中考总复习：特殊三角形--知识讲解(基础).doc

总复习第21讲 特殊三角形一、考点诠释 ㈠等腰三角形1、定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

2、性质： ①等边对等角：②三线合一：顶角平分线、底边中线、底边上的高互相重合。

3、判定：等角对等边（在一个三角形中，若有两个角相等，则它们所对的边也相等）说明：腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念。

㈡等边三角形1、定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形。

2、性质：等边三角形的各角都相等，且都等于60°3、判定：①三个角都相等的三角形是等边三角形。

②有一角为60°的等腰三角形是等边三角形。

说明：等边三角形是特殊的等腰三角形。

㈢直角三角形1、定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。

2、性质：直角三角形中的两锐角互余。

②直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半。

③直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

④勾股定理：222c b a =+（直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方） ⑤ch ab S ABC Rt 2121==∆（其中a 、b 为两直角边，c 为斜边，h 为斜边上的高） 3、判定：①两内角互余的三角形是直角三角形。

②勾股定理逆定理：在一个三角形中，若有两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形。

③在一个三角形中，若有一边上的中线等于该边的一半， 则这个三角形是直角三角形。

ABC腰腰 底底角顶 角 ┐A BCD 1 2┐30°A C B┐ AC B D┐ABC Da bc h二、考题精练 ㈠选择题：1、等腰三角形的两边长分别为4和9，则它的周长是（ ） A 、13 B 、17 C 、22 D 、17或222、已知，一个等腰三角形两内角之比为1∶4，则它的顶角的度数为（ ）A 、20°B 、120°C 、20°或120°D 、36° 3、AB=AC ，∠A=44°，CD ⊥AB 于D ，则∠DCB 等于（ ） A 、44° B 、68° C 、46° D 、22° 4、将一张矩形ABCD 如图那样折起，使顶点C 落在C′处， 其中AB=4。

中考总复习：特殊三角形—知识讲解【考纲要求】1．了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念，会识别这三种图形；理解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定．2. 能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定解决简单问题．3. 会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题．【知识网络】【考点梳理】考点一、等腰三角形1. 等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形2．性质：(1) 具有三角形的一切性质；(2) 两底角相等(等边对等角)；(3) 顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合(三线合一)；(4) 等边三角形的各角都相等，且都等于60°．要点诠释：等边三角形中高线，中线，角平分线三线合一，共有三条.3．判定：(1) 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边) ；(2) 三个角都相等的三角形是等边三角形；(3) 有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．要点诠释：(1) 腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念；(2) 等边三角形是特殊的等腰三角形．考点二、直角三角形1. 直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．2 性质：(1) 直角三角形中两锐角互余；(2)直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半；(3) 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°；(4) 勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方；(5) 勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c 满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形；(6) 直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半. 要点诠释：1直角三角形中，SRS ABC=ch=ab ,其中a、b为两直角边，c 为斜边，h 为斜边上的高；2 圆内接三角形，当一条边为直径时，该三角形是直角三角形．3判定：（1）两内角互余的三角形是直角三角形;（2）—条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角，这个三角形是直角三角形；（3）如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，第三边为斜边.特殊三角形的性质（含勾股定理）中考要求：A级：等腰三角形（等边三角形）、直角三角形的有关概念；C级：等腰三角形（等边三角形）的性质判定；应用勾股定理解决简单问题，用勾股定理的逆定理判定直角三角形；D级：直角三角形的性质、判定;教学过程：一、回忆知识点学生活动：以小组为单位完善第一轮中考总复习P.87回忆知识点1〜乙建立知识结构图（要求课堂展示）师生活动：①交流知识结构图；②明确重点；③重要知识点的简单应用；1、在Rt△ ABC 中，/ A=36 °，则/ B=2、如图：在Rt△ ABC 中，/ A=30° , AB=4,则AC=—BC= ___ ，斜边上中线CD= —;,△ ABC中三边长分别为3、4、5,试判断△ ABC形状？4、如图：已知AD=CD=BD，试判断厶ABC形状？5、如图：已知AB为圆0的直径，试判断厶ABC -形状？.「B二、理解知识点学生活动：校对第一轮中考总复习P.87理解知识点师生活动：①有无分类讨论思想?②有无方程思想？③在交流过程中有哪些困难?三、整合知识点1、△ ABC 是等腰三角形，BAC=90 ,AB=AC,AD丄BC,图中有几个等腰直角三角形？2、如图，若有一个Rt / EDF顶点为D点，两边分别与AB AC相交于E、F，试问△ DEF是怎样特殊的三角形？为什么？3、在第二题中，若BE=2 CF=3求EF的长。

中考内容中考要求ABC等腰三角形与直角三角形了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念，会识别这三种图形；理解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定解决简单问题 会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩定义等边对等角等腰三角形性质三线合一等腰三角形判定定义特殊三角形等边三角形性质判定定义直角三角形性质判定一、 等腰三角形1、定义：有两边相等的三角形是等腰三角形．相等的两边叫做腰，第三边为底．2、性质：(1)轴对称性：等腰三角形是轴对称图形，有1条对称轴． (2)定理1：等腰三角形的两个底角相等，简称“等边对等角”．(3)定理2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称“三线合一”． 3、判定：如果一个三角形有两角相等，那么这两个角所对的边也相等，简称“等角对等边”．知识精讲中考大纲 特殊三角形知识网络图【补充】1、等腰三角形两腰上的高相等；2、等腰三角形两腰上的中线相等；3、等腰三角形两底角的平分线相等；二、等边三角形1、定义：三边相等的三角形是等边三角形．2、性质：(1)轴对称性：等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴．(2)等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．3、判定：(1)判定1：三个角都相等的三角形是等边三角形．(2)判定2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．三、线段的垂直平分线1、定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线．2、性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．3、判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．4、实质构成：线段的垂直平分线可以看作到线段两个端点距离相等的所有点的集合．四、直角三角形1、直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半．2、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．解题方法技巧1、等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半．AC 2、等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行3、等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．如图，即DE DF BG +=．本结论可以用面积列等式推得．ABCABCDE F G4、等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高．5、要证明一个三角形是等腰三角形，必须得到两边相等，得到两边相等的方法主要有：(1)通过等角对等边；(2)通过三角形全等得两边相等；(3)利用垂直平分线的性质得到两边相等．1、遇到等腰三角形的问题时，注意边有腰与底之分，角有底角和顶角之分．2、遇到高线的问题要考虑高在形内和形外两种情况．3、等腰三角形三线合一定理没有逆定理，定理的逆推论需要用全等去证明．易错点辨析题型一：等腰三角形的性质与判定【例1】 已知ABC △中，AB AC =．36A ∠=︒，则C ∠______． 【例2】 等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为_______． 【例3】 等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为__________． 【例4】 已知等腰三角形的周长为24cm ，一腰长是底边长的2倍，则腰长是( ) A ．4.8cm B ．9.6cm C ．2.4cm D ．1.2cm【例5】 在等腰ABC △中，AB AC =，其周长为20cm ，则AB 边的取值范围是__________．（2014年玉林中考）【例6】 如图，在ABC △中，AB AC =，且D 为BC 上一点，CD AD =，AB BD =，则B ∠的度数为__________．（2014年南充中考）DCBA【例7】 如图，在Rt ABC △中，D E ，为斜边AB 上的两个点，且BD BC AE AC ==，，则DCE ∠的大小为__________．（2014年天津）EDCBA【例8】 如图，ABC ∆中，30A ∠=︒，CD 是BCA ∠的平分线，ED 是CDA ∠的平分线，EF 是DEA ∠的平分线，DF FE =，求B ∠.ABCDEF特殊三角形习题集课堂练习【例9】 如图，P 为等腰三角形ABC 的底边AB 上的任意一点，PE AC ⊥于点E ，PF ⊥BC 于点F ，AD BC ⊥点D ，求证：PE PF AD +=．ABCE D PF【例10】 如图，点P 为等腰三角形ABC 的底边BA 的延长线上的一点，PE CA ⊥的延长线于点E ，PF BC⊥于点F ，AD BC ⊥于点D ．PE 、PF 、AD 之间存在着怎样的数量关系?ABCEDP F【例11】 如图所示，已知ABC △中，D 、E 为BC 边上的点，且AD AE =，BD EC =，求证：AB AC =．AB CD E【例12】 如图，请在下列四个等式中，选出两个作为条件，推出AED △是等腰三角形，并予以证明．（写出一种即可）等式：①AB DC =，②BE CE =，③B C ∠=∠，④BAE CDE ∠=∠． 已知：____________________ 求证：AED △是等腰三角形． 证明：【例13】 如图1，已知矩形ABED ，点C 是边DE 的中点，且2AB AD =．（1）判断ABC △的形状，并说明理由；（2）保持图1中ABC △固定不变，绕点C 旋转DE 所在的直线MN 到图2中（当垂线段AD 、BE 在直线MN 的同侧），试探究线段AD 、BE 、DE 长度之间有什么关系？并给予证明； （3）保持图2中ABC △固定不变，继续绕点C 旋转DE 所在的直线MN 到图3中的位置（当垂线段AD 、BE 在直线MN 的异侧）．试探究线段AD 、BE 、DE 长度之间有什么关系？并给予证明．（2010年临沂）题型二：等腰三角形的作图题【例14】 已知ABC ∆中，90A ∠=︒，67.5B ∠=︒.请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形.（请你利用下面给出的备用图，画出两种不同的分割方法.只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）.CB ACB A【例15】 已知菱形ABCD 中，72A ∠=︒，请设计两种不同的分法，将菱形ABCD 分割成四个三角形，使得分割成的每个三角形都是等腰三角形（画图工具不限，要求画出分割线段；标出能够说明不同分法所得三角形的内角度数，例如第20题图，不要求写出画法，不要求证明.）注：两种分法只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法.36︒36︒36︒18︒18︒54︒72︒72︒72︒54︒DCBAA分A BC D分法2A BC D分法1题型三：等边三角形的性质【例16】 如图，DAC △和EBC △均是等边三角形，AE 、BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N ，有如下结论：① ACE DCB △≌△；②CM CN =；③AC DN =．其中正确结论的个数是_____ A ． 3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个NM ED BA【例17】 如图，在等边ABC △中，点D E ，分别在边BC AB ，上，BD AE =，AD 与CE 交于点F ．（1）求证：AD CE =； （2）求DFC ∠的度数．FE DCBA【例18】 如图，已知ABC △为等边三角形，D 、E 、F 分别在边BC 、CA 、AB 上，且DEF ∆也是等边三角形．除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是正确的．F EDCBA【例19】 已知，如图，延长ABC △的各边，使得BF AC =， AE CD AB ==，顺次连接D ，E ，F ，得到DEF △为等边三角形．求证：(1)AEF △≌CDE △； (2)ABC △为等边三角形．F DECB A【例20】 如下图，ABC ∆是等边三角形，122CBF ACD BAE ∠∠∠=∶∶∶∶，38DEF DFE ∠-∠=︒．求出DEF∆的每个内角度数．FEDCBA【例21】 如图，三角形ABC 中，AB BC CA ==，AE CD =，AD ，BE 相交于P ，BQ 垂直AD 于Q ，求证：2BP PQ =．P QA BC DE【例22】 如图，在等边ABC △中，点D E ，分别在边BC AB ，上，BD AE =，AD 与CE 交于点F ．(1)求证：AD CE =；(2)求DFC ∠的度数．FE DCBA题型四：直角三角形的性质与判定【例23】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，6cm BC AB +=，则AB =_______cm ．【例24】 如图，在Rt ABC ∆中，9060B ACB D ∠=︒∠=︒，，是BC 延长线上一点，且AC CD =，则:BC CD =_________．DCBA【例25】 若AD 为ABC ∆的高，且1AD =，1BD =，DC BAC ∠=____________．【例26】 已知：如图，在ABC △中，AB BC =，90ABC ∠=︒．F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，BE BF =，连接AE 、EF 和CF ． （1）求证：AE CF =；（2）若30CAE ∠=︒，求EFC ∠的度数．FECBA【例27】 如图，在ABC ∆中，BF AC ⊥于F ，CG AB ⊥于G D E ，，分别是BC FG ，的中点．求证：DE GF ⊥．GFE D CB A【练1】 等腰三角形的一边长为3cm ，另一边长为4cm ，则它的周长是 ___________．【练2】 如图，ABC ∆和BDE ∆都是等边三角形，AB BD <，若ABC ∆不 动，将BDE ∆绕点B 旋转，则在旋转过程中，AE 与CD 的大小关系为( )．A ． AE CD =B ． AE CD >C ． AE CD < D ． 无法确定EDCBA【练3】 MON ∠是一个钢架，10MON ∠=︒，在其内部添加一些钢管BC ，CD ，DE ，EF ，FG ，…添加的钢管长度都与OB 相等．（1）当添加到第五根钢管时，求FGM ∠的度数．（2）假设OM 、ON 足够长，能无限地添加下去吗?如果能，请说明理由．如果不能，则最多能添加几根?D NMFEO CBG【练4】 如图，在ABC ∆中，AB AC =，D 是ABC ∆外的一点，且60ABD ∠=，60ACD ∠=．求证：BD DC AB +=．DCBA课后作业【练5】 如图，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=，CA BA =，15DAC DCA ∠=∠=，求证：BA BD =．DACB【练6】 如图ABC △中，AD 平分BAC ∠，DG BC ⊥且平分BC ，DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F .⑴说明BE CF =的理由；⑵如果AB a =，AC b =，求AE ，BE 的长.GFE DC BA。

第19讲《特殊三角形》要点梳理知识点1：等腰三角形的性质和判定性质判定等腰三角形(1)两腰相等，两底角相等；(2)顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合；(3)是轴对称图形，有一条对称轴。

(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形；(2)有两个角相等的三角形是等腰三角形。

等边三角形(1)三边相等；(2)各角相等，且都等于60°；(3)是轴对称图形，有三条对称轴。

(1)三条边相等的三角形是等边三角形；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角等于60°的______________是等边三角形。

直角三角形(1)两锐角之和等于90°；(2)斜边上的中线等于斜边_____；(3)30°角所对的直角边等于斜边的一半；(4)若有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于_____；(5)两直角边的平方和等于斜边的平方.(1)有一个角为90°的三角形是直角三角形；(2)一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形；(3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.1．计算有关线段长度问题如果所求线段是在直角三角形中，一般应用勾股定理求解，即直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和．2．有关等腰三角形的问题若条件中没有明确底和腰时，一般应从某一边是底还是腰这两个方面进行讨论，还要特别注意构成三角形的条件；同时，在底角没有被指定的等腰三角形中，应就某角是顶角还是底角进行讨论．注意运用分类讨论的方法，将问题考虑全面，不能想当然．3．面积法用面积法证题是常用的技巧方法之一，使用这种方法时一般是利用某个图形的多种面积求法或面积之间的和差关系列出等式，从而得到要证明的结论．4．在涉及折叠的相关问题中若原图形中含有直角或折叠后产生直角，常常把所求的量与已知条件利用折叠的性质，借助等量代换转化到一个直角三角形中，利用勾股定理建立方程求解．命题点1：等腰三角形的性质1.(滨州)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，∠B的大小( ) A．40° B．36° C．30° D．25°2.(包头)若等腰三角形的周长为10 cm ，其中一边长为2 cm ，则该等腰三角形的底边长为( )A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm 命题点2：等边三角形的性质3.(南充)如图，在等边△OAB 的边长为2，则点B 的坐标为（ ）A.（1，1）B.（3，1）C.（3，3）D.（1，3）第3题 第4题 第5题 命题点3：直角三角形的性质： 4．(株洲)如图所示在△ABC 中∠B ＝_____． 命题点4：勾股定理5.(陕西)如图,将两个大小、形状完全相同的△ABC 和△A'B'C'拼在一起,其中点A'与点A 重合，点C'落在边AB 上,连接B'C 。