山东省日照第一中学2021届高三4月“圆梦之旅”(九)数学(文)试题
- 格式:docx
- 大小:749.83 KB
- 文档页数:18
2022-2021学年山东省威海市乳山一中高三(上)其次次自主练习数学试卷(文科)一、选择题:(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.)1.设U={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={2,3,4},则下列结论中正确的是()A.A⊆B B.A∩B={2}C.A∪B={1,2,3,4,5} D.A∩∁U B={1}2.(若a=0.53,b=30.5,c=log30.5,则a,b,c,的大小关系是()A.b>a>c B.b>c>a C.a>b>c D.c>b>a3.下列命题中,假命题是()A.∀x∈R,2x﹣1>0 B.∃x∈R,sinx=C.∀x∈R,x2﹣x+1>0 D.∃x∈R,lgx=24.f(x)=﹣+log2x的一个零点落在下列哪个区间()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)5.若函数y=f(x)是函数y=a x(a>0,且a≠1)的反函数,且f(2)=1,则f(x)=()A.log2x B .C .D.2x﹣26.函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|的图象大致是()A .B .C .D .7.已知函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+2)=f(x),且x∈(﹣1,1]时,f(x)=|x|,则y=f(x)与y=log7x 的交点的个数为()A.4 B.5 C.6 D.78.若函数f(x)=lg(x2+ax﹣a﹣1)在区间[2,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是()A.(﹣3,+∞)B.[﹣3,+∞)C.(﹣4,+∞)D.[﹣4,+∞)9.曲线y=e x在点(2,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为()A .e2B.2e2C.e2D .e210.设函数f(x),g(x)在[a,b]上均可导,且f′(x)<g′(x),则当a<x<b时,有()A.f(x)>g(x)B.f(x)+g(a)<g(x)+f(a) C.f(x)<g(x)D.f(x)+g(b)<g(x)+f(b)二、填空题:(本大题5小题,每小题5分,共25分)11.函数f(x)=(m2﹣m﹣1)是幂函数,且在区间(0,+∞)上为减函数,则实数m 的值为.12.= .13.函数f(x)=x3+3ax2+3[(a+2)x+1]既有极大值又有微小值,则a的取值范围是.14.已知函数f(x)=若f(x)在(﹣∞,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围为.15.定义在(﹣∞,+∞)上的偶函数f(x)满足f(x+1)=﹣f(x),且在[﹣1,0]上是增函数,下面是关于函数f(x)的推断:①f(x)的图象关于点P(,0)对称;②f(x)的图象关于直线x=1对称;③f(x)在[0,1]上是增函数;④f(2)=f(0).其中正确的推断有.(把你认为正确的推断都填上)三、解答题:(本大题共6题,满分75分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤)16.已知函数f(x)=的定义域为集合A,B={x|x<a}.(1)若A⊆B,求实数a的取值范围;(2)若全集U={x|x≤4},a=﹣1,求∁U A及A∩(∁U B).17.已知a∈R,设命题p:函数f(x)=a x是R上的单调递减函数;命题q:函数g(x)=lg(2ax2+2ax+1)的定义域为R.若“p∨q”是真命题,“p∧q”是假命题,求实数a的取值范围.18.已知函数(1)争辩函数f(x)的奇偶性,并说明理由;(2)若函数f(x)在x∈[3,+∞)上为增函数,求a的取值范围.19.已知函数是定义在(﹣1,1)上的奇函数,且.(1)求函数f(x)的解析式;(2)推断f(x)的单调性,并证明你的结论;(3)解不等式f(t﹣1)+f(t)<0.20.有两个投资项目A,B,依据市场调查与猜测,A项目的利润与投资成正比,其关系如图甲,B项目的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图乙.(注:利润与投资单位:万元)(1)分别将A,B两个投资项目的利润表示为投资B={x|x<a}(万元)的函数关系式;(2)现将x(0≤x≤10)万元投资A项目,10﹣x万元投资B项目.h(x)表示投资A项目所得利润与投资B 项目所得利润之和.求h(x)的最大值,并指出x为何值时,h(x)取得最大值.21.已知函数f(x)=x2+ax﹣lnx,a∈R.(1)若函数f(x)在[1,2]上是减函数,求实数a的取值范围;(2)令g(x)=f(x)﹣x2,是否存在实数a,当x∈(0,e](e是自然常数)时,函数g(x)的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.四、附加题22.已知函数f(x)=x3﹣x﹣.(Ⅰ)推断的单调性;(Ⅱ)求函数y=f(x)的零点的个数;(Ⅲ)令g(x)=+lnx,若函数y=g(x)在(0,)内有极值,求实数a的取值范围.2022-2021学年山东省威海市乳山一中高三(上)其次次自主练习数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题:(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.)1.设U={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={2,3,4},则下列结论中正确的是()A.A⊆B B.A∩B={2}C.A∪B={1,2,3,4,5} D.A∩∁U B={1}考点:补集及其运算;交集及其运算.专题:计算题.分析:先求出集合的补集,看出两个集合的公共元素,做出两个集合的交集,得到结果.解答:解:∵∁U B={1,5},A={1,2,3},∴A∩∁U B={1}故选D.点评:本题考查两个集合之间的运算,是一个基础题,本题解题的关键是先写出集合的补集,在求两个集合的交集.2.(若a=0.53,b=30.5,c=log30.5,则a,b,c,的大小关系是()A.b>a>c B.b>c>a C.a>b>c D.c>b>a考点:对数值大小的比较.专题:函数的性质及应用.分析:利用指数函数与对数函数的单调性即可得到.解答:解:∵0<a=0.53<1,b=30.5>1,c=log30.5<0,∴b>a>c.故选:A.点评:本题考查了指数函数与对数函数的单调性,属于基础题.3.下列命题中,假命题是()A.∀x∈R,2x﹣1>0 B.∃x∈R,sinx=C.∀x∈R,x2﹣x+1>0 D.∃x∈R,lgx=2考点:特称命题;全称命题;命题的真假推断与应用.专题:简易规律.分析: 1.先理解特称命题与全称命题及存在量词与全称量词的含义,再进行推断.2.用符号“∀x”表示“对任意x”,用符号“∃x”表示“存在x”.含有全称量词的命题就称为全称命题,含有存在量词的命题称为特称命题.解答:解:由指数函数y=2x的图象与性质易知,∀x∈R,2x﹣1>0,故选项A为真命题.由正弦函数y=sinx的有界性知,﹣1≤sinx≤1,所以不存在x∈R,使得sinx=成立,故选项B为假命题.由x2﹣x+1=≥>0知,∀x∈R,x2﹣x+1>0,故选项C为真命题.由lgx=2知,x=102=100,即存在x=100,使lgx=2,故选项D为真命题.综上知,答案为B.点评: 1.像“全部”、“任意”、“每一个”等量词,常用符号“∀”表示;“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词,常用符号“∃”表示.全称命题的一般形式为:∀x∈M,p(x);特称命题的一般形式为:∃x0∈M,p(x0).2.推断全称命题为真,需由条件推出结论,留意应满足条件的任意性;推断全称命题为假,只需依据条件举出一个反例即可.推断特称命题为真,只需依据条件举出一个正例即可;推断特称命题为假,需由条件推出冲突才行.4.f(x)=﹣+log2x的一个零点落在下列哪个区间()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)考点:函数零点的判定定理.专题:计算题.分析:依据函数的实根存在定理,要验证函数的零点的位置,只要求出函数在区间的两个端点上的函数值,得到结果.解答:解:依据函数的实根存在定理得到f(1)•f(2)<0.故选B.点评:本题考查函数零点的判定定理,本题解题的关键是做出区间的两个端点的函数值,本题是一个基础题.5.若函数y=f(x)是函数y=a x(a>0,且a≠1)的反函数,且f(2)=1,则f(x)=()A.log2x B .C .D.2x﹣2考点:反函数.专题:计算题.分析:求出y=a x(a>0,且a≠1)的反函数即y=f(x),将已知点代入y=f(x),求出a,即确定出f(x).解答:解:函数y=a x(a>0,且a≠1)的反函数是f(x)=log a x,又f(2)=1,即log a2=1,所以,a=2,故f(x)=log2x,故选A.点评:本题考查指数函数与对数函数互为反函数、考查利用待定系数法求函数的解析式.6.函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|的图象大致是()A .B .C .D .考点:函数的图象.专题:函数的性质及应用.分析:依据函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|知必过点(1,1),再对函数进行求导观看其导数的符号进而知原函数的单调性,得到答案.解答:解:由y=e|lnx|﹣|x﹣1|可知:函数过点(1,1),当0<x<1时,y=e﹣lnx﹣1+x=+x﹣1,y′=﹣+1<0.∴y=e﹣lnx﹣1+x为减函数;若当x>1时,y=e lnx﹣x+1=1,故选:D.点评:本题主要考查函数的图象,娴熟把握函数的求导与函数单调性的关系,是解答的关键.7.已知函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+2)=f(x),且x∈(﹣1,1]时,f(x)=|x|,则y=f(x)与y=log7x 的交点的个数为()A.4 B.5 C.6 D.7考点:函数的周期性;抽象函数及其应用.专题:函数的性质及应用.分析:先依据函数的周期性画出函数f(x)的图象,再画出对数函数y=log7x 的图象,数形结合即可得交点个数.解答:解:∵f(﹣x+2)=f(﹣x),可得 f(x+2)=f(x),即函数f(x)为以2为周期的周期函数,又∵x∈[﹣1,1]时,f(x)=|x|,∴函数f(x)的图象如图,函数y=log7x的图象如图,数形结合可得交点共有6个.故选:C.点评:本题考查了数形结合的思想方法,函数周期性及对数函数图象的性质,解题时要精确推理,认真画图,属于中档题.8.若函数f(x)=lg(x2+ax﹣a﹣1)在区间[2,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是()A.(﹣3,+∞)B.[﹣3,+∞)C.(﹣4,+∞)D.[﹣4,+∞)考点:复合函数的单调性.专题:函数的性质及应用.分析:由复合函数为增函数,且外函数为增函数,则只需内函数在区间[2,+∞)上单调递增且其最小值大于0,由此列不等式组求解a的范围.解答:解:令t=x2+ax﹣a﹣1,∵函数f(x)=lg(x2+ax﹣a﹣1)在区间[2,+∞)上单调递增,又外层函数y=lgt为定义域内的增函数,∴需要内层函数t=x2+ax﹣a﹣1在区间[2,+∞)上单调递增,且其最小值大于0,即,解得:a>﹣3.∴实数a的取值范围是(﹣3,+∞).故选:A.点评:本题考查了复合函数的单调性,关键是留意真数大于0,是中档题.9.曲线y=e x在点(2,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为()A .e2B.2e2C.e2D .e2考点:利用导数争辩曲线上某点切线方程.专题:计算题.分析:欲切线与坐标轴所围成的三角形的面积,只须求出切线在坐标轴上的截距即可,故先利用导数求出在x=2处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.最终求出切线的方程,从而问题解决.解答:解析:依题意得y′=e x,因此曲线y=e x在点A(2,e2)处的切线的斜率等于e2,相应的切线方程是y﹣e2=e2(x﹣2),当x=0时,y=﹣e2即y=0时,x=1,∴切线与坐标轴所围成的三角形的面积为:S=×e2×1=.故选D.点评:本小题主要考查直线的方程、三角形的面积、导数的几何意义、利用导数争辩曲线上某点切线方程等基础学问,考查运算求解力量.属于基础题.10.设函数f(x),g(x)在[a,b]上均可导,且f′(x)<g′(x),则当a<x<b时,有()A.f(x)>g(x)B.f(x)+g(a)<g(x)+f(a) C.f(x)<g(x)D.f(x)+g(b)<g(x)+f(b)考点:导数的运算.专题:函数的性质及应用.分析:构造函数,设F(x)=f(x)﹣g(x),由于函数f(x),g(x)在[a,b]上均可导,且f′(x)<g′(x),所以F(x)在[a,b]上可导,并且F′(x)<0,得到函数的单调性,利用单调性得到F(a)<F(x)<F(b),即f(x)﹣g(x)<f(a)﹣g(a),得到选项.解答:解:设F(x)=f(x)﹣g(x),由于函数f(x),g(x)在[a,b]上均可导,且f′(x)<g′(x),所以F(x)在[a,b]上可导,并且F′(x)<0,所以F(x)在[a,b]上是减函数,所以F(a)<F(x)<F(b),即f(x)﹣g(x)<f(a)﹣g(a),f(x)+g(a)<g(x)+f(a);故选B.点评:本题考查了函数的单调性,关键构造函数,利用求导推断函数的单调性.二、填空题:(本大题5小题,每小题5分,共25分)11.函数f(x)=(m2﹣m﹣1)是幂函数,且在区间(0,+∞)上为减函数,则实数m 的值为 2 .考点:幂函数的单调性、奇偶性及其应用;幂函数的概念、解析式、定义域、值域.专题:函数的性质及应用.分析:依据幂函数的定义,令幂的系数为1,列出方程求出m的值,将m的值代入f(x),推断出f(x)的单调性,选出符和题意的m的值.解答:解:f(x)=(m2﹣m﹣1)xm2﹣2m﹣3是幂函数∴m2﹣m﹣1=1解得m=2或m=﹣1当m=2时,f(x)=x﹣3在x∈(0,+∞)上是减函数,满足题意.当m=﹣1时,f(x)=x0在x∈(0,+∞)上不是减函数,不满足题意.故答案为:2.点评:解决幂函数有关的问题,常利用幂函数的定义:形如y=xα(α为常数)的为幂函数;幂函数的单调性与指数符号的关系.是基础题.12.= .考点:对数的运算性质.专题:函数的性质及应用.分析:利用对数的运算性质把要求的式子化为 lg,进一步运算求得结果.解答:解:∵=lg﹣lg+lg=lg﹣lg2=lg﹣2lg2=lg=lg=lg=lg10=,故答案为:.点评:本题主要考查对数的运算性质的应用,属于基础题.13.函数f(x)=x3+3ax2+3[(a+2)x+1]既有极大值又有微小值,则a的取值范围是{a|a<﹣1或a>2} .考点:函数在某点取得极值的条件.专题:导数的综合应用.分析:由已知得f′(x)=3x2+6ax+3(a+2),由题意知△=36a2﹣36(a+2)>0,由此能求出a的取值范围.解答:解:∵f(x)=x3+3ax2+3[(a+2)x+1],∴f′(x)=3x2+6ax+3(a+2),由题意知△=36a2﹣36(a+2)>0,解得a<﹣1或a>2.故答案为:{a|a<﹣1或a>2}.点评:本题考查函数的极大值和微小值的求法,考查实数的取值范围的求法,是中档题,解题时要认真审题,留意导数性质的合理运用.14.已知函数f(x)=若f(x)在(﹣∞,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围为2<a≤3 .考点:函数单调性的性质.专题:常规题型.分析:让两段均为增函数且两段的端点值须满足前一段的最大值小于或等于后一段的最小值即可解答:解:∵f(x)在(﹣∞,+∞)上单调递增∴须⇒2<a≤3,故答案为:2<a≤3点评:分段函数在定义域内递增,须每一段递增,且前一段的最大值小于或等于后一段的最小值.15.定义在(﹣∞,+∞)上的偶函数f(x)满足f(x+1)=﹣f(x),且在[﹣1,0]上是增函数,下面是关于函数f(x)的推断:①f(x)的图象关于点P(,0)对称;②f(x)的图象关于直线x=1对称;③f(x)在[0,1]上是增函数;④f(2)=f(0).其中正确的推断有①、②、④.(把你认为正确的推断都填上)考点:奇偶函数图象的对称性.专题:规律型;函数的性质及应用.分析:由f(﹣x)=f(x),f(x+1)=﹣f(x)可得f(1+x)=﹣f(﹣x),则可求f(x)图象关于点对称;f(x)图象关于y轴(x=0)对称,可得x=1也是图象的一条对称轴,故可推断①②;由f(x)为偶函数且在[﹣1,0]上单增可得f(x)在[0,1]上是减函数;由f(x+1)=﹣f(x)可得f(2+x)=﹣f(x+1)=f(x),故f(2)=f(0).解答:解:由f(x)为偶函数可得f(﹣x)=f(x),由f(x+1)=﹣f(x)可得f(1+x)=﹣f(﹣x),则f (x)图象关于点对称,即①正确;f(x)图象关于y轴(x=0)对称,故x=1也是图象的一条对称轴,故②正确;由f(x)为偶函数且在[﹣1,0]上单增可得f(x)在[0,1]上是减函数,即③错;由f(x+1)=﹣f(x)可得f(2+x)=﹣f(x+1)=f(x),∴f(2)=f(0),即④正确故答案为:①②④点评:本题考查函数的对称性,函数的单调性,函数奇偶性的应用,考查同学分析问题解决问题的力量,是基础题.三、解答题:(本大题共6题,满分75分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤)16.已知函数f(x)=的定义域为集合A,B={x|x<a}.(1)若A⊆B,求实数a的取值范围;(2)若全集U={x|x≤4},a=﹣1,求∁U A及A∩(∁U B).考点:函数的定义域及其求法;交、并、补集的混合运算.专题:计算题.分析:(1)首先求出集合A,依据A⊆B,利用子集的概念,考虑集合端点值列式求得a的范围;(2)直接运用补集及交集的概念进行求解.解答:解:(1)要使函数f(x)=有意义,则,解得:﹣2<x≤3.所以,A={x|﹣2<x≤3}.又由于B={x|x<a},要使A⊆B,则a>3.(2)由于U={x|x≤4},A={x|﹣2<x≤3},所以C U A={x|x≤﹣2或3<x≤4}.又由于a=﹣1,所以B={x|x<﹣1}.所以C U B={﹣1≤x≤4},所以,A∩(C U B)=A={x|﹣2<x≤3}∩{﹣1≤x≤4}={x|﹣1≤x≤3}.点评:本题考查了函数的定义域及其求法,考查了交集和补集的混合运算,求解集合的运算时,利用数轴分析能起到事半功倍的效果,此题是基础题.17.已知a∈R,设命题p:函数f(x)=a x是R上的单调递减函数;命题q:函数g(x)=lg(2ax2+2ax+1)的定义域为R.若“p∨q”是真命题,“p∧q”是假命题,求实数a的取值范围.考点:复合命题的真假.专题:函数的性质及应用;简易规律.分析:本题考查的学问点是复合命题的真假判定,解决的方法是先推断组成复合命题的简洁命题的真假,再依据真值表进行推断.命题p为真命题时,指数函数f(x)=a x的底数0<a<1,命题q为真命题时,对数函数g(x)=lg(2ax2+2ax+1)的真数2ax2+2ax+1>0在R上恒成立,求得0≤a<2.p∨q是真命题,p∧q是假命题,所以p,q一真一假,分类争辩即可.解答:解:当命题p为真命题时,由于函数f(x)=a x是R上的单调递减函数,所以0<a<1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2分)当命题q为真命题时,由于函数g(x)=lg(2ax2+2ax+1)的定义域为R所以2ax2+2ax+1>0在R上恒成立当a=0时,1>0在R上恒成立﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4分)当所以,当命题q为真命题时,0≤a<2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8分)由于p∨q是真命题,p∧q是假命题,所以p,q一真一假当﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(9分)当﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(11分)综上所述a的取值范围是1≤a<2或a=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12分)点评:解题关键是由p∨q是真命题,p∧q是假命题,得p,q一真一假18.已知函数(1)争辩函数f(x)的奇偶性,并说明理由;(2)若函数f(x)在x∈[3,+∞)上为增函数,求a的取值范围.考点:函数奇偶性的推断;函数单调性的性质.专题:计算题.分析:(1)先推断函数的定义域关于原点对称,再利用奇偶函数的定义,留意对参数进行争辩;(2)函数f(x)在x∈[3,+∞)上为增函数,可转化为导函数大于等于0在x∈[3,+∞)上恒成立,从而可解.解答:解:(1)函数的定义域关于原点对称,①当a=0时,函数为偶函数;②当a≠0时,函数非奇非偶.(2)∵函数f(x)在x∈[3,+∞)上为增函数∴在x∈[3,+∞)上恒成立∴∴点评:本题以函数为载体,考查函数的性质,考查恒成立问题,关键是把握定义,利用导数解决恒成立问题.19.已知函数是定义在(﹣1,1)上的奇函数,且.(1)求函数f(x)的解析式;(2)推断f(x)的单调性,并证明你的结论;(3)解不等式f(t﹣1)+f(t)<0.考点:奇偶性与单调性的综合.专题:函数的性质及应用.分析:(1)由f(0)=0,解得b的值,再依据f ()=﹣,解得a的值,从而求得f(x)的解析式.(2)设﹣1<x1<x2<1,求得f(x1)﹣f(x2)=>0,即f(x1)﹣f(x2)>0,可得函数f(x)在(﹣1,1)上是减函数.(3)由不等式f(t﹣1)+f(t)<0,可得f(t﹣1)<f(﹣t),可得,由此求得t的范围解答:解:(1)由奇函数的性质可得f(0)=0,解得b=0,∴f(x)=.再依据f ()===﹣,解得a=﹣1,∴f(x)=.(2)设﹣1<x1<x2<1,∵f(x1)﹣f(x2)=﹣==,而由题设可得 x2﹣x1>0,1﹣x1x2>0,∴>0,故 f(x1)﹣f(x2)>0,故函数f(x)在(﹣1,1)上是减函数.(3)由不等式f(t﹣1)+f(t)<0,可得f(t﹣1)<﹣f(t)=f(﹣t),∴,解得<t<1,故t 的范围为(,1).点评:本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合应用,属于中档题.20.有两个投资项目A,B,依据市场调查与猜测,A项目的利润与投资成正比,其关系如图甲,B项目的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图乙.(注:利润与投资单位:万元)(1)分别将A,B两个投资项目的利润表示为投资B={x|x<a}(万元)的函数关系式;(2)现将x(0≤x≤10)万元投资A项目,10﹣x万元投资B项目.h(x)表示投资A项目所得利润与投资B 项目所得利润之和.求h(x)的最大值,并指出x为何值时,h(x)取得最大值.考点:函数模型的选择与应用;函数解析式的求解及常用方法.专题:计算题;应用题;函数的性质及应用.分析:(1)由题意,设,代入求出参数值即可,(2)化简,利用换元法可得y=.从而求最值.解答:解:(1)设投资为x万元,A项目的利润为f(x)万元,B项目的利润为g(x)万元.由题设.由图知.又∵,∴.从而.(2)令=.当,答:当A项目投入3.75万元,B项目投入6.25万元时,最大利润为万元.点评:本题考查了同学将实际问题转化为数学问题的力量及换元法与配方法求函数的最值,属于中档题.21.已知函数f(x)=x2+ax﹣lnx,a∈R.(1)若函数f(x)在[1,2]上是减函数,求实数a的取值范围;(2)令g(x)=f(x)﹣x2,是否存在实数a,当x∈(0,e](e是自然常数)时,函数g(x)的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.考点:函数单调性的性质.专题:分类争辩;转化思想.分析:(1)由函数f(x)在[1,2]上是减函数得在[1,2]上恒成立,即有h(x)=2x2+ax﹣1≤0成立求解.(2)先假设存在实数a ,求导得=,a在系数位置对它进行争辩,结合x∈(0,e]分当a≤0时,当时,当时三种状况进行.解答:解:(1)在[1,2]上恒成立,令h(x)=2x2+ax﹣1,有得,得(6分)(2)假设存在实数a,使g(x)=ax﹣lnx(x∈(0,e])有最小值3,=(7分)当a≤0时,g(x)在(0,e]上单调递减,g(x)min=g(e)=ae﹣1=3,(舍去),∴g(x)无最小值.当时,g(x )在上单调递减,在上单调递增∴,a=e2,满足条件.(11分)当时,g(x)在(0,e]上单调递减,g(x)min=g(e)=ae﹣1=3,(舍去),∴f(x)无最小值.(13分)综上,存在实数a=e2,使得当x∈(0,e]时g(x)有最小值3.(14分)点评:本题主要考查转化化归、分类争辩等思想的应用,函数若为单调函数,则转化为不等式恒成立问题,解决时往往又转化求函数最值问题.四、附加题22.已知函数f(x)=x3﹣x ﹣.(Ⅰ)推断的单调性;(Ⅱ)求函数y=f(x)的零点的个数;(Ⅲ)令g(x)=+lnx,若函数y=g(x)在(0,)内有极值,求实数a的取值范围.考点:利用导数争辩函数的单调性;利用导数争辩函数的极值;利用导数求闭区间上函数的最值.专题:导数的综合应用.分析:(Ⅰ)化简,并求导数,留意定义域:(0,+∞),求出单调区间;(Ⅱ)运用零点存在定理说明在(1,2)内有零点,再说明f(x)在(0,+∞)上有且只有两个零点;(Ⅲ)对g(x)化简,并求出导数,整理合并,再设出h(x)=x2﹣(2+a)x+1,说明h(x)=0的两个根,有一个在(0,)内,另一个大于e,由于h(0)=1,通过h ()>0解出a即可.解答:解:(Ⅰ)设φ(x)==x2﹣1﹣(x>0),则φ'(x)=2x+>0,∴φ(x)在(0,+∞)上单调递增;(Ⅱ)∵φ(1)=﹣1<0,φ(2)=3﹣>0,且φ(x)在(0,+∞)上单调递增,∴φ(x)在(1,2)内有零点,又f(x)=x3﹣x ﹣=x•φ(x),明显x=0为f(x)的一个零点,∴f(x)在(0,+∞)上有且只有两个零点;(Ⅲ)g(x)=+lnx=lnx+,则g'(x)==,设h(x)=x2﹣(2+a)x+1,则h(x)=0有两个不同的根x1,x2,且有一根在(0,)内,不妨设0<x1<,由于x1x2=1,即x2>e,由于h(0)=1,故只需h ()<0即可,即﹣(2+a )+1<0,解得a>e+﹣2,∴实数a的取值范围是(e+﹣2,+∞).点评:本题主要考查导数在函数中的综合运用:求单调区间,求极值,同时考查零点存在定理和二次方程实根的分布,是一道综合题.。
2021届江西省临川第一中学暨临川一中实验学校高三第一次月考数学(文)试题一、单选题1.若集合{P x N x =∈≤,a = )A .aP B .{}a P ∈C .{}a P ⊆D .a P ∉【答案】D【解析】由a N =,结合元素与集合、集合与集合的关系即可得解. 【详解】因为a N =,集合{P x N x =∈≤,所以a P ∉,{}a P ⊆/. 故选:D. 【点睛】本题考查了元素与集合、集合与集合关系的判断,属于基础题.2. 设x ∈R ,则“38x >”是“2x ” 的A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析:求解三次不等式和绝对值不等式,据此即可确定两条件的充分性和必要性是否成立即可.详解:求解不等式38x >可得2x >, 求解绝对值不等式2x可得2x >或2x <-,据此可知:“38x >”是“||2x >” 的充分而不必要条件. 本题选择A 选项.点睛:本题主要考查绝对值不等式的解法,充分不必要条件的判断等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 3.已知1275a -⎛⎫= ⎪⎝⎭,1357b ⎛⎫= ⎪⎝⎭,25log 7c =,则a 、b 、c 的大小关系是( ). A .b a c << B .c b a <<C .c a b <<D .b c a <<【答案】C【解析】先与0比较,c 小于0,再a 与b 比较,即可判断大小. 【详解】12125757a -⎛⎫=⎛⎫= ⎝⎭⎪⎭⎪⎝<135()7b =,因此c a b << 故选:C. 【点睛】本题考查比较大小、指数函数单调性、对数函数单调性,考查基本分析判断能力,属基础题.4.已知集合{}0M x x a =-=,{}10N x ax =-=,若M N N =,则实数a 的值是( ) A .1 B .1-C .1或1-D .以上答案都不对 【答案】D 【解析】由M N N =,转化为N M ,分N =∅和 N ≠∅两种情况讨论求解.【详解】已知集合{}{}0M x x a a =-==,{}10N x ax =-=, 因为MN N =,所以N M ,当N =∅时,0a =,符合题意; 当N ≠∅时,{}110N x ax a ⎧⎫=-==⎨⎬⎩⎭,则1a a=,解得1a =±, 综上:实数a 的值是0或1或-1 故选:D 【点睛】本题主要考查集合的基本运算和集合的基本关系的应用,还考查了转化求解问题的能力,属于基础题.5.若函数()f x 是定义在R 上的奇函数,且()()2f x f x -=-,则()6f -=( ) A .0B .1-C .1D .2【答案】A【解析】本题先根据题意判断函数是周期为4的周期函数,再根据奇函数求解即可. 【详解】解:∵()f x 是R 上的奇函数,∴()00f =, ∵()()2f x f x -=-,∴()()(4)(2)22(())()f x f x f x f x f x -=--=--=--=, ∴函数()f x 的周期为4, ∴()()()6200f f f -=-=-=. 故选:A . 【点睛】本题考查函数的奇偶性与函数的周期性,是基础题.6.平面向量a 与b 的夹角为60︒,()2,0,1a b ==,则2+a b 等于( ) A .22 B .23C .12D .10【答案】B【解析】因为||2,||1a b ==,a 与b 的夹角为60︒,故||||cos 601a b a b ⋅=⋅=,则244423a b +=++=,应选答案B .7.高为H ,满缸水量为V 的鱼缸的轴截面如图所示,若鱼缸水深为h 时水的体积为v ,则函数()v f h =的大致图像是( )A .B .C .D .【答案】B【解析】由函数的自变量为水深h ,函数值为水的体积,得到水深h 越大,水的体积v 就越大,而且增的速度先慢后快再慢的,即可求解. 【详解】由图可知水深h 越大,水的体积v 就越大,故函数()v f h =是个增函数,故排除A ,C 项,由鱼缸形状可知,下面细中间粗,上面较细,所以随着水深的增加,体积的变化的速度是先慢后快再慢的,所以B 正确. 故选:B 【点睛】本题主要考查了函数的应用问题,重点考查分析问题和解决问题的能力.8.已知直线l 过点(0,2)-,当直线l 与圆222x y y +=相交时,其斜率k 的取值范围是( ) A.(-B.(,)-∞-⋃+∞C.44⎛- ⎝⎭D.,44⎛⎛⎫-∞-⋃+∞⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B【解析】由圆的方程可得圆的圆心和半径,再由直线与圆相交的性质即可得1d =<,即可得解.【详解】圆222x y y +=的方程可变为()2211x y +-=,圆心为()0,1,半径为1,因为直线l 过点(0,2)-,且斜率为k ,所以直线l 的方程为2y kx +=即20kx y --=, 若要使直线l 与圆相交,则圆心到直线l的距离1d =<,解得((),k ∈-∞-⋃+∞. 故选:B. 【点睛】本题考查了直线与圆位置关系的应用,考查了运算求解能力,属于基础题.9.已知函数25(1)()(1)x ax x f x a x x⎧---⎪=⎨>⎪⎩,,是R 上的增函数,则a 的取值范围是( )A .30a -<B .32a --C .2a -D .以上答案都不对 【答案】B【解析】设2()5(1)g x x ax x =---,()(1)ah x x x =>,由25(1)()(1)x ax x f x a x x⎧---⎪=⎨>⎪⎩,,在R 上是增函数,则()g x 在1x ≤时单调递增,()h x 在()1,+∞上递增,且()(1)1g h ≤,从而可求. 【详解】函数25,(1)(),(1)x ax x f x a x x⎧---⎪=⎨>⎪⎩是R 上的增函数,设2()5(1)g x x ax x =---,,()(1)ah x x x=>,, 由分段函数的性质可知,函数2()5g x x ax =---在(],1-∞单调递增,函数()a h x x=在(1,)+∞单调递增,且()(1)1g h ≤,∴1206a a a a⎧-⎪⎪<⎨⎪--⎪⎩,∴203a a a -⎧⎪<⎨⎪-⎩解得32a -- 故选:B. 【点睛】考查分段函数在R 上的单调性,既需要分段考虑,又需要整体考虑,基础题. 10.定义在R 上的函数()y f x =,恒有()(2)f x f x =-成立,且()(1)0f x x '⋅->,对任意的12x x <,则()()12f x f x <成立的充要条件是( ). A .211x x >≥ B .122x x +>C .122x x +≤D .2112x x >≥【答案】B【解析】根据题中条件,先得到()f x 关于1x =对称;判定函数单调性,分别讨论11x ≥,11<x 两种情况,结合充分条件和必要条件的概念,即可得出结果.【详解】由()(2)f x f x =-,得函数()f x 关于1x =对称, 由()(1)0f x x '⋅->得,当1x >时,()0f x '>,此时函数()f x 为增函数, 当1x <时,()0f x '<,此时函数()f x 为减函数, 因为12x x <,若11x ≥时,函数()f x 在1x >上为增函数,满足对任意的12x x <,()()12f x f x <,此时122x x +>;若11<x ,∵函数()f x 关于1x =对称,则()()112f x f x =-,则121x ->,由()()12f x f x <得()()()1212f x f x f x =-<,此时122x x -<,即122x x +>;即对任意的12x x <,()()12f x f x <得122x x +>; 反之也成立,所以对任意的12x x <,则()()12f x f x <成立的充要条件为“122x x +>”. 故选:B. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据条件判断函数的对称性和单调性之间的关系,利用条件进行转化是解决本题的关键,属于常考题型.11的直线l 与椭圆22221x y a b +=(0a b >>)交于不同的两点,且这两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点,则该椭圆的离心率为( ) A.3B .12C.2D .13【答案】A【解析】由题意,2b ac =,得)22ac a c =-,20e +=,所以2e =, 故选C .点睛:由椭圆的对称性可知,两个焦点关于原点对称,则直线l 是过原点的直线,且其交点投影恰好是椭圆焦点,由垂径的交点坐标为2,b c a ⎛⎫⎪⎝⎭,则有22b ac =,整理后同除以2a20e +=,求出离心率.12.函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象关于直线2bx a=-对称.据此可推测,对任意的非零实数,,,,,a b c m n p ,关于x 的方程2[()]()0m f x nf x p ++=的解集都不可能是( ) A .{1,6}- B .{2,4} C .{2,5,4,7} D .{1,4,8,16}【答案】D【解析】方程()()20mf x nf x p ++=不同的解的个数可为0,1,2,3,4.若有4个不同解,则可根据二次函数的图像的对称性知道4个不同的解中,有两个的解的和与余下两个解的和相等,故可得正确的选项. 【详解】设关于()f x 的方程()()20mfx nf x p ++=有两根,即()1f x t =或()2f x t =.而()2f x ax bx c =++的图象关于2bx a=-对称,因而()1f x t =或()2f x t =的两根也关于2bx a =-对称.而选项D 中4811622++≠. 故选:D. 【点睛】对于形如()0f g x =⎡⎤⎣⎦的方程(常称为复合方程),通过的解法是令()t x g =,从而得到方程组()()0f tg x t ⎧=⎪⎨=⎪⎩,考虑这个方程组的解即可得到原方程的解,注意原方程的解的特征取决于两个函数的图像特征. 二、填空题13.函数y =________. 【答案】[0,3]【解析】. 【详解】因为20x ≥,所以299x -≤,又要使根式有意义,则290x -≥,所以2099x ≤-≤,所以03≤≤,故函数y =[0,3]. 故答案为:[0,3]. 【点睛】本题考查了具体函数值域的求解,属于基础题.14.已知()f x 为奇函数,当0x <时,()ln()3f x x x =-+,则()y f x =的解析式为______.【答案】()ln()3,00,0ln 3,0x x x f x x x x x -+<⎧⎪==⎨⎪-+>⎩【解析】由()f x 为奇函数,可得()f x 的定义域关于原点对称,且()()f x f x =--,且当0x >时,0x -<,将x -代入()()f x f x =--可得答案. 【详解】解:由()f x 为奇函数,可得()f x 的定义域关于原点对称,且()00f =,()()f x f x =--,当0x >时,0x -<,故()(ln 3()3])[ln x f x f x x x x =--=--=++-,∴()ln()3,00,0ln 3,0x x x f x x x x x -+<⎧⎪==⎨⎪-+>⎩.故答案为:()ln()3,00,0ln 3,0x x x f x x x x x -+<⎧⎪==⎨⎪-+>⎩. 【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性求函数解析式,相对简单. 15.若函数()2cos()f x x m ωθ=++对任意的实数f()()99t t f t ππ+=-都有且()3,9f π=-则m =_______ .【答案】1- 或5-【解析】对任意的实数f()99t t f t 都有ππ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,说明函数图像的一条对称轴为9x π=,()39f π=-,则23m ±+=- ,1m =- 或5m =-.16.如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,16,3,8AA AB AD ===, 点M 是棱AD 的中点,N 在棱1AA 上,且满足12AN NA =,P 是侧面四边形11ADD A 内一动点(含边界),若1C P ∥平面CMN ,则线段1C P 长度最小值是________.【解析】取11A D 的中点Q ,过点Q 在面11ADD A 作MN 的平行线交1DD 于E则易知面1//C QE 面CMN ,在1C QE ∆中作1C P QE ⊥,则1C P .三、解答题17.在ABC ∆中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .(1)若223cos cos 20A A +=,且ABC 为锐角三角形,7a =,6c =,求b 的值;(2)若a =3A π=,求b c +的取值范围.【答案】(1)b =5(2)b c +∈【解析】(1)运用二倍角的余弦公式,化简整理可得cos A ,再由余弦定理,解方程可得b ;(2)运用正弦定理和两角和差的正弦公式,以及正弦函数的图象和性质,即可得到所求范围; 【详解】解:(1)22223cos cos223cos 2cos 10A A A A +=+-=,∴21cos 25A =,又A 为锐角,1cos 5A =, 而2222cos a b c bc A =+-,即2121305b b --=, 解得5b =或135b =-(舍去),5b ∴=;(2)由正弦定理可得22(sin sin )2sin sin 36b c B C B B B ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,203B π<<, ∴5666B πππ<+<, ∴1sin 126B π⎛⎫<+ ⎪⎝⎭,∴b c+∈.【点睛】本题考查三角函数的恒等变换,三角形的正弦定理和余弦定理的运用,以及运算能力,属于中档题.18.某中学高三年级有学生500人,其中男生300人,女生200人.为了研究学生的数学成绩是否与性别有关,采用分层抽样的方法,从中抽取了100名学生,统计了他们期中考试的数学分数,然后按照性别分为男、女两组,将两组的分数分成5组:[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[]140,150分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.(1)从样本分数小于110分的学生中随机抽取2人,求两恰为一男一女的概率;(2)若规定分数不小于130分的学生为“数学尖子生”,请你根据已知条件完成22⨯列联表,并判断是否有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”?附:随机变量22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++.【答案】(1)5;(2)列联表见解析,没有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”.【解析】(1)由分层抽样的概念可得抽取的100名学生中,男女生的人数,进而可得样本中分数小于110分的学生中,男女生的人数,根据列举法可得所有的基本事件数及符合要求的基本事件数,再由古典概型的概率公式即可得解;(2)由频率分布直方图可得分数不小于130分的学生中,男女生的人数,即可完成列联表,计算出2K后,与2.706比较即可得解.【详解】(1)由题意,抽取的100名学生中,男生10030060500⨯=人,女生10020040500⨯=人,所以分数小于110分的学生中,男生有600.005103⨯⨯=人,记为A,B,C,女生有400.005102⨯⨯=人,记为D ,E ,则从样本分数小于110分的学生中随机抽取2人,有基本事件为:(),A B ,(),A C ,(),A D ,(),A E ,(),B C ,(),B D ,(),B E ,(),C D ,(),C E ,(),D E ,共10种;其中恰为一男一女的基本事件为:(),A D ,(),A E ,(),B D ,(),B E ,(),C D ,(),C E ,共6种; 故所求概率63105P ==; (2)分数不小于130分的学生中,男生有()0.020.005160150+⨯⨯=人, 女生有()400.03250.0051015⨯+⨯=人, 所以可得22⨯列联表如下:所以22100(15254515)251.7862.7066040307014K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯,所以没有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”. 【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用及古典概型概率的求解,考查了独立性检验的应用,属于中档题.19.如图,四棱锥P ABC -中,PA ⊥平面ABCD ,AD BC ∥,3AB AD AC ===,4PA BC ,M 为线段AD 上一点,2AM MD =,N 为PC 的中点.(I )证明MN ∥平面PAB ; (II )求四面体N BCM -的体积.【答案】【解析】试题分析:(Ⅰ)取PB 的中点T ,然后结合条件中的数据证明四边形AMNT 为平行四边形,从而得到MNAT ,由此结合线面平行的判断定理可证;(Ⅱ)由条件可知四面体N-BCM 的高,即点N 到底面的距离为棱PA 的一半,由此可顺利求得结果. 试题解析:(Ⅰ)由已知得,取的中点T ,连接,由N 为中点知,.又,故平行且等于,四边形AMNT 为平行四边形,于是.因为平面,平面,所以平面.(Ⅱ)因为平面,N 为的中点,所以N 到平面的距离为.取的中点,连结.由得,.由得到的距离为,故145252BCMS=⨯⨯=. 所以四面体的体积14532N BCM BCMPA V S -=⨯⨯=. 【考点】直线与平面间的平行与垂直关系、三棱锥的体积【技巧点拨】(1)证明立体几何中的平行关系,常常是通过线线平行来实现,而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证;(2)求三棱锥的体积关键是确定其高,而高的确定关键又找出顶点在底面上的射影位置,当然有时也采取割补法、体积转换法求解.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点31,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭3 (1)求椭圆C 的标准方程;(2)若点P 与点Q 均在椭圆C 上,且,P Q 关于原点对称,问:椭圆上是否存在点M (点M 在一象限),使得PQM ∆为等边三角形?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)2214x y +=;(2)存在,2165215M ⎝⎭. 【解析】试题分析:(1)根据已知条件,列出不等式组,求解2,1a b ==,即可求解椭圆的椭圆的方程;(2)设直线OM 的斜率为k ,则直线:OM y kx =,代入椭圆的方程,解得M 点的坐标,同理可得直线PQ 的方程,代入求解所以2165215M M x y ==,即可求解点M 的坐标.试题解析:(1)由题意222221314{a bc a a b c +===+,解得2,1a b ==,所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=.(2)由题意知直线PQ 经过坐标原点O ,假设存在符合条件的点M ,则直线OM 的斜率存在且大于零,,OM PQ OM ⊥= ① 设直线OM 的斜率为k ,则直线:OM y kx =,联立方程组22{14y kxx y =+=,得M M x y ==所以OM =②同理可得直线PQ的方程为1,y x OP k =-=③ 将②③代入①式得= 化简得21110k-=,所以11k=所以M M x y ==,综上所述,存在符合条件的点1515M ⎛ ⎝⎭【考点】椭圆的标准方程;直线与椭圆的位置关系.【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系的应用,其中解答中涉及到椭圆的几何性质的应用、函数与方程思想等知识点的综合考查,着重考查了学生的推理与运算能力以及转化与化归思想的应用,此类问题的解答中把直线的方程与圆锥曲线的方程联立,转化为方程的根与系数的关系、判别式和韦达定理的应用是解答的关键,试题运算量大,有一定的难度,属于难题.21.已知函数2()x f x e a =-,()x g x e b =-,且()f x 与()g x 的图象有一个斜率为1的公切线(e 为自然对数的底数). (1)求b a -;(2)设函数ln 21()()()22h x f x g x mx =--+-,讨论函数()h x 的零点个数. 【答案】(1)1ln 222b a -=-(2)见解析 【解析】(1)由()f x 与()g x 的图象有一个斜率为1的公切线,分别对()f x 与()g x 求导并求出切线方程,列出等量关系可得b a -;(2)利用换元将2()2x xh x e e m '=--转化为二次函数,分类讨论对其单调性,对图像特点进行分析,分情况讨论出函数()h x 的零点个数. 【详解】(1)2()2=1xf x e '=,可得ln 2ln 21,()222x f a =--=-. ()f x 在ln 21(,)22a --处的切线方程为1ln 2()22y a x --=+,即ln 2122y x a =++-. ()1x g x e '==,0,(0)1x g b ==-. ()g x 在(0,1)b -处的切线方程为(1)y b x --=,1y x b =+-, 故ln 21122a b +-=-, 可得1ln 222b a -=-. (2)由(1)可得22ln 21()()22xx x x h x ea eb mx e e mx =----+-=--, 2()2x x h x e e m '=--,令x t e =,则22y t t m =--,=1+8m ∆,1m 时,220t t m --=有两根,12,t t 且120t t <<,12()2()()0x x h x e t e t '=--=,得:2ln x t =,在2(ln ),t -∞上,()0h x '<,在2(ln ,)t +∞上,()0h x '>, 此时,2(ln )(0)0h t h <=.又x →-∞时,(),h x x →+∞→+∞时,()h x →+∞. 故在2(ln ),t -∞和2(ln ,)t +∞上,()h x 各有1个零点.1m =时,1()2()(1)2x x h x e e '=+-()h x 最小值为(0)0h =,故()h x 仅有1个零点.01m <<时,12()2()()x x h x e t e t '=--.其中120t t <<,同1m ,()h x 在2(ln ),t -∞与2(ln ,)t +∞上, ()h x 各有1个零点,0m =时,2()x x h x e e =-,仅在(0)0h =有1个零点, 108m -<<时,对方程220,180t t m m --=∆=+>. 方程有两个正根12,t t ,12()2()()x xh x e t e t '=--.在1(,ln )t -∞上,()0h x '>,在12(ln ,ln )t t 上,()0h x '<,在2(ln ,)t +∞,()0h x '>.由1212120t t t t ⎧+=⎪⎨⎪<<⎩,可得1211042t t <<<<,故22ln 0,(ln )(0)0t h t h <<=.11110,120,ln 0t t t -<-><,故1(ln )0h t <.故在1(,ln )t -∞上,1()(ln )0h x h t <<, 在12(ln ,ln )t t 上,()0h x <,在2(ln ,)t +∞上,()h x 有1个零点:0x =.18m ≤-时,2()20x x h x e e m '=--≥恒成立,()h x 为增函数,()h x 仅有1个零点:0x =.综上,0m ≤或1m =时,()h x 有1个零点,01m <<或1m 时,()h x 有2个零点.【点睛】本题考查导数的应用,利用导数求切线是常考点,利用导数讨论零点个数是难点,通常结合分类讨论思想进行分析解决,属于难题.22.在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数);在以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线2C 的极坐标方程为2cos sin ρθθ=.(1)求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程;(2)若射线(0)l y kx x ≥:=与曲线1C ,2C 的交点分别为A B ,(A B ,异于原点),当斜率(k ∈时,求·OA OB 的取值范围. 【答案】(1)1C 的极坐标方程为2cos ρθ=;2C 的直角坐标方程为2x y =;(2)(2,.【解析】(1)由1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩,利用平方关系可得1C 的普通方程,再将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入普通方程中化简求得极坐标方程;曲线2C 的极坐标方程2cos sin ρθθ=可化为22cos sin ρθρθ=,将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入上式即可得解;(2)分别联立射线(0)l y kx x ≥:=与曲线1C ,2C 的极坐标方程,求出A B ,两点的极坐标,进而得出·OA OB 的取值范围. 【详解】(1)曲线1C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+=,即2220x x y -+=,将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入并化简得曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=,由2cos sin ρθθ=两边同时乘ρ,得22cos sin ρθρθ=,结合cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得曲线2C 的直角坐标方程为2x y =;(2)设射线(0)l y kx x ≥:=的倾斜角为ϕ,则射线的极坐标方程为θϕ=,且(k tan ϕ=∈.联立2cos ρθθϕ=⎧⎨=⎩得2A OA cos ρϕ== ,联立2cos sin ρθθθϕ⎧=⎨=⎩得2sin cos B OB ϕρϕ==,所以(2sin ·222cos 2,A B OA OB cos tan k ϕρρϕϕϕ⋅==∈=⋅=,即·OA OB 的取值范围是(2,. 【点睛】本题考查三种方程间的互化,考查极坐标方程的应用,考查逻辑思维能力和转化能力,属于中档题.23.设命题p :实数x 满足()()30x a x a --<,其中0a >,命题q :实数x 满足302x x -≤-. (1)若1a =,且p q ∧为真,求实数x 的取值范围; (2)若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件,求实数a 的取值范围. 【答案】(1)()2,3;(2)12a <≤.【解析】(1)若1a =,分别求出p ,q 成立的等价条件,利用且p q ∧为真,求实数x 的取值范围;(2)利用p ⌝是q ⌝的充分不必要条件,即q 是p 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围. 【详解】解:由()()30x a x a --<,其中0a >,得3a x a <<,0a >,则p :3a x a <<,0a >.由302x x -≤-解得23x <≤.即q :23x <≤.(1)若1a =,则p :13x <<,若p q ∧为真,则p ,q 同时为真,即2313x x <≤⎧⎨<<⎩,解得23x <<,∴实数x 的取值范围()2,3.(2)若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件,即q 是p 的充分不必要条件, ∴332a a >⎧⎨≤⎩,即12a a >⎧⎨⎩,解得12a <≤.【点睛】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系,利用逆否命题的等价性将p ⌝是q ⌝的充分不必要条件,转化为q 是p 的充分不必要条件是解决本题的关键,属于基础题.。
2021届重庆市第一中学校高三上学期第三次月考数学试题一、单选题1.复数z 满足21iz i=-,则复数z 的虚部为()A .﹣1B .1C .iD .﹣i【答案】B【分析】利用复数的除法运算化简211ii i=-+-,再利用复数的代数形式求出结果.【详解】解:∵()()()()2121211112i i i i i z i i i i ++====-+--+,则复数z 的虚部为1.故选:B .【点睛】本题考查复数的除法运算.复数的除法运算关键是分母“实数化”,其一般步骤如下:(1)分子、分母同时乘分母的共轭复数;(2)对分子、分母分别进行乘法运算;(3)整理、化简成实部、虚部分开的标准形式.2.已知集合{}22,A xx x Z =<∈∣,则A 的真子集共有()个A .3B .4C .6D .7【答案】D【分析】写出集合{1,0,1}A =-,即可确定真子集的个数.【详解】因为{}22,{1,0,1}A xx x Z =<∈=-∣,所以其真子集个数为3217-=.故选:D.【点睛】本题考查集合的真子集个数问题,属于简单题.3.已知某圆锥的母线长为4,底面圆的半径为2,则圆锥的全面积为()A .10πB .12πC .14πD .16π【答案】B【分析】首先求得底面周长,即侧面展开图的扇形弧长,然后根据扇形的面积公式即可求得侧面积,即圆锥的侧面积,再求得圆锥的底面积,侧面积与底面积的和就是全面积.【详解】底面周长是:2×2π=4π,则侧面积是:14π48π2⨯⨯=,底面积是:π×22=4π,则全面积是:8π+4π=12π.故选B .【点睛】本题考查了圆锥的全面积计算,正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键,理解圆锥的母线长是扇形的半径,圆锥的底面圆周长是扇形的弧长.4.为了衡量星星的明暗程度,古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小,星星就越亮;星等的数值越大它的光就越暗.到了1850年,由于光度计在天体光度测量的应用,英国天文学家普森又提出了亮度的概念,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足()12212.5lg lg m m E E -=-,其中星等为k m 的星的亮度为(1,2)k E k =.已知“心宿二”的星等是1.00,“天津四”的星等是1.25,则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的()倍.(当||x 较小时,2101 2.3 2.7x x x ≈++)A .1.27B .1.26C .1.23D .1.22【答案】B【分析】把已知数据代入公式计算12E E .【详解】由题意211 1.25 2.5(lg lg )E E -=-,12lg0.1E E =,∴0.1212101 2.30.1 2.70.1 1.257 1.26E E =≈+⨯+⨯=≈.故选:B .【点睛】本题考查数学新文化,考查阅读理解能力.解题关键是在新环境中抽象出数学知识,用数学的思想解决问题.5.向量,a b 满足||1a = ,a 与b 的夹角为3π,则||a b - 的取值范围为()A .[1,)+∞B .[0,)+∞C .1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D .3,2⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭【答案】D【分析】把||a b -用数量积表示后结合函数的性质得出结论.【详解】22222||()2121cos 3a b a b a a b b b b π-=-=-⋅+=-⨯⨯+ 21b b -+= 2134423b ⎛⎫=+≥⎪⎝⎭- ,所以3||2a b -≥ .1||2b = 时取得最小值.故选:D .【点睛】本题考查平面向量的模,解题关键是把模用向量的数量积表示,然后结合二次函数性质得出结论.6.已知三棱锥P ABC -,过点P 作PO ⊥面,ABC O 为ABC ∆中的一点,,PA PB PB PC ⊥⊥,PC PA ⊥,则点O 为ABC ∆的()A .内心B .外心C .重心D .垂心【答案】D【分析】连接AO 并延长交BC 于一点E ,连接PO ,由于PA ,PB ,PC 两两垂直可以得到PA ⊥面PBC ,而BC ⊂面PBC ,可得BC ⊥PA ,由PO ⊥平面ABC 于O ,BC ⊂面ABC ,PO ⊥BC ,可得BC ⊥AE ,同理可以证明CO ⊥AB ,又BO ⊥AC .故O 是△ABC 的垂心.【详解】连接AO 并延长交BC 于一点E ,连接PO ,由于PA ,PB ,PC 两两垂直可以得到PA ⊥面PBC ,而BC ⊂面PBC ,∴BC ⊥PA ,∵PO ⊥平面ABC 于O ,BC ⊂面ABC ,∴PO ⊥BC ,∴BC ⊥平面APE ,∵AE ⊂面APE ,∴BC ⊥AE ;同理可以证明CO ⊥AB ,又BO ⊥AC .∴O 是△ABC 的垂心.故选D .【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的性质,解题时要注意数形结合,属于基本知识的考查.7.设sin5a π=,b =,2314c ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则()A .a c b <<B .b a c <<C .c a b<<D .c b a<<【答案】C【分析】借助中间量1和12比较大小即可.【详解】解:由对数函数y x =在()0,∞+单调递增的性质得:1b =>=,由指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 单调递减的性质得:2413311142212c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=<=,由三角函数sin y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增的性质得1sin sin 562a ππ=>=.所以c ab <<.故选:C.【点睛】本题考查利用函数的单调性比较大小,考查运算能力,化归转化思想,是中档题.本题解题的关键在于借助中间量1和12,尤其在比较a 与c 的大小时,将c 变形得24331142c ⎛⎫⎛⎫= ⎪ =⎪⎝⎭⎝⎭,进而与12比较大小是重中之核心步骤.8.已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一个确定的球面上,且BA BC ==,2ABC π∠=,若三棱锥P ABC -体积的最大值为3,则其外接球的半径为()A .2B .3C .4D .5【答案】A【分析】由题意分析知三棱锥P ABC -体积的最大时,P ,O ,O '共线且O P '⊥面ABC ,P 在大于半球的的球面上,根据棱锥体积公式求得||O P ',进而应用勾股定理求外接球的半径.【详解】由题意知:AC 中点O '为面ABC 外接圆圆心,若外接球球心为O ,半径为R ,三棱锥P ABC -体积的最大时,P ,O ,O '共线且O 在P ,O '之间,∴1||33P ABC ABC V S O P -'=⋅⋅= ,1||||32ABC S BA BC =⋅⋅= ,即||3O P '=,||||32AC O C '==,所以()22222'|||'|33O C OC OO R R =-=--=,解得2R =,故选:A【点睛】关键点点睛:理解三棱锥P ABC -体积的最大时P 的位置及与球心、底面外接圆圆心的关系,结合棱锥体积公式、勾股定理求球体半径.二、多选题9.设m 、n 是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,下列命题中错误..的是()A .若,,//m n m n αβ⊂⊂,则//αβB .若,m n m α⊂⊥,则n α⊥C .若,m n αα^Ì,则m n ⊥D .若//,,m n αβαβ⊂⊂,则//m n【答案】ABD【分析】根据空间线、面关系,结合空间关系相关图例以及线线、线面、面面间的平行、垂直判定与性质,即可知选项的正误.【详解】A :,,//m n m n αβ⊂⊂,α、β不一定平行,错误.B :,m n m α⊂⊥,n 不一定垂直于α,错误.C :由线面垂直的性质:,m n αα^Ì,则必有m n ⊥,正确.D ://,,m n αβαβ⊂⊂,m 、n 不一定平行,错误.故选:ABD10.下列函数中,在(0,1)内是减函数的是()A .||12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭B .212log y x =C .121=+y x D .2log sin y x=【答案】ABC【分析】根据复合函数的单调性判断确定选项中各函数是否为减函数即可.【详解】A :1(2t y =为减函数,||t x =在(0,1)上为增函数,所以||12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数;B :12log y t =为减函数,2t x =在(0,1)上为增函数,所以212log y x =为减函数;C :1y t =为减函数,21t x =+在(0,1)上为增函数,所以121=+y x 为减函数;D :2log y t =为增函数,sin t x =在(0,1)上为增函数,所以2log sin y x =为增函数;故选:ABC【点睛】结论点睛:对于复合函数的单调性有如下结论1、内外层函数同增或同减为增函数;2、内外层函数一增一减为减函数;11.下列关于函数1()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像或性质的说法中,正确的为()A .函数()f x 的图像关于直线83x π=对称B .将函数()f x 的图像向右平移3π个单位所得图像的函数为12sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C .函数()f x 在区间5,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增D .若()f x a =,则1cos 232a x π⎛⎫-=⎪⎝⎭【答案】AD 【分析】令1262x k πππ+=+得到对称轴,即可判断A ;根据平移变换知识可判断B ;求出其单调增区间即可判断C ;利用配角法即可判断D.【详解】对于A ,令1262x k πππ+=+()k ∈Z ,解得22()3x k k Z ππ=+∈,当1k =时,得83x π=,故A 正确;对于B ,将函数()f x 的图像向右平移3π个单位,得112sin[()]2sin 2362y x x ππ=-+=,故B 错误;对于C ,令122()2262k x k k Z πππππ-+<+<+∈4244()33k x k k Z ππππ⇒-+<<+∈,故C 错误;对于D ,若12sin()26x a π+=,则11cos()sin[()]23223x x πππ-=+-=1sin()262ax π+=,故D 正确.故选:AD【点睛】方法点睛:函数()sin (0,0)y A x B A ωϕω=++>>的性质:(1)max min =+y A B y A B =-,.(2)周期2π.T ω=(3)由()ππ2x k k +=+∈Z ωϕ求对称轴(4)由()ππ2π2π22k x k k -+≤+≤+∈Z ωϕ求增区间;由()π3π2π2π22k x k k +≤+≤+∈Z ωϕ求减区间.12.定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数为()'f x ,且()()f x f x x'<,则对任意1x 、2(0,)x ∈+∞,其中12x x ≠,则下列不等式中一定成立的有()A .()()()1212f x x f x f x +<+B .()()()()21121212x xf x f x f x f x x x +<+C .()1122(1)x x f f <D .()()()1212f x x f x f x <【答案】ABC【分析】构造()()f x g x x=,由()()f x f x x '<有()0g x '<,即()g x 在(0,)+∞上单调递减,根据各选项的不等式,结合()g x 的单调性即可判断正误.【详解】由()()f x f x x '<知:()()0xf x f x x'-<,令()()f x g x x =,则()()()20xf x f x g x x '-='<,∴()g x 在(0,)+∞上单调递减,即122112121212()()()()()g x g x x f x x f x x x x x x x --=<--当120x x ->时,2112()()x f x x f x <;当120x x -<时,2112()()x f x x f x >;A :121()()g x x g x +<,122()()g x x g x +<有112112()()x f x x f x x x +<+,212212()()x f x x f x x x +<+,所以()()()1212f x x f x f x +<+;B:由上得21121212()()()()x f x x x x f x x x -<-成立,整理有()()()()21121212x xf x f x f x f x x x +<+;C :由121x >,所以111(2)(1)(2)(1)21x x x f f g g =<=,整理得()1122(1)x x f f <;D :令121=x x 且121x x >>时,211x x =,12111()()()()g x g x f x f x =,12()(1)(1)g x x g f ==,有121()()g x x g x >,122()()g x x g x <,所以无法确定1212(),()()g x x g x g x 的大小.故选:ABC【点睛】思路点睛:由()()f x f x x '<形式得到()()0xf x f x x'-<,1、构造函数:()()f x g x x =,即()()()xf x f x g x x'-'=.2、确定单调性:由已知()0g x '<,即可知()g x 在(0,)+∞上单调递减.3、结合()g x 单调性,转化变形选项中的函数不等式,证明是否成立.三、填空题13.若一个球的体积为323π,则该球的表面积为_________.【答案】16π【解析】由题意,根据球的体积公式343V R π=,则343233R ππ=,解得2R =,又根据球的表面积公式24S R π=,所以该球的表面积为24216S ππ=⋅=.14.设向量a ,b 不平行,向量a b λ+ 与2a b + 平行,则实数λ=_________.【答案】12【解析】因为向量a b λ+ 与2a b + 平行,所以2a b k a b λ+=+ (),则{12,k k λ==,所以12λ=.【解析】向量共线.15.一般把数字出现的规律满足如图的模型称为蛇形模型:数字1出现在第1行;数字2,3出现在第2行;数字6,5,4(从左至右)出现在第3行;数字7,8,9,10出现在第4行,依此类推,则第21行从左至右的第4个数字应是____________.【答案】228【分析】由题知,第n 行有n 个数字,奇数行从右至左由小变大,偶数行从左至右由小变大,则前20行共有20(120)123202102+++++==L 个数字,第21行最左端的数为21021231+=,从左到右第4个数字为228.【详解】观察数据可知,第n 行有n 个数字,奇数行从右至左由小变大,偶数行从左至右由小变大,则前20行共有20(120)123202102+++++==L 个数字,第21行最左端的数为21021231+=,所以第21行从左到右第4个数字为228.故答案为:228.【点睛】关键点睛:本题考查合情推理、数列的前n 项和,解题关键要善于观察发现数据特征,考查了学生的逻辑思维能力、数据处理能力、运算求解能力,综合性较强,属于较难题型.四、双空题16.已知等比数列{}n a 的公比为q ,且101a <<,20201a =,则q 的取值范围为______;能使不等式12121110m m a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 成立的最大正整数m =______.【答案】(1,)+∞4039【分析】根据已知求得1a 的表达式,由此求得q 的取值范围.根据12121110m m a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 成立列不等式,化简求得m 的取值范围,从而求得最大正整数m .【详解】由已知201911201911a qa q =⇒=,结合101a <<知2019101q <<,解得1q >,故q 的取值范围为(1,)+∞.由于{}n a 是等比数列,所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为11a ,公比为1q 的等比数列.要使12121110m m a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 成立则1212111m ma a a a a a +++≤+++ 即()111111111m m a q a q q q⎛⎫-⎪-⎝⎭≤--,将120191a q=代入整理得:40394039m q q m ≤⇒≤故最大正整数4039m =.故答案为:(1,)+∞;4039【点睛】本小题主要考查等比数列的性质,考查等比数列前n 项和公式,属于中档题.五、解答题17.在四棱柱1111ABCD A B C D -中,底面ABCD 是等腰梯形,M 是线段AB 的中点,1160,22,2,DAB AB CD DD C M ∠=︒====(1)求证:1//C M 平面11A ADD ;(2)求异面直线 CM 与1DD 所成角的余弦值.【答案】(1)证明见解析;(2)14.【分析】(1)易得1111//,C D MA C D MA =,则四边形11AMC D 为平行四边形,得到11//C M D A ,再利用线面平行的判定定理证明.(2)由//CM DA ,将异面直线CM 与1DD 成的角,转化为 DA 与1DD 相交所成的角,然后在1ADD ,利用余弦定理求解.【详解】(1)因为四边形ABCD 是等腰梯形,且2AB CD =,所以//AB DC .又由M 是AB 的中点,因此//CD MA 且CD MA =.如图所示:连接1AD ,在四棱柱1111ABCD A B C D -中,因为1111//,CD C D CD C D =,可得1111//,C D MA C D MA =,所以四边形11AMC D 为平行四边形.因此11//C M D A ,又1C M ⊄平面11A ADD ,1D A ⊂平面11A ADD ,所以1//C M 平面11A ADD .(2)因为//CM DA ,所以异面直线CM 与1DD 成的角,即为 DA 与1DD 相交所成的直角或锐角,在1ADD中,1C M =,所以111,2AD AD DD ===,由余弦定理可得:22211111cos 24AD DD AD ADD AD DD +-∠==-⋅,所以异面直线CM 和1DD 余弦值为14.【点睛】方法点睛:判断或证明线面平行的常用方法:(1)利用线面平行的定义,一般用反证法;(2)利用线面平行的判定定理(a ⊄α,b ⊂α,a ∥b ⇒a ∥α),其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行,证明时注意用符号语言的叙述;(3)利用面面平行的性质定理(α∥β,a ⊂α⇒a ∥β);(4)利用面面平行的性质(α∥β,a ⊄β,a ∥α⇒a ∥β).18.已知数列{}n a 满足:13a =,且对任意的n *∈N ,都有1,1,n n a a +成等差数列.(1)证明数列{}1n a -等比数列;(2)已知数列{}n b 前n 和为n S ,条件①:()1(21)n n b a n =-+,条件②:11n n n b a +=-,请在条件①②中仅选择一个条件作为已知条件.............来求数列{}n b 前n 和n S .【答案】(1)证明见解析;(2)答案不唯一,具体见解析.【分析】(1)由条件得121n n a a +=-,利用等比数列定义可得证.(2)选条件①得(21)2nn b n =+,选条件②得1(1)()2nn b n =+⋅利用错位相减法可得解.【详解】(1)由条件可知112n n a a ++=,即121n n a a +=-,∴()1121n n a a +-=-,且112a -=∴{}1n a -是以112a -=为首项,2q =为公比的等比数列,∴12nn a -=,∴()21nn a n N*=+∈(2)条件①:()1(21)(21)2nn n b a n n =-+=+,123325272(21)2nn S n =⋅+⋅+⋅+++⋅ 23412325272(21)2n n S n +=⋅+⋅+⋅+++⋅利用错位相减法:123413222222222(21)2nn n S n +-=⋅+⋅+⋅+⋅++⋅+⋅- 118(12)6(21)212n n n S n -+--=++⋅--化简得()12(21)2n n S n n N +*=-+∈条件②:11(1)()12nn n n b n a +==+⋅-231111234(1)2222n nS n =⋅+⋅+⋅+++⋅ 234111111234(1)22222n n S n +=⋅+⋅+⋅+++⋅ 利用错位相减法:23411111111(1)222222n n n S n +=++++-+⋅ 1111[1()]11421(1)12212n n n S n -+-=+-+⋅-化简得()13(3)(2n n s n n N *=-+∈【点睛】错位相减法求和的方法:如果数列{}n a 是等差数列,{}n b 是等比数列,求数列{}n n a b 的前n 项和时,可采用错位相减法,一般是和式两边同乘以等比数列{}n b 的公比,然后作差求解;在写“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式19.已知椭圆C 的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -,短轴的两个端点分别为12,B B .且122B B =.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于P ,Q 两点,且11F P FQ ⊥ ,求直线l 的方程.【答案】(1)2212x y +=;(2)10x +-=,或10x -=.【分析】(1)由题干条件可得c 和b 的值,进而求出2a 的值,从而求出椭圆方程;(2)首先考虑斜率不存在的情况,不符合题意;当斜率存在时,联立方程,可得()22121222214,2121k k x x x x k k -+=⋅=++,又110F P FQ ⋅= ,向量坐标化可得()()()2221212111110k x x k x x k F P FQ ⋅--==++++uuu r uuu r ,代入1212,x x x x +⋅,化简,即可求出k 的取值,从而求出直线方程.【详解】解(1)由条件可知:1c =,又122B B =,所以1b =,则22a =,所以椭圆C 的方程为2212x y +=(2)当直线l 的斜率不存在时,其方程为1x =,不符合题意;当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为(1)y k x =-,22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()()2222214210k x k x k +-+-=,()2810k ∆=+>,设()()1122,,,P x y Q x y ,则()22121222214,2121k k x x x x k k -+=⋅=++,()()1111221,,1,F P x y F Q x y =+=+ ,∵110F P FQ ⋅= ,即()()()()()22212121212111110x x y y k x x k x x k +++=+--+++=,即()()()222222221411()102121k k kk k k k -+--++=++化简得:2201172k k =+-解得217,77k k ==±.故直线l的方程为10x +-=,或10x --=.【点睛】方法点睛:(1)将向量转化为坐标的关系;(2)联立直线和椭圆,求出两根之和,两根之积;(3)将两根之和和两根之积代入坐标关系中,解出k .20.已知()cossin 222x x x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .(1)求()f B 的取值范围;(2)当4a =,433b =,且()f B 取(1)中的最大值时,求ABC 的面积.【答案】(1)30,12⎛+ ⎝⎦;(2)833或433【分析】(1)利用公式对函数化简,根据B 角的范围,求函数值域.(2)由(1)求出B 的大小,利用正弦定理和三角形面积公式即可求出结果.【详解】(1)2()cossin sin cos 222222x x x x x x f x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭13(cos 1)3sin sin 2232x x x π+⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭因为B 为三角形的内角,所以(0,)B π∈所以4,333B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,所以3()0,12f B ⎛∈+ ⎝⎦(2)34()11,,23333f B B B ππππ⎛⎫⎛⎫=++=+∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎭,,326B B πππ∴+==,由正弦定理得:4343sin 1sin sin sin 22a b A A B A =⇒=⇒=()0,,3A A ππ∈∴=,或23A π=,若3A π=,则2C π=,183sin 23ABC S ab C ==若23π=A ,则6π=C,1sin 23==ABC S ab C 【点睛】本题考查了三角恒等变换、正弦定理和三角形面积公式等基本数学知识,考查了数学运算能力和逻辑推理能力,属于中档题目.21.在直三棱柱111ABC A B C -中,112,120,,AB AC AA BAC D D ==∠=分别是线段11,BC B C 的中点,过线段AD 的中点P 作BC 的平行线,分别交,AB AC 于点,M N .(1)证明:平面1A MN ⊥平面11ADD A ;(2)求二面角1A A M N --的余弦值.【答案】(1)证明见解析;(2)155.【分析】(1)根据线面垂直的判定定理即可证明MN ⊥平面ADD 1A 1;又MN ⊂平面A 1MN ,所以平面A 1MN ⊥平面ADD 1A 1;(2)建立空间坐标系,利用向量法求出平面的法向量,利用向量法进行求解即可.【详解】(1)证明:∵AB=AC ,D 是BC 的中点,∴BC ⊥AD ,∵M ,N 分别为AB ,AC 的中点,∴MN ∥BC ,∴MN ⊥AD ,∵AA 1⊥平面ABC,MN ⊂平面ABC ,∴AA 1⊥MN ,∵AD,AA 1⊂平面ADD 1A 1,且AD∩AA 1=A ,∴MN ⊥平面ADD 1A 1∴,又MN ⊂平面A 1MN ,所以平面A 1MN ⊥平面ADD 1A 1;(2)设AA 1=1,如图:过A 1作A 1E ∥BC ,建立以A 1为坐标原点,A 1E ,A 1D 1,A 1A 分别为x ,y ,z 轴的空间直角坐标系如图:则A 1(0,0,0),A(0,0,1),∵P 是AD 的中点,∴M ,N 分别为AB ,AC 的中点.则31,,122M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,31,,122N ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,则131,,122A M ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,()10,0,1A A =,)NM = ,设平面AA 1M 的法向量为(),,m x y z=,则100m AM m A A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,得10220x y z z ++=⎨⎪=⎩,令1x =,则y =,则()1,m =,同理设平面A 1MN 的法向量为(),,n x y z=,则100n A M n NM ⎧⋅=⎨⋅=⎩,得310220x y z ++=⎪⎨⎪=⎩,令2y =,则1z =-,则()0,2,1n =-,则()15cos ,5m n m n m n ⋅===-⋅,∵二面角A-A 1M-N 是锐二面角,∴二面角A-A 1M-N 的余弦值是155.【点睛】本题主要考查直线垂直的判定以及二面角的求解,建立空间直角坐标系,利用向量法进行求解,综合性较强,运算量较大.22.已知21()(1)2xf x e ax b x =---.其中常数 2.71828e ≈⋅⋅⋅⋅⋅⋅.(1)当2,4a b ==时,求()f x 在[1,2]上的最大值;(2)若对任意0,()a f x >均有两个极值点()1212,x x x x <,(ⅰ)求实数b 的取值范围;(ⅱ)当a e =时,证明:()()12f x f x e +>.【答案】(1)max ()1f x e =-;(2)(ⅰ)1b >;(ⅱ)证明见解析.【分析】(1)由题得2()4(1)x f x e x x =---,()24x f x e x '=--,()2x f x e ''=-,由[1,2]x ∈,可得()0f x ''>,即()'f x 在[1,2]上单增,且2(2)80f e -'=<,即()0f x '<,可知()f x 在[1,2]上单减,求得max ()(1)1f x f e ==-.(2)(ⅰ)利用两次求导可得(,ln )x a ∈-∞时,()'f x 单减;(ln ,)x a ∈+∞时,()'f x 单增,再由()f x 有两个极值点,知(ln )ln 0f a a a a b =--<',即ln b a a a >-恒成立,构造函数()ln g a a a a =-,利用导数求其最大值,可得实数b 的取值范围;(ⅱ)设()()(2),(1)h x f x f x x ''=--<,求导可得()h x 在(,1)-∞单增,得到()(2)f x f x ''<-,可得()()112f x f x ''<-,()()122f x f x ''->,结合()'f x 在(1,)+∞上单增,可得()()122f x f x >-,得到()()()()2222122222222x x f x f x f x f x e e ex ex e -+>-+=+-+-,构造22()22x x M x e e ex ex e -=+-+-,(1)x >,再利用导数证明()2(1)M x M e >=,即可得到()()12f x f x e+>【详解】(1)由2,4a b ==得,2()4(1)x f x e x x =---,求导()24x f x e x '=--,()2x f x e ''=-,[1,2]x ∈ ,2[,]x e e e ∴∈,20x e ∴->,即()0f x ''>()f x '∴在[1,2]上单增,且2(2)80f e -'=<,即[1,2]x ∀∈,()0f x '<,()f x ∴在[1,2]上单减,max ()(1)1f x f e ∴==-.(2)(ⅰ)求导()x f x e ax b '=--,因为对任意0,()a f x >均有两个极值点12,x x ,所以()0f x '=有两个根,求二阶导()x f x e a ''=-,令()0f x ''=,得ln x a=当(,ln )x a ∈-∞时,()0f x ''<,()'f x 单减;当(ln ,)x a ∈+∞时,()0f x ''>,()'f x 单增,由()0f x '=有两个根12,x x ,知(ln )ln 0f a a a a b =--<',即ln b a a a >-对任意0a >都成立,设()ln g a a a a =-,求导()ln g a a '=-,令()0g a '=,得1a =,当(0,1)x ∈时,()0g a '>,()g a 单增;当(1,)x ∈+∞时,()0g a '<,()g a 单减,max (()1)1g g a =∴=,1b ∴>又0,,()ba b f e x f x a -⎛⎫''-=>→+∞→+∞ ⎪⎝⎭Q ,所以实数b 的取值范围是:1b >.(ⅱ)当a e =时,()x f x e ex b '=--,()x f x e e ''=-,令()0f x ''=,得1x =当(,1)x ∈-∞时,()0f x ''<,()'f x 单减;当(1,)x ∈+∞时,()0f x ''>,()'f x 单增,又12,x x 是()0f x '=的两根,且12x x <,121,1x x <∴>,121x ∴->设()()(2),(1)h x f x f x x ''=--<,即22(2)2()2,(1)xxx xe ex b ee x b e e ex e x h x --⎡⎤=-=-------+<⎣⎦,则2()2220x x h x e e e e e -=+->-='()h x ∴在(,1)-∞单增,()(1)0h x h ∴<=,即()(2)f x f x ''<-又11,x <,()()112f x f x ''∴<-,()()122f x f x ''∴->又()f x ' 在(1,)+∞上单增,122x x ∴->,即1222x x x <-<,又()f x 在()12,x x 上单减,()()122f x f x ∴>-()()()()2222122222222x x f x f x f x f x e e ex ex e-∴+>-+=+-+-令22()22x x M x e e ex ex e -=+-+-,(1)x >则2()22x x M x e e ex e -'=--+,2()20x x M x e e e -''=+-≥()M x '∴在(1,)+∞单增,且(1)0M '=,()0M x '∴>,故()M x 在(1,)+∞单增又21x > ,()2(1)M x M e ∴>=,即()()12f x f x e+>【点睛】方法点睛:本题考查利用导数研究函数的单调性,求极值,最值,以及证明不等式,证明不等式的方法:若证明()()f x g x <,(,)x a b ∈,可以构造函数()()()F x f x g x =-,如果()0F x '<,则()F x 在(,)a b 上是减函数,同时若()0F a ≤,由减函数的定义可知(,)x a b ∈时,有()0F x <,即证明了()()f x g x <,考查学生的函数与方程思想,化归与转化思想,考查逻辑思维能力与推理论证能力,属于难题.。
长沙市一中2024 届高三月考试卷(七)数学试卷一、单项选择题: 本题共8 小题, 每小题5 分, 共40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1. 样本数据15 、13 、12 、31 、29 、23 、43 、19 、17 、38 的中位数为( )(A) 19 (B) 23 (C) 21 (D) 182. 已知集合A = {x''' e x2 −2x ≤ 1}, B = {−1, 0, 1}, 则集合A ∩ B 的非空子集个数为( )(A) 4 (B) 3 (C) 8 (D) 73. 已知实部为3 的复数z 满足z · (1 −2i) 为纯虚数, 则|z| = ( )(D) √54. 已知数列{a n } 满足a n = 3n −b (n ∈ N* , b ∈ R), 则“b < 3”是“{|a n |} 是递增数列”的( )(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件5. 已知tan θ= 2, 则 sin 2θ= ( )(A) (B) 2 (C) 1 (D)6. 过抛物线E: y2 = 2px (p > 0) 的焦点F 的直线交E 于点A, B , 交E 的准线l 于点C , AD ⊥ l , 点D 为垂足.若F 是AC 的中点, 且|AF | = 3, 则|AB| = ( )(A) 4 (B) 2√3 (C) 3√2 (D) 37. 已知双曲线C: kx2 −y2 = 1 的左焦点为F , P (3m, −4m) (m > 0) 为C 上一点, 且P 与F 关于C 的一条渐近线对称, 则C 的离心率为( )(A) (B) √3 (C) 2 (D)√58. 已知函数f(x) 的定义域为R, 且满足f(x) + f(3 −x) = 4, f(x) 的导函数为g(x), 函数y = g(x −1) 的图象关于点(2, 1) 中心对称, 则f + g(2024) = ( )(A) 3 (B) −3 (C) 1 (D) −1二、多项选择题: 本题共3 小题, 每小题6 分, 共18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求, 全部选对的得6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得0 分.9. 已知函数cos 2x + sin 2x, 则( )(A) 函数f (x −关于原点对称(B) 曲线y = f(x) 的对称轴为x = + , k ∈ Z2 cos2 θ + 4 sin2 θ(C) f (x) 在区间单调递减(D) 曲线y = f (x) 在点(0, f (0)) 处的切线方程为2x −2y + 1 = 010. 已知二面角A −CD −B 的大小为, AC ⊥ CD , BD ⊥ CD , 且CD = 1, AC + BD = 2, 则( )(A) △ABD 是钝角三角形(B) 异面直线AD 与BC 可能垂直(C) 线段AB 长度的取值范围是[2, √5) (D) 四面体A −BCD 体积的最大值为11. 甲、乙两同学参加普法知识对抗赛, 规则是每人每次从题库中随机抽取一题回答. 若回答正确, 得 1 分, 答题继续; 若回答错误, 得0 分, 同时换成对方进行下一轮答题. 据经验统计, 甲、乙每次答题正确的概率分别是和 , 且第1 题的顺序由抛掷硬币决定. 设第i 次答题者是甲的概率为P i , 第i 次回答问题结束后中甲的得分是K i , 则( )(A) P2 =(C) P i+1= P i+ P i+ K i−1三、填空题: 本题共3 小题, 每小题5 分, 共15 分.12. (x + 3y)(x −y)8 的展开式中x3 y6 的系数为.13. 已知动点P 在圆M : (x −m + 1)2 + (y −m)2 = 1 上, 动点Q 在曲线y = ln x 上. 若对任意的m ∈ R, |PQ| ≥ n恒成立, 则n 的最大值是.14. 已知正六棱锥的高是底面边长的2√3 倍, 侧棱长为√13, 正六棱柱内接于正六棱锥, 即正六棱柱的所有顶点均在正六棱锥的侧棱或底面上, 则该正六棱柱的外接球表面积的最小值为.四、解答题: 本题共5 小题, 共77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 盒中有形状、大小均相同的卡片6 张, 卡片依次标记数字1, 2, 2, 3, 3, 3.(1) 若随机一次取出两张卡片, 求这两张卡片标记数字之差为1 的概率;(2) 若每次随机取出两张卡片后不放回, 直到将所有标记数字为2 的卡片全部取出, 记此时盒中剩余的卡片数量X , 求X 的分布列和E(X).16. 如图三棱锥P −ABC 中, PA = BC , AB = PC , AC ⊥ PB.(1) 证明: AB = BC;(2) 若平面PAC ⊥ 平面ABC , AC = √2AB , 求二面角A −PB −C 的余弦值.PA CB17. 已知定义在 (0, π) 上的函数 f (x) = cos 2 x + sin x.(1) 求 f (x) 的极大值点;(2) 证明: 对任意x 4 − x 2 + 1. 18. 已知椭圆的上、下顶点分别为 A(0, 1), B(0, −1), 其右焦点为 F , 且 F #---A -→ · B #---A -→ = F #---A -→ · F #---B -→ .(1) 求椭圆 C 的方程;(2) 若点 P (2, −1), 在直线 BP 上存在两个不同的点 P 1 , P 2 满足 P #---P ---1→ · P #---P ---2→ = P #---B -→2 . 若直线 AP 1 与直线 AP 2 分别交 C 于点 M , N (异于点 A), 证明: P , M , N 三点共线.19. 定义 △ABC 三边长分别为 a, b, c, 则称三元无序数组 (a,b, c) 为三角形数. 记 D 为三角形数的全集, 即 (a,b, c) ∈D.(1) 证明:“ (a,b, c) ∈ D ”是“(√a, √b, √c) ∈ D ”的充分不必要条件;(2) 若锐角 △ABC 内接于圆 O , 且 x O #---A -→ + y O #---B -→ + z O #---C -→ = 0, 设 I = (x,y, z) (x, y, z > 0).① 若 I = (3, 4, 5), 求 S △AOB : S △AOC ;② 证明: I ∈ D.。
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.绵阳南山中学2021级高三上期零诊考试试题数学(文科)第Ⅰ卷 (选择题,共60分))1.集合A =-2,-1,0,1,2 ,∁A B =-1,0,2 ,则B =( )A .-2 B .1C .-2,1D .-2,0,22.设z =1-i1+i+2i ,则z 的虚部为( )A .iB .3iC .1D .33.“m >2”是“关于x 的方程2x 2-m x +1=0有两个不等实根”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件4.已知sin α+π6 =-13,则cos π3-α =( )A .223B .-13C .-223D .135.已知向量a =3,0 ,b =-1,1 ,c =1,k ,若a +b ⎳c ,则实数k 的值为( )A .-2B .-1C .2D .126.折扇在我国已有三千多年的历史,“扇”与“善”谐音,折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化,也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图1),图2为其结构简化图,设扇面A ,B 间的圆弧长为l ,A ,B 间的弦长为d ,圆弧所对的圆心角为θ(θ为弧度角),则l 、d 和θ所满足的恒等关系为( )A .2sin θ2θ=d l B .sin θ2θ=d l C .2cos θ2θ=d l D .cos θ2θ=d l7.将f (x )=cos ωx -π4 (ω>0)的图象向左平移π3个单位长度后与函数g (x )=cos ωx 的图象重合,则ω的最小值为( )A .34B .12C .14D .328.已知函数f (x )在区间[-2,2]上的大致图象如图所示,则f (x )的解析式可以是( )A .f (x )=e x -e -x xB .f (x )=e x -e -x sin xC .f (x )=e x -e -x cos xD .f (x )=e x -e -x x 29.若点P 是曲线y =ln x -x 2上任意一点,则点P 到直线l :x +y -4=0距离的最小值为( )A .22B .2C .2D .2210.一架飞机从保山云瑞机场出发飞往昆明长水机场,两地相距350km ,因雷雨天气影响,飞机起飞后沿与原来飞行方向成15°角的方向飞行,飞行一段时间后,再沿与原来飞行方向成30°角的方向继续飞行至终点,则本架飞机的飞行路程比原来的350km 大约多飞了( )(参考数据:2≈1.41,3≈1.73)A .15kmB .25kmC .30kmD .40km11.下列结论正确的个数为( )①在△ABC 中,若a >b ,则cos A <cos B ;②在△ABC 中,不等式b 2+c 2-a 2>0恒成立,则△ABC 为锐角三角形;③在△ABC 中,若C =π4,a 2-c 2=bc ,则△ABC 为等腰直角三角形;④若△ABC 为锐角三角形,则sin A <B cos .A .1B .2C .3D .412.对于函数y =f x ,若存在非零实数x 0,使得f x 0 =-f -x 0 ,则称点x 0,f x 0 与点-x 0,f -x 0 是函数的一对“隐对称点”.若m >0时,函数f x =ln x ,x >0-mx 2-mx ,x ≤0的图象上恰有2对“隐对称点”,则实数m 的取值范围为( )A .0,1e B .1,+∞C .0,1e ∪1e,+∞ D .0,1 ∪1,+∞第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题(本大题共4小题,每题5分,共20分.)13.命题“∃x ∈-1,1 ,x 2-x +3<0”的否定是.14.曲线y =1x在x =3处切线的斜率为.15.函数y =2-sin x -cos 2x 的值域为.16.已知f (x )为奇函数,当x ∈(0,1],f (x )=ln x ,且f (x )关于直线x =1对称.设方程f (x )=x +1的正数解为x 1,x 2,⋯,x n ,⋯,且任意的n ∈N ,总存在实数M ,使得x n +1-x n <M 成立,则实数M 的最小值为.三、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(本小题满分12分)已知向量a ,b 满足a +b ⋅a -2b =-6,且a =1,b =2.(1)求a ⋅b ;(2)若a 与b 的夹角为θ,求θ的值.18.(本小题满分12分)函数f x =cos ωx +φ ω>0,φ <π2的相邻两条对称轴之间的距离为π2,且f π6=1.(1)求f x 的单调递减区间;(2)当x ∈-π6,π3时,方程f x -a =0恰有两个不同解,求实数a 的取值范围.19.(本小题满分12分)已知二次函数f x =x 2-2mx -1,m ∈R .(1)若函数f x +1 是偶函数,求m 的值;(2)是否存在m ,使得函数f x 有两个零点x 1和x 2x 1<x 2 ,且在区间x 1,x 2 内至少存在两个整数点?若存在,求出m 的取值范围;若不存在,请说明理由.20.(本小题满分12分)如图所示:(1)证明余弦定理:a2=b2+c2-2bc⋅cos A;(2)在△ABC边AC上侧有一点D,若A,B,C,D四点共圆,且∠ABC=π3,AB=2,AC= 3,求△ACD周长的取值范围.21.(本小题满分12分)已知函数f x =ln x+a a∈R.(1)若函数g x =f x +12x2+ax,讨论函数g x 的单调性;(2)证明:当a≤12时,f x <e x-sinθ.请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号.22. [选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=3cosαy=sinα(α为参数),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρsinθ+π4=22.(1)求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程;(2)点P为曲线C上一点,求点P到直线l距离的最小值.23.[选修4-5:不等式选讲](本小题满分10分)已知f x =2x+1+2x-1(1)解不等式f x ≤7;(2)若a+b+c=3,求证:∃x0∈R,使得f x0≤a+12+b2+c-12成立.数学(文科)参考答案一、选择题1.C2.C3.B4.B5.D6.A7.A8.C9.D10.B11.B12.D12.【详解】由题意可得,函数f(x)=-mx2-mx(x≤0)关于原点对称的图象g(x)= mx2-mx与函数f(x)=ln x(x>0)的图象有两个交点,即方程mx2-mx=ln x(x>0)有两个根,即m(x-1)=ln xx,令h(x)=ln xx(x>0),则h (x)=1-ln xx2,当0<x<e时,h (x)>0,当x>e时,h (x)<0,所以h(x)在0,e上递增,在e,+∞上递减,y=m(x-1)的图象恒过点(1,0),h(x)=ln xx(x>0)的图象也过点(1,0),因为h (1)=1,所以h(x)=ln x x(x>0)在x=1处的切线方程为y=x-1,由图可知当0<m<1或m>1时,h(x)=ln x x(x>0)与y=m(x-1)的图象有2个交点,即mx2-mx=ln x(x>0)有两个根,所以实数m的取值范围为0,1∪1,+∞,故选:D二、填空题13.∀x∈-1,1,x2-x+3≥014.-1915.32,316.2【详解】因为f(x)为奇函数,所以f x =-f-x,且f0 =0,又f(x)关于直线x=1对称,所以f1+x=f1-x,所以f2+x=f-x=-f x ,则f4+x=-f2+x=f x ,所以函数f x 是以4为周期的周期函数,作出函数y=f x 和y=x+1的图像如图所示:由f (x )=x +1的正数解依次为x 1、x 2、x 3、⋅⋅⋅、x n 、⋅⋅⋅,则lim n →∞(x n +1-x n )的几何意义为函数f x 两条渐近线之间的距离为2,所以lim n →∞(x n +1-x n )=2.所以得任意的n ∈N ,x n +1-x n <2,已知任意的n ∈N ,总存在实数M ,使得x n +1-x n <M 成立,可得M ≥2,即M 的最小值为2.故答案为:2.三、解答题17.(1)-1;(2)2π3.【详解】(1)解:a +b ⋅a -2b=a 2-a ⋅b -2b 2=-6,又因为a=1,b =2,∴a ⋅b =a2-2b 2+6=1-8+6=-1;(2)解:由题意可得cos θ=a ⋅b |a |⋅|b |=-12=-12,又因为θ∈[0,π],所以θ=2π3.18.(1)k π+π6,k π+2π3,k ∈Z ;(2)12,1 .【详解】(1)由题意可知,函数的周期T =2πω=2×π2,得ω=2,所以f π6 =cos 2×π6+φ =1,φ <π2,得φ=-π3,所以f x =cos 2x -π3,令2k π≤2x -π3≤2k π+π,解得:k π+π6≤x ≤k π+2π3,k ∈Z ;所以函数的单调递减区间是k π+π6,k π+2π3,k ∈Z ,(2)方程f x -a =0有两解,即a =f x ,x ∈-π6,π3,2x -π3∈-2π3,π3 ,所以f x ∈-12,1,又因为有两个不同解,所以由函数图象(略)可知,实数a 的取值范围是12,1 .19.(1)m =1;(2)-∞,0 ∪0,+∞ 【详解】(1)∵函数f x +1 是偶函数,∴f x +1 =f -x +1 对任意的x 恒成立.∴(x +1)2-2m x +1 -1=(-x +1)2-2m -x +1 -1,即4x -4mx =0.∴m =1.(2)∵二次函数f x 的图像开口向上且过点0,-1 ,对称轴为x =m ,∴对任意的实数m ,函数f x 都有两个零点x 1和x 2,且0∈x 1,x 2 .∴①当m =0时,函数f x =x 2-1的两个零点分别为-1,1,在区间-1,1 内只有一个整数点,不满足题目要求;②当m >0时,只需f 1 =-2m <0,即m >0,此时至少有两个整数0和1在区间x 1,x 2 内;③当m <0时,只需f -1 =2m <0,即m <0,此时至少有两个整数0和-1在区间x 1,x 2 内.∴m 的取值范围是-∞,0 ∪0,+∞ .20.(1)证明见解析;(2)(23,2+3].【详解】(1)向量法:因为BC =AC -AB,则BC 2=AC -AB 2=AC 2+AB 2 -2AC ⋅AB =b 2+c 2-2bc cos A ,即a 2=b 2+c 2-2bc cos A .(2)因为A ,B ,C ,D 四点共圆,所以D +B =π,D =π-B =2π3.在△ACD 中,由正弦定理得AD sin ∠ACD =CD sin ∠CAD =ACsin ∠ADC=2,即AD =2sin ∠ACD ,CD =2sin ∠CAD ,所以周长=AD +CD +AC =2(sin ∠ACD +sin ∠CAD )+3=2(sin ∠ACD +sin (π3-∠ACD )+3=sin ∠ACD +3cos ∠ACD +3=2sin (∠ACD +π3)+3,又因为∠ACD ∈(0,π3),所以(∠ACD +π3)∈(π3,2π3),所以sin (∠ACD +π3)∈(32,1],所以周长的取值范围为(23,2+3]21.(1)答案见解析;(2)证明见解析【详解】(1)g x =f x +12x 2+ax =ln x +a +12x 2+ax x >0 ,g x =1x +x +a =x 2+ax +1x,当a ≥0时,在区间0,+∞ 上,g x >0,g x 单调递增,当a <0时,若Δ=a 2-4≤0,即-2≤a <0时,在区间0,+∞ 上,g x >0,g x 单调递增,若Δ=a 2-4>0,即当a <-2时,函数y =x 2+ax +1的开口向上,对称轴x =-a2>1,令gx =0,即x 2+ax +1=0,解得x 1=-a -a 2-42,x 2=-a +a 2-42,而x 1+x 2=-a >0,x 1x 2=1>0,所以x 1,x 2是两个正根,所以在区间0,x 1 ,x 2,+∞ 上,g x >0,g x 单调递增,在区间x 1,x 2 上,g x <0,g x 单调递减.综上所述,当a ≥-2时,g x 在区间0,+∞ 上单调递增;当a <-2时,g x 在区间0,-a -a 2-42 ,-a +a 2-42,+∞上单调递增,在区间-a -a 2-42,-a +a 2-42上单调递减.(2)要证明:当a ≤12时,f x <e x -sin θ,即证明:当a ≤12时,ln x +a <e x -sin θ,即证明:当a ≤12时,ln x +a -e x +sin θ<0,构造函数h x =ln x +a -e x +sin θx >0,a ≤12,h x =1x -e x ,函数h x =1x-e x 在0,+∞ 上为减函数,h 1 =1-e <0,h 12 =2-e >0,所以存在x 0∈12,1 ,使h x =1x 0-e x=0,1x 0=e x,所以h x 在区间0,x 0 上h x >0,h x 单调递增,在区间x 0,+∞ 上,h x <0,h x 单调递减,h x ≤h x 0 =ln x 0-e x 0+a +sin θ=ln e -x 0-1x 0+a +sin θ=-x 0+1x 0+a +sin θ<-2x 0⋅1x 0+a +sin θ=-2+a +sin θ<0,即h x <0,所以当a ≤12时,ln x +a -e x +sin θ<0,所以当a ≤12时,f x <e x -sin θ.22.(1)直线l 的直角坐标方程为x +y -4=0,曲线C 的普通方程为x 23+y 2=1(2)2【详解】(1)由ρsin θ+π4 =22,得ρsin θcos π4+ρcos θsin π4=22,22ρsin θ+22ρcos θ=22,所以ρsin θ+ρcos θ=4,所以直线l 的直角坐标方程为x +y -4=0,由x =3cos αy =sin α (α为参数),得x23+y 2=1,即曲线C 的普通方程为x 23+y 2=1,(2)设点P (3cos α,sin α)(α∈[0,2π)),则点P 到直线l 距离为d =3cos α+sin α-412+12=2sin α+π3 -4 2,所以当sin α+π3 =1时,d 取得最小值22= 2.23.(1)-2,32;(2)证明见解析.【详解】(1)f x ≤7可化为x ≤-1-2x +1 -2x +1≤7 或-1<x <122x +1 -2x +1≤7或x ≥122x +1 +2x -1≤7,解得-2≤x ≤-1或-1<x <12或12≤x ≤32,∴f x ≤7解集为-2,32(2)f x =2x +1 +2x -1 ≥2x +1 -2x -1 =3当x =-1时取“=”,∴f x min =3∵a +b +c =3,∴a +1 +b +c -1 =3,∴12+12+12 a +1 2+b 2+c -1 2 ≥a +1 +b +c -1 2 =32,∴a +1 2+b 2+c -1 2≥3,故∃x 0∈R ,使得f x 0 ≤a +1 2+b 2+c -1 2.。
绝密★启用前试卷类型:A 日照一中2014级“圆梦之旅”(九)调研考试文科数学2017.4本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项:1.答题前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
3.第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第Ⅰ卷(共50分)一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合则A. B. C. D.【答案】C【解析】由题知,则,故本题选.2.已知i为虚数单位,则()A. B. C. D.【答案】D试题分析:.考点:1.复数运算;2.复数的模.视频3.命题“,”的否定是()A. ,B. ,C. ,D. ,【答案】D【解析】命题“,”的否定是,选D.4.执行如图的程序框图,若输出的,则输出的值可以为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析:模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的n,S的值,当S=48时,由题意,此时应该满足条件n=10>k,退出循环,输出S的值为48,故应有:7<k<10.解:模拟执行程序框图,可得不满足条件n>k,n=4,S=6不满足条件n>k,n=7,S=19不满足条件n>k,n=10,S=48由题意,此时应该满足条件n=10>k,退出循环,输出S的值为48,故应有:7<k<10故选:C.考点:程序框图.5.若满足约束条件则的最大值为A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】如图所示,作出可行域,由目标函数可得令,作出直线,结合图形得出直线平移过点时,截距最大,此时目标函数值最大.可得,则最大值为.故本题选.点睛:本题为线性规划问题.掌握常见的几种目标函数的最值的求法:①利用截距的几何意义;②利用斜率的几何意义;③利用距离的几何意义.往往是根据题中给出的不等式,求出的可行域,利用的条件约束,做出图形.数形结合求得目标函数的最值.6.矩形中,,为的中点,在矩形内随机取一点,则取到的点到的距离大于1的概率为A. B. C. D.【答案】D【解析】如图所示,由几何概型可知所求概率为.故本题选.7.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器——商鞅铜方升,其三视图如图所示(单位:寸),若取3,其体积为12.6(单位:立方寸),则图中的为()A. 1.2B. 1.6C. 1.8D. 2.4【答案】B【解析】由三视图知,商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成,由题意得:,,故选B.8.若将函数的图象沿轴向右平移个单位长度,所得部分图象如图所示,则的值为A. B. C. D.【答案】B【解析】若将函数的图沿轴向右平移个单位长度,可得函数,如图函数图像过,代入表达式得,可得.,知.故本题答案选.9.已知双曲线的左焦点是,离心率为,过点且与双曲线的一条渐近线平行的直线与圆在轴右侧交于点,若在抛物线上,则A. B. C. D.【答案】D【解析】双曲线的渐近线方程为,据题意,可设直线的斜率为,则直线的方程为:,解方程组得或.则点的坐标为.又点在抛物线上,得.可化为,可知.故本题答案选10.设函数若函数在处取得极值,则下列图象不可能为的图象是A. B.C. D.【答案】D【解析】对函数求导,可得,函数在时取得极值,则是方程的一个根,可得,得,则函数,对应方程两根之积为.对应所给图像,只有不成立.故本题答案选.第Ⅱ卷(共100分)二.填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.已知函数,则的值为____________.【答案】【解析】由对数运算和分段函数的性质可知.故本题填.点睛:求分段函数的函数值时,应该根据所给自变量的的大小选择相应的解析式求解,有时每段交替使用求值.若给出函数值求变量的值,应该根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值是否符合相应段的自变量的求值范围;分段函数的值域是各段函数值域的并集,函数的值域一定要写成集合或区间的形式.12.已知恒成立,则实数m的最大值为.【答案】10【解析】试题分析:,最大值为10考点:不等式性质13.三边的长分别为,,,若,,则_______.【答案】【解析】由题知故本题填.点睛:本题主要考查平面向量的基本定理,数量积.用平面向量的基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,并且运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合,在基底未给出的情况下进行向量的运算,合理地选取基底会给解题带来方便.进行向量运算时,要尽可能转化到平行四边形或三角形中.14.过抛物线的焦点的直线交抛物线于A,B两点,且,这样的直线可以作2条,则P的取值范围是_____________.【答案】【解析】过焦点且与轴垂直的只有一条,此时,可设过焦点的直线不与轴垂直时,设直线方程为.与抛物线联立方程消去可得,设,则,根据抛物线性质,得.则抛物线的焦点弦中通径长最短,则要使满足的直线可以作条,则通径,即.那么的取值范围是.故本题应填15.已知函数是定义在R的偶函数,当时,若函数有且仅有6个不同的零点,则实数a取值范围_____________________.【答案】【解析】由,可得或,由函数是定义在上的偶函数,当时,,所以有个零点,则有个不同的零点,又,则,又时,有个不同的零点,即.故.故本题应填.三、解答题:本大题共6小题,共75分.16.某校高三年级共有学生195人,其中女生105人,男生90人.现采用按性别分层抽样的方法,从中抽取13人进行问卷调查.设其中某项问题的选择分别为“同意”、“不同意”两种,且每人都做了一种选择.下面表格中提供了被调查人答卷情况的部分信息.(Ⅰ)完成上述统计表;(Ⅱ)根据上表的数据估计高三年级学生该项问题选择“同意”的人数;(Ⅲ)从被抽取的女生中随机选取2人进行访谈,求选取的2名女生中至少有一人选择“同意”的概率.【答案】(Ⅰ)如图所示;(Ⅱ)120人;(Ⅲ)【解析】试题分析:(Ⅰ)分层抽样为按比例抽样,先按男女比例,确定人中男,女生各自人数,再按表格所给进行填表;(Ⅱ)按样本中选择同意人数所占比例,去估计总体高三年级学生选择同意的人数;(Ⅲ)利用古典概型先求出两人都不同意的概率,再由互相对立的事件的概率和为求出结果.(Ⅰ)统计表如下:(Ⅱ)高三年级学生该项问题选择“同意”的人数估计有(人).(Ⅲ)设“同意”的4名女生分别为,“不同意”的3名女生分别为.从7人中随机选出2人的情况有,共21种结果.其中2人都选择“不同意”的情况有,共3种结果.设2名女生中至少有一人选择“同意”为事件,所求概率.17.已知向量,,函数.(Ⅰ)求函数的最小正周期;(Ⅱ)在中,分别是角的对边,且,,且,求的值.【答案】(I) (Ⅱ)【解析】试题分析:(Ⅰ)先利用向量的坐标运算将函数转化为三角函数的形式,再利用三角恒等变形将函数转化为的形式,可求得周期;(Ⅱ)先由所给函数值,代入求得值,再由余弦定理,结合的值,解方程组可得.试题解析:(I).故最小正周期(Ⅱ),,C是三角形内角,∴即:即:.将代入可得:,解之得:或4,,点睛:三角恒等变换与向量的综合问题是高考经常出现的问题,一般以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件,并结合简单的向量运算,往往是两微量平行或垂直的计算.将向量形式化为坐标运算后,接下来的运算仍然是三角函数的恒等变换以及三角函数,解三角形等知识的运用.18.在如图所示的几何体中,四边形是矩形,平面,,∥,,,分别是,的中点.(Ⅰ)求证:∥平面;(Ⅱ)求证:平面.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.【解析】试题分析:(1)连接,应用三角形中位线定理得∥.(2)连结,.可得到平面平面;通过证明,得到所以平面.通过确定四边形为平行四边形,进一步得到四边形为平行四边形,即可得证. 试题解析:证明:(1)连接,因为、分别是,的中点,所以∥.2分又因为平面,平面,所以∥平面.4分(2)连结,.因为平面,平面,所以平面平面6分因为,是的中点,所以所以平面.8分因为∥,所以四边形为平行四边形,所以. 10分又,所以所以四边形为平行四边形,则∥. 所以平面.12分考点:平行关系,垂直关系.19.设等差数列的前项和为,且,.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)设数列的前项和为,且(为常数),令,求数列的前项和。
文科数学试卷注意事项:1.答题前,考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分,考试用时120分钟.一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共6分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合305x A x x ⎧-⎫=<⎨⎬-⎩⎭,集合{}46B x x =<<,则A B = ()A .()3,6B .[)3,6C .[)4,5D .()4,52.瑞士数学家欧拉在1748年得到复数的三角方程:i e cos isin θθθ=+(i 为虚数单位),根据此公式可知,若i e 10θ+=,则θ的一个可能值为()A .0B .π2C .πD .3π23.cos 45cos15sin 45sin15+︒︒︒︒的值为()A .32B .32-C .12D .12-4.已知双曲线的方程为22143x y -=,双曲线右焦点F 到双曲线渐近线的距离为()A .1B C D .25.我国古代数学名著《增删算法统宗》中有如下问题:“一个公公九个儿,若问生年总不知,知长排来争三岁,其年二百七岁期.借问长儿多少岁,各儿岁数要详推.”大致意思是:一个公公九个儿子,若问他们的生年是不知道的,但从老大的开始排列,后面儿子比前面儿子小3岁,九个儿子共207岁。
问老大是多少岁?()A .38B .35C .32D .296.为了更好地配合我市“文明城市”的创建工作,我校开展了“文明行为进班级”的评比活动,现对甲,乙两个年级进行评比,从甲、乙两个年级中随机选出10个班级进行评比打分,每个班级成绩满分为100分,评分后得到如图所示的茎叶图,通过茎叶图比较甲、乙两个年级成绩的平均数及方差大小()A .x x <甲乙,22s s <甲乙B .x x >甲乙,22s s <甲乙C .x x <甲乙,22s s >甲乙D .x x >甲乙,22s s >甲乙7.若AB 是以O 为圆心,半径为1的圆的直径,C 为圆外一点,且2OC =,则CA CB ⋅=()A .3B .3-C .0D .不确定,随着直径AB 的变化而变化8.已知圆M 的方程为22680x y x y +--=,过点()0,4P 的直线l 与圆M 相交的所有弦中,弦长最短的弦为AC ,弦长量长的弦为BD ,则四边形ABCD 的面积为()A .30B .40C .60D .809.正四面体ABCD 的储视图为边长为1的正方形,则正四面体ABCD 的外接球的表面积为()A .3π2B .3π2C .3πD .12π10.已知()2sin cos f x x x =,下列结论中错误的是()A .()f x 即是奇函数也是周期函数B .()f x 的最大值为33C .()f x 的图象关于直线π2x =对称D .()f x 的图象关于点()π,0中心对称11.已卸抛物线()2:20C y px p =>,F 为C 的焦点,过焦点F 且倾斜角为α的直线l 与C 交于()11,A x y ,()22,B x y 两点,则下面陈述不正确的为()A .2121234x x y y p +=-B .22sin p AB α=C .112AF BF p+=D .记原点为O ,则2sin AOBp S α=12.下列四个命题:①1ln 22>,②2ln 2e>,③0.22.22log 0.4log 0.4log 0.4log 0.4a +=⋅,④1331log 7log 13<,其中真命题的个数为()A .1个B .2个C .3个D .4个二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.若x ,y 满足约束条件10,10,24,x y x y x y --≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩,则32x y +的最大值为________.14.ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若sin 2sin A C =,且三条边a ,b ,c 成等比数列,则cos A 的值为________.15.已知函数()ln 2f x x ax =-恰有三个零点,则实数a 的取值范围为________.16.边长为1的正方体ABCD A B C D ''''-,点FP 为面对角线CD '上一点,则AP BP +的最小值为________.三、解答题(共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)记n S 为正项数列{}n a 的前n 项和,且满足()241n n S a =+.(1)求数列{}n a 的通项;(2)求证:1223111112n n a a a a a a ++++< .18.(本小题满分12分)如图,在等腰梯形ABCD 中,AB CD ,222AB CD AD ===,将ADC 沿着AC 翻折,使得点D 到点P ,且AP BC ⊥.(1)求证:平面APC ⊥平面ABC ;(2)求点C 到平面APB 的距离.19.(本小题满分12分)为了调查高中生文理科偏向情况是否与性别有关,设计了“更擅长理科,理科文科无差异,更擅长文科三个选项的调在问卷”,并从我校随机选择了55名男生,45名女生进行问卷调查,问卷调查的统计情况为:男生选择更擅长理科的人数占25,选择文科理科无显著差异的人数占15,选择更擅长文科的人数占25;女生选择更擅长理科的人数占15,选择文科理科无显著差异的人数占35,选择更擅长文科的人数占15.根据调查结果制作了如下22⨯列联表.更擅长理科其他合计男生女生合计(1)请将22⨯的列联表补充完整,并判断能否有95%的把握认为文理科偏向与性别有关;(2)从55名男生中,根据问卷答题结果为标准,采取分层抽样的方法随机抽取5人,再从这5人中随机选取2人,求所选的2人中恰有1人更擅长理科的概率.附:()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++,其中n a b c d =+++.()20P K k ≥0.0500.0250.0100.0010k 3.8415.0246.63510.82820.(本小题满分12分)已知点()2,0M -,()2,0N ,点P 满足:直线PM 的斜率为1k ,直线PN 的斜率为2k ,且1234k k ⋅=-.(1)求点(),P x y 的轨迹C 的方程;(2)过点()1,0F 的直线l 交曲线C 于A ,B 两点,问在x 轴上是否存在点Q ,使得QA QB ⋅为定值?若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.21.(本小题满分12分)已知()22ln f x ax x x =-+.(1)若12a =-,求()f x 的最大值;(2)若()f x 有两个不同的极值点1x ,2x ,证明:()()()121214ln 543f x f x x x +++<-.请考生在第22、23两题中任选一题作答,并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致,在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)【选修4-4:坐标系与参数方程】在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,以x 轴的正半轴为极轴,曲线C 的极坐标方程为2ρ=,直线l的参数方程为2,,x t y =--⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数).(1)求曲线C 和直线l 的直角坐标方程;(2)设点(P -,直线l 与曲线C 有不同的两个交点分别为A ,B ,求11PA PB+的值.23.(本小题满分10分)【选修4-5:不等式选讲】已知函数()123f x x x =-+-.(1)求函数()f x 的最小值M ;(2)若0a >,0b >,且a b M +=,证明:22111a b a b +≥++.云南师大附中2021届高考适应性月考卷(二)文科数学参考答案一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)题号123456789101112答案DCACBAABCBDB【解析】1.由题意知,()3,5A =,()4,6B =,所以()4,5A B =,故选D .2.由题意知,iπe 1cos πisin π10+=++=,故选C .3.原式()3cos4515cos302︒==︒︒-=,故选A .4.由题意知,双曲线的右焦点为)F,双曲线的渐近线方程为2y x =±,即20y -=,所以点)F到渐近线的距离d ==,故选C .5.由题意可知,九个儿子的年龄可以看成以老大的年龄1a 为首项,公差为3-的等差数列,所以()198932072a ⨯+⨯-=,解得135a =,故选B .6.由茎叶图可知,甲年级的平均分主要集中在70多分,而且比较集中,而乙主要集中在80分以上,但是比较分散,故选A .7.如图,()()()g g CA CB CO OA CO OB CO OA =++=+,A .8.圆M 的标准方程为()()223425x y -+-=,即圆是以()3,4M 为圆心,5为半径的圆,且由()()220344925-+-=<,即点()0,4P 在圆内,则最短的弦是以()0,4P 为中点的弦,所以22592AC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,所以8AC =,过()0,4P 最长的弦BD 为直径,所以10BD =,且AC BD ⊥,故而1g g 402ABCD S AC BD ==,故选B .9.如图,该正四面体可以看成边长为1的正方体六个面对角线组成的正四面体ABCD ,所以正四面体ABCD 的外接球,即为边长为1的正方体的外接球,所以外接球的半径为32,则24π3π2S ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭,故选C .10.由()2sin cos f x x x =,所以()()()()22sin cossin cos f x x x x x f x -=--=-=-,所以()f x 是奇函数;()()()()222πsin 2πcos2πsin cos f x x x x x f x +=++==,所以()f x 又是周期函数;()()()()22πsin πcos πsin cos f x x x x x f x -=--==,所以()f x 关于直线π2x =对称;()()()()222πsin 2πcos 2πsin cos f x x x x x f x -=--=-=-,所以()f x 关于点()π,0对称,即选项A ,C ,D 正确;又()()()()222222sin cos sin 1sin 1sin f x x x x x x ==--()()22232sin 1sin 1sin 12422327x x x --⎛⎫=≤=⎪⎝⎭,当且仅当3sin 3x =,()max 239f x =,故B 选项错误,故选B .11.由题意知,令直线2px my =+,()11,A x y ,()22,B x y ,与抛物线2:2C y px =联立方程,消去x 得2220y pmy p --=,所以122y y pm +=,212y y p =-,所以21212224p p p x x my my ⎛⎫⎛⎫=++=⎪⎪⎝⎭⎝⎭,则2121234x gx y y p +=-,故A 正确;由1πtan 2m αα⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭,所以12AB AF BF x x p =+=++()212222m y y p pm p =++=+=()222122121tan sin p p m p αα⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭,当π2α=时,经检验22sin p AB α=亦成立,故B 确;所以12121211112222x x p p p p p AF BF x x x x +++=+=⎛⎫⎛⎫++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()122121224x x pp p x x x x ++==+++()()121222121222424x x p x x p p p p p p x x p x x ++++==+++++,故C 正确.如图,作OE 垂直AB 于E ,则22112g g g sin 22sin 22sin AOBp p p S AB OE ααα=== ,当π2α=时,经检验22sin AOB p S α= 亦成立,故D 错误,故选D.12.由2ln 2ln 4ln e 1=>=,故①正确;由2ln 2ln e ln 2e 2e >⇔>,考察函数ln x y x =,21ln x y x -'=,所以当()0,e x ∈时,0y '>,即y 在()0,e 上单调递增,当()e,x ∈+∞时,0y '<,即y 在()e,+∞上单调递减,所以e x =时,y 取到最大值1e ,所以ln 2ln e2e<,故②错误;令0.2log 0.4a =,2log 0.4b =,所以0.40.40.411log 0.2log 2log 0.41a b+=+==,所以a b ab +=,即0.220.22log 0.4log 0.4log 0.4glog 0.4+=,故③正确;由4372401219713=>=,所以133log 74>,由4313285612979131=<=,所以313log 134<,故④错误,故选B .二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)【解析】13.约束条件所表示的线性区域,如图所示,又有题意知:32x y +在点()3,2A 处取得最大值,所以32x y +的最大值为13.14.由正弦定理知:sin 2sin a A c C==,又2b ac =,所以::2:1a b c =,从而由余弦定理得22222212cos 24b c aA bc+-+-===-.15.如图,函数()f x 恰有三个零点,等价于方程ln 2x ax =,有三个解,即函数ln y x =与函数2y ax =的图象有三个交点,又有2y ax =为过原点的直线,由图可知,当且仅当2y ax =为ln y x =切线的时候,方程ln 2x ax =恰有两个解,故而,令2y ax =为ln y x =的切线,设切点为()00,ln A x x ,则线的方程为()0001ln y x x x x -=-,由于切线过原点,所以0ln 1x =,即0e x =,此时直线的斜率为1e,由题意知,102e a <<,即10,2e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.16.如图甲,将等边ACD ' 沿CD '向后旋转到与面A BCD ''共面,得到等边1A CD ' ,则AP BP +的最小值即为图乙中线段1A B 的长,取A B '的中点I ,由题意知:等边ACD ' 的边长为,A BCD ''是以1BC =,A B '=1A B ===.甲乙三、解答题(共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)(1)解:当1n =时,由11S a =,所以()21141a a =+,解得11a =,当2n ≥时,由()241n n S a =+①,则()21141n n S a --=+②,由①式减去②式得()()221411n n n a a a -=+-+,即()()()2211112n n n n n n n n a a a a a a a a ----+=-=+-,由题意知,10n n a a -+>,所以12n n a a --=,则数列{}n a 为11a =,公差为2的等差数列,所以21n a n =-.(6分)(2)证明:由(1)知,()()111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭,所以122311111111111213352121n n a a a a a a n n +⎛⎫+++=-+-++- ⎪-+⎝⎭11112212n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭,证毕.(12分)18.(本小题满分12分)(1)证明:由等腰梯形222AB CD AD ===,则60ABC ∠=︒,又2AB BC =,所以AC BC ⊥①,又BC AP ⊥②又 AC AP A =③,由①②③知,BC ⊥平面APC ,所以平面,APC ⊥平面ABC .(6分)(2)解:如图,取AB 的中点E ,连接DE ,CE ,AC ,则AECD 为菱形,且60DAE ∠=︒,则AC DE ⊥,记垂足为O ,则12DO =,AC =,由(1)知,平面APC ⊥平面ABC,如图,又DO AC ⊥,所以DO ⊥平面ABC ,由(1)知,BC ⊥平面APC ,即BC CP ⊥,又1BC CP ==,所以BP =,所以13g 22ACB S AC CB ==,在ABP 中,由2AB =,1AP =,BP =所以2223cos 2g 4PA AB PB PAB AB AP +-∠==,所以sin 4PAB ∠=,则17g gsin 24PAB S AP AB PAB =∠=.设点C 到平面APB 的距离为h ,由P ACB C ABP V V --=,得11g g 33ACB ABP PO S h S = ,即217ACB ABP POgS h S == .(12分)19.(本小题满分12分)解:(1)补充22⨯的列联表如下:更擅长理科其他合计男生223355女生93645合计3169100所以()221002236933100334.628 3.841554531693123K ⨯⨯-⨯⨯==≈>⨯⨯⨯⨯,所以有95%的把握认为文理科偏向与性别有关.(6分)(2)由题意可知,选取的5人中,有2人更擅长理科,3人不更擅长理科,用1A ,2A 表示更擅长理科的两人,用1B ,2B ,3B 表示其他三人,则从这5人中,任取2人共有以下10种情况:()12,A A ,()11,A B ,()12,A B ,()13,A B ,()21,A B ,()22,A B ,()23,A B ,()12,B B ,()13,B B ,()23,B B ,满足条件的有()11,A B ,()12,A B ,()13,A B ,()21,A B ,()22,A B ,()23,A B ,共6种情况,所以所选的2人中恰有1人更擅长理科的概率为35.(12分)20.(本小题满分12分)解:(1)由题意知:()122y k x x =≠-+,()222y k x x =≠-,由123gk 4k =-,即()32224y y g x x x =-≠±+-,整理得点(),P x y 的轨迹C 的方程为()221243x y x +=≠±.(4分)(2)假设在x 轴上存在点()0,0Q x ,使得g QA QB 为定值.当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为()()10y k x k =-≠,联立方程()221,431,x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y 得()22223484120k x k x k +-+-=,令()11,A x y ,()22,B x y ,则2122834k x x k +=+,212241234k x gx k-=+,由()101,QA x x y =-,()202,QB x x y =-,所以()()()()()()2102012102012g 11QA QB x x x x y y x x x x kx x =--+=--+--()()()22221201201k x x x k x x k x =+-++++()2022581234x k x k-+-=++,将0x 看成常数,要使得上式为定值,需满足05816x +=,即0118x =,此时135g 64QA QB =-;当直线l 的斜率不存在时,可得31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭,31,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭,11,08Q ⎛⎫⎪⎝⎭,所以33,82QA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,33,82QB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,135g 64OA QB =-,综上所迷,存在11,08Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭,得g QA QB 为定值.(12分)21.(本小题满分12分)(1)解:当12a =-时,()212ln 2f x x x x =--+,所以()21f x x x'=--+,则()f x '在()0,+∞上是单调递减函数,且有()10f '=,当()0,1x ∈时,()0f x '>,即()f x 为()0,1上的增函数,当()1,x ∈+∞时,()0f x '<,即()f x 为()1,+∞上的减函数,所以()()max 312f x f ==-.(6分)(2)证明:由题意知:由()222ax x f x x-+'=则1x ,2x 即为方程2220ax x -+=的两个不同的正根,故而需满足:12121160,10,210,a x x a x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩解得116a >,所以()()()()22121211122212112ln 2ln 33f x f x x x ax x x ax x x x x +++=-++-+++()()211212*********ln 2ln 2312a a x x x x x x x x g a ⎛⎫⎡⎤=+-+-+=-+- ⎪⎣⎦⎝⎭,令116t a =>,()()()1212112ln 2312f x f x x x t t +++=-+-,令()12ln 212g t t t =-+-,所以()1212g t t'=-+,则()g t '为()16,+∞上的减函数,且()240g '=所以当()16,24t ∈时,()0g t '>,即()g t 为()16,24上的增函数;当()24,t ∈+∞时,()0g t '<,即()g t 为()24,+∞上的减函数,所以()()max 242ln 244g t g ==-,所以()()()121212ln 2442ln 2544ln 543f x f x x x +++≤-<-=-,证毕.(12分)22.(本小题满分10分)【选修4-4:坐标系与参数方程】解:(1)由222x y ρ=+,所以曲线C 的直角坐标方程为224x y +=,由2,,x t y =--⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),消去t 得直线l的直角坐标方程为0y +=.(5分)(2)由题意知,关于点(P -的直线l的参数方2,23,2t x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数),代入曲线C 的直角坐标方程得211270t t ++=,又121108130∆=-=>,所以方程有两个不同的解1t ,2t ,又12110t t +=-<,12g 270t t =>,所以10t <,20t <,有1t ,2t 的几何意义可知,121212121111111127t t PA PB t t t t t t ⎛⎫++=+=-+=-= ⎪⎝⎭.(10分)23.(本小题满分10分)【选修4-5:不等式选讲】(1)解:由绝对值三角不等式可知:()12313132f x x x x x x x =-+-≥-+-≥-+-=,当且仅当3x =时,两个不等式同时取等号,所以()f x 的最小值2M =.(5分)(2)证明:由(1)知,2a b +=,则()()114a b +++=,所以()()()()2211111112121111a b a b a b a b +-+-+=+-+++-+++++()111111144a b a b ⎛⎫++++ ⎪++⎝⎭⎝⎭=≥=当且仅当1a b ==,不等式取等号,所以22111a b a b +≥++.(10分)。
日照市高三模拟考试数学试题2021.3考生注意:1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束,将试题卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.复平面内表示复数z=i(a−i)(a<0)的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.设集合A={x|x2+x−2<0},B={x|2x−3>0},则A∩B=A. (−32,1) B. (−32,−1) C. (−1,2) D. (−2,1)3.要将甲、乙、丙、丁4名同学分到A,B,C三个班中,要求每个班至少分到一人,则甲被分到A班的分法种数为A. 6B. 12C. 24D. 364.明朝早期,郑和七下西洋过程中,将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性地应用于航海,形成了一套先进的航海技术——“过洋牵星术”,简单地说,就是通过观测不同季节、时辰的日月星辰在天空运行的位置和测量星辰在海面以上的高度来判断水位.其采用的主要工具是牵星板,其由12块正方形模板组成,最小的一块边长约2厘米(称一指),木板的长度从小到大依次成等差数列,最大的边长约24厘米(称十二指).观测时,将木板立起,一手拿着木板,手臂伸直,眼睛到木板的距离大约为72厘米,使牵星板与海平面垂直,让板的下缘与海平面重合,上边缘对着所观测的星辰依高低不同替换、调整木板,当被测星辰落在木板上边缘时所用的是几指板,观测的星辰离海平面的高度就是几指,然后就可以推算出船在海中的地理纬度。
如图所示,若在一次观测中,所用的牵星板为六指板,则sin2α约为A. 1235B. 1237C. 16D. 135.函数y=a3−x(a>0,且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在椭圆x2m +y2n=1(m>0,n>0)上,则m+n的最小值为A. 12B. 14C. 16D. 186.如图所示,单位圆上一定点A与坐标原点重合.若单位圆从原点出发沿x轴正向滚动一周则A点形成的轨迹为7.将函数y=sinx 的图象向左平移π2个单位,得到函数y=f(x)的图象,则下列说法正确的是 A. y=f(x)是奇函数B. y=f(x)的周期为πC. y=f(x)的图象关于点(−π2,0)对称D. y=f(x)的图象关于直线x=π2对称8.已知直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的侧棱长为2,AB ⊥BC ,AB=BC=2.过AB ,BB 1的中点E ,F 作平面α与平面AA 1C 1C 垂直,则所得截面周长为A. 2√2+√6B. √2+2√6C. 3√2+√6D. 3√2+2√6二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。
专题4-2 三角函数图像与性质归类目录一、热点题型归纳【题型一】平移1:正弦←→余弦 (1)【题型二】平移2:识图平移 (3)【题型三】平移3:恒等变形平移 (4)【题型四】平移4:中心对称,轴对称,单调性等性质 (5)【题型五】平移5:最小平移 (6)【题型六】平移6:求w 最值 (7)【题型七】正余弦函数对称轴 (8)【题型八】正余弦对称中心 (9)【题型九】三角函数周期 (9)【题型十】单调性与最值 (11)【题型十一】正余弦“和”与“积”性质、最值 (11)【题型十二】三角函数零点 (12)【题型十三】图像与性质:x1与x2型 (13)【题型十四】三角函数最值 (14)【题型十五】万能代换与换元 (15)【题型十六】图像和性质综合 (15)二、真题再现 (16)三、模拟检测 (178)【题型一】平移1:正弦←→余弦【典例分析】(2022·安徽省太和中学高三阶段练习)已知函数()()πcos 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭,若()f x 的图象向右平移π12个单位后,得到函数()2πsin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象,则( )A .6π=ϕB .π4ϕ= C .π3ϕ= D .2π5ϕ=1(2023·全国·高三专题练习)已知直线8x π=是函数()2sin(2)||2πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭f x x 的图像的一条对称轴,为了得到函数()y f x =的图像,可把函数2cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像( )A .向左平移24π个单位长度B .向右平移24π个单位长度C .向左平移12π个单位长度 D .向右平移12π个单位长度2.(2022·全国·高三专题练习)为得到函数cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象,只需将函数sin 24y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭图象上所有的点( )A .向左平移712π个单位长度B .向右平移712π个单位长度 C .向左平移724π个单位长度D .向右平移724π个单位长度3.(2023·全国·高三专题练习)为了得到函数πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象,可以将函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象( )A .向左平移5π24个单位 B .向右平移7π24个单位 C .向右平移5π24个单位D .向左平移7π24个单位【题型二】平移2:识图平移【典例分析】(2022·陕西·渭南市华州区咸林中学高三开学考试(理))如图,函数()()π2sin 0,||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图像过()π,0,2π,22⎛⎫⎪⎝⎭两点,为得到函数()()2cos g x x ωϕ=-的图像,应将()f x 的图像( )A .向右平移7π6个单位长度 B .向左平移7π6个单位长度 C .向右平移5π2个单位长度D .向左平移5π2个单位长度()++(0)0Asin x b A ,的步骤和方法:确定函数的最大值M 和最小值2M mA ,2M mb; :确定函数的周期T ,则可2T得=; :常用的方法有代入法和五点法. 把图象上的一个已知点代入(此时A b ,,已知)或代入图象与直线y b =的交点求解注意交点是在上升区间上还是在下降区间上).五点法”中的某一个点为突破口.【变式演练】1.(2022·河南·高三阶段练习(理))函数()()2sin f x x ωϕ=+(0>ω且0πϕ<<)在一个周期内的图象如图所示,将函数()y f x =图象上的点的横坐标伸长为原来的2倍,再向右平移π4个单位长度,得到函数()y g x =的图象,则π3g ⎛⎫= ⎪⎝⎭( )AB .1C .-1D .2.(2022·全国·长垣市第一中学高三开学考试(理))将函数sin y x =的图象上所有点的横坐标变为原来的(0)m m >倍,纵坐标不变,再将所得函数图象向左平移(0)ϕϕπ<<个单位长度,最后将所得函数图象上所有点的纵坐标变为原来的(0)n n >倍,横坐标不变,得到如图所示的函数()f x 的部分图象,则,,m n ϕ的值分别为( )A .22,2,3m n πϕ===B .12,2,23m n πϕ===C .2,2,3m n πϕ===D .1,2,23m n πϕ===3.(2022·四川省内江市第六中学模拟预测(文))已知函数()()cos 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭,将函数()f x 的图象向左平移34π个单位长度,得到函数()g x 的部分图象如图所示,则3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭( )A .12 B .12-C D .【题型三】平移3:恒等变形平移【典例分析】(2022·湖北·高三开学考试)要得到2()sin 43g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象,只需要将22()cos 2sin 2f x x x =-的图象( ) A .向左平移24π个单位长度 B .向右平移24π个单位长度 C .向左平移12π个单位长度D .向右平移12π个单位长度【变式演练】1.(2023·全国·高三专题练习)已知函数()2sin cos f x x x =+的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度后得到函数()sin 2cos g x x x =+的图象,则()g ϕ=( )A .65B .115C .15 D .852.(2022·全国·高三专题练习)为了得到函数2cos2y x =的图象,只需把函数2cos 2y x x =+的图象( ) A .向左平移3π个单位长度 B .向右平移3π个单位长度C .向左平移6π个单位长度 D .向右平移6π个单位长度3.(【百强校】2015届浙江省宁波市镇海中学高三5月模拟考试理科数学)设()cos 22f x x x =,把()y f x =的图像向左平移(0)ϕϕ>个单位后,恰好得到函数()cos 22g x x x =-的图象,则ϕ的值可以为( ) A .6π B .3πC .23πD .56π【题型四】平移4:中心对称,轴对称,单调性等性质【典例分析】(2022·安徽·高三开学考试)将函数()sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<的图象向右平移6π个单位长度得到()g x 的图象,若()g x 的图象关于直线3x π=对称,则6g π⎛⎫= ⎪⎝⎭( )A .B .12-C .0D .12)+)00((Asin x A ,两个点关于中心对称,则函数值互为相反数。
山东省日照第一中学2021年高三4月“圆梦之旅”(九)数学(文)试题学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、单选题1.已知集合{}21,2,3,{|60},A B x x x ==--=则A B =A .{1}B .{2}C .{3}D .{2,3} 2.已知i 为虚数单位,则21i i-=+( ) AB .52CD3.命题“0x R ∃∈,000cos 1x x x e+->”的否定是( ) A .0x R ∃∈,000cos 1x x x e +-< B .0x R ∃∈,000cos 1x x x e +-≥ C .x R ∀∈,cos 1x x x e +-≥ D .x R ∀∈,cos 1x x x e +-≤ 4.执行如图所示的程序框图,若输出的结果为48,则输入k 的值可以为A .6B .10C .8D .45.若,x y 满足约束条件10,{20,220,x y x y x y -+≤-≤+-≤则z x y =+的最大值为A .0B .1C .2D .36.已知ABCD 为长方形,2AB =,1BC =,O 为AB 的中点,在长方形ABCD 内随机取一点,取到的点到O 的距离大于1的概率为( )A .4πB .14π- C .8π D .18π-7.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器--商鞅铜方升,其三视图如图所示(单位:寸),若π取3,其体积为12.6(立方寸),则图中的x 为( )A .1.2B .1.6C .1.8D .2.48.若将函数()2sin 2f x x =的图象沿x 轴向右平移(0)2πϕϕ<<个单位长度,所得部分图象如图所示,则ϕ的值为A .12πB .6πC .3πD .23π 9.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点是(,0)F c -,离心率为e ,过点F 且与双曲线的一条渐近线平行的直线与圆222x y c +=在y 轴右侧交于点P ,若P 在抛物线22y cx =上,则2e =A B C 1 D10.设函数2()f x ax bx c =++(a ,b ,R c ∈),若函数()e x y f x =在1x =-处取得极值,则下列图象不可能为()y f x =的图象是( )A .B .C .D .二、填空题11.已知函数2,(1)(){(1),(1)x x f x f x x <=-≥,则2(log 9)f 的值为____________. 12.已知0,0,2x y xy x y >>=+,若xy 2m ≥-恒成立,则实数m 的最大值为___ 13.ABC ∆三边的长分别为3AC =,4BC =,5AB =,若13AD AB =,12BE BC =,则CD CE ⋅=_______.14.过抛物线22(0)y px p =>的焦点的直线交抛物线于A,B 两点,且4AB =,这样的直线可以作2条,则P 的取值范围是_____________.15.已知函数f(x)是定义在R 的偶函数,当x ≥0时, f(x)={32cos π2(1−x),0≤x ≤1(12)x +1,x >1若函数g(x)=5[f(x)]2−(5a +6)f(x)+6a(a ∈R)有且仅有6个不同的零点,则实数a 取值范围_____________________.三、解答题16.某校高三年级共有学生195人,其中女生105人,男生90人.现采用按性别分层抽样的方法,从中抽取13人进行问卷调查.设其中某项问题的选择分别为“同意”、“不同意”两种,且每人都做了一种选择.下面表格中提供了被调查人答卷情况的部分信息.(Ⅰ)完成上述统计表;(Ⅱ)根据上表的数据估计高三年级学生该项问题选择“同意”的人数;(Ⅲ) 从被抽取的女生中随机选取2人进行访谈,求选取的2名女生中至少有一人选择“同意”的概率.17.已知向量22cos m x =(,1,sin2n x =(),函数()f x m n =⋅. (Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期;(Ⅱ)在ABC 中,,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,且()3,1f C c ==,=ab 且a b >,求,a b 的值.18.在如图所示的几何体中,四边形11BB C C 是矩形, 1BB ⊥平面ABC , CA CB =, 11A B ∥AB , 112AB A B =, E , F 分别是AB , 1AC 的中点.(Ⅰ)求证: EF ∥平面11BB C C ;(Ⅱ)求证: 11C A ⊥平面11ABB A .19.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且424S S =,221n n a a =+.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设数列{}n b 的前n 项和为n T ,且12n n n a T λ++= (λ为常数),令()*2n n c b n N =∈,求数列{}n c 的前n 项和n R 。
20.已知函数()ln mx f x x =,曲线()y f x =在点()()22,e f e 处的切线与直线20x y +=垂直(其中e 为自然对数的底数).(I )求()f x 的解析式及单调递减区间;(II )是否存在常数k ,使得对于定义域内的任意(),ln k x f x x>+在,求出k 的值;若不存在,请说明理由.21.如图所示,椭圆E 的中心为坐标原点,焦点12,F F 在x 轴上,且1F 在抛物线24y x =的准线上,点P 是椭圆E 上的一个动点,12PF F △(Ⅰ)求椭圆E 的方程;(Ⅱ)过焦点12,F F 作两条平行直线分别交椭圆E 于,,,A B C D 四个点.①试判断四边形ABCD 能否是菱形,并说明理由;②求四边形ABCD 面积的最大值.参考答案1.C【解析】由题知{}2,3B =-,则{}3A B ⋂=,故本题选C .2.D【解析】试题分析: ()()()()212131112i i i i i i i -⋅---====++⋅-. 考点:1.复数运算;2.复数的模. 视频3.D【解析】命题“0x R ∃∈,000cos 1x x x e+->”的否定是x R ∀∈,cos 1x x x e +-≤ 选D.4.C【分析】执行如图所示的程序框图,逐次循环,计算其运算的结果,根据选项即可得到答案.【详解】由题意可知,执行如图所示的程序框图,可知:第一循环:134,2146n S =+==⨯+=;第二循环:437,26719n S =+==⨯+=;第三循环:7310,2191048n S =+==⨯+=,要使的输出的结果为48,根据选项可知8k,故选C.【点睛】本题主要考查了循环结构的计算与输出问题,其中解答中正确理解循环结构的程序框图的计算功能,逐次准确计算是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题. 5.B【解析】如图所示,作出可行域,由目标函数可得y x z =-+令0z =,作出直线y x =-,结合图形得出直线平移过A 点时,截距最大,此时目标函数值最大.可得()0,1A ,则z 最大值为1.故本题选B .点睛:本题为线性规划问题.掌握常见的几种目标函数的最值的求法:①()0z ax by b =+≠利用截距的几何意义;②()0ay b z ac cx d +=≠+利用斜率的几何意义;③()()22z x a y b =-+-利用距离的几何意义.往往是根据题中给出的不等式,求出(),x y 的可行域,利用(),x y 的条件约束,做出图形.数形结合求得目标函数的最值.6.B【详解】根据几何概型得:取到的点到O 的距离大于1的概率:221214d P D ππ-====-⨯圆外部分的面积矩形的面积,故选B. 7.B【解析】由三视图知,商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成,由题意得:()215.43112.62x x π⎛⎫-⨯⨯+⋅= ⎪⎝⎭, 1.6x =,故选B.8.B【解析】若将函数()2sin2f x x =的图沿x 轴向右平移φ(0φ)2π<<个单位长度,可得函数()()2sin 2φf x x =-,如图函数图像过5π,212⎛⎫⎪⎝⎭,代入表达式得5π2sin 2φ212⎛⎫-= ⎪⎝⎭,可得ππ6k ϕ=-.02πϕ<<又,知π6ϕ=.故本题答案选B . 9.D【解析】 双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为b y x a =± ,据题意,可设直线PF 的斜率为b a ,则直线PF 的方程为:()b y x c a =+ ,解方程组()222{x y c b y x c a+==+ 得{0x c y =-= 或 22{2a b x c ab y c-==.则 P 点的坐标为 222,a b ab c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭.又点P 在抛物线22y cx =上,得22222ab a b c c c -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭.可化为 442a c =,可知22e =.故本题答案选D 10.D【解析】因2()f x ax bx c =++,故2()()x x y f x e ax bx c e ==++,则22(2)[(2)]x x y ax b ax bx c e ax a b x b c e =++++=++++',由题设中极值点的定义1(2)0a a b b c ⨯-+++=,即a c =,所以2()f x ax bx a =++,对照题设中的函数图像不难看出:若0a >,方程2()0f x ax bx a =++=的两根之积是1,答案A 成立,答案D不成立;若0a <,方程2()0f x ax bx a =++=的两根之积是1,答案B ,C 都可能成立,应选答案D .点睛:解答本题时须充分借助题设中提供的函数的图像中的有效信息及导数、二次函数的图像和性质等数学知识,综合运用所学知识进行分析推断,进而使得表面上看似较为困难问题简捷、巧妙获解.11.98【解析】由对数运算和分段函数的性质可知()()2222229999log 9log 91log log 1log log 12244f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==-==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 29log 8299log 288f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭.故本题填98. 点睛:求分段函数的函数值时,应该根据所给自变量的的大小选择相应的解析式求解,有时每段交替使用求值.若给出函数值求变量的值,应该根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值是否符合相应段的自变量的求值范围;分段函数的值域是各段函数值域的并集,函数的值域一定要写成集合或区间的形式.12.10【解析】试题分析:28xy x y xy =+≥≥≥2810m m ∴-≤∴≤,最大值为10考点:不等式性质13.83 【解析】由题知()12CD CE CA AD CB ⋅=+⋅ 1132CA AB CB ⎛⎫=+⋅= ⎪⎝⎭()2211111840326363CA CB CA CB CB CA CB ⎛⎫+-⋅=-⋅=⨯-= ⎪⎝⎭ 故本题填83.点睛:本题主要考查平面向量的基本定理,数量积.用平面向量的基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,并且运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合,在基底未给出的情况下进行向量的运算,合理地选取基底会给解题带来方便.进行向量运算时,要尽可能转化到平行四边形或三角形中.14.02p << 【解析】过焦点且与x 轴垂直的只有一条,此时2AB p =,可设过焦点的直线不与x 轴垂直时,设直线方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.与抛物线联立方程消去y 可得()222224480k x k p p x k p -++=,设()()1122,,,A x y B x y ,则21222k p px x k++=,根据抛物线性质,得()122222pAB AF BF p x x p p k =+=++=+>.则抛物线的焦点弦中通径长最短,则要使满足||4AB =的直线可以作2条,则通径24p <,即2p <.那么p 的取值范围是(0,2).故本题应填02p << 15.(0,1]∪{32}【解析】由g(x)=0,可得f(x)=65或f(x)=a ,由函数f(x)是定义在R 上的偶函数,当x ≥0时,f(x)={(12)x +1,x>132cos π2(1−x),0≤x≤1,所以f(x)=65有4个零点,则f(x)=a 有2个不同的零点,又(12)x +1>1,则0<a <1,又a =32时,f(x)=a 有2个不同的零点,即±1.故a ∈(0,1]∪{32}.故本题应填(0,1]∪{32}.16.(Ⅰ)如图所示;(Ⅱ)120人;(Ⅲ)6()7P M = 【解析】试题分析:(Ⅰ)分层抽样为按比例抽样,先按男女比例,确定13人中男,女生各自人数,再按表格所给进行填表;(Ⅱ)按样本中选择同意人数所占比例,去估计总体高三年级学生选择同意的人数;(Ⅲ)利用古典概型先求出两人都不同意的概率,再由互相对立的事件的概率和为1求出结果.(Ⅰ)统计表如下:(Ⅱ)高三年级学生该项问题选择“同意”的人数估计有4410590606012076⨯+⨯=+=(人). (Ⅲ)设“同意”的4名女生分别为1234,,,A A A A ,“不同意”的3名女生分别为123,,B B B .从7人中随机选出2人的情况有121314111213232421222334313233,,,,,,,,,,,,,,,A A A A A A A B A B A B A A A A A B A B A B A A A B A B A B 414243121323,,,,,A B A B A B B B B B B B ,共21种结果.其中2人都选择“不同意”的情况有121323,,B B B B B B ,共3种结果. 设2名女生中至少有一人选择“同意”为事件M , 所求概率 ()361217P M =-=.17.(I) ;T π=(Ⅱ)2,a b == 【解析】试题分析:(Ⅰ)先利用向量的坐标运算将函数转化为三角函数的形式,再利用三角恒等变形将函数转化为()()sin f x A x k ωϕ=++的形式,可求得周期;(Ⅱ)先由所给函数值,代入求得C 值,再由余弦定理,结合ab 的值,解方程组可得,a b .试题解析:(I) ()(()222cos 1,sin22cos f x m n x x x x =⋅=⋅=+cos212sin 216x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭.故最小正周期22T ππ== (Ⅱ)()2sin 2136f C C π⎛⎫=++= ⎪⎝⎭,sin 216C π⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭, C 是三角形内角,∴262C ππ+=即:.6C π=222cos 2b a c C ab +-∴==即: 227a b +=.将ab =22127a a+=,解之得:23a =或4,2a ∴=,2b ∴=,2,a b a b >∴==点睛:三角恒等变换与向量的综合问题是高考经常出现的问题,一般以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件,并结合简单的向量运算,往往是两微量平行或垂直的计算.将向量形式化为坐标运算后,接下来的运算仍然是三角函数的恒等变换以及三角函数,解三角形等知识的运用.18.(1)证明见解析;(2)证明见解析.【解析】试题分析:(1)连接1BC ,应用三角形中位线定理得EF ∥1BC . (2)连结1A E , CE .可得到平面11A ABB ⊥平面ABC ; 通过证明CE AB ⊥,得到所以CE ⊥平面11A ABB .通过确定四边形11A EBB 为平行四边形,进一步得到四边形11A ECC 为平行四边形,即可得证.试题解析:证明:(1)连接1BC ,因为E 、F 分别是AB , 1AC 的中点, 所以EF ∥1BC . 2分又因为EF ⊄平面11BB C C , 1BC ⊂平面11BB C C , 所以EF ∥平面11BB C C . 4分(2)连结1A E , CE .因为1BB ⊥平面ABC , 1BB ⊂平面11A ABB , 所以 平面11A ABB ⊥平面ABC 6分因为CA CB =, E 是AB 的中点, 所以CE AB ⊥ 所以CE ⊥平面11A ABB . 8分 因为11B A ∥BA , 111=2B A BA BE =所以 四边形11A EBB 为平行四边形,所以11//BB A E . 10分又11//BB CC ,所以11//A E CC 所以 四边形11A ECC 为平行四边形, 则11C A ∥CE . 所以11C A ⊥平面11ABB A . 12分 考点:平行关系,垂直关系.19.(Ⅰ)*21,n a n n N =-∈ (Ⅱ)*1431,994n n n R n N -+=-∈⨯ 【解析】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ,则()()()111143442221211a d a d a n d a n d ⨯⎧+=+⎪⎨⎪+-=+-+⎡⎤⎣⎦⎩,解得112a d =⎧⎨=⎩, 所以()*11221,.n a n n n N =+-⨯=-∈(Ⅱ)由(Ⅰ)得22n n n T λ=-,所以22n n nT λ=-. 111,b T λ==-当2n ≥时,()1112122,222n n n n n n n n n b T T λλ----⎛⎫-=-=---= ⎪⎝⎭ 因此2212212211.224n n n n n n n n c b ------==== 所以11213111121311 (4444)n n n R --------=+++()2131111111211...44444n n nn n R --------=++++ 相减得2131131111...44444n n n n R ----=+++-11114411414n nn -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭-⎢⎥⎣⎦=--,1111114411111,34439434n n n n n n n R ---⎧⎫⎡⎤⎡⎤--⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⨯=--⋅⎢⎥⎢⎥⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎩⎭化简得*1431,.994n n n R n N -+=-∈⨯ 【考点定位】本题从等差数列的基本问题(首项、公差、通项公式)入手,通过新数列的构造考查了n a 与n S 的关系、错位相减法求和等,涉及等比数列的求和公式的应用、代数式的化简等,是对运算能力的有力考查. 20.(1)2()ln xf x x=,单调递减区间为(0,1)和(1,)e .(2)2k = 【解析】 试题分析:(1)利用切线的斜率求得2m = 即可确定函数的解析式,然后结合函数的导函数和定义域即可确定函数()f x 的单调递减区间为()0,1和()1,e , 函数()f x 的的单调增区间为()e,∞+.(2)问题等价于k 2x lnx lnx<-()0,1x ∈ 和()1,x ∈+∞ 两种情况可得:2k = .试题解析: (1)()ln mx f x x =,()()()2ln 1ln m x f x x -∴=, 由题意有:()212f e '=即:142m =,2m ∴= ()2ln x f x x∴=()()()22ln 1ln x f x x -∴=',由()0f x '<⇒ 01x <<或1x e <<,∴函数()f x 的单调递减区间为()0,1和()1,e由()0f x '>⇒ x e >,∴函数()f x 的的单调增区间为(),e +∞.(2)要()ln k f x x >+2ln ln x k x x >+⇔ 2ln ln k x x x<-①当()0,1x ∈时,ln 0x <,则要:2k x x >-恒成立,令()2h x x x =-,则()h x'=再令()ln 2g x x =-,则()0g x '=<,所以()g x 在()0,1单调递减,()()10g x g ∴>=,()0h x∴'=>,()h x ∴在()0,1单调递增,()()12h x h ∴<=,2k ∴≥②当()1,x ∈+∞时,ln 0x >,则要2k x x <-恒成立,由①可知,当()1,x ∈+∞时,()0g x '=>,()g x ∴在()1,+∞单调递增,∴当()1,x ∈+∞时,()()10g x g >=,()0h x∴'=>,()h x ∴在()1,+∞单调递增,()()12h x h ∴>=,2k ∴≤综合①,②可知:2k =,即存在常数2k =满足题意.21.(Ⅰ)22143x y +=;(Ⅱ)(i) ABCD 不能为菱形;(ii )当1t =时,ABCDS 取最大值6. 【解析】试题分析:(Ⅰ)待定系数法,利用焦点在已知抛物线的准线上,可得c 值,再由点P 在短轴顶点时12PF F 面积的最大,可得b ,由,,a b c 关系得a ,可求得标准方程;(Ⅱ)易判断函数不可能平行于x 轴,为计算方便可令方程为1x my =-,与椭圆方程联立消去x ,利用根与系数的关系,得,A B 两点纵坐标间的关系,①四边形ABCD 为菱形,对角线互相垂直,则0OA OB ⋅=,转化为关于m 的方程,无线,可证四边形不是菱形.②同样利用坐标和面积公式,用m 表示出四边形ABCD 的面积.再利用函数的性质可得面积的最大值.试题解析:(Ⅰ)设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>焦点1F 在抛物线24y x =的准线1x =-上,1c ∴=当点P 在短轴顶点时12PF F面积最大,此时121=22PF F Sc b ⋅⋅=2224b a b c ∴==+=∴椭圆方程为22143x y += (Ⅱ)(i)由(I )知1F (-1,0)直线AB 不能平行于x 轴,所以设直线AB 的方程为1x my =- 设()()1122,,,,A x y B x y由221{143x my x y =-+= 得()2234690m y my +--= 12122269,3434m y y y y m m -∴+=⋅=++ 连结,OA OB ,若ABCD 为菱形,则OA OB ⊥,即0OA OB ⋅=12120x x y y ∴+=又()()()212121212111x x my my m y y m y y =--=-++()()21212110m y y m y y ∴+-++=22125034m m --∴=+ 显然方程无解, 所以ABCD 不能为菱形. (ii )易知四边形ABCD 为平行四边形,则4ABCDAOB S S =,而11212AOB S OF y y =⋅- 又因为11OF =,1122ABCDSOF y y ∴=⋅-====设21t m =+,则1t ≥ABCDS∴=[)1,+∞上是增函数, 所以,当1t =时,ABCDS 取最大值6,此时211,m +=即0m =点睛:本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质,直线与椭圆的位置关系,基本不等式,及韦达定理的应用.解析几何大题的第一问一般都是确定曲线的方程,常见的有求参数确定方程和求轨迹确定方程,第二问一般为直线与椭圆的位置关系,解决此类问题一般需要充分利用数形结合的思想化给出的条件,可将几何条件转化为代数关系,从而建立方程或者不等式来解决.。