【苏科版】八年级数学上册第一章 轴对称图形检测(含答案)

[点睛]本题考查了轴对称和轴对称图形的性质,难度适中．
9.如图,在 中, , , 平分 , ,则图中共有等腰三角形（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
[答案]D
[解析]
[分析]
根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠A C B＝∠B＝ （180°−∠A）＝72°,求出∠A C D＝∠B C D＝ ∠A C B＝36°,求出∠C D B＝∠A＋∠A C D＝72°,根据平行线的性质得出∠ED B＝∠A＝36°,∠DEB＝∠A C B＝72°,∠C DE＝∠A C D＝36°,推出∠A＝∠A C D＝∠B C D＝∠C DE＝36°,∠B＝∠A C D＝∠DEB＝∠C D B＝72°即可．
A. B. C. D.
3.一个角是 等腰三角形是（ ）
A.等腰直角三角形B.等边三角形C.直角三角形D.上述都正确
4.如图,在一个规格为 （即 个小正方形）的球台上,有两个小球 , ．若击打小球 ,经过球台边的反弹后,恰好击中小球 ,那么小球 击出时,应瞄准球台边上的点（ ）
A. B. C. D.
5.如图,桌面上有M、N两球,若要将M球射向桌面的任意一边,使一次反弹后击中N球,则4个点中,可以瞄准的是( )
[详解]解：∵A B＝A C,
∴∠A B C＝∠C,
∵B D＝B A,
∴∠A＝∠B D A,
∴∠A＞∠C,
∴2∠A＜180°且3∠A＞180°,
∴60°＜∠A＜90°,即60＜x＜90．
故选C．
[点睛]此题考查了等腰三角形的性质,三角形内角和为180°和三角形外角的性质,关键是得到2∠A＜180°且3∠A＞180°．
[答案]D
[解析]
[分析]
此题根据△A B C中∠A为锐角与钝角分为两种情况解答．

人教版八年级数学上册《轴对称》测试卷（含答案）一、选择题(每小题3分,共30分)1.点A(m,3)与B(4,n)关于x轴对称,则m,n的值分别为( )A.4,3B.-4,-3C.-4,3D.4，-32.下列交通标志中,是轴对称图形的是( )3.下列轴对称图形中,对称轴最多的是( )A.线段B.等边三角形C.五角星D.圆4.下列三角形中,不是轴对称图形的是( )A.等腰直角三角形B.有一个角是30°的直角三角形C.两内角分别是30°，120°的三角形D.两内角分别是30°,75°的三角形5.如图,ABCD 是矩形纸片，翻折∠B、∠D,使AD、BC 边与对角线AC重叠，且顶点B、D恰好落在同一点0上,折痕分别是CE、AF,则AE等于( )EBA.√3B.2C.1.5D.√26.到三角形三个顶点距离相等的点是( )A.三条中线的交点B.三条高的交点C.三条角平分线的交点D.三边垂直平分线的交点7.如图,在等腰梯形ABCD中,AD //BC,AB=CD,AC=BD,AC平分∠BCD,若∠ABC=72°,则图中等腰三角形共有( )A.8个B.6个C.4个D.2个8.如图,在△ABC 中,AB<AC,BC边的垂直平分线交BC于D,交AC 于E,连BE,AB=6cm，△ABE 的周长为14cm,则AC的长为( )A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm9.如图,已知AB=AC=BD,则∠1与∠2的关系是( )A.∠1=2∠2B.2∠1+∠2=180°C.∠1+3∠2=180°D.3∠1-∠2=180°10.如图,在△ABC中,∠BAC=90,AB=AC,BD平分∠ABC交AC于D,AE⊥BD,交BC于E，下列说法:①AB=BE;②∠CAE=1∠C;③AD=CE;④CD=CE.其中正确的是( )2A.①②③B.②③④C.①②④D.①②③④二、填空题(每小题3分,共18分)11.已知点A(m-1,3)与点B(2,n+1)关于x轴对称,则m=_________,n=__________.12.等腰三角形的一个角是80°,则它顶角的度数是_______________度.13.在△ABC 中.①若AB=BC=CA,则△ABC为等边三角形;②若∠A=∠B=∠C,则△ABC 为等边三角形;③有两个角都是60°的三角形是等边三角形;④一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.上述结论中正确的有__个.14.如图,在△ABC 中,∠A=90°,∠ABC=60°,∠ABC,∠ACB的平分线交于点O,OE // AB交BC于E,OF //AC交BC于F,若AB=1,则△OEF 的周长为_____________.15.如图,AD是等边△ABC底边上的中线,AC的垂直平分线交AC 于点E,交AD于点F ,若AD=9,则DF长为____.16.已知Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A=30°.在直线BC或AC上取一点P,使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有________个.三、解答题(72分)17.(8分)如图,△ABC 中,点D是BC边的中点,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,BE=CF.求证:∠BAD=∠CAD.18.(8分)如图,在△ABC中,D,E分别是AC,AB边上的点,BD,CE相交于点0,给出下列条件:①∠EBO=∠DCO;②∠BEO=∠CDO;③BE=CD;④OB=OC.(1)上述四个条件中,哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形?(用序号写出所有的情形);(2)选择(1)中的一种情形,证明△ABC是等腰三角形.19.(8分)在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(-3,0),B(-3,-4),C(-1,-4).(1)求△ABC的面积;(2)在图中作出△ABC关于x轴对称的图形△DEF,并写出D,E,F 的坐标.20.(8分)如图,在△ABC中,∠ACB=2∠B,∠BAC的平分线AD交BC于D,过C作CN⊥AD交AD于H,交AB于N.(1) 求证:△ANC为等腰三角形;(2)试判断BN与CD的数量关系,并说明理由.21.(8分)已知如图,在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=120°,BC//x轴,点B的坐标是(一3,1).(1)写出顶点C的坐标;(2)作出△ABC 关于y轴对称的△A'B'C';(3)求以点A,B,B',A'为顶点的四边形的周长.22.(10 分)在△ABC 中,AB=CB.(1)若AC=AB,如图1,CM⊥AB 于点M,MN⊥AC 于点N,NP ⊥BC 于点P.若CP=2,则BP=_______;(2)若∠BAC=45°,如图2,CD平分∠ACB交AB于点D,过边AC上一点E作EF //CD,交AB于点F,AG是△AEF的高,探究高AG与边EF的数量关系;(3)若∠ABC=90°,点E是射线BC上的一个动点,作AF⊥AE且AF=AE,连CF交直线AB于点G.若BCCE =53，则AGBG=__________.23.(10分)图1,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=30°，点D 是△ABC内一点,DB=DC,∠DCB=30°，点E是BD延长线上一点,AE=AB.(1)直接写出∠ADE 的度数___________;(2)求证:DE=AD+DC;(3)作BP 平分∠ABE,EF⊥BP,垂足为F(如图2),若EF=3,求BP 的长.24.(12分)如图1,A 是OB 的垂直平分线上的一点,P为y轴上一点，且∠OPB=∠OAB.(1)若∠AOB=60°,PB=4,求点P的坐标;(2)在(1)的条件下,求证:PA+PO=PB;(3)如图2,若点A是OB 的垂直平分线上的一点,已知A(2,5),∠OPB=∠OAB,求PO+PB 的值.参考答案：。

苏科版八年级上册数学第一章全等三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、嘉淇发现有两个结论：在与中，①若，，，则；②若，，，则．对于上述的两个结论，下列说法正确的是（）A.①，②都错误B.①，②都正确C.①正确，②错误 D.①错误，②正确2、如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连结BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转900得到△DCF，连结EF，若∠BEC=62°，则∠EFD的度数为（）A.15°B.16°C.17°D.18°3、如图，若△ABE≌△ACF，且AB＝5，AE＝2，则EC的长为（）A.2B.3C.5D.2.54、如图，已知AB=AC，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE与CF交于点D，则下列结论中错误的是（）A. B. C.点D在的平分线上 D.点D是CF的中点5、下列各条件中，能作出唯一的△ABC的是( )A.AB＝4，BC＝5，AC＝10B.AB＝5，BC＝4，∠A＝40°C.∠A＝90°，AB＝10D.∠A＝60°，∠B＝50°，AB＝56、下列命题是真命题的是（）A.两个锐角的和还是锐角；B.全等三角形的对应边相等；C.同旁内角相等，两直线平行；D.等腰三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形．7、如图，△AOC≌△BOD，∠A和∠B，∠C和∠D是对应角，下列几组边中是对应边的是（）A.AC与BDB.AO与ODC.OC与OBD.OC与BD8、用直尺和圆规作两个全等三角形，如图，能得到△COD≌△C'O'D'的依据是（）A.SAAB.SSSC.ASAD.AAS9、如图所示，八年级某同学书上的图形（三角形）不小心被墨迹污染了一部分，但他很快就根据所学知识，画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形全等的依据是（）A.SSSB.SASC.AASD.ASA10、如图，OA=OB，OC=OD，∠O=50°，∠D=35°，则∠OAC等于（）A.65°B.95°C.45°D.100°11、在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A=∠A′，AC=A′C′，下列说法错误的是（）A.若添加条件AB=A′B′，则△ABC与△A′B′C′全等B.若添加条件∠C=∠C′，则△ABC与△A′B′C′全等 C.若添加条件∠B=∠B′，则△ABC与△A′B′C′全等 D.若添加条件BC=B′C′，则△ABC与△A′B′C′全等12、如图为作一个角的角平分线的示意图，该作法的依据是全等三角形判定的基本事实，可简写为 ( )A.SSSB.SASC.ASAD.AAS13、如图，，，与相交于点.则图中的全等三角形共有( )A.6对B.2对&nbsp;C.3对D.4对14、装修工人在搬运中发现有一块三角形的陶瓷片不慎摔成了四块（如图），他要拿哪一块回公司才能更换到相匹配的陶瓷片（）A.①B.②C.③D.④15、如图，过正方形ABCD的顶点B作直线l，过A、C作直线L的垂线，垂足分别为E、F，若AE=1，CF=2，则AB的长为（）A. B.2 C.3 D.二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，已知△ABC≌△ADE，D是∠BAC的平分线上一点，且∠BAC=60°，则∠CAE=________．17、如图，在平面直角坐标系中，双曲线（）与直线（）交于A、B两点，点H是双曲线第一象限上的动点（在点A左侧），直线AH、BH分别与y轴交于P、Q两点，若，，则a-b的值为________.18、如图，中，，，平分交于，于，且，则的周长为________．19、如图，△ABD≌△ABC，∠C=100°，∠ABD=30°，则∠DAC=________．20、如图2，A、B两点分别位于一个池塘的两端，点C是AE的中点，也是BD 的中点，图1表示的是小明从D点走到E点路程与时间的关系，已知小明从D 点到E点走了3分钟，则AB= ________米．21、在矩形ABCD中，AB=6，AD=4，点E是DC的中点，点F在AD上，连接BF，EF，若FE恰好平分∠BFD，则FD=________.22、如图所示，在中，，以BC为斜边向外侧做等腰直角，过点D做于点E，若线段，，则________.23、如图，正方形ABCD的边长为2，E为射线CD上一动点（不与C重合），以CE为边向正方形ABCD外作正方形CEFG，连接DG，直线BE、DG相交于点P，连接AP，则线段AP长度的取值范围是________．24、如图，△ABC≌△ADE，∠EAC=25°，则∠BAD=________。

2024-2025学年八年级数学上学期期中测试卷（苏科版）（考试时间：120分钟试卷满分：120分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．测试范围：第一章~第三章（苏科版）。

5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的定义，判断即可．【解答】解：B选项图形无法找到一条直线，使图形沿直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，不是轴对称图形；A，C，D选项均能找到一条直线，使图形沿直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，为轴对称图形；故选：B．2．（3分）下列说法中，错误的有（ ）A．平面上两个全等的图形不一定关于某直线对称B．周长相等的两个等边三角形全等C．两个轴对称的图形对应点的连线的垂直平分线是它们的对称轴D．有两边及一角对应相等的两个三角形全等【分析】全等图形以及轴对称的性质和线段垂直平分线的性质分别分析得出答案．【解答】解：A、平面上两个全等的图形不一定关于某直线对称，正确，不合题意；B、周长相等的两个等边三角形全等，正确，不合题意；C、两个轴对称的图形对应点的连线的垂直平分线是它们的对称轴，正确，不合题意；D、有两边及一角对应相等的两个三角形不一定全等，原说法错误，符合题意．故选：D．3．（3分）如图，∠C＝∠DFE＝90°，下列条件中，不能判定△ACB与△DFE全等的是（ ）A．∠A＝∠D，AB＝DE B．AC＝DF，BC＝EFC．AB＝DE，BC＝EF D．∠A＝∠D，∠ABC＝∠E【分析】根据全等三角形的判定方法判断即可．【解答】解：A、∵∠A＝∠D，AB＝DE，∠C＝∠DFE＝90°，根据AAS判定△ACB与△DFE全等，不符合题意；B、∵AC＝DF，BC＝EF，∠C＝∠DFE＝90°，根据SAS判定△ACB与△DFE全等，不符合题意；C、∵AB＝DE，BC＝EF，∠C＝∠DFE＝90°，根据HL判断Rt△ACB与Rt△DFE全等，不符合题意；D、∵∠A＝∠D，∠ABC＝∠E，∠C＝∠DFE＝90°，由AAA不能判定△ACB与△DFE全等，符合题意；故选：D．4．（3分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则其顶角为（ ）A．50°B．130°C．50°或130°D．55°或130°【分析】首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为50°；另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可推出顶角的度数为130°．【解答】解：①如图1，等腰三角形为锐角三角形，∵BD⊥AC，∠ABD＝40°，∴∠A＝50°，即顶角的度数为50°．②如图2，等腰三角形为钝角三角形，∵BD⊥AC，∠DBA＝40°，∴∠BAD＝50°，∴∠BAC＝130°，即顶角的度数为130°．故选：C．5．（3分）五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列示意图中正确的是（ ）A．B．C．D．【分析】根据图中所给出的数，找出组成三角形的三边，并判断较小两边的平方和是否等于最大边的平方，每一个图判断两次即可．【解答】解：∵72＝49，242＝576，202＝400，152＝225，252＝625，∴72+242＝252，152+202≠242，152+202＝252，∴A错误，B错误，C正确，D错误．故选：C．6．（3分）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，垂足为点E，CD平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠B的度数为（ ）A ．25°B ．30°C ．35°D ．40°【分析】依据线段垂直平分线的性质，即可得到∠A ＝∠ACD ，再根据角平分线的定义，即可得出∠ACB 的度数，根据三角形内角和定理，即可得到∠B 的度数．【解答】解：∵DE 垂直平分AC ，∴AD ＝CD ，∴∠A ＝∠ACD又∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACB ＝2∠ACD ＝100°，∴∠B ＝180°﹣∠A ﹣∠ACB ＝180°﹣50°﹣100°＝30°，故选：B ．7．（3分）如图，一张三角形纸片ABC ，其中∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8．某同学将纸片折叠使点A 落在B 处，折痕记为n ．则n 的长度是（ ）A ．154B ．3C ．125D ．5【分析】根据折叠的性质和勾股定理即可得到结论．【解答】解：如图，折痕为DE ，连接AE ，由折叠得AE ＝BE ，DE ⊥AB ，∴AE ＝BE ，∴CE ＝BC ﹣BE ＝8﹣AE ，在Rt △AEC 中，AE 2＝CE 2+AC 2，∴AE 2＝（8﹣AE ）2+62，∴AE =254，在Rt △ABC 中，AB ===10，由折叠得AD ＝BD =12AB ＝5，GH ⊥AB ，在Rt △DE 中，AE 2＝DE 2+AD 2，∴DE ===154，故选：A ．8．（3分）如图，BD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ．△ABC 的面积为70，AB ＝16，BC ＝12．求DE 的长为（ ）A ．4B ．5C ．10D ．28【分析】过点D 作DF ⊥BC 于F ，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE ＝DF ，再利用△ABC 【解答】解：如图，过点D 作DF ⊥BC 于F ，∵BD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，∴DE ＝DF ，S △ABC =12×16⋅DE +12×12⋅DF =70，所以，14DE ＝70，解得DE ＝5．故选：B．9．（3分）如图，在等边△ABC中，AC＝9，点O在AC上，且AO＝3，P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD，若使点D恰好落在BC上，则线段AP的长是（ ）A．4B．5C．6D．8【分析】根据∠COP＝∠A+∠APO＝∠POD+∠COD，可得∠APO＝∠COD，进而可以证明△APO ≌△COD，进而可以证明AP＝CO，即可解题．【解答】解：∵∠COP＝∠A+∠APO＝∠POD+∠COD，∠A＝∠POD＝60°，∴∠APO＝∠COD．在△APO和△COD中，∠A=∠C∠APO=∠COD OP=OD，∴△APO≌△COD（AAS），∴AP＝CO，∵CO＝AC﹣AO＝6，∴AP＝6．故选：C．10．（3分）在△ABC中，已知D为直线BC上一点，若∠ABC＝α，∠BAD＝β，且AB＝AC＝CD，则β与α之间不可能存在的关系式是（ ）A．β＝90°―32αB．β＝180°―32αC．β=32α―90°D．β＝120°―32α【分析】分点D在线段BC上，在BC延长线上，在CB延长线上讨论，根据外角和等于不相邻的两个内角和及三角形内角和定理可求β与α的等量关系式．【解答】解：当点D在线段BC上，∵∠ABC ＝α，CA ＝AB ，∴∠C ＝∠ABC ＝α，∵CD ＝CA ，∴∠ADC ＝∠CAD =180°―∠C 2=90°―12α，∵∠ADC ＝∠B +∠BAD ，∴90°―12α＝α+β，即β＝90°―32α；当点D 在线段BC 的延长线上，同理可得：β＝180°―32α；当点D 在线段CB 的延长线上，同理可得：β=32α﹣90°．故选：D ．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）若在直角三角形中，斜边比一直角边大1，且另一直角边长为5，则斜边上的中线长为 ．【分析】根据勾股定理得出斜边，进而利用直角三角形的性质解答即可．【解答】解：设斜边为x ，则一直角边为x ﹣1，根据勾股定理可得：（x ﹣1）2+52＝x 2，解得：x ＝13，∴斜边上的中线长=132，故答案为：132．12．（3分）如图，△ABC 和△ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ，且点B ，D ，E 在同一条直线上，若∠BEC ＝40°，则∠ADE ＝ °．【分析】利用SAS 证明△ABD ≌△ACE ，根据全等三角形的性质及三角形外角性质求解即可．【解答】解：∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAC ﹣∠DAC ＝∠DAE ﹣∠DAC ，即∠BAD ＝∠CAE ，在△ABD 和△ACE 中，AB =AC∠BAD =∠CAE AD =AE，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴∠ADB ＝∠AEC ，∵∠ADB ＝∠DAE +∠AED ，∠AEC ＝∠BEC +∠AED ，∴∠DAE ＝∠BEC ＝40°，∵AD ＝AE ，∴∠ADE =12×（180°﹣40°）＝70°，故答案为：70．13．（3分）把长方形纸片ABCD 按如图方式折叠，使顶点B 和D 重合，折痕EF ，若AB ＝3cm ，BC ＝5cm ，则线段DE ＝ cm ．【分析】根据图形折叠前后图形不发生大小变化，得出AE＝A′E，设AE＝x，再利用勾股定理得出A′E2+A′D2＝ED2，从而求出AE的长，进而求出DE的长．【解答】解：∵AB＝3cm，BC＝5cm，∴A′D＝AB＝3cm，设AE＝x，则A′E＝xcm，DE＝5﹣x（cm），∵四边形ABCD是矩形，易知△A'DE是直角三角形，在Rt△A'DE中，A′E2+A′D2＝ED2，∴x2+9＝（5﹣x）2，解得：x＝1.6，∴DE＝5﹣1.6＝3.4（cm），故答案为：3.4．14．（3分）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2＝ ．【分析】根据垂直的定义和勾股定理解答即可．【解答】解：∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理得，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，∴AB2+CD2＝AD2+BC2，∵AD＝2，BC＝4，∴AB2+CD2＝22+42＝20．故答案为：20．15．（3分）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB﹣∠PCD＝ °．（点A，B，C，D，P 是网格线交点）【分析】连接AE，PE，由图可知，∠EAB＝∠PCD，则∠PAB﹣∠PCD＝∠PAB﹣∠EAB＝∠PAE，然后根据勾股定理可以求得PA、PE、AE的长，再利用勾股定理的逆定理可以判断△PAE的形状，从而可以得到∠PAE的度数，然后即可得到∠PAB﹣∠PCD的度数．【解答】解：连接AE，PE，则∠EAB＝∠PCD，故∠PAB﹣∠PCD＝∠PAB﹣∠EAB＝∠PAE，设正方形网格的边长为a，则PA==，PE=，AE==，∵PA2+PE2＝5a2+5a2＝10a2＝AE2，∴△APE是直角三角形，∠APE＝90°，又∵PA＝PE，∴∠PAE＝∠PEA＝45°，∴∠PAB﹣∠PCD＝45°，故答案为：45．16．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，E为AC边上一动点（不与点A重合），△AEF为等边三角形，过点E作EF的垂线，D为垂线上任意一点，连接DF，G为DF的中点，连接CG，则CG的最小值是 ．【分析】先求出AC＝5，再取EF的中点H，连接GH，AH，则GH为△DEF的中位线，进而得DE⊥EF，再根据等边三角形的性质得AH⊥EF，∠EAH＝30°，据此可证点G，H，A在同一条直线上，然后根据“垂线段最短”可得：当CG⊥AG时，CG为最小，最后在Rt△ACG中根据直角三角形的性质求出CG的长即可．【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝3，由勾股定理得：AC==5，取EF的中点H，连接GH，AH，如图所示：∵点G为DF的中点，∴GH为△DEF的中位线，∴GH∥DE，∵DE⊥EF，∴GH⊥EF，即∠GHE＝90°，∵△AEF为等边三角形，且点H为EF的中点，∴∠EAF＝60°，AH⊥EF，∴∠AHE＝90°，∠EAH=12∠EAF＝30°，∴∠GHE+∠AHE＝180°，∴点G，H，A在同一条直线上，依题意可知：点G在直线AG上运动，根据“垂线段最短”可知：当CG⊥AG时，CG为最小，在Rt△ACG中，AC＝5，∠CAG＝30°，∴CG=12AC＝2.5．∴CG的最小值为2.5．故答案为2.5．三．解答题（共8小题，满分72分）17．（6分）如图，已知CB＝DE，∠C＝∠E，∠BAD＝∠CAE，AC与DE交于点F．求证：AD平分∠BDE．【分析】先证明△BAC≌△DAE，根据全等三角形的性质及等腰三角形的性质得到∠B＝∠ADB＝∠ADE，则AD平分∠BDE．【解答】证明：∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD，即∠BAC＝∠DAE，在△BAC和△DAE中，∠BAC=∠CAE ∠C=∠ECB=DE，∴△BAC≌△DAE（AAS），∴∠B＝∠ADE，AB＝AD，∴∠B＝∠ADB＝∠ADE，∴AD平分∠BDE．18．（6分）如图所示，在△ABC中，AC＝8，BC＝6，在△ABE中，DE为AB上的高，DE＝12，S△ABE＝60，求△ABC的面积．【分析】由S △ABE ＝60，求得AB ＝10，根据勾股定理的逆定理得出△ABC 为直角三角形，从而得到∠C 的度数．【解答】解：∵DE ＝12，S △ABE =12DE •AB ＝60，∴AB ＝10．∵AC ＝8，BC ＝6，62+82＝102，∴AC 2+BC 2＝AB 2，∴由勾股定理逆定理得∠C ＝90°．∴S △ABC =12AC •BC ＝24．19．（8分）如图，A ，B 两点分别在射线OM ，ON 上，点C 在∠MON 的内部且CA ＝CB ，CD ⊥OM ，CE ⊥ON ，垂足分别为D ，E ，且AD ＝BE ．（1）求证：OC 平分∠MON ；（2）如果AO ＝12，BO ＝4，求OD 的长．【分析】（1）根据“HL ”判定Rt △CDA 和Rt △CEB 全等，得CD ＝CE ，AD ＝BE ，再根据角平分线的性质可得出结论；（2）设OD ＝x ，则AD ＝BE ＝12﹣x ，再根据“HL ”判定Rt △OCD 和Rt △OCE 全等得OD ＝OE ＝x ，则BO ＝OE ﹣BE ＝2x ﹣12＝4，由此解出x 即可得出OD 的长．【解答】（1）证明：∵CD ⊥OM ，CE ⊥ON ，∴∠CDA ＝90°，∠CDE ＝90°，在Rt △CDA 和Rt △CEB 中，CA =CB AD =BE ，∴Rt △CDA ≌Rt △CEB （HL ），∴CD ＝CE ，AD ＝BE ，∴点C 在∠MON 的平分线上，∴OC平分∠MON；（2）解：设OD＝x，∵OA＝12，∴AD＝OA﹣OD＝12﹣x，∴AD＝BE＝12﹣x，在Rt△OCD和Rt△OCE中，CD=CE OC=OC，∴Rt△OCD≌Rt△OCE（HL），∴OD＝OE＝x，∴BO＝OE﹣BE＝x﹣（12﹣x）＝2x﹣12，∵BO＝4，∴2x﹣12﹣4＝12，解得：x＝8，∴OD＝8．20．（8分）方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形．（1）在图1中画一个格点正方形，使其面积等于5；（2）在图2中确定格点C，使△ABC为等腰三角形（如果有多个点C，请分别以点C1，C2，C3…编号）；（3）在图3中，请用无刻度的直尺找出一个格点P，使BP平分∠ABC．（不写画法，保留画图痕迹）【分析】（1（2）根据等腰三角形的定义，利用数形结合的思想解决问题即可．（3）取格点R，连接AR，取AR的中点P，连接BP，点P即为所求．【解答】解：（1）如图，正方形ABCD即为所求．（2）如图，C1，C2，C3，C4即为所求．（3）如图，点P 即为所求．21．（10分）已知△ABC 中，AB ＝AC ．（1）如图1，在△ADE 中，若AD ＝AE ，且∠DAE ＝∠BAC ，求证：CD ＝BE ；（2）如图2，在△ADE 中，若∠DAE ＝∠BAC ＝60°，且CD 垂直平分AE ，AD ＝3，CD ＝4，求BD 的长．【分析】（1）由角的和差可得∠DAC ＝∠BAE ，进而证得△ACD ≌△ABE ，再根据全等三角形的性质即可证明结论；（2）如图2：连接BE ，由垂直平分线的性质可得AD ＝DE ，进而得到△ADE 是等边三角形，即∠CDA =12∠ADE =12×60°=30°；再运用全等三角形的性质可得BE ＝CD ＝4，∠BEA ＝∠CDA ＝30°，最后运用勾股定理即可解答．【解答】（1）证明：∵∠DAE ＝∠BAC ，∴∠DAE +∠CAE ＝∠BAC +∠CAE ，即∠DAC ＝∠BAE ．在△ACD 与△ABE 中，AD =AE∠DAC =∠BAE AC =AB，∴△ACD ≌△ABE （SAS ），∴CD ＝BE ．（2）解：如图2：连接BE ，∵CD 垂直平分AE∴AD＝DE，∵∠DAE＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴∠CDA=12∠ADE=12×60°=30°，∵△ABE≌△ACD，∴BE＝CD＝4，∠BEA＝∠CDA＝30°，∴BE⊥DE，DE＝AD＝3，∴BD==5．22．（10分）在海平面上有A，B，C三个标记点，其中A在C的北偏西54°方向上，与C的距离是800海里，B在C的南偏西36°方向上，与C的距离是600海里．（1）求点A与点B之间的距离；（2）若在点C处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为500海里，每隔半小时会发射一次信号，此时在点B处有一艘轮船准备沿直线向点A处航行，轮船航行的速度为每小时20海里．轮船在驶向A处的过程中，最多能收到多少次信号？（信号传播的时间忽略不计）．【分析】（1）由题意易得∠ACB是直角，由勾股定理即可求得点A与点B之间的距离；（2）过C作CD⊥AB于D，由面积关系可求得CD的长，判断出CD＜500，分别在DB和DA上找点E和点F使CF＝CE＝500，分别求得DE、DF的长，可求得此时轮船航行EF时的时间，从而可求得最多能收到的信号次数．【解答】解：（1）依题意有：AC＝800，BC＝600，∠NCA＝54°，∠SCB＝36°，∴∠ACB＝180°﹣54°﹣36°＝90°，在Rt△ACB中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，∴AB =答：点A 与点B 之间的距离为1000海里；（2）过C 作CD ⊥AB 于D ，∵S △ABC =12AC •BC =12AB •CD ，∴CD =AC⋅BC AB=480（海里），∵480＜500，故分别在DB 和DA 上找点E 和点F 使CF ＝CE ＝500，在Rt △CDE 中，由勾股定理得：CD 2+DE 2＝CE 2，∴DE ==140（海里），同理得：DF ＝140（海里），当轮船处在EF 段时能收到信号，由轮船航行的速度为每小时20海里，则轮船飞过此段的时间为：140+14020=14（小时），∴轮船收到信号次数最多为140.5+1＝29（次）．23．（12分）如图1，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，且BD ：AD ：CD ＝3：4：2．（1）求证：△ABC 是等腰三角形；（2）如图2，已知S △ABC ＝40cm 2，动点M 从点C 出发以2cm /s 的速度沿线段CB 向点B 运动，同时动点N 从点B 出发以相同的速度沿线段BA 向点A 运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设运动时间为t s．若△DMN的边与AC平行，求t的值；（3）在（2）的条件下，设AD的垂直平分线交AB于点E，利用图3及备用图分析：在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．【分析】（1）设BD＝3x cm，AD＝4x cm，CD＝2x cm，则BC＝5x cm，由勾股定理求出AB，即可得出结论；（2）由△ABC的面积求出BD、AD、CD、AB的长；①当MN∥AC时，BM＝BN；②当DN∥AC 时，BD＝BN；得出方程，解方程即可；（3）由勾股定理可得DE＝5cm，根据题意得出当点M在DB上，即2＜t≤5时，△MDE为等腰三角形，有3种可能：①DE＝DM；②ED＝EM；③MD＝ME；分别得出方程，解方程即可．【解答】（1）证明：设BD＝3x cm，AD＝4x cm，CD＝2x cm，则BC＝5x cm，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴AB==5x（cm），∴AB＝BC，∴△ABC是等腰三角形；（2）解：∵S△ABC =12•5x•4x＝40cm2，而x＞0，∴x＝2，则BD＝6cm，AD＝8cm，CD＝4cm，AB＝10cm，由题意得：CM＝BN＝2t cm若△DMN的边与AC平行，存在以下两种情况：①当MN∥AC时，如图2，∠BMN＝∠C，∠BNM＝∠BAC，∵AB＝BC，∴∠C＝∠BAC，∴∠BMN＝∠BNM，∴BM ＝BN ，∴10﹣2t ＝2t ，∴t ＝2.5；②当DN ∥AC 时，如图3，同理得：BN ＝BD ，∴2t ＝6，∴t ＝3，∴若△DMN 的边与AC 平行时，t 值为2.5或3；（3）解：△MDE 能成为等腰三角形；∵EP 是AD 的垂直平分线，AD ＝8cm ，∴AO ＝OD ＝4cm ，EP ⊥AD ，∵AD ⊥BC ，∴EP ∥BC ，∴AE ＝BE ，∴OE 是△ADB 的中位线，∴OE =12BD ＝3cm ，由勾股定理得：DE ===5（cm ），①当DE ＝DM ＝5cm 时，△MDE 是等腰三角形，∴CM ＝DM +CD ＝5+4＝9（cm ），∴t =92；②当DE ＝BE ＝5cm 时，如图5，△MDE 是等腰三角形，此时M 与B 重合，∴t ＝5；③当EM ＝DM 时，△MDE 是等腰三角形，如图6，过点M 作MF ⊥DE 于F ，交AD 于Q ，连接EQ ，∴EQ ＝DQ ，设OQ ＝a cm ，则EQ ＝DQ ＝（4﹣a ）cm ，在Rt △OEQ 中，由勾股定理得：OE 2+OQ 2＝EQ 2，∴32+a 2＝（4﹣a ）2，∴a =78，∴DQ ＝4―78=258cm ，由勾股定理得：FQ ==158cm ，设DM ＝b cm ，FM ＝n cm ，∵S △DMQ =12•DM •DQ =12•MQ •DF ，∴DM •DQ ＝MQ •DF ，∴258b =52×（n +158），∴n =10b―158，在Rt △DMF中，b 2＝n 2+（52）2，∴b 2＝（10b―158）2+254，∴b 1＝b 2=256，∴CM ＝CD +DM ＝4+256=496，∴t =496÷2=4912，综上，t 的值是92或5或4912．24．（12分）央视科教频道播放的《被数学选中的人》节目中说到：“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”．几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题．（1）模型探究．如图1，△ABC 和△AED 中，AB ＝AC ，AE ＝AD ，∠BAC ＝∠EAD ，连接BE 、CD ．这里△ABE 与△ACD 有一个公共的顶点，且将其中的一个三角形通过旋转可以和另一个三角形重合，我们将这样的图形称为“手拉手模型”．请你说明△ABE 与△ACD 全等的理由．（2）模型应用．如图2，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝50°，D 为平面内一点，且∠ADB ＝∠ACB ．求∠BDC 的度数．聪明的小亮同学，想到可以通过辅助线构造“手拉手模型”来解决这个问题．小亮先在线段BD 上找到一点E ，使得AE ＝AD ．请你根据小亮的思路，求出∠BDC 的度数（要有必要的说理过程）．（3）拓展提高．如图3，△ABC 是等腰直角三角形，斜边BC ＝15，点D 是射线BC 上的一点，连接AD ，以点A 为直角顶点作等腰Rt △ADE （点A 、D 、E 按逆时针方向排列），若CD ＝5，直接写出DE 2的值．【分析】（1）先证明∠BAE ＝∠CAD ，再利用SAS 即可证明△ABE ≌△ACD（2）如图所示，在线段BD 上找到一点E ，使得AE ＝AD ，先证明∠ABC ＝∠ACB ＝∠ADE ＝∠AED ，进而证明△ABE ≌△ACD （SAS ）得到∠ADC ＝∠AEB ，求出∠AED ＝∠ADE ＝65°，进而得到∠ADC ＝∠AEB ＝180°﹣∠AED ＝115°，则∠BDC ＝∠ADC ﹣∠ADB ＝50°；（3）分当点D在线段BC上时，连接CE，当点D在线段BC的延长线上时，连接CE，两种情况先求出BD的长，再证明△ABD≌△ACE（SAS），证得∠BCE＝90°，则DE2＝CD2+CE2，据此代值计算即可．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠EAD，∴∠BAC+∠CAE＝∠EAD+∠CAE，即∠BAE＝∠CAD，又∵AB＝AC，AE＝AD，∴△ABE≌△ACD（SAS）；（2）解：∵AD＝AE，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∠ADE＝∠AED，∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ACB＝∠ADE＝∠AED，∴∠DAE＝∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣∠AED﹣∠ADE，∴∠DAE﹣∠CAE＝∠BAC﹣∠CAE，即∠BAE＝∠CAD，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠ADC＝∠AEB，∵∠AED=∠ADE=180°―∠DAE2=180°―50°2=65°，∴∠ADC＝∠AEB＝180°﹣∠AED＝115°，∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝50°；（3）解：如图3所示，当点D在线段BC上时，连接CE，∵BC＝15，CD＝5，∴BD＝BC﹣CD＝10，∵△ABC，△ADE都是等腰直角三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠B+∠ACB＝90°，∵∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴CE＝BD＝10，∠ACE＝∠ABD，∴∠DCE＝∠ACD+∠ACE＝∠ACD+∠B＝90°，∴DE2＝CD2+CE2＝52+102＝125；如图4，当点D在线段BC的延长线上时，连接CE，∵BC＝15，CD＝5，∴BD＝BC+CD＝20，∵△ABC，△ADE都是等腰直角三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠B+∠ACB＝90°，∵∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∵∠ABC＝∠ACB，∴∠ACE＝∠ABC＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE，∠BCE＝2∠ABC，∴∠BCE＝90°∴DE2＝CD2+CE2＝52+202＝425；综上所述，DE2的值为125或425．。