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SPEC19-08 10/15)Outlet: 1-1/4” tube outlet for 1-1/4” slip joint connectionACCESS PANELSHeavy-gauge steel with vandal-resistant screws. Provides access for easy hook-up of all plumbing connections. SUGGESTED SPECIFICATIONSUnit shall include powder-coated finish with vandal-resistant pushbutton actuation, vandal-resistant bubbler with integral hood guard, and contour-formed rounded basin to reduce splash and prevent standing water. Fountain shall comply with ANSI 117:1 and ADA for visual and motion disabilities. The manufacturer shall certify the unit to meet the requirements of NSF/ANSI 61, and the Safe Drinking Water Act.Outdoor TubularModel LK4410FRK is shown.2222 Camden Court Oak Brook, IL In keeping with our policy of continuing product improvement, Elkay reserves the right to change specification without notice. Please visit for the most current version.ModelColor OptionADA CompliantNSF/ANSI 61CertifiedLK4410FRK*(Refer to Finish Color Options)••* Select color option to complete model number. Example: LK4410FRK EVG Beige Black Blue Brown Evergreen GrayOrange Purple Terracotta Red White YellowN o w Av a i l a bl ei n12Co l o r s !Each 4410 FR consists of 2 cartons of the following:• Fountain• Single Freeze-Resistant Valve System - 97243CThis specification describes an Elkay product with design, quality and functional benefits to the user. When making a comparison of other producer’s offerings, be certain these features are not overlooked.FINISH COLOR OPTIONS – Choose color option to complete your model number, add as suffix example: LK4410FRK EVGMatte finish: Evergreen = EVG Gloss finish: Beige = BGE Gray = GRY Terracotta = TER Black = BLK Orange = ORN White = WHT Blue = BLU Purple = PUR Yellow = YLWBrown = BRN Red = REDOPTIONS• Hose Bib (Locking) - LK4471LHB * (Choose color option to complete your model number)• Hose Bib (Non-Locking) - LK4470NLHB* (Choose coloroption to complete your model number)• Direct Bury Kit - 97890CPrinted in the U.S.A.Page 2MODEL LK4410FRK Outdoor TubularFreeze-Resistant FountainOPERATING PRESSURES:Supply water 20 – 105 psi maximumMOUNTING INSTRUCTIONS and PLUMBING INSTRUCTIONSSite and drainage excavation is required for fountain installation. Refer to owner’s manual for site preparation details. Provide solid, well-drained surface to mount pedestal fountain (concrete pad recommended) with adequate support (300 lb. load minimum). (6) 3/8” minimum fasteners (not included) should be attached securely to mounting surface in order to secure fountain, (Refer to rough-in diagram), and be sure to allow an opening for the freeze-resistant valve in the ground as shown in the diagram below). Refer to local codes for any additional requirements.Locate and install plumbing through ground as required. Assemble fountain to prepared site and mounting pad.NOTE: Fountain is not furnished with service valve.Position pedestal over plumbing and secure base to fasteners. Remove access panels and connect supply and water lines. Turn on water supply and check for leaks. Refer to owner’s manual for detailed instructions.Reassemble access panels to pedestal. Trap and service stop not included.2222 Camden Court Oak Brook, IL 。
浙江强基联盟2024年8月高三联考数学试题注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时．将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知复数满足，则（ ）A ．B ．C ．D ．3．“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数为偶函数，则（ ）A ．1B ．C ．0D ．25．已知等差数列的前项和为，则（ ）A ．4B ．5C ．6D ．76．在中，角的对边分别为．已知，则（ ）A ．B ．C ．D ．7．，则的大小关系是（）A ．B ．C ．D ．8．分别是边长为1的正方形的边上一点，，则（ ）A ．的面积为定值B ．的周长为定值{}{}23,13A x x B xx =-<<=∈-<≤N A B = {}0,1{}1,2{}0,1,2{}0,1,2,3z ()1i 13i z +⋅=+z =2i+2i-12i+12i-3k =2399C C k k -=()e e 2x x a f x x-+=a =1-{}n a n 421,2,142n S S S a -==4a =ABC △,,A B C ,,a b c 222cos cos 2cos ,a B b A c C b c a +=+-=B ∠=15︒45︒75︒90︒ln323e,log ,12a b c -===-,,a b c a b c<<a c b<<b a c<<b c a<<,P Q ABCD ,BC CD 45PAQ ∠=︒CPQ △CPQ △C ．的面积为定值D ．的周长为定值二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．某运动制衣品牌为了成衣尺寸更符合大众所需，现选择15名志愿者对其身高和臂展（单位：厘米）进行测量，图1为15名志愿者身高与臂展的折线图，图2为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归直线方程为，以下结论正确的是（ ）A ．15名志愿者身高的极差小于臂展的极差B ．15名志愿者的身高和臂展具有正相关关系C ．可估计身高为190厘米的人臂展大约为180.65厘米D ．身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米10．已知函数，下列说法正确的是（ ）A ．的最小正周期为B ．直线是图象的一条对称轴C ．D ．是图象的一个对称中心11．已知四面体平面，垂足为，垂足为，则下列结论正确的是（）APQ △APQ △1.1630.75x y =-()22cos 1f x x x =-+()f xπ5π6x =()f x ππ87f f ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5π,06⎛⎫-⎪⎝⎭()f x ,A BCD AB AB -=⊥,BCD BE AC ⊥,E BF AD ⊥FA ．若，则B ．若，则平面C ．若．则D ．若，则四面体三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知向量，满足，则的值为______________．13．函数的最大值为______________．14．椭圆的左、右焦点分别为，抛物线的焦点为在第一象限的交点为．若，则椭圆的离心率为______________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）一个袋子装有大小形状完全相同的9个球，其中6个红球，3个白球．（1）从袋中任意取出3个球（不放回取球），求这3个球中至少有1个红球的概率；（2）从袋中有放回地取3次球，每次取一个球，记为取出的3个球中红球的个数，求的分布列与数学期望．16．（15分）如图，正四棱锥所有棱长为分别为边的中点，点分别在侧棱上，为底面内一点，且平面．BC CD ⊥AC EF ⊥BC CD ⊥AD ⊥BEF BC BD =EF CD∥2BC BD ==A BEF -()()2,,1,2a m b ==- ()2a b b -⊥m ()3244,0,691,0x x f x xx x x x ⎧-->⎪=⎨⎪+++≤⎩22122:1(0)x y C a b a b+=>>12,F F 22:2(0)C y px p =>212,,F C C P 112PF F F =1C X X P ABCD -2,,E F ,AB BC ,M Q ,PB PD 31,,44PM PB PQ PD N ==ABCD MN ⊥QEF（1）证明：直线平面．（2）求直线与底面所成角的大小．17．（15分）已知双曲线的两个焦点为，点在双曲线上，过点作圆的两条切线与双曲线交于点和点．（1）求双曲线的方程；（2）求的面积．19．（17分）对于给定的正偶数，若非零数列满足，则称数列是“数列”；对于给定的正奇数，若数列满足，则称数列是“数列”．（1）若数列是“数列”，．求的值．（2）若数列既是“数列”，又是“数列”，证明：数列是等比数列．（3）若数列是“数列”，且满足，则是否存在正整数，使得成等差数列成立的整数有无穷多个？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由．浙江强基联盟2024年8月高三联考数学试题参考答案一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．12345678CAABDCBBPB ∥QEF MN ABCD C ()),(A C A 22:(2)1E x y -+=C M N C AMN △()22k k ≥{}n a ()1222211kn n n n k n k n k n k a a a a a a a +++-+-+--= {}n a ()2H k ()212k k -≥{}n a ()211223221k n n n n k n k n k a a a a a a -++--+-+-= {}n a ()21H k -{}n a ()3H 12342,3a a a a +=+=56a a -{}n a ()6H ()5H {}n a {}n a ()4H 313221120,n a a a a a ><+<i ,,()k i k k i a a a k i -+>k i1．解：，答案为C ．2．解：，答案为A ．3．解：或，得或“”是“”的充分不必要条件，答案为A ．4．解：为奇函数，也为奇函数，得，答案为B ．5．解：等差数列的前项和为，公差为是公差为的等差数列．又，答案为D ．6．解：，由正弦定理可知，．又，由余弦定理可知，答案为C ．7．解：，答案为B ．8．解：设，则，又，，又三角形的周长为定值2，答案为B ．{}{}0,1,2,3,0,1,2B A B =∴= ()()()()13i 1i 13i 42i2i 1i 1i 1i 2z +-++====+++-2399C ,23k k C k k -=∴=- 239k k +-=3k =4,k =∴3k -2399k k C C -=2y x = ()e e x x g x a -∴=+()()()()e e e e 1e e 0,1x x x x x x g x g x a a a a -----=+++=++=∴=- {}n a n n S ,n S d n ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭2d 42142,1,21,742n S S d a a n a -===∴=-=cos cos 2cos a B b A c C += ()sin cos sin cos sin sin A B B A A B C +=+==2sin cos C C 1cos ,602C C ∴=∴=︒222b c a +-=222cos 10,752b c a A A B bc +-==∴=︒∴=︒ln3213111e,log ,1,32232a b a c b -===><-<∴<< 1,t BP t DQ t ==12tan ,tan BAP t DAQ t ∠=∠=πππ244BAP DAQ ∠+∠=-=1212121,1t t PQ t t t t +∴=∴===+-121,1,PC t QC t =-=-∴CPQ二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，分选对的得部分分，有选错的得0分．91011ABABCBCD9．解：对于A ，身高的极差大约为21厘米，臂展的极差大约为26厘米，故A 正确；对于B ，由散点图以及回归直线知，身高矮一些，臂展就会短一些，身高高一些，臂展就会长一些，故B 正确；对于C ，身高为190厘米，从图象上明显得到臂展大于180.65厘米，故C 错误；对于D ，身高相差10厘米的两人臂展的估计值相差11.6厘米，但并不是准确值，回归直线上的点并不都是准确的样本点，故D 错误．答案为AB ．10．解：．对于A ，，故A 正确；对于B ，当时，，故B 正确；对于C ，在上单调递增，，故C 正确；对于D ，当时，，故D 不正确．答案为ABC ．11．解：对于A 与B ，平面，即，即平面，由题意得平面，即与不开直，故A 不正确，B 正确；对于C ，，，，，故C 正确；对于D ，在中，可求得，又当且仅当时，有最大值四面体D 正确．答案为BCD ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．6 13．1 14()2π2cos 1cos22sin 26f x x x x x x ⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭2ππ2T ==5π6x =π5ππ3π26362x -=-=()f x ππ,63⎛⎫- ⎪⎝⎭ππππππ,687387f f ⎛⎫⎛⎫-<<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5π6x =-π5ππ11π26366x -=--=-,,BC CD CD AB CD ⊥⊥⊥ABC CD BE ⊥BE ⊥,ACD BE AD ⊥,BF AD AD ⊥∴⊥,BEF AD EF ∴⊥AC EF BC BD =ABC ABD △≌△AF AFAC AD∴=EF CD ∥ABC △11,39A BEF A BCD AE AF V AC AD --==∴=90DBC ∠=︒A BCD V -112232⨯⨯⨯=∴A BEF -12．解：．13．解：当时，；当时，在上单调递增，在上单调递减，．综上所述，的最大值为1．14．解：如图，由题意得，，，，，即，化简得，即四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．解：（1）．（2）的取值为0，1，2，3，由题意得．的分布列为0123．16．（1）证明：连接，交于点，交于点．()()24,4,24280,6a b m a b b m m -=--⋅=-+-=∴=0x >()41110f x x x ⎛⎫=--≤-= ⎪⎝⎭0x ≤()()2312931f x x x x =++=+'()()3,x f x ⋅+()(),3,1,0-∞--()3,1--()(){}max ()max 301f x f f =-⋅=()f x 122F F c =222PF a c PQ =-=122F M PQ a c ==-242F M c a =-22221122PF MF PF MF -=-2222(2)(22)(22)(42)c a c a c c a --=---223a c =c e a ==333983184C P C =-=X 23,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭X X P1276271227827()2323E X =⨯=BD EF G AC O分別为的中点，．又．又平面平面．平面．（2）解：四棱锥为正四棱锥，为底面中心，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，，则．设平而的法向量为，由得得．平面的一个法向量为．又平百，设与平面所成的角为，则与平百所成的角为．17．解：（1）设，由题意可得解得双曲线的方程为．（2）当过点所作圆的切线斜率不存在时，,E F ,AB BC 14BG BD ∴=1,4PQ PD PB GQ =∴∥PB ⊄ ,EFQ GQ ⊂EFQ PB ∴∥EFQ P ABCD -O O ())()()(0,,,,),A BC D P ((),BP AC ==EFQ (),,n x y z =0,0,BP n AC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 0,0,⎧+=⎪⎨=⎪⎩()1,0,1n = ABCD ()0,0,1m =MN ⊥ ,EFQ n MN ∴∥MN ABCD θsin cos ,n m n m n m θ⋅==== MN ∴ABCD 45︒2222:1x y C a b -=2222981,2,a b a b ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩1,1,a b =⎧⎨=⎩∴C 221x y -=A 22:(2)1E x y -+=不妨设切线的斜率不存在，则直线的方程为，，故当过点所作圆的切线斜率存在时，设切线的方程为，则圆心到直线的距离，解得故直线的方程为联立整理得，解得．故的面积．18．解：（1）．在点处的切线为．（2）函数在上单调递减．在上恒成立，即在上恒成立．令，当时，在上单调递增，，不满足题意．当时，在上，成立．综上所述，的取值范围为．（3）由（2）可知，当时，只有一个零点．AN AN 3x =3,N N x y ∴==-AN =A 22:(2)1E x y -+=AM ()3y k x -=-E AM 1d k =AM y x =-221,y x x y ⎧=⎪⎨⎪-=⎩21770570x x -+=1917M x =AMN △113232217AMN M S AN x =-=⨯=△()22112(1)af x x x x ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦'+ ()()1,1f ()311,11,22y x f a a =-+∴=-+=-∴=' ()y f x =()0,+∞()221120(1)af x x x x '⎡⎤∴=-+≤⎢⎥+⎣⎦()0,x ∈+∞22(1)40a x x+--≤()0,x ∈+∞()22(1)4g x a x x=+--0a >()g x ()0,+∞(),x g x →∞→+∞0a ≤()0,x ∈+∞()22(1)0,40,0a x g x x+≤--≤∴≤a (],0-∞()10,f =∴ 0a ≤()f x当时，．令，得在上单调递增．当时，，则当时，，即，当时，，即，在上单调递减，在上单调递增．又有一个零点．存在唯一的，当时，，即，当时，，即．在上单调递减，在上单调递增．又有两个零点．当时，存在唯一的，当时，，即，当时，，即，在上单调递减，在上单调递增．又有两个零点．综上所述，当时，有一个零点；当时，有两个零点．19．（1）解：数列满足，即是等比数列，成等比数列，．（2）证明：数列满足，数列满足，，0a >()()()222(1)2211121(1)ax x x a f x x x xx x ⎡⎤+-+=-+=⎢⎥++⎣⎦'()()2(1)221x ax x x ϕ=+--()()23414x a x x ϕ=++-'()0,+∞32a =()1460a ϕ---()0,1x ∈()0x ϕ<()0f x '<()1,x ∈+∞()0x ϕ>()0f x '>()f x ∴()0,1()1,+∞()()10,f f x =∴ ()10,ϕ<∴()()001,,0x x ϕ∈+∞=∴()00,x x ∈()0x ϕ<()0f x '<()0,x x ∈+∞()0x ϕ>()0f x '>()f x ∴()00,x x ∈()0,x x ∈+∞()()10,f f x =∴ 32a >()10,ϕ>∴()()000,1,0x x ϕ∈=∴()00,x x ∈()0x ϕ<()0f x '<()0,x x ∈+∞()0x ϕ>()0f x '>()f x ∴()00,x ()0,x +∞()()10,f f x =∴ (]3,02a ⎧⎫∈-∞⎨⎬⎩⎭()f x 330,,22a ⎫⎫⎛⎛∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭()f x ()3H 212n n n a a a ++={}n a 123455,,a a a a a a ∴+++5592a a +=()6H ()31234523n n n n n n n n a a a a a a a a +++++++=()5H 512342n n n n n n a a a a a a =+++++()()()55312341234523231234512341234n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +++++++++++++++++++∴===+++++++化简得，，化简得是等比数列．（3）解：数列满足数列满足是等比数列．同理也是等比数列，且公比相同．不妨设此公比为，则数列可以表示为．．假设存在满足题意，当时，不成等差数列，不成等差数列．不成等差数列，由数列的通项公式，得不成等差数列，不成等差数列，由数列的通项公式，得不成等差数列，不可能是等差数列．当时，，不可能是等差数列．当时，不可能成等差数列．1423n n n n a a a a ++++=()()2212235123123421234123123n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++++++++++++++∴===++{}2213,n n n n a a a a +++=∴()4H 312n n n n a a a a =+++()4H 1423n n n n a a a a ++++={}2422,n n n n n a a a a a +∴=∴++{}21n a +q {}n a 1121122,n n n n a a q a a q ---==1122120,0,1,1a a a q q a >>>+<i 1i =()()2111232111111,,,224a a a q q a a a a a q ⎫⎛+=+>++>⎪ ⎝⎭242123432121211,,,222a a a a a a a a a a q a a ⎫⎛+=+<⋅=⎪ ⎝⎭123,,a a a ∴{}n a 21221,,n n a a a -+234,,a a a ∴{}n a 22122,,n n n a a a ++11,,k k k a a a -+∴2i =4152623411222a a a a q a a q++-==>22,,k k k a a a -+∴3i =()()33331711121221111111122211q q a a a a q a q q a a q a q q q q ++⎫⎛++++==⋅>+⋅=⋅=⎪ ⎝⎭43214722111111,,,44q q q q q a a a q q q ⎫⎛+++⋅=+++>⎪ ⎝⎭令，当（取值不唯一）时，上式成立，可得成等差数列．此时，成等差数列．综上所述，存在无数个成等差数列．故的最小值为3．33282222251111222a a a a q a q a a q a q+++==⋅=129,8,2a a q ===258,,a a a ()242122,,3n n n a a a n ---≥()33213,,,k k k k n n a a a -+=- (i)。
7.2复数的四则运算考法一复数的加减运算【例1-1】（2023·贵州黔东南）已知复数1123i z =-，29i z =-+，则12z z +的实部与虚部分别为（）A ．3，2-B ．3，2i-C ．2，3-D ．2，3i-【答案】A【解析】因为1123i z =-，29i z =-+，所以1232i z z +=-，其实部与虚部分别为3，2-.故选：A【例1-2】（2024·内蒙古）复数13z a i =+，24i z b =-+，其中a ，b 为实数，若12z z +为实数，12z z -为纯虚数，则a b +=（）A ．7-B ．6-C ．6D ．7【答案】A【解析】由题意()1243i z z a b +=-++，()1243i z z a b -=++-，因为12z z +为实数，12z z -为纯虚数，所以3040b a +=⎧⎨+=⎩，得34b a =-⎧⎨=-⎩，所以7a b +=-.故选：A.【一隅三反】1．（2023·四川眉山）复数(12i)(34i)+--对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】由复数(12i)(34i)26i +--=-+，可得复数在复平面内对应的点()2,6-位于第二象限.故选：B.2．（2023·全国·模拟预测）若复数1213i,2i z z =+=-+，则12z z -=（）A ．5BC ．25D【答案】A【解析】由1213i,2i z z =+=-+，有22i z =--，则1234i z z -=+，所以125z z -==，故选：A ．3．（2024·内蒙古）复数124i,3i z a z b =+=-+，其中,a b 为实数，若12z z +为实数，12z z -为纯虚数，则a b +=（）A ．6B ．6-C ．7-D ．7【答案】C【解析】复数124i,3i z a z b =+=-+，,a b 为实数，则12(3)(4)i z z a b +=-++，由12z z +为实数，得40b +=，解得4b =-，又12(3)(4)i z z a b -=++-，显然40b -≠，由12z z -为纯虚数，得30a +=，解得3a =-，所以7a b +=-.故选：C4．（2021·高一课时练习）设z 1=2+b i ，z 2=a+i ，当z 1+z 2=0时，复数a+b i 为（）A ．1+iB ．2+iC ．3D ．2i--【答案】D【解析】因为z 1+z 2=(2+b i )+(a+i )=(2+a )+(b+1)i =0，所以2010a b +=⎧⎨+=⎩，，于是21a b =-⎧⎨=-⎩，，故i 2i a b +=--.故选：D.考法二复数加减运算的几何意义【例2-1】（2023上海）若向量,AB AC分别表示复数122i,3i z z =-=+，则BC uu u r =（）A ．5BC ．D ．【答案】B【解析】因为BC AC AB=-，又向量,AB AC 分别表示复数122i,3i z z =-=+，所以BC表示复数2112i z z -=+，所以12i BC =+= 故选：B【例2-2】（2023·江苏常州）已知12,z z ∈C ，121z z ==，12z z +=12z z -=（）A ．0B ．1C D【答案】B【解析】在复平面中，设12,z z 分别与向量12,OZ OZ对应，由题意可得121OZ OZ ==uuu r uuur ，12OZ OZ +=uuu r uuur因为22221212122OZ OZ OZ OZ OZ OZ ⎛⎫++-=+ ⎪⎝⎭uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，即()21232114OZ OZ +-=+=uuu r uuur ，解得121OZ OZ -=uuu r uuur ，即121z z -=.故选：B.【一隅三反】1．（2023·河南郑州）复数65i +与34i -+分别表示向量OA 与OB ，则表示向量BA的复数为（）A ．39i +B ．28i+C ．9i--D ．9i+【答案】D【解析】复数65i +与34i -+分别表示向量OA 与OB，因为BA OA OB =- ，所以表示向量BA的复数为(65i)(34i)9i +--+=+.故选：D.2．（2023·高一课时练习）复平面上有A 、B 、C 三点，点A 对应的复数为2i +，BA对应的复数为12i +，BC对应的复数为3i -，则点C 的坐标为．【答案】()4,2-【解析】因为BA对应的复数是12i +，BC 对应的复数为3i -，又AC BC BA =- ，所以AC 对应的复数为()()3i 12i 23i --+=-，又OC OA AC =+ ，所以点C 对应的复数为()()2i 23i 42i ++-=-，所以点C 的坐标为()4,2-．故答案为：()4,2-．3．（2023·高一课时练习）在平行四边形ABCD 中，若点A ，C 分别对应于复数1i -+，43i --，则A ，C 两点间的距离为．【答案】5【解析】依题意得AC对应的复数为()()43i 1i 34i ----+=--，所以A ，C 两点间的距离为34i 5AC =--==．故答案为：5．考法三复数的乘除法运算【例3】（2023·全国·高一随堂练习）计算：(1)()312i -；(2)()323i -；(3)1122⎛⎫⎛⎫-+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；(4)1i ；(5)2i 1i -；(6)1i 13i ++．【答案】(1)112i -+(2)469i --(3)1(4)i -(5)1i -+(6)21i55-【解析】（1）()()()()()()()23212i 12i 12i 14i 4i 12i 34i 12i ==----+-=---236i 4i 8i 112i=-+-+=-+（2）()()()()()()()23223i 23i 23i 412i 9i 23i 512i 23i ==----+-=---21015i 24i 36i 469i=-+-+=--（3）2221111313i 12224444⎛⎫⎛⎫⎫⎛⎫-+-=--=-=+= ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（4）211i ii i i 1⋅===--（5）()()()222i 1i 2i 2i 2i 2i 21i 1i 1i 1i 1i 2++-====-+--+-（6）()()()()221i 13i 1i13i i 3i 42i 21i 13i 13i 13i 19i 1055+-+-+--====-++--【一隅三反】1.（2023·全国·高一随堂练习）计算：(1)()i 34i ++；(2)()()1i 1i --+；(3)()()2i 3i --+；(4)()()14i 2i -+-．【答案】(1)35i +(2)2i -(3)12i --(4)35i -【解析】（1）()i 34i 35i ++=+（2）()()1i 1i 2i --+=-（3）()()2i 3i 12i --+=--（4）()()14i 2i 35i-+-=-2．（2023·全国·高一随堂练习）计算：(1)i23i +；(2)4i 3i 2i 2i +-+-+；(3)12i 2i 32i 1i ---+；【答案】(1)32i 1313+(2)121i 55+(3)13i 2--(4)12【解析】（1）i i(23i)32i 32i 23i (23i)(23i)131313-+===+++-（2）4i 3i (4i)(2i)(3i)(2i)76i 55i 121i 2i 2i (2i)(2i)555+-+++--++-+==+-+-+（3）12i 2i 3(12i)(i)(2i 3)(1i)2i 15i 13i 2i 1i 2i (i)(1i)(1i)222---------+-=-=-=--+⋅-+-（42212=；3.（2023湖北）计算：122i(1i)i 22⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（2）50820028i 1i ⎛⎫+- ⎪ ⎪-⎝⎭．（3）()2020222i1i 1i ⎛⎫++⎪ ⎪+-⎝⎭；（4）22021i i i +++ ．【答案】（1）513；（2）247+．（3）2i -+；（4）i .【解析】（1）由于3211111((i)(i)(i)(i)12222222222-=-⨯-=--⨯-=-2(1i)2i-=-故61562155615926612(1(12(1)2(1)221251312112i (2i)i 2i(1i)i 222-⨯--⨯-+===+=⎛⎫⨯-⨯-+ ⎪⎝⎭（2）由于2(1i)2i +=，2(1i)2i -=-，41i =，31(122-=-故50820028i+-+⎝⎭25885004248502i 2(1i)(1i)⨯+=++--25844425212(2i)i (2i)i)22=-+-++-4441122i i 2(i)247822=-+⨯-++-=+（3）()2222i22i 1i i i 1i 2i i i 1i ++---+====-+-- )()())1i 1i 1i 1i -==-+-，所以，()2211i i 1i 2⎛⎫=-=- ⎪ ⎪+⎝⎭，因此，原式()()210104252202022i 2i1i 21i i ⨯+=-++- =-+=⎛⎫++ ⎪⎪+-⎝⎭+-+-=-+；（4）因为()()12323*i i i i i i i i 10n n n n n n N +++=++++++=∈，所以原式()()()234567820172018201920202021i i i i i i i i ii i i i =+++++++++++++ ()50520214505i i i 1i i ==⋅=⋅=．考法四在复数的范围内解方程【例4】（2024云南）在复数范围内解下列方程.(1)250x +=；(2)23210x x ++=；(3)2460x x ++=.【答案】(1)1,2x =(2)1,231x -=(3)1,22x =-【解析】（1）∵200∆=-<，∴由求根公式得1,22x ==.（2）∵224380∆=-⨯=-<，∴由求根公式得1,2x =（3）∵244680∆=-⨯=-<，∴由求根公式得1,22x =-.【一隅三反】1．（2023下·西藏林芝·高一校考期末）在复数范围内解下列方程：(1)230x +=；(2)210x x ++=．(3)240z +=；(4)210400z z -+=．【答案】(1)x =(2)x =(3)2i z =或2i z =-．(4)5z =或5z =．【解析】（1）230x +=即为223i x =，故x =.（2）210x x ++=即为22133i 244x ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭，故12x +=，所以12x =-.（3）240z +=，则24z =-，则2i z =±.（4）配方，得()2515z -=-．5z -=或5z -=，所以5z =或5z =．2（2024上海）已知2z i =+是关于x 的方程20x px q ++=的一个根，求实数p、q 的值及方程的另一个根．【答案】4p =-，5q =，另一个根2i -．【解析】因为2z i =+是方程20x px q ++=的一个根，所以()()2220i i p q ++++=，即()3240q p p i ++++=，所以32040q p p ++=⎧⎨+=⎩，解得45p q =-⎧⎨=⎩，所以方程为2450x x -+=，因为124x x +=，所以方程的另一个根是2x i =-.3（2024江苏）已知复数51i 12iz =+++，i 为虚数单位.（1）求z 和z ；（2）若复数z 是关于x 的方程20x mx n ++=的一个根，求实数m ，n 的值.【解析】（1） 复数55(12)1112(12)(12)i z i ii i i -=++=++++-1212i i i =-++=-，||z ∴==2z i =+．（2） 复数z 是关于x 的方程20x mx n ++=的一个根，2(2)(2)0i m i n ∴-+-+=，24420i i m mi n ∴-++-+=，(32)(4)0m n m i ∴++-+=，∴32040m n m ++=⎧⎨+=⎩，解得4m =-，5n =．考法五复数模的最值【例5】（2023·浙江）已知复数z 满足1z =，则2z -的取值范围为．【答案】[]2,4【解析】1z =表示z 对应的点是单位圆上的点，2z -的几何意义表示单位圆上的点和(之间的距离，2z -的取值范围转化为点(到圆心的距离加上半径可得最大值，减去半径可得最小值，14=12-=，所以2z -的取值范围为[]2,4.故答案为：[]2,4.【一隅三反】1．（2024·上海）已知C z ∈，且i 3z +=，i 为虚数单位，则33i z --的最大值是．【答案】8【解析】因为C z ∈且i 3z +=，所以，根据复数模的几何意义，z 表示以(0,1)-为圆心，3为半径的圆，所以，33i z --表示圆上的点和点(3,3)的距离，因为圆心(0,1)-到点(3,3)5=，max 35833i z =-+-=，故答案为：82．（2023·全国·模拟预测）设z 是复数且12i 1z -+=，则z 的最小值为（）A ．1B 1C 1D【答案】C【解析】根据复数模的几何意义可知，12i 1z -+=表示复平面内以()1,2-为圆心，1为半径的圆，而z 表示复数z 到原点的距离，由图可知，min 11z =-=.故选：C3．（2024北京）（多选）已知i 为虚数单位，下列说法正确的是（）A ．若复数z 满足i z -=z 在复平面内对应的点在以()1,0B ．若复数z 满足28i z z +=+，则复数158iz =+C ．复数的模实质上是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模D ．非零复数z 1对应的向量为1OZ，非零复数z 2对应的向量为2OZ ，若1212z z z z +=-，则12OZ OZ ⊥ 【答案】CD【解析】对于A 项，设i z a b =+(),a b ∈R ，则()i 1i z a b -=+-，由i z -=可得，()2215a b +-=，所以满足i z -=的复数z 在复平面内对应的点在以()0,1A 错误；对于B 项，设i z a b =+(),a b ∈R ，则z =，由28i z z +=+可得，i=2+8i a b +，根据复数相等的条件可得28a b ⎧⎪=⎨=⎪⎩，解得158a b =-⎧⎨=⎩，所以158i z =-+，故B 项错误；对于C 项，由复数的模的定义知C 正确；对于D 项，由1212z z z z +=-的几何意义知，以12OZ OZ，为邻边的平行四边形为矩形，从而两邻边垂直，故D 正确.故选：CD .考法六复数的综合运用【例6】（2024·浙江宁波）（多选）已知复数1z ，2z ，则下列结论正确的有（）A ．2211z z =B ．1212z z z z ⋅=⋅C ．1212z z z z =⋅D ．1212z z z z +=+【答案】BC【解析】设1i z a b =+，2i z c d =+，其中,,,R a b c d ∈.对于选项A:()222222211i 2i,2i z a b a b ab z a b ab =+=-+--=，所以2ab 与2ab -不一定相等，故选项A 错误；对于选项B:因为()()()()12i i i z z a b c d ac bd ad bc ⋅=++=-++，所以()()21i z b z ac d ad bc ⋅=--+，因为()()()()12i i i z z c d ac bd a b ad bc ⋅-=--+=-，所以1212z z z z ⋅=⋅,故选项B 正确；对于选项C:因为()()()()12i i i z z a b c d ac bd ad bc ⋅=++=-++,所有12z z ==因为11z z =，所以1212z z z z =⋅,故选项C 正确；对于选项D:因为()()12i z z a c b d +=+++，所以12z z +=12z z +=,故选项D 错误；故选：BC.【一隅三反】1．（2024·云南德宏）（多选）已知z 是复数z 的共轭复数，则下列说法正确的是（）A ．2z z z ⋅=B ．若||1z =，则1z =±C ．||||||z z z z ⋅=⋅D ．若|1|1+=z ，则|1|z -的最小值为1【答案】CD【解析】对于A ，设()i ,R z a b a b =+∈，则()()222i i z z a b a b a b z ⋅=+-=+=，但()()()2222i i i 2i z a b a b a b a ab b =+=++=+-，故A 错误；对于B ，令i z =，满足i 1z ==，故B 错误；对于C ，设()i ,R z a b a b =+∈，则i z a b =-所以()()22i i z z a b a b a b ⋅=+-=+，则2222z z a b a b ⋅=+=+22z z a b ⋅==+，所以||||||z z z z ⋅=⋅，故C 正确；对于D ，设()i ,R z a b a b =+∈，则11i 1z a b +=++==，即()2211a b ++=，表示以()1,0-为圆心，半径为1的圆，1z -=()1,0的距离，故1z -11=，故D 正确.故选：CD2（2023湖北）（多选）设1z ，2z 是复数，则（）A．1212z z z z -=-B．若12z z ∈R ，则12z z =C．若120z z -=，则12z z =D．若22120z z +=，则120z z ==【答案】AC【解析】设1i z a b =+，2=+z x yi ，a ，b ，x ，y ∈R ，12()()i ()()i z z a x b y a x b y -=-+-=---12i (i)a b x y z z =---=-，A 成立；()()12i 0z z a x b y -=-+-=，则22()()0a x b y -+-=，所以a x =，b y =，从而12z z =，所以12z z =，C 成立；对于B，取1i z =，22i z =，满足12z z ∈R ，但结论不成立；对于D，取1i z =，21z =，满足22120z z +=，但结论不成立.故选：AC3．（2024甘肃（多选））设12,z z 是复数，则下列命题中的真命题是（）A．若120z z -=，则12z z =B．若12z z =，则12z z =C．若12=z z ，则1122z z z z ⋅=⋅D．若12=z z ，则2212z z =【答案】ABC【解析】对于A，因12|0|z z -=，则120z z -=，即12z z =，则12z z =为真，A 正确；对于B，因12z z =，则1z 和2z 互为共轭复数，则12z z =为真，B 正确；对于C，设1112221122i,i,,,,z a b z a b a b a b =+=+∈R ，因12||||z z ==22221122a b a b +=+，于是得22221111111122222222z (i)(i)(i)(i)z z a b a b a b a b a b a b z ⋅=+⋅-=+=+⋅-=⋅=+，则1122z z z z ⋅=⋅为真，C 正确；对于D，当121,i z z ==，有12||||z z =，而22121,1z z ==-，即2212z z =为假，D 不正确.故选：ABC一．单选题1．（2024·湖南邵阳）下列各式的运算结果不是纯虚数的是（）A ．2(1i)+B ．2(1i)-C ．1i1i-+D ．4(1i)+【答案】D【解析】对于A ，22(1i)=1i 2i 2i +++=，故A 正确；对于B ，22(1i)=1i 2i 2i -+-=-，故B 正确；对于C ，()()()21i 1i 2i ==i 1i 1i 1i 2---=-++-，故C 正确；对于D ，4222(1i)(1i)(1i)2i 2i 4i 4+=++=⋅==-，故D 错误.故选：D.2．（2024·云南昆明）复数i2i+在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】由题意()()()i 2i i 12i 22i 2i 5i -+==++-，所以复数i 2i +在复平面内对应的点为12,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，它在第一象限.故选：A.3．（2024上·山东枣庄）若z 是方程210x x ++=的一个虚数根，则2z z -=（）A ．0B ．-1C 3iD ．-13i【答案】A【解析】方程210x x ++=化为：213(24x +=-，依题意，1322z =-+或1322z =--，显然1z z +=-，又210z z ++=，即21z z =--，所以21(10z z z z z z -=---=-+-=.故选：A4．（2023·安徽）若复数z 满足()1i 1i z +=+，则z 的虚部为（）A ．B ．2C ．i 2D ．2【答案】D【解析】由()1i 1i z +=+=)()()1i 1i 1i 1i 22z -===-++-，所以i 22z =+，即z 的虚部为2故选：D ．5．（2024·湖北武汉）已知复数z 满足23i23i z z+=-，则z =（）A ．3BC ．7D ．13【答案】B【解析】由题设2()()1323i 23i z -+==，令i z a b =+，且,R a b ∈，则222(i)2i 13a b a b ab +=-+=所以22130a b ab ⎧-=⎨=⎩，故2213a b ⎧=⎨=⎩，故z ==故选：B6．（2023·广东中山）复数z 满足i i (1)2+=z ，其中i 为虚数单位，则（）A ．20z z +=B ．0z z +=C ．0z z -=D ．220z z -=【答案】A【解析】由i i (1)2+=z ，得2i 2i (1i)22i1i 1i (1i)(1i)2z ⋅-+====+++-，1i z =-，对于A ，2222(1i)(1i)2i 2i 0z z +=++-=-=，A 正确；对于B ，(1i)(1i)2z z +=++-=，B 错误；对于C ，(1i)(1i)2i z z -=+--=，C 错误；对于D ，2222(1i)(1i)2i 2i 4i z z -=+--=+=，D 错误.故选：A7．（2024·河北保定）已知复数z 满足()727282i 3i 4i z +=+，则z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】由()727282i 3i4i z +=+，得()2i 43i z -=-，所以()()()()43i 2i 43i 112i 2i 2i 2i 55z -+-===---+，所以112i 55z =+，所以z 在复平面内对应的点为112,55⎛⎫⎪⎝⎭，位于第一象限.故选：A.8．（2023·全国·统考模拟预测）已知复数12nz ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，n *∈N 且0z >，则n 的最小值为（）A ．1B ．3C ．6D ．9【答案】C【解析】因为21131i i 2244222⎛⎫+=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，311131122222244⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-++=--=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，4111i 222222⎛⎫⎛⎫+=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，51111122222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=--= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，611113122244⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⋅=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，当6n =时，0z >，故n 的最小值为6.故选：C.二．多选题9（2023福建）若实数x ，y 满足(i)(3i)24i x y ++=+，则（）A．1i y +的共轭复数为1i -B．1xy =C．|i |y +D．32y x -=-【答案】BCD【解析】因为(i)(3i)(3)(3)i 24i x y x y xy ++=-++=+.所以32x y -=，34xy +=，即32y x -=-，1xy =，则32y y-=-.解得1y =或3y =-，故A 错误，B，C，D 均正确.故选：BCD.10．（2024河北邢台）若复数z 满足i 2i z =-+（其中i 是虚数单位），则（）A．z 的实部是2B．z 的虚部是2i C．12i z =-D．|z |=【答案】CD【解析】依题意i 2i z =-+，两边乘以i 得12i,12i z z -=--=+，所以z 的实部为1，虚部为2，所以AB 错误.12i z =-，所以C正确.z =，所以D 正确.故选：CD11．（2024·河南南阳）设复数122z =--的共轭复数为z ，则下列结论正确的有（）A ．22cos i sin 33z ππ=+B ．212z z =C ．1z z=D ．222z z +=【答案】AC【解析】对于A，122i=cos isin2233z ππ=-+，故A 正确；对于B，2211222112z z -+-+===⎛⎫- ⎪⎝⎭，故B 错误；对于C，21122122z z ⎛⎫-+ ⎪-+=--⎝⎭⎝⎭，所以1z z =，故C 正确；对于D，221122z ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，221122z ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以21z z +=-，故D 错误.故选：AC12．（2023·湖南衡阳）在复平面内，复数z =，正确的是（）A ．复数z 的模长为1B ．复数z 在复平面内对应的点在第二象限C ．复数z 是方程210x x -+=的解D ．复数ω满足max 1,1z ωω-==则【答案】AC【解析】由z =得2112z ==，则12z =对于A,1z =，故A 正确，对于B,复数z 在复平面内对应的点为1,2⎛⎝⎭，故该点位于第四象限，故B错误，对于C,211131i i 1i i 10222242422⎛⎫⎛⎫---+=---++= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故12z =是210x x -+=的复数根，故C 正确，对于D ，设复数ω对应的向量为(),OW x y = 到,复数z 对应的向量为1,22OZ ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭,由1z ω-=得1ZW = 的距离为1，故复数ω对应点的(),x y 在以1,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭为圆心，半径为1的圆上，故ω的最大值为112OZ r +=+=，故D 错误，故选：AC 三．填空题13．（2023·上海黄浦）复数1z ，2z 在复平面上对应的点分别为()11,2Z ，()21,3Z -，则12z z +=；【答案】5i【解析】因为复数1z ，2z 在复平面上对应的点分别为()11,2Z ，()21,3Z -，则1212i z 13i z =+=-+，，则1205i=5i z z +=+故答案为：5i14．（2023·上海宝山）已知复数1z ，2z 满足11z =，22z =，312z z z =-，则3z 在复平面所对应的点组成的图形的面积为．【答案】8π【解析】11z = ，1z ∴是以复平面内点()0,0为圆心，以1为半径的圆，312z z z =- ，213z z z ∴=-2132z z z ∴=-=，13132,2z z z z ∴+≥-≤，即313z ∴≤≤，∴复数3z 以复平面内点()0,0为圆心，半径为1和3的两圆构成的圆弧，则3z 在复平面所对应的点组成的图形的面积为：()22318S ππ=⨯-=故答案为：8π.15．（2024·课时练习）若有两个数，它们的和是4，积为5，则这两个数是.【答案】2i±【解析】设()12,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈，依题意有12124,5z z z z +=⋅=，即()()45a c b d i ac bd ad bc i ⎧+++=⎪⎨-++=⎪⎩，所以4050a c b d ac bd ad bc +=⎧⎪+=⎪⎨-=⎪⎪+=⎩.将=-b d 代入0ad bc +=，得a c =；将a c =代入4a c +=，解得2a c ==；将2a c ==代入5ac bd -=，得1bd =-，结合=-b d 解得11b d =⎧⎨=-⎩或11b d =-⎧⎨=⎩.所以对应的数为2i +、2i -.故答案为：2i±16．（2023上海）已知i 为虚数单位，则集合{}23*i i i i ,n A x x n N ==+++⋅⋅⋅+∈中元素的个数为___________.【答案】4【解析】当*4,n k k N =∈时，23i i i i 0n x =+++⋅⋅+=⋅；当41,n k k N =+∈时，23i i i i i n x =+++⋅⋅+=⋅；当42,n k k N =+∈时，232i i i i i i i 1n x =+++⋅⋅⋅+==-+；当43,n k k N =+∈时，2323i i i i i i i 1n x =+++⋅⋅⋅+++==-，所以集合A 中元素的个数为4．故答案为：4．四．解答题17．（2023·浙江·）已知复数z 满足1i 1i12z +-=-（i 是虚数单位）(1)求z 的值；(2)若复数()25z m z --在复平面内对应的点在第三象限，求实数m 的取值范围.【答案】(1)12i +；(2)7(,4)2.【解析】（1）由1i 1i12z +-=-，得()()()()()21i 21i 1i 1112i 1i 1i 1i z +++=+=+=+--+.（2）由（1）知，222)512i)512i)(1)94(1)i 10i(((z m z m m m --=-+--=--+-+228)272)i ((m m m =--+-，由复数()25z m z --在复平面内对应的点在第三象限，得22802(72)0m m m ⎧--<⎨-<⎩，解得742m <<，所以实数m 的取值范围为7(,4)2.18．（2023·浙江）已知复数4i z a =+，其中a 是正实数，i 是虚数单位．(1)如果()3i z a a +为纯虚数，求实数a 的值；(2)如果2a =，11izz =-是关于x 的方程20(,R)x bx c b c ++=∈的一个复根，求b c +的值．【答案】(1)12a =；(2)8.【解析】（1）解：因为()()()223i 4i 3i 12(34)i z a a a a a a a a a +++==-++，由()3i z a a +为纯虚数，可得22120340a a a a ⎧-=⎨+≠⎩，解得12a =；（2）解：因为2a =，所以42i z =+，142i (42i)(1i)(2i)(1i)13i 1i (1i)(1i)z +++===++=+--+，将113i z =+代入方程20(,R)x bx c b c ++=∈，得2()(013i i)13b c +++=+，即有8(63)i=0b c b +-++，所以80b c +-=，8+=b c .19．（2023·广东东莞）已知i(,),2i z a b a b z =+∈+R 和i1z-均为实数，其中i 是虚数单位.(1)求复数z ；(2)若117i 12z z m m =+--+对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围.【答案】(1)22i;z =-(2)132,1,22⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎝⎭⎝⎭【解析】（1）()i ,R z a b a b =+∈ ，()2i 2i z a b ∴+=++，()()()()()i 1i i i i 1i 1i 1i 1i 222a b a b a b z a b a b a b++-+++-+====+---+，由题意，200b a b +=⎧⎨+=⎩，可得2,2a b ==-，则22i;z =-（2）117172123i 22i i i 121212m m z z m m m m m m --=+-=++-=+-+-+-+，由题意，21012302m m m m -⎧>⎪⎪-⎨-⎪<⎪+⎩，解得122m -<<或312m <<.∴实数m 的取值范围是132,1,22⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.20．（2023·辽宁沈阳）在①复数z 满足i z +和2iz-均为实数；②z 为复数z 的共轭复数，且()1i 1z z +=+；③复数()i ,0z a b a b =+∈<R 是关于x 方程2450x x -+=的一个根，这三个条件中任选一个（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分），并解答问题：(1)求复数z ；(2)在复平面内，若()2113i z z m m m=+++-对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围.【答案】(1)2i z =-(2)()12,0,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭U 【解析】（1）若选①：设()i ,z a b a b =+∈R ，则()i 1i z a b +=++，()()()()i 2i 22i 2i 2i 2i 55a b za b a b ++-+==+--+，若i z +和2i z -均为实数，则10205b a b +=⎧⎪+⎨=⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=-⎩，所以2i z =-；若选②：设()i ,z a b a b =+∈R ，则i z a b =-，因为()1i 1z z +=+，则()()i 1i i 1a b a b ++=-+，整理得()()()i 1i a b a b a b -++=+-，则1a b a a b b -=+⎧⎨+=-⎩，解得21a b =⎧⎨=-⎩，所以2i z =-；若选③：因为2450x x -+=，则()221x -=-，解得2i x =±，且()i ,0z a b a b =+∈<R ，所以2i z =-.（2）由（1）可得2i z =+，则()()()22211113i 2i 3i 22i z z m m m m m m m m m ⎛⎫=+++-=++++-=+++- ⎪⎝⎭，若1z 对应的点在第四象限，则212020m m m ⎧+>⎪⎨⎪+-<⎩，解得122m -<<-或01m <<，所以实数m 的取值范围为()12,0,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭U .21．（2023上·广东深圳）已知复数i z x y =+，(),x y ∈∈R R ，其中i 为虚数单位，且满足2z =，且1z -为纯虚数.(1)若复数i z x y =+，(),x y ∈∈R R 在复平面内对应点在第一象限，求复数z ；(2)(3)若在（1）中条件下的复数z 是关于x 的方程()20,R x mx n m n ++=∈的一个根，求实数m ，n 的值.【答案】(1)1=+z (2)答案见解析(3)2m =-，4n =【解析】（1）因为复数i z x y =+，(),x y ∈∈R R ，所以11i z x y -=--，又1z -为纯虚数，所以1x =，又2z ==，所以y =又因为复数z 在复平面内对应点在第一象限，所以y =1=z .（2）由（1）可知1z =当1=z时，2i 12i 3i 2i 1i 444z -++===-，当1z =时，)()2i 12i 5i 444z ===-+.（3）法一：由（1）可知1=+z 是关于x 的方程()20,R x mx n m n ++=∈的一个根，所以把1=+z ，代入20x mx n ++=得()()2110m n ++⋅++=，化简得2i 0m n +-++=，即200m n +-=⎧⎪+=，解得：2m =-，4n =法二：由（1）可知1=z 是关于x 的方程()20,R x mx n m n ++=∈的一个根，所以此方程的另一根为：1z =，则24z z m z z n +=-=⎧⎨⋅==⎩，解得：2m =-，4n =22．（2024·全国·高三专题练习）已知关于x 的二次方程()()2tan i i 20x x θ-+-+=．(1)当θ为何值时，这个方程有一个实根？(2)是否存在θ，使得原方程有纯虚数根？若存在，求出θ的值；若不存在，试说明理由．【答案】(1)()ππ4k k θ=+∈Z (2)不存在，理由见解析【解析】（1）设0x 是方程的一个实根，则()()200tan i i 20,x x θ-+-+=即()()2000tan 2i 10.x x x θ-⋅--+=根据复数相等的意义知2000tan 2010x x x θ⎧-⋅-=⎨+=⎩解得：()0π1,tan 1,π4x k k θθ=-==+∈Z ．所以，当()ππ4k k θ=+∈Z 时，原方程有一实根01x =-．（2）假定方程有纯虚数根i b （b ∈R ，且0b ≠），代入原方程得()()()2i tan i i i 20,b b θ-+⋅-+=即()22tan 1i 0.b b b θ-+--+=由复数相等意义知220(tan 1)0b b b θ⎧-+-=⎨-+=⎩但方程220b b -+-=即220b b -+=无实数解，即实数b 不存在．所以，对任何实数θ，原方程不可能有纯虚数根．。
全等三角形模型——三垂直与三等角三垂直模型如右图已知：∠ D=∠ E=∠ BCA=90，BC=BA ；求证：△BCD ≌△CAE.∵∠D+∠ DCB+∠ B=180°，∠BCA+∠ DCB+∠ ACE=180°，且∠ D=∠BCA.∴∠ B=∠ ACE .又 ∵∠ D=∠ E ，BC=BA.∴△BCD ≌△CAE.常见的三垂直模型:1.如图，ABC D 是等腰直角三角形，DE 过直角顶点A ，90D E Ð=Ð=°，则下列结论正确的个数有( )①CD AE =；②12Ð=Ð；③34Ð=Ð；④AD BE =．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】根据直角三角形的性质推出23Ð=Ð，然后利用AAS 证明ABE D 和CAD D 全等，根据全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等即可对各小题进行判断．【解答】解：90D Ð=°Q ，1390\Ð+Ð=°，ABC D Q 是等腰直角三角形，A 为直角顶点，121809090\Ð+Ð=°-°=°，AB AC =，23\Ð=Ð，在ABE D 和CAD D 中，2390D E AB AC Ð=ÐìïÐ=Ð=°íï=î，()ABE CAD AAS \D @D ，CD AE \=，AD BE =，14Ð=Ð，故①小题正确，②小题错误，③小题错误，④小题正确，所以结论正确的有①④共2个．故选：B ．2.（2022秋•文登区期中）在ABC D 中，90ACB Ð=°，BC AC =．（1）如图①，DE 是过点C 的一条直线，且A ，B 在DE 的同侧，AD DE ^于D ，BE DE ^于E ．写出AD ，BE ，ED 间的数量关系，并写明理由；（2）如图②，DE 是过点C 的一条直线，且A ，B 在DE 的两侧，AD DE ^于D ，BE DE ^于E ．写出AD ，BE ，ED 间的数量关系，并写明理由．【分析】（1）由“AAS ”可证ADC CEB D @D ，可得CD BE =，AD CE =，可求DE AD BE =+；（2）由“AAS ”可证ADC CEB D @D ，可得CD BE =，AD CE =，可求AD BE DE =+．【解答】解：（1）AD BE ED +=．理由如下：AD DE ^Q ，BE DE ^，90ADC CEB \Ð=Ð=°，90DAC ACD \Ð+Ð=°，90ACB Ð=°Q ，90BCE ACD \Ð+Ð=°，DAC BCE\Ð=Ð，Q，AC CB=\D@DADC CEB AAS()=，\=，AD CECD BE\=+=+．ED EC CD AD BE=+．（2）AD DE BE^，Q，BE DE^AD DEADC CEB\Ð=Ð=°，90\Ð+Ð=°，DAC ACD90Q，Ð=°90ACB\Ð+Ð=°，BCE ACD90\Ð=Ð，DAC BCEQ，AC CB=\D@D()ADC CEB AAS=，\=，AD CECD BE\==+=+．AD CE CD DE DE BE3.（2020秋•通河县期末）综合与实践．积累经验（1）我们在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．例如：我们在解决：“如图1，在ABC=，线段DEÐ=°，AC BCD中，90ACB^于点E．求证：AD CE经过点C，且AD DE^于点D，BE DE=”这个问题时，只要证明=，CD BED@D，即可得到解决，请写出证明过程；ADC CEB类比应用（2）如图2，在平面直角坐标系中，ABC D 中，90ACB Ð=°，AC BC =，点A 的坐标为(0,2)，点C 的坐标为(1,0)，求点B 的坐标．拓展提升（3）如图3，ABC D 在平面直角坐标系中，90ACB Ð=°，AC BC =，点A 的坐标为(2,1)，点C 的坐标为(4,2)，则点B 的坐标为 ．【分析】（1）证明()ADC CEB AAS D @D ，由全等三角形的性质可得出答案；（2）过B 作BD x ^轴于D ，先证CAO BCD Ð=Ð，再证明AOC CDB D @D ，可得1DB OC ==，2CD AO ==，即可解决问题；（3）过点C 作CF x ^轴于点F ，过点B 作BE CF ^交FC 的延长线于点E ，过点A 作AD CF ^于点D ，由全等三角形的性质得出BE CD =，AD CE =，则可得出答案．【解答】（1）证明：90ACB Ð=°Q ，90ACD BCE \Ð+Ð=°，而AD DE ^于D ，BE DE ^于E ，90ADC CEB \Ð=Ð=°，90BCE CBE Ð+Ð=°，ACD CBE \Ð=Ð，在ADC D 和CEB D 中，ADC CEB ACD CBE AC CB Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()ADC CEB AAS \D @D ，AD CE \=，DC BE =；（2）解：过B 作BD x ^轴于D ，如图2所示：(0,2)A Q ，(1,0)C ，2OA \=，1OC =，90ACO CAO Ð+Ð=°Q ，90ACO BCD Ð+Ð=°，CAO BCD \Ð=Ð，在AOC D 和CDB D 中，90AOC CDB CAO BCDAC CB Ð=Ð=°ìïÐ=Ðíï=î，()AOC CDB AAS \D @D ，1DB OC \==，2CD AO ==，3OD OC CD \=+=，\点B 的坐标为(3,1)．（3）解：如图3，过点C 作CF x ^轴于点F ，过点B 作BE CF ^交FC 的延长线于点E ，过点A 作AD CF ^于点D ，同（1）（2）可得ACD CBE D @D ，BE CD \=，AD CE =，(2,1)A Q ，(4,2)C ，2AD CE \==，1DF =，1CD BE \==，\点B 的纵坐标为224CE CF +=+=，横坐标为413-=，(3,4)B \．故答案为：(3,4)．4.（2021秋•临沂期末）如图，90ACB Ð=°，AC BC =，AD CE ^，BE CE ^，垂足分别为D ，E ，2.5AD cm =，1BE cm =，求DE的长．【分析】先证明BCE CAD D @D ，得1BE CD cm ==， 2.5CE AD cm ==，然后根据线段和差定义即可解决．【解答】解：AD CE ^Q ，BE CE ^，90ADC E \Ð=Ð=°，90ACD CAD \Ð+Ð=°，90ACB Ð=°Q ，90ACD BCE \Ð+Ð=°，BCE CAD \Ð=Ð，在BCE D 和CAD D 中，90E ADC BCE CAD CB CA Ð=Ð=°ìïÐ=Ðíï=î，()BCE CAD AAS \D @D ，1()CD BE cm \==， 2.5()CE AD cm ==，2.51 1.5()DE CE CD cm \=-=-=．5.（2020秋•赫山区期末）如图所示，直线MN 一侧有一个等腰Rt ABC D ，其中90ACB Ð=°，CA CB =．直线MN 过顶点C ，分别过点A ，B 作AE MN ^，BF MN ^，垂足分别为点E ，F ，CAB Ð的角平分线AG 交BC 于点O ，交MN 于点G ，连接BG ，恰好满足AG BG ^．延长AC ，BG 交于点D ．（1）求证：CE BF =；（2）求证：AC CO AB +=．【分析】（1）证得EAC FCB Ð=Ð，根据AAS 证明AEC CFB D @D 即可．（2）证明()ACO BCD ASA D @D ，由全等三角形的性质得出CO CD =．证得AD AB =，则可得出结论．【解答】证明：（1）AE MN ^Q ，BF MN ^，又90ACB Ð=°Q ，90EAC ECA FCB ECA \Ð+Ð=Ð+Ð=°．EAC FCB \Ð=Ð．在AEC D 和CFB D 中，90AEC CFB EAC FCBAC CB Ð=Ð=°ìïÐ=Ðíï=î，()AEC CFB AAS \D @D ，CE BF \=；（2）90ACB Ð=°Q ，AG BG ^，CAO CBD \Ð=Ð．在ACO D 和BCD D 中，90ACO BCD AC BCCAO CBD Ð=Ð=°ìï=íïÐ=Ðî，()ACO BCD ASA \D @D ，CO CD \=．AC CO AC CD AD \+=+=．AG Q 平分CAB Ð，AG BG ^，D ABD \Ð=Ð．AD AB \=．综上，AC CO AB +=．6.（2022春•清苑区期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：【模型呈现】（1）如图1，90BAD Ð=°，AB AD =，过点B 作BC AC ^于点C ，过点D 作DE AC ^于点E ．由12290D Ð+Ð=Ð+Ð=°，得1D Ð=Ð．又90ACB AED Ð=Ð=°，可以推理得到ABC DAE D @D ．进而得到AC = ，BC = ．我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型；【模型应用】（2）①如图2，90BAD CAE Ð=Ð=°，AB AD =，AC AE =，连接BC ，DE ，且BC AF ^于点F ，DE 与直线AF 交于点G ．求证：点G 是DE 的中点；②如图3，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(2,4)，点B 为平面内任一点．若AOB D 是以OA 为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点B 的坐标．【分析】（1）根据全等三角形的对应边相等解答；（2）①作DM AF ^于M ，EN AF ^于N ，证明ABF DAM D @D ，根据全等三角形的性质得到EN DM =，再证明DMG ENG D @D ，根据全等三角形的性质证明结论；②过点B 作DC x ^轴于点C ，过点A 作DE y ^轴于点E ，仿照①的证明过程解答．【解答】解：（1）12290D Ð+Ð=Ð+Ð=°Q ，1D \Ð=Ð，在ABC D 和DAE D 中，1D ACB DEA AB AD Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()ABC DAE SAS \D @D AC DE \=，BC AE =，故答案为：DE ；AE ；（2）①如图2，作DM AF ^于M ，EN AF ^于N ，BC AF ^Q ，90BFA AMD \Ð=Ð=°，90BAD Ð=°Q ，12190B \Ð+Ð=Ð+Ð=°，2B \Ð=Ð，在ABF D 与DAM D 中，BFA AMD Ð=Ð，2BFA AMD B AB AD Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()ABF DAM AAS \D @D ，AF DM \=，同理，AF EN =，EN DM \=，DM AF ^Q ，EN AF ^，90GMD GNE \Ð=Ð=°，在DMG D 与ENG D 中，DMG ENG DGM EGNDM EN Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î()DMG ENG AAS \D @D ，DG EG \=，即点G 是DE 的中点；②如图3，ABO D 和△AB O ¢是以OA 为斜边的等腰直角三角形，过点B 作DC x ^轴于点C ，过点A 作DE y ^轴于点E ，两直线交于点D ，则四边形OCDE 为矩形，DE OC \=，OE CD =，由①可知，ADB BCO D @D ，AD BC \=，BD OC =，22BD OC DE AD BC \===+=+，24BC BC \++=，解得，1BC =，3OC =，\点B 的坐标为(3,1)，同理，点B ¢的坐标为(1,3)-，综上所述，AOB D 是以OA 为斜边的等腰直角三角形，点B 的坐标为(3,1)或(1,3)-．7.如图，(2,0)A -．（1）如图①，在平面直角坐标系中，以A 为顶点，AB 为腰在第三象限作等腰Rt ABC D ，若(0,4)B -，求C 点的坐标；（2）如图②，P 为y 轴负半轴上一个动点，以P 为顶点，PA 为腰作等腰Rt APD D ，过D 作DE x ^轴于E 点，当P 点沿y 轴负半轴向下运动时，试问OP DE -的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由．（3）如图③，已知点F 坐标为(4,4)--，G 是y 轴负半轴上一点，以FG 为直角边作等腰Rt FGH D ，H 点在x 轴上，90GFH Ð=°，设(0,)G m ，(,0)H n ，当G 点在y 轴的负半轴上沿负方向运动时，m n +的和是否变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由．【分析】（1）作CD x ^轴于D ，证明ACD BAO D @D ，根据全等三角形的性质得到2DC OA ==，4AD OB ==，计算即可；（2）作DF y ^轴于F ，证明APO DPF D @D ，得到2PF OA ==，DF OP =，结合图形计算；（3）作PM x ^轴于M ，PN y ^轴于N ，仿照（2）的证明过程解答．【解答】解：（1）作CD x ^轴于D ，90ACD CAD \Ð+Ð=°，90CAB Ð=°Q ，90BAO CAD \Ð+Ð=°，BAO ACD \Ð=Ð，在ACD D 和BAO D 中，90ADC BOA ACD BAOAC BA Ð=Ð=°ìïÐ=Ðíï=î，ACD BAO \D @D ，2DC OA \==，4AD OB ==，6OD \=，C \点的坐标为(6,2)--；（2）OP DE -的值不变，值为2，理由如下：作DF y ^轴于F ，90PDF DPF \Ð+Ð=°，90APD Ð=°Q ，90APO DPF \Ð+Ð=°，APO PDF \Ð=Ð，在APO D 和DPF D 中，APO DPF AOP PFD PA PD Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，APO DPF \D @D ，2PF OA \==，DF OP =，2OP DE OP OF PF \-=-==；（3）m n +的和不变，值为8-，理由如下：作PM x ^轴于M ，PN y ^轴于N ，由（2）可知，HMF GNF D @D ，GN MH \=，4FN FM OM ===，()()()8m n OG OH GN ON MH OM ON OM +=--=-+-+=-+=-．三等角模型“一线三等角”是一个常见的全等模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的全等模型，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角.三等角的推导过程：已知：∠ A=∠ B=∠ CPD ，AC=PB ；求证：△ACP ≌△BPD.∵∠A+∠ APC+∠ C=180°，∠CPD+∠ APC+∠ DPB=180°，且∠ A=∠CPD.∴∠ C=∠ DPB .又∵∠ A=∠ B ，AC=PB.∴△ACP ≌△BPD.常见的一线三等角模型：8.如图，点D ，A ，E 在一条直线上，AB AC =，60ADB AEC BAC Ð=Ð=Ð=°，试探究BD ，CE 与DE之间的数量关系．【分析】由题意可证BAD ACE Ð=Ð，ABD CAE Ð=Ð，且AB AC =，可证ABD CAE D @D ，可得AD CE =，BD AE =，即可求BD ，CE 与DE 之间的数量关系．【解答】解：DE BD CE=+理由如下：BAE D ABD BAC CAE Ð=Ð+Ð=Ð+ÐQ ，且60ADB AEC BAC Ð=Ð=Ð=°，ABD CAE\Ð=ÐDAC DAB BAC AEC ACE Ð=Ð+Ð=Ð+ÐQ ，且60ADB AEC BAC Ð=Ð=Ð=°，BAD ACE \Ð=Ð，且ABD CAE Ð=Ð，AB AC=()ABD CAE ASA \D @D AD CE \=，BD AE=DE AD AE=+Q DE CE BD\=+9.（2022•鹿城区二模）如图，在ABC D 中，AB AC =，点D 在BC 边上，点E 在AC 边上，连接AD ，DE ．已知12Ð=Ð，AD DE =．（1）求证：ABD DCE D @D ；（2）若3BD =，5CD =，求AE 的长．【分析】（1）根据AAS 可证明ABD DCE D @D ；（2）得出5AB DC ==，3CE BD ==，求出5AC =，则AE 可求出．【解答】（1）证明：AB AC =Q ，B C \Ð=Ð，在ABD D 与DCE D 中，12B C AD DE Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()ABD DCE AAS \D @D ；（2）解：ABD DCE D @D Q ，5AB DC \==，3CE BD ==，AC AB =Q ，5AC \=，532AE AB EC \=-=-=．10.如图，D ，A ，E 三点都在一条直线上，且BDA AEC BAC Ð=Ð=Ð，AB AC =，试探究BD ，CE 与DE 之间的数量关系．【分析】由“AAS ”可证ABD CAE D @D ，可得AD CE =，BD AE =，可得结论．【解答】解：DE BD CE =+，理由如下：BAE D ABD BAC CAE Ð=Ð+Ð=Ð+ÐQ ，且ADB AEC BAC Ð=Ð=Ð，ABD CAE \Ð=Ð，在ABD D 和CAE D 中，ABD CAE ADB CEA AB AC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()ABD CAE AAS \D @D ，AD CE \=，BD AE =，DE AD AE =+Q ，DE CE BD \=+．11.（2021秋•东至县期末）如图，在ABC D 中，AB AC =，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有BDA AEC BAC a Ð=Ð=Ð=，若10DE =，3BD =，求CE 的长．【分析】由AEC BAC a Ð=Ð=，推出ECA BAD Ð=Ð，再根据AAS 证明BAD ACE D @D 得CE AD =，3AE BD ==，即可得出结果．【解答】解：AEC BAC a Ð=Ð=Q ，180ECA CAE a \Ð+Ð=°-，180BAD CAE a Ð+Ð=°-，ECA BAD \Ð=Ð，在BAD D 与ACE D 中，BDA AEC BAD ACE AB AC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()BAD ACE AAS \D @D ，CE AD \=，3AE BD ==，10DE AD AE =+=Q ，1037AD DE AE DE BD \=-=-=-=．7CE \=．12.（2020秋•江津区期末）问题1：如图①，在四边形ABCD 中，90B C Ð=Ð=°，P 是BC 上一点，PA PD =，AB BP BC +=．求证：90APD Ð=°；问题2：如图②，在三角形ABC 中，45B C Ð=Ð=°，P 是AC 上一点，PE PD =，且90EPD Ð=°．求AE AP PC+的值．【分析】问题1：证明Rt ABP Rt PCD(HL)D @D ，由全等三角形的性质得出APB PDC Ð=Ð，则可得出结论；问题2：过D 点作DF AC ^于点F ，证明()APE FDP AAS D @D ，由全等三角形的性质得出AE PF =，AP DF =，证出AP FC =，则可得出答案．【解答】问题1：证明：BP PC BC +=Q ，BP AB BC +=，PC AB \=，在Rt ABP D 与Rt PCD D 中，AP PDAB PC =ìí=î，Rt ABP Rt PCD(HL)\D @D ，APB PDC \Ð=Ð，180180()1809090APD APB DPC PDC DPC \Ð=°-Ð-Ð=°-Ð+Ð=°-°=°；问题2：过D 点作DF AC ^于点F ，在ABC 中，18090A B C Ð=°-Ð-Ð=°，A PFD \Ð=Ð，9090APE DPF AEP APE Ð+Ð=°Ð+Ð=°Q ，DPF AEP \Ð=Ð，在APE D 与FDP D 中，A DFPDPE AEP PE PDÐ=ÐìïÐ=Ðíï=î，()APE FDP AAS \D @D ，AE PF \=，AP DF =，在DPF D 中，90904545FDC C Ð=°-Ð=°-°=°，DF FC \=，AP FC \=，PC PF FC AE AP \=+=+，\1AE APPC +=．13.如图①，点B 、C 在MAN Ð的边AM 、AN 上，点E ，F 在MAN Ð内部的射线AD 上，1Ð、2Ð分别是ABE D 、CAF D 的外角．已知AB AC =，12BAC Ð=Ð=Ð．求证：ABE CAF D @D ．应用：如图②，在ABC D 中，AB AC =，AB BC >，点D 在边BC 上，且2CD BD =，点E ，F 在线段AD 上．12BAC Ð=Ð=Ð，若ABC D 的面积为15，求ABE D 与CDF D 的面积之和．【分析】（1）由“ASA ”可证ABE CAF D @D ；（2）由“ASA ”可证ABE CAF D @D ，由全等三角形的性质可得ABE CAF S S D D =，由三角形的面积关系可求解．【解答】证明：（1）12BAC Ð=Ð=ÐQ ，且1BAE ABE Ð=Ð+Ð，2FAC FCA Ð=Ð+Ð，BAC BAE FAC Ð=Ð+Ð，BAE FCA \Ð=Ð，ABE FAC Ð=Ð，且AB AC =，()ABE CAF ASA \D @D （2）12BAC Ð=Ð=ÐQ ，且1BAE ABE Ð=Ð+Ð，2FAC FCA Ð=Ð+Ð，BAC BAE FAC Ð=Ð+Ð，BAE FCA \Ð=Ð，ABE FAC Ð=Ð，且AB AC =，()ABE CAF ASA \D @D ABE CAF S S D D \=，2CD BD =Q ，ABC D 的面积为15，10ACD ABE CDF S S S D D D \==+．14.如图，在等腰三角形ABC D 中，AC BC =，D ，E 分别为AB ，BC 上一点，CDE A Ð=Ð．（1）如图1，若BC BD =，求证：CD DE =；（2）如图2，过点C 作CH DE ^，垂足为H ，若CD BD =，4EH =，求DE BE -的值．【分析】（1）根据ASA 判定ADC BED D @D ，即可得到CD DE =；（2）先证DCB CDE Ð=Ð，得CE DE =，再在DE 上取点F ，使得FD BE =，进而判定()CDF DBE SAS D @D ，得CF DE CE ==，然后由等腰三角形性质得4FH HE ==，即可求解．【解答】解：（1）AC BC =Q ，CDE A Ð=Ð，A B CDE \Ð=Ð=Ð，ACD BDE \Ð=Ð，又BC BD =Q ，BD AC \=，在ADC D 和BED D 中，ACD BDE AC BDA B Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()ADC BED ASA \D @D ，CD DE \=；（2）解：CD BD =Q ，B DCB \Ð=Ð，又CDE B Ð=ÐQ ，DCB CDE \Ð=Ð，CE DE \=，如图2，在DE 上取点F ，使得FD BE =，在CDF D 和DBE D 中，DF BE CDE B CD DB =ìïÐ=Ðíï=î，()CDF DBE SAS \D @D ，CF DE CE \==，又CH EF ^Q ，FH HE \=，28DE BE DE DF EF EH \-=-===．15.（2021春•榆次区校级期末）综合与实践（1）观察理解：如图1，ABC D 中，90ACB Ð=°，AC BC =，直线l 过点C ，点A ，B 在直线l 同侧，BD l ^，AE l ^，垂足分别为D ，E ，由此可得：90AEC CDB Ð=Ð=°，所以90CAE ACE Ð+Ð=°，又因为90ACB Ð=°，所以90BCD ACE Ð+Ð=°，所以CAE BCD Ð=Ð，又因为AC BC =，所以(AEC CDB D @D AAS )；（请填写全等判定的方法）（2）理解应用：如图2，AE AB ^，且AE AB =，BC CD ^，且BC CD =，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积S = ；（3）类比探究：如图3，Rt ABC D 中，90ACB Ð=°，4AC =，将斜边AB 绕点A 逆时针旋转90°至AB ¢，连接B C ¢，求△AB C ¢的面积．（4）拓展提升：如图4，点B ，C 在MAN Ð的边AM 、AN 上，点E ，F 在MAN Ð内部的射线AD 上，1Ð、2Ð分别是ABE D 、CAF D 的外角．已知AB AC =，12BAC Ð=Ð=Ð．求证：CF EF BE +=；（5）拓展应用：如图5，在ABC D 中，AB AC =，AB BC >．点D 在边BC 上，2CD BD =，点E 、F 在线段AD 上，12BAC Ð=Ð=Ð．若ABC D 的面积为15，则ACF D 与BDE D 的面积之和为 ．【分析】（1）根据AAS证明三角形全等即可．（2）利用“三垂模型”证明三角形全等，利用全等三角形的性质，解决问题即可．（3）如图3，过B¢作B E AC¢^于E，构造全等三角形解决问题即可．D@D，可得结论．（4）证明()ABE CAF ASA（5）利用（4）中结论，解决问题即可．【解答】解：（1）如图1中，Q，BD DE^，^AE DE\Ð=Ð=°，AEC CDB90\Ð+Ð=°，90CAE ACE又90ACBQ，Ð=°\Ð+Ð=°，90BCD ACE\Ð=Ð，CAE BCD在AEC D 和CDB D 中，CAE BCD AEC CDB AC CB Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()AEC CDB AAS \D @D 故答案为：AAS ．（2）如图2中，AE AB =Q ，90EAB Ð=°，BC CD =，90BCD Ð=°，由（1）得：EFA AGB D @D ，BGC CHD D @D ，6AG EF \==，3AF BG ==，4CG DH ==，3CH BG ==，\()11122461626324380181250222AEF CHD EFHD S S S S D D =--=+´-´´´-´´´=--=梯形．故答案为50．（3）如图3，过B ¢作B E AC ¢^于E ，由旋转得：AB AB =¢，90BAB ¢Ð=°Q ，由（1）可知AEB BCA ¢D @D ，4AC B E ¢\==，\1144822AB C S AC B E ¢¢=×=´´=V ．（4）如图4中，12BAC Ð=Ð=ÐQ ，1BAE ABE Ð=Ð+Ð，BAC BAE CAF Ð=Ð+Ð，2FCA CAF Ð=Ð+Ð，ABE CAF \Ð=Ð，BAE FCA Ð=Ð，在ABE D 和CAF D 中，ABE CAF AB ACBAE ACF Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()ABE CAF ASA \D @D ，BE AF \=，CF AE =，CF EF AE EF AF BE \+=+==．（5）如图5中，ABC D Q 的面积为15，2CD BD =，ABD \D 的面积是：11553´=，由图4中证出ABE CAF D @D ，ACF \D 与BDE D 的面积之和等于ABE D 与BDE D 的面积之和，即等于ABD D 的面积，是5，故答案为：5．。
2025年新高考数学模拟试题（卷一）第I 卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．某车间有两条生产线分别生产5号和7号两种型号的电池，总产量为8000个．质检人员采用分层抽样的方法随机抽取了一个样本容量为60的样本进行质量检测，已知样本中5号电池有45个，则估计7号电池的产量为（）A ．6000个B ．5000个C ．3000个D ．2000个2．如图所示，四边形ABCD 是正方形，,M N 分别BC ，DC 的中点，若,,AB AM AN λμλμ=+∈R，则2λμ-的值为（）A ．43B ．52C ．23-D ．1033．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，4920224a a a ++=，则20S =（）A ．60B ．120C ．180D ．2404．设,αβ是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，下列命题为假命题的是（）A ．若,m m n α⊥⊥，则n α或n ⊂αB ．若,,⊥⊥⊥m n αβαβ，则m n ⊥C ．若,,m l n αββγαγ⋂=⋂=⋂=，且n β，则//l mD ．若,,m n m n αβ⊥⊂⊂，则αβ⊥5．第19届亚运会于2023年9月28日至10月8日在杭州举行，本届亚运会的吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人：“琮琮”“莲莲”和“宸宸”，分别代表世界遗产良渚古城遗址、西湖和京杭大运河．某同学买了6个不同的吉祥物，其中“琮琮”“莲莲”和“宸宸”各2个，现将这6个吉祥物排成一排，且名称相同的两个吉祥物相邻，则排法种数共为（）A ．48B ．24C ．12D ．66．已知函数1()e 2x f x x a x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围为（）A ．1,ee ⎛⎫⎪⎝⎭B ．(4e,)⎛∞ ⎝U C ．2e ⎫⎪⎭D ．(2e,)⎛∞ ⎝U7．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点()3,4A -的直线l 的一个法向量为()1,2-，则直线l 的点法式方程为：()()()13240x y ⨯++-⨯-=，化简得2110x y -+=.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点()1,2,3M 的平面的一个法向量为()1,4,2m =-，则该平面的方程为（）A ．4210x y z -++=B ．4210x y z --+=C ．4210x y z +-+=D ．4210x y z +--=8．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与双曲线C 分别在第一、二象限交于,A B 两点，2ABF △内切圆的半径为r ，若1||2BF a =，r =，则双曲线C 的离心率为（）AB．2CD二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数()()sin 0,0,22f x A x A ππωϕωϕ⎛⎫=+>>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．当π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，()f x 的值域为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度可得函数()sin 2g x x =的图象D ．将函数()f x 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点5π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称10．已知12,z z 是两个虚数，则下列结论中正确的是（）A ．若12z z =，则12z z +与12z z 均为实数B ．若12z z +与12z z 均为实数，则12z z =C ．若12,z z 均为纯虚数，则12z z 为实数D ．若12z z 为实数，则12,z z 均为纯虚数11．已知函数()y f x =在R 上可导且(0)2f =-，其导函数()f x '满足：22()21()exf x f x x -=-'，则下列结论正确的是（）A ．函数()f x 有且仅有两个零点B ．函数2()()2e g x f x =+有且仅有三个零点C ．当02x ≤≤时，不等式4()3e (2)f x x ≥-恒成立D ．()f x 在[1,2]上的值域为22e ,0⎡⎤-⎣⎦第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知集合{}{}2,0,2,4,3A B x x m =-=-≤，若A B A = ，则m 的最小值为．13．已知M ，N 是抛物线()2:20C x py p =>上两点，焦点为F ，抛物线上一点(),1P t 到焦点F 的距离为32，下列说法正确的是．（把所有正确结论的编号都填上）①1p =；②若OM ON ⊥，则直线MN 恒过定点()0,1；③若MOF △的外接圆与抛物线C 的准线相切，则该圆的半径为12；④若2MF FN = ，则直线MN 的斜率为4．14．如图，在正方体1111ABCD A B C D -，中，M ，N 分别为线段11A D ，1BC 上的动点.给出下列四个结论:①存在点M ，存在点N ，满足MN ∥平面11ABB A ；②任意点M ，存在点N ，满足MN ∥平面11ABB A ；③任意点M ，存在点N ，满足1MN BC ⊥；④任意点N ，存在点M ，满足1MN BC ⊥.其中所有正确结论的序号是.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数31()ln 222f x ax x x x=--+.(1)当1a =时，求()f x 的单调区间；(2)对[1,)x ∀∈+∞，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.16．（15分）我国老龄化时代已经到来，老龄人口比例越来越大，出现很多社会问题．2015年10月，中国共产党第十八届中央委员会第五次全体会议公报指出：坚持计划生育基本国策，积极开展应对人口老龄化行动，实施全面二孩政策．随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表．非一线一线总计愿生40y60不愿生x2240总计5842100(1)求x和y的值．(2)分析调查数据，是否有95%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”？(3)在以上二孩生育意愿中按分层抽样的方法，抽取6名育龄妇女，再选取两名参加育儿知识讲座，求至少有一名来自一线城市的概率．参考公式：22()()()()()n ad bca b c d a c b dχ-=++++，()2P kχ≥0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.82817．（15分）在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，22BC AD AB ===90ABC ∠=︒，如图（1）．把ABD △沿BD 翻折，使得平面ABD ⊥平面BCD ．(1)求证：CD AB ⊥；(2)在线段BC 上是否存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60°？若存在，求出BNBC的值；若不存在，说明理由．18．（17分）已知椭圆22:143x y C +=的左右焦点分别为12,F F ，点()00,P x y 为椭圆C 上异于顶点的一动点，12F PF ∠的角平分线分别交x 轴、y 轴于点M N 、．(1)若012x =，求1PF ；(2)求证：PM PN为定值；(3)当1F N P 面积取到最大值时，求点P 的横坐标0x ．19．（17分）已知数列12:,,,n A a a a L 为有穷正整数数列.若数列A 满足如下两个性质，则称数列A 为m 的k 减数列：①12n a a a m +++= ；②对于1i j n ≤<≤，使得i j a a >的正整数对(,)i j 有k 个.(1)写出所有4的1减数列；(2)若存在m 的6减数列，证明：6m >；(3)若存在2024的k 减数列，求k 的最大值.2025年新高考数学模拟试题（卷一）(解析版)第I 卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
2024北京一零一中初三二模数 学姓名： 班级： 2024.05一．单选题2*8=161．下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．某种球形病毒的直径为0.000 000 43米，将数据0.000 000 43用科学记数法表示为（ ）A ．64.310-⨯B ．60.4310-⨯C ．64310-⨯D ．74.310-⨯3．若实数a ，b ，c 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式成立的是（ ）A ．ac ＞bcB ．ab ＞cbC ．a +c ＞b +cD ．a +b ＞c +b4．如图，12∠=∠，50D ∠=︒，则B ∠的度数为（ ）第4题 第7题第8题A ．50︒B ．40︒C ．100︒D ．130︒5．关于x 的一元二次方程2210kx x -+=有两个不相等的实数根，那么k 的可能值是（ ）A ．12-B ．0C ．1D ．36．如果一个正多边形的内角和等于1080°，那么该正多边形的一个外角等于（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．72°7．如图是一个竖直管道的示意图，水从入口A 进入，先经过管道a 或,b 再经管道,c d 或e 从出口B 流出，如果随机关闭5个管道中的3个，流水还可以从入口A 流到出口B 的概率是（ ）A ．12B ．25C ．35D ．238．如图，正方形边长为a ，点E 是正方形ABCD 内一点，满足90AEB ∠=︒，连接CE ．给出下面四个结论：①AE CE +；②CE ；③BCE ∠的度数最大值为60︒；④当CE a =时，1tan 2ABE ∠=．上述结论中，所有正确结论的序号为（ ）A ．①②B ．①③C ．①④D ．①③④二．填空题2*8=169x 的取值范围是 ．10．分解因式：228x y y -= .11．分式方程211x x=+的解是 ．12．小林、小方和小亮三人玩飞镖游戏，各投5支飞镖，规定在同一圆环内得分相同，中靶和得分情况如图，则小亮的得分是 ．13．已知9°的圆周角所对的弧长是5πcm ，则此弧所在圆的半径是 ．14．某学校为了解九年级800名学生的课外阅读情况，从全体学生中随机抽取了40名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下的统计表，根据表中信息估计全校每周课外阅读时间不超过2小时的学生有 人．每周课外阅读时间x（小时）01x ≤≤12x <≤23x <≤3x >人数69131215．“单词的记忆效率”是指复习一定量的单词，一周后能正确默写出的单词个数与复习的单词个数的比值．如上图描述了某次单词复习中M ，N ，S ，T 四位同学的单词记忆效率y 与复习的单词个数x 的情况，则这四位同学在这次单词复习中正确默写出的单词个数最多的是 _____________．16．甲乙两人进行如下游戏：已知1、2、3、4、5、6、7、8共8个数，每人每次从中勾去2个数，若甲先开始，两人轮流进行，经过3次勾数后，还剩两个数，这时所余两数之差即为甲得的分数，则甲可保证自己至少得 分．三．解答题（17-19,21—23题5分，20,24，25，26题6分,27,28题7分）17．计算：()1012022603-⎛⎫---︒ ⎪⎝⎭．18．解不等式6438311223x x x x -≥-⎧⎪++⎨>⎪⎩，并将解集在数轴上表示出来．19．已知2a b +=，求代数式2222a b b a b a b ⎛⎫++⋅ ⎪+⎝⎭的值.20．如图，点F 在ABCD Y 的对角线AC 上，过点F 、B 分别作AB 、AC 的平行线相交于点E ，连接BF ，∠ABF ＝∠FBC ＋∠FCB ．（1）求证：四边形ABEF 是菱形；（2）若BE ＝5，AD ＝8，sin ∠CBE ＝12，求AC 的长．21．为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，甲工程队施工15002m 所需天数与乙工程队施工9002m 所需天数相等．具体信息如下：工程队每天施工面积（单位：2m ）每天施工费用（单位：元）甲200x +3000乙x2000(1)求x 的值；(2)该工程计划先由乙工程队单独施工若干天，再由甲工程队单独继续施工，两队共施工20天，体育中心需要支付施工费用不超过45000元，则乙工程队至少施工多少天．22．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数(0)y kx b k =+≠的图象平行于直线12y x =，且经过点(2,2)A ．(1)求这个一次函数的表达式；(2)当1x >时，对于x 的每一个值，一次函数(0)y kx b k =+≠的值大于函数(0)m y x x=>的值，直接写出m 的取值范围_____________．23．财政支出的结构关系到国家的发展前景和老百姓的生活质量．近年来，各级政府注重民生问题，加大了对教育社会保障和就业、交通运输方面的投入．某数学兴趣小组为了解近几年甘肃省在教育、社会保障和就业、交通运输方面财政支出的情况，该组成员通过查阅资料，将这三个领域财政支出的数据进行收集、整理描述，下面给出部分信息：信息一：2014﹣2019年甘肃省在教育、社会保障和就业、交通运输支出统计图信息二：2014﹣2019年甘肃省在教育、社会保障和就业、交通运输支出的统计量如表：统计量类别平均数中位数方差教育支出520.7m 21S 社会保障和就业支出448.3466.522S 交通运输支出292.3282.023S （以上数据来源于《中国统计年鉴》）根据以上信息解决下列问题：(1)m = _____________；21S ___________22S （填＞，＜号）；(2)根据以上信息，判断下列结论正确的是__________；（只填序号）①与2015年相比2016年甘肃省在交通运输方面的财政支出有所增长；②2014﹣2019年，甘肃省在教育、社会保障和就业支出方面逐年增长；③2019年甘肃省在社会保障和就业的支出比交通运输的2倍还多．(3)该数学兴趣小组成员又计算了连续5年教育支出的平均数，发现计算的平均数比信息二中6年的平均数大，你认为该小组去掉的年份是__________年．24．如图，AD 是O 的切线，切点为A ，AB 是O 的弦．过点B 作BC AD ∥，交O 于点C ，连接AC ，过点C 作CD AB ∥，交AD 于点D ．连接AO 并延长交BC 于点M ，交过点C 的直线于点P ，且BCP ACD ∠=∠．(1)判断直线PC 与O 的位置关系，并说明理由；(2)若9AB =，6BC =，求PC 的长．25．如图，Rt ABC 中，90C ∠=︒，P 是CB 边上一动点，连接AP ，作PQ AP ⊥交AB 于Q ，已知3AC cm =，6BC cm =，设PC 的长度为xcm ，BQ 的长度为ycm ．小青同学根据学习函数的经验对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小青同学的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了y 的几组对应值：/x cm 00.5 1.0 1.5 2.0 2.53 3.54 4.556/y cm 0 1.56 2.24 2.51m 2.45 2.24 1.96 1.63 1.260.860（说明：补全表格时相关数据保留一位小数）m 的值约为__________cm ；（2）在平面直角坐标系中，描出已补全后的表格中各组数值所对应的点(,)x y ，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：①当2y >时，对应的x 的取值范围约是_____________；②若点P 不与B ，C 两点重合，是否存在点P ，使得BQ BP =？________________（填“存在”或“不存在”）26．已知二次函数22y ax bx =++的图像经过点()2,2A ．(1)用含a 的代数式表示b =______；(2)若直线y x =与抛物线22y ax bx =++a 的值；(3)若抛物线22y ax bx =++与x 轴交于()1,0M x 和()2,0N x 两点（12x x <），且1220x x +>，直接写出a 的取值范围__________．27．如图，已知ABC 中，90ABC ∠=︒，(090)ACB αα∠=<<︒，点D 为线段BC 上一点，连接AD ，作射线AE 使得90DAE α∠=︒-．过点D 作AD 的垂线交AE 于点F ，连接CF ，取CF 中点M ，连接BM ，DM ．(1)补全图形；(2)求证：BAC DAF ∠=∠；(3)①判断MBD 的形状，并证明．②直接写出MDB ∠的大小__________（用α表示）．28．在平面直角坐标系xOy 中，对于线段MN ，直线l 和图形W 给出如下定义：线段MN 关于直线l 的对称线段为M N ''（,M N ''分别是M ，N 的对应点）．若MN 与M N ''均与图形W （包括内部和边界）有公共点，则称线段MN 为图形W 关于直线l 的“对称连接线段”．(1)如图1，已知圆O 的半径是2，112233B C B C B C ，，，，，的横、纵坐标都是整数．在线段112233B C B C B C ，，中，是O 关于直线1y x =-的“对称连接线段”的是_____________．(2)如图2，已知点()01P ，，以O 为中心的正方形ABCD 的边长为4，各边与坐标轴平行，若线段OP 是正方形ABCD 关于直线2y kx =+的“对称连接线段”，求k 的取值范围．(3)已知O 的半径为r ，点()10M ，，线段MN 的长度为1．若对于任意过点Q ()02，的直线l ，都存在线段MN 是O 关于l 的“对称连接线段”，直接写出r 的取值范围_____________．参考答案：1．A【分析】根据轴对称图形：一个平面图形，沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，以及中心对称图形：一个平面图形，绕一点，旋转180 ，与自身完全重合，进行判断即可．【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；B、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意；故选A．【点睛】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别．熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义，是解题的关键．2．D【分析】利用绝对值小于1的科学记数法的表示法则，把小数点向右移动七位即可．【详解】解：0.000 000 43=4.3×10-7．故选：D．【点睛】本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数，一般形式为a×10-n，其中1⩽|a|<10，n为小数点向右移动的位数，也可以是由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定．3．B【分析】根据数轴判断出a、b、c的正负及大小情况，然后根据不等式的性质解答．【详解】解：由图可知，a＜b＜0，c＞0，A、ac＜bc，故本选项错误；B、ab＞cb，故本选项正确；C、a+c＜b+c，故本选项错误；D、a+b＜c+b，故本选项错误．故选B．【点睛】本题考查数轴、不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解答的关键.4．D【分析】根据对顶角相等和已知条件，得出∠1=∠DFA，根据平行线的判定可得出AB∥CD，根据平行线的性质从而得出答案．【详解】∵∠2=∠DFA，∠1=∠2，∴∠1=∠DFA，∴AB∥CD，∴∠B+∠D=180°，∵∠D=50°，∴∠B=130°，故选：D【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．5．A【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，0∆>时，方程有两个不相等的实数根，再结合一元二次方程的定义即可求解．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2210kx x -+=有两个实数根，∴()22410k ∆=--⨯>，且0k ≠，解得：1k <且0k ≠，∴k 的值可能是12-．故选：A ．6．B【分析】首先设此多边形为n 边形，根据题意得：（n -2）•180°=1080°，即可求得n =8，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．【详解】解：设此多边形为n 边形，根据题意得：180°×（n -2）=1080°，解得：n =8，∴这个正多边形的每一个外角等于：360°÷8=45°．故选：B ．【点睛】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．注意掌握多边形内角和定理：（n -2）•180°，外角和等于360°．7．C【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到开着的两个管道可以使流水从入口A 流到出口B 的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．【详解】解：设a 、b 、c 、d 、e 五个管道分别用A 、B 、C 、D 、E 表示，列表如下：AB C D E A (),B A (),C A (),D A (),E A B (),A B (),C B (),D B (),E B C(),A C (),B C (),D C (),E C D(),A D (),B D (),C D (),E D E (),A E (),B E (),C E (),D E 由表格可知，一共有20种等可能性的结果数，其中开着的两个管道可以使流水从入口A 流到出口B 的结果数有12种，∴流水还可以从入口A 流到出口B 的概率是123205=，故选：C ．8．C【分析】如图所示，连接AC 交BD 于H ，取AB 中点O ，连接OC ，先证明点E 在以点O 为圆心，AB 为直径的圆上运动，当A E C 、、三点共线，即点E 运动到点H 时AE CE AC +=， 当C O E 、、三点共线时，CE 有最小值，据此可判断①②；如下图所示，当CE 与O 相切时BCE ∠有最大值，证明Rt Rt OBC OEC △≌△，得到CE BC a ==，OCE OCB ∠=∠，则1tan 2OE OCE CE ==∠，再证明ABE BCO OCE ==∠∠∠，得到1tan tan 2ABE OCE ==∠∠，即可判断③④．【详解】解：如图所示，连接AC 交BD 于H ，取AB 中点O ，连接OC ，∵四边形ABCD 是正方形，∴90AHB ∠=︒；∵90AEB ∠=︒，∴点E 在以点O 为圆心，AB 为直径的圆上运动，∵90AHB ∠=︒，∴点H 在圆O 上，∵AE CE AC +≥==，∴当A E C 、、三点共线，即点E 运动到点H 时，AE CE AC +=，故①正确；∵点E 在以点O 为圆心，AB 为直径的圆上运动，∴当C O E 、、三点共线时，CE 有最小值，在Rt OBC △中，由勾股定理得OC ==，∴CE 12a -=，故②错误；如下图所示，当CE 与O 相切时BCE ∠有最大值，∵OB OE OC OC ==，，∴()Rt Rt HL OBC OEC ≌，∴CE BC a ==，OCE OCB ∠=∠，∴1tan 2OE OCE CE ==∠，∴30OCE ≠︒∠，∴60BCE ≠︒∠，∴BCE ∠的度数最大值不是60︒，故③错误；∵BC EC OB OE ==，，∴OC 垂直平分BE ，∴ABE BOC BOC BCO +=+∠∠∠∠，∴ABE BCO OCE ==∠∠∠，∴1tan tan 2ABE OCE ==∠∠，故④正确；故选：C ．【点睛】本题主要考查了圆与正方形综合，解直角三角形，勾股定理等等，根据题意得到点E 的运动轨迹是解题的关键．9．4x ≥-【分析】根据被开方数40x +≥即可求解．【详解】40x +≥，∴4x ≥-．故答案为4x ≥-【点睛】本题考查二次根式的意义：熟练掌握二次根式中被开方数是非负数的条件是解题的关键．10．2(2)(2)y x x +-．【详解】解：原式=22(4)y x -=2(2)(2)y x x +-．故答案为2(2)(2)y x x +-．【点睛】本题考查提公因式法与公式法的综合运用．11．1x =【分析】此题考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤，最后要检验．根据解分式方程的步骤求解即可．【详解】解：211x x=+两边同时乘以()1x x +得21x x =+，解得1x =，经检验1x =是原方程的解，∴1x =，故答案为：1x =．12．21【分析】设投中圆环内及小圆内的得分分别为x ，y 分，根据题意列出方程组求解即可．【详解】解：设投中圆环内及小圆内的得分分别为x ，y 分，依题意得：3219{423x y x y +=+=，解这个方程组得：35x y =⎧⎨=⎩，则小亮的得分是2x +3y =6+15=21分．故答案为21．【点睛】题目主要考查二元一次方程组的应用，理解题意，列出方程组是解题关键．13．2cm【分析】根据圆周角定理求出弧所对的圆心角，根据弧长公式计算，得到答案．【详解】解：设此弧所在圆的半径为r ，弧所对的圆心角为：9°×2＝18°，则18r 1805ππ⨯=，解得，r ＝2，即此弧所在圆的半径为2cm ，故答案为2cm ．【点睛】本题考查的是弧长的计算、圆周角定理，掌握弧长公式是解题的关键．14．300【分析】本题考查了频数（率)分布表：在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距，称这样画出的统计图表为频数分布表．也考查了样本估计总体．用800乘样本中每周课外阅读时间不超过2小时的学生所占的百分比即可．【详解】解：6980030040+⨯=（人），估计全校每周课外阅读时间不超过2小时的学生大约有300人．故答案为：300．15．S【分析】画出过点N 的反比例函数图像，根据题意得到正确默写出的单词个数即为 “单词的记忆效率”对应点所在的矩形的面积大小，通过反比例函数的几何性质即可判断．【详解】解：如图，设M ，N ，S ，T 四个同学的“单词的记忆效率”对应点所在的长方形的面积分别记作S M ，S N ，S S ，S T ，则S T ＜S N ＜S M ＜S S ，∴这四位同学在这次单词复习中正确默写出的单词个数最多的是S ．故答案为：S ．【点睛】本题考查了反比例函数的几何性质的应用，正确理解题目的意思是解题的关键．16．5【分析】此题考查最佳对策问题，注意比赛的规则和数据的特点，灵活选用适当的方法解答；通过分析可知：224⨯=，甲要划掉4个连续的自然数一开始可能会试着操作，但不管怎么样，甲想让自己的得分高，就要划掉中间的．而乙不让他得分高，就要想办法划掉两侧的．但不管划掉哪一侧的，乙一定得划掉一串数的两端，至于哪一端，甚至哪一端的某几个数，最后乙划掉的这些数一定是整个数列的两端的数．这样甲的得分就可以保证至少5分，【详解】224⨯=，甲要划掉4个连续的自然数．一开始可能会试着操作，但不管怎么样，甲想让自己的得分高，就要划掉中间的．而乙不让他得分高，就要想办法划掉两侧的．但不管划掉哪一侧的，乙一定得划掉一串数的两端，至于哪一端，甚至哪一端的某几个数，最后乙划掉的这些数一定是整个数列的两端的数．甲第一次勾掉4,5这2个数，将剩下的数两两配对：{,5}(1,2,3)i i i +=，同一对两数之差为5．在每次勾掉2个数之后，甲的策略是甲勾掉的2个数与乙勾掉的2个数恰好组成上述3对数中的2对，这样一来，余下的两个数必须是上述3对数中的一对，这两个数之差必为5．可见甲可保证自己得5分．故答案为：5．17．52【分析】先计算乘方和开方运算，并把特殊角的三角函数值代入，再计算乘法，最后计算加减即可求解．【详解】()1012022603-⎛⎫--︒ ⎪⎝⎭()133=+-+312=+52=．【点睛】本题考查实数的混合运算，熟练掌握负整指数幂的运算法则和熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．18．125x -<≤，数轴表示见解析【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．【详解】6438311223x x x x -≥-⎧⎪⎨++>⎪⎩①②解不等式①，移项，合并同类项得，714x -≥-系数化为1得，2x ≤；解不等式②，去分母得，()()331212x x +>+去括号得，9324x x+>+移项，合并同类项得，51x >-系数化为1得，15x >-故不等式组的解集为：125x -<≤．数轴表示如下：【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．19．2()a b +，4【分析】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式通分、约分，把分式化简．将所求式子通分，分子、分母分解因式，再约分，化简后整体代入即可【详解】解：原式2222(a b ab b b b a b+=+⋅+2()2a b b b a b+=⋅+2()a b =+，2a b += ，∴原式224=⨯=．20．（1）见解析；（2）3【分析】（1）由外角的性质可得∠AFB=∠FBC+∠FCB，又因为∠ABF=∠FBC+∠FCB，易得AB=AF，由菱形的判定定理可得结论；（2）过D作DH⊥AC于点H，先求出∠CBE=30°，再由平行线的性质可得∠2=∠CBE=30°，然后由锐角三角函数定义可得AH，DH的长，由菱形的性质和勾股定理得CH的长，即可得出AC的长．【详解】（1）证明：∵EF∥AB，BE∥AF，∴四边形ABEF是平行四边形．∵∠ABF=∠FBC+∠FCB，∠AFB=∠FBC+∠FCB，∴∠ABF=∠AFB，∴AB=AF，∴▱ABEF是菱形；（2）解：作DH⊥AC于点H，∵sin∠CBE=12，∴∠CBE=30°，∵BE∥AC，∴∠1=∠CBE，∵AD∥BC，∴∠2=∠1，∴∠2=∠CBE=30°，Rt△ADH中，AH=AD•cos∠2=8DH=AD•sin∠2=1842⨯=，∵四边形ABEF是菱形，∴CD=AB=BE=5，Rt△CDH中，CH3=，∴AC=AH+CH=3．【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、锐角三角函数定义以及勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质和平行四边形的判定与性质是解题的关键．21．（1）根据题意得：1500900200x x=+解得：300x=，经检验，300x=是所列方程的解，∴x 的值是300；（2）解：设乙工程队单独施工m 天，()200030002045000m m +-≤解得：15m ≥,答：乙工程队至少施工15天.22．(1)112y x =+(2)302m <≤或0m <【分析】（1）先根据两直线平行确定k 值，再将(2,2)A 代入求解；（2）分0m >和0m <两种情况，利用数形结合思想求解．【详解】（1）解： 一次函数(0)y kx b k =+≠的图象平行于直线12y x =，∴12k =，将(2,2)A 代入12y x b =+，得：1222b =⨯+，解得：1b =，∴这个一次函数的表达式为112y x =+；（2）解：当0m >时，(0)m y x x =>的图象位于第一象限，将1x =代入112y x =+，得131122y =⨯+=，将点31,2⎛⎫⎪⎝⎭代入m y x =，得33122m =⨯=，∴302m <≤；当0m <，0x >时，(0)m y x x=>的图象位于第四象限，一次函数112y x =+的图象位于第一象限，∴对于x 的每一个值，一次函数112y x =+的值大于函数(0)m y x x =>的值，综上可知，m 的取值范围为：302m <≤或0m <．【点睛】本题考查求一次函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是熟练运用数形结合思想，第二问注意分情况讨论．23．(1)562.7，>(2)②(3)2014【分析】本题考查的是折线统计图与统计表的运用．读懂统计图表，从不同的统计图表中得到必要的信息是解决问题的关键．折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．也考查了平均数、极差与中位数．（1）根据信息一即可解答；（2）根据折线统计图即可解答；（3）根据5年教育支出的平均数大于520.7亿元，可知该小组去掉的年份教育支出费用小于520.7亿元，又因为计算的是连续5年教育支出的平均数，即可得到该小组去掉的年份．【详解】（1）根据折线统计图可知，549.0576.4562.72m +==，122222221[(377.1520.7)(401.3520.7)(549.0520.7)(576.4520.7)(593.0520.7)(636.1520.7)]259.06S =-+-+-+-+-+-=，222222221[(346.8448.3)(376.2448.3)(464.8448.3)](468.2448.3)(504.8448.3)(529.1448.3)]182.36S =-+-+-+-+-+-=，259.0182.3> ，∴1222S S >，故答案为：562.7，>；（2）由折线图可知，2015年与2016年甘肃省在交通运输方面的财政支出分别是278.2亿元，219.2亿元，所以与2015年相比2016年甘肃省在交通运输方面的财政支出下降了，故结论①错误，不符合题意；20142019-年，甘肃省在教育、社会保障和就业支出方面逐年增长，故结论②正确，符合题意；2019年甘肃省在社会保障和就业的支出为529.1亿元，交通运输的支出为360.4亿元，所以2019年甘肃省在社会保障和就业的支出比交通运输的1倍还多168.7亿元，故结论③错误，不符合题意．故答案为：②；（3）20142019- 年这6年中甘肃省在教育支出的平均数为520.7亿元，高于2014与2015年的平均数，又连续5年教育支出的平均数大于520.7亿元，∴不是去掉的2015年的教育支出，∴该小组去掉的年份是2014年．故答案为：2014．24．(1)相切，理由见解析(2)277PC =【分析】（1）连接OC ，由AD 为切线及BC AD ∥，结合垂径定理可得AP 平分BAC ∠，则可得BAC POC ∠=∠，再由CD AB ∥及BCP ACD ∠=∠可得BCP POC ∠=∠，则可得OC PC ⊥，问题得证；（2）由勾股定理分别求得AM 及圆半径，证明OMC OCP △∽△，由相似的性质即可求得PC 的长．【详解】（1）解：相切；理由如下：连接OC ，∵AD 为切线，∴AP AD⊥∵BC AD ∥，∴⊥AP BC ，即AP 垂直平分BC ，∴AP 平分BAC ∠，即2BAC OAC ∠=∠，∵OA OC =，∴OAC OCA ∠=∠，∴2POC OAC ∠=∠，∴BAC POC ∠=∠，∵CD AB ∥，∴BAC ACD ∠=∠，∵BCP ACD ∠=∠，BAC POC ∠=∠，∴BCP POC ∠=∠，∵90POC OCM ∠+∠=︒，∴90BCP OCM ∠+∠=︒，即OC PC ⊥，∴直线PC 与O 相切；（2）解：∵AP 垂直平分BC ，∴1932AC AB CM BC ====，，在Rt AMC △中，由勾股定理得：AM ===设圆半径为r ，则OM AM OA r =-=，在Rt OMC 中，由勾股定理得：222)3r r +=，解得：r =∴OM r =-=∵90OMC OCP MOC COP ∠=∠=︒∠=∠，，∴OMC OCP △∽△，∴OMCMOC PC =，∴277CM OCPCOM⋅==．【点睛】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，垂径定理等知识，综合运用这些知识是关键．25．（1）2.6；（2）画图见解析；（3）①0.8＜x＜3.5；②不存在【分析】（1）按题意，认真测量即可；（2）利用数据描点、连线；（3）①由根据函数图象可得；②根据三角形外角的性质和三角形内角和定理可得不存在点P，使得BQ=BP．【详解】解：（1）根据题意量取数据m为2.6，故答案为：2.6（2）根据已知数据描点连线得（3）①由图象可得，当0.8＜x＜3.5时，y＞2．故答案为：0.8＜x＜3.5②不存在，理由如下：若BQ=BP∴∠BPQ=∠BQP∵∠BQP=∠APQ+∠PAQ＞90°∴∠BPQ+∠BQP+∠QBP＞180°与三角形内角和为180°相矛盾．∴不存在点P，使得BQ=BP．故答案为：不存在．【点睛】本题为二次函数综合题，也是动点问题的函数图象探究题，考查了画函数图象以及数形结合的数学思想．26．(1)2a-(2)27a =或2a =(3)14a <-或2a >【分析】（1）把点A 的坐标代入二次函数解析式中，变形即可求解；（2）由（1）得二次函数解析式，与一次函数解析式联立组成二元一次方程组，求得两交点的坐标，由题意可得关于a 的方程，解方程即可求得a 的值；（3）由判别式确定a 的范围，根据a 的范围、一元二次方程根与系数的关系、二次函数的图象即可确定a 的范围．【详解】（1）解：∵二次函数22y ax bx =++的图像经过点()2,2A ，∴4222a b ++=，∴2b a =-，故答案为：2a -；（2）解：由（1）得二次函数解析式为222y ax ax =-+，由题意得：222y ax ax y x ⎧=-+⎨=⎩，解得：11x a y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，22x y =⎧⎨=⎩，即直线与抛物线的两个交点坐标为11,(2,2)a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，；由题意得：22122a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得：27a =或2a =；（3）解：∵抛物线与x 轴有两个不同的交点，∴2(2)420a a ∆=--⨯>，解得：a<0或2a >；当2a >时，对于222y ax ax =-+，令0x =，有2y =，即抛物线与y 轴交点为(0,2)，∴抛物线必过(2,2)与(0,2)，∴120x x <<，∴必有1220x x +>；当a<0时，对于2220ax ax -+=，则由根与系数的关系有：122x x +=，∴1211212()20x x x x x x +=++=+>，即12x >-；∵a<0，抛物线对称轴为直线1x =，且12x x <，∴当2x =-时，2(2)2(2)20y a a =⨯--⨯-+<，解得：14a <-；综上，14a <-或2a >．【点睛】本题是二次函数的综合，考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，二次函数图象与坐标轴的交点，灵活运用是解题的关键．27．(1)画图见解析(2)证明见解析(3)①MBD 为等腰三角形，证明见解析；②90MDB α∠=︒-【分析】本题主要考查了考查等腰三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．（1）依据题意，读懂题意即可作图；（2）依据题意，由90ABC ∠=︒，ACB α∠=，从而9090BAC ACB α∠=︒-∠=︒-，又90DAE α∠=︒-，进而可以判断得解；（3）①依据题意，延长FD 到点F '，使得DF DF '=，连接AF '，F C '，延长CB 到点C '，使得BC BC '=，连接AC '，C F '．由M 是CF 中点，从而12MD CF '=，12MB C F '=，又AD DF ⊥，从而AF AF '=，可得18021802FAF AFF α''∠=︒-∠=︒-，同理可得，18021802CAC ACC α''∠=︒-∠=︒-，进而可得CAF FAC ''∠=∠，证得(SAS)CAF C AF '' ≌，故CF C F ''=即可判断得解；②依据题意，由AF D ACD '∠=∠，可得A 、F '、C 、D 四点共圆，则90ACF ADF ''∠=∠=︒，进而可得90DCF α'∠=︒+，从而180(90)90DFC CDF αα'∠+∠=︒-︒+=︒-，故90MDB MDF BDF DF C CDF α''∠=∠+∠=∠+∠=︒-，最后可以判断得解．【详解】（1）补全图形如图．（2）证明：90ABC ∠=︒ ，ACB α∠=，9090BAC ACB α∴∠=︒-∠=︒-．90DAE α∠=︒- ，BAC DAF ∴∠=∠．（3）①MBD 为等腰三角形，DM BM =．证明：延长FD 到点F '，使得DF DF '=，连接AF '，F C '，延长CB 到点C '，使得BC BC '=，连接AC '，C F '．M 是CF 中点，DF DF'=∴12MD CF '=，由题意，AD DF ⊥ ，又DF DF '=，AF AF '∴=．ACB α∠=，90BAC DAF α∠=∠=︒-∴AFD ACB α∠=∠=18021802FAF AFF α''∴∠=︒-∠=︒-．同理可得，AC AC '=．18021802CAC ACC α''∴∠=︒-∠=︒-．FAF CAC ''∴∠=∠．CAF FAC ''∴∠=∠．(SAS)CAF C AF ''∴ ≌．CF C F ''∴=．MD MB ∴=．M B D ∴ 为等腰三角形．②AF D ACD '∠=∠ ，AD AD=A ∴、F '、C 、D 四点共圆．又 90ADF '∠=︒，则AF '是圆的直径90ACF ADF ''∴∠=∠=︒．又 ACB α∠=，90DCF α'∴∠=︒+．180(90)90DF C CDF αα''∴∠+∠=︒-︒+=︒-．DF DF '=，M 是CF 中点，∴DM CF '∥∴MDF CF D'∠=∠ FDB CDF '∠=∠90MDB MDF BDF DF C CDF α''∴∠=∠+∠=∠+∠=︒-．90MDB α∴∠=︒-．28．(1)11B C ，33B C (2)1k ≥或1k ≤-(3)1r ≥【分析】本题主要考查了轴对称的性质、圆的性质、“对称连接线段”的定义等知识点，掌握“对称连接线段”的定义成为解题的关键．（1）直接根据“对称连接线段”的定义以及抽对称的性质进行解答即可；（2）先根据“对称连接线段”的定义以及抽对称的性质画出图形，然后点P 的对称点是()12-，和()12，时是临界点即可解答；（3）如图3：连接MQ ，则MQ =“对称连接线段”的定义即可解答．【详解】（1）解：如图1:因为1C 关于1y x =-的对称点是()02-，在O 上，所以11B C 是O 关于直线1y x =-的“对称连接线段”，因为2B 和2C 关于1y x =-的对称点是()21-，和()13，在O 外，所以22B C 不是O 关于直线1y x =-的“对称连接线段”，因为3B 关于1y x =-的对称点是()11，在O 内，所以33B C 是O 关于直线1y x =-的“对称连接线段”．故答案为：1133B C B C ，．（2）解：如图2：设直线2y kx =+交y 轴于A ，根据轴对称的性质，点P 和它的对称点到A 的距离相等，所以点P 的对称点在以A 为圆心，1为半径的圆上运动，当点P 的对称点在圆和正方形重合的部分时，满足条件，过点P 的对称点是()12-，和()12，时是临界，此时k 的值分别是1和1-．∴1k ≥或1k ≤-．（3）解：如图3：连接MQ ，则MQ =∴点M 关于过Q 的直线的对称点在以Q N 在以Q 为圆心，半径是1+1的圆上运动，y 轴于点W ，∴1r ≥+．。
安徽省五市2023-2024学年高二上学期期末联考数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．直线的倾斜角为( )A.45°B.60°C.135°D.150°2．在空间直角坐标系中，已知点，，，若向量与向量共线，则m 的值为( )3．已知等差数列满足，则( )A.10B.8C.6D.44．如图，三棱柱中，，，，点M 为四边形的中心点，则( )B.D.5．已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的焦点坐标分别为( )A.， B.， C.， D.，6．已知数列的前n项和为，前n 项积为，满足，则( )A.45B.50C.55D.607．已知点F 为抛物线的焦点，直线与该抛物线交于A ,B 两点，点M 为的中点，过点M 向该抛物线的准线作垂线，垂足为.若20x y ++=()0,0,1A ()1,2,3B (),,2C m n ABBC{}n a 1356a a a ++=24a a +=111ABC A B C -AB a = AC b = 1AA c =11BCC B AM =1122b c ++ 1122a b c++1122b c +-1122a b c--222:14y x C b -=20x =()3,0()3,0-()0,3()0,3-()1,0()1,0-()0,1()0,1-{}n a n S n T 21n n S a =-1224log T T =22(0)y px p =>:21l y x =+AB 1M 1||MM =( )A.2B.3C.4D.58．已知函数表示不超过x 的最大整数，，，数列的前n 项和为，则( )A.673B.747C.769D.821二、多项选择题9．在空间直角坐标系中，已知向量，，则下列结论正确的是( )A.向量关于平面的对称向量的坐标为B.若，则D.若，10．已知椭圆的上顶点为B ，左、右焦点分别为，，则下列说法正确的是( )A.若，则C.当时，过点D.若直线与椭圆C 的另一个交点为A ，，则11．已知等差数列的前n 项和为，且满足，，现将数列与数列的公共项从小到大排列可以得到新数列，则下列说法正确的是( )A. B. C. D.数列的前10项和为12．点A ,B 为圆上的两点，点为直线上的一个动点p =()[]f x x =41n a n =-[]2log n n b a ={}n b n S 100S =Oxyz ()2,2,1a =-(),,2b x y = a Ozx ()2,2,1a b ⊥ 20x y -+=225x y +=a b ⊥ 2x =-1y =-222:1(1)x C y a a +=>1F 2F 12BF BF ⊥a =2=2a =F 1BF 112BF F A = 232a ={}n a n S 11a =238a a +={}n a {}1n S -{}n b 21n a n =-21n S n =-10399b =1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭102122():21M x y -+=()1,P t -:1l x =-，则下列说法正确的是( )A.当，且为圆直径时，面积的最大值为3B.从点向圆C.A ,B 为圆M上的任意两点，在直线l 上存在一点P ，使得D.当三、填空题13．已知直线，，则直线，之间距离的最大值为______.14．过点的直线l 被圆：所截得的弦长的最小值为______.15．已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为4，直线与双曲线C 交于P ，Q 两点，点M 为双曲线C 在第一象限上的点，记直线、的斜率分别为、，且，若的面积为、的斜率分别为、，则______.16．已知抛物线，过该抛物线焦点F 的直线l 与该抛物线相交于A ,B两点（其中点A 在第一象限），当直线l 的倾斜角为，O 为坐标原点，则面积的最小值为______.四、解答题17．已知直线l 过点.（1）若直线l 在y 轴上的截距b 、在x 轴上的截距的a 满足，求直线l 的方程；（2）若直线l 与两坐标轴的正半轴分别交于A ,B 两点，O 为坐标原点，当的面积最小时，求直线l 的方程.18．已知数列的前n 项和为，满足.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n 项和.19．如图，三棱锥中，底面是边长为2的等边三角形，的0t =AB PAB △P M π3APB ∠=(1,2P -+1+1:1l y kx =+()2:2l y k x =-1l 2l ()3,122450x y x +--=2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>1F 2F :l y kx =MP MQ MP k MQ k 3MP MQ k k ⋅=12MF F △1MF 2MF 1MF k 2MF k 12MF MF k k +=22(0)y px p =>602OAB △()1,23b a =OAB △{}n a n S 2n S n ={}n a 2n n n b a ={}n b n T P ABC -ABC PA PC ==（1）证明：；（2）若，点F 为的中点，求平面与平面的夹角的余弦值.20．已知椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆C 上任意一点，点P 到距离的最大值为.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知过点的两条不同的直线，关于x 轴对称，直线，与椭圆C 在x轴上方分别交于M 、N 两点.直线是否过x 轴上一定点？若过，求出此定点；若不过，请说明理由.21．已知数列的前n 项和为，前n 项积为，满足.（1）求，和；22．已知点，圆，点，点的轨迹为曲线C ，点A 为曲线C 上一点且在y 轴右侧，曲线C 在点A 处的切线l 与圆交于M ，N 两点，设直线，的倾斜角分别为,.（1）求曲线C 的方程；AC BP ⊥2PB =PB ACF PBC 2222:1(0)x y C a b a b +=>>1F 2F 1F )21+1F 1l 2l 1l 2l MN {}n a n S n T ()*12n n T a n =-∈N 1T 2T n T 11122n n S +⎛⎫-+<<⎪⎝⎭()12,0F -222:(2)10F x y -+=(,P x y 2(),P x y 2F 1F M 1F N αβ参考答案1．答案：C解析：根据题意：，所以该直线的斜率为，设该直线的倾斜角为，且，可得.故选：C 2．答案：B解析：根据题意：，，与共线，所以，可得故选：B 3．答案：D解析：由，得到，即，所以，故选：D.4．答案：A解析：根据题意，，又，所以，故选：A.5．答案：B解析：已知双曲线的渐近线方程为，对照202x y y x ++=⇔=--1-α0180α︒≤<︒tan 1135αα=-⇔=︒()1,2,2AB = ()1,2,1BC m n =---AB BC()()1,2,11,2,2BC AB m n λλ=⇔---= λ==1356a a a ++=336a =32a =24324a a a +==1111()22AM AB BM AB BC AB BB BC =+=+=++BC AC AB =-1111111222222AM AB BB AC a b c =++=++ 222:14y x C b -=220y x x by b =±⇔±=，可得，所以，所以该双曲线的焦点坐标分别为，.故选：B.6．答案：D解析：根据题意：，，两式作差可得，当时，，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以，所以，故选：D.7．答案：B解析：根据题意，过点A ,B 分别向该抛物线的准线作垂线，垂足分别为，，所以设，，，联立.故选：B.20x =25b =2549c =+=()0,3()0,3-21n n S a =-1121n n S a --=-12n n a a -=1n =11a ={}n a 2n n a -=()()44156056128922a a a a a =⋅⋅⋅⋅=⋅==1224log 60T T =1A 1B 111||||2||AA BB MM +==()11,A x y ()22,B x y 121222p px x x x p +++=++()221224421021y px x p x x x y x ⎧=⇒+-+=⇒+=⎨=+⎩1227322p AF BF x x p p p -+=++=+=⇒=8．答案：A解析：根据题意分析可得：，，，，，，，，，所以.故选：A 9．答案：AC解析：对于选项A:根据题意可知向量关于平面的对称向量的坐标为,故A 正确；对于选项B:若，则，即，故B 错误；，故C 正确；对于选项D:若或，故D 错误.故选：AC.10．答案：ABD解析：对于A 项，若，则对于B项，由可解得：，故B 项正确；对于C 项，时，椭圆，因过点的直线被椭圆C 所截的弦长的最小[][]1212log log 31b a ===[][]2222log log 72b a ===[][]3232log log 113b a ===[][]4242log log 153b a ===584b b ~=9165b b ~=17326b b ~=33647b b ~=651008b b ~=10012324458616732836673S =++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=()2,2,1a =-Ozx ()2,2,1a b ⊥ 2220a b x y ⋅=-+= 10x y -+=225x y =⇔+=a b ⊥ 2210251x y x x y y -+==-⎧⇒⎨+==-⎩12x y =⎧⎨=⎩1BF BF ⊥1c ==a =22221e a a -==2a =2a =22:14x C y +=1F 1=≠对于D 项，如图，因为，，设点，由可得，解得：，代入椭圆，故选：ABD.11．答案：ACD解析：设等差数列的公差为d ，，由解得：，故，，故A 项正确，B 项错误；将数列列举出来为：数列列举出来为：故共同项依次有：,即，故，则，C 项正确；，故选：ACD.12．答案：ABD解析：对A ：当，为直径时，为点A 的纵坐标），所以当点A 为或时，三角形面积最大，的()0,1B ()1,0F c -(,)A m n 112BF F A =(,1)2(,)c m c n --=+31,22c A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭222:x C y a +=114==2={}n a 11a =231238a a a d +=+=2d =12(1)21n a n n =+-=-()21212n n n S n +-=={}n a 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31,33,35,37,, {}1n S -0,3,8,15,24,35,,3,15,35, 13,35,57,(21)(21)n n ⨯⨯⨯-⨯+ 2(21)(21)41n b n n n =-⨯+=-1041001399b =⨯-=()()21111141212122121n n n n n ⎛⎫===⨯- ⎪--+-+⎝⎭11111111111323521921221⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+⨯-++⨯-=⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 0t =AB 1122PAB S PM =⨯△A ()2,1()2,1-PAB，所以A 正确；对B ：设，交与点N ，由圆的切线性质，则，，当点P 在处时，最大，此时对C ：当点在处，且，为切线时，最大，此时所以不存在符合的点，C 错误；对D ：设的中点D，则设小圆半径为，D 正确.()1max 1232PAB S PM r =⨯⨯=△APM θ∠=AB PM Rt Rt BNP MNB :△△ABM APM θ∠=∠=2cos θθ()1,0-θsin θ=θ==P ()1,0-PA PB APB ∠1sin 3APM ∠=<APM <2APB APM =∠<AB MD ⊥=+r 1PM r =+=+ +1+解析：由题意可知：直线的斜率为k ，过定点；直线的斜率为k ，过定点；可知14．答案：判断可知点在圆内，而圆，若直线l 斜率存在时，设，圆心到直线的距离为，若，则，若,，则，解得或直线l 斜率存在时，，若直线l 斜率不存在时，即，圆心到直线的距离为，综上所述，圆心所以所截的弦长的最小值为故答案为：15．答案：解析：1:1l y kx =+()0,1A ()2:2l y k x =-()2,0B 1//l l ()3,122450x y x +--=2222450(2)9x y x x y +--=⇔-+=:31l y kx k =-+()2,031y kx k =-+d )2221210d k k d -++-=1d =0k =0d >1d ≠()224410d ∆=--≥01d <<1d <≤max d =1=-:3l x =()2,03x =1d =(2,0=设，，，根据题意，可得，联立，化简得，所以,所以，又，可得，，所以双曲线，的面积为代入双曲线C 的方程可得，所以故答案为：.解析：如图所示，分别过A ,B 向准线作垂线，垂足分别为、，过B 作的垂线，垂足为M ，当直线l 的倾斜角为，，即，(),M M M x y 0M x >0M y >2c =22221x y a by kx⎧-=⎪⎨⎪=⎩()2222220b a k x a b --=2k <120x x +=12x x =()()()()222222222222222121222222212123M M M MP MQ M M M MM k kx y kx y k x x y b k a b b x k x x b x x x x x a a k b a a b a k b x ⎛⎫+- ⎪-⎝⎭--+⋅====-=--++2224a b c +==21a =23b =22:13y C x -=12MF F △2M M c y y ⨯=⇔=M x =12MF MF k k +==A 'B 'AA '602()601cos 60p BF BF p ︒=-⇔+︒=3232p =⨯=设，，满足，，设直线，代入抛物线方程，可得，，所以，当时，三角形.17．答案：（1）或；（2）解析：（1）根据题意：直线l 在y轴上的截距是在x 轴上的截距的3倍，当直线l 不过原点，将代入可得所以直线l 的方程为；当直线l 过原点，所以直线l 的方程为即.综上，直线l 的方程为或；（2）设直线l 的方程为，所以，，()11,A x y ()22,B x y 2116y x =2226y x =3:2AB x my =+26y x =2690y my --=121269y y my y +=⎧⎨=-⎩()1219222OAB p S y y =⨯+≥△0m =350x y +-=20x y -=240x y +-=(0,013ya =()1,2n =350x y +-=(0,02=()221y x -=-20x y -=350x y +-=20x y -=()21(0)y k x k -=-<21,0A k ⎛⎫- ⎪⎝⎭()0,2B k -所以，当且仅当，（舍），所以直线l 的方程为即.18．答案：（1）；（2）解析：（1）根据题意：，当时，，两式相减即得：，因时，，满足上式，故；（2），则，，两式相减可得：，故.19．答案：（1）证明见解析；如图，取的中点O ，连接，，因为，所以，又因为底面是边长为2的等边三角形，()1214124422OAB S k k k k ⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯-=⨯--≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△k -=2442OAB k k =⇔=⇔=-△2k =()()221y x -=--240x y +-=21n a n =-()12326n n T n +=-⨯+2n S n =2n ≥21(1)n S n -=-22(1)21n a n n n =--=-1n =11a =21n a n =-()2212n n n n b a n ==-⋅2121232(21)2,n n n T b b b n =+++=⨯+⨯++-⨯ ()23121232212n n T n +=⨯+⨯++-⨯ ()21122222212n n n T n +-=⨯+⨯++⨯--⨯ ()()()111412122212632212n n n n T n n -++--=⨯+⨯--⨯=-+-⨯-()12326n n T n +=-⨯+AC PO BO PA PC =PO AC ⊥ABC所以，又,平面，可得平面，又平面，所以.（2）因为，所以，因为，由可得：，又，,平面，所以平面，如图，以，，分别为x ，y ，z 轴正方向，建立空间直角坐标系.则，，，，，因，，设平面的法向量，则，取，得，则，又，，设平面的法向量，则取，得.设平面与平面的夹角为，则故平面与平面.BO AC ⊥PO BO O = ,PO BO ⊂POB AC ⊥POB BP ⊂POB AC BP ⊥PA PC ==1AO =1PO =BO =2PB =222PO BO PB +=PO BO ⊥PO AC ⊥BO AC O = ,BO AC ⊂ABC PO ⊥ABC OA OB OP()1,0,0A ()B ()1,0,0C -()0,0,1P 12F ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭()2,0,0AC =- 1(2AF =-ACF ()1,,n x y z = 1120102AC n x AF n x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ 1y =z =0x =1(0,1,n =()1,0,1PC =--()1PB =- PBC ()2,,n x y z = 220,0PC n x z PB n z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-=⎪⎩1y =z ==2(=ACF PBC θ1212cos n n n n θ⋅===⋅ ACF PBC；（2）是，解析：（1）根据题意，，解得，又，；（2）根据题意可得：设直线的方程为，联立，设直线与椭圆C 的交点为，，可得：由对称性可知：，直线的方程为，设直线与x 轴交点为，所以，可得：，所以直线过定点.的214y +=()4,0-c e a ==2c +=+a =2=22224a b c b =+⇔=214y +=1l ()2y k x =+()()2222222128880184y k x k x k x k x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩1l ()11,M x y ()22,M x y '1212x x x x ⎧+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩()22,N x y -2l ()2y k x =-+MN (),0T t ()()1212121222TM TN k x k x y y k k x t x t x t x t+-+-=⇔=⇔=----()()()()1221220x x t x x t ⇔+-++-=()()22212122216168162240401212k tk k x x t x x t t k k--+-+-=⇔+-=++24160412t t k--⇔=⇔=-+MN ()4,0-21．答案：（1），（2）证明见解析解析：（1）当时，当时，数列的前n 项积为，满足，时，，，数列是首项为4，公比为2的等比数列，时，（2）先证明左边：即证明，又由，解得又所以，1T =217=n T =1n =111112T a T a =-⇔==2n =2212222312127T a a a a a T =-⇔=-⇔=⇔= {}n a n T ()*12n n T a n =-∈N ∴2n ≥1n T =112n T -=⨯+11121n T -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭n =14=11n T ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭∴1111422n n n n T T -++=⨯=⇔=1n =1T =n =111222n n n S +⎛⎫>-+ ⎪⎝⎭n T =12n n T a =-n a =11212112122n n n n n a ++--=>=--123111142111111111222222222212nn n n n n S ++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦>-+-++-=-=-+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-再证明右边：22．答案：（1）；根据题意：，，，根据定义可得，，所以曲线C 的轨迹方程为；（2）根据题意：，，当l 的斜率不存在时，，此时，，，当l 的斜率存在时，设，，()1212121221n n n n n a +--=<=--∴n S <2213y x -=()12,0F -(22,0F 12224a c F =<==221(0,0)y a b b-=>>221a a =⇔=242c c =⇔=222b c a b =-⇔=2213y x -=()12,0F -()22,0F :1l x =()1,3M ()1,3N -110F M F N ⋅=β=()11,M x y ()22,N x y设直线，联立直线l 与圆可得：，，所以代入韦达定理可知，因为直线l 与曲线C 相切，联立，，所以，故得，:l y kx m =+2F ()()1222221212460(2)10x x y kx m k x km x m x y x x ⎧+⎪=+⎧⎪⇒++-+-=⇒⎨⎨-+=⎩⎪=⎪⎩()()()22222Δ244161616244240km k m km k m =--+-=-++-+>()()()()()22111212121222124F M F N x x y y k x x km x x m ⋅=+++=++++++()()()22221122234262411m k km F M F N m km m k k -+-⋅=-++⋅++=++ ()22222132303y x k x kmx m y kx m ⎧-=⎪⇒----=⎨⎪=+⎩()230k -≠22Δ030k m =⇔--=110F M F N ⋅=β=。
2024-2025学年陕西省西安市高三上学期10月月考数学检测试题1、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，则(){}(){}2210,1=-=-A x x B x log x x ………A B ⋂=A.B.C.D.{}10x x -……{}10x x -<…{}10x x -<…{}10x x -<<2. “”是“函数在上单调递增”的( )01a <<()log (2)a f x a x =-(,1)-∞A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 函数在区间的大致图像为( )()()2sin x x f x x e e x-=-+-[]2.8,2.8-A.B.C. D.4. 已知，，，则( )5log 2a =2log b a =1()2bc =A. B. C. D. c b a >>c a b >>a b c>>b c a>>5. 已知定义在R 上的函数满足，且，则( )()f x3(2)()f x f x +=(2)1f =-(100)f =A. 3 B. 1C. D. 1-3-6．已知函数，若关于x 的方程有2个不相等的1,0,()()12,0,x e x f x g x kx x x ⎧-⎪==-⎨<⎪⎩…()()f x g x =实数解，则实数k 的取值范围是( )A. B. C. D.{}e [,)e +∞1(,0){}8e -⋃1(,){}8e -∞-⋃7. 已知函数，则( )3()1f x x x =-+A. 有三个极值点 B. 有三个零点()f x()f xC. 直线是曲线的切线D.点是曲线的对称中心2y x =()y f x =(0,1)()y f x =8. 已知函数，，若方程有且仅有5个不相24,0(),0x x f x xlog x x ⎧+>⎪=⎨⎪<⎩2()g x x ax b =++()0g f x =⎡⎤⎣⎦等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解的和等于( )A. B. 28C. D. 1428-14-二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 下列导数运算正确的是（ ）A. B. C.D.211(xx '=-()xxe e'--=21(tan )x cos x '=1(ln ||)x x'=10.甲乙丙等5人的身高互不相同，站成一排进行列队训练，则( )A. 甲乙不相邻的不同排法有48种B. 甲乙中间恰排一个人的不同排法有36种C. 甲乙不排在两端的不同排法有36种D. 甲乙丙三人从左到右由高到矮的不同排法有20种11. 已知，则()0c b a <<<A. B.C.ac b bc a+<+333b c a +<a c ab c b +<+>三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 某班的全体学生参加化学测试，成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为，则该班学生化学测试成绩的第40百分位数为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]__________.13. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________.xy e x =+(0,1)ln(1)y x a =++a =14. 的展开式中，的系数为__________.5(1)(2)yx y x -+23x y 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数3212()2.32a f x x x ax +=-+（1）若，求函数的极值；1a =()f x （2）讨论函数的单调性.()f x 16．为践行“更快更高更强”的奥林匹克格言，落实全民健身国家战略.某校高三年级发起了“发扬奥林匹克精神，锻炼健康体魄”的年度主题活动，经过一段时间后，学生的身体素质明显提高.为了解活动效果，该年级对开展活动以来近6个月体重超重的人数进行了调查，调查结果统计如图，根据上面的散点图可以认为散点集中在曲线的附近，请根据下表中bx ay e +=的数据求出（1）该年级体重超重人数y 与月份x 之间的经验回归方程系数a 和b 的最终结果精确到(；0.01)（2）预测从开展活动以来第几个月份开始该年级体重超标的人数降至10人以下.月份x 123456体重超标人数y987754483227ln z y= 4.58 4.37 3.983.87 3.46 3.29附：经验回归方程：中，，；参考数据：ˆˆˆy bx a =+1221ˆni ii nii x ynx y bxnx ==-⋅=-∑∑ˆˆa y bx =-，，，6123.52ii z==∑6177.72i ii x z==∑62191ii x==∑ln10 2.30.≈17. 已知函数，R ，，且()log (1)a f x x =+()2log (2)(a g x x t t =+∈)0a > 1.a ≠（1）当且时，求不等式的解集；01a <<1t =-()()f x g x …（2）若函数在区间上有零点，求t 的取值范围．()2()21f x F x a tx t =+-+(1,2]-18. 某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：根据长期检测结果，得[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95].到芯片的质量指标值X 服从正态分布，并把质量指标值不小于80的产品称为A 等2(,)N μσ品，其它产品称为B 等品.现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.（1）根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差s 的近似值为11，用样本平均数作x 为的近似值，用样本标准差s 作为的估计值.若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片μσ为 A 等品的概率保留小数点后面两位有效数字();①同一组中的数据用该组区间的中点值代表;②参考数据：若随机变量服从正态分布(ξ，则，，2(,)N μσ()0.6827P μσξμσ-<<+≈(22)0.9545P μσξμσ-<<+≈(33)0.9973.)P μσξμσ-<<+≈（2）（ⅰ）从样本的质量指标值在和的芯片中随机抽取3件，记其中质量指[45,55)[85,95]标值在的芯片件数为，求的分布列和数学期望；[85,95]ηηⅱ该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装.已知一件()A 等品芯片的利润是元，一件 B 等品芯片的利润是元，根据的计(124)m m <<ln(25)m -(1)算结果，试求m 的值，使得每箱产品的利润最大.19. 已知函数1()ln (1).x f x ae x a x -=+-+（1）当时，求函数的单调区间；0=a ()f x （2）当时，证明：函数在上单调递增；1a =()f x (0,)+∞（3）若是函数的极大值点，求实数a 的取值范围.1x =()f x数学答案一.选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）二.选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分）三、填空题：(本题共3小题，每小题5分，共15分.)12. 6513.14. 40ln 2三、解答题：(本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分)15.（本小题满分13分）题号12345678答案CBABDCDA题号91011答案ACDBCDABD解：时，，(1)1a =3213()2,()(1)(2)32f x x x x f x x x '=-+=--所以 或 时， ； 时， 1x <2x >()0f x '>12x <<()0f x '<则 在 上递减，在 上递增，()f x (1,2)(,1),(2,)-∞+∞所以 的极小值为 ，极大值为()f x 2(2)3f =5(1)6f =...............................5分，则，当 时， ，所以3212(2)()232a f x x x ax +=-+()()(2)f x x a x '=--2a =()0f x '… 在 上递增，当 时， 或 时， ； 时，()f x (,)-∞+∞2a >2x <x a >()0f x '>2x a <<,所以 在 上递增，在 上递减，当 时， 或()0f x '<()f x (,2),(,)a -∞+∞(2,)a 2a <x a < 时， ； 时， 2x >()0f x '>2a x <<()0f x '<所以 在 上递增；在 上递减. ()f x (,),(2,)a -∞+∞(,2)a ...............................8分16.（本小题满分15分）（2）令，所以，解得，由于，所0.26 4.83ln10 2.310x ee e -+<=≈0.26 4.83 2.3x -+<9.73x >x N ∈以，10x ...所以从第十个月开始，该年级体重超标的人数降至10人以下. . (5)分17.（本小题满分15分）解： 时， ，又，，(1)1=- t ()()2log 1log 21a a x x +-…01a << 21(21)210x x x ⎧+-∴⎨->⎩…，解集为： ；2450151242x x x x ⎧-⎪∴∴<⎨>⎪⎩……∴15{|}24x x <…..............................................................6分解法一：，由得：且，(2)()222F x tx x t =+-+ ()0F x=22(2x t x x +=-≠-12)x -<…，设 且，则22(2)4(2)2x t x x +∴=-+-++2U x =+(14U <…2U ≠，212424U t U U U U =-=--+-+令，当时，时，单调递增，2()U U U ϕ=+1U <<()U ϕ4U <<()U ϕ且且或9(1)3,(4).2ϕϕϕ===9()2U ϕ∴…() 4.U ϕ≠12402U U ∴---< (2)044U U <---…t 的取值范围为：或2t -…t …解法二：，若，则在上没有零点．()222F x tx x t =+-+0t =()2F x x =+(1,2]-下面就时分三种情况讨论：0t ≠①方程在上有重根，则，解得：，又()0F x =(1,2]-12x x =0∆=t =1212x x t ==-(]1,2,∈-t ∴=②在上只有一个零点，且不是方程的重根，则有，解得：()F x (1,2]-()()120F F -<或，2t <-1t >又经检验： 或时， 在上都有零点；或2t =-1t =()F x (1,2]-2t ∴-… 1.t …③方程在上有两个相异实根，则有或，解得：()0F x =(1,2]-0,01122(1)0(2)0t t F F >∆>⎧⎪⎪-<-<⎪⎨⎪->⎪>⎪⎩0,01122(1)0(2)0t t F F <∆>⎧⎪⎪-<-<⎪⎨⎪-<⎪<⎪⎩，1t <<综上可知：t 的取值范围为或2t -…t …...............................15分 18.（本小题满分17分）由题意，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件的平均数为：(1)(1)即10(0.01500.025600.04700.015800.0190)69.x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=69x μ≈=，所以X ∽，因为质量指标值X 近似服从正态分布，11s σ≈≈2(69,11)N 2(69,11)N 所以1(69116911)1()(80)22P X P X P X μσμσ--<<+--<<+==…，10.68270.158650.162-≈=≈所以从生产线中任取一件芯片，该芯片为A 等品的概率约为 0.16...............................................................5分，所以所取样本的个数为20件，质量指标值在的芯(2)()(0.010.01)1010020i +⨯⨯=[85,95]片件数为10件，故可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为：η，，3010103202(0)19C C P C η===21101032015(1)38C C P C η===，，12101032015(2)38C C P C η===0310103202(3)19C C P C η===随机变量的分布列为：ηη0123P21915381538219所以的数学期望η2151523()0123.193838192E η=⨯+⨯+⨯+⨯=...............................11分设每箱产品中A 等品有Y 件，则每箱产品中B 等品有件，设每箱产品的利润为()ii (100)Y -Z 元，由题意知：，(100)ln(25)(ln(25))100ln(25)Z mY Y m m m Y m =+--=--+-由知：每箱零件中A 等品的概率为，所以Y ∽，所以(1)0.16(100,0.16)B ，()1000.1616E Y =⨯=所以()[(ln(25))100ln(25)]E Z E m m Y m =--+-(ln(25))()100ln(25)m m E Y m =--+-,令16(ln(25))100ln(25)m m m =--+-1684ln(25)m m =+-()1684ln(25)(124)f x x x x =+-<<得，，又，，递增，84()16025f x x '=-=-794x =79(1,)4x ∈()0f x '>()f x 79;(,24)4x ∈，递减，所以当时，取得最大值.所以当时，每箱()0f x '<()f x 79(1,24)4x =∈()f x 794m =产品利润最大...............................................................17分19.（本小题满分17分）解：当时，，且知，在上，， (1)0=a ()ln =-f x x x 11()1-'=-=xf x x x (0,1)()0'>f x >在上单调递增；在上，， 在上单调递减；所以函数()f x (0,1)(1,)+∞()0'<f x ()f x (1,)+∞的单调增区间为，单调减区间为()f x (0,1)(1,)+∞ (4)分证明：因为，所以，且知，(2)1a =1()ln 2x f x ex x -=+-11()2x f x e x -'=+-要证函数单调递增，即证在上恒成立，()f x ()0f x '…(0,)+∞设，，则，11()2x g x e x -=+-0x >121()x g x e x -'=-注意，在上均为增函数，故在上单调递增，且1x y e-=21y x =-(0,)+∞()g x '(0,)+∞，(1)0g '=于是在上单调递减，在上单调递增，，即，因此函()g x (0,1)(1,)+∞()(1)0g x g =…()0f x '…数在上单调递增;()f x (0,)+∞ (10)分由，有，令，有，(3)11()1x f x ae a x -'=+--(1)0f '=11()1x h x ae a x -=+--121()x h x ae x -'=-①当时，在上恒成立，因此在上单调递减，0a …11()0x x h x ae x -'=-<(0,)+∞()f x '(0,)+∞注意到，故函数的增区间为，减区间为，此时是函数的(1)0f '=()f x (0,1)(1,)+∞1x =()f x 极大值点;②当时，与在上均为单调增函数，故在上单调递0a >1x y ae-=21y x =-(0,)+∞()h x '(0,)+∞增，注意到，若，即时，此时存在，使，(1)1h a '=-(1)0h '<01a <<(1,)n ∈+∞()0h n '=因此在上单调递减，在上单调递增，又知，()f x '(0,)n (,)n +∞(1)0f '=则在上单调递增，在上单调递减，此时为函数的极大值点，()f x (0,1)(1,)n 1x =()f x 若，即时，此时存在，使，(1)0h '>1a >(0,1)m ∈()0h m '=因此在上单调递减.在上单调递增，又知，()f x '(0,)m (,)m +∞(1)0f '=则在上单调递减，在上单调递增，此时为函数的极小值点.()f x (,1)m (1,)+∞1x =()f x 当时，由可知单调递增，因此非极大值点，1a =(1)()f x 1x =综上所述，实数 a 的取值范围为(,1).-∞ ..........................17分。
