2020年全国统一高考数学试卷文科新课标Ⅰ原卷版

2020年全国高考（Ⅰ卷）文科数学1.已知合集，，则（）A、B、C、D、2.若，则（）A、0B、1C、D、23. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A、B、C、D、4. 设O为正方形ABCD的中心，在O, A ,B, C, D中任取3点，则取到的3点共线的概率为（）A、B、C、D、5. 某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（）A 、B 、C 、D 、6. 已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A 、1B 、2C 、3D 、4 7. 设函数在的图像大致如下图，则的最小正周期为（）A 、B 、C 、D 、8. 设3log 42a =，则4a-= ( )A.116B.19C.18D.169.执行下面的程序框图，则输出的n = ( )A.17B.19C.21D.2310.设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=( ) A.12B.24C.30D.3211.设12,F F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且||2OP =，则12PF F △的面积为( ) A.72B.3C.52D.212.已知,,A B C 为球O的球面上的三个点，1O 为ABC 的外接圆，若1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为( )A.64πB.48πC.36πD.32π二、填空题13.若,x y 满足约束条件220,10,10,x y x y y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪+≥⎩则7z x y =+的最大值为____________.14.设向量(1,1),(1,24)m m =-=+-a b ，若a b ⊥，则m =____________.15.曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________. 16.数列{}n a 满足2(1)31n n n a a n ++-=-，前16项和为540，则1a =_____________. 三、解答题17.(12分) 某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为,,,A B C D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表乙分厂产品等级的频数分布表(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务?18. (12分)∆ABC的内角,,A B C的对边分别为,,a b c.已知150B=︒.(1)若,==，求∆ABC的面积；a b(2)若sinA C=，求C.219.(12分) 如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，90∠=︒．APC(1)证明：平面PAB ⊥平面PAC ； (2)设DO ，求三棱锥P ABC -的体积.20. (12分)已知函数()(2)x f x e a x =-+. (1)当1a =时，讨论()f x 的单调性； (2)若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 21. (12分) 已知,A B 分别为椭圆()222:11x E y a a+=>的左、右顶点，G为E的上顶点，8AG GB ⋅=，P为直线6x =上的动点，PA 与E的另一交点为C，PB 与E的另一交点为D ．(1)求E的方程；(2)证明：直线CD 过定点.22. (10分) [选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin k kx t y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩(t为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=． (1)当1k =时，1C 是什么曲线？(2)当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标．23. [选修4—5：不等式选讲] (10分) 已知函数()|31|2|1|f x x x =+--．(1)画出()y f x =的图像； (2)求不等式()(1)f x f x >+的解集.2020年全国高考（Ⅰ卷）文科数学答案与解析1.D2.C3.C如图，设正四棱锥的高为h ，底面边长为a ，侧面三角形底边上的高为'h ，则依题意有：222212'()2'h ah a h h ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，因此有221'()22'a h ah -=，化简得2'4()2()1'0h h a a --=，解得'h a . 4.A 5.D用光滑的曲线把图中各点连接起来，由图像的大致走向判断，此函数应该是对数函数类型的，故应该选用的函数模型为ln y a b x =+. 6.B 7.C由图知4π4ππ()cos()0996f ω-=-+=，所以4ππππ()962k k ω-+=+∈Z ，化简得39()4kk ω+=-∈Z ，又因为2π2T T <<，即2π4π2π||||ωω<<，所以1||2ω<<，当且仅当1k =-时1||2ω<<，所以32ω=，最小正周期2π4π||3T ω==.故选C. 8.B 9.C 10.D 11.B 12.A 13.1 14.5 15.y=2x 16.7 17.解： (1)由试加工产品等级的频数分布表知， 甲分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率的估计值为400.4100=； 乙分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率的估计值为280.28100=. (2)由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为65402520520752015100⨯+⨯-⨯-⨯=.由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为70283017034702110100⨯+⨯+⨯-⨯=.比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润，应选甲分厂承接加工业务. 18.解：(1)由题设及余弦定理得2222832cos150c c =+-⨯︒. 解得2c =-(舍去)，2c =，从而a =∆ABC 的面积为12sin1502⨯⨯︒(2)在∆ABC 中，18030A B C C =︒--=︒-，所以()()sin sin 30sin 30A C C C C +=-+=︒+︒.故()sin 30C ︒+=. 而030C ︒<<︒，所以3045C ︒+=︒，故15C =︒. 19.解：(1)由题设可知，PA PB PC ==.由于∆ABC 是正三角形，故可得∆PAC ≌∆PAB ，∆PAC ≌ ∆PBC. 又90APC ∠=︒，故90,90APB BPC ∠=︒∠=︒.从而,PB PA PB PC ⊥⊥，故PB ⊥平面PAC ，所以平面PAB ⊥平面PAC . (2)设圆锥的底面半径为r ，母线长为l .由题设可得222rl l r =-=.解得1,r l ==从而AB 由(1)可得222PA PB AB +=，故PA PB PC ===所以三棱锥P ABC -的体积为311113232PA PB PC ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⎝⎭.20.解： (1)当1a =时，()e 2x f x x =--，则1'()e x f x =-. 当0x <时，)'(0f x <；当0x >时，)'(0f x >. 所以()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增. (2))'(e x f x a =-.当0a ≤时，()'0f x >，所以()f x 在(),-∞+∞单调递增，故()f x 至多存在1个零点，不合题意. 当0a >时，由()'0f x =可得ln x a =，当(),ln x a ∈-∞时，()'0f x <；当()ln ,x a ∈+∞时，()'0f x >，所以()f x 在(),ln a -∞单调递减，在()ln ,a +∞单调递增，故当ln x a =时，()f x 取得量小值，最小值为()()ln 1ln f a a a =-+.()i 若10ea <≤，则(ln )0f a ≥，()f x 在(,)-∞+∞至多存在1个零点，不合题意.()ii 若1ea >，则(ln )0f a <.由于2(2)e 0f --=>，所以()f x 在(,ln )a -∞存在唯一零点.由(1)知，当2x >时，2e 20x -->，所以当4x >且()2ln 2x a >时，22()e e (2)x x f x a x =⋅-+ ()ln 2e2(2)2a x a x ⎛⎫>⋅+-+ ⎪⎝⎭2a =0>.故()f x 在(ln ,)a +∞存在唯一零点.从而()f x 在(,)-∞+∞有两个零点.综上，a 的取值范围是1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.21.解: (1)由题设得(,0),(,0),(0,1)A a B a G -.则(1)(1)AG a GB a ==-,,,.由8AG GB ⋅=得218a -=，即3a =. 所以E 的方程为2219x y +=.(2)设()()1122,,,,(6,)C x y D x y P t .若0t ≠，设直线CD 的方程为x my n =+，由题意可知33n -<<.由于直线PA 的方程为(3)9t y x =+，所以()1139t y x =+. 直线PB 的方程为(3)3t y x =-，所以()2233t y x =-. 可得()()1221333y x y x -=+.由于222219x y +=，故()()2222339x x y +-=-，可得()()12122733y y x x =-++，即 ()()22121227(3)(3)0m y ym n y y n ++++++=.①将x my n =+代入2219x y +=得()2229290my mny n +++-=.所以212122229,99mn n y y y y m m -+=-=++.代入①式得()()()22222792(3)(3)90m n m n mn n m +--++++=. 解得3n =-(舍去)，32n =.故直线CD 的方程为32x my =+，即直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭. 若0t =，则直线CD 的方程为0y =，过点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭. 综上，直线CD 过定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭. 22.解：(1)当1k =时，414cos ,:sin ,x t C y t ⎧=⎨=⎩消去参数t 得221x y +=，故曲线1C 是圆心为坐标原点，半径为1的圆.(2)当4k =时，414cos ,:sin ,x t C y t ⎧=⎨=⎩消去参数t 得1C1=, 2C 的直角坐标方程为41630x y -+=.由1,41630x y =-+=⎪⎩解得1,41.4x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故1C 与2C 的公共点的直角坐标为11()44，. 23. .解：(1)由题设知13(),31()51(1)33(1).x x f x x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪=--<≤⎨⎪+>⎪⎪⎩，，，， ()y f x =的图像如图所示.(2) 函数()y f x =的图像向左平移1个单位长度后得到函数(1)y f x =+的图像.()y f x =的图像与(1)y f x =+的图像的交点坐标为711,66⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 由图像可知当且仅当76x <-时，()y f x =的图像在()1y f x =+的图像上方.故不等式()()1f x f x >+的解集为7,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.。

2020年高考全国一卷文科数学试卷及答案2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1.在答题卡上填写姓名和准考证号。

2.选择题用铅笔在答题卡上涂黑对应的选项，非选择题在答题卡上作答。

3.考试结束后将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

1.已知集合A={x|x-3x-4<0}，B={-4,1,3,5}，则2∈哪个集合？A。

{-4,1}B。

{1,5}C。

{3,5}D。

{1,3}2.若z=1+2i+i3，则|z|等于多少？A。

1B。

2C。

3D。

23.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状为正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为多少？4.设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为多少？A。

1B。

2C。

1/2D。

45/5255.某校一个课外研究小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据（xi,yi）(i=1,2,…,20)得到下面的散点图：根据散点图，选择在10℃至40℃之间最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型。

A。

y=a+bxB。

y=a+bx^2C。

y=a+be^xD。

y=a+blnx6.已知圆的直线被圆所截得的弦的长度最小值为x2+y2-6x=0，过点(1,2)，则最小值等于多少？A。

1B。

2C。

3D。

48.若alog3 4=2，则4的值为多少？A。

-aB。

1/2C。

1/4D。

1/9.执行右侧程序框图后，输出的n等于多少？A。

17B。

19C。

21D。

2310.设{an}是等比数列，且a1+a2+a3=1，a2+a3+a4=2，则a6+a7+a8等于多少？A。

12B。

24C。

30D。

3211.A、B、C为球O的球面上的三个点，O1为△ABC的外接圆，则若O1的面积为4π，且AB=BC=AC=OO1，求球O 的半径。

2020年全国卷Ⅰ文科数学高考试题(附答案)2020年英语高分策略专业省时高效2022/4/25注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

1. 已知集合A={x|x^2-3x-4<0}, B={-4,1,3,5}，则AA. {-4,1}B. {1,5}C. {3,5}2. 若z=1+2i+i^3，则|z|=A. 2B. 1C. 23. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥。

以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A. (5-1)/4B. (5-1)/2C. (5+1)/44. 设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为A. 1/5B. 2/5C. 1/25. 某校一个课外研究小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi, yi)(i=1,2,...,20)得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是A. y=a+bxB. y=a+bx^2C. y=a+bex6. 已知圆x^2+y^2-6x=0，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为A. 1B. 2C. 37. 设函数f(x)=co s(ωx+θ)在[-π，π]的图像大致如下图，则f（x）的最小正周期为A. 6B. 9C. 10π/38. 设alog3 4=2，则4-a=A. 1/16B. 1/9C. 8D. 1/6甲分厂产品等级的频数分布表：等级频数A 28B 17C 34乙分厂产品等级的频数分布表：等级频数A 40B 2018. (8分)19. (10分)20. (10分)21. (20分)D18．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°.（1）若a=3c，b=27，求△ABC的面积；（2）若sinA+3sinC=1，求∠C.19．（12分）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠APC=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAC；20．（12分）已知函数f(x)=e^(-a(x+2)).（1）当a=1时，讨论f(x)的单调性；21．（12分）已知A、B分别为椭圆E：x^2/a^2+y^2=1（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，AG·GB=8，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．（1）求E的方程；（二）选考题：共10分。

12020年普通高等学校招生全国统一考试(Ⅰ卷)文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则AB =A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3} 2．若312i i z =++，则||=zA ．0B ．1C 2D ．23．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 A 51- B 51- C 51+ D 51+ 4．设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为 A ．15B ．25C ．12D ．455．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i =得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是A ．y a bx =+B ．2y a bx =+C ．e x y a b =+D ．ln y a b x =+ 6．已知圆2260x y x +-=，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为A ．1B ．2C ．3D ．4 7．设函数π()cos()6f x x ω=+在[−π，π]的图像大致如下图，则f （x ）的最小正周期为 A ．10π9 B ．7π6 C ．4π3D ．3π28．设3log 42a =，则4a -= A ．116 B ．19 C 18D ．169．执行下面的程序框图，则输出的n =A ．17B ．19C ．21D ．2310．设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=A ．12B ．24C ．30D ．3211．设12,F F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且||2OP =，则12PF F △的面积为A ．72B ．3C ．52D ．212．已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC △的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年全国普通高等学校招生统一考试试卷 全国Ⅰ卷文科数学一、选择题1.若1i z =+,则22z z -=( ) A.0B.1C.2D.22.设集合{}240A x x =-≤，{}20B x x a =+≤，且{}21A B x x ⋂=-≤≤，则a =( ) A.-4B.-2C.2D.43.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )51-51-51+51+4.已知A 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =( ) A.2B.3C.6D.95.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x (单位：°C )的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据i i (,)(1,2,...,20)x y i =得到下面的散点图： 由此散点图，在10C ︒至40C ︒之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是( )A.y a bx =+B.2y a bx =+C.x y a be =+D.ln y a b x =+6.函数43()2f x x x =-的图像在点(1,(1))f 处的切线方程为( ) A.21y x =--B.21y x =-+C.23y x =-D.21y x =+7.设函数π()cos()6f x x ω=+在[]π,π-的图像大致如下图，则()f x 的最小正周期为( )A.10π9B.7π6C.4π3D.3π28.25()()y x x y x++的展开式中33x y 的系数为( )A. 5B. 10C. 15D. 209.已知(0,)α∈π，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=( ) 5 B.23 C.135 10.已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，1O 为ABC 的外接圆，若1O 的面积为14π,AB BC AC OO ===,则球O 的表面积为( )A.64πB.48πC.36πD.32π11.已知22:2220M x y x y +---=，直线:220l xy，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为( ) A.210x y --=B.210x y +-=C.210x y -+=D.210x y ++=12.若242log 42log a b a b +=+，则( )A.2a b >B.2a b <C.2a b >D.2a b <13.已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-,则A B ⋂=( ) A.{4,1}-B.{1,5}C.{3,5}D.{1,3}14.若312i i z =++，则||z =( ) A.0B.1C.2D.215.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥,以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )A.51- B.51- C.51+ D.51+ 16.设O 为正方形ABCD 的中心,在,,,,O A B C D 中任取3点,则取到的3点共线的概率为( ) A.15B.25C.12D.4517.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x (单位：°C )的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i =得到下面的散点图：由此散点图，在10C ︒至40C ︒之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是( )A.y a bx =+B.2y a bx =+C.e x y a b =+D.ln y a b x =+18.已知圆2260x y x +-=，过点()1,2的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( ) A.1B.2C.3D.419.设函数()cos π()6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则()f x 的最小正周期为( )A.10π9B.7π6C.4π3D.3π220.设3log 42a =，则4a -= ( ) A.116B.19C.18D.1621.执行下面的程序框图，则输出的n = ( )A.17B.19C.21D.2322.设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=( ) A.12B.24C.30D.3223.设12,F F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且||2OP =，则12PF F △的面积为( ) A.72B.3C.52D.224.已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，1O 为ABC 的外接圆，若1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为( )A.64πB.48πC.36πD.32π二、填空题25.若,x y 满足约束条件220,10,10,x y x y y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪+≥⎩则7z x y =+的最大值为____________.26.设,a b 为单位向量，且||1+=a b ，则||a b -=___________.27.已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为______________.28.如图，在三棱锥–P ABC 的平面展开图中，1AC =，3AB AD ==，AB AC ⊥，AB AD ⊥，30CAE ∠=︒，则cos FCB ∠=______________.29.若,x y 满足约束条件220,10,10,x y x y y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪+≥⎩则7z x y =+的最大值为__________.30.设向量(1,1),(1,24)m m =-=+-a b ，若a b ⊥，则m =____________.31.曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________.32.数列{}n a 满足2(1)31n n n a a n ++-=-，前16项和为540，则1a =_____________. 三、解答题33.设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项． (1)求{}n a 的公比；(2)若11a =，求数列{}n na 的前n 项和.34.如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AE AD =.ABC 是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，6PO DO =.(1)证明：PA ⊥平面PBC ； (2)求二面角B PC E --的余弦值.35.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为12. (1)求甲连胜四场的概率； (2)求需要进行第五场比赛的概率； (3)求丙最终获胜的概率.36.已知,A B 分别为椭圆()222:11x E y a a+=>的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线6x =上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D .(1)求E 的方程； (2)证明：直线CD 过定点. 37.已知函数2()e x f x ax x =+-. (1)当1a =时，讨论()f x 的单调性； (2)当0x ≥时，()3112f x x ≥+，求a 的取值范围. 38.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin k kx t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t为参数).以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=.(1)当1k =时，1C 是什么曲线？(2)当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标. 39.已知函数()|31|2|1|f x x x =+--. (1)画出()y f x =的图像；(2)求不等式()(1)f x f x >+的解集.40.某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为,,,A B C D 四个等级.加工业务约定：对于A 级品、B 级品、C 级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D 级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表 等级ABCD频数 40 20 20 20乙分厂产品等级的频数分布表 等级 ABCD频数28 17 34 21(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率；(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务?41.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知150B =︒. (1)若3,27a c b ==，求ABC 的面积； (2)若2sin 3sin A C +=，求C . 42.如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，ABC 是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，90APC ∠=︒．(1)证明：平面PAB ⊥平面PAC ；(2)设2DO =3π，求三棱锥P ABC -的体积. 43.已知函数()(2)x f x e a x =-+. (1)当1a =时，讨论()f x 的单调性； (2)若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.44.已知,A B 分别为椭圆()222:11x E y a a +=>的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线6x =上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．(1)求E 的方程； (2)证明：直线CD 过定点.45.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin k kx t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=．(1)当1k =时，1C 是什么曲线？(2)当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标． 46.已知函数()|31|2|1|f x x x =+--． (1)画出()y f x =的图像；(2)求不等式()(1)f x f x >+的解集.参考答案1.答案：D 解析：2.答案：B 解析：3.答案：C解析：如图，设正四棱锥的高为h ，底面边长为a ，侧面三角形底边上的高为'h ，则依题意有：222212'()2'h ah a h h ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，因此有221'()22'a h ah -=，化简得2'4()2()1'0h h a a --=，解得5'1h a +=.4.答案：C解析：设点A 的坐标为()x y ，，由点A 到y 轴的距离为9可得9x =，由点A 到C 的焦点的距离为12，可得122px +=，解得6p =. 5.答案：D解析：用光滑的曲线把图中各点连接起来，由图像的大致走向判断，此函数应该是对数函数类型的，故应该选用的函数模型为ln y a b x =+. 6.答案：B解析：先求函数的导函数32()46'f x x x =-，则由导数的几何意义知在点(1,(1))f 处的切线的斜率为(1)'2k f ==-，又因为(1)1f =-，由直线方程的点斜式得切线方程为：(1)2(1)y x --=--，化简得21y x =-+.7.答案：C解析：由图知4π4ππ()cos()0996f ω-=-+=，所以4ππππ()962k k ω-+=+∈Z ，化简得39()4kk ω+=-∈Z ，又因为2π2T T <<，即2π4π2π||||ωω<<，所以1||2ω<<，当且仅当1k =-时1||2ω<<，所以32ω=，最小正周期2π4π||3T ω==.故选C. 8.答案：C解析：5()x y +的通项公式为55(012345)r r r C x y r -=，，，，，，所以1r =时，21433555y C x y x y r x==，，时32333510xC x y x y =，所以33x y 的系数为15. 9.答案：A解析：原式化简得23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-，或2（舍），又(0,π)α∈，所以sin α=10.答案：A解析：设1,AB a O =的半径为r ，球O 的半径为R ，所以2π4πr =，所以2r =，而1r O A ==，所以222114a R OO O A ==+=，所以球O 的表面积为24π64πR =，故选A. 11.答案：D解析：22:(1)(1)4M x y -+-=，因为1||||2||||2||2PAMB PAMS PM AB S PA AM PA =====所以||||PM AB ·最小，即||PM 最小，此时PM 与直线l 垂直，1122PM y x =+：， 直线PM 与直线l 的交点(10)P -，，过直线外一点P 作M 的切线所得切点弦所在直线方程为：210x y ++=，所以选D. 12.答案：B 解析： 13.答案：D解析：由2340x x --<解得14x -<<, 所以{}|14A x x =-<<,又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B ⋂=, 故选：D.14.答案：C解析：因为31+2i i 1+2i i 1i z =+=-=+,所以22112z =+=． 故选：C ． 15.答案：C解析：如图,设,CD a PE b ==,则22224a PO PE OEb =-=-, 由题意212PO ab =,即22142a b ab -=,化简得24()210b b a a -⋅-=, 解得15b a +=(负值舍去). 故选：C.16.答案：A解析：如图,从,,,,O A B C D 5个点中任取3个有 {,,},{,,},{,,},{,,}O A B O A C O A D O B C {,,},{,,},{,,},{,,}O B D O C D A B C A B D {,,},{,,}A C D B C D 共10种不同取法,3点共线只有{,,}A O C 与{,,}B O D 共2种情况, 由古典概型的概率计算公式知, 取到3点共线的概率为21105=. 故选：A.17.答案：D解析：由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近， 因此，最适合作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是ln y a b x =+. 故选：D. 18.答案：B解析：圆2260x y x +-=化为22(3)9x y -+=，所以圆心C 坐标为(3,0)C ，半径为3， 设(1,2)P ，当过点P 的直线和直线CP 垂直时，圆心到过点P 的直线的距离最大，所求的弦长最短，根据弦长公式最小值为229||982CP -=-=. 故选：B. 19.答案：C解析：由图可得：函数图象过点4π,09⎛⎫- ⎪⎝⎭，将它代入函数()f x 可得：4ππcos 096ω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭，又4π,09⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点， 所以4πππ962ω-⋅+=-，解得：32ω=，所以函数()f x 的最小正周期为2π2π4π332T ω===， 故选：C. 20.答案：B解析：由3log 42a =可得3log 42a =，所以49a =， 所以有149a-=，故选：B. 21.答案：C解析：依据程序框图的算法功能可知，输出的n 是满足135100n ++++>的最小正奇数，因为()()211112135110024n n n n -⎛⎫+⨯+⎪⎝⎭++++==+>，解得19n >，所以输出的21n =． 故选：C. 22.答案：D解析：设等比数列{}n a 的公比为q ，则()2123111a a a a q q ++=++=，()232234111112a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==，因此，()5675256781111132a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==.故选：D. 23.答案：B解析：由已知，不妨设12(2,0),(2,0)F F -， 则1,2a c ==，因为121||1||2OP F F ==， 所以点P 在以12F F 为直径的圆上，即12F F P 是以P 为直角顶点的直角三角形， 故2221212||||||PF PF F F +=，即2212||||16PF PF +=，又12||||22PF PF a -==，所以222121212214||||||||2||||162||||PF PF P P F PF PF PF F PF =-=+-=-， 解得12||||6PF PF =，所以12121||||32F F P S PF PF ==△， 故选：B. 24.答案：A解析：设圆1O 半径为r ，球的半径为R ，依题意， 得2π4π,2r r =∴=，由正弦定理可得2sin 6023AB r =︒=，123OO AB ∴==，根据圆截面性质1OO ⊥平面ABC ，222211111,4OO O A R OA OO O A OO r ∴⊥==+=+=，∴球O 的表面积24π64πS R ==.故选：A.25.答案：1 解析： 26.3解析： 27.答案：2 解析： 28.答案：14-解析： 29.答案：1解析：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数7z x y =+即：1177y x z =-+，其中z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最大， 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最大值， 联立直线方程：22010x y x y +-=⎧⎨--=⎩，可得点A 的坐标为：1,0A ，据此可知目标函数的最大值为：max 1701z =+⨯=. 故答案为：1． 30.答案：5解析：由a b ⊥可得0a b ⋅=， 又因为(1,1),(1,24)a b m m =-=+-， 所以1(1)(1)(24)0a b m m ⋅=⋅++-⋅-=， 即5m =， 故答案为：5. 31.答案：2y x =解析：设切线的切点坐标为001(,),ln 1,1x y y x x y x=++'=+， 00001|12,1,2x x y x y x ='=+===，所以切点坐标为(1,2)， 所求的切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =. 故答案为：2y x =. 32.答案：7解析：2(1)31n n n a a n ++-=-，当n 为奇数时，231n n a a n +=+-；当n 为偶数时，231n n a a n ++=-. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ， 16123416S a a a a a =+++++13515241416()()a a a a a a a a =+++++++111111(2)(10)(24)(44)(70)a a a a a a =++++++++++ 11(102)(140)(5172941)a a ++++++++ 118392928484540a a =++=+=，17a ∴=.故答案为：7.33.答案：(1)2q =-；(2)1(31)(2)99nn n S +-=-.解析：(1)设{}n a 的公比为q ，由题设得1232a a a =+，即21112a a q a q =+. 所以220q q +-=，解得1q =(舍去)，2q =-. 故{}n a 的公比为2-. (2)记n S 为{}n na 的前n 项和.由(1)及题设可得，1(2)n n a -=-.所以112(2)(2)n n S n -=+⨯-++⨯-，21222(2)(1)(2)(2)n n n S n n --=-+⨯-++-⨯-+⨯-.可得2131(2)(2)(2)(2)n n n S n -=+-+-++--⨯-1(2)(2)3nn n --=-⨯-.所以1(31)(2)99nn n S +-=-.34.答案：(1)见解析；.解析：(1)设DO a =，由题设可得,,PO AO AB a =，2PA PB PC a ===. 因此222PA PB AB +=，从而PA PB ⊥. 又222PA PC AC +=，故PA PC ⊥. 所以PA ⊥平面PBC .(2)以O 为坐标原点，OE 的方向为y 轴正方向，OE 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.由题设可得312(0,1,0),(0,1,0),,0,2E A C P ⎛⎫⎛- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭. 所以312,,0,0,1,22EC EP ⎛⎫⎛=--=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭. 设(,,)x y z =m 是平面PCE 的法向量，则 0,0,EP EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即20,310.2y y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 可取32⎛= ⎝m . 由(1)知2AP ⎛= ⎝⎭是平面PCB 的一个法向量，记n AP =, 则25cos ,||||⋅==⋅n m n m n m所以二面角B PC E --. 35.答案：(1)116；(2)34；(3)716. 解析：(1)甲连胜四场的概率为116. (2)根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛. 比赛四场结束，共有三种情况： 甲连胜四场的概率为116； 乙连胜四场的概率为116； 丙上场后连胜三场的概率为18.所以需要进行第五场比赛的概率为11131161684---=. (3)丙最终获胜，有两种情况：比赛四场结束且丙最终获胜的概率为18；比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为111,,1688. 因此丙最终获胜的概率为111178168816+++=.36.答案：(1)2219x y +=；(2)见解析.解析：(1)由题设得(,0),(,0),(0,1)A a B a G -.则(1)(1)AG a GB a ==-,,,.由8AG GB ⋅=得218a -=，即3a =. 所以E 的方程为2219x y +=.(2)设()()1122,,,,(6,)C x y D x y P t .若0t ≠，设直线CD 的方程为x my n =+，由题意可知33n -<<. 由于直线PA 的方程为(3)9t y x =+，所以()1139ty x =+.直线PB 的方程为(3)3t y x =-，所以()2233ty x =-.可得()()1221333y x y x -=+.由于222219x y +=，故()()2222339x x y +-=-，可得()()12122733y y x x =-++，即 ()()22121227(3)(3)0m y ym n y y n ++++++=.①将x my n =+代入2219x y +=得()2229290my mny n +++-=.所以212122229,99mn n y y y y m m -+=-=++. 代入①式得()()()22222792(3)(3)90m n m n mn n m +--++++=. 解得3n =-(舍去)，32n =. 故直线CD 的方程为32x my =+，即直线CD 过定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭. 若0t =，则直线CD 的方程为0y =，过点3,02⎛⎫⎪⎝⎭.综上，直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭.37.答案：(1)见解析；(2)27e ,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 解析：(1)当1a =时，2()e x f x x x =+-，)e (1'2x f x x =+-.故当(,0)x ∈-∞时，)'(0f x <；当(0,)x ∈+∞时，)'(0f x >.所以()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞单调递增. (2)31()12f x x ≥+等价于3211e 12x x ax x -⎛⎫-++≤ ⎪⎝⎭. 设函数321()1e (0)2x g x x ax x x -⎛⎫=-++≥ ⎪⎝⎭，则32213()121'e 22x g x x ax x x ax -⎛⎫=--++-+- ⎪⎝⎭21(23)42e 2x x x a x a -⎡⎤=--+++⎣⎦ 1(21)(2)e 2x x x a x -=----.(i)若210a +≤，即12a ≤-，则当(0,2)x ∈时，)'(0g x >.所以()g x 在(0,2)单调递增，而(0)1g =，故当(0,2)x ∈时，()1g x >，不合题意.(ii)若0212a <+<，即1122a -<<，则当(0,21)(2,)x a ∈+⋃+∞时，)'(0g x <；当(21,2)x a ∈+时，)'(0g x >.所以()g x 在(0,21),(2,)a ++∞单调递减，在(21,2)a +单调递增.由于(0)1g =，所以()1g x ≤当且仅当2(2)(74)e 1g a -=-≤，即27e 4a -≥.所以当27e 142a -≤<时，()1g x ≤.(iii)若212a +≥，即12a ≥，则31()1e 2x g x x x -⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭.由于27e 10,42⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭，故由()ii 可得311e 12x x x -⎛⎫++ ⎪⎝≤⎭. 故当12a ≥时，()1g x ≤. 综上，a 的取值范围为27e [,)4-+∞.38.答案：(1)曲线1C 是圆心为坐标原点，半径为1的圆；(2)11,44⎛⎫⎪⎝⎭.解析：(1)当1k =时，414cos ,:sin ,x t C y t ⎧=⎨=⎩消去参数t 得221x y +=，故曲线1C 是圆心为坐标原点，半径为1的圆.(2)当4k =时，414cos ,:sin ,x t C y t ⎧=⎨=⎩消去参数t 得1C1=, 2C 的直角坐标方程为41630x y -+=.由1,41630x y =-+=⎪⎩解得1,41.4x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故1C 与2C 的公共点的直角坐标为11()44，.39.答案：(1)见解析；(2)7,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.解析：(1)由题设知13(),31()51(1)33(1).x x f x x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪=--<≤⎨⎪+>⎪⎪⎩，，，，()y f x =的图像如图所示.(2) 函数()y f x =的图像向左平移1个单位长度后得到函数(1)y f x =+的图像.()y f x =的图像与(1)y f x =+的图像的交点坐标为711,66⎛⎫-- ⎪⎝⎭.由图像可知当且仅当76x <-时，()y f x =的图像在()1y f x =+的图像上方.故不等式()()1f x f x >+的解集为7,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.40.答案：(1)由试加工产品等级的频数分布表知， 甲分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率的估计值为400.4100=； 乙分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率的估计值为280.28100=. (2)由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为 65402520520752015100⨯+⨯-⨯-⨯=.由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为 70283017034702110100⨯+⨯+⨯-⨯=.比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润，应选甲分厂承接加工业务. 解析：41.答案：(1)由题设及余弦定理得2222832cos150c c =+-⨯︒.解得2c =-(舍去)，2c =，从而a =.ABC 的面积为12sin1502⨯⨯︒=(2)在ABC 中，18030A B C C =︒--=︒-，所以 ()()sin sin 30sin 30A C C C C +=-+=︒+︒.故()sin 30C ︒+=. 而030C ︒<<︒，所以3045C ︒+=︒，故15C =︒. 解析：42.答案：(1)由题设可知，PA PB PC ==.由于ABC 是正三角形，故可得PAC PAB ≅，PAC PBC ≅. 又90APC ∠=︒，故90,90APB BPC ∠=︒∠=︒.从而,PB PA PB PC ⊥⊥，故PB ⊥平面PAC ，所以平面PAB ⊥平面PAC . (2)设圆锥的底面半径为r ，母线长为l .由题设可得222rl l r =-=.解得1,r l ==.从而3AB =.由(1)可得222PA PB AB +=，故6PA PB PC ===. 所以三棱锥P ABC -的体积为31111663232PA PB PC ⎛⎫⨯⨯⨯⨯=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭.解析：43.答案：(1)当1a =时，()e 2x f x x =--，则1'()e x f x =-. 当0x <时，)'(0f x <；当0x >时，)'(0f x >. 所以()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增. (2))'(e x f x a =-.当0a ≤时，()'0f x >，所以()f x 在(),-∞+∞单调递增，故()f x 至多存在1个零点，不合题意.当0a >时，由()'0f x =可得ln x a =，当(),ln x a ∈-∞时，()'0f x <；当()ln ,x a ∈+∞时，()'0f x >，所以()f x 在(),ln a -∞单调递减，在()ln ,a +∞单调递增，故当ln x a =时，()f x 取得量小值，最小值为()()ln 1ln f a a a =-+.()i 若10ea <≤，则(ln )0f a ≥，()f x 在(,)-∞+∞至多存在1个零点，不合题意.()ii 若1ea >，则(ln )0f a <.由于2(2)e 0f --=>，所以()f x 在(,ln )a -∞存在唯一零点.由(1)知，当2x >时，2e 20x -->，所以当4x >且()2ln 2x a >时，22()e e (2)x x f x a x =⋅-+ ()ln 2e2(2)2a x a x ⎛⎫>⋅+-+ ⎪⎝⎭2a =0>.故()f x 在(ln ,)a +∞存在唯一零点.从而()f x 在(,)-∞+∞有两个零点. 综上，a 的取值范围是1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.解析：44.答案：(1)由题设得(,0),(,0),(0,1)A a B a G -.则(1)(1)AG a GB a ==-,,,.由8AG GB ⋅=得218a -=，即3a =. 所以E 的方程为2219x y +=.(2)设()()1122,,,,(6,)C x y D x y P t .若0t ≠，设直线CD 的方程为x my n =+，由题意可知33n -<<. 由于直线PA 的方程为(3)9t y x =+，所以()1139ty x =+.直线PB 的方程为(3)3t y x =-，所以()2233ty x =-.可得()()1221333y x y x -=+.由于222219x y +=，故()()2222339x x y +-=-，可得()()12122733y y x x =-++，即 ()()22121227(3)(3)0m y ym n y y n ++++++=.①将x my n =+代入2219x y +=得()2229290my mny n +++-=.所以212122229,99mn n y y y y m m -+=-=++. 代入①式得()()()22222792(3)(3)90m n m n mn n m +--++++=. 解得3n =-(舍去)，32n =. 故直线CD 的方程为32x my =+，即直线CD 过定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭.若0t =，则直线CD 的方程为0y =，过点3,02⎛⎫⎪⎝⎭.综上，直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭.解析：45.答案：(1)当1k =时，414cos ,:sin ,x t C y t ⎧=⎨=⎩消去参数t 得221x y +=，故曲线1C 是圆心为坐标原点，半径为1的圆.(2)当4k =时，414cos ,:sin ,x t C y t ⎧=⎨=⎩消去参数t 得1C1=, 2C 的直角坐标方程为41630x y -+=.由1,41630x y =-+=⎪⎩解得1,41.4x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故1C 与2C 的公共点的直角坐标为11()44，.解析：46.答案：(1)由题设知 13(),31()51(1)33(1).x x f x x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪=--<≤⎨⎪+>⎪⎪⎩，，，，()y f x =的图像如图所示.(2) 函数()y f x =的图像向左平移1个单位长度后得到函数(1)y f x =+的图像.()y f x =的图像与(1)y f x =+的图像的交点坐标为711,66⎛⎫-- ⎪⎝⎭.由图像可知当且仅当76x <-时，()y f x =的图像在()1y f x =+的图像上方.故不等式()()1f x f x >+的解集为7,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.解析：。