰梯形，则它的对角线相等”，它为真命题，故原命题为真．(2)该命题的逆否命题是“若x∈A或x∈B，则x∈A∩B”，它为假命题，故原命题为假．(3)该命题的逆否命题是“若xy＝0，则x2＋y2＝0”，它为假命题，故原命题为假．13．判断命题：“若b≤－1，则关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题的真假．解方法一(利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题真假即可．方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为b≤－1，所以Δ≥4>0，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真．方法二(利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0无实根，则b>－1”．方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为方程无实根，所以Δ<0，即－4b<0，所以b>0，所以b>－1成立，即原命题的逆否命题为真．14．已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为()①M中的元素都不是P的元素；②M中有不属于P的元素；③M中有属于P的元素；④M 中的元素不都是P的元素．A．1 B．2 C．3 D．4考点四种命题间的相互关系题点利用四种命题的关系判断真假命题的个数答案 B解析由于“M⊆P”为假命题，故M中至少有一个元素不属于P，∴②④正确．M中可能有属于P的元素，也可能都不是P的元素，故①③错误．故选B.15．已知条件p ：|5x －1|＞a ＞0，其中a 为实数，条件q ：12x 2－3x ＋1＞0，请选取一个适当的a 值，利用所给出的两个条件p ，q 分别作为集合A ，B ，构造命题“若A ，则B ”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题，这样的一个原命题可以是什么？ 考点 四种命题间的相互关系题点 利用四种命题的关系判断真假解 由|5x －1|＞a ＞0，得5x －1＜－a 或5x －1＞a ，即x ＜1－a 5或x ＞1＋a 5. 由12x 2－3x ＋1＞0，得2x 2－3x ＋1＞0， 解得x ＜12或x ＞1. 为使“若A ，则B ”为真命题，而其逆命题为假命题，则需A B .令a ＝4，得p ：x ＜－35或x ＞1， 满足题意，故可以选取a ＝4，此时原命题是“若|5x －1|＞4，则12x 2－3x ＋1＞0”。

说明：本系列教案,学案，经多次使用，修改，其中有部分来自网络，它山之石可以攻玉，希望谅解。

为了一个课件，我们仔细研磨；为了一个习题，我们精挑细选；为了一点进步，我们竭尽全力；没有最好，只有更好！制作水平有限，错误难免，请多指教：28275061@【教学内容的课时安排】本章总共15课时，其中教案 §1.4 (2)命题的形式及等价关系一、教学目标设计（1）理解四种命题的概念；（2）理解四种命题之间的相互关系，能由原命题写出其他三种形式； （3）理解一个命题的真假与其他三个命题真假间的关系；（4）初步掌握反证法的概念，进一步领会分类、判断、推理的思想方法.二、教学重点及难点理解四种命题的关系；体会反证法的理论依据.三、教学过程设计 （一）．复习提问：什么是命题？什么是真命题 ？什么是假命题？（二）．讲授新课： 1、概念引入在命题“若1=x ，则12=x ”中，条件是“1=x ”，结论是“12=x ”. 如果我们把以上命题作以下变化：（1）如果把命题中的结论“12=x ”作为条件，把命题中的条件“1=x ”作为结论，则得到了新命题“若12=x ”，则1=x ”.我们把原来命题中的结论作为条件，原来命题中的条件作为结论所组成的新命题叫做原来命题的逆命题.并且它们互为逆命题.（2）如果将命题的条件和结论都换成它们的否定形式，即条件是“1≠x ”，结论是“12≠x ”，那么就可得到一个新命题：“若1≠x ，则12≠x ”.像这种将命题的条件与结论同时否定而得到的新命题叫做原来命题的否命题.并且新命题与原来的命题互为否命题.（3）如果将命题的条件和结论互换并取原来的否定形式，即条件是“12≠x ”，结论是“1≠x ”，那么就可得到一个新命题：“若12≠x ，则1≠x ”.像这种将命题的条件与结论互换并同时否定而得到的新命题叫做原来命题的否命题.并且新命题与原来的命题互为否命题.2、概念形成由以上例子归纳出四个命题的一般形式： 原命题： βα，那么如果 逆命题： αβ，那么如果 否命题： βα，那么如果 逆否命题：αβ，那么如果并在四种命题之间的相互关系如下：3、概念运用例1：试写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假.命题A ：如果两个三角形全等，那么它们面积相等；命题B ：如果一个三角形两边相等，那么这两边所对的角也相等.[说明] 我们从以上的实例中发现：原命题与逆否命题是同真同假的；逆命题与否命题是同真同假的.我们可以用证明一个命题的逆否命题来证明原命题.互逆互逆逆 逆否 否例2：写出命题：若0432=-+x x ，则4-=x 或1=x 的逆命题，否命题，逆否命题，并判断真假.说明：常见的否定词 （1）是，不是； （2）等于，不等于； （3）属于，不属于； （4）大于，小于或等于； （5）或，且； （6）都是，不都是；（7）至少有一个，一个也没有； …… [说明]1、原命题为真，它的逆命题不一定为真.2、原命题为真，它的否命题不一定为真.3、原命题为真，它的逆否命题一定为真.并可由此引入等价命题.5、等价命题如果A ,B 是两个命题，A B B A ⇒⇒,，那么A ,B 叫做等价命题.三、课堂小结：1、四种命题的概念及形式2、四种命题之间的关系及同真同假性.导学案§1.4 (2)命题的形式及等价关系学习目标：（1）理解四种命题的概念；（2）理解四种命题之间的相互关系，能由原命题写出其他三种形式； （3）理解等价命题的概念和四种命题形式之间存在的等价关系． 学习重点及难点：理解四种命题的关系；理解等价命题的概念. 学习过程： 一、 知识回顾______________语句叫做命题， _____________叫做真命题______________假命题； 二、新知导学： 1、概念引入在命题“若1=x ，则12=x ”中，条件是“1=x ”，结论是“12=x ”. 如果我们把以上命题作以下变化：（1）如果把命题中的结论“12=x ”作为条件，把命题中的条件“1=x ”作为结论，则得到了新命题“若12=x ”，则1=x ”.我们把原来命题中的结论作为条件，原来命题中的条件作为结论所组成的新命题叫做原来命题的 .并且它们互为 .（2）如果将命题的条件和结论都换成它们的否定形式，即条件是“1≠x ”，结论是“12≠x ”，那么就可得到一个新命题：“若1≠x ，则12≠x ”.像这种将命题的条件与结论同时否定而得到的新命题叫做原来命题的 ..并且新命题与原来的命题互为 .（3）如果将命题的条件和结论互换并取原来的否定形式，即条件是“12≠x ”，结论是“1≠x ”，那么就可得到一个新命题：“若12≠x ，则1≠x ”.像这种将命题的条件与结论互换并同时否定而得到的新命题叫做原来命题的 ..并且新命题与原来的命题互为 ..互逆互逆逆 逆否 否2、四个命题的一般形式： 原命题： 如果α，那么β逆命题：如果 ，那么 ； 否命题：如果 ，那么 ； 逆否命题：如果 ，那么 ； 并在四种命题之间的相互关系如下：3、举例例1：试写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假. 命题1：如果两个三角形全等，那么它们面积相等； 逆命题:_______________________ __； 否命题:_______________________ ； 逆否命题:_________________________ ；命题2：如果一个三角形两边相等，那么这两边所对的角也相等. 逆命题:_______________________ __； 否命题:_______________________ ； 逆否命题:_________________________ ；命题3：若0432=-+x x ，则4-=x 或1=x 逆命题:_______________________ __； 否命题:_______________________ ； 逆否命题:_________________________ ；说明：常见的否定词 （1）是，不是； （2）等于，不等于； （3）属于，不属于； （4）大于，小于或等于； （5）或，且； （6）都是，不都是；（7）至少有一个，一个也没有； ……找规律：原命题与逆否命题是__________________；逆命题与否命题是__________________.我们可以用证明一个命题的_________来证明原命题.归纳：（1）、原命题为真，它的逆命题不一定为真. （2）、原命题为真，它的否命题不一定为真. （3）、原命题为真，它的逆否命题一定为真.4.概念： 如果A ,B 是两个命题，__________________，那么A ,B 叫做等价命题. 例2．若M a ∈，则M b ∉的等价命题是 .例3.”的真假．且则判断命题“若00,0≠≠≠b a ab三、学习小结：1. 给出下列语句的否定形式（1）“都是”的否定形式是 ； （2）“大于或等于”的否定形式是 ； （3）“且”的否定形式是 ；2. 命题“若3x ≠且2x ≠，则2560x x -+≠”的等价命题是____________________．3. 写出下列命题的逆命题，否命题和逆否命题，判断它们的真假. （1）两条对角线不相等的平行四边形不是矩形；逆命题:_____________________ _ __， ； 否命题: _____________________ _ __， ； 逆否命题: _____________________ _ __， ；（2）若10≥x ，则2012>+x ；逆命题:_____________________ _ __， ； 否命题: _____________________ _ __， ； 逆否命题: _____________________ _ __， ； （3）若1>ba，则b a >； 逆命题:_____________________ _ __， ； 否命题: _____________________ _ __， ； 逆否命题: _____________________ _ __， ；（4）若抛物线c bx ax y ++=2的图像经过原点，则0=c逆命题:_____________________ _ __， ； 否命题: _____________________ _ __， ； 逆否命题: _____________________ _ __， ；。

高中数学知识点归纳高一 ( 上 ) 数学知识点归纳第一章会集与命题1.主要内容：会集的基本看法、空集、子集和真子集、会集的相等；会集的交、并、补运算。

四种命题形式、等价命题；充足条件与必要条件。

2.基本要求：理解会集、空集的意义，会用列举法和描述法表示会集；理解子集、真子集、会集相等等看法，能判断两个会集之间的包括关系或相等关系；理解交集、并集，掌握会集的交并运算，知道有关的基本运算性质，理解全集的意义，能求出已知会集的补集。

理解四种命题的形式及其互有关系，能写出一个简单命题的抗命题、否命题与逆否命题；理解充足条件、必要条件与充要条件的意义，能在简单问题的情况中判断条件的充足性、必要性或充足必要性。

3.重难点：重点是会集的看法及其运算，充足条件、必要条件、充要条件。

难点是对会集有关的理解，命题的证明，充足条件、必要条件、充要条件的鉴识。

4.会集之间的关系： (1) 子集：若是 A 中任何一个元素都属于 B，那么 A 是 B 的子集，记作 A B.(2) 相等的会集 : 若是 A B, 且 B A，那么 A=B.(3). 真子集：A B 且 B 中最少有一个元素不属于 A，记作 A B.5. 会集的运算： (1) 交集： A B { x x A且 x B}.(2)并集: A B { x x A或x B}. （3）补集： C U A { x x U且 x A}.6.充足条件、必要条件、充要条件若是 P Q ,那么P是Q的充足条件，Q是P的必要条件。

若是 P Q ,那么P是Q的充要条件。

也就是说，命题P与命题Q是等价命题。

有关看法：1. 我们把能够确实指定的一些对象组成的整体叫做会集。

2.数集有：自然数集 N，整数集 Z，有理数集 Q, 实数集 R。

3.会集的表示方法有列举法、描述法和图示法。

4.用平面地域来表示会集之间关系的方法叫做会集的图示法，所用图叫做文氏图。

5.真子集，交集，并集，全集，补集。

四种命题一、数学命题标准形式：“若p，则q”（其中p代表命题的条件，q为命题的结论）例1：将下列命题改写成“若p，则q”的形式。

1）两个正数的和为正数；2）实数是有理数；3）线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等；二、四种命题及其等价关系：1．原命题：qp⇒逆命题：pq⇒否命题：p⌝p⌝⇒逆否命题：p⌝q⌝⇒例2：写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并判别真假。

1）两个正数的和为正数；原命题：若两个数均为正数，则两个数的和为正数逆命题：若两个数的和为正数，则两个数均为正数否命题：若两个数不都是正数，则两个数的和不是正数逆否命题：若两个数的和不是正数，则两个数不都是正数2）实数是有理数；原命题：若一个数是实数，则这个数是有理数逆命题：若一个数是是有理数，则这个数实数否命题：若一个数不是实数，则这个数不是有理数逆否命题：若一个数不是有理数，则这个数不是实数3）线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等；原命题：若一个点在线段的垂直平分线上，则这个点到线段的两个端点的距离相等逆命题：若一个点到线段的两个端点的距离相等，则这个点在线段的垂直平分线上否命题：若一个点不在线段的垂直平分线上，则这个点到线段的两个端点的距离不相等逆否命题：若一个点到线段的两个端点的距离不相等，则这个点不在线段的垂直平分线上说明：1）让学生观察四种命题的真假关系，得以下结论：原命题与逆否命题真假一致，互为等价命题。

2）让学生观察逆命题与否命题的逻辑表达式，得出逆命题与否命题也互为逆否命题，因此也互为等价命题。

例3：证明：若0a,中至少有一个正数a，则b>+b分析：直接原命题有一定的难度，利用原命题与逆否命题为等价命题的原理，转化为证其逆否即可。

写出其逆否命题：p⇒⌝q⌝若ba,中没有正数，则0a+b≤。

1.4 命题的形式及等价关系考点诠释1.命题：可以判断真假的语句叫做命题。

2.四种命题（1）四种命题：原命题：如果p ，那么q （或若p 则q ）；逆命题：若q 则p ； 否命题：若p 则q ；逆否命题：若q 则p 。

（2）四种命题之间的相互关系若 则否命题原命题若 则若 则逆否命题互 逆互 逆互 为互为逆 否逆否互 否互 否q p 若 则逆命题q p q p q p这里，原命题与逆否命题，逆命题与否命题是等价命题。

3.原命题与它的逆否命题同为真假，原命题的逆命题与否命题同为真假，所以对一些命题的真假判断（或推证），我们可通过对与它同真假的（具有逆否关系的）命题来判断（或推证）。

例题精析例1 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假。

（1）若1≤q ，则方程022=++q x x 有实根； （2）若y x ,都是奇数，则y x +是偶数； （3）若0=xy ，则00==y x 或思维引领本题考查四种命题及其真假判断。

.精辟分析（1）原命题是真命题；逆命题：若方程022=++q x x 有实根，则1≤q 是真命题； 否命题：若1>q ，则方程022=++q x x 无实根，是真命题； 逆否命题：若方程022=++q x x 无实根，则1>q 是真命题； （2）原命题是真命题；逆命题：若y x +是偶数，则y x ,都是奇数，是假命题； 否命题：若y x ,不都是奇数，则y x +不是偶数，是假命题； 逆否命题：若y x +不是偶数，则y x ,不都是奇数，是真命题； （3）原命题为真命题；逆命题：若00==y x 或，则0=xy ，是真命题； 否命题：若0≠xy ，则00≠≠y x 且，是真命题； 逆否命题：若00≠≠y x 且，则0≠xy ，是真命题；方法规律总结（1）“原命题”与“逆否命题”同真同假．．．．，“逆命题”与“否命题”同真同假．．．．，但“互逆”或“互否”的命题真假性未必相同。

高一上册数学知识点归纳第一章 集合与命题1.内容要目：集合的基本概念、空集、子集和真子集、集合的相等；集合的交、并、补运算。

四种命题形式、等价命题；充分条件与必要条件。

2.基本要求：理解集合、空集的意义，会用列举法和描述法表示集合；理解子集、真子集、集合相等等概念，能判断两个集合之间的包含关系或相等关系；理解交集、并集，掌握集合的交并运算，知道有关的基本运算性质，理解全集的意义，能求出已知集合的补集。

理解四种命题的形式及其相互关系，能写出一个简单命题的逆命题、否命题与逆否命题；理解充分条件、必要条件与充要条件的意义，能在简单问题的情景中判断条件的充分性、必要性或充分必要性。

3.重难点：重点是集合的概念及其运算，充分条件、必要条件、充要条件。

难点是对集合有关的理解，命题的证明，充分条件、必要条件、充要条件的判别。

4.集合之间的关系：（1）子集：如果A 中任何一个元素都属于B ，那么A 是B 的子集，记作A ⊆B.(2)相等的集合:如果A ⊆B,且B ⊆A ，那么A=B.(3).真子集：A ⊆B 且B 中至少有一个元素不属于A ，记作A ⊆B.5.集合的运算：（1）交集：}.{B x A x x B A ∈∈=且 (2)并集：}.{B x A x x B A ∈∈=或 （3）补集：}.{A x U x x A C U ∉∈=且6. 充分条件、必要条件、充要条件如果P Q ⇒,那么P 是Q 的充分条件，Q 是P 的必要条件。

如果P Q ⇔,那么P 是Q 的充要条件。

也就是说，命题P 与命题Q 是等价命题。

有关概念：1.我们把能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合。

2.数集有：自然数集N ，整数集Z ，有理数集Q ,实数集R 。

3.集合的表示方法有列举法、描述法和图示法。

4.用平面区域来表示集合之间关系的方法叫做集合的图示法，所用图叫做文氏图。

5.真子集，交集，并集，全集，补集。

6.命题，逆命题，否命题，逆否命题，等价命题。

课时7 课题 四种命题（一）一、引入：观察下述各组语句能否判断真假？①612>； ②3是15的约数； ③2.0是整数； ④3是12的约数吗？⑤2>x ; ⑥这是一棵大树； ⑦求证：“若R x ∈，方程012=+-x x 无实根”; ⑧5.0非整数. ⑨10可以被2或5整除； ⑩菱形的对角线互相垂直且平分；二、基本概念：1.命题的定义: 表示:2.命题组成3.命题分类：例1.把下列命题写成“若p 则q ”的形式，并判断其真假.(1)凡直角皆相等； (2)末位数字是0的自然数数是5的倍数；(3)两个邻补角的平分线互相垂直； (4)凡质数都是奇数.课堂练习1：把下列命题改写成“若p 则q ”的形式，并判断真假.（1）负数的立方是负数___________________________________________________________.（2）等边三角形的三个内角相等___________________________________________.4.等价命题：例2.已知R y x ∈,，命题⎩⎨⎧>>00:y x p ，命题⎩⎨⎧>>+00:xy y x q ，求证：命题p,q 是等价命题课堂练习2、已知R y x ∈,，命题y x y x p +=+:，命题0:≥xy q ，求证：命题p,q 是等价命题5、命题的四种形式：引入：观察下列四个命题，考察2），3），4）的条件和结论与1）的条件和结论有何关系：1)同位角相等，两直线平行； 2)两直线平行，同位角相等；3)同位角不相等，两直线不平行； 4)两直线不平行，同位角不相等.定义：(一般地，用q p 、分别表示原命题的条件和结论)例3.根据题意，写出相应的命题：（1） 命题“在ABC ∆中，若AC AB >，则B C ∠>∠”的逆命题.（2） 命题“若0=ab ，则0=b ”的否命题.（3） 命题“若0≠a 且0≠b ，则0≠ab ”的逆否命题.（4） 命题“若0≠a 或0≠b ，则022>+b a ”的逆否命题.课堂练习3、（1）命题“若A a ∉,则B b ∈”的否命题是：（2）写出命题“若0=ab ，则b a ,中至少有一个为0”的逆否命题：例4.把下列命题改写成“若p 则q ”的形式,并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题:(1)负数的平方是正数； （2）正方形的四条边相等.课堂练习4：试写出：命题“全等三角形是相似三角形”的逆命题、否命题与逆否命题，并判断四种命题的真假.6.四种命题互相关系：引入：原命题：“若0=a ，则0=ab ”，写出它逆命题、否命题与逆否命题，并判断四种命题的真假.例 5.（1）设原命题是“当0>c 时，若b a >则bc ac >”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假.（2）如果否命题为“若0≤+y x 则0≤x 或0≤y ”，写出相应四种命题，并判断其真假：课堂练习5:命题“已知d c b a ,,,是实数,若d c b a ==,,则d b c a +=+”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假.例6、证明“若,02222≠-++++b a b ab a 则1≠+b a ”为真命题.课堂练习6.(1) 试判断命题：“若23≠≠x x 且，则0652≠+-x x ”真假.(2)已知Z y x ∈,,若y x +不是偶数，则y x ,不全为奇数，试判断此命题真假，并说明理由.7．反证法：例8. 已知ABC ∆为锐角三角形，且C B A ∠>∠>∠，求证：B ∠ 45>.课堂练习8:（1）已知,2,,≥+∈y x R y x 若则y x ,中至少有一个大于或等于1。