高考数学基础知识训练(27)

专题07 三角函数1.三角函数的概念、同角三角函数的基本关系、诱导公式【高考真题】1．（2021·全国I 卷）若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（ ）A ．65-B ．25-C ．25D ．652．（2020·全国I 卷理数）已知 π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=（ ）A B ．23 C ．13 D3．（2020·全国II 卷理数）若α为第四象限角，则（ ） A ．cos2α>0 B ．cos2α<0C ．sin2α>0D ．sin2α<04．（2019·全国I 卷文数）tan255°=（ ） A ．－2B ．－C ．2D ．【基础知识】1．角的概念(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)相反角：我们把射线OA 绕端点O 按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α.(4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }．2.任意角的三角函数设α是一个任意角，α∈R ，它的终边OP 与单位圆相交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx(x ≠0)．由三角函数的定义知三角函数在各象限的符号由角α终边上任意一点的坐标来确定.口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.3．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：sin αcos α＝tan α ⎝⎛⎭⎫α≠π2＋k π，k ∈Z .4．三角函数的诱导公式5．常见特殊角的三角函数值★★★(1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确定符号；利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子， 利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.【题型方法】一、定义法求三角函数值1．已知角α终边经过点()1,m -，且3sin 5α=-，则tan α=（ ）A ．34±B ．34C ．34-D ．432．在平面直角坐标系中，若角θ的终边经过点sin ,cos 63P ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos θ=（ ）A ．12B ．12-C D ．3．已知角α的终边经过点(3,4)P ，则tan α=____________二、利用三角函数符号判断角所在象限 1．tan 0α<且cos 0α>，则角α是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角2．设α是第三象限角，且coscos22αα=-，则2α的终边所在的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．如果点(2sin ,sin cos )P θθθ⋅位于第四象限，那么角θ所在象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限三、商数关系和平方关系法求三角函数值（知一求二） 1．已知1,,sin cos 445ππααα⎛⎫∈-+= ⎪⎝⎭，则tan α=_________．2．已知θ为第四象限角，sin cos θθ+=sin cos θθ-=___________. 3．已知1cos sin 2αα-=-，则sin αcos α的值为_____．四、齐次式法求值1．已知πcos 2cos 2αα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则cos sin cos sin αααα+=-（ ） A ．32B ．12C ．13-D ．4-2．若tan 2θ=，则2sin 3sin cos θθθ-=________. 3．已知函数sin()tan()()cos 2x x f x x πππ+-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭. (1)化简()f x ；(2)若()2f α=，求下列表达式的值：①2sin cos sin 3cos αααα-+；①2sin sin cos ααα+.五、诱导公式1．()sin 2040-︒=（ ） A ．12-B ．12C．D2．13πsin6=（ ） A ．12B ．12-CD． 3．若()()()233sin cos tan 22cos sin 2f ππααπααπαπα⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫++ ⎪⎝⎭，则4f π⎛⎫= ⎪⎝⎭______．六、整体代换法诱导公式化简求值（凑角法）1．若54cos 65πθ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，其中()0,θπ∈，则sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．45-B ．45C ．35D ．352．已知π3sin cos 65αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则2πcos 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．45-B ．35 C ．35D ．453．已知sin 2(2)33πα+=，则cos(2)6πα-=（ ）A B ．23-C ．23D ．【高考必刷】1．若()1,A a 是角θ终边上的一点，且sin θ=a 的值为________．2．已知θ是第四象限角，()1,M m 为其终边上一点，且sin θ=，则2sin cos sin cos θθθθ-+=______3．若α的终边过点(1,P ，则sin α的值为______.4．已知点()tan ,sin P θθ是第三象限的点，则θ的终边位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若点(sin ,tan )P αα在第四象限，则角α的终边在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．已知角θ的终边经过点1,2P ⎛- ⎝⎭，则角θ可以为（ ）A ．76πB ．23π C ．43π D ．53π7．如果点tan ,in P s θθ（）位于第一象限，那么角θ所在象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．角θ为第一或第四象限角的充要条件是（ ）A ．sin tan 0θθ<B ．cos tan 0θθ<C ．sin 0tan θθ> D ．sin cos 0>θθ9．设θcos2θ-，则2θ是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角10．若点P 的坐标为()cos2021,sin2021，则点P 在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．若sin cos 0αα⋅<，则α终边可能在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限12．已知()0,θπ∈，1sin cos 5θθ+=-，则下列结论正确的是（ ）A ．θ的终边在第二象限B ．3cos 5θ=-C ．3tan 4θ=-D ．12sin cos 25θθ⋅=-13．如果1sin cos 5αα+=，那么角α所在的象限是______.14．点(tan 2018,cos 2018)P 位于第________象限．15．若sin cos 2θθ-=，则44sin cos +=θθ（ ） A ．34B ．56C ．78D ．8916．已知sin 43πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin2θ的值为（ ）A ．79B ．79-C ．29D ．29-17．若2sin 2θ＋3cos 2θ＝3，则cos θ＝（ ）A ．1B ．－1C ．±1D ．018．已知角,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且22tan 3tan sin 4sin 0αααα--=，则()sin 2021απ+=（ ）A B ．14C ．34-D ．19．已知,0()απ∈-，且3cos22sin cos 30ααα--=，则sin α=（ ）A B C ．D ．20．已知1(0,),sin cos 5απαα∈+=-，则下列结论正确的是（ ）A ．4cos 5α= B ．7sin cos 5αα-=C ．sin cos 4tan 15ααα+=-D ．sin cos 73sin 2cos αααα-=-+21．若1sin cos 5αα+=，则tan α可以是（ ）A ．34-B ．34C ．43D ．43-22．若tan 2θ=-，则()1sin 2sin sin cos θθθθ-=-（ ）A ．65-B ．25-C ．25D ．6523．已知向量(sin ,3),(1,cos )a b θθ=-=，且a b ⊥，则2sin 2cos θθ+的值为（ ） A ．710B ．107 C ．32D ．2324．若tan 2α=，则212sin 1sin 2αα-=+（ ）A ．13-B ．-3C ．13D ．325．已知α满足tan α=222sin cos αα-=______ 26．若sin cos 1sin cos 2αααα-=+，则tan2α=_______27．已知()4cos 5πα+=，且tan 0α> (1)求tan α的值；(2)求()()2sin sin 2cos 4cos 2ππααππαα⎛⎫-+- ⎪⎝⎭⎛⎫-++ ⎪⎝⎭的值.28．已知tan 2α=-42ππα<<，求：22cos sin 12sin()4ααπα--+的值29．已知()()()sin 3sin 232cos cos 2f παπααπαπα⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭.(1)化简()f α.(2)已知tan 3α=，求()f α的值.30．()sin 45-︒=（ ） A．2B．2-C ．12D ．12-31．32tan 3π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是（ ）ABC．D．32．已知cos()sin()22()cos()tan()f ππαααπαπα+-=---，则20173f π⎛⎫= ⎪⎝⎭___________.33．设tan 3α=，则sin()2cos()3sin 2cos 22παπαππαα-++=⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭___________.34．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点⎝⎭．(1)求()()()()sin 2cos cos 211cos sin 3sin 2ππαπααππαπαα⎛⎫-++++ ⎪⎝⎭⎛⎫---++ ⎪⎝⎭的值．(2)已知02πβ-<<，sin β=求()cos 2αβ+的值． 35．已知()()()()cos 2sin sin tan 32f παπααπαπα-+=⎛⎫+- ⎪⎝⎭(1)求43f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)若164f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求5cos 6πα⎛⎫-⎪⎝⎭及2cos 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．36．若π2cos 63a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 26a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．19-B．C ．19D37．若π1sin 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2os 2πc 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．29B ．29-C ．79D ．79-38．若()1cos 2π3α-=，则3πsin 2α⎛⎫-= ⎪⎝⎭______.39．已知1sin 33x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且06x π<<，则2sin cos 63x x ππ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值为___________.40．已知2sin 33x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 23x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________．41．若tan 2tan 5πα=，则4sin 5sin 5παπα⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭_________.42．（1）若α是第二象限角，且π1cos 23α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，求tan α的值；（2）已知()()()()()3πsin 3πcos 2πsin 2cos πsin πf αααααα⎛⎫--- ⎪⎝⎭=---，化简()f α，在（1）的条件下，求()f α的值.43．已知21sin 35πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭ (1)求cos 6πα⎛⎫- ⎪⎝⎭；(2)若36ππα-<<，求cos 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭.44．已知()()()()()sin cos sin 23sin cos 2tan 2f παπαααπαπαπα⎛⎫++- ⎪⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭.(1)化简()f α；(2)若133f πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求22cos cos 63ππαα⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值.。

高考数学基础题训练：随机变量的期望与方差一、单选题 1．已知()1,4N η，若()()21P a P a ηη>=<-，则=a （ ）A ．1-B ．0C ．1D ．22．天气预报，在假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为 A ．0.2B ．0.3C ．0.38D ．0.563．随机变量X 的分布列如下表，其中2b a c =+，且1c ab =，则(2)P X ==（ ）A ．47B ．45C ．14D ．2214．从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为15，身体关节构造合格的概率为14．从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是（假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响）（ ） A ．1320B ．25C ．14D ．155．某市为弘扬我国优秀的传统文化，组织全市10万中小学生参加网络古诗词知识答题比赛，总分100分，经过分析比赛成绩，发现成绩X 服从正态分布()82,16N ，请估计比赛成绩不小于90分的学生人数约为（ ）〖参考数据〗：()0.683P X μσμσ-<≤+=，()220.954P X μσμσ-<≤+=，()330.997P X μσμσ-<≤+=A ．2300B ．3170C ．3415D ．4606．小明参加某项测试，该测试一共3道试题，每道试题做对得5分，做错得0分，没有中间分，小明答对第1，2题的概率都是12，答对第3题的概率是13，则小明答完这3道题的得分期望为（ ） A ．2512B ．6512C ．203D ．2537．A 同学和B 同学参加某市青少年围棋比赛并进入决赛，决赛采取“3局2胜”制，若A 同学每局获胜的概率均为23，且每局比赛相互独立，则在A 先胜一局的条件下，A 最终能获胜的概率是（ ）A ．34B ．89C ．79D ．568．从区间()0,3和()1,5内分别选取一个实数x ，y ，得到一个实数对(),x y ，称为完成一次试验．若独立重复做3次试验，则x y <的次数T 的数学期望为（ ） A ．12B ．13C ．53D ．52二、多选题9．设离散型随机变量X 的分布列如下表：若离散型随机变量23Y X =-+，且() 3.2E X =，则正确的是（ ）.A ．0.2m =B ．0.2n =C ．() 3.4E Y =-D ．()()33P X P X ≤=>10．“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给作出了杰出贡献.某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高ξ（单位：cm ）近似服从正态分布()2100,10N .已知()2~,X N μσ时，有(||)0.6827P X μσ-≤≈，(||2)0.9545P X μσ-≤≈，(||3)0.9973P X μσ-≤≈.下列说法正确的是（ ） A ．该地水稻的平均株高约为100cmB ．该地水稻株高的方差约为100C ．该地株高超过110cm 的水稻约占68.27％D ．该地株高低于130cm 的水稻约占99.87％11．如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，…，6，用X 表示小球落入格子的号码，则（ ）A ．1(1)(0)64P X P X ==== B ．5(2)(5)32P X P X ==== C ．5(3)(4)16P X P X ==== D ．3()2D X =12．一口袋中有大小和质地相同的5个红球和2个白球，则下列结论正确的是（ ）A ．从中任取3球，恰有一个红球的概率是17B ．从中有放回的取球3次，每次任取一球，恰好有两个白球的概率为20343C ．从中不放回的取球2次，每次任取1球，若第一次已取到了红球，则第二次再次取1到红球的概率为13D ．从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到白球的概率为218343第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 三、填空题13．已知随机变量2~(0,)X N σ，且(),0P X a m a >=>，则()P a X a -<<=___________.14．已知某种疾病的患病率为0.5%，在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为99%，则患该种疾病且血检呈阳性的概率为______.15．一项过关游戏规则规定:在第n 关要抛掷一颗质地均匀的骰子n 次，如果这n 次抛掷所出现的点数之和大于2n ，则算过关.甲同学参加了该游戏，他连过前二关的概率是_____．四、双空题16．在是否接种疫苗的调查中调查了7人，7人中有4人未接种疫苗，3人接种了疫苗，从这7人中随机抽取3人进行身体检查，用X 表示抽取的3人中未接种疫苗的人数，则随机变量X 的数学期望为______；设A 为事件“抽取的3人中，既有接种疫苗的人，也有未接种疫苗的人”，则事件A 发生的概率为______. 17．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是415，刮风的概率是215，既刮风又下雨的概率是110．设事件A 为“该地区刮风”，事件B 为“该地区下雨”，则()P B A =______，()P A B =______．18．随机变量X 的分布列为()()1,2,3,,15kP X k k k N *===∈，则正整数k的最大值为__________，1522P X ⎛⎫<< ⎪⎝⎭的值为__________．19．立德中学开展学生数学素养测评活动，高一年级测评分值（满分100分）X 近似服从正态分布，正态曲线如图①所示.为了调查参加测评的学生数学学习的方法与习惯差异，决定在分数段[),m n 内抽取学生，并确定m ＝67，且()0.8186P m X n <<=.在某班随机抽样得到20名学生的分值分布茎叶图如图①所示.若该班抽取学生分数在分数段[),m n 内的人数为k ，则k 等于______；这k 名学生的人均分为______.（附：()0.6827P X μσμσ-<<+=，()220.9545P X μσμσ-<<+=，()330.9973P X μσμσ-<<+=）五、解答题20．在某校开展的知识竞赛活动中，共有A B C ､､三道题，答对A B C ､､分别得2分､2分､4分，答错不得分.已知甲同学答对问题A B C ､､的概率分别为422,,535，乙同学答对问题A B C ､､的概率均为35，甲､乙两位同学都需回答这三道题，且各题回答正确与否相互独立.(1)求甲同学至少有一道题不能答对的概率；(2)运用你学过的统计学知识判断，谁的得分能力更强.21．第24届冬季奥运会将于2022年2月在北京和张家口举办，为了普及冬奥知识，京西某校组织全体学生进行了冬奥知识答题比赛，从全校众多学生中随机选取了20名学生作为样本，得到他们的分数统计如下：我们规定60分以下为不及格；60分及以上至70分以下为及格；70分及以上至80分以下为良好；80分及以上为优秀.（I）从这20名学生中随机抽取2名学生，恰好2名学生都是优秀的概率是多少？（II）将上述样本统计中的频率视为概率，从全校学生中随机抽取2人，以X表示这2人中优秀人数，求X的分布列与期望.22．某校高一年级组织“知识竞答”活动．每位参赛者第一关需回答三个问题，第一个问题回答正确得10分，回答错误得0分；第二个问题回答正确得20分，回答错误得10-分；第三个问题回答正确得30分，回答错误得20-分．规定，每位参赛者回答这三个问题的总得分不低于30分就算闯关成功．若某位参赛者回答前两个问题正确的概率都是23，回答第三个问题正确的概率是12，且各题回答正确与否相互之间没有影响．（1）求这位参赛者仅回答正确两个问题的概率；（2）求这位参赛者回答这三个问题的总得分ξ的分布列和期望；（3）求这位参赛者闯关成功的概率．参考答案：1．C 【解析】 【分析】首先可通过题意求出正态分布曲线的对称轴，然后根据()()21P a P a ηη>=<-得出2112a a +-=，最后通过计算即可得出结果. 【详解】 因为()1,4N η，所以对称轴方程为1x η==，因为()()21P a P a ηη>=<-， 所以2112a a +-=，解得1a =， 故选：C. 【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，主要考查正态分布曲线的对称性，考查计算能力，是简单题. 2．C 【解析】两地中恰有一个地方降雨分为两种情况：甲地降雨乙地不降雨，乙地降雨甲地不降雨，分别求解然后求和可得结果. 【详解】因为甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，所以这两地中恰有一个地方降雨的概率为0.2(10.3)(10.2)0.30.38⨯-+-⨯=. 故选：C. 【点睛】本题主要考查事件的独立性，把事件分解为独立事件的积、互斥事件的和，是求解的关键，侧重考查数学建模的核心素养. 3．A 【解析】由概率的性质可得1a b c ++=，结合已知条件求出a 的值，即可求解.【详解】由概率的性质可得1a b c ++=， 由2,1,21b a c c ab a b c =+⎧⎪⎪=⎨⎪++=⎪⎩得4,71,32,21a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩则4(2)7P X ==，故选：A 4．B 【解析】先写出事件“从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格”的对立事件，然后再根据相互独立事件同时发生的概率公式求出其概率，最后根据对立事件的概率公式即可算出． 【详解】设事件A ：“从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格”，则其对立事件B ：“从中任挑一儿童，这两项都不合格”，由题可知，儿童体型不合格的概率为45，身体关节构造不合格的概率为34，所以()433545P B =⨯=，故()()321155P A P B =-=-=．故选：B ． 【点睛】本题主要考查对立事件的概率公式和相互独立事件同时发生的概率公式的应用，属于基础题． 5．A 【解析】根据正态分布定义，求得比赛成绩不小于90分的学生人数所占比例，即可得结果. 【详解】依题意知，82,4μδ==所以()74900.954P x <≤= 则()()19010.9540.0232P x ≥=-⨯=，所以比赛成绩不小于90分的学生人数约为 1000000.0232300⨯=故选：A6．C 【解析】 【分析】设小明的得分为ξ，则ξ的可能取值为0、5、10、15，求出所对应的概率，即可得到得分ξ的分布列，从而求出数学期望；【详解】解：设小明的得分为ξ，则ξ的可能取值为0、5、10、15， 所以()111101112236P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()21211111551112232312P C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-⨯-+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2121111111011232233P C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-+⨯⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2111152312P ξ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭；所以小明得分ξ的分布列为：所以小明答完这3道题的得分期望为1511200510156123123⨯+⨯+⨯+⨯=，故选：C. 7．B 【解析】 【分析】先分析A 最终能获胜有两种情况，分别计算概率，再相加即得结果. 【详解】在A 先胜一局的条件下，A 最终能获胜有两种情况： （1）第二局甲再次取胜，概率为23；（2）第二局甲败，第三局甲胜，概率为122339⨯=，故A 最终能获胜的概率为228399+=.故选：B. 【点睛】 方法点睛:计算条件概率通常有两种方法; (1)利用条件概率公式()()()P AB P A B P B =；(2)在事件B 已经发生的前提下，相当于缩小了总事件的空间容量，再计算()()()n AB P A B n B =，或利用独立关系直接计算事件B 发生后的概率情况. 8．D 【解析】 【分析】先根据几何概型求出一次试验中x y <发生的概率，再由二项分布的期望公式即可求数学期望． 【详解】从区间()0,3和()1,5内分别选取一个实数x ，y ，则03,15x y <<⎧⎨<<⎩表示的可行域为矩形ABCD 区域（不含边界），如图所示，0315x y x y <<⎧⎪<<⎨⎪<⎩表示的可行域为图中的阴影部分（不含边界）．因为BEF 的面积为12222⨯⨯=，矩形ABCD 的面积为12，所以由几何概型可知，每次试验x y <发生的概率251126P =-=， 由题意知，53,6TB ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 所以x y <的次数T 的数学期望为55362⨯=． 故选：D ． 9．AC 【解析】 【分析】先由() 3.2E X =可得40.6m n +=，再由概率和为1得0.3m n +=，从而可求出,m n 的值，再利用期望公式求()E Y 即可，从而可得答案. 【详解】()120.130.3450.3 3.2E X m n =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，所以40.6m n +=，又因为0.10.30.31m n ++++=，所以0.3m n +=，从而得0.2m =，0.1n =，故A 选项正确，B 选项错误；()()23 3.4E Y E X =-+=-，故C 选项正确；()()()()3=3=2=++=0.3+0.1+0.2=01.6P X P X P X P X ≤=， ()()()=+3=4=0.4=5P X P X P X >，故D 选项不正确. 故选：AC. 10．ABD 【解析】 【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解. 【详解】由题意可知，100μ=，2100σ=，故A ，B 正确； 由题意得110μσ+=，3130μσ+=所以()()()()1110.317315.87%22P X P X μσμσμσ>+=--<<+≈⨯=⎡⎤⎣⎦，故C 错误； 所以()()()()13113310.0013599.87%2P X P X μσμσμσ<+=---<<+≈-=⎡⎤⎣⎦，故D 正确； 故选：ABD. 11．BC 【解析】 【分析】结合独立重复试验概率计算公式，计算出概率并求得方差，从而确定正确选项. 【详解】已知X 表示小球落入格子的号码，则X 的所有取值范围为1，2，3，4，5，6， 则()5111()232P X ===，由对称性可知()()16132P X P X ====，而()()14511525()2232P X P X C ====⋅⋅=，()()232511534()()2216P X P X C ====⋅⋅=，所以()()()()15571625343232162E X =+⨯++⨯++⨯=， ()22222271717575757551625342322322322322162164D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，综上得选项BC 正确． 故选：BC 12．AD 【解析】 【分析】利用超几何分布的概率公式可判断A 选项；利用独立重复试验的概率公式可判断B 选项；利用条件概率公式可判断C 选项；利用对立事件的概率公式可判断D 选项. 【详解】对于A 选项，从中任取3球，恰有一个红球的概率是125237C C 1C 7=，A 对；对于B 选项，从中有放回的取球3次，每次任取一球，每次抽到白球的概率为27，则3次取球中恰好有两个白球的概率为2232560C 77343⎛⎫⋅⋅= ⎪⎝⎭，B错；对于C 选项，从中不放回的取球2次，每次任取1球， 记事件:A 第一次取到红球，记事件:B 第二次取到红球，则()()()2527C C 2537P AB P B A P A ===，C 错；对于D 选项，从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到白球的概率3521817343⎛⎫-=⎪⎝⎭，D 对. 故选：AD. 13．12m - 【解析】 【分析】根据正态分布区间的对称性直接计算即可. 【详解】由2~(0,)X N σ，且(),0P X a m a >=> 则()P X a m <-=，所以()12P a X a m -<<=- 故答案为：12m - 14．0.495% 【解析】 【分析】根据条件概率公式计算． 【详解】设事件A 表示“血检呈阳性”，事件B 表示“患该种疾病”.依题意知()0.005P B =，()0.99P A B =，由条件概率公式()()()P AB P A B P B =，得()()()0.0050.990.004950.495%P AB P B P A B ==⨯==.故答案为：0.495%． 15．59【解析】 【分析】由题可求过第一、二关的概率，再利用独立事件的概率公式即求. 【详解】由于骰子是均匀正方体，所以，抛掷后各点数出现的可能性是相等的.设事件An ，为“第n 次过关失败”，则对立事件n B 为“第n 次过关成功”，第n 次游戏中，基本事件总数为6n .第1关：事件1A 所含基本事件数为2（即出现点数1和2两种情况）. 所以，过此关的概率为 11221163B A P P =-=-=. 第2关：事件2A 所含基本事件数为方程x y a +=当a 分别取2、3、4时的正整数解组数之和，即6个.所以，过此关的概率为 222651166B A P P =-=-=. 故连过两关的概率为1259B B P P ⨯=.故答案为：59.16．12767【解析】 【分析】分别求出，0,1,2,3X =的概率，进一步求出所以()E X 和()P A . 【详解】由题意可知，随机变量X 的取值范围为{0，1，2，3}，()33371035C P X C ===，()12433712135C C P X C ===， ()21433718235C C P X C ===，()34374335C P X C ===，所以()112184120123353535357E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 由已知条件可得()()()121861235357P A P X P X ==+==+=. 故答案为：127；67. 17．3438【解析】 【分析】根据条件概率公式即求. 【详解】()215P A =，()415P B =，()110P AB =，()()()34P BA P B A P A ∴==，()()()38P AB P A B P B ==． 故答案为：34；38.18． 5 15【解析】 【分析】由概率和为1，可求出k 的值，由()()1,2,3,,15kP X k k k N *===∈可得15(1)(2)22P X P X P X ⎛⎫<<==+= ⎪⎝⎭【详解】 解：由题意得121151515k++⋅⋅⋅+=，得12315k +++⋅⋅⋅+=，解得5k =， 因为()()1,2,3,,15kP X k k k N *===∈，所以15121(1)(2)2215155P X P X P X ⎛⎫<<==+==+= ⎪⎝⎭，故答案为：5，1519． 10 74分 【解析】 【分析】由已知，测评分值X 服从正态分布2(,)N μσ，根据图像，分别求解出μ，σ，根据给的参考数据，结合给定的范围，即可确定n 的值，然后根据区间[),m n 的范围，在图①输出满足条件的数据，即可确定k 的值，并根据k 的取值再去计算平均数即可. 【详解】有图像可知，X 服从正态分布2(,)N μσ，其中72μ=，5σ=，所以随机变量X ~(7225)N ，，()67770.6827P X <<=，()62820.9545P X <<=，由0.95450.6827(67)0.81860.95452P X n -<<==-，可得82n =.由图①可知，该班在[)67,82内抽取了10人； 所以，人均分为687073757271767876817410+++++++++=分.故答案为：10，74分. 20．(1)5975(2)乙 【解析】 【分析】（1）先求其对立事件的概率即可.（2）分别求甲乙两同学得分的概率分布及均值，比较甲乙两同学得分的均值的大小即可. (1)设甲同学三道题都答对的事件为A ,则()4221653575P A =⨯⨯=， 所以甲同学至少有一道题不能答对的概率为()1659117575P P A =-=-=. (2)设甲同学本次竞赛中得分为X ，则X 的可能取值为0,2,4,6,8分，则()1133053575P X ==⨯⨯=, ()41312318253553575P X ==⨯⨯+⨯⨯=,()42311226453553575P X ==⨯⨯+⨯⨯=,()41212212653553575P X ==⨯⨯+⨯⨯=,()42216853575P X ==⨯⨯=,所以X 的概率分布列为：所以()318261216340680246875757575757515E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯== 设乙同学本次竞赛中得分为Y ，由Y 的可能取值为0,2,4,6,8分 ()32805125P Y ⎛⎫===⎪⎝⎭, ()2123224255125P Y C ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭, ()2232323045555125P Y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, ()2122336655125P Y C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ()332785125P Y ⎛⎫===⎪⎝⎭, 所以Y 的概率分布列为：所以()82430362724024681251251251251255E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=, 所以6824155<，所以乙的得分能力更强. 21．（1）395；（2）分布列见详解；()25E X =.【解析】 【分析】（1）利用组合数以及古典概型的概率计算公式即可求解.（2）由题意可得0,1,2x =，再利用二项分布的概率计算公式列出分布列，从而求出数学期望. 【详解】（1）记恰好2名学生都是优秀的事件为A ，则()242206319095C P A C ===. （2）抽到一名优秀学生的概率为41205p ==， X 的取值为0,1,2，()20024********P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ()111241815525P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, ()022241125525P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 故X 的分布列为：()168120122525255E X =⨯+⨯+⨯=22．（1）49；（2）分布列见解析，195()9E ξ=；（3）49.【解析】（1）设事件i A 这位参赛者回答对第i 个问题()1,2,3i =，则这位参赛者仅回答正确两个问题的情况有123A A A ，123A A A ，123A A A ，然后利用互斥事件的概率和公式求解即可； （2）由题意可得30,20,0,10,20,30,50,60ξ=--，然后依次求出各个的概率，列出分布列即可，从而可求出数学期望；（3）由（2）可得这位参赛者闯关成功的概率为(30)(50)(60)P P P P ξξξ==+=+= 【详解】（1）设事件i A 这位参赛者回答对第i 个问题()1,2,3i =， ①()()()123123123P P A A A P A A A P A A A =++ 22121112143323323329=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= （2）30,20,0,10,20,30,50,60ξ=-- ()1231(30)18P P A A A ξ=-==，()1231(20)9P P A A A ξ=-==，()1231(0)9P P A A A ξ===，()1232(10)9P P A A A ξ===，()1231(20)18P P A A A ξ===，()1231(30)9P P A A A ξ===， ()1231(50)9P P A A A ξ===，()1232(60)9P P A A A ξ===， ①ξ的分布列为：11121112195()30200102030506018999189999E ξ=-⨯-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． （3）由（2）得这位参赛者闯关成功的概率为4(30)(50)(60)9P P P P ξξξ==+=+==． 【点睛】关键点点睛：此题考查互斥事件和独立事件的概率的求法，考查离散型随机变量的分布列，考查运算求解能力，解题的关键是正确理解题意，正确利用互斥事件和独立事件的概率公式，属于中档题。

2023高考数学复习专项训练《等比数列》一、单选题（本大题共12小题，共60分）1.（5分）等比数列{a n}满足a1+a2+a3=13,a2+a3+a4=133，则a5=()A. 1B. 13C. 427D. 192.（5分）给出以下命题：①存在两个不等实数α，β，使得等式sin(α+β)=sinα+sinβ成立；②若数列{a n}是等差数列，且a m+a n=a s+a t(m、n、s、t∈N∗)，则m+n=s+t；③若S n是等比数列{a n}的前n项和，则S6，S12−S6，S18−S12成等比数列；④若S n是等比数列{a n}的前n项和，且S n=Aq n+B；(其中A、B是非零常数，n∈N∗)，则A+B为零；⑤已知ΔABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2+b2>c2，则ΔABC一定是锐角三角形．其中正确的命题的个数是()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3.（5分）设T n为等比数列{a n}的前n项之积，且a1=−6，a4=−34，则当T n最大时，n的值为()A. 4B. 6C. 8D. 104.（5分）等比数列{a n}，满足a1+a2+a3+a4+a5=3，a12+a22+a32+a42+a52= 15，则a1−a2+a3−a4+a5的值是()A. 3B. √5C. −√5D. 55.（5分）已知在等比数列{a n}中，公比q是整数，a1+a4=18，a2+a3=12，则此数列的前8项和为()A. 514B. 513C. 512D. 5106.（5分）已知正项数列{a n}，{b n}分别为等差、等比数列，公差、公比分别为d，q(d,q∈N∗)，且d=q，a1+b1=1，a3+b3=3.若a n+b n=2013(n>3)，则n= ()A. 2013B. 2012C. 100D. 997.（5分）若a，b，c成等比数列，则关于x的方程a x2+bx+c=0( )A. 必有两个不等实根B. 必有两个相等实根C. 必无实根D. 以上三种情况均有可能8.（5分）公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11=16，则log2a10=()9.（5分）记Sn为等比数列{a n}的前n项和，已知S2=2，S3=−6.则{a n}的通项公式为()A. a n=(−2)nB. a n=−2nC. a n=(−3)nD. a n=−3n10.（5分）正项等比数列{a n}中，a3=2，a4.a6=64，则a5+a6a1+a2的值是()A. 4B. 8C. 16D. 6411.（5分）在等比数列{a n}中，a7，a11是方程x2+5x+2=0的二根，则a3.a9.a15a5.a13的值为()A. −2+√22B. −√2C. √2D. −√2或√212.（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，9S3=S6=63，则S10=A. 255B. 511C.1023 D. 2047二、填空题（本大题共5小题，共25分）13.（5分）已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a3+a9=a10−a8.若a n=0，则n=__________14.（5分）若等比数列{an}的前n项和Sn满足：an+1=a1Sn+1（n∈N*），则a1=____．15.（5分）在等比数列{an}中，已知前n项和Sn=5n+1+a，则a的值为____________．16.（5分）若等比数列{a n}的首项为23，且a4=∫41(1+2x)dx，则公比q等于______．17.（5分）如图所示，将正整数排成三角形数阵，每排的数称为一个群，从上到下顺次为第1群，第2群，……，第n群，……，第n群恰好有n个数，则第n群中n个数的和是____________.123465812107162420149324840281811…三、解答题（本大题共6小题，共72分）18.（12分）已知{x n}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3−x2=2.(1)求数列{x n}的通项公式；(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1,1)，P2(x2,2)，…，P n+1(x n+1,n+1)得到折线P1P2…P n+1，求由该折线与直线y=0，x=x1，x=x n+1所围成的区域的面积T n.19.（12分）如果等比数列{a n}中公比q>1，那么{a n}一定是递增数列吗?为什么?20.（12分）数列{a n}满足a1=1，a n=2a n−1-3n+6（n≥2，n∈N+）．（1）设b n=a n-3n，求证：数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式．21.（12分）设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，满足4S n=a n+12−4n−1，n∈N∗，且a2，a5，a14构成等比数列．(1)证明：a2=√4a1+5；(2)求数列{a n}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有1a1a2+1a2a3+…+1a n a n+1<12.22.（12分）已知数列{a n}是等差数列，其首项为2，且公差为2，若b n=2a n(n∈N∗).(Ⅰ)求证：数列{b n}是等比数列；(Ⅱ)设c n=a n+b n，求数列{c n right}的前n项和A n．23.（12分）已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5．(Ⅰ)求{a n}的通项公式；(Ⅱ)求和：b1+b3+b5+⋯+b2n−1．四、多选题（本大题共5小题，共25分）24.（5分）已知等差数列{a n}的公差和首项都不等于0，且a2，a4，a8成等比数列，则下列说法正确的是()A. a1+a5+a9a2+a3的值为3 B. a1+a5+a9a2+a3的值为2C. 数列{a n}的公差和首项相等D. 数列{a n}的公差和首项不相等25.（5分）设数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，则下列命题正确的是()A. 若a n+1-a n=2(n∈N∗)，则数列{a n}为等差数列B. 若b n+1=2b n(n∈N∗)，则数列{b n}为等比数列C. 若数列{a n}是等差数列，则S n，S2n-S n，S3n-S2n⋯⋯(n∈N∗)成等差数列D. 若数列{b n}是等比数列，则T n，T2n-T n，T3n-T2n⋯⋯(n∈N∗)成等比数列26.（5分）在公比q为整数的等比数列{a n}中，S n是数列{a n}的前n项，若a1+a4= 18，a2+a3=12，则下列说法正确的是()A. q=2B. 数列{S n+2}是等比数列C. S8=510D. 数列\left{ lg a n}是公差为2的等差数列27.（5分）已知等差数列{a n}的首项为1，公差d=4，前n项和为S n，则下列结论成立的有()A. 数列{S nn}的前10项和为100B. 若a1，a3，a m成等比数列，则m=21C. 若∑n i=11a i a i+1>625，则n的最小值为6D. 若a m+a n=a2+a10，则1m +16n的最小值为251228.（5分）已知数列{a n}为等差数列，{b n}为等比数列，{a n}的前n项和为S n，若a1+ a6+a11=3π，b1b5b9=8，则()A. S11=11πB. sin a2+a10b4b6=12C. a3+a7+a8=3πD. b3+b7⩾4答案和解析1.【答案】D;【解析】解：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 2+a 3+a 4=(a 1+a 2+a 3)q ，得133=13q ，解得q =13， 又a 1+a 2+a 3=a 1+13a 1+19a 1=139a 1=13，解得a 1=9，所以a 5=a 1q 4=9×(13)4=19， 故选：D.设等比数列{a n }的公比为q ，通过a 2+a 3+a 4=(a 1+a 2+a 3)q 可求出q 值，进一步根据a 1+a 2+a 3=a 1+a 1q +a 1q 2=13可求出a 1，最后利用a 5=a 1q 4进行求解即可． 此题主要考查等比数列的通项公式，考查学生逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．2.【答案】B; 【解析】该题考查命题真假的判断，考查学生灵活运用等差、等比数列的性质，三角函数以及三角形的判断，是一道综合题，属于中档题．利用特殊值判断①的正误；利用特殊数列即可推出命题②的正误；根据等比数列的性质，判断③的正误；根据等比数列的前n 项的和推出A ，B 判断④的正误．利用特殊三角形判断⑤的正误；解：对于①，实数α=0，β≠0，则sin (α+β)=sinβ，sinα+sinβ=sinβ，所以等式成立；故①正确；对于②，当公差d =0时，命题显然不正确，例如a 1+a 2=a 3+a 4，1+2≠3+4，故②不正确；对于③，设a n =(−1)n ，则S 6=0，S 12−S 6=0，S 18−S 12=0，∴此数列不是等比数列，故③不正确；对于④，S n 是等比数列{a n }的前n 项和，且S n =Aq n +B ；(其中A 、B 是非零常数，n ∈N ∗)，所以此数列为首项是a 1，公比为q ≠1的等比数列， 则S n =a 1(1−q n )1−q ，所以A =−a11−q ，B =a11−q ，∴A +B =0，故④正确；对于⑤，如果三角形是直角三角形，a =5，b =3，c =4，满足a 2+b 2>c 2，故⑤不正确；故选：B ．3.【答案】A;【解析】解：因为等比数列{a n }中，a 1=−6，a 4=−34，则由a 4=a 1q 3可得q =12． ∵T n 为等比数列{a n }的前n 项之积，∴T n =(−6)n .(12)n(n−1)2，因为求最大值，故只需考虑n 为偶数的情况， ∵T 2n +2T 2n =36×(12)4n +1，由T 2n +2T 2n⩾1可得n =1，∴T 2<T 4>T 6>T 8>⋯．则公比q =12，当T n 最大时，n 的值为4．故选：A ．由已知可得q =12.只需考虑n 为偶数的情况，由T 2n +2T 2n⩾1可得n =1，即可求解．该题考查了等比数列的通项公式及其前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.【答案】D;【解析】解：设数列{a n }的公比为q ，且q ≠1，则 a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=a 1(1−q 5)1−q =3①， a 12+a 22+a 32+a 42+a 52=a 12(1−q 10)1−q 2=15②∴②÷①得a 12(1−q 10)1−q 2÷a 1(1−q 5)1−q=a 1(1+q 5)1+q=5，∴a 1−a 2+a 3−a 4+a 5=a 1(1+q 5)1+q=5.故选：D.先设等比数列{a n }公比为q ，分别用a 1和q 表示出a 12+a 22+a 32+a 42+a 52，a 1+a 2+a 3+a 4+a 5和a 1−a 2+a 3−a 4+a 5，发现a 12+a 22+a 32+a 42+a 52除以a 1+a 2+a 3+a 4+a 5正好与a 1−a 2+a 3−a 4+a 5相等，进而得到答案．此题主要考查了等比数列的性质．属基础题．解题时要认真审题，注意等比数列的性质的灵活运用．5.【答案】D;【解析】由已知得{a 1+a 1q 3=18a 1q +a 1q 2=12，解得：q =2或q =12.∵q 为整数，∴q =2.∴a 1=2.∴S 8=2(1−28)1−2=29−2=510.6.【答案】A;【解析】此题主要考查等差数列和等比数列的通项公式和性质的应用.计算时要认真仔细.解：∵{_1+b1=1a3+b3=3，∴{_1+b1=1a1+2d+b1q2=3，∵d=q，所以{_1+b1=1a1+2q+b1q2=3，解得d=q=1，∴a n+b n=a1+(n−1)d+b1q n−1=a1+n−1+b1=2013，∴n=2013.故选A.7.【答案】C;【解析】若a，b，c成等比数列，则b²=ac由题意得△=b²-4ac=b²-4b²=-3b²等比数列中没有为0的项，∴-3b²<0∴△小于0，即方程a x2+bx+c=0必无实根故选C。

高考数学基础知识专题提升训练对数函数及其性质的应用[微体验]1．下列不等关系中，正确的是( ) A ．1.3－0.1>1.3－0.2 B ．0.7－0.3<0.70.2 C ．2－0.5>⎝ ⎛⎭⎪⎫120.5 D ．0.21.8>0.20.8A [因为y ＝1.3x 是增函数，－0.1>－0.2, 所以1.3－0.1>1.3－0.2.] 2．函数y ＝log 12(2x ＋1)的值域为________.解析 ∵2x ＋1>1，函数y ＝log 12 x 是(0，＋∞)上的减函数，∴log 12 (2x ＋1)<log 12 1＝0，即所求函数的值域为(－∞，0)．答案 (－∞，0)3．若函数f (x )＝log 2(ax ＋1)在[0,1]上单调递增，则实数a 的取值范围是________． 解析 由题意得⎩⎨⎧a >0，a ×0＋1>0，解得a >0.答案 (0，＋∞)4．函数f (x )＝log 2(1＋2x )的单调增区间是________．解析 易知函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，又因为函数y ＝log 2x 和y ＝1＋2x 都是增函数，所以f (x )的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞5．已知函数f (x )＝lg(x －1)． (1)求函数f (x )的定义域和值域； (2)证明f (x )是增函数． (1)解由x －1>0，得x >1.所以函数f (x )的定义域是(1，＋∞)，值域为R . (2)证明 设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝lg(x 1－1)－lg(x 2－1)＝lg x 1－1x 2－1. 因为1<x 1<x 2，所以0<x 1－1<x 2－1.所以0<x 1－1x 2－1<1.所以lg x 1－1x 2－1<0，从而f (x 1)<f (x 2)．所以f (x )在(1，＋∞)上是增函数．[对应学生用书P 67]探究一 利用单调性比较大小比较下列各组数的大小．(1)log1245与log1267；(2)log123与log153；(3)log a2与log a3.解(1)y＝log12x在(0，＋∞)上单调递减，又因为45＜67，所以log1245＞log1267.(2)因为在x∈(1，＋∞)上，y＝log15x的图象在y＝log12x图象的上方，所以log12 3＜log153.(3)当a＞1时，y＝log a x为增函数，所以log a2＜log a3；当0＜a＜1时，y＝log a x为减函数，所以log a2＞log a3.[方法总结]对数值比较大小的常用方法(1)如果同底，可直接利用单调性求解．(2)如果不同底，一种方法是化为同底的，另一种方法是寻找中间量．(3)如果不同底但同真数，可利用图象的高低与底数的大小关系来解决，或利用换底公式化为同底再进行比较．(4)若底数和真数都不相同，则常借助中间量1,0，－1等进行比较．(5)如果底数为字母，那么要分类讨论，进行分类讨论时，要做到不重不漏．[跟踪训练1]比较下列各组数的大小：(1)log a2.7，log a2.8；(2)log34，log65；(3)log0.37，log97.解(1)当a＞1时，由函数y＝log a x的单调性可知log a2.7＜log a2.8；当0＜a＜1时，同理可得log a2.7＞log a2.8.(2)log34＞log33＝1，log65＜log66＝1，∴log34＞log65.(3)log 0.37＜log 0.31＝0，log 97＞log 91＝0， ∴log 0.37＜log 97.探究二 利用单调性解简单的对数不等式问题(1)已知log a 12＞1，求a 的取值范围；(2)已知log 0.7(2x )＜log 0.7(x －1)，求x 的取值范围． 解(1)由log a 12＞1得log a 12＞log a a .①当a ＞1时，有a ＜12，此时无解；②当0＜a ＜1时，有12＜a ，从而12＜a ＜1.∴a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12， 1.(2)∵函数y ＝log 0.7x 在(0，＋∞)上为减函数，∴由log 0.72x ＜log 0.7(x －1)得⎩⎨⎧2x ＞0，x －1＞0，2x ＞x －1，解得x ＞1.∴x 的取值范围是(1，＋∞)． [方法总结]常见的对数不等式有三种类型(1)形如log a x ＞log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论．(2)形如log a x ＞b 的不等式，应将b 化为以a 为底数的对数式的形式，再借助y ＝log a x 的单调性求解．(3)形如log a x ＞log b x 的不等式，可利用图象求解． [跟踪训练2]解不等式：log a (x －4)＞log a (x －2)．解当a ＞1时，由⎩⎨⎧ x －4＞x －2，x －4＞0，x －2＞0，无解．当0＜a ＜1时，由⎩⎨⎧x －4＜x －2，x －4＞0，x －2＞0，得x ＞4.∴综上可知，当a ＞1时，不等式的解集为∅； 当0＜a ＜1时，不等式的解集为(4，＋∞)． 探究三 对数函数性质的综合应用(1)下列函数中，既是单调函数，又是奇函数的是( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝3|x | C ．y ＝lo g 3xD ．y ＝log 23x(2)已知f (x )＝log a (a －a x )(a >1)． ①求f (x )的定义域和值域； ②判断并证明f (x )的单调性．(1)D [y ＝x －1在定义域内不是单调函数；y ＝3|x |为偶函数；y ＝log 3x 既不是奇函数也不是偶函数，故A ，B ，C 均不正确．又∵log 23－x ＝log 2(3x )－1＝－log 23x ，log 23x 的定义域为R ，∴函数y ＝log 23x 为奇函数．令3x ＝t ，则y ＝log 2t .∵y ＝log 2t 与y ＝3x 在R 上都是增函数， ∴y ＝log 23x 在R 上为增函数．](2)解①由a >1，a －a x >0，即a >a x ，得x <1.故f(x)的定义域为(－∞，1)．由0<a－a x<a，可知log a(a－a x)<log a a＝1.故函数f(x)的值域为(－∞，1)．②f(x)在(－∞，1)上为减函数，证明如下：任取1>x1>x2，又∵a>1，∴ax1>ax2，∴a－ax1<a－ax2，∴log a(a－ax1)<log a(a－ax2)，即f(x1)<f(x2)，故f(x)在(－∞，1)上为减函数．[方法总结]解决对数函数综合问题的方法对数函数常与函数的奇偶性、单调性、最值以及不等式等问题综合，求解中通常会涉及对数运算．解决此类综合问题，首先要将所给的条件进行转化，然后结合涉及的知识点，明确各知识点的应用思路、化简方向，与所求目标建立联系，从而找到解决问题的思路．[跟踪训练3]已知函数f(x)＝log a(1＋x)，g(x)＝log a(1－x)，其中(a＞0，且a≠1)，设h(x)＝f(x)－g(x)．求函数h(x)的定义域，判断h(x)的奇偶性，并说明理由．解∵f(x)＝log a(1＋x)的定义域为{x|x＞－1}，g(x)＝log(1－x)的定义域为{x|x＜1}，a∴h(x)＝f(x)－g(x)的定义域为{x|x＞－1}∩{x|x＜1}＝{x|－1＜x＜1}．∵h(x)＝f(x)－g(x)＝log a(1＋x)－log a(1－x)，∴h(－x)＝log a(1－x)－log a(1＋x)＝－[log a(1＋x)－log a(1－x)]＝－h(x)，∴h(x)为奇函数．[对应学生用书P68]1．比较两个对数式大小的方法有以下几种(1)单调性法； (2)中间量法：比较不同底数对数的大小，常借助中间值0进行比较．利用口诀：“同大异小”，判断对数的符号．对于对数log a x，a和x均与1比较大小，当a和x都同大于(小于)1时，loga x大于0，否则logax小于0.(3)分类讨论：比较同底数(不是具体的数值)的对数大小，构造对数函数，利用对数函数的单调性比较大小．2．两类对数不等式的解法(1)形如log a f(x)＜log a g(x)的不等式．①当0＜a＜1时，可转化为f(x)＞g(x)＞0；②当a＞1时，可转化为0＜f(x)＜g(x)．(2)形如log a f(x)＜b的不等式可变形为log a f(x)＜b＝log a a b.①当0＜a＜1时，可转化为f(x)＞a b；②当a＞1时，可转化为0＜f(x)＜a b.若a>1，则y＝log a f(x)的单调性与y＝f(x)的单调性相同，若0<a<1，则y＝log a f(x)的单调性与y＝f(x)的单调性相反．另外应注意单调区间必须包含于原函数的定义域．3．形如y＝log a f(x)的函数的单调性首先要确保f(x)>0，当a>1时，y＝log a f(x)的单调性在f(x)>0的前提下与y＝f(x)的单调性一致．当0<a <1时，y ＝log a f (x )的单调性在f (x )>0的前提下与y ＝ f (x )的单调性相反． 4．(1)指数函数、对数函数都是非奇非偶函数，但并不妨碍它们与其他函数复合成奇函数(或偶函数)．(2)含对数式的奇偶性判断，一般用f (x )±f (－x )＝0来判断，运算相对简单．课时作业(二十七) 对数函数及其性质的应用[见课时作业(二十七)P 169]1．若lg(2x －4)≤1，则x 的取值范围是( ) A ．(－∞，7] B ．(2,7] C ．[7，＋∞)D ．(2，＋∞)B [ ∵lg(2x －4)≤1，∴0＜2x －4≤10，解得2＜x ≤7.] 2．函数f (x )＝|log 12 x |的单调递增区间是( )A ．⎝⎛⎦⎥⎤0，12 B ．(0,1] C ．(0，＋∞)D ．[1，＋∞)D [f (x )的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞)．]3．已知实数a ＝log 45，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120，c ＝log 30.4，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b ＜c ＜aB ．b ＜a ＜cC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜aD [由题知，a ＝log 45＞1，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝1，c ＝log 30.4＜0，故c ＜b ＜a .]4．若log a 35<1(a >0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，35B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，35∪(1，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(0,1)B [当a >1时，log a 35<0，满足题意，当0<a <1时，log a 35<1⇔log a 35<log a a ⇔0<a <35.]5．已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜aC [ ∵f (x )为偶函数，∴2|x －m |－1＝2|－x －m |－1.∴|x －m |＝|－x －m |. ∴－x －m ＝m －x .∴m ＝0.∴f (x )＝2|x |－1. ∴f (x )的图象关于y 轴对称且在[0，＋∞)上是增函数．又∵0＞log 0.53＞log 0.54＝－2，log 25＞log 24＝2,2m ＝0，∴c ＜a ＜b .]6．已知log 0.72m ＜log 0.7(m －1)，则m 的取值范围是________． 解析 ∵log 0.72m ＜log 0.7(m －1)， ∴2m ＞m －1＞0. 解得m ＞1. 答案 (1，＋∞)7．设a ＞1，函数f (x )＝log a x 在区间[a,2a ]上的最大值与最小值之差为12，则a ＝________.解析 ∵a ＞1，∴f (x )＝log a x 在[a,2a ]上递增，∴log a (2a )－log a a ＝12，即log a 2＝12，∴a 12 ＝2，a ＝4.答案 48．解不等式2log a (x －4)＞log a (x －2)．解原不等式等价于⎩⎨⎧log a (x －4)2＞log a (x －2)，x －2＞0，x －4＞0.①当a ＞1时，又等价于⎩⎨⎧(x －4)2＞x －2，x －2＞0，x －4＞0，解得x ＞6.②当0＜a ＜1时，又等价于⎩⎨⎧(x －4)2＜x －2，x －2＞0，x －4＞0，解得4＜x ＜6.综上所述，当a ＞1时，原不等式的解集为(6，＋∞)； 当0＜a ＜1时，原不等式的解集为(4,6)．9．已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,9]，求函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值及y 取得最大值时的x 的值．解 由f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,9]， 得f (x 2)＝2＋log 3x 2，x 2∈[1,9]，得函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的定义域为[1,3]，y ＝(2＋log 3x )2＋2＋l og 3x 2，即y ＝(log 3x )2＋6log 3x ＋6＝(log 3x ＋3)2－3.令log3x＝t，则0≤t≤1，则y＝(t＋3)2－3，当t＝log3x＝1，即x＝3时，y max＝13.1．设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( )A．c>b>a B．b>c>aC．a>c>b D．a>b>cD[a＝log36＝log32＋1，b＝log52＋1，c＝log72＋1，在同一坐标系内分别画出y＝log3x，y＝log5x，y＝log7x的图象，当x＝2时，由图易知log32>log52>log72，∴a>b>c.]2．已知f(x)＝log3x的值域是[－1,1]，那么它的反函数的值域为________．解析∵－1≤log3x≤1，∴log313≤log3x≤log33，∴13≤x≤3.∴f(x)＝log3x的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13， 3，∴f(x)＝log3x的反函数的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13， 3.答案⎣⎢⎡⎦⎥⎤13， 33．已知函数f(x)＝lg(3x－3)．(1)求函数f(x)的定义域和值域；(2)设函数h(x)＝f(x)－lg(3x＋3)，若不等式h(x)>t无解，求实数t的取值范围．解(1)由3x－3>0，得x>1，所以f(x)的定义域为(1，＋∞)．因为(3x－3)∈(0，＋∞)，所以函数f(x)的值域为R.(2)因为h (x )＝lg(3x －3)－lg(3x＋3)＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －33x ＋3＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－63x ＋3的定义域为(1，＋∞)，且h (x )在(1，＋∞)上是增函数，所以函数h (x )的值域为(－∞，0)．若不等式h (x )>t 无解，则t 的取值范围为t ≥0.4．(拓广探索)已知函数f (x )＝ln(ax 2＋2x ＋1)，g (x )＝log 12(x 2－4x －5)．(1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围；(2)若f (x )的值域为R ，求实数a 的取值范围；(3)求函数g (x )的递减区间．解 (1)若f (x )的定义域为R ，则y ＝ax 2＋2x ＋1的图象恒在x 轴的上方，所以⎩⎨⎧ a ＞0，Δ＝4－4a ＜0，所以a >1.(2)若f (x )的值域为R ，则y ＝ax 2＋2x ＋1的图象一定要与x 轴有交点，所以a ＝0或⎩⎨⎧ a ＞0，Δ＝4－4a ≥0，所以0≤a ≤1.(3)函数g (x )的定义域为{x ︱x <－1或x >5}，由复合函数单调性的“同增异减”法则，可知函数g (x )的单调递减区间为(5，＋∞)．。

高考真题数学基础题及答案
数学是高考过程中必不可少的学科，基础题是高考数学中的重要一环。

下面将为大家解析几道高考数学基础题并给出解答。

1. 某班男女生比例为2:3，男生15人。

这个班有多少学生？
解答：由题意可知，男生人数是女生人数的2/3，所以女生人数为
15*3/2=22.5人，但学生人数必为整数，所以男生人数为15人，女生人数为22人，总学生人数为15+22=37人。

2. 已知直角三角形斜边长为10cm，一个锐角的角度为30度，求另
一个锐角的角度。

解答：设另一个锐角的角度为x度，根据三角形内角和定理可知，30°+x°+90°=180°，解方程得x=60°。

3. 一辆汽车开出30km，回头发现忘带东西了，于是立即调头回去，速度比去时快了10km/h，这样就提前1小时到目的地。

求这辆车的速度。

解答：设汽车去时的速度为x km/h，则返回时速度为x+10 km/h。

根据题意，设去时用时t小时，则返回时用时t-1小时，可得方程
30/x=30/(x+10)+1，解方程可得汽车的速度为50 km/h。

通过以上几道数学基础题的解答，希望能帮助大家更好地理解和掌
握高考数学基础知识点。

望考生们认真练习，提高解题能力，取得理
想的成绩。

祝各位考生考试顺利！。

2023高考数学复习专项训练《面面垂直的判定》一、单选题（本大题共12小题，共60分）1.（5分）已知A={ x|3a−1<x<2a+3}，B={ x|x2−x−2⩽0}，A⊆B，则a的取值范围为()A. { a|a⩽−12} B. { a|a⩽12或a⩾0}C. { a|a⩾4}D. { a|a⩽0或a⩾4}2.（5分）定义：设函数f(x)的定义域为D，如果[m,n]⊆D，使得f(x)在[m,n]上的值域为[m,n]，则称函数f(x)在[m,n]上为“等域函数”，若定义域为[1e,e2]的函数g(x)= c x(c>0,c≠1)在其定义域的某个区间上为“等域函数”，则实数c的取值范围为()A. [2e2,1e) B. [2e2,1e]C. [e2e2,e1e] D. [e2e2,e1e)3.（5分）设x、y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”.（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件4.（5分）命题p：关于x的不等式ax2+ax−x−1<0的解集为(−∞,−1)∪(1a,+∞)的一个充分不必要条件是().A、a⩽−1B、a>0C、−2<a<0D、a<−2A. a⩽−1B. a>0C. −2<a<0D. a<−25.（5分）函数y=loga (2x−3)+√22(a>0且a≠1)的图像恒过定点P，且点P在幂函数f(x)的图像上，则f(4)=()A. 2B. 12C. 14D. 166.（5分）设ab>0，下面四个不等式：①|a+b|>|a|；②|a+b|<|b|；③|a+b|<|a−b|；④|a+b|>|a|−|b|；正确的是()A. ①和②B. ①和③C. ①和④D. ②和④7.（5分）已知ΔABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b 2+c 2<a 2，且cos 2A −3sin A +1=0，则sin (C −A)+√32cos (2A −B)的取值范围为 ( )A. (−12,−√34) B. (−12,−√34] C. [0,√34] D. (−23,−12) 8.（5分）函数y =x 2+ln |x|的图象大致为( )A. B.C.D.9.（5分）已知函数f(x)=x 1−|x|(x ∈D)，有下列四个结论：①对任意x ∈D ，f(−x)+f(x)=0恒成立；②对任意m ∈(0,1)，方程|f(x)|=m 有两个不相等的实数根； ③存在函数g(x)使得g(x)的图象与f(x)的图象关于直线y =x 对称； ④对任意k ∈(1,+∞)，函数g(x)=f(x)−kx 在D 上有三个零点． 则上述结论中正确的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 410.（5分）已知函数f (x )的定义域为R ，f (x +2)为偶函数，f (2x +1)为奇函数，则( )A. f (−12)=0B. f (−1)=0C. f (2)=0D. f (4)=011.（5分）已知定义在R 上的奇函数f(x)，且当x ∈[0,+∞)时，f(x)单调递增，则不等式f(2x +1)+f(1)⩾0的解集是()A. (−∞,1)B. (−1,+∞)C. [−1,+∞)D. (−∞,1]12.（5分）已知集合A ={x|1<x <3}，集合B ={x|log 2(x +1)⩽2}，则A ∪B =()A 、{x|1<x <3}B 、{x|x ⩽3}C 、{x|−1<x <3}D 、{x|1−<x ⩽3} A. {x|1<x <3} B. {x|x ⩽3} C. {x|−1<x <3}D. {x|1−<x ⩽3}二 、填空题（本大题共5小题，共25分）13.（5分）函数f(x)=x−1x中，若f（x）=0，则x=__________.14.（5分）某班有36名同学参加数学、物理、化学竞赛小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则只参加物理小组的有__________人，同时参加数学和化学小组的有__________人．15.（5分）写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)： ______ .①f(x1x2)=f(x1)f(x2)；②当x∈(0,+∞)时，f′(x)>0；③f′(x)是奇函数.16.（5分）已知函数f(x)满足以下条件：①在R上单调递增；②对任意x1，x2，均有f(x1)⋅f(x2)=4f(x1+x2)，则f(x)的一个解析式为 ______.17.（5分）已知等式sin230°+sin230°+sin30°⋅sin30°=34sin220°+sin240°+sin20°⋅sin40°=34sin210°+sin250°+sin10°⋅sin50°=34请你写出一个具有一般性的等式，使你写出的等式包含了已知的等式，这个等式是______.三、解答题（本大题共6小题，共72分）18.（12分）已知集合A={x|1⩽x−1⩽4}，B={x|−2<x⩽3}，C={x|2a−1< x<2a+1}.(1)若x∈C是“x∈A”的充分条件，求实数a的取值范围；(2)若(A∩B)⊆C，求实数a的取值范围．19.（12分）已知函数f(x)=√3sinx+mcosx(m∈R).(Ⅰ)若m=1，求f(π12)的值；(Ⅰ)若m=√6，且f(x)=0，求tan2x.20.（12分）立德中学高一年级共有200名学生报名参加学校团委与学生会组织的社团组织．据统计，参加艺术社团组织的学生有103人，参加体育社团组织的学生有120人(并非每个学生必须参加某个社团).求在高一年级的报名学生中，同时参加这2个社团的最多有多少人？最少有多少人？21.（12分）已知sin(α−β)=12，sin(α+β)=13.(1)证明：tanα+5tanβ=0；(2)计算：tan(α−β)−tanα+tanβtan2α·tan(α−β)的值．22.（12分）在①两个相邻对称中心的距离为π2，②两条相邻对称轴的距离为π2，③两个相邻最高点的距离为，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并对其求解．问题：函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)的图象过点(0,12)，且满足________，当α∈(0,π2)时，f(α2)=−√22，求sinα的值．23.（12分）已知函数f(x)=ax−2b x 2+1是定义在[−1,1]上的奇函数，且f(1)=1.(1)求a ，b 的值；(2)判断函数f(x)的单调性并用定义加以证明；(3)求使f(m −1)+f(2m −1)<0成立的实数m 的取值范围． 四 、多选题（本大题共5小题，共25分） 24.（5分）下列说法正确的是()A. “a >1”是“1a <1”的充分不必要条件B. 命题“∀x >1，x 2<1”的否定是“∃x <1，x 2⩾1”C. “x >1”是“(x −1)(x +2)>0”的必要条件D. 设a ，b ∈R ，则“a ≠0”是“ab ≠0”的必要不充分条件 25.（5分）设a >1，b >1且ab −(a +b)=1，那么( )A. a +b 有最小值2+2√2B. a +b 有最大值2+2√2C. ab 有最小值3+2√2D. ab 有最大值1+√226.（5分）已知x ，y ∈R ，x >0，y >0，且x +2y =1.则下列选项正确的是()A. 1x +1y 的最小值为4√2 B. x 2+y 2的最小值为15 C.x−2y x 2+y 2>1D. 2x+1+4y ⩾427.（5分）已知M 、N 均为实数集R 的子集，且N ∩∁R M =∅，则下列结论中正确的是( )A. M ∩∁R N =∅B. M ∪∁R N =RC. ∁R M ∪∁R N =∁R MD. ∁R M ∩∁R N =∁R M28.（5分）已知函数f(x)=2cos (ωx +ϕ)(ω>0,|ϕ|<π2)的图象上，对称中心与对称轴x =π12的最小距离为π4，则下列结论正确的是( )A. f (x )+f (5π6−x)=0 B. 当x ∈[π6,π2]时，f (x )⩾−√3C. 若g(x)=2cos2x ，则g (x −π6)=f (x )D. 若sin 4α−cos 4α=−45，α∈(0,π2)，则f (α+π4)的值为4−3√35答案和解析1.【答案】C;【解析】解：由题意知B ={ x |−1⩽x ⩽2}， (1)A =∅时，3a −1⩾2a +3，解得a ⩾4，满足题意；(2)A ≠∅时，a <4，由A ⊆B ，即有{2a +3⩽2，解得{a ⩽−12，可得a ∈∅； 综上，a ⩾4. 故选：C.分别讨论A 是否为空集，结合集合的关系，可得a 的不等式组，解不等式可得所求范围． 此题主要考查集合关系中的含参问题，注意对集合A 分空集和不是空集2种情况进行讨论，属于较易问题．2.【答案】D;【解析】解：由题意得，函数g(x)的图象与直线y =x 在[1e ,e 2]上有两个交点，即方程c x =x 在[1e,e 2]上有两个不等实根，即lnc =lnx x在[1e ,e 2]上有两个不等实根．设函数ℎ(x)=lnx x(1e⩽x ⩽e 2)，ℎ′(x)=1−lnx x 2，当1e⩽x <e 时，ℎ′(x)>0，函数ℎ(x)单调递增； 当e <x ⩽e 2时，ℎ′(x)<0，函数ℎ(x)单调递减． 所以ℎ(x)在x =e 处取得极大值，也是最大值，为ℎ(e)=1e .又ℎ(1e )=−e,ℎ(e 2)=2e 2， 故2e 2⩽lnc <1e ，解得e 2e 2⩽c <e 1e.故选：D.由题意可得函数g(x)的图象与直线y =x 在[1e ,e 2]上有两个交点，即lnc =lnx x在[1e ,e 2]上有两个不等实根．构造函数，通过导数求函数的最值与区间端点值，数形结合求解即可．此题主要考查了导数的新定义问题，考查转化思想，属于中档题．3.【答案】A; 【解析】略4.【答案】null; 【解析】此题主要考查了一元二次不等式的解法，充分必要条件的应用，属于中档题. 先根据命题p 成立的充要条件，求出a 的取值范围，然后根据充分不必要条件的定义结合各选项可得答案.解：由题意命题p 即(ax −1)(x +1)<0的解集为(−∞,−1)∪(1a ,+∞)，即充要条件为{a <0−1⩽1a ，解得a ⩽−1，因为(−∞,−2)⫋(−∞,−1]所以a <−2是a ⩽−1的一个充分不必要条件， 故选D.5.【答案】B; 【解析】此题主要考查了对数的恒过定点问题以及幂函数的解析式和求值，属于基础题.将定点代入幂函数解析式，可得a ，进而可求f(4).解：可知函数y =log a (2x −3)+√22(a >0且a ≠1)的图象恒过定点P(2,√22)， 令幂函数为f(x)=x a ，代入P 点坐标， 可得√22=2a ，则a =−12， f(x)=x −12， 则f(4)=4−12=12.故选B.6.【答案】C;【解析】此题主要考查了不等式与绝对值不等式，根据ab >0，逐项判断即可得到答案.解：∵ab >0，∴a 、b 同号，∴ |a +b|>|a|，|a +b|=|a|+|b|，∴①④正确，故选C.7.【答案】A; 【解析】此题主要考查了二倍角公式，解三角形，以及三角恒等变换等内容，需要学生熟练掌握并巧妙变换．由题意，利用二倍角公式将cos2A −3sin A +1=0化成关于sin A 的一元二次方程，解出sin A 的值，利用cos A <0求出A 的取值；将A 的值和B =π−A −C 代入并化简，可以得到关于C 的三角函数，利用三角函数单调性求出值域，即所求．解：因为cos2A −3sin A +1=0， 所以1−2sin2A −3sin A +1=0， 所以sin A =12或−2(舍)， 又因为cos A <0， 所以A =5π6， 所以sin (C −A)+√32cos (2A −B)=sin (C −5π6)+√32cos [2×−(π−5π6−C)]=sin (C −5π6)+√32sin C =−12cos C ， 又因为C ∈(0,π6)， 所以cos C ∈(√32,1)， 所以−12cos C ∈(−12,−√34) .故选A.8.【答案】A;【解析】此题主要考查了函数图象的识别，关键是掌握函数的奇偶性和函数的单调性和函数值的变化趋势，属于基础题．先求出函数为偶函数，再根据函数值的变化趋势或函数的单调性即可判断． 解：∵f(−x)=x 2+ln |x|=f(x)， ∴y =f(x)为偶函数，∴y =f(x)的图象关于y 轴对称，故排除B ，C ， 当x >0时，y =x 2+ln x 为增函数，故排除D. 故选A .9.【答案】C;【解析】解：①函数的定义域是{x|x ≠±1},f(−x)+f(x)=−x 1−|−x|+x 1−|x|=0，故①正确；②y =|f(x)|=|x1−|x||={x x−1,x >1x 1−x ,0<x <1−x1+x,−1<x <0−x x+1,x <−1，函数的图象如图所示：y =m 与函数图象有2个交点，故②正确；③设函数g(x)上的任一点为P(x,y)关于y =x 的对称点为(y,x)在函数f(x)上， 则x =y 1−|y|，当y >0时，y =xx+1，当y ⩽0时，y =x 1−x，当x =2时，y =23或y =−2，存在一个x 对着两个y 的值，所以不存在函数g(x)使得g(x)的图象与f(x)的图象关于直线v =x 对称，故③不正确； ④x1−|x|−kx =0，当x =0时，满足方程，所以方程的一个实数根是x =0，当x ≠0时，k =11−|x|,|x|=1−1k ，当k >1时，1−1k >0,x =±(1−1k )，)，所以函数有3个零所以满足方程g(x)=f(x)−kx=0的有三个实数根据0,±(1−1k点，故④正确．故正确的个数有3个．故选：C.①根据解析式计算f(−x)+f(x)=0；②画出函数y=|f(x)|的图象，由图象的交点个数判断实数根的个数；③假设存在函数g(x)满足条件，再根据函数的定义，判断选项；④根据f(x)−kx=0，求方程的实数根的个数，再判断定义域上的零点个数．此题主要考查函数的图象和性质，零点，重点考查数形结合分析问题的能力，推理能力，属于中档题型．10.【答案】B;【解析】本题是对函数奇偶性和周期性的综合考查，属于拔高题.推导出函数f(x)是以4为周期的周期函数，由已知条件得出f(1)=0，结合已知条件可得出结论.解：因为函数f(x+2)为偶函数，则f(2+x)=f(2−x)，可得f(x+3)=f(1−x)，因为函数f(2x+1)为奇函数，则f(1−2x)=−f(2x+1)，所以，f(1−x)=−f(x+1)，所以，f(x+3)=−f(x+1)=f(x−1)，即f(x)=f(x+4)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数，因为函数F(x)=f(2x+1)为奇函数，则F(0)=f(1)=0，故f(−1)=−f(1)=0，其它三个选项未知.故选B.11.【答案】C;【解析】此题主要考查综合运用函数的单调性与奇偶性解不等式，属于中档题.解：因为函数在[0,+∞)上是增函数，且函数是奇函数，所以函数在(−∞,0)上是增函数，函数在x=0处连续，所以函数在R上是增函数，又f(−1)=−f(1)，所以不等式可化为f(2x+1)⩾−f(1)=f(−1)，所以2x+1⩾−1，解得x⩾−1，即不等式的解集为[−1,+∞).故选C.12.【答案】null;【解析】解：集合A={x|1<x<3}，集合B={x|log2(x+1)⩽2}={x|−1<x⩽3}，则A∪B={x|−1<x⩽3}.故选：D.求出集合A，集合B，利用并集定义能求出A∪B.此题主要考查集合的运算，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13.【答案】1或-1;【解析】略14.【答案】5;8;【解析】此题主要考查运用集合间的关系确定元素个数问题以及venn图的运用，属于基础题．把集合间的关系利用方程表示出来，再解方程即可．解：由条件知，每名同学至多参加两个小组，故不可能出现一名同学同时参加数学、物理、化学小组，因为参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，所以只参加物理的有15−6−4=5人．设同时参加数学和化学小组的人数有x人，则只参加数学的有26−6−x=20−x，只参加化学的有13−4−x=9−x.又总人数为36人，即20−x+x+6+4+5+9−x=36，所以44−x=36，解得x=8.即同时参加数学和化学小组的人数有8人，15.【答案】f(x)=x2;【解析】此题主要考查了幂函数的求导公式，奇函数的定义及判断，考查了计算能力，属于基础题．函数f(x)=x 2，f(x 1x 2)=(x 1x 2)2=x 12x 22=f(x 1)f(x 2)满足①，求出导函数，可判断满足②③．解：f(x)=x 2时，f(x 1x 2)=(x 1x 2)2=x 12x 22=f(x 1)f(x 2)；当x ∈(0,+∞)时，f′(x)=2x >0；f′(x)=2x 是奇函数． 故答案为：f(x)=x 2.16.【答案】f （x ）=2x+2;【解析】解：因为函数f(x)满足对任意x 1，x 2，均有f(x 1)⋅f(x 2)=4f(x 1+x 2)， 故考虑基本初等函数中的指数函数， 又f(x)在R 上单调递增， 则指数函数的底数大于1，所以f(x)的一个解析式为f(x)=2x+2. 故答案为：f(x)=2x+2.由条件②，考虑为基本初等函数中的指数函数，再利用单调性，即可得到答案． 此题主要考查了基本初等函数性质的理解与应用，指数函数性质的理解与应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题．17.【答案】si n 2α+si n 2（60°-α）+sinα•sin （60°-α）=34;【解析】解：等式的右边为常数34，等式左边的两个角之和为60°，故由归纳推理可知，满足条件的一个结论可以是：sin 2α+sin 2(60°−α)+sinα⋅sin(60°−α)=34.故答案为：sin 2α+sin 2(60°−α)+sinα⋅sin(60°−α)=34.根据两个等式的特点，确定角和角之间的关系，然后利用归纳推理归纳出结论． 此题主要考查归纳推理的应用，根据归纳推理，先从条件中确定等式的规律是解决此类问题的基本思路，属于基础题．18.【答案】解：（1）集合A={x|1≤x -1≤4}={x|2≤x≤5}，C={x|2a-1＜x ＜2a+1}， ∵x ∈C 是“x ∈A”的充分条件，∴{2a +1≤52a −1≥2，解得32≤a ≤2， ∴实数a 的取值范围是[32，2]；（2）∵集合A={x|1≤x -1≤4}={x|2≤x≤5}，B={x|-2＜x≤3}，C={x|2a-1＜x ＜2a+1}， ∴A∩B={x|2≤x≤3}，（A∩B ）⊆C ，∴{2a −1<22a +1>3，解得1＜a ＜32， ∴实数a 的取值范围是（1，32）．;【解析】(1)求出集合A ，利用x ∈C 是“x ∈A ”的充分条件，列出不等式组，由此能求出实数a 的取值范围；(2)利用交集定义求出A ∩B ，利用(A ∩B)⊆C ，列出不等式组，由此能求出实数a 的取值范围．此题主要考查集合的运算，考查充分条件、子集、交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.【答案】解：（Ⅰ）若m=1，则函数f （x ）=√3sinx+cosx=2sin （x+π6）， ∴f （π12）=2sin π4=√2．（Ⅱ）∵m=√6，f （x ）=√3sinx+√6cosx=0， ∴√3sinx-=-√6cosx ，∴tanx=-√2， ∴tan2x=2tanx 1−tan 2x =2√2．;【解析】(Ⅰ)由题意，利用两角和差的三角公式化简函数f(x)的解析式，从而得到f(π12)的值．(Ⅰ)先由题意求得tanx 的值，再利用二倍角的正切公式，计算tan2x 的值． 此题主要考查两角和差的三角公式，二倍角的正切公式，属于基础题．20.【答案】解：由题意：当艺术社团组织的103名学生都参加体育社团组织时，同时参加这2个社团的学生最多，且有103人；当每个学生都参加某个社团时，同时参加这2个社团的学生最少，且有103+120-200=23人，所以同时参加这2个社团的最多有103名学生，最少有23名学生．; 【解析】由题可知当艺术社团组织的学生都参加体育社团组织时，同时参加这2个社团的人数最多，当每个学生都参加某个社团时，同时参加这2个社团的学生最少． 此题主要考查集合的应用，考查运算求解能力，属于基础题．21.【答案】解：（1）证明：由条件sin(α−β)=12，sin(α+β)=13， 即sinαcosβ−cosαsinβ=12，sinαcosβ+cosαsinβ=13， 解得sinαcosβ=512，cosαsinβ=−112，可得tanαtanβ=-5， 从而可得tanα=-5tanβ，tanα+5tanβ=0得证．（2）由tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ，可得tanα-tanβ=tan （α-β）（1+tanαtanβ），∴原式=tan(α−β)−tanα+tanβtan 2αtan(α−β)=tan(α−β)−tan(α−β)(1+tanαtanβ)tan 2αtan(α−β)=−tan(α−β)·tanαtanβtan 2αtan(α−β)=−tanβtanα=15．;【解析】(1)由题意，把所给条件利用两角和差的三角公式展开，化简可得结论． (2)由题意，把两角差的正切公式展开变形，代入要求的式子化简，可得结论． 此题主要考查两角和差的三角公式的应用，同角三角函数的基本关系，属于中档题．22.【答案】解：由函数f(x)=cos(ωx +φ)的图象过点(0,12)，得f(0)=cosφ=12， 又因为0<φ<π2，所以φ=π3，在①②③三个条件中任选一个，可知最小正周期T =π， 根据T =2π|ω|， 得ω=2，所以f(x)=cos(2x +π3)， 由f(α2)=−√22，得cos(α+π3)=−√22， 由α∈(0,π2)，得α+π3∈(π3,5π6)，所以sin(α+π3)=√1−cos 2(α+π3)=√22， sinα=sin[(α+π3)−π3]=sin(α+π3)cos π3−cos(α+π3)sin π3 =√22×12−(−√22)×√32=√2+√64. ;【解析】此题主要考查三角恒等变换和三角函数的图象和性质，属于中档题. 先由f(0)=12求出φ，由三个条件中任选一个，可知最小正周期T =π，得ω=2，求出f(x) ，结合条件以及同角三角函数关系求得sin(α+π3)，再利用两角差的正弦公式即可求解.23.【答案】null; 【解析】(1)由奇函数的性质可得f(0)=0，可求得b 的值，再由f(1)=1可求得a 的值，从而可得a ，b 的值；(2)f(x)在[−1,1]上是增函数，利用增函数的定义即可证明；(3)根据函数的奇偶性与单调性将不等式转化为关于m 的一次不等式，求解即可． 此题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，考查不等式的解法，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．24.【答案】AD;【解析】解：对于A ：当“a >1”时“1a <1”成立，反之不成立，故“a >1”是“1a <1”的充分不必要条件，故A 正确；对于B ：命题“任意x >1，都有x 2<1”的否定是“存在x >1，使得x 2⩾1”故B 不正确； 对于C ：x >1，则(x −1)(x +2)>0，但由(x −1)(x +2)>0，不能推出x >1，故“x >1”是“(x −1)(x +2)>0”的充分不必要条件，故C 不正确；对于D ：设a ，b ∈R ，则“a ≠0”推不出“ab ≠0”，由“ab ≠0”能够推出“a ≠0”，故“a ≠0”是“ab ≠0”的必要不充分条件，故D 正确． 故选：AD.直接利用充分条件和必要条件，命题的否定，简易逻辑中的相关知识的应用判断A 、B 、C 、D 的结论此题主要考查的知识要点：充分条件和必要条件，命题的否定，简易逻辑，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．25.【答案】AC;【解析】解：∵a >1，b >1， ∴ab =1+(a +b)⩽(a+b 2)2(当且仅当a =b >1时，取等号)，即(a +b)2−4(a +b)−4⩾0且a +b >2， ∴a +b ⩾2+2√2，∴a +b 有最小值2+2√2，即选项A 正确，B 错误；由ab −(a +b)=1，得ab −1=a +b ⩾2√ab (当且仅当a =b >1时，取等号)， 即ab −2√ab −1⩾0且ab>1， ∴ab ⩾3+2√2，∴ab 有最小值3+2√2，即选项C 正确，D 错误． 故选：AC ． 由(a +b)⩽(a+b 2)2，可推出a +b 的最小值；由a +b ⩾2√ab ，可推出ab 的最小值．该题考查基本不等式的应用，熟练掌握基本不等式的各种变形是解答该题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．26.【答案】BD;【解析】解：对于A ：已知x ，y ∈R ，x >0，y >0，且x +2y =1，所以1x +1y =x+2y x+x+2y y=1+3+2y x+xy ⩾4+2√2，当且仅当x 2=2y 2等号成立，故A 错误；对于B ：x 2+y 2=(1−2y)2+y 2=5y 2−4y +1=5(y −25)2+15，当y =25时，最小值为15；故B 正确；对于C ：当x =12，y =14时，x−2yx 2+y 2>1不成立，故C 错误；对于D ：2x+1+4y =2x+1+22y ⩾2√2x+2y+1=4，当且仅当y =12时，等号成立，故D正确．故选：BD.直接利用不等式的性质和基本不等式的应用判断A、B、C、D的结论．此题主要考查的知识要点：不等式的性质，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．27.【答案】BD;【解析】解：因为N∩∁R M=∅，所以N⊆M，所以M∩∁R N≠∅，选项A错误；M∪∁R N=R，选项B正确；∁R M∪∁R N=∁R N，选项C错误；∁R M∩∁R N=∁R M，选项D正确．故选：BD.根据题意知N⊆M，利用交集、并集和补集的定义，判断正误即可．此题主要考查了集合的定义与运算问题，也考查了推理与判断能力，是基础题．28.【答案】BD;【解析】此题主要考查了余弦函数的图象及性质，同角三角函数关系及两角差的余弦公式，属于中档题.根据对称中心与对称轴的最小距离求出周期T，得到ω=2，再根据对称轴方程求出ϕ=−π6，再根据余弦函数的图象及性质对四个选项一一判断即可，选项D先利用同角三角函数关系及二倍角公式化简，再求出f(α+π4).解：由题有T=π，则ω=2，又由对称轴x=π12可得，2×π12+ϕ=kπ，k∈Z，又|ϕ|<π2，则ϕ=−π6，故f(x)=2cos(2x−π6)，对于A，因为f(x)+f(5π6−x)=2cos(2x−π6)+2cos(53π−2x−π6)=2cos(2x−π6)−2sin2x=2cos2x cosπ6+2sin2x sinπ6−2sin2x=√3cos2x−sin2x则f(x)+f(5π6−x)=0错误，故A选项不正确.对于B，x∈[π6,π2]，则2x−π6∈[π6,5π6]，则f(x)∈[−√3,√3]，故B选项正确；对于C，f(x)=2cos2(x−π12)，应将g(x)=2cos2x的图象向右平移π12个单位，故C选项错误．对于D，sin4α−cos4α=−cos2α=−45，且α∈(0,π2)，则2α∈(0,π)，故cos2α=45，sin2α=35，而f (α+π4)=2cos (2α+π3)=cos 2α−√3sin 2α=4−3√35，故D 选项正确； 故选BD .。

高考数学基础知识专题提升训练全称量词命题和存在量词命题的否定课程标准学科素养1．通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义．2．能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定．3．能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.通过对全称量词与存在量词的学习，提升“数学抽象”“逻辑推理”的核心素养[对应学生用书P15]知识点1 全称量词和全称量词命题(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．(2)将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示．那么，全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为：∀x∈M，p(x).[微体验]1．思考辨析(1)命题“任意一个自然数都是正整数”是全称量词命题．( )(2)命题“三角形的内角和是180°”是全称量词命题．( )(3)命题“存在一个菱形，它的四条边不相等”是全称量词命题．( )答案(1)√(2)√(3)×2．下列命题中，不是全称量词命题的是( )A．任何一个实数乘以0都等于0B．自然数都是正整数C．每一个向量都有大小D．一定存在没有最大值的二次函数D[A，B，C都是全称命题，D是特称命题．]知识点2 存在量词和存在量词命题(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．(2)存在量词命题“存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为：∃x∈M，p(x).[微体验]1．思考辨析(1)命题“有些菱形是正方形”是全称命题．( )(2)命题“存在一个菱形，它的四条边不相等”是存在量词命题．( )(3)命题“有的无理数的平方不是有理数”是存在量词命题．( )答案(1)×(2)√(3)√2．以下量词“所有”“任何”“一切”“有的”“有些”“有一个”“至少”中是存在量词的有( )A．2个B．3个C．4个D．5个C[“有的”“有些”“有一个”“至少”都是存在量词．]知识点3 全称量词命题和存在量词命题的否定(1)全称量词命题的否定：一般来说，对含有一个量词的全称量词命题进行否定，我们只需把“所有的”“任意一个”等全称量词，变成“并非所有的”“并非任意一个”等短语即可．也就是说，假定全称量词命题为“∀x∈M，p(x)”，则它的否定为“并非∀x∈M，p(x)”，也就是“∃x∈M，p(x)不成立”．通常，用符号“¬p(x)”表示“p(x)不成立”．(2)对于含有一个量词的全称量词命题的否定，有下面的结论：全称量词命题：∀x∈M，p(x)，它的否定：∃x∈M，¬p(x).也就是说，全称量词命题的否定是存在量词命题．(3)存在量词命题的否定：一般来说，对含有一个量词的存在量词命题进行否定，我们只需把“存在一个”“至少有一个”“有些”等存在量词，变成“不存在一个”“没有一个”等短语即可．也就是说，假定存在量词命题为“∃x∈M，p(x)”，则它的否定为“不存在x∈M，使p(x)成立”，也就是“∀x∈M，p(x)不成立”．(4)对于含有一个量词的存在量词命题的否定，有下面的结论：存在量词命题：∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，¬p(x).也就是说，存在量词命题的否定是全称量词命题．[微体验]1．思考辨析(1)命题¬p的否定是p.( )(2)∃x∈M，p(x)与∀x∈M，¬p(x)的真假性相反．( )(3)从存在量词命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定．( )答案(1)√(2)√(3)√2．若命题p：∃x＞0，x2－3x＋2＞0，则命题¬p为( )A．∃x＞0，x2－3x＋2≤0B．∃x≤0，x2－3x＋2≤0C．∀x＞0，x2－3x＋2≤0D．∀x≤0，x2－3x＋2≤0C[命题p是一个存在量词命题，¬p为：∀x＞0，x2－3x＋2≤0.]3．已知命题p：∀x＞2，x3－8＞0，那么¬p是__________．解析命题p为全称量词命题，其否定为存在量词命题，则¬p：∃x＞2，x3－8≤0.答案∃x＞2，x3－8≤0][对应学生用书P6探究一全称量词命题和存在量词命题的判定(1)下列命题中全称量词命题的个数是( )①任意一个自然数都是正整数；②有的等差数列也是等比数列；③三角形的内角和是180°.A．0 B．1C．2 D．3(2)下列语句不是存在量词命题的是( )A．有的无理数的平方是有理数B．有的无理数的平方不是有理数C．对于任意x∈Z,2x＋1是奇数D．存在x∈R,2x＋1是奇数解(1)C[观察分析命题是否含有“任意”“所有的”“每一个”等全称量词．命题①含有全称量词，而命题③可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180° ”，故有两个全称命题．](2)C[因为“有的”“存在”为存在量词，“任意”为全称量词，所以选项A，B，D 均为存在量词命题，选项C为全称量词命题．][方法总结]判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路[跟踪训练1] 用全称量词或存在量词表示下列语句．(1)不等式x2＋x＋1＞0恒成立；(2)当x为有理数时，13x2＋12x＋1也是有理数；(3)方程3x－2y＝10有整数解．解(1)对任意实数x，不等式x2＋x＋1＞0成立．(2)对任意有理数x，13x2＋12x＋1是有理数．(3)存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立．探究二全称量词命题和存在量词命题的真假判断(多选题)下面的命题中正确的是( )A．∀x∈R，x2＋2＞0 B．∀x∈N，x4≥1C．∃x∈Z，x3＜1 D．∃x∈Q，x2＝3AC[对A，由于∀x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2＞0，即x2＋2＞0.所以命题“∀x∈R，x2＋2＞0”是真命题．对B，由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立．所以命题“∀x∈N，x4≥1”是假命题．对C，由于－1∈Z，当x＝－1时，x3＜1成立．所以命题“∃x∈Z，x3＜1”是真命题．对D，由于使x2＝3成立的数只有±3，±3都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方等于3.所以命题“∃x∈Q，x2＝3”是假命题．][方法总结]全称量词命题与存在量词命题的真假判断的技巧(1)全称量词命题的真假判断要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，却只要能举出集合M中的一个x，使得p(x)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．(2)存在量词命题的真假判断要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个x，使p(x)成立即可；否则，这一存在量词命题就是假命题．[跟踪训练2] 判断下列命题的真假．(1)∀x∈{1,3,5},3x＋1是偶数；(2)∃x∈R，x2－6x－5＝0；(3)∃x∈R，x2－x＋1＝0；(4)∀x∈R，|x＋1|＞0.解(1)∵3×1＋1＝4,3×3＋1＝10,3×5＋1＝16，它们均为偶数，∴该命题是真命题．(2)∵方程x2－6x－5＝0中，Δ＝36＋20＝56＞0，∴方程有两个不相等的实根．∴该命题是真命题．(3)∵方程x2－x＋1＝0中，Δ＝1－4＝－3＜0，∴x2－x＋1＝0无实数解．∴该命题是假命题．(4)∵x＝－1时，|－1＋1|＝0，∴该命题是假命题．探究三全称量词命题和存在量词命题的否定写出下列命题的否定，并判断真假．(1)任何一个平行四边形的对边都平行；(2)非负数的平方是正数；(3)有的四边形没有外接圆；(4)∃x，y∈Z，使得2x＋y＝3.解(1)命题的否定：“存在一个平行四边形的对边不都平行”．由平行四边形的定义知，这是假命题．(2)命题的否定：“存在一个非负数的平方不是正数”．因为02＝0，不是正数，所以该命题是真命题．(3)命题的否定：“所有四边形都有外接圆”．因为只有对角互补的四边形才有外接圆，所以原命题为真，所以命题的否定为假命题．(4)命题的否定：“∀x ，y ∈Z ，都有2x ＋y ≠3”．∵当x ＝0，y ＝3时，2x ＋y ＝3，∴原命题为真，命题的否定为假命题．[方法总结]对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题(1)确定命题类型，是全称量词命题还是存在量词命题．(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词．(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等．(4)无量词的全称命题要先补回量词再否定．[跟踪训练3] 判断下列命题的真假，并写出它们的否定．(1)对任意x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0；(2)所有能被5整除的整数都是奇数；(3)对任意的x ∈Q ，13x 2＋12x ＋1是有理数． 解(1)当x ＝2时，23－22＋1＝5＞0，故(1)是假命题．命题的否定：存在x ∈R ，x 3－x 2＋1＞0.(2)10能被5整除，10是偶数，故(2)是假命题．命题的否定：存在一个能被5整除的整数不是奇数．(3)有理数经过加、减、乘运算后仍是有理数，故(3)是真命题．命题的否定：存在x ∈Q ，13x 2＋12x ＋1不是有理数．[对应学生用书P]41．判定一个命题是全称量词命题还是存在量词命题时，主要方法是看命题中是否含有全称量词或存在量词，要注意的是有些全称量词命题中并不含有全称量词，这时我们就要根据命题所涉及的意义去判断．2．含有一个量词的命题的否定(1)全称量词命题的否定是存在量词命题．全称量词命题p：∀x∈M，p(x)；¬p：∃x ∈M，¬p(x)．(2)存在量词命题的否定是全称量词命题．存在量词命题p：∃x∈M，p(x)；¬p：∀x ∈M，¬p(x)．课时作业(七) 全称量词与存在量词[见课时作业(七)P]1421．下列命题中是存在量词命题的是( )A．所有的整数都是有理数B．三角形的内角和都是180°C．有些三角形是等腰三角形D．正方形都是菱形C[A、B、D为全称量词命题，C中含有存在量词“有些”，故为存在量词命题．] 2．下列语句是存在量词命题的是( )A．整数n是2和7的倍数B．存在整数n，使n能被11整除C．x＞7D．∀x∈M，p(x)成立B[B选项中有存在量词“存在”，故是存在量词命题，A和C不是命题，D是全称量词命题．]3．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数B[根据存在量词命题的否定是全称量词命题可知，原命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．]4．设x∈A，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A,2x∈B，则( ) A．¬p：∃x∈A,2x∈BB．¬p：∃x∉A,2x∈BC．¬p：∃x∈A,2x∉BD．¬p：∀x∉A,2x∉BC[p是一个全称量词命题，故¬p为“∃x∈A,2x∉B”．]5．命题“对任意一个实数x，x2＋2x＋1都不小于零”用“∃”或“∀”符号表示为________．解析将文字语言用符号语言表示为∀x∈R，x2＋2x＋1≥0.答案∀x∈R，x2＋2x＋1≥06．(多空题)下列命题中的全称量词命题是________；存在量词命题的是________．①正方形的四条边相等；②有些等腰三角形是正三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．解析①③是全称量词命题，②④是存在量词命题．答案①③②④7．(多空题)全称量词命题“所有的素数都是奇数”的否定是__________，这是_____命题(填“真”或“假”)．解析全称量词命题“所有的素数都是奇数”的否定是存在量词命题“存在一个素数不是奇数”，这是真命题．答案存在一个素数不是奇数真8．判断下列命题的真假，并写出它们的否定：(1)∃x，y∈Z,3x－4y＝20；(2)在实数范围内，有些一元二次方程无解；(3)正数的绝对值是它本身．解(1)真命题，否定为：∀x，y∈Z,3x－4y≠20；(2)真命题，否定为：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解；(3)是全称量词命题，省略了量词“所有”，命题为真命题．否定为：有的正数的绝对值不是它本身．9．写出下列命题的否定，并判断真假．(1)q：∀x∈R，x不是5x－12＝0的根；(2)r ：有些素数是奇数；(3)s ：∃x ∈R ，|x |＞0.解(1)“¬q ”：∃x ∈R ，x 是5x －12＝0的根．它是真命题．(2)“¬r ”：每一个素数都不是奇数．它是假命题．(3)“¬s ”：∀x ∈R ，|x |≤0.它是假命题．1．有下列四个命题，其中真命题是( )A ．∀n ∈R ，n 2≥nB ．∃n ∈R ，∀m ∈R ，m ·n ＝mC ．∀n ∈R ，∃m ∈R ，m 2＜nD ．∀n ∈R ，n 2＜nB [对于选项A ，令n ＝12，即可验证其不正确；对于选项C ，D ，可令n ＝－1，加以验证，均不正确．]2．若命题“∀x ∈(3，＋∞)，x ＞a ”是真命题，则a 的取值范围是________． 解析由题意知当x ＞3，有x ＞a 恒成立，故a ≤3.答案(－∞，3]3．命题p 是“对某些实数x ，有x －a ＞0或x －b ≤0”，其中a ，b 是常数． 命题p 的否定是_________________________________．解析命题p 的否定：对任意实数x ，有x －a ≤0且x －b ＞0.答案对任意实数x ，有x －a ≤0且x －b ＞04．四个命题：①∀x ∈R ，x 2－3x ＋2＞0恒成立；②∃x ∈Q ，x 2＝2；③∃x ∈R ，x 2＋1＝0；④∀x∈R,4x2＞2x－1＋3x2.其中真命题的个数为______．解析x2－3x＋2＞0，Δ＝(－3)2－4×2＞0，∴当x＞2或x＜1时，x2－3x＋2＞0才成立，∴①为假命题；当且仅当x＝±2时，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题；对∀x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题；4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，∴④为假命题．∴①②③④均为假命题．答案05．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出这些命题的否定．(1)有一个奇数不能被3整除；(2)∀x∈Z，x2与3的和不等于0；(3)有些三角形的三个内角都为60°；(4)每个三角形至少有两个锐角；(5)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线．解(1)是存在量词命题，否定为：每一个奇数都能被3整除．(2)是全称量词命题，否定为：∃x∈Z，x2与3的和等于0.(3)是存在量词命题，否定为：任意一个三角形的三个内角不都为60°.(4)是全称量词命题，否定为：存在一个三角形至多有一个锐角．(5)是全称量词命题，省略了全称量词“任意”，即“任意一条与圆只有一个公共点的直线是圆的切线”，否定为：存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线．6．(拓广探索)已知命题“存在x∈R，ax2－2ax－3＞0”是假命题，求实数a的取值范围．解因为命题“存在x∈R，ax2－2ax－3＞0”的否定为“对于任意x∈R，ax2－2ax－3≤0恒成立”，由“命题真，其否定假；命题假，其否定真”可知该命题的否定是真命题．事实上，当a＝0时，对任意的x∈R，不等式－3≤0恒成立；当a≠0时，借助二次函数的图象，数形结合，很容易知道不等式ax2－2ax－3≤0恒成立的等价条件是a＜0且其判别式Δ＝4a2＋12a≤0，即－3≤a＜0；综上知，实数a的取值范围是[－3,0]．。

高考数学复习基础知识专题讲解与练习专题40 导数压轴选择填空题1．若不等式()e 2ln 0xx a x a x -+-≥恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．10,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．20,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．120,1,e e ⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦D ．[]20,1,e e ⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦【答案】A 【分析】 把不等式转化为()ln 2eln x xa x x a +≥++对x >0恒成立，设ln t x x =+，故20t e at a --≥对任意的()0,t ∈+∞恒成立，利用导数可求a 的取值范围.【详解】由不等式()e 2ln 0x x a x a x -+-≥恒成立，可知()ln 2eln x xa x x a +≥++对x >0恒成立. 设ln t x x =+，则该函数为()0,∞+上的增函数，故t R ∈， 故20t e at a --≥对任意的()0,t ∈+∞恒成立，设()2t S t e at a =--，则()tS t e a '=-，当0a <时，()0S t '>，故()S t 为R 上的增函数， 而当210a t a -<-<时，有21212=0t a e at a a a a---<+⨯-，不合题意； 当0a =时，20t e at a --≥对任意的()0,t ∈+∞恒成立， 当0a >时，若ln t a <，则()0S t '<，当ln t a >时，()0S t '>， 故()S t 在(),ln a -∞为减函数，在()ln ,a +∞为增函数， 故()()min ln ln 20S t S a a a a a ==--≥， 故10a e<≤综上：a 的取值范围是10,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：A2．已知函数()11a xa f x e-=-+，()g x 的图象与()f x 的图象关于1x =对称，且()g x 为奇函数，则不等式()(21)f x f a <-的解集为（ ） A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(3,)+∞ D ．(3),-∞【答案】D 【分析】根据()g x 的图象与()f x 的图象关于1x =对称，可求出()g x 的表达式，再根据()g x 为奇函数求出a ，从而可知其单调性，即可解出不等式． 【详解】设(),P x y 是函数()g x 的图象上任意一点，其关于直线1x =的对称点为()2,Q x y -在()f x 的图象上，所以()()2211a x a y g e x f x +-=-=-+=，其定义域为R ，而()g x 为奇函数，所以()20101a a g e-=-=+，即210a e a --+=，即()2210a e a ----=，而易知函数()10x x e x ϕ=--≥，当且仅当0x =时取等号，所以20a -=，即2a =，故2()1+1x g x e =-，易知函数()g x 在R 上递增，所以()(21)f x f a <-的解集为(3),-∞． 故选：D ．3．过曲线C ：ln y x =上一点1,0A 作斜率为()01k k <<的直线，该直线与曲线C 的另一交点为P ，曲线C 在点P 处的切线交y 轴于点N ．若APN 的面积为34ln 22-，则k =（ ） A ．1ln 23B ．2ln 23C ．1ln 22D ．ln 2【答案】B 【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，结合三角形面积公式进行求解即可.【详解】设()00,ln P x x ，ln y x =⇒1y x '=，01k x '=，切线方程为：()0001ln y x x x x -=-，令0x =，0ln 1y x =-，∴()00,ln 1N x -， ()001111ln 1ln 222AON S x x =⋅⋅-=-△．过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，()()00000111ln 1ln ln 222PMA S x x x x x =⋅-=-△梯形PNOM 面积()00000011ln 1ln ln 22S x x x x x x =-+⋅=-， ∴00000003111114ln 2ln ln ln ln 222222x x x x x x x ⎛⎫-=----+ ⎪⎝⎭， 即00031114ln 2ln 2222x x x -=-+，∴0004ln 4ln 4x x x =-+，显然04x =是该方程的一个根，设'()ln 44ln 4()ln g x x x x g x x =-+-⇒=， 由题意可知：1x >，所以'()0g x >，此时函数单调递增， 故方程0004ln 4ln 4x x x =-+有唯一实根， 即()4,ln 4P ，∴ln 42ln 233k ==， 故选：B4．已知函数.()ee 2x ef x x -=+-（e 为自然对数的底数），()ln e 4g x x ax a =--+.若存在实数12,x x，使得()()12e g 12f x x -==，且211e x x ≤≤，则实数a 的最大值为（ ） A ．52eB ．25e e+ C ．2eD ．1【答案】C 【分析】根据()e 1f =可求得22e e x ≤≤，利用()21g x =得到223e ln x a x +=+，将问题转化为()n el 3x h x x +=+，2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦的最大值的求解问题，利用导数求得()max h x ，从而求得结果.【详解】()0e 1e e e f =+-=，即1x e =，又211e x x ≤≤且20x >， ∴22e e x ≤≤，由()21g x =，即22ln e 41x ax a --+=，整理得：223e ln x a x +=+，令()n el 3x h x x +=+，2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，则()()()()()221e e ln 3ln 2e e x x x x x h x x x +-+--'==+-， ey x=和ln y x =-在2e,e ⎡⎤⎣⎦上均为减函数， eln 2y x x∴=--在2e,e ⎡⎤⎣⎦上单调递减， max 1ln e 220y ∴=--=-<，即()0h x '<在2e,e ⎡⎤⎣⎦上恒成立， ()h x ∴在2e,e ⎡⎤⎣⎦上单调递减，()()max ln e 32e 2e e h x h +∴===，即实数a 的最大值为2e. 故选：C.5．设函数()ln 3()g x x x a a R =+-∈，定义在R 上的连续函数()f x 使得()y f x x =-是奇函数，当0x <时，()1f x '<，若存在0{|()2(2)2}x x f x f x x ∈+≤-+，使得()00g g x x ⎡⎤=⎣⎦，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[1,)+∞B ．[2,)+∞C ．[),e +∞D ．[3,)+∞【答案】B 【分析】由题设，应用导数可证()y f x x =-在R 上递减，利用单调性解()2(2)2f x f x x +≤-+，即知：存在0{|1}x x x ∈≥使()00g g x x ⎡⎤=⎣⎦，将问题转化为在[1,)x ∈+∞上()g x x =有解，再构造中间函数，利用导数研究单调性，并结合零点存在性定理求a 的取值范围. 【详解】由题设，()2(2)2f x f x x +≤-+等价于()(2)(2)f x x f x x -≤---， ∵当0x <时，()1f x '<，即()10f x '-<，∴()y f x x =-在(,0)-∞上递减，又()f x x -是奇函数， ∴y 在(0,)+∞上递减，又()f x 连续， ∴y 在R 上递减，则2x x ≥-，可得1≥x .又()g x 的定义域为(0,)+∞，且1()30g x x'=+>，即()g x 在定义域上递增， ∴题设条件为：存在0{|1}x x x ∈≥使()00g g x x ⎡⎤=⎣⎦，即使()00g x x =，∴在[1,)x ∈+∞上()g x x =有解，则()()ln 2h x g x x x x a =-=+-在[1,)x ∈+∞上有零点， 由1()20h x x '=+>，即()h x 递增，又()(1)2h x h a ≥=-，且x →+∞时()h x →+∞， ∴只需20a -≤，即2a ≥即可. 故选：B6．已知1,0,()sin ,0,x x f x x x π+≤⎧=⎨<<⎩若()()()123123,f x f x f x x x x ==<<，则1232232x x x +++的最大值是( )A ．3πB ．522π+C 83π D ．1716π+【答案】C【分析】利用数形结合，画出()f x 的图像可得23x x +为定值，再将1232232x x x +++转化为关于x 的函数，最后利用求导求出1232232x x x +++的最大值. 【详解】如图作出()f x 的图象，依题意，1231sin sin x x x +==，注意到23x x π+=，且13sin 1x x =-，因此1233322322sin 2x x x x x π+++=++，其中3,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，设()2sin 2,()12cos g x x x g x x π=+'=++，当2,23x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时()0g x '>，当2,3x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时()0g x '<， 因此()g x 在2,23ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在2,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则8()33g x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，即1232232x x x +++83π故选：C.7．已知函数()ln a f x x x x =+，32()3g x x x =--，若121,,2,2x x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦都有12()()0f x g x -≥，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[)0,+∞ B ．[)1,+∞ C ．[)2,+∞ D ．[)3,+∞【答案】B 【分析】根据题意转化为121,,2,2x x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦()()min max f x g x ≥，先求出()max g x ，再利用()()min max f x g x ≥列出不等式即可求解. 【详解】因为32()3g x x x =--，()2'32g x x x =-，由()'0g x =得0x =或23x =，又因为21,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ，当2x ∈12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，()'0g x <，()g x 单调递减，当22,23x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()'0g x >，()g x 单调递增，所以()()max 1,22g x g g ⎧⎫⎛⎫=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，12528g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()21g =，所以()max 1g x =，若121,,2,2x x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦都有12()()0f x g x -≥，则转化为()1f x ≥恒成立ln 1a x x x ⇔+≥，对于1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立2ln a x x x ⇔≥-，对于1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立， 设()2ln h x x x x =-，()()'12ln h x x x x =-+，()''32ln h x x =--，当1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦时，()''0h x <，所以()''h x 单调递减，()max 1''''3ln 202h x h ⎛⎫==-+< ⎪⎝⎭，所以()'h x 单调递减，当1x =时，()()'112ln110h =-+=，当12x =时，11111'1ln ln 022222h ⎛⎫⎛⎫=-+=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()'0h x >，()h x 单调递增，[]1,2x ∈时，()'0h x <，()h x 单调递减，所以()()2max 111ln11h x h ==-=，所以1a ≥.故选：B8．已知函数2()2ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，若不等式()()1212f x f x x x t+<++恒成立，则t 的取值范围是（ ） A ．[)4,-+∞ B ．[)5,-+∞ C ．[)6,-+∞ D ．[)7,-+∞【答案】B 【分析】求得导函数1()22f x ax x'=+-且0x >，根据极值点可得12x x +，12x x 关于a 的表达式及a 的范围，由此可得1122()()f x x f x x -+-关于a 的函数式，构造()g a ，则只需()g a t <恒成立，利用导数研究()g a 的最值，即可求t 的取值范围. 【详解】由题设，1()22f x ax x'=+-且0x >，由()f x 有两个极值点，∴令()0f x '=，则22210ax x -+=在0x >上有两个不等的实根1x ，2x ，∴121x x a +=，1212x x a =，且102480a a ⎧>⎪⎨⎪∆=->⎩，得102a <<.又2()3ln f x x ax x x -=-+，且12()()0f x f x ''==，∴211221ax x =-，222221ax x =-，即221212()1a x x x x +=+-，∴1122()()f x x f x x -+-=22121212()3()ln a x x x x x x +-++=1212ln 2()1x x x x -+-=2ln 21a a---，令2()ln 21g a a a=---且102a <<，要使题设不等式恒成立，只需()g a t <恒成立， ∴22112()(1)0g a a a a a '=-=->，即()g a 递增，故1()()52g a g <=-， ∴5t ≥-. 故选：B9．若()ln 0,0xe x ax ax a x +≥+>>，则a 的最大值为（ ）A ．4e B ．2eC ．eD ．2e【答案】C 【分析】由题设得ln ln x ax e x e ax +≥+，构造()x g x e x =+并利用导数研究单调性，易知ln ln a x x ≤-恒成立，进而构造()ln f x x x =-只需min ln ()a f x ≤即可求a 的最大值. 【详解】由题设，ln ln x ax e x e ax +≥+，若()x g x e x =+，则()10x g x e '=+>，即()g x 在0x >上单调递增，而()(ln )g x g ax ≥，∴ln ln ln x ax a x ≥=+，要使ln x e x ax ax +≥+，只需ln ln a x x ≤-恒成立，令()ln f x x x =-，则1()1f x x'=-：当01x <<时()0f x '<，即()f x 递减；当1x >时()0f x '>，即()f x 递增；∴()(1)1f x f ≥=，故只需ln 1a ≤，即a e ≤. 故选：C10．已知定义在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的函数()f x 满足()1f x f x ⎛⎫=⎪⎝⎭，且当1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()ln 1f x x x =+，若方程()102f x x a --=有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．11,13e e ⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．13,132e e ⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．1211,1e e -⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．123112,e e -⎛⎤-- ⎥⎝⎦【答案】D 【分析】由题设，求分段函数()f x 的解析式并画出图像，将方程有三个不同实根转化为()f x 和12y x a =+有三个不同的交点问题，由数形结合思想结合导数研究函数的交点情况，进而求参数a 的范围. 【详解】∵当1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()ln 1f x x x =+， ∴当(]1,x e ∈时，()11ln 1f x f x x x⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭，综上，()(]1ln 1,,11ln 1,1,x x x e f x x x e x⎧⎡⎤+∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎪-+∈⎪⎩，当1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()1ln 0f x x '=+≥，则()f x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，当(]1,x e ∈时，()()21ln 10f x x x '=-≤，则()f x 在(]1,e 上单调递减， ∵()102f x x a --=有三个不同的实数根，∴()f x 的图像和直线12y x a =+有三个不同的交点， 作()f x 的大致图像如图所示，当直线12y x a =+和()f x 的图像相切时，设切点为00,x y ，∴()0011ln 2f x x '=+=，可得120x e =，120112y e =-⋅，代入12y x a =+，可得121a e -=-，当12y x a =+过点11,1e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，312a e=-，由图知，实数a 的取值范围为123112,e e -⎛⎤-- ⎥⎝⎦. 故选：D.11．已知函数()()21x f x a x a =->有且只有一个零点，则a 的取值范围为（ ）A ．11,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(),e +∞C ．1,ee ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．2,ee ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【分析】分析可知函数()f x 在(],0-∞上有一个零点，则函数()f x 在()0,∞+上没有零点，由()0f x ≠可得出2ln ln xa x ≠，则直线ln y a =与函数()2ln x h x x=的图象无交点，利用导数分析函数()h x 的单调性与极值，数形结合可得出关于实数a 的不等式，由此可求得实数a 的取值范围.【详解】当0x ≤时，()1xy a a =>为增函数，2y x 为减函数，此时函数()f x 为增函数，因为()11110af a a--=-=<，()010f =>， 由零点存在定理可知，函数()f x 在()1,0-上有一个零点，故函数()f x 在(],0-∞上只有一个零点，由题意可知，函数()f x 在()0,∞+上没有零点.当0x >时，由()20x f x a x =-≠可得2x a x ≠，即ln 2ln x a x ≠，即2ln ln xa x≠， 设()2ln xh x x =，其中0x >，则()()221ln x h x x -'=， 当0x e <<时，()0h x '>，此时函数()h x 单调递增， 当x e >时，()0h x '<，此时函数()h x 单调递减，所以，()()2h x h e e==极大值，作出函数()h x 的图象如下图所示：因为1a >，则ln 0a >，故当2ln a e时，即当2e a e >时， 直线ln y a =与函数()2ln xh x x=的图象没有交点. 综上所述，实数a 的取值范围是2,e e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 故选：D.12．若(0,)x ∀∈+∞，ln()xe ax a≤恒成立，则a 的最大值为（ ） A ．1e - B ．1C ．eD ．2e【答案】C 【分析】根据题设可得0a >、ln()ln x x ax ax e e ≤，当01ax <≤易知1x ax e ≤<，当1ax >时构造()ln f x x x =，利用导数研究单调性可得xax e ≤，即可知x e a x≤在(0,)+∞上恒成立，构造()xe g x x =并研究求其最小值即可得a 的最大值. 【详解】由0x >，00ax a >⇒>，由ln()ln()ln()ln()ln xx x x x e ax a ax e ax ax xe ax a ax e e ≤⇒≤⇒≤⇒≤，①若01ax <≤，ln()0xe ax a≤<，此时满足1x ax e ≤<；②若1ax >，令()ln f x x x =，()ln 10f x x '=+>在(1,)+∞恒成立， ∴()y f x =在(1,)+∞单调递增，而ln()ln x x ax ax e e ≤，∴()()xf ax f e ≤在(1,)+∞恒成立x ax e ⇒≤，综上，xax e ≤在(0,)+∞恒成立，xx e ax e a x≤⇒≤， 令()xe g x x =，22(1)()x x x e x e e x g x x x --'==， ()y g x =在(0,1)单调递减，(1,)+∞单调递增，∴min ()(1)g x g e ==，即有a e ≤． 故选：C13．设实数0λ>，若对任意的()1,x ∈+∞，不等于3ln e 03x xλλ-≥恒成立，则实数λ的取值范围是（ ）．A ．1,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．13e ,⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[)e,+∞D ．[)3e,+∞【答案】B 【分析】 将不等式3ln e 03x xλλ-≥转换为3ln 3e ln e ln x x x x x x ≥=⋅λλ，进而构造函数()e x g x x =，从而可转化为()()3ln g x g x λ≥恒成立，即3ln x x λ≥，参变分离即可求出结果. 【详解】因为0λ>，不等式3ln e 03x xλλ-≥成立，即33e ln x x ≥λλ，转化为3ln 3e ln e ln x x x x x x ≥=⋅λλ恒成立，构造函数()e xg x x =（0x >）.所以()()e e 1e x x xg x x x '=+=+，当0x >，()0g x '>，()g x 单调递增，所以不等式3ln e 03x xλλ-≥恒成立等价于()()3ln g x g x λ≥恒成立，即3ln x x λ≥恒成立，进而转化为ln 3xxλ≥恒成立. 设()ln x h x x =，可得()21ln xh x x-'=，当0e x <<时，()0h x '>，()h x 单调递增；当x e >时，()0h x '<，()h x 单调递减.所以当x e =，函数()h x 取得最大值()1e eh =， 所以3e 1≥λ，即实数λ的取值范围是13e ,⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 故选：B ．14．已知函数21()xx f x e x e=++．则使不等式(21)()f m f m -<成立的实数m 的范围为（ ） A ．1m < B ．1mC ．113m <<D ．13m <【答案】C 【分析】根据函数表达式可得，函数为偶函数，当0x >时，可通过求导判断函数的单调性，从而确定整个函数的单调性，根据单调性求解参数的取值范围 【详解】 因为21()x x f x e x e =++，()21()x x f x e x ef x -=+=+，所以()f x 为R 上的偶函数，且'1()2x x f x e x e=+-，易得'()f x 单调递增且'(0)0f =，所以，当0x >时，'()0f x >恒成立，()f x 单调递增，根据偶函数的对称性得，0x <时，()f x 单调递减，若(21)()f m f m -<，则有21m m -<，两边同时平方得：()2221m m -<，解得：113m <<故选：C15．若函数()ln f x x =与函数2()(0)g x x x a x =++<有公切线，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1ln,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．()1,-+∞C ．()1,+∞D ．()2,ln +∞【答案】B 【分析】分别求出导数，设出各自曲线上的切点，得出两个切线方程，由两个切线方程可整理成a 关于一个变量1x 的函数，利用导数求出函数的取值范围即可求解. 【详解】设公切线与函数()ln f x x =切于点111(ln )(0)A x x x >，， ()1f x x '=，切线的斜率为11x ， 则切线方程为1111ln ()-=-y x x x x ，即111ln 1y x x x =+- 设公切线与函数2()g x x x a =++切于点22222()(),0B x x x a x ++<，()21g x x '=+，切线的斜率为221x +，则切线方程为22222()(21)()y x x a x x x -++=+-，即222(21)y x x x a =+-+所以有21212121ln 1x x x x a ⎧=+⎪⎨⎪-=-+⎩因为1>0x ，所以2210x +>，可得2102x -<<，21210x <+<，即1101x <<， 由21121x x =+可得：211122x x -=， 所以22112111211111ln ln 1ln 111224a x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+--=-+--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+-=， 令11t x =，则()0,1t ∈，()22111311ln ln 4424a t t t t t =---=---， 设()()2113ln 01424h t t t t t =---<<，则22192111()0222242h t t t t tt t t =--==⎛⎫-- ⎪-⎝⎭'<-， 所以()h t 在()0,1上为减函数，则()()11311424h t h >=--=-，所以1a >-， 所以实数a 的取值范围是()1,-+∞， 故选：B ．16．已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足()e x xf x a -=（a 为常数）且2e (2)4f '=，若()21(5)f m f +>，则m 的取值范围是（ ）A ．(,2)(2,)-∞-+∞B ．(2,2)-C ．(2,)+∞D ．(2,0)(0,2)-【答案】A 【分析】先求出a 的值，判断出y =f （x ）的单调性，解不等式即可求出m 的取值范围. 【详解】由()e xxf x a -=，可得e ()x af x x +=，2e e ()x x x af x x --'=．又由2222e e e (2)44a f --'==，可得：0a =，所以2e (1)()x x f x x -'=．所以当(0,1)x ∈时，()0f x '<，e ()xf x x=单调递减； 当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，e ()xf x x=单调递增． 因为211m +≥，51>，()21(5)f m f +>，所以215m +>，解得2m >或2m <-． 故选：A17．已知函数()f x 的导函数为()'f x ，对任意的实数x 都有()2()()x f x x a e f x '=-+，且(0)1f =，若()f x 在(1,1)-上有极值点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(0,1)D ．(0,1]【答案】C 【分析】 令()()x f x g x e=，结合已知易得()2()g x x a '=-，即可写出()g x ，进而得到()f x ，再由()'f x 、(0)1f =确定()'f x 关于x 的含参数a 的解析式，根据题设有2()2(1)12h x x a x a =+-+-在(1,1)-上有零点，进而求a 的范围. 【详解】 令()()x f x g x e =，则()()()2()xf x f xg x x a e'-'==-， ∴2()2g x x ax C =-+，C R ∈，故2()(2)x f x x ax C e =-+， ∴2()[2(1)2]x f x x a x C a e '=+-+-，又(0)2(0)12f a f a '=-+=-， ∴212C a a -=-，即1=C ，则2()[2(1)12]x f x x a x a e '=+-+-， ∵()f x 在(1,1)-上有极值点，∴2()2(1)12h x x a x a =+-+-在(1,1)-上有零点，且(1)0h -=，(1)4(1)h a =-，则211140(1)0a a h -<-<⎧⎪∆=≥⎨⎪>⎩，即01a <<. 故选：C18．设函数()()1xf x e a x b =+-+在区间[]0,1上存在零点，则22a b +的最小值为（ ）A ．eB ．2eC ．7D ．3e【答案】B 【分析】设t 为()f x 在[]0,1上的零点，可得(1)0t e a t b +-+=，转化为点(,)a b 在直线(1)0t t x y e -++=上，根据22a b +的几何意义，可得2222(1)1t e a b t +≥-+，令22()(1)1t e g t t =-+，利用导数求得函数的单调性和最值，即可得答案. 【详解】设t 为()f x 在[]0,1上的零点，则(1)0t e a t b +-+=， 所以(1)0t t a b e -++=，即点(,)a b 在直线(1)0t t x y e -++=， 又22a b +表示点(,)a b 到原点距离的平方，2222(1)1te a b t +≥-+，令22()(1)1t e g t t =-+，可得2222222222(22)(22)2(33)()(22)(22)t t t e t t e t e t t g t t t t t +----+'==+-+-，因为220,330t e t t >-+>， 所以()0g t '>，可得()g t 在[]0,1上为单调递增函数，所以当t =1是，2max ()(1)g t g e ==，所以222a b e +≥，即22a b +的最小值为2e .故选：B19．设函数()f x 是定义在()0,∞+上的可导函数，其导函数为()f x '，且有()()20f x xf x '+>，则不等式()()()22021202110x f x f --->的解集为（ ） A ．()2020,+∞ B ．()0,2022 C ．()0,2020 D ．()2022,+∞【答案】D 【分析】令()()2g x x f x =，求导确定函数的单调性，然后不等式化为()()20211g x g ->，由单调性解得不等式． 【详解】解：令()()2g x x f x =，∴()()()22g x xf x x f x ''=+，∵()()20f x xf x '+>，∴()0g x '>，在()0,∞+恒成立，∴()g x 在()0,∞+为增函数， ∵()()()22021202110x f x f --->，∴()()()2202120211x f x f -->， ∵()()11g f =，∴()()20211g x g ->，∴20211x ->，∴2022x >， 故选：D.20．定义在(2,2)-上的函数()f x 的导函数为()f x '，满足：()()40x f x e f x +-=， ()21f e =，且当0x >时，()2()f x f x '>，则不等式24(2)x e f x e -<的解集为（ ） A ．(1,4) B ．(2,1)- C ．(1,)+∞ D ．(0,1)【答案】A 【分析】由给定的不等式构造函数()()2x f x g x e=对()g x 求导，根据已知条件可判断()g x 非得单调性，将所求解不等式转化为()g x 有关的不等式，利用单调性脱去f 即可求解. 【详解】令()()2xf xg x e=，则()()2420x x xe g x e e g x -+-=可得()()0g x g x +-= 所以()()2x f x g x e=是(2,2)-上的奇函数，()()()()()224222x x x xf x e e f x f x f xg x e e ''--'==，当0x >时，()2()f x f x '>，所以()0g x '>，()()2xf xg x e=是(0,2)上单调递增， 所以()()2x f x g x e =是(2,2)-上单调递增，因为()()222111f e g e e===，由24(2)x e f x e -<可得()()22242x x e e g x e --<即()()211g x g -<=，由()()2x f x g x e =是(2,2)-上单调递增，可得22221x x -<-<⎧⎨-<⎩解得：14x <<， 所以不等式24(2)x e f x e -<的解集为(1,4)， 故选：A.21．已知函数()212x x f x e e x --=-+，则不等式()()2020202121f x f x ++-≤的解集是（ ） A ．(],4039-∞ B ．[)4039,+∞ C ．(),4042-∞ D ．[)4042,+∞【答案】A 【分析】根据条件得到()(2)1f x f x +-=，然后将不等式进行转化，求函数的导数，研究函数的单调性，结合函数的单调性将不等式进行转化求解即可 【详解】解：因为()212x x f x e e x --=-+，所以()(2)222112(2)122x x x x f x ee x e e x -------=-+-=-+-，所以()(2)1f x f x +-=，所以()f x 的图像关于点11,2⎛⎫⎪⎝⎭对称，由()()2020202121f x f x ++-≤，得()()[22021212020(2020)](2018)f x f x f x f x =-+=---≤-+，由()212x x f x e e x --=-+，得()'212x x f x e e --=--+，所以()''2x x f x e e --⎡⎤=-⎣⎦，当1x <时，()''0f x ⎡⎤>⎣⎦，当1x >时，()''0f x ⎡⎤<⎣⎦，所以当1x =时，'()f x 取得极大值'11(1)202f e -=-+<， 所以'()0f x <恒成立，所以()f x 在R 上为减函数， 所以由()(2018)20212f x f x ---≤，得202122018x x -≥--， 所以4039x ≤，所以原不等式的解集为(],4039-∞， 故选：A22．若存在x ，(0,)∈+∞y 使得ln(2)ln x ax y x y +=，则实数a 的最大值为（ ） A ．1eB ．12eC ．13eD ．2e【答案】B 【分析】由已知可得ln 2ln y y a x x =-，令0yt x=>，()ln g t t t =-，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得到答案 【详解】解：由ln(2)ln x ax y x y +=，得ln 2ln y y a x x =-，令0yt x=>，()ln g t t t =-， 则'11()1tg t t t-=-=， 当01t <<时，'()0g t >，当1t >时，'()0g t <，所以()g t 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减， 所以当1t =时，()g t 取得极大值即最大值(1)1g =-， 因为当0t →时，()g t →-∞， 所以()(,1]g t ∈-∞-， 所以ln21a ≤-，所以102a e<≤， 所以实数a 的最大值为12e， 故选：B23．设实数0m ＞，若对任意的()1,x ∈+∞，不等式2ln 20mx xe m-≥恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[)1,+∞D ．[),e +∞【答案】A 【分析】 把不等式2ln 20mxxem-≥成立，转化为2ln 2ln ln mx x mxe x x e x ≥=⋅恒成立，设函数()x g x xe =，进而转化为(2)(ln )g mx g x ≥恒成立，得出2ln mx x ≥恒成立，构造函数()ln xh x x=，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解. 【详解】因为0m >，不等式2ln 20mxx em -≥成立，即2ln 2mx xe m≥成立，即22ln mx me x ≥， 进而转化为2ln 2ln ln mx x mxe x x e x ≥=⋅恒成立，构造函数()x g x xe =，可得()2(1)x x g x e xe x e '=+=+，当0x >，()0g x '>，()g x 单调递增， 则不等式2ln 20mxxem-≥恒成立等价于(2)(ln )g mx g x ≥恒成立，即2ln mx x ≥恒成立， 进而转化为ln 2xm x≥恒成立，设()ln x h x x =，可得()21ln xh x x-'=， 当0x e <<时，()0h x '>，()h x 单调递增； 当x e >时，()0h x '<，()h x 单调递减，所以当x e =，函数()h x 取得最大值，最大值为()1h e e=， 所以12m e ≥，即实数m 的取值范围是1,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 故选：A.24．已知函数31()sin 2cos ()3f x ax x x x a =--∈R ，若f (x )在R 上单调，则a 的取值范围是（ ）A ．11,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭B ．22,,∞∞ππ⎛⎤⎡⎫--+ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C ．(,1][1,)-∞-+∞D ．,,22ππ∞∞⎛⎤⎡⎫--+ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【答案】A 【分析】先求函数的导函数，由()f x 在R 上单调，可知()0f x '≥恒成立或()0f x '≤恒成立，构造函数2()sin cos g x ax x x x =+-，分类讨论a 的取值范围，利用导数研究函数的单调区间及最值即可得解. 【详解】求导2()sin cos f x ax x x x '=+-，令2()sin cos g x ax x x x =+-，由()f x 在R 上单调，可知()0g x ≥恒成立或()0g x ≤恒成立，分类讨论：()()()2cos cos sin 2sin 2sin g x ax x x x x ax x x a x x '=+--=+=+（1）当12a ≥时，2sin 0a x +≥，令()0g x '=，得0x =当0x <时，()0g x '<，函数()g x 单调递减；当0x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增；min ()(0)0g x g ==，即()0g x ≥恒成立，符合题意；（2）当12a ≤-时，2sin 0a x +≤，令()0g x '=，得0x =当0x <时，()0g x '>，函数()g x 单调递增；当0x >时，()0g x '<，函数()g x 单调递减；max ()(0)0g x g ==，即()0g x ≤恒成立，符合题意；（3）当1122a -<<时，令()0g x '=，得0x =或sin 2x a =-，研究[]0,x π∈内的情况即可：当[)10,x x ∈时，()0g x '<，函数()g x 单调递减；当(]12,x x x ∈时， ()0g x '>，函数()g x 单调递增；当(]2,x x π∈时，()0g x '<，函数()g x 单调递减；当1x x =时，函数()g x 取得极小值，且满足1sin 2x a =-；当2x x =时，函数()g x 取得极小值，且满足2sin 2x a =-221111111111sin ()sin cos sin cos 2x g x ax x x x x x x x ∴=+-=-+-，且10,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭同理2222222sin ()sin cos 2x g x x x x x =-+-，且2,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭又(0)0g =，当12x π→时，()10g x <；当2x π→时，()20g x >，故不符合；所以a 的取值范围是11,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭故选：A25．已知函数()ln(ln (1))f x x e x m =+--，若曲线22311x y x +=+上存在点()11,x y ，使得()()11y f f y =，则实数m 的最大值是（ ） A ．0 B ．3 C ．2- D ．1-【答案】D 【分析】根据函数22311x y x +=+的值域可以确定[)11,3y ∈，然后换元令()1f y c =，进而根据()()11y f f y =讨论得出()11f y y =，代入可得()()111ln ln e 1y y m y +--=，解出m ，转化为用导数求值域的问题. 【详解】由题意，曲线22311x y x +=+上存在点()11,x y ，使得()()11y f f y =，所以[)11,3y ∈．记()1f y c =，若1c y >，则()()1f c f y >，所以()()()()111f f y f c f y c y =>=>，不满足()()11y f f y =，同理1c y <也不满足，所以()11f y y =，所以()()111ln ln 1y e y m y +--=，所以()111ln 1yy e y m e +--=，所以()[)1111ln 1,1,3.y m y e e y y =-+-∈记()()ln 1x g x x e e x =-+-，则()11xg x e e x =-+-'，记()1h x x=-1x e e +-，因为()210x h x e x-'=-<，所以()h x 在[)1,3上单调递减，因为()10g '=，所以()1,3x ∈时，()g x '0<，因为()()311,333ln3g g e e =-=-+-+，所以333ln31e e m -+-+<-，所以m 的最大值为 1.- 故选：D.26．若关于x 的不等式ln x a e x a -≥+对一切正实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,e⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(],e -∞C ．(],1-∞D ．(],2-∞【答案】C 【分析】构造函数()(0)x a f x e lnx a x -=-->，将原不等式转化为求解函数()f x 的最小值，通过导数判断函数的单调性研究函数的最值，得到000x a e lnx a---，再利用基本不等式进行求解即可．【详解】解：设()(0)x a f x e lnx a x -=-->，则()0f x 对一切正实数x 恒成立，即()0min f x ，由1()x a f x e x -'=-，令1()x a h x e x -=-，则21()0x a h x e x -'=+>恒成立，所以()h x 在(0,)+∞上为增函数，当0x →时，()h x →-∞，当x →+∞时，()h x →+∞， 则在(0,)+∞上，存在0x 使得0()0h x =， 当00x x <<时，()0h x <，当0x x >时，()0h x >，故函数()f x 在0(0,)x 上单调递减，在0(x ，)+∞上单调递增， 所以函数()f x 在0x x =处取得最小值为000()0x a f x e lnx a-=--，因为001x ae x -=，即00x a lnx -=-， 所以0010x a a x +--恒成立，即0012a x x +，又00001122x x x x +⋅=，当且仅当001x x =，即01x =时取等号，故22a，所以1a ．故选：C ．27．已知函数()()2xh x x e =-，()212a a g x x x =-，又当()0h x ≥时，()()h x g x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(2,e ⎤-∞⎦B ．(],e -∞C ．(20,e ⎤⎦D ．(]0,e【答案】A 【分析】首先根据()0h x ≥求出2x ≥，进而参变分离解决恒成立的问题即可. 【详解】因为()()2xh x x e =-，所以()0h x ≥，即2x ≥，所以当2x ≥时，()()h x g x ≥恒成立，即()2122x a a x e x x -≥-，即()()1222xx e x ax -≥-，当2x =时，()()1222xx e x ax -≥-恒成立，符合题意；当()2,x ∈+∞时，有12xe ax ≥，即2xe xa ≥， 令()2x e m x x =，则()()2210x e x m x x-'=>，所以()m x 在()2,x ∈+∞上单调递增，而()22m e =，所以2e a ≥， 故选：A.28．设函数()x a f x e x +=+，()ln(3)4x a g x x e --=+-，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x ，使得()()200022x f x g x x -=--成立，则实数a 值为（ ）A ．2ln 2-+B ．1ln2+C ．1ln2--D ．2ln2+【答案】D 【分析】 将问题转化为002000ln(3)243x ax ax ex x e +++--+=在()03x ∈-+∞，上有解，由均值不等式可得0044x ax a ee +++≥，设()2ln(3)32x g x x x -=+-，求出其导数，得出单调区间，从而得出()()24g x g ≤-=，由等号成立的条件得出0ln 22x a =-=-，从而得出答案.【详解】由题意当03x >-时()()2000022x f x g x x -=--有解 即0020000ln(43)22x ax a x e x x e x +++=--++-在()03x ∈-+∞，上有解. 即002000ln(3)243x ax a x ex x e +++--+=在()03x ∈-+∞，上有解.由0044x a x ae e+++≥, 当且仅当004x ax aee ++=，即0ln 2x a =-时取得等号.设()2ln(3)32x g x x x -=+-，则()()()()()231333243168333x x x x x x x g x x x x x x ++-+-+++---'=--===-++ 由()0g x '<，得2x >-，由()0g x '>，得32x -<<-， 所以()g x 在()3,2--上单调递增，在 ()2,-+∞上单调递减. 所以()()24g x g ≤-=要使得002000ln(3)243x ax ax ex x e +++--+=在()03x ∈-+∞，上有解. 则0ln 22x a =-=-时成立，即ln 22a =+ 故选：D29．已知函数()()()ln 0xf x e a ax a a a =--+>，若关于x 的不等式()0f x >恒成立，则实数a的取值范围是（ ）A ．20,2e ⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．()20,eC ．21,2e ⎡⎤⎣⎦D ．()21,2e【答案】B 【分析】原不等式化为1ln()x e ax a a+>-，函数1xe y a =+与函数ln()y ax a =-互为反函数，其图象关于直线y x =对称，要使得()0f x >恒成立，只需1x e x a +>恒成立，即1xe a x <-恒成立，利用导数求出函数1xe y x =-的最小值即可得结果.【详解】 函数()f x 的定义域为()1,+∞，由()ln()0x f x e a ax a a =--+>，得1ln()xe ax a a+>-， 因为函数1xe y a=+与函数ln()y ax a =-互为反函数，所以其图象关于直线y x =对称，所以要使得()0f x >恒成立，只需1x e x a+>恒成立，即1xe a x <-恒成立，设()1xe g x x =-，则()()()221x e x g x x '-=-，当()1,2x ∈时，()0g x '<，当()2,x ∈+∞时，()0g x '>， 所以()g x 在()1,2上递减，在()2,+∞递增， 可知当2x =时，()g x 取得最小值2e ，所以2a e <，又因为0a >，所以a 的取值范围是()20,e ，故选：B ．30．已知函数()xf x ae x a -=--在[]0,1x ∈上有两个零点，则a 的取值范是（ ）A ．,11e e ⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦B ．,11e e ⎡⎫⎪⎢-⎣⎭C ．,11e e ⎡⎫-⎪⎢-⎣⎭D ．[)1,e -【答案】C 【分析】根据解析式可得(0)0f =，原题转化为求()xf x ae x a -=--在(0,1]x ∈上有一个零点，当0a ≥时，求导可得()f x 的单调性，分析不符合题意；当0a <时，令()0f x '=，解得ln()x a =-，分别讨论ln()0a 、ln()1a -≥和0ln()1a <-<三种情况下()f x 的单调性，结合题意，即可求得a 的范围. 【详解】由题意得：0(0)00f ae a =--=，1(1)1f ae a -=--，所以原题转化为求()xf x ae x a -=--在(0,1]x ∈上有一个零点，()1x f x ae -'=--，当0a ≥时，()0f x '<，则()f x 在(0,1]上单调递减，且(0)0f =，不符合题意， 当0a <时，令()0f x '=，解得ln()x a =-， 当ln()0a ，即1a ≥-时，()0f x '≤，此时()f x 在(0,1]上单调递减，且(0)0f =，不符合题意，当ln()1a -≥，即a e ≤-时，()0f x '≥，此时()f x 在(0,1]上单调递增，且(0)0f =，不符合题意，当0ln()1a <-<，即1e a -<<-时，()f x 在0,ln()a 上单调递增，在(]ln(),1a -上单调递减，当(1)0f ≤时，()f x 在(0,1]上有一个零点， 所以1(1)10f ae a -=--≤，解得1e a e ≥-，所以11ea e≤<--.综上：a 的取值范是,11e e ⎡⎫-⎪⎢-⎣⎭故选：C31．若函数()21ln 2x f x x e ax a x =--有2个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()0,e B ．()0,2e C ．(),e +∞ D ．()2,e +∞【答案】D 【分析】 求得()2222x x a f x x e x +⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，对实数a 的取值进行分类讨论，利用导数分析函数()f x 在()0,∞+上的单调性，根据已知条件可得出关于a 不等式，由此可解得实数a 的取值范围.【详解】函数()21ln 2x f x x e ax a x =--的定义域为()0,∞+，则()()()221222222xx x a a x a f x x x e a x xe x e xx x +⎛⎫⎛⎫=+--=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'， 令()22x a g x x e =-，则()()220xg x x x e '=+>，所以，函数()g x 在()0,∞+上为增函数，且()02a g =-.①当02a -≥时，即当0a ≤时，()0f x '>对任意的0x >恒成立，所以函数()f x 为()0,∞+上的增函数，则函数()f x 在()0,∞+上至多只有一个零点，不合乎题意；②当2a -<0时，即当0a >时，则存在00x >使得()020002xa g x x e =-=，当00x x <<时，()0g x <，此时()0f x '<，则函数()f x 在()00,x 上单调递减， 当0x x >时，()0g x >，此时()0f x '>，则函数()f x 在()0,x +∞上单调递增， 由于函数()f x 有两个零点，当0x +→时，()f x →+∞；当x →+∞时，()f x →+∞.可得()()0222000000111ln ln ln 1ln 02222222x x xa a a af x x e ax a x x e a x e a ⎛⎫=--=-=-=-< ⎪⎝⎭，可得2ae >，解得2a e >. 故选：D.32．定义在R 上的连续函数()f x 的导函数为()'f x ，且cos ()(cos sin )()xf x x x f x '<+成立，则下列各式一定成立的是（ ） A ．(0)0f = B ．(0)0f < C ．()0f π> D ．02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π【答案】C 【分析】 设cos () ()e x x f x g x ⋅=，由条件可得()0g x '<，即()g x 在R 上单调递减，且02g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，由此卡判断选项A ，B ， C ， 将2x π=代入条件可得02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，可判断选项D.【详解】由题可得cos ()sin ()cos ()xf x xf x xf x '-<， 所以(cos ())cos ()xf x xf x '<， 设cos () ()e x x f x g x ⋅=则(cos ())cos ()()0e xxf x xf x g x '-'=<， 所以()g x 在R 上单调递减，且02g π⎛⎫= ⎪⎝⎭由(0)()2g g g ππ⎛⎫>> ⎪⎝⎭可得()(0)0e f f ππ>>-，所以(0)0f >，()0f π>，所以选项A ､B 错误，选项C 正确.把2x π=代入cos ()(cos sin )()xf x x x f x '<+，可得02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以选项D 错误，故选：C .33．若函数()cos f x x =与函数()e exx m g x -=()m ∈R 的图象在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有一个公共点，则实数m 的取值范围为（ ）A ．ππ22e ,e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．π2e ,⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦C ．π2e ,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．π22,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【分析】由已知()1cos e 0xx m ⇒+-=在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有一个解⇒令()()()1cos e 0x h x x m h x =+-=⇒在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有一个零点⇒当π02x ≤≤时，()()0h x h x '≥⇒在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增()2020,02h m h e m ππ⎧=-≤⎪⇒⇒⎨⎛⎫=-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩零点存在定理结果 【详解】解：由题意知方程e cos ex x m x -=，即()1cos e 0xx m +-=在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有一个解．令()()1cos e x h x x m =+-，则()h x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有一个零点，()()π1sin cos e 1e 4x x h x x x x ⎡⎤⎛⎫'=-+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，当π02x ≤≤时，πsin 4x ⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭π0124x ⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，所以()π1e 04x h x x ⎡⎤⎛⎫'=-≥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故函数()h x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，又函数()h x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上只有一个零点，所以结合零点存在定理可()π2020,πe 02h m h m ⎧=-≤⎪⎨⎛⎫=-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩ 解得π22e m ≤≤，即m 的取值范围是π22,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选：D ．34．已知定义在R 上的图象连续的函数()f x 的导数是f x ，()()20f x f x +--=，当1x <-时，()()()()110x f x x f x '+++<⎡⎤⎣⎦，则不等式()()10xf x f ->的解集为（ ）。